相似图形知识点+例题剖析+测试卷

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完整版相似图形测试题及答案

《相似图形》水平测试二一、试试你的身手（每小题3分，共30分）1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米.2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周长是（如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石,其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为4•两个相似三角形面积比是5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6•厨房角柜的台面是三角形7•顶角为36。

的等腰三角形称为黄金三角形，如图黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ .9•如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC(:10.如图4，在△ ABC和厶EBD中EB之差为10cm，则△ ABC的周长是_________二、相信你的选择（每小题3分，共30分）1 .在下列说法中，正确的是（）A .两个钝角三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D .两个等边三角形一定相似BD ED 32.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°,Z C 120°，则/ A ( )3.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（)A.都扩大为原来的5倍B.都扩大为原来的10倍C.都扩大为原来的25倍D.都与原来相等4•如图6,在Rt A ABC 中，z ACB 90°, CD AB 于D，若AD 1 , BDCD (6.如图8，点E是Y ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G ,Y ABCD的对角线，则图中相似三角形共有（）A . 2对B . 3对C . 4对D . 5对7.如图9，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与厶ABC相似的是B . 45 C. 30°4，则C. 2 D . 35.如图7, BC 6 , E , F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是C. 4.5 D . 3AC是7777/7/A.1!. 2itD .20°/；图6图R&如图10,梯形ABCD的对角线交于点0,有以下四个结论:①△ A0B C0D ; ②△ AOD ACB ;其中始终正确的有（）A . 1个B . 2个C. 3个9•用作相似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，相似中心位置可选在（同，我们就把它们叫做相似图形•比如两个正方形，它们的边长, 成比例，就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形•请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.2 . （8 分）如图12，梯形ABCD 中，AB // DC，/ B 90°，E 为BC 上一点，且AE ED .若BC 12，DC 7，BE : EC=1 : 2，求AB 的长.③ S A DOC:S A AOD DC ： AB :④ S A AOD S A BOC•A •原图形的外部B •原图形的内部这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）111A . - cmB . cm C. cm D. 1cm632三、挑战你的选择（本大题共60分）:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相对角线等所有元素都对应D . 4个C.原图形的边上 D •任意位置10•如图11是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸,1. （8分）我们已经学习了相似三角形，也知道4. （8分）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图 14）,一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具（皮尺、标杆）可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案. 要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据2.7米宽的光亮区，如图 15,已知亮区一 1.8米，那么窗口底边离地面的高 BC 是多6. （14分）如图16,在一个长40m 、宽30m 的长方形小操场上，王刚从 A 点出发，沿着 A T B T C 的路线以3m/s 的速度跑向C 地.当他出发4s 后，张华有东西需要交给他，就从 A2地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距 B 地2-m 的D 处时，他和王刚在阳光下的影3子恰好重叠在同一条直线上•此时， A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线 AC上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE 的长）?3. （ 8分）如图13,已知△ ABC 中，点F 是BC 的中点, 样的关系？请你说明理由.DE // BC ,贝V DG 和GE 有怎（长度用a , b , c …表示）.5. （14分）阳光通过窗户照到室内，在地面上留下边到窗下墙脚的距离 CE 8.7米，窗口高 AB 少米？[R f| 16（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）?《相似图形》水平测试二参考答案一、1. 230282.cm53.9卡1084.60 或 -55.4, 1616.-33 「57.2& 30m9. 910. 25cm二、1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. D三、1.①、④是相似图形，②、③不一定是相似图形理由：两个圆和两个正六边形分别为相似图形，因为它们的对应元素都成比例；两个菱形和两个长方形都不是，因为它们的对应元素不一定都成比例（或举出具体的反例）2.解：因为AB // DC，且/ B 90°，所以Z AEB Z BAE所以Z AEB Z CED 90°.故Z BAE Z CED .又Z B Z C 90°,所以△EAB DEC . 所以AB BEEC CD又BE: EC 1:2，且BC 12及DC7 ,故AB-.所以873.解：DG GE.因为DE // BC，所以Z ADG ZB :,Z AGD Z AFB ,所以△ ADG ABF，所以DG AGBF AFGE AG DG GE同样△ AGE AFC，所以，所以FC AF BF FC '又F是BC的中点，所以DG GE .4.解：（1）如图，沿着旗杆的影竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子顶端重合.（2）用皮尺测量旗杆的影长BE 标杆CD c米. AB327a米，标杆CD的影长DE b米,fi D90°及Z C 90°.CD 根据△EDC EBA，得—AB巨，2 b，所以ABEB AB a ac b米. 即旗杆 AB 的高为 ac 米 5•解: 由已知可得 CB BD // AE ，所以A CBDCAE ，所以— CACDCE又CE 8.7, CD CB ()8.7 2.7 6, CA CB —，解得CB 4 •1.8,所以 CB 1.8 8.7即窗口底边离地面的高 BC 是4米. 6. (1)根据投影的特征可知 AC //DE ，所以所以DE BD DE AC BA ' AC △ BDE BAC ,BE 又 AB CF 40, AC BC 、402—302 50， BD2| •所以 DE 22 3 50 (2) 因为 40 DE 所以DE 10 (m )• 3 所以 BE 所以所以王刚从所以张华从 AB ACDEgBC AC BE 40 匹，BC AF 30， BC 10 “ 30 ，即 BE 2，50 2 42 (m )， A 到E 的时间为42十3=14 (s )， A 到D 的时间为14- 4=10 (s )， 2 所以张华的速度为(40- 2-)十10~ 3.7 ( m/s ).3。

人教版初中数学图形的相似基础测试题含答案解析

人教版初中数学图形的相似基础测试题含答案解析一、选择题1．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下．故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.3．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝21：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③【答案】B【解析】【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC ，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断．④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC 平分∠DCB ，∴∠ECB=12∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB=BC ，∵AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +，∴BD=7a ， ∴AC ：BD=3a ：7a=21：7，故③正确，∵OF=13OB=7a ， ∴BF=73a ， ∴BF 2=79a 2，OF•DF=7a•7779a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．4．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，据此求解可得．【详解】16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'，DA E DAB '∴∆~∆，则2A DE ABD S AD AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭'，解得3A D '=或37A D '=-（舍），故选：B ．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．5．如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD//BC ，AB//CD ，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．6．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在C ′的位置，C ′D 交AB 于点Q ，则BQ AQ的值为（）A．2B．3C．22D．32【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．7．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（）．A ．52B ．125C 515D ．3418【答案】D【解析】【分析】利用90ABC ∠=︒，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．【详解】解：90,ABC ∠=︒Q DE BC ⊥，//,DE BA ∴,CED CAB ∴∆∆:,CE CD ED CA CB AB∴== 90,4,3,ABC AB BC ∠=︒==Q 5,AC ∴=设,BD x = Q BD CE =，,3,BD CE x CD x ∴===-3,534x x ED -∴== 3155,x x ∴=-15,8x ∴= 158,54ED ∴= 3,2ED ∴= Q DE BC ⊥，2222153341()()828BE DB DE ∴=+=+=故选D ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．8．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B在反比例函数2yx =上∴设2,B xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x=，2BEx=∵90AOB∠=︒∴90AOD BOD∠+∠=︒∴90BOE AOF∠+∠=︒∵BE x⊥，AF x⊥∴90BEO OFA∠=∠=︒∴90OAF AOF∠+∠=︒∴BOE OAF∠=∠∴BOE OAFV V∽∵2OB OA=∴12OF AF OABE OE BO===∴121122OF BEx x=⋅=⋅=，11222xAF OE x=⋅=⋅=∴1,2xAx⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点A在反比例函数kyx=上∴12x kx=-∴12k=-．故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A的坐标是解决问题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C．332D．33【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．13．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．14．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．15．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点,F ABFV的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．4B．5C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】设AEF S x =△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出4BCF S x =V ，求出x 即可解答．【详解】解：∵AD ∥BC ，E 是矩形ABCD 中AD 边的中点，∴AEF ~CBF V V ，设AEF S x =△，那么4BCF S x =V ，∵2ABF S =V ， ∴()1x 2422x +=+，解得：x 1=， ∴325CDEF S x =+=四边形，故选：B.【点睛】此题主要考查相似三角形的相似比与面积比之间的关系，灵活运用关系是解题关键．16．（2016山西省）宽与长的比是512-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【答案】D【解析】【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF=GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF=FG∴=∴=CG1CG∴=CD∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．17．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．18．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于( )A ．103B ．203C ．52D ．152【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE ==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴3AD BC DF CE==， ∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52．故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.19．平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为P ′（12a +1，12b ﹣1）．已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ′，B ′，C ′．若△ABC 的面积为S 1，△A ′B ′C ′的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为（）A ．S 112=S 2B ．S 114=S 2C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝4S 2【答案】D【解析】【分析】先根据点P 及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换。

相似图形知识点+例题剖析+测试卷

段的比AB ：CD=m:n ，或写成（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段例1：已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d 的长。

例2. 下列4条线段中，不能成比例的是________。

解：先按从小到大的顺序排列后，再用两内项积与两外项积比较 A. c=2，a=3，d=4，b=6，cb=ad=12练习：下列四组线段中，a 、b 、c 、d 能成比例线段的是（）4比例的基本性质：如果，那么ad=bcA. a:b=m:nB. a:m=b:nC. a:m=n:bD. a:n=b:mA. m<nB. m>nC. m=nD. |m|=|n|解：A a b c dB a b c dC a b c dD a b c d ....================3624126346510251523，，，，，，，，，，，，B a b d c ac bd .======12366，，，，C a c b d ad bc .====≠45610，，，，D a b d c ac bd .======252315215，，，，∴选C （）若，则。

157a b a b==（）若，则，。

2850x y x yx yx y -==+-=（）已知，求。

3118x y x xy+==（）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4a mnb=（）若，则、之间的关系是5m n nmm n =（）175a b =（），2855858x yx y x k y k====例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c 的值（二）.黄金分割如图：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和AB ，如果AC AB =BCAC那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

（1）把长为8cm 的线段进行黄金分割，较长线段的长是________。

图形相似专题练习含答案解析

图形的相似1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于〔〕A．B．C．D．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是〔〕A．点P B．点O C．点M D．点N3．△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，那么△DEF的周长为〔〕A．2 B．3 C．6 D．544．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为适宜的条件：，使△ADE∽△ABC．〔不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！〕5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．〔1〕请写出图中各对相似三角形〔相似比为1除外〕；〔2〕求BP：PQ：QR．6．计算：|3﹣|+〔〕0+〔cos230°〕2﹣4sin60°．7．计算：﹣2sin45°+〔2﹣π〕0﹣．8．计算：|﹣|﹣+〔π﹣4〕0﹣sin30°．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，假设牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．〔计算结果准确到0.1米，≈1.732〕10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．〔计算结果准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．〕12．明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．13．我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．〔准确到0.1米〕14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕求AD的长．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E〔，2〕，连接AE，ED．〔1〕求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；〔2〕假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；〔3〕经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由〔1〕中的抛物线平移得到？请说明理由．16．某县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段〔村子和公路的宽均不计〕，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村〔线段CD某处〕，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村〔线段AB某处〕，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿．设点P，Q运动的时间是t秒〔t＞0〕．〔1〕D，F两点间的距离是；〔2〕射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部？假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；〔3〕当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；〔4〕连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．图形的相似参考答案与试题解析1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于〔〕A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM〔三线合一〕，BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，=MN•AC=AM•MC，又S△AMC∴MN==．应选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是〔〕A．点P B．点O C．点M D．点N【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，应选A．【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考察位似图形的概念．3．△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，那么△DEF的周长为〔〕A．2 B．3 C．6 D．54【考点】相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．应选C．【点评】此题考察对相似三角形性质的理解．〔1〕相似三角形周长的比等于相似比；〔2〕相似三角形面积的比等于相似比的平方；〔3〕相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为适宜的条件：∠B=∠1或，使△ADE∽△ABC．〔不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！〕【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．【解答】解：此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．【点评】此题考察了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题．5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．〔1〕请写出图中各对相似三角形〔相似比为1除外〕；〔2〕求BP：PQ：QR．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】此题的图形比拟复杂，需要仔细分析图形．〔1〕根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP ∽△BER；〔2〕根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：〔1〕∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．〔2〕∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考察了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6．计算：|3﹣|+〔〕0+〔cos230°〕2﹣4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的有关运算法那么计算．【解答】解：原式==﹣．【点评】此题考察实数的根本运算，难度适中．7．〔2021•〕计算：﹣2sin45°+〔2﹣π〕0﹣．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：原式==．【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．8．计算：|﹣|﹣+〔π﹣4〕0﹣sin30°．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】此题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：原式=﹣3+1﹣=﹣2．【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，假设牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．〔计算结果准确到0.1米，≈1.732〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道角以及斜边，求对边，可以用正弦值进展解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】此题考察直角三角形知识在解决实际问题中的应用．10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．〔计算结果准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形Rt△BCD、Rt△ACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，tan45°==1，∴CD=BC．在Rt△ACD中，tan30°=，∴．∴．∴3CD=CD+10．∴CD=+5≈13.66〔米〕∴条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1〔米〕．【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：皮尺，标杆；〔2〕请在图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．【考点】相似三角形的应用．【专题】方案型；开放型．【分析】树比拟高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在下出现的影子来解决．【解答】解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．【点评】此题运用相似三角形的知识测量高度及考察学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．此题答案有多种，测量方案也有多种，如〔1〕皮尺、标杆、平面镜；〔2〕皮尺、三角尺、标杆．13．我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．〔准确到0.1米〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD=．∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．〔3分〕∵cos∠ABD=．∴BD=AB•cos∠ABD=15×c os21°≈14.00米．〔5分〕在Rt△BDC中，tan∠CBD=．∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．〔8分〕∵cos∠CBD=．∴BC=≈≈17.77米〔10分〕∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米〔11分〕答：折断前发射塔的高约为34.1米．〔12分〕注意：按以下方法进展近似计算视为正确，请相应评分．①假设到最后再进展近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；②假设解题过程中所有三角函数值均先准确到0.01，那么近似计算的结果为：AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕求AD的长．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔1〕由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；〔2〕由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由〔1〕∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：〔1〕∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角〔〕，∴AD为圆O的直径〔90°的圆周角所对的弦为圆的直径〕，∴∠AED=90°〔直径所对的圆周角为直角〕，又AD是△ABC的∠BAC的平分线〔〕，∴∠CAD=∠EAD〔角平分线定义〕，∴CD=DE〔在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等〕，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕，∴AC=AE〔全等三角形的对应边相等〕；〔2〕∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，由〔1〕得到∠AED=90°，那么有∠BED=90°，设CD=DE=x，那么DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即〔12﹣x〕2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==．【点评】此题考察了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，此题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解此题的关键．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E〔，2〕，连接AE，ED．〔1〕求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；〔2〕假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；〔3〕经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由〔1〕中的抛物线平移得到？请说明理由．【考点】作图﹣位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．【专题】压轴题；网格型．【分析】〔1〕A，E，D三点坐标，可用一般式来求解；〔2〕延长OA到A′，使OA′=3OA，同理可得到其余各点；〔3〕根据二次项系数是否一样即可判断两个函数是否由平移得到．【解答】解：〔1〕设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c∵A〔1，〕，E〔，2〕，D〔2，〕〔1分〕∴，解之，得∴过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=﹣2x2+6x﹣．〔4分〕〔2〕如图．〔7分〕〔3〕不能，理由如下：〔8分〕设经过A′，E′，D′三点的抛物线的表达式为y=a′x2+b′x+c′∵A′〔3，〕，E′〔，6〕，D′〔6，〕∴，解之，得a=﹣2，，∴a≠a′∴经过A′，E′，D′三点的抛物线不能由〔1〕中的抛物线平移得到．〔8分〕【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值．16．某县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段〔村子和公路的宽均不计〕，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村〔线段CD某处〕，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村〔线段AB某处〕，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；方案型．【分析】〔1〕由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；〔2〕作点M关于射线OE的对称点M'，那么MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；〔3〕作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM 于点H，连接GM，那么GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D的值就是最小值．【解答】解：方案一：由题意可得：∵A在M的正西方向，∴AM∥OE，∠BAM=∠BOE=30°，又∵∠BMA=60°∴MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB，〔1分〕∵点M到乙村的最短距离为MD，∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，即最小值为MB+MD=3+〔km〕；〔3分〕方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，那么MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE=AM，∵AM=2BM=6，∴PE=3，〔4分〕在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，ME=DM=×，∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，〔6分〕在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，那么P'M=P′M'，∵AP'+P'M'＞AM'，∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为AD+DM=AM'=；〔7分〕方案三：作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，那么GM=GM'，∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，∴MH=3，∴NE=MH=3，∵DE=3，∴N，D两点重合，即M'N过D点，在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=〔10分〕在线段AB上任取一点G'，过G'作G'N'⊥OE于N'点，连接G'M'，G'M，显然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M'D=，〔11分〕综上，∵3+＜，∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．〔12分〕【点评】此题主要考察线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿．设点P，Q运动的时间是t秒〔t＞0〕．〔1〕D，F两点间的距离是25 ；〔2〕射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部？假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；〔3〕当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；〔4〕连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕由中位线定理即可求出DF的长；〔2〕连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF 分为面积相等的两局部，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；〔3〕①当点P在EF上〔2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上〔5≤t≤7〕时，PB=PF+BF就可以得到；〔4〕当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．【解答】解：〔1〕Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，∵D，F是AC，BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴DF=AB=25故答案为：25．〔2〕能．如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，∵D，F是AC，BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两局部此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．故t==．〔3〕①当点P在EF上〔2≤t≤5〕时，如图2，QB=4t，DE+EP=7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t=4；②当点P在FC上〔5≤t≤7〕时，如图3，QB=4t，从而PB===5t，由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20．解得t=7；〔4〕如图4，t=1；如图5，t=7．〔注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB〕【点评】此题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．【解答】解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕【点评】考察了平行线的性质及相似三角形的判定定理．。

人教版数学九年级下《图形的相似》测试(含答案及解析)

人教版数学九年级下《图形的相似》测试（含答案及解析）时间：60 总分：100一、选择题〔本大题共9小题，共36.0分〕1.以下四组图形中，一定相似的图形是()A. 各有一个角是30∘的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是120∘的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形2.以下说法正确的选项是()A. 矩形都是相似图形B. 各角对应相等的两个五边形相似C. 等边三角形都是相似三角形D. 各边对应成比例的两个六边形相似3.以下结论中，错误的有：()①一切的菱形都相似；②缩小镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤一切的矩形不一定相似．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以下图形一定是相似图形的是()A. 恣意两个菱形B. 恣意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形5.在下面的图形中，相似的一组是()A. B.C. D.6.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，那么外框与原图一定相似的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.以下图形一定相似的是()A. 两个矩形B. 两个等腰梯形C. 对应边成比例的两个四边形D. 有一个内角相等的菱形8.在以下命题中，正确的选项是()A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 有一个角是70∘两个等腰三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 有一个角是60∘的两个菱形一定相似9.用缩小镜将图形缩小，应该属于()A. 平移变换B. 相似变换C. 对称变换D. 旋转变换二、填空题〔本大题共8小题，共24.0分〕10.假定一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，那么此三角形的周长扩展为原来的______ 倍.11.如图，△DEF的边长区分为1，√3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角=k，那么形组成，选择格点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF.假设相似比ABDE k的值可以是______ ．12.如图，13个边长为1的小正方形，陈列方式如图，把它们联系，使联系后能拼成一个大正方形.请在如下图的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．13.应用复印机的缩放功用，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形缩小成边长为20厘米的等边三角形，那么缩小前后的两个三角形的周长比是______ ．14.如图，______ 与______ 相似．15.如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的△DEF(D、E、F必需在方格图的交叉点)．16.△ABC在坐标平面内三顶点的坐标区分为A(0,2)、B(3,3)、C(2,1).以B为位似中心，画出与△ABC相似(与图形同向)，且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标区分是______ ．17.如图中的等腰梯形(ABCD)是公园中儿童游乐场的表示图.为满足市民的需求，方案扩建该游乐场.要求新游乐场以MN为对称轴，且新游乐场与原游乐场相似，相似比为2：1.又新游乐场的一条边在直线BC上，请你在图中画出新游乐场的表示图．三、解答题〔本大题共5小题，共40.0分〕18.如图，在坐标系的第一象限树立网格，网格中的每个小正方形边长都为1，格点△ABC的顶点坐标区分为A(2,4)、B(0,2)、C(4,4)．(1)假定△ABC外接圆的圆心为P，那么点P的坐标为______ ．(2)以点D为顶点，在网格中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为1：2.(画出契合要求的一个三角形即可)19.，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)在原图上作DE//AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．20.如图，△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分红两个相似的三角形(保管作图痕迹，不写作法)21.：如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=1，求2(1)边AB的长；(2)cos∠BAE的值．22.如图，△ABC，∠BAC=90∘，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分红两个相似的三角形(保管作图痕迹，不写作法)答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. B10. 511. 2，2√3，412. 解：如下图：所画正方形即为所求．13. 1：414. (1)；(4)15. 解：所画图形如下：△DEF就是所求的相似三角形．16. (−6,0)、(3,3)、(0,−3)17. 解：如下图：18. (3,1)19. (1)证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；(2)解：∵DE//AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．20. 解：如图，AD为所作．21. 解：(1)衔接AC，AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=12BD=4，∵Rt△BOC中，tan∠CBD=OCOB =12，∴OC=2，∴AB=BC=√BO2+CO2=√42+22=2√5；(2)∵AE⊥BC，∴S 菱形ABCD =BC ⋅AE =12BD ⋅AC ， ∵AC =2OC =4， ∴2√5AE =12×8×4，∴AE =8√55， ∴BE =√AB 2−AE 2=√(2√5)2−(8√55)2=6√55， ∴cos∠ABE =BE AB =6√552√5=35．22. 解：如下图：AD 即为所求．【解析】1. 解：A 、各有一顶角或底角是30∘的两个等腰三角形相似，故错误，不契合题意；B 、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不契合题意；C 、各有一个角是120∘的两个等腰三角形相似，正确，契合题意；D 、两个直角三角形不一定相似，故错误，不契合题意；应选C ．应用相似图形的定义逐一判别后即可确定正确的选项．此题考察了相似图形的知识，可以了解相似图形的定义是解答此题的关键，难度不大． 2. 解：A.矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B.各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；C . 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； D.各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；应选：C ．依据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项剖析判别后应用扫除法求解．此题考察了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要留意从边与角两个方面思索解答．3. 解：①：菱形的两组对角不一定区分对应相等，故一切的菱形不一定都相似；即：选项①错误．②：缩小镜下的图形与原图形只是大小不相等，但外形相反，所以它们一定相似；即：选项②错误．③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故一切的等边三角形都相似；即：选项③正确④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似.由于它们的顶角均为110∘，两锐角均为35∘，依据〝两内角对应相等的两个三角形相似〞即可判定.故：选项④正确． ⑤：只要长与宽对应成比例的两个矩形相似，应选项⑤正确故：选B应用相似的定义逐一的对五个选项停止判定．此题考察了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法． 4. 解：A 、恣意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不契合相似的定义，故不契合题意；B、恣意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，契合相似的定义，故契合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定外形能否相等，故不契合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不契合题意．应选：B．依据相似图形的定义和图形的性质对每一项停止剖析，即可得出一定相似的图形．此题考察相似形的定义，熟习各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．5. 解：A、六边形与五边形不能够是相似图形，故本选项错误；B、两图形不是相似图形，故本选项错误；C、∵90∘−40∘=50∘，∴两三角形相似，故本选项正确；D、直角梯形与等腰梯形不是相似图形，故本选项错误．应选C．依据相似图形的定义对各选项剖析判别后应用扫除法求解．此题考察了相似图形的判定，是基础题，准确识图是解题的关键．6. 解：矩形不相似，由于其对应角的度数一定相反，但对应边的比值不一定相等，不契合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，由于其三个角均相等，三条边均对应成比例，契合相似的条件；正五边形相似，由于它们的边长都对应成比例、对应角都相等，契合相似的条件．应选C．依据相似多边形的判定定理对各个选项停止剖析，从而确定最后答案．边数相反、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．7. 解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，应选D．依据相似图形的定义，结合选项，用扫除法求解．此题考察相似形的定义，熟习各种图形的性质是解题的关键．8. 解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、有一个角是70∘两个等腰三角形不一定相似，所以B选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，所以C选项错误；D、有一个角是60∘的两个菱形一定相似，所以D选项正确．应选：D．依据四边形相似要有对应角相等，对应边的比相等可对A、D停止判别；依据70∘的角能够为顶角，也能够为底角可以对B停止判别；依据三角形判定方法对C停止判别．此题考察了命题与定理：判别一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项，一个命题可以写成〝假设…那么…〞方式；有些命题的正确性是用推理证明的，这样的真命题叫做定理．9. 解：依据相似图形的定义知，用缩小镜将图形缩小，属于图形的外形相反，大小不相反，所以属于相似变换．应选：B．依据缩小镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．此题考察的是相似形的识别，关键要联络图形，依据相似图形的定义得出．10. 解：∵一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，∴扩展后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩展为原来的5倍，故答案为：5．由题意一个三角形的各边长扩展为原来的5倍，依据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．此题考察了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．11.解：∵△DEF的边长区分为1，√3，2∴△DEF为直角三角形，∠F=30∘，∠D=60∘，依据等边三角形的三线合一，可作三边比为1：(√3+√3)：2的三角形，=k，k可取2，2√3，4．故相似比ABDE故答案为：2，2√3，4．依据题意可得：在正六边形网格找与△DEF相似的三角形；即找三边的比值为1：√3：2的直角三角形；剖析图形可得：共三种状况得出答案即可．此题主要考察了相似三角形的判定与性质，结合各边长得出契合题意的图形是解题关键．12. 直接依据阴影局部面积得出正方形边长，进而得出答案．此题主要考察了运用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．13. 解：由于原图中边长为5cm的一个等边三角形缩小成边长为20cm的等边三角形，所以缩小前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，故答案为：1：4．依据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．此题考察了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是依据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．14. 解：应用相似图形对应角相等，对应边成比例，只要(1)，(4)图形全等，契合题意．故答案为：(1)，(4)．依据相似图形的定义直接判别得出即可．此题考察的是相似形的定义，结合图形，即图形的外形相反，但大小不一定相反的变换是相似变换．15. 应用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以2，失掉新三角形的三边长，从网格中画出即可．此题主要考察了作图中的相似变换效果，难度不大，留意看清题意是关键．16. 解：把原三角形的三边对应的增加或缩小一定的比例即可失掉对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标区分是：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．故答案为：(−6,0)、(3,3)、(0,−3)．依据把原三角形的三边对应的增加或缩小一定的比例即可失掉对应的相似图形，在改动的进程中坚持外形不变(大小可变)即可得出答案．此题考察了相似变换作图的知识，留意图形的相似变换不改动图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩展(或增加)相反的倍数．17. 先作轴对称图形，再把它应用位似变换缩小为相似比为2：1的等腰梯形．考察了作图−相似变换，作位似变换的图形的依据是相似的性质.画位似图形的普通步骤为：①确定位似中心，②区分衔接并延伸位似中心和能代表原图的关键点；③依据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；依次衔接上述各点，失掉缩小或增加的图形．18. 解：(1)如图，点P即为所求，其坐标为(3,1)，故答案为：(3,1)；(2)如图，△DEF即为所求三角形．(1)区分作AC、AB的中垂线，两直线的交点即为所求点P；(2)依据相似比为1：2可得DE=√2，DF=1，EF=√5，据此可得．此题主要考察三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．19. (1)在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，依据边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；(2)由(1)知△ABD∽△CBA，又DE//AB，易证△CDE∽△CBA，那么：△ABD∽△CDE，然后依据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．此题主要考察了相似三角形的判定及性质.平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．20. 过点A作AD⊥BC于D，应用等角的余角相等可失掉∠BAD=∠C，那么可判别△ABD 与△CAD相似．此题考察了作图−相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形缩小或增加失掉.处置此题的关键是应用有一组锐角相等的两直角三角形相似．21. (1)首先衔接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=12BD=4，又由tan∠CBD=12，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；(2)由AE⊥BC，应用S菱形ABCD =BC⋅AE=12BD⋅AC，即可求得AE的长，在Rt△ABE中可求得BE，那么可求得∠ABE的余弦值．此题主要考察菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题难度适中，留意掌握辅佐线的作法、数形结合思想的运用．22. 直接应用直角三角形的性质过点A作AD⊥BC，即可得出答案．此题主要考察了相似变换，正确运用直角三角形的性质是解题关键．。

相似单元测试题及答案解析

相似单元测试题及答案解析一、选择题1. 以下哪项不是相似图形的特点？A. 形状相同B. 面积相等B. 边长成比例D. 角度相同答案：B解析：相似图形的特点是形状相同、边长成比例、角度相同，但面积不一定相等，而是面积比等于边长比的平方。

2. 如果两个三角形相似，它们的对应边长比为3:5，那么它们的对应角的度数比是多少？A. 1:1B. 3:5C. 5:3D. 无法确定答案：A解析：相似三角形的对应角相等，所以它们的对应角的度数比是1:1。

3. 一个矩形的长和宽分别是8厘米和6厘米，另一个矩形的长和宽分别是16厘米和12厘米。

这两个矩形是否相似？A. 是B. 不是C. 无法确定答案：A解析：两个矩形的长宽比分别为8:6和16:12，简化后都是4:3，所以它们是相似的。

二、填空题4. 如果两个图形的相似比为2:3，那么它们的面积比是________。

答案：4:9解析：相似图形的面积比等于相似比的平方，即(2:3)² = 4:9。

5. 在相似三角形中，如果一个三角形的高是另一个三角形高的1.5倍，那么它们的相似比是________。

答案：1.5:1解析：相似三角形的高之比等于相似比，所以相似比为1.5:1。

三、简答题6. 为什么两个相似三角形的对应边长比等于它们的对应角的正弦值之比？答案：在相似三角形中，对应角相等，根据正弦定理，对应角的正弦值与对应边长成比例，所以两个相似三角形的对应边长比等于它们的对应角的正弦值之比。

四、计算题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比。

答案：4:9解析：根据相似三角形的性质，面积比等于边长比的平方，即(2:3)² = 4:9。

结束语：通过本单元的测试题，我们复习了相似图形的定义、性质以及相关计算方法。

希望同学们能够熟练掌握相似图形的相关知识，并在实际问题中灵活运用。

相似测试题及答案

相似测试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是相似图形的特征？A. 形状相同B. 面积相等C. 边长成比例D. 角度相同答案：B2. 如果两个图形相似，那么它们的对应角：A. 相等B. 不相等C. 可能相等也可能不相等D. 无法确定答案：A二、填空题1. 相似图形的对应边的比值叫做________。

答案：相似比2. 两个相似多边形的面积比等于它们的相似比的________。

答案：平方三、判断题1. 两个图形相似，它们的周长比等于它们的相似比。

（）答案：√2. 如果两个图形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比为4:9。

（）答案：√四、简答题1. 请简述相似图形的定义。

答案：相似图形是指两个图形的对应角相等，对应边的比值相等的图形。

2. 相似图形的性质有哪些？答案：相似图形的性质包括：对应角相等，对应边的比值相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

五、计算题1. 若两个相似三角形的相似比为3:4，求它们的面积比。

答案：面积比为9:16。

2. 已知一个三角形的边长为3, 4, 5，另一个相似三角形的边长为6, 8, 10，求这两个三角形的面积比。

答案：面积比为1:4。

六、论述题1. 论述相似图形在实际生活中的应用。

答案：相似图形在实际生活中有广泛的应用，例如在建筑设计中，设计师会使用相似图形来保持建筑的比例和风格；在地图制作中，相似图形用于表示不同比例尺的地图；在服装设计中，相似图形用于保持服装的款式和比例等。

2. 论述如何判断两个图形是否相似。

答案：判断两个图形是否相似，首先要检查它们的对应角是否相等，然后检查它们的对应边的比值是否相等。

如果这两个条件都满足，那么这两个图形就是相似的。

此外，还可以通过面积比来判断，如果两个图形的面积比等于它们边长比的平方，那么它们也是相似的。

图形相似单元测试题及答案

图形相似单元测试题及答案# 图形相似单元测试题及答案一、选择题1. 两个图形相似的条件是什么？A. 面积相等B. 周长相等C. 对应角相等，对应边成比例D. 形状相同答案：C2. 如果两个三角形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比是多少？A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:4答案：B3. 在相似图形中，对应角的大小关系是什么？A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 不确定答案：A二、填空题4. 如果一个图形放大到原来的两倍，则其面积变为原来的________倍。

答案：45. 相似三角形的判定定理包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、_______。

答案：AAA（角角角）三、简答题6. 请解释什么是相似比，并给出一个例子。

答案：相似比是指两个相似图形对应边长的比值。

例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，那么2:3就是它们的相似比。

7. 描述如何判断两个多边形是否相似。

答案：要判断两个多边形是否相似，需要满足以下条件：对应角相等，且对应边成比例。

如果一个多边形的每个角和每条边都与另一个多边形的相应角和边成相同的比例，那么这两个多边形就是相似的。

四、计算题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，BC=8cm，求EF的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似比，我们有AB:DE = BC:EF。

将已知数值代入，得到6:9 = 8:EF。

解这个比例，我们得到EF = (8 * 9) / 6 = 12cm。

结束语本单元测试题涵盖了图形相似的基本概念、判定方法和实际应用。

通过这些题目的练习，可以帮助学生加深对图形相似概念的理解和应用能力。

希望同学们能够认真完成这些题目，并在解答过程中发现问题、解决问题，从而提高自己的数学素养。

相似图形测试题及答案

相似图形测试题及答案相似图形是几何学中一个重要的概念，它关注的是形状和大小之间的关系。

相似图形题目常出现在数学考试中，考察学生对比较形状以及计算比例的能力。

下面是一些常见的相似图形测试题及其答案，帮助大家更好地理解和应用相似图形的概念。

题目1：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB：DE = 2：3，BC：EF = 4：5，AC：DF = 6：7。

如果三角形ABC的周长为30cm，求三角形DEF的周长。

解析：根据相似图形的定义，我们知道相似的两个三角形各边的对应边长之比相等。

假设三角形DEF的周长为x cm，则有：DE/AB = EF/BC = DF/AC根据已知比例关系，代入数值得：DE/2 = EF/4 = DF/6解方程得：DE = 2/3 * AB = 2/3 * 10cm = 6.67cmEF = 4/5 * BC = 4/5 * 20cm = 16cmDF = 6/7 * AC = 6/7 * 24cm = 20.57cm所以，三角形DEF的周长为6.67cm + 16cm + 20.57cm = 43.24cm。

答案：三角形DEF的周长为43.24cm。

题目2：已知矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB = 6cm，BC =8cm，EF = 9cm。

求矩形EFGH的周长和面积。

解析：根据相似图形的定义，我们知道相似的两个矩形各边的对应边长之比相等。

假设矩形EFGH的周长为x cm，则有：EF/AB = FG/BC = EH/CD代入已知数值得：9/6 = FG/8解方程得：FG = (9/6) * 8 = 12cm同理可得：EH = (9/6) * 6cm = 9cm根据矩形周长的计算公式，矩形EFGH的周长为两条边之和的两倍，即：周长 = 2 * (FG + EH) = 2 * (12cm + 9cm) = 2 * 21cm = 42cm另外，矩形的面积等于两条相邻边长的乘积，即：面积 = FG * EH = 12cm * 9cm = 108cm^2答案：矩形EFGH的周长为42cm，面积为108cm^2。

专题27 图形的相似(46题)(解析版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题27图形的相似（46题）一、单选题1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，若123OB BB =::，则111A B C △的面积是（）A ．290cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2375cm 【答案】D【详解】解：∵一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，123OB BB =::，∴125OB OB =，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，∵三角形硬纸板的面积为260cm ，∴111224525ABC A B C S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴111A B C △的面积为2375cm ．故选：D ．3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）A ．2B ．3C ．52D ．834．（2024·湖南·中考真题）如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A ．DE BC ∥B ．ADE ABC △△∽C ．2BC DE=D ．12ADE ABC S S =【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A ．甲和乙B ．乙和丁C ．甲和丙D ．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D ．6．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 与A B C ''' 是位似图形，位似中心为点O ．若点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，则点(2,4)B -的对应点B '的坐标为（）A ．(4,8)-B ．(8,4)-C ．(8,4)-D ．(4,8)-【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点'A A 、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与A B C ''' 是位似图形，点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，∴A B C ''' 与ABC 的位似比为2，∴点(2,4)B -的对应点B '的坐标为()22,42-⨯⨯，即()4,8-，故选：A ．7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（）A ．()9,4B ．()4,9C ．31,2⎛⎫ ⎪D ．21,3⎛⎫ ⎪8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=︒，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=︒，DE CF =，∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=，∴EOF DOC ∽△△，∴45OFE OCD ∠=∠=︒，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴12DE BE =，∵正方形ABCD ，∴AB CD ∥，∴ABE GDE ∽，∴12DG DE AB BE ==，∴12DG CD CG ==，∴()SAS DEG CFG ≌，∴GE GF =，∴()111809022GEF AGF α∠=︒-∠=︒-，∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=︒-︒--︒=︒-=∠-∠=，故选：B ．10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数()0y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AOBO的值为（）A ．12B ．14C ．33D ．13【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，证明AOC OBD △∽△，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∴11122ACO S =⨯-= ，1422BDO S =⨯= ，90ACO ODB ∠=∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，∴2ACO BDO S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即2122OA OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12OA OB =（负值舍去），故选：A ．11．（2024·山东威海·中考真题）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（）A ．若CE ADCF AB=，则EF BD ∥B ．若AE BC ⊥，AF CD ⊥，AE AF =，则EF BD ∥C ．若EF BD ∥，CE CF =，则EAC FAC ∠=∠D ．若AB AD =，AE AF =，则EF BD ∥∴AC BD⊥在Rt ,Rt ACE AFC 中，AE AF AC AC=⎧⎨=⎩∴Rt Rt ACE AFC ≌∴CE CF =又∵AE AF =∴AC EF⊥∴EF BD ∥，故B 选项正确，C.∵CE CF =，∴CFE CEF ∠=∠∵EF BD ∥，∴,CBD CEF CDB CFE ∠=∠∠=∠∴CBD CDB ∠=∠∴CB CD=∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵EF BD ∥∴AC EF ⊥，∵CE CF =，∴AC 垂直平分EF ，∴AE AF=∴EAC FAC ∠=∠，故C 选项正确；D.若AB AD =，则四边形ABCD 是菱形，由AE AF =，且BE DF =时，可得AC 垂直平分EF ，∵AC BD⊥∴EF BD ∥，故D 选项不正确故选：D ．12．（2024·河南·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A ．12B ．1C ．43D ．213．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E 作EH AC ⊥于点H ，由勾股定理求出AC ，根据等面积法求出BD ，先证明ABC ADB ∽，由相似三角形的性质可得出AB AC AD AB =，即可求出AD ，再证明AED BFD ∽，由相似三角形的性质可得出2AED BFD S AD S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得出4AED BFD S S = ，根据()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =--- 四边形，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．【详解】解：过点E 作EH AC ⊥于点H ，如下图：∵90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，∴2225AC AB BC =+=，∵BD 是边AC 上的高．∴1122AB BC AC BD ⋅=⋅，∴455BD =，∵BAC CAB ∠=∠，90ABC ADB ∠=∠=︒，∴ABC ADB ∽△△，∴AB AC AD AB=，解得：855AD =，∴85252555DC AC AD =-=-=，∵90BDF BDE BDE EDA ∠+∠=∠+∠=︒，90CBD DBA DBA A ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBC A ∠=∠，BDF EDA ∠=∠，∴AED BFD ∽，14．（2024·山东·中考真题）如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．作辅助线如图，由平行正相似先证DEC GAE ∽，再证BGF AGE ∽，即可求得结果．【详解】解：延长DF 和AB ，交于G 点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =即DC AG ∥，∴DEC GAE∽∴CE DE DC AE GE AG==，∵5AC =，1CE =，∴514AE AC CE =-=-=，∴14CE DE DC AE GE AG ===，又∵EF DE =，14DE DE GE EF FG ==+，∴13EF FG =，∵14DC DC AG AB BG ==+，DC AB =，∴13DC BG =，∴13EF DC FG BG ==，∴34BG FG AG EG ==∴AE BF ∥，∴BGF AGE ∽，∴34BF FG AE EG ==∵4AE =，∴3BF =．故选：B ．二、填空题15．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为12∶，则它们的周长的比为．【答案】12∶/12【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为12∶，∴它们的周长的比为12∶，故答案为：12∶．16．（2024·云南·中考真题）如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD =．17．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为cm ．【答案】20【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB A B ''∥，AOB A OB ''∽△△，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，利用已知得出''AOB A OB △∽△，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =，∴A B OC AB OC '''=，即243630OC '=，∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm ，故答案为：20．18．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．10AB = ，25BD =，()22102545AD ∴=-=，DAC CBD ∠=∠ ，又∵BAD DAE ∠=∠，∴BAD CBD ∠=∠，90ADB BCE ∠=∠=︒ ，ABD BEC ∴ ∽，BE BC AB AD∴=，451045BC ∴=，8BC ∴=，故答案为：8．20．（2024·湖北·中考真题）DEF 为等边三角形，分别延长FD DE EF ，，，到点A B C ，，，使DA EB FC ==，连接AB AC ，，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若2AD DF ==，则DBF ∠=，FG =．【答案】30︒/30度435/435【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合EB EF =可求得30DBF ∠=︒；作CH BG ⊥交BG 的延长线于点H ，利用直角三角形的性质求得1CH =，3FH =，证明AGF CGH ∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵DEF 为等边三角形，DA EB FC ==，∴112CH CF ==，FH =∵90AFB H ∠=∠=︒，∴AF CH ∥，∴AGF CGH ∽，21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，连结AE 分别交BD ，CD 于点F ，G ，则FG 的长为．【详解】解：菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，6AD BC CD ∴===，AD BC ∥，120BCD ∠=︒，60DCE ∴∠=︒，DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒，在Rt DCE V 中，9030CDE DCE ∠=-︒∠=︒ ，132CE CD ∴==，2233DE CD CE ∴=-=，9BE BC CE ∴=+=，AD BE ，18090ADE DEC ︒︒∴∠=-∠=，在Rt ADE △中，()222233637AE DE AD =+=+=，AD BE ，AFD EFB ∴ ∽，6293AF AD FE BE ∴===，226737555AF AE ∴==⨯=，AD CE ∥，AGD EGC ∴△∽△，623AG AD EG CE ∴===，22372733AG AE ∴==⨯=，67472755FG AG AF ∴=-=-=．故答案为：475．22．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOC S S =△△．【答案】19【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．设AD BC ，的距离为d ，则112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．23．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =．【答案】15-【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B -，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D -，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，∴7OA BC ==，∴24x =-，即()2410B -，，则24OF =，10BF =∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF∥∴ODE OBF△∽△∴14OE OD DE OF OB BF ===∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D -∴6 2.515k =-⨯=-故答案为：15-．24．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．【答案】1712+【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠25．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，5AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD =．【答案】103/133【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．设AD x =，5AE x =，根据折叠性质得DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，证明AHE ACB ∽得到EH AH AE BC AC AB==，进而得到EH x =，2AH x =，证明Rt EHD 是等腰直角三角形得到45HDE HED ∠=∠=︒，可得90FDM ∠=︒，证明()AAS FDM EHM ≌得到12DM MH x ==，则3102CM AC AD DM x =--=-，根据三角形的面积公式结合已知可得()31022552x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，然后解一元二次方程求解x 值即可．【详解】解：∵5AE AD =，∴设AD x =，5AE x =，∵ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，∴DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，则90AHE ACB ︒∠=∠=，又A A ∠=∠，三、解答题26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)62【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接OA ，根据圆周角定理得到90BAE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ABC BAO ∠=∠，求得90OAC ∠=︒，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到16BC =，求得12BE BC CE =-=，连接BD ，根据角平分线的定义得到BAD EAD ∠=∠，求得 BDDE =，得到BD DE =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OA ，BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，90BAO OAE ∴∠+∠=︒，OA OB = ，ABC BAO ∴∠=∠，EAC ABC ∠=∠ ，CAE BAO ∴∠=∠，90CAE OAE ∴∠+∠=︒，90OAC ∴∠=︒，OA 是O 的半径，27．（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，过点D 的直线DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)连接EO 并延长，分别交O 于,M N 两点，交AD 于点G ，若O 的半径为230F ∠=，，求GM GN ⋅的值．【答案】(1)见详解(2)7225【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD AC ∥，根据平行线的性质得90ODF ∠=︒即可证明；（2）连接,MD AN ，先解Rt ODF △，求得4OF =，23DF =，则6AF =，3AE =，可证明23AD DF ==，由DGO AGE ∽，得23DG OD AG AE ==，故23,55DG AD AG AD ==，证明MGD AGN △∽△，即可得到7225GM GN GD GA ⋅=⋅=．【详解】（1）解：连接OD ，∵OA OD =，∴23∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴OD AC ∥，∴ODF AED∠=∠∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒，∴90ODF ∠=︒，即OD EF ⊥，∵OD 是O 的半径∴EF 是O 的切线；∵30F ∠=︒，∴在Rt ODF △中，24OF OD ==，由勾股定理得：22DF OF OD =-∴246AF =+=，∵在Rt AEF 中，30F ∠=︒，∴132AE AF ==，【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．28．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，过点C 作O 的切线l ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ，连接AC BC 、．(1)求证：ABC ACD △△∽；(2)若5AC =，4CD =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)256【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC ，根据题意得90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，利用等量代换确定ACD ABC ∠∠=，再由相似三角形的判定即可证明；（2）先由勾股定理确定3AD =，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CD 是O 的切线，点C 在以AB 为直径的O 上，∴90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，∴ACD OCB ∠∠=，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠∠=，∴ACD ABC ∠∠=，∵AD l ⊥，29．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l 与O 相切于点A ，AB 是O 的直径，点C ，D 在l 上，且位于点A 两侧，连接BC BD ，，分别与O 交于点E ，F ，连接EF AF ，．(1)求证：BAF CDB ∠=∠；(2)若O 的半径6r =，9AD =，12AC =，求EF 的长．∴90BAF ABD ∠+∠=︒，∴BAF CDB ∠=∠；（2）解：∵6r =，∴212AB r AC ===，222212915BD AB AD =+=+=，∵直线l 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90BEA ∠=︒，∴ABE 也是等腰直角三角形，∴cos 4562AE BE AB ==⋅︒=，∵ BFBF =，∴BEF BAF ∠=∠，∵BAF CDB ∠=∠，∴BEF BDC ∠=∠，∴BEF BDC ∽，∴BE EF BD CD =，即6215129EF =+，∴4225EF =．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC =⋅；(2)F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =．∠在矩形ABCD中，ADE ⊥，AE BD∴90∠+∠=︒DAE ADBADB AED∴∠=∠，FEC AED∠=∠，在矩形ABCD 中，12OA OD BD ==， 12EF CF BD ==，OA OD EF CF ∴===，ADO OAD ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，ADO FEC ∠=∠，FEC E AD F O OAD C ∴∠∠=∠∠==，在ODA V 和FEC 中，ODA FEC OAD FCE OD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ODA FEC ∴ ≌，CE AD ∴=．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．31．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．【答案】(1)见解析(2)5OM =【分析】（1）连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 根据直径所对的圆周角是直角求出45DBE ∠=︒得45DPE ∠=︒，90DOE ∠=︒，由EF CD ∥可得90FED DOE ∠=∠=︒，从而可证明EF 是O 的切线；（2）由1tan 2BCD ∠=得12DB BC =，即12DB AC =，证明DBM ACM ∽ ，得12BM DM DB AM CM AC ===，由42BM =∵,AB BC ACB =∠∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴8242122AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴()2222122AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，222212665,CD BC DB =+=+=∴35CO DO ==，又12DM CM =，∴2,CM DM =∴265,DM DM CD +==∴25DM =∴35255OM OD DM =-=-=【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．32．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，CE 交BD 于点F ，1ABC ∠=∠．(1)求证：23∠∠=；(2)若445∠=︒．①请判断线段BC ，BD 的数量关系，并证明你的结论；②若13BC =，5AD =，求EF 的长．【答案】(1)见解析∴EF BE AD AB =，∴5512EF =，2512EF ∴=．33．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①73DF DE =②2DF DE m n =，证明见解析(3)2AP n AD m=【分析】（1）等边对等角，得到B C ∠=∠，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到F ADF ∠=∠，即可得出结论；∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；（3）2AP n AD m =，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m =，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，34．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OE AE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．∴在Rt AOC 中，tan 2AC AOC AO∠==．AE OC ⊥ ，∴在Rt AOE △中，tan AE AOC OE∠=．2AE OE ∴=，12OE AE ∴=；（2）过点B 作BM AE ∥，交EO 延长线于点M ．,90BAE ABM AEO BMO ∴∠=∠∠=∠=︒．AO BO = ，AOE BOM ∴△≌△，,AE BM OE OM ∴==．12OE AE = ，2BM OE EM ∴==，45MEB MBE ∴∠=∠=︒，135AEB AEO MEB ∴∠=∠+∠=︒，180135BEC MEB ∠=︒-∠=︒，AEB BEC ∴∠=∠．,90AB AC BAC =∠=︒ ，45ABC ∴∠=︒，ABM CBE ∴∠=∠，BAE CBE ∴∠=∠，AEB BEC ∴△∽△．（3）如图，连接,DE DF ．90ADB AFB ∴∠=∠=,90AB AC BAC ∠== 2,BC BD DAB ∴=∠=由（2）知，AEB △∽△22AE AB AO BE BC BD ∴===35．（2024·北京·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC ∠.(1)求证：OD BC ∥；(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56OF BF =，1PE =，求O 半径的长.【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，结合OB OC =，得到B C ∠=∠，继而得到2AOC B ∠=∠，根据OD 平分AOC ∠，得到2AOC AOD ∠=∠，继而得到B AOD ∠=∠，可证OD BC ∥；（2）不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，求得111OP OE PE x =+=+，证明OFE BFC ∽，OBM POB ∠=∠，求得665x BC =，取BC 的中点M ，连接OM ，则335x BM =，求得3cos 5OBM ∠=，3cos 5POB ∠=，结合切线性质，得到3cos 51OB OB OB POB OP OE PE OB ∠====++，解答即可.【详解】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，∵OB OC =，∴B C ∠=∠，∴2AOC B ∠=∠，∵OD 平分AOC ∠，∴2AOC AOD ∠=∠，∴B AOD ∠=∠，∴OD BC ∥；（2）∵56OF BF =，1PE =，不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，∴111OP OE PE x =+=+，∵OD BC ∥，2【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键36．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)22CD =(3)21【分析】（1）根据题意，由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，利用两个三角形相似的判定定理即可得到ACD ABC △△∽，再由相似性质即可得证；（2）设AD BD m ==，由（1）中相似，代值求解得到2AC m =，从而根据ACD 与ABC 的相似比为12AD AC =求解即可得到答案；（3）过点C 作EB 的平行线交AB 的延长线于点H ，如图1所示，设CE DE a ==，过点B 作BF EC ⊥于点F ，如图2所示，利用含30︒的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到21277AD AC CD a AC AH CH a ====，代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，∵点E 为CD 中点，∴设CE DE a ==，∵30CDB CBD ∠=∠=︒，∴2CB CD a ==，120DCB ∠=︒，∴60FCB ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴12CF BC =，∴CF a =，3BF a =，∴2EF a =，∴7BE a =，∵CH BE ∥，点E 为CD 中点，∴227CH BE a ==，243DH DB a ==，EBD H ∠=∠，又∵ACD EBD ∠=∠，∴ACD H ∠=∠，ACD AHC ∽△△，∴21277AD AC CD a AC AH CH a ====，又∵27AC =，∴2AD =，14AH =，∴12DH =，即4312a =，∴3a =，∴721BE a ==．【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30︒的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．37．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD 的值．∴OHF OAD ∠=∠，∴HF AD∥（ⅱ）∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OE OF =，60EHF ∠=︒，∴30EHO FHO ∠=∠=︒，∴3OH OE =，∵AM BC ∥．2MD AM =，∴AHM CHB ∽，∴13AH AM HC BC ==，即3HC AH =，∴()3OA AH OA OH +=-，∴2OA OH =，∵BN AD ∥，2MD AM =，AM CN =，∴BNE DAE ∽，∴23BE BN ED AD ==，即32BE ED =，∴()()32OB OE OB OE -=+∴5OB OE =，故22323555AC OA OH OE BD OB OE OE ⨯====．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．38．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)①见解析；②::2:1:3AG GH HC =(2)3AM AN =，理由见解析【分析】（1）①根据ABE DCE S S = ，得出E 为AD 的中点，证明出AHE CHF ≌即可；②先证明出AGB HGE ∽得到2AB AG EH GH==，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接BD 交CN 于点F ，证明()AAS AEB DEM ≌，进一步证明出四边形ABDM 为平行四边形，得出DF 为CMN 的中位线，得到12DF MN =，再证明出AEN DEF ≌得到DF AN =，再通过等量代换即可求解．【详解】（1）解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，又∵AHE CHF ∠=∠，()AAS AHE CHF ∴ ≌，。

初二数学图形的相似试题答案及解析

初二数学图形的相似试题答案及解析1.如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴，故A正确；∴，∴，故B正确；∴，故C错误；∴，∴，故D正确．故选C．【考点】1、平行线分线段成比例；2、平行四边形的性质．2.如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BE=．【解析】（1）根据AD∥BC，可以证得∠ADE=∠DEC，然后根据∠CDE=∠DAE即可证得；（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，则BE即可求解．试题解析：（1）∵□ABCD中AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，又∵∠CDE=∠DAE，∴△ADE∽△DEC；（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴EC=．又∵BC=AD=6，∴BE=6﹣=．【考点】1、相似三角形的判定与性质；2、平行四边形的性质3.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，则AC的长为 .【答案】．【解析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=AB，代入数据即可得出AC的值．试题解析：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段；则AC=2×．【考点】黄金分割．4.如图，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E.求证：AE=EC【答案】见解析【解析】先判定△ADE和△ABC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．试题解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵D点是边AB的中点，∴AB=2AD，∴，∴AC=2AE，∴AE=CE．考点: 三角形中位线定理.5.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在处，分别交边AC于M、H点，若∠ADM＝50°，则∠EHC的度数为（）.A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B【解析】由对顶角相等可得∠AMD=∠HMB1∠CHE=∠MHB1，由两角对应相等可得△ADM∽△B1HM∽△CHE，那么所求角等于∠ADM的度数．由翻折可得∠B1=∠B=60°，所以∠A=∠B1=∠C=60°，因为∠AMD=∠HMB1，所以△ADF∽△B1MH，所以∠ADM=∠B1HM=∠CHE=50°.【考点】1、相似三角形的判定与性质；2、轴对称-翻折变换.6.一根竹竿的高为1.5cm，影长为2cm，同一时刻某塔影长为40cm，则塔的高度为______cm。

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

相似图形测试题及答案

相似图形测试题及答案### 相似图形测试题及答案#### 题目一：识别相似图形题目描述：给定一组图形，找出其中形状和结构相似的图形。

图形组A：- 图形1：圆形- 图形2：正方形- 图形3：三角形- 图形4：圆形图形组B：- 图形1：圆形- 图形2：正方形- 图形3：三角形- 图形4：椭圆形答案：在图形组A中，相似的图形是图形1和图形4，它们都是圆形。

在图形组B中，没有两个图形是完全相似的，但图形1和图形4在形状上最为接近，都是圆形或椭圆形。

#### 题目二：找出不同图形题目描述：在一组图形中，找出与其他图形不同的那一个。

图形组C：- 图形1：菱形- 图形2：菱形- 图形3：菱形- 图形4：圆形图形组D：- 图形1：正方形- 图形2：长方形- 图形3：正方形- 图形4：正方形答案：在图形组C中，图形4与其他三个菱形不同，因为它是一个圆形。

在图形组D中，图形2与其他三个正方形不同，因为它是一个长方形。

#### 题目三：图形变换题目描述：给定一个基础图形，通过旋转、翻转或平移，找出与之匹配的图形。

基础图形：- 图形E：一个向上的箭头变换图形组：- 图形1：一个向下的箭头- 图形2：一个向左的箭头- 图形3：一个向右的箭头- 图形4：一个向上的箭头答案：图形4是基础图形E的直接匹配，因为它是一个向上的箭头。

图形1、2和3分别是基础图形的旋转或翻转版本。

#### 题目四：图形组合题目描述：将给定的两个图形组合，形成一个新的图形。

图形组F：- 图形1：半圆形- 图形2：半圆形图形组G：- 图形1：半圆形- 图形2：三角形答案：在图形组F中，将两个半圆形组合可以形成一个完整的圆形。

在图形组G中，将半圆形和三角形组合可以形成一个扇形或一个有尖角的图形。

通过这些测试题，可以考察观察者对图形的识别能力、空间想象力以及逻辑推理能力。

正确答案的得出需要仔细观察图形的特点，理解图形之间的相似性和差异性，以及掌握图形变换的规律。

中考数学专题复习卷：图形的相似(含解析)

图形的相像一、选择题1.已知，以下变形错误的选项）是（A. B. C. D.【答案】 B【分析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不切合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故切合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不切合题意；D.3a=2b 变形正确，故不切合题意.故答案为： B.【剖析】依据已知比率式可得出3a=2b，再依据比率的基天性质对各选项逐个判断即可。

2.如图，已知直线a∥ b∥ c，直线m 分别交直线a、b、c 于点A,B,C ，直线n 分别交直线a、b、c 于点D,E,F,若,,则的值应当（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不可以确立【答案】 B【分析】：如图，过点 A 作 AN ∥DF，交 BE 于点 M，交 CF 于点 N∵a∥ b∥ c∴ AD=ME=NF=4 （平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设 MB=x ，CN=3x∴BE=x+4 ， CF=3x+4∵∵ x＞ 0∴故答案为：B【剖析】过点 A 作AN ∥DF ，交BE于点M，交CF 于点N，依据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再依据平行线分线段成比率得出BM和CN的关系，设MB=x， CN=3x ，分别表示出BE 、CF ，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。

3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为 A （ 6， 8）， B（ 10，2），若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为本来的后获得线段CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A. （5，1）B. （ 4，3）C. （3， 4）D. （1，5）【答案】C【分析】：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB减小为本来的后获得线段CD，∴端点 C 的横坐标和纵坐标都变成 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又∵ A （6， 8），∴端点 C 的坐标为（ 3， 4）．故答案为： C．【剖析】依据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。

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