【-2014邯郸市一模】河北省邯郸市2014届高三第一次模拟考试-数学理试题-Word版包含答案

邯郸市2014届高三第一次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合U R =,2{|30 }A x x x =->，2{|log (1), }B y y x x A ==+∈，则()U AC B 为A. [2,3)B. (2,3)C. (0,2)D. φ 3.设n S 是等比数列{a n }的前n 项和，425S S =，则3825a a a ⋅的值为 A ．2-或-1 B ．1或2 C ．-±2或1 D ．12±或4. 焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程是0x=，此双曲线的离心率为A.B.3C.2 5．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40.②线性回归直线方程a x b yˆˆˆ+=恒过样本中心),(y x ，且至少过一个样本点； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4 ； 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是 A. 112π+B. 16π+C. 13π+D. 1π+7.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线6x π=对称；⑶ 在[,]63ππ上是减函数”的一个函数可以是A.5sin()212x y π=+B.sin(2)3y x π=-C.2cos(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=+8.如图所示程序框图中，输出S = A. 45 B. 55- C. 66- D. 669．已知P 是椭圆222125x y b +=,(05)b <<上除顶点外的一点，1F 是椭圆的左焦点，若1||8,OP OF += 则点P 到该椭圆左焦点的距离为A. 6B. 4 C . 2 D. 5210.在ABC ∆中，6A π=,,3AB AC ==， D 在边BC 上，且2CD DB =,则AD =AC ．5 D．11. 已知函数2()cos ,()43f x x x g x x x =+=-+-，对于[,1]a m m ∀∈+，若[,0]3b π∃∈-，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是A．[22-+ B．[1-+ C．[2- D．[12-+12.已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围是A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数 (用数字作答)14．设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为15．已知直角梯形ABCD ,AB AD ⊥， CD AD ⊥，222AB AD CD === 沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积16．关于x 方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*23 1 (N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 18. (本小题满分12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为5（1）请将22⨯列联表补充完整；（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？C下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. (本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.(1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的余弦值;20. (本小题满分12分)已知点3(0,),4A -点,B C 分别是x 轴和y 轴上的动点，且0AB BC ⋅=，动点P 满足12BC CP =，设动点P 的轨迹为E.（1）求曲线E 的方程；（2）点Q （1,a ），M,N 为曲线E 上不同的三点，且QN QM ⊥，过M,N 两点分别作曲线E 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值. 21. (本小题满分12分)已知，函数21()x x f x e+=. （1）如果0x ≥时，()1mf x x ≤+恒成立，求m 的取值范围； （2）当2a ≤时，求证：()ln(2)1f x x a x +<+.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . （1） 求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.23．(本小题满分12分)选修4—4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线C的参数方程为2cos ,()22sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数.点,A B 是曲线C 上两点，点,A B 的极坐标分别为12,5(,),()36ππρρ. （1）写出曲线C 的普通方程和极坐标方程; （2）求AB 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市2014届高三一模理科数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分）1—5 DACCB 6--10 ADBCA 11--12 CB 二、填空题13、60 14、28π 15、43π 16、{}{}|01x x <⋃17.（1）当1n =时, 11231S a =-,∴11a =当2n ≥时,-1-122-2=3131n n n n n a S S a a =--（）-(） , 即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项,3为公比的等比数列,∴13n n a -= ， ……………4分设{}n b 的公差为,d 11323=+3=723b a b S d d ===+3，，=2∴3(1)221n b n n =+-⨯=+ ………………………6分（2）213n n n c +=，123357213333n n n T +=++++①234113572133333n n n T ++=++++② ………………………8分 由①-②得，234122222211333333n n n n T ++=+++++-()223n nn T +=-………………………12分…………4分（2）ξ可以取0,1,2 …………5分2122166611(0)12020C P C ξ====11412216482(1)1205C C P C ξ====2421661(2)12020C P C ξ====…………8分0122020202E ξ=⨯+⨯+⨯= …………10分（3）2240(161284) 6.667 6.635202084K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ …………11分 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关。

…………12分19.【答案】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F ,11B EC ∆∽△FEB ,BE =21EC 1,∴BF =21B 1C 1=21BC ,从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A 、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B . …………5分(2) ∵侧面AA 1B 1B⊥底面ABC ,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB =60°, 又AA 1=AB =2,取AB 的中点O ,则AO ⊥底面ABC . 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图,则()0,1,0A -,()0,1,0B,)C,(1A ,(10,B,1C .∵G 为△ABC 的重心,∴G ⎫⎪⎪⎭.113BE BC =,∴E ,∴1310,1,3CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎝. 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B . …………6分(2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0.b b -=⎪=⎪⎩可取=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则cos ||||θ⋅==⋅m n m n . 故平面B 1GE 与底面ABC. …………12分 20.（1）解：设(,),(,0),(0,)23x y P x y B C -则3(,),(,)2423x x yAB BC =-=，由0AB BC ⋅=得2x y = ………………4分（2）解法一：易知(1,1)Q ，设211(,)M x x ，222(,)N x x ，33(,)D x y ， 设QM 的方程为1(1)y k x -=-联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得11x k +=，所以 11x k =-. 同理，设QN 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 6分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点M 处的切线斜率为12x ，所以切线MD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-.同理，抛物线2y x =在点N 处的切线ND 的方程为2222y x x x =-.…………… 8分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. 因此点D 在直线220x y ++=上. …10分 因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以OD 42(,)55D --时等号成立． 由3125y k k =-=-，得k =.所以当15k ±=OD有最小值5. ………………12分解法二：由题意，(1,1)Q ，设211(,)M x x ，222(,)N x x ，33(,)D x y ， 对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点M 处的切线斜率为12x ，所以切线MD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. 同理，抛物线2y x =在点N 处的切线ND 的方程为2222y x x x =-.联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得1232x x x +=，312y x x =， ………………8分 又221122(1,1),(1,1)QM x x QN x x =--=--由QN QM ⊥得1212()20,x x x x +++=∴33220y x ++=所以点D 在直线220x y ++=上 ………………10分因为点O 到直线220x y ++=的距离5d ==，所以OD 42(,)55D --时等号成立． OD有最小值5. ………………12分 21.解：（1）0,x ≥()1m f x x ≤+，∴22(1)0x x m e +≥>，∴1xx e+≥. 令1()x x g x e +=（0x ≥），'()0x xg x e-=≤，()g x 递减，(0)1g =最大，∴m 的取值范围是[1,)+∞. ………………5分（2）证明：当2a ≤时，()()ln(2)(1)p x f x x a x =+-+的定义域(,)(1,)2a-+∞⊆-+∞， ∴10x +>，要证21ln(2)1xx x a x e++<+，只需证2ln(2)xx a e +< 又∵2a ≤ ，∴只需证2ln(22)xx e +<， ………………8分 即证()ln(2)0,(2-2)th t e t t x =-+>=> ∵1'()(2)2t h t e t t =->+递增，11'(1)10,'(0)102h h e -=-<=->， ∴必有0(1,0)t ∈-，使0001'()0,2th t e t ==+即，即00ln(2)t t =-+， 且在0(2,)t -上，0'()0h t <；在0(,)t +∞上，0'()0h t >，∴02000000(1)1()ln(2)022t t h t e t t t t +=-+=+=>++最小∴()ln(2)0th t e t =-+>，即()ln(2)1f x x a x +<+ ………………12分 22.解（1）∵ PA 为圆O 的切线, ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角,P C A P AB ∆∆∽ A B P C P A A C ⋅=⋅…………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线, 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ ADB ACE ∆∆∽，ACADAE AB =A D A E AB A 625360⋅=⋅=……….10分 23.(1) 参数方程2cos ,()22sin ,x y ϕϕϕ=⎧⇒⎨=+⎩为参数普通方程22(2)4x y +-= ………3分普通方程22(2)44sin ()x y ρθθ+-=⇒=为参数 ……………………6分【-2014邯郸市一模】河北省邯郸市2014届高三第一次模拟考试-数学理试题-Word 版包含答案- 11 - / 11 方法1：12,5(,),()36A B ππρρ可知2AOB π∠=,AB 为直径，4AB = 方法212,5(,),()36ππρρ⇒直角坐标(A B ⇒两点间距离4AB =……10分 24解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ ……………………2分 210, 1,35352530, ,23233310, 1,122513x x x x x x x x x x x x x φ>-><≤≤-><≤<<->><<⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当时，即解得当时，即解得当时，即解得不等式解集为 ……………………5分 （2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立 即4a ≥ ……………………10分。