集合的含义与表示

(3)使用描述法时，还应注意以下几点： ①写清集合中元素的代号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数 或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； ④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的语句力 求简明、确切．
下列说法：
(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
(2)实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；
(3)方程组xx－＋yy＝＝－3 1 的解集为{x＝1，y＝2}．
其中正确的有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【错解】 A 【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}” 表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素 入手，弄清楚代表元素是什么． 【正解】 (1)由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1， 因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}． (2)集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义， 而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为 {x|x为实数}或R.
【解析】 (1)∈，∉，(2)∈，∈，(3)∉，∈
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合． 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①已知4个集合； ②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就是6，宜 用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后 求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对 于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于 一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－ 1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．这个特性通 常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元 素．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a， b，c}与{b，a，c}是相等的集合．这个特性通常用来判断两个 集合的关系．
判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象 是否具有这个集合的元素具有的共同特征．反之，如果一个对 象是某个集合的元素，则这个对象必具有这个集合的元素具有 的共同特征．
2.用符号“∈”或“∉”填空 (1)3________{x|x< 10},5________{x∈N|－ 2≤x≤2}． (2)10________{k|k ＝ m2 ＋ n2 ， m ， n∈N},102________{k|k＝m2＋n2，m，n∈N}． (3)( － 1,1)________{x|y ＝ x2} ， (1,1)________{(x，y)|y＝x2}．
【解析】 (1)比 4 大 2 的数显然是 6，故可 表示为{6}．
(2)方程 x2＋y2－4x＋6y＋13＝0 可化为 (x－2)2＋(y＋3)2＝0，
x＝2 ∴y＝－3 ，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)由 x－2>3，得 x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}． (4)“二次函数 y＝x2－1 的图象上的点”用 描述法表示为 {(x，y)|y＝x2－1}．
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、 点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无限的集合．
(2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点： ①写明该集合的代表元素及所属范围； ②表达清楚该集合中元素的共同属性； ③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”； ④所有描述的内容都要写在花括号内； ⑤用于描述的语句力求简明、准确．
3.用适当的方法表示下列集合 y＝x
(1)二元二次方程组y＝x2 的集合； (2)大于 4 的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数 y＝2x＋1 图象上所有点组成的集合．
【解析】 (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}；
(2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3)方程组xx＋ －yy＝ ＝－3 1 的解是有序实数对，
而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，
方 程 组 的 解 集 正 确 的表 示 应 为{(1,2)}或 {(x ，
x＝1 y)|y＝2
} .故选 D.
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2．“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元 素”这一说法是否正确？
【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4， 并且都是确定的不同对象．因此，它们能构成集合，但在这个 集合中只有3个元素．
集合中元素的特性及应用
已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值． 【思路点拨】 分别令a2＝1,0或a―→解方程求a―→检验得x值 【解析】 (1)若a2＝1，则a＝±1， 当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合． (2)若a2＝0，则a＝0， 此时集合A中有两个相同元素0，舍去． (3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去． 综上可知：a＝－1.
(3)列举法：因为 x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以 xy＝ ＝03
或
x＝1 y＝2
或 xy＝ ＝21
或 xy＝ ＝30
.
所以 A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}；
(4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}．
1．对集合中元素三个特性的认识 (1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的．即 一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的． 要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常 被用来判断涉及的总体是否构成集合．
根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根 据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性， 最易被忽略．另外，在利用集合中元素的特性解题时求实数a的值． 【解析】 由已知a2∈{1，a}， (1)若a2＝1，则a＝±1. 当a＝1时，A＝{1,1}，不满足集合中元素的互异性，故a＝1 舍去； 当a＝－1时，A＝{1，－1}，满足集合中元素的互异性． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1. 由(1)知a＝1应舍去． 当a＝0时，A＝{1,0}满足集合中元素的互异性． 综上可知，a＝－1或a＝0.
1．1 集 合 1．1.1 集合的含义与表示
1．元素与集合的概念 (1)把 研究对象统称为元素，通常用 小写字母 表示． (2)把 一些元素组成的总体叫做集合(简称为 集)，通常用大写字母表示．
3.集合元素的性质特征 (1) 确定性 ； (2) 互异性 ； (3) 无序性． 4．集合相等 只要构成集合的元素 是一样的，就说这两个集合是相 等的．
元素与集合的关系
用符号“∈”或“∉”填空： (1)2________{x|x< 11}， 3________{x∈Z|－5≤x≤2}； (2)4________{x|x＝n2＋1，n∈Z}， 5________{x|x＝n2＋1，n∈Z}； (3)(－1,1)________{y|y＝x2}， (－1,1)________{(x，y)|y＝x2}． (4) 2________Q，O________N＋.
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①本题考查“∈”和“∉”的运用． ②特定的数集符号的运用． 解答本题可先弄清“∈”和“∉”指元素和集合间的关 系，及特定的数集符号的含义，再进行判断．
【解析】 (1)因为 22<( 11)2，所以 2∈{x|x< 11}．因为 {x∈Z|－5≤x≤2}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，所以 3∉{x∈Z|－5≤x≤2}． (2)令 4＝n2＋1，则 n＝± 3∉Z，所以 4∉{x|x＝n2＋1，n∈Z}． 令 5＝n2＋1，则 n＝±2∈Z，所以 5∈{x|x＝n2＋1，n∈Z}． (3)集合{y|y＝x2}的代表元素是数，集合{(x，y)|y＝x2}的代表 元素是实数对，且 1＝(－1)2，所以(－1,1)∉{y|y＝x2}， (－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}． (4) 2是无理数，Q 是有理数集，所以 2∉Q；O 是整数，自 然数 N＋是正整数集，∴O∉N＋.
5．常用数集的意义及表示
意义
全体非负整组数成的集合
组成的集合
组成的集合
所有正整数组成的集合
组成的集合
全体整数
全体有理数
名称 自然数集 正整数集
整数集 有理数集
实数集
记法
N 或___ Z
N* Q N＋
R
全体实数
6.集合的表示方法
列举法 描述法
把集合的元素 一一列出举来，并用花括号
“{}”括起来表示集合的方法
用集合所含元素的
表示集合的方法
共同特征
1．“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？ 【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对 性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么， 是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都 是一些不能够确定的对象．因此，它们都不能构成集合．
2．准确理解描述法表示集合 (1)描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共同特征的方式 来表示集合的方法．它的一般形式为{x∈I|p(x)}，其中x表示集合的 元素，I表示x的取值范围，p(x)表示元素应满足的关系．如由不等 式x－3>2的所有解组成的集合可以表示为{x∈R|x－3>2}． (2)描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号语言，如表 示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言形式：{点P|P是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}．