专题6.2 基本不等式的应用(B卷)-2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)(原卷版)

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题2.3 导数的应用(一)(A卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间:120分钟满分：160分）一、填空题(共14小题,每小题5分,共70分） 1．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为____________. 【答案】043=-+y x考点:导数的几何意义. 2．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a =。

【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==。

考点：导数的运算。

3．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+,则(2)f '= 。

【答案】0 【解析】试题分析：因为2()2(1)f x xxf '=+，所以()22(1)f x x f ''=+,令1x =,得(1)22(1)f f ''=+，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，所以()22240f '=⨯-=．考点：导数的运算;函数值的求解．4．曲线xe y =在0=x 处的切线方程是．【答案】1+=x y 【解析】试题分析：因为xy e '=,所以在0=x 处的切线斜率为01k e==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+ 考点：导数几何意义【思路点睛】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化。

以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解。

5．已知函数f(x)的导函数xx f cos 5)(+='，x ∈(－1,1)，f(0)＝0,若0)1()1(2<-+-x f x f ,则实数x 的取值范围__________.【答案】（1，2)考点：函数奇偶性单调性解不等式 6．已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间（－1，1）内，则实数a 的取值范围是______【答案】32a <<【解析】试题分析：求导函数,可得()'2321f x xax =++则由题意，方程23210xax ++=的两个不等根都在区间(-1，1）内，构造函数()2321g x x ax =++，则()()241201131010a a g g ⎧∆=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩∴32a <<考点：函数在某点取得极值的条件 7．已知函数2()(2)(ln )f x x f x x '=+-，则(1)f '= ．【答案】2 【解析】试题分析:2()(2)(ln )f x xf x x '=+-则1()2(2)(1)f x x f x''=+-，则18(2)4(2)(1)(2)23f f f '''=+-∴=81()2(1)(1)23f x x f x''∴=+-∴=考点：本题考查求导点评：求导时要把(2)f '看成常数，再令x=2就可以得到关于(2)f '的方程，求出8(2)3f '=，原来的函数就已知了.8．已知直线1y x =-+是函数1()xf x e a=-⋅的切线，则实数a =______。

2019-2020学年高二数学双测(人教必修5)基本不等式及其应用单元测试(B卷提升篇原卷版)

基本不等式及其应用单元测试(B 卷提升篇)（浙江专用）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：150分考试时间：120分钟题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1.（福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下期中联考）不等式22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A. [－1,4]B. (－∞,－2]∪[5,+∞)C. (－∞,－1]∪[4,+∞)D.[－2,5]2.(河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一下第三次月考）若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（） A. a c b c +≥- B. 2()0a b c -≥ C. ac bc >D.b bc a a c+≤+ 3.（上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末）已知函数x x f 2)(=，若b a <，设P =1[()()]2Q f a f b =+，()2a bR f +=，则（） A. R P Q <<B. P Q R <<C. Q P R <=D. P R Q =<4.（浙江省台州市2018-2019学年高一下期末）己知关于x 的不等式21x a x -++≥解集为R ，则突数a 的取值范围为( ) A. (－∞,1]∪[3,+∞) B.[1,3] C. (－∞,－3]∪[－1,+∞) D. [－3,－1]5.（浙江省台州市2018-2019学年高一下期末）.若实数x ，y 满足22228x y x y ++=，则22x y +的取值范围为（） A. [4,8]B. [8,+∞)C. [2,8]D. [2,4]6.（北京市昌平区2019届5月二模（文））若x ，y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2x +y 的最小值为1，则实数m 的值为（） A. －5B. －1C. 1D. 57.（新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下期末）正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[3,+∞)B. (－∞,3]C. (－∞,6]D. [6,+∞)8.（陕西省2019年高三第三次量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为（） A ．223+ B ．32+C ．222+D ．39．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）已知，则取到最小值时，（） A ． B ．C ．D ．10.（（福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下期中联考）设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则14a b+的最小值为( )．A. 9B. 3C. 7D.第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（浙江省绍兴市第一中学2018-2019学年高一下学期学考模拟）已知x 、y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则22(3)x y ++的最小值为__________．12.（河北省邢台市第一中学2018-2019学年高一下第三次月考）已知正数a ，b 满足22ab a b =+，则8a b +的最小值是__________． 13.（2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.14.（天津市滨海新区2019届高三质量监测（理））已知x ，y 为正实数，则22x x yx y x+++的最小值为_________.（6分）15.（天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列中，若，n *∈N ，满足，则的最小值为__________．（6分）16.（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟（文））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b ab c ++=，且△ABC 3c ，则ab 最小值为_______．（6分）17.（福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下期中联考）给出下列语句： ①若,a b正实数，a b ≠，则2233ab b a b a +>+；②若m a ,为正实数，b a <，则a m ab m b+<+； ③若22a b c c >，则b a >； ④当(0,)2x π∈时，2sin sin x x+的最小值为22，其中结论正确的是___________．（6分）评卷人得分三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 19．（2018·全国高三课时练习（理））设函数f （x ）＝mx 2－mx －1．（1）若对于一切实数x ，f （x ）<0恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于x ∈[1，3]，()5f x m <－＋恒成立，求m 的取值范围． 20.设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.21.（新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下期中）.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中12a b :＝:.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？22. （2019·安徽省定远中学高考模拟（文））已知函数()f x x x a =+-. （1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题1.2 简易逻辑(B卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“若实数a 满足a≤2，则a 2＜4"的否命题是______ （填“真"或“假”）命题．【答案】真【解析】试题分析：命题“若实数a 满足a≤2，则a 2＜4”的否命题是“若实数a 满足a>2，则a 2≥4”,为真命题考点：否命题真假 2．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定：．【答案】0,x ∃>使得sin 1x <-考点：全称命题与特称命题 3. “1a >”是“函数()cos f x a x x=⋅+在R上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件"、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：由()cos f x a x x=⋅+，求导可得;()sin ,f x a x '=-,则1a >可推出()sin 0f x a x '=->而反之，()sin 0f x a x '=-≥为增函数，推不出1a >，所以是充分不必要条件。

【考点】导数与单调性与充分与必要条件的判断4．设命题:p “若1xe>，则0x >"，命题:q “若a b >，则11a b<”,则命题“p q ∧”为_________命题．(填“真”或“假”）【答案】假【解析】试题分析：由指数函数xy e =知,若1xe>，则0x >，命题p 为真命题,对于32>-,但1132>-.则命题q 为假命题。

,p q 只要有一个为假命题， p q ∧就为假命题,,p q 都是真命题, p q ∧才是真命题.本题中p q ∧为假命题.故本题答案应填假。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题2.4 导数的应用(二)(B卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分) 1．函数21()ln 2f x xx=-的单调减区间为。

【答案】（0,1］考点：利用导数研究函数的单调性2．函数xy xe =在其极值点处的切线方程为．【答案】1y e=-【解析】试题分析：依题解:依题意得'x x ye xe =+,令'0y =，可得1x =-，∴1y e=-． ∴函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-．考点：函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程．3.函数221ln )(x x x f -=的极值是_________________。

【答案】21-【解析】试题分析：函数的定义域为()0,+∞，因为21()ln 2f x x x =-,所以,211()x f x x x x-'=-=令()0f x '=，则210x x-=，解得：1x =-（舍去），或1x = 且当()0,1x ∈时,()0f x '>，函数在()0,1上为增函数，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数在上为减函数；所以当1x =时，函数有极大值()112f =-所以，答案应填：21-。

考点:导数在研究函数性质中的应用。

4．已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图，则()y f x =有个极大值点．【答案】1考点:利用导数研究函数的极值． 5．若函数321()(23)13f x axax a x =-+-+在R 上存在极值,则实数a 的取值范围是______．【答案】)3,0( 【解析】试题分析：由题意，得2()223f x ax ax a '=-+-，因为函数321()(23)13f x ax ax a x =-+-+R 上存在极值，所以()0f x '=有两个不等实根,其判别式0)32(442>--=∆a a a，所以30<<a ，所以a 的取值范围为)3,0(．考点：利用导数研究函数的极值． 6．已知函数()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是。

高三数学(理)双基双测“AB”卷(浙江版)专题6.3基本不等式(A卷)Word版含解

班级姓名学号分数《基本不等式》测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．若正数a ，b 满足2a b +=，则14+1+1a b +的最小值是（） A ．1 B ．94C ．9D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：4)1()1(14111411+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++b a b a b a 49)425(41)1)1(41141(41=+≥+++++++=b a a b , 当且仅当1)1(411++=++b a a b 即)1(21+=+a b 时取等号，故选B ．考点：基本不等式．2．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ．18 B ．14 C ．1 D ．32【答案】A考点：1、基本不等式的应用；3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab=1，a 2+b 2+c 2=4，则ab+bc+ac 的最大值为（） A ．B ．C ．3D ．4【答案】A 【解析】试题分析：∵a 2+b 2+c 2=4，ab=1∴a 2+b 2=4﹣c 2≥2ab=2当且仅当a=b=1时取等号∴c 2≤2，∵c ＞0，∴0，a 2+b 2+c 2=4，可得（a+b ）2+c 2=6，则ab+bc+ac=1+（a+b ）c=1+c=1+当c=时，取得最大值1+2，∴ab+ac+bc 的最大值为1+2，故选A ．考点：基本不等式．4．已知,x y 为正数，且2x y +=，则21x y+的最小值为（）A ．2B ．32． 2 D ．22- 【答案】B 【解析】试题分析：211211213=(3)(32222y x x y x y x y +⋅++≥++（x+y ）(+)=,当且仅当2x y +=且yxx y =2（0,0>>y x ）即222,224-=-=y x 时取等。

故选B 考点：均值不等式求最值5．若直线2ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）恰好平分圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的面积，则的最小值（）A ．B ．C ．2D ．4 【答案】D考点：直线与圆的位置关系基本不等式6．下列说法正确的是A ．函数xx y 2+=的最小值为B ．函数)0(sin 2sin π<<+=x xx y 的最小值为C ．函数xx y 2+=的最小值为D ．函数xx y lg 2lg +=的最小值为【答案】C考点：1．基本不等式；2．对勾函数7．已知0,0a b >>，则33a b+的最小值是（）A ．10B ．．12 D ．20 【答案】C 【解析】试题分析：0a b >>，336612a b ∴+≥=≥⨯=，当且仅当1a b ==时取得等号．考点：基本不等式． 8．设)11)(11)(11(---=cb a M 满足1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C ．[)8,1 D ．[)+∞,8 【答案】D考点：均值不等式．二．填空题（共7小题，共36分） 3. 已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为__________．【答案】9考点：1．基本不等式； 10.已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为．【答案】8 【解析】试题分析：因为13310x y x y +++=，所以13310()x y x y+=-+，所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+⎪⎝⎭，令3t x y =+，则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭，而2y x x y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8．考点：1、基本不等式的应用；2、一元二次不等式的解法； 11．若正数x ，y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为．【答案】3 【解析】试题分析：1332=+y x ，所以原式变形为：335323223532323322121=+⨯≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y y x x y y x y x x y x y ，所以最小值是3．考点：基本不等式求最值12.函数)0,1(1)3(log >≠-+=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中0,0>>n m ,则nm 21+的最小值为．【答案】8考点：1．对数函数恒过点；2．基本不等式13.已知a>0，b>0，ab -（a ＋b ）＝1，求a ＋b 的最小值．【答案】222+ 【解析】试题分析：根据基本关系式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，所以原式转化为不等式就是()122≥+-⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a ，设t b a =+，所以0442≥--t t ，解得222+≥t ，所以最小值是222+．考点：基本不等式求最值14.设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=．则当zxy取得最小值时，4x y z +-的最大值为_____ 【答案】32【解析】试题分析：由已知224z x xy y =-+，所以2244113z x xy y x y xy xy y x y x--==+-≥-=，当且仅当4x yy x=，即2x y =时等号成立，则222242442466x y z y y y y y y y +-=+-+-=-+=213622y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当12y =时，()max 342x y z +-=．考点： 1．均值定理；2．二次函数求最值． 15.已知()2250,x x a a a x R -+=>∈，则x x a a -+=_______【答案】23 【解析】试题分析：225xx a a-+=，两边平方得22523x x x x a a a a --++=∴+=考点：代数式求值三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（1）已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值；（2）已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值．【答案】（1）1；（2）16 【解析】试题分析：本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.1 一元二次不等式(B卷) 含解析

班级姓名学号分数(测试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（共14小题,每小题5分,共70分） 1．不等式2230x x -++<的解集是____________________．【答案】{}|13x x x <->或【解析】试题分析：不等式变形为：2230x x -->，分解因式可得：()()310x x -+>,所以解集为{}|13x x x <->或考点：解一元二次不等式 2．若不等式2x ax b -+>的解集为{}23x x x <>或，则a b += ．【答案】11考点：1．三个二次关系；2．根与系数的关系3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2〈0的解集是（1,m),则m ＝________．【答案】2 【解析】试题分析:x=1时，a —6+ 2a =0（1）1a =—3，—32x -6x+9<0,得x 〈—3,或x 〉1，与题不合.(2）2a =2，22x —6x+4〈0，1〈x 〈2，m=2.考点：不等式4．若不等式08322≥-+kx kx 的解集为空集,则实数k 的取值范围是_________．【答案】(—3，0] 【解析】试题分析：对二次项的系数进行分类讨论，当k=0时，解集为空集符合题意；当0>k 时,不等式的解集不是空集；当0<k 时,有不等式的解集为空集可知0<∆即032<+k k,解得03<<-k ；综上得]0,3(-∈k ，答案为(—3，0]．考点:解一元二次不等式5．对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223xxy y x my ++≥++成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】]21,(-∞考点:不等式恒成立的条件和存在性不等式成立的条件及运用．【易错点晴】本题设置的不等式恒成立的问题为背景，考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时先将变量x 视为主元，由于对任意的实数x 都成立，借助二次函数的图象列出不等式0)3(4)2(22≤----my y y ，进而将不等式中的参数（包括常数和系数）分离出来,由于题设中是存在实数[]1,2y ∈，因此在解答时,,这一点很容易出错哦。

基本不等式的应用(适合高二必修五)

基本不等式的应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.1 一元二次不等式(A卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：160分)一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．不等式x x 22≥的解集是．【答案】{}20≥≤x x x 或【解析】试题分析：原式等价于022≥-x x,即()02≥-x x ，所以2≥x 或0≤x ．考点：二次不等式的解法2．不等式x 2﹣2x ＜0的解集为．【答案】{x ｜0＜x ＜2｝【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可,是基础题． 3．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ,则a 的取值范围为____【答案】3(,1]5【解析】试题分析：由22(1)(1)10a x a x ----<解集为R ，可得：（1）当210,1aa -==±时;10-<成立；（2)当11a -<<时；2230,(1)4(1)0,15a a a <-+-<-<<成立；(3）当11a a <->或时;不成立。

综上可得实数a 的取值范围；3(,1]5．考点:一元二次不等式的解法及分类思想.4．若关于x 的不等式b ax >的解集为)51,(-∞，则关于x 的不等式0542>-+a bx ax 的解集为。

【答案】4(1,)5-【解析】试题分析:由b ax >的解集为)51,(-∞ ，可得;5,1a b =-=-,则可得;2540xx --+>又变形,24540,(54)(1)0,(1,)5xx x x x +-<-+<∈-考点:一元一次不等式与一元二次不等式的解法. 5．若不等式210x ax ++≥对一切1(0,]2x ∈成立，则a 的最小值为．【答案】25-考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性．【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步:(1)分离参数，得到()a f x ≥ （或()a f x ≤)；(2）求函数的最值，得到()maxf x ＝()(min m f x n =）；（3)极端原理,即a m ≥ （a n ≤),把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题．6．已知函数f(x)＝x 2＋ax －1在区间上有最小值－2,则实数a 的值为________．【答案】－2【解析】当－2a ≤0,即a≥0时,函数f （x ）在上为增函数,此时，f(x ）min＝f(0）＝－1，不符合题意，舍去;当－2a ≥3,即a≤－6时,函数f(x ）在上为减函数，此时，f （x ）min ＝f （3)＝－2，可得a ＝－103，这与a≤－6矛盾；当0<－2a 〈3，即－6〈a 〈0时，f(x ）min ＝f （－2a ）＝－2，可解得a＝－2，符合题意．综上a 的值为－2. 7．已知不等式24220xax a -++≤的解集为M ，若[1,4]M ⊆，则实数a 的取值范围是_____________。

高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案

§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案－2解析由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析方法一设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b，从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18，当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。

高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案

§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案－2解析由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析方法一设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b，从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18，当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.2 基本不等式的应用(B卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分:160分）一、填空题（共14小题，每小题5分,共70分)1．已知a 〉0，b>0，ab -（a ＋b ）＝1,求a ＋b 的最小值．【答案】222+考点:基本不等式求最值 2．已知()2250,xx aaa x R -+=>∈，则x x a a -+=_______【答案】23 【解析】试题分析：225x x aa-+=,两边平方得22523x x x x a a a a --++=∴+=考点：代数式求值3．若正数x ，y 满足230x y +-=，则2x y xy+的最小值为．【答案】3 【解析】试题分析：1332=+y x ，所以原式变形为：335323223532323322121=+⨯≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y y x x y y x y x x y x y ，所以最小值是3．考点：基本不等式求最值4．已知,x y 为正数，且13310x y xy+++=，则3x y +的最大值为．【答案】8考点：1、基本不等式的应用；2、一元二次不等式的解法； 5．已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为．【答案】3 【解析】试题分析：函数变形为11()112(1)1311f x x x x x =-++≥-⨯+=--111-=-x x 时等号成立，因为1>x ，所以解得2=x 时,函数的最小值是3．考点：基本不等式求最值6．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是，yx y x 2422++是．【答案】22，2【解析】2x y +222222=⋅=≥xy xy 222)2(214y x y x +≥+，所以有y x yx 2422++222122212≥+=++≥）（）（y x y x y x ，这两个不等式取等号时都需满足相同的条件y x 2=，所以它的最小值为2．考点：不等式性质的运用．【一题多解】本题也可利用对勾函数来求最小值:xy 1=，xx y x 22+=+,由对勾函数的最值可知当2,2==x xx 即时,xx 2+取得最小值22，所以222≥+y x ；2222242()44222x x x y x x x y x x x x ++-+==+++ 242x x x x=+-+，令x x t 2+=,原式4t t =-在()0,+∞为增函数，因为t 的最小值为22,所以tt 4-的最小值为2．7．已知两个正实数y x ,满足1=+y x ,则使不等式x1+y 4≥m 恒成立的实数m 的取值范围是．【答案】(]9,∞- 【解析】试题分析：()1414455249y xx y xyxy xy⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，最小值为99m ∴≤考点:均值不等式求最值 8．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立,则实数m 的最大值为。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题6.2 基本不等式的应用(A卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分:160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知0>x ,那么xx 43+的最小值为。

【答案】43考点:重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错,使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性).平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 2．已知正实数,a b 满足1a b ab+=,则2a b +的最小值是。

【答案】223+【解析】试题分析：由题意得111a b+=，则1122(2)3322b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥．考点：重要不等式。

【易错点晴】本题主要考查的重要不等式,属于中档题。

但是本题比较容易犯错,使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，很多考生经常忽视其中若干条件而“触雷"，如果不符合条件则:非正化正、非定构定、不等作图（单调性）。

平时应熟练掌握双钩函数的图像,特别是还需加强构非定构定和不等作图技巧的训练,才能以不变应万变。

3．设23=+y x ,则函数y xz 273+=的最小值是 .【答案】9 【解析】试题分析：932733=≥+=+y x y xz ，故最小值为9。

考点:基本不等式。

4．在等式m y x y x m yx则的最小值为若中,65,0,0,94+>>=+的值为【答案】30考点：基本不等式的应用 5．定义运算“⊗”:22x y x y xy-⊗=(,0x y R xy ∈≠，）。

当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 . 【答案】2【解析】由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy--⊗==,因为，00x y >>，,所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y x xy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=，当且仅当2x y =时,(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是2.考点：1.新定义运算；2。

专题6.1 不等式(B卷)-2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷(解析版)

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 已知定义在R 上的函数()12-=-mx x f (m R ∈)为偶函数．记()()m f c f b f a 2,log ,log 52431==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则c b a ,,的大小关系为 A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】B考点：函数的性质，函数值的比较大小． 2. 已知0,0x y >>，若2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．4m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<< 【答案】D 【解析】试题分析：2282y x m m x y +>+恒成立2min 282y x m m xy ⎛⎫⇔+>+ ⎪⎝⎭，288y x x y +≥=，当且仅当28y xx y =即2y x =时等号成立，所以min 288y x xy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即228m m +<，解之得42m -<<，故选D.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式的解法.【名师点睛】本题考查基本不等式与一元二次不等式的解法，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.3. 已知()()23f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是()1,0x b a b +<>，则,a b 之间的关系是（） A ．2b a >B ．2a b <C ．2b a ≤D ．2a b ≥ 【答案】D考点：绝对值不等式，充要条件的判断． 4. 不等式252(1)x x +-≥的解集是（ ) A.132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B.132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，，D.(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，【答案】D 【解析】试题分析：()2252521(1)x x x x +⇔+≥--≥且1x ≠ 22530x x ⇔--≤且1x ≠，化简得解集为 (]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，考点：分式不等式解法5. 已知方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间(1,0)-内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是（）A ．04a <<B ．12a <<C ．22a -<<D ．3a <-或1a > 【答案】B 【解析】试题分析：令2224f x x ax a =-+-（），∵方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间（-1，0）内，另一个实根大于2，()()()222102300040122040f a a f a a f a a ⎧-+-⎪∴-∴⎨⎪-⎧⎪∴⎨⎩⎩⎪＞＞＜＜,＜＜＜＜,，故选B. 考点：一元二次方程根的分布问题6. 变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是（）A ．{}3,0-B ．{}3,1-C ．{}0,1D ．{}3,0,1- 【答案】B考点：简单线性规划．【易错点睛】作出不等式对应的平面区域，利用z ax y =+的取得最大值的最优解有无穷个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．本题主要考查了线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合z ax y =+取得最大值的最优解有无穷个，利用数形结合是解决本题的根据．7. 变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（）A.3k <-B.1k >C.31k -<<D.11k -<< 【答案】C 【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域，由z kx y =-得y kx z =-，要使目标函数z kx y =-仅在点(0,2)A 处取得最小值，则阴影部分区域在直线y kx z =-的下方，∴目标函数的斜率k 满足31k -<<.考点：线性规划.8. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A ．2k+1B ．2（2k+1）C ．112++k kD ．132++k k 【答案】B考点：数学归纳法 9. 如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.10. 已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1 B．2 D．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-，故选D ．考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．11. 正数,,x y z 满足：534z x y z x -≤≤-，ln ln z y x z z ⋅≥+⋅，则yx 的最大值为（）．A.7B.8C.9D.10 【答案】A 【解析】试题分析：534z x y z x -≤≤-，化为：354x y xz z z-≤≤-．z lny x z lnz ⋅≥+⋅，化为：xz y e z ≥，令x y X Y z z ==，，不等式化为：534XX Y X Y e-≤≤-≥⎧⎨⎩ ，y y x Yx z z X ==．画出534XX Y XY e-≤≤-≥⎧⎨⎩的可行域如图阴影部分：YX 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，由图象可知OA 连线的斜率最大，由534X Y Y X⎨⎩--⎧＝＝，可得7212A （，），y x 的最大值为Y X的最大值：7．故选：A ．考点：简单线性规划．12. 已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在约束条件010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩的最小值为__________．考点：线性规划求最值 14. 已知函数()12x f x a -=+，()()1g x bf x =-，其中a ，R b ∈，若关于x 的不等式()()f x g x ≥的解的最小值为2，则a 的取值范围是．【答案】(]1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：本题考查指数函数、复合函数的图象和性质、最值的运用及不等式的运用.检测借助函数的图象与性质分析问题解决问题的能力. 因x x x f ---==-22)1(11，，故x xb b x g )21(2)(⋅=⋅=-，即 x x b a )21(21⋅≥+-，因为2,021≥≥+-x a x ，所以2-≤a ，又因为2≥x ，所以41)21(≤x ，所以41->a ，所求实数a 的取值范围是，(]1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.考点：指数函数、复合函数的图象和性质、最值等概念及运用所学知识分析问题解决问题的能力.15. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．【答案】3.【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系16. 对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223x xy y x my ++≥++成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】]21,(-∞ 【解析】试题分析：由2223x xy y x my ++≥++得03)2(22≥--+-+my y x y x ,由题设可得0)3(4)2(22≤----my y y ,即016)1(432≤+-+-y m y ,也即y y m 143)1(4-≤-,而yy 163-的最大值为286-=-,故211-≤-m ，故应填]21,(-∞.考点：不等式恒成立的条件和存在性不等式成立的条件及运用．【易错点晴】本题设置的不等式恒成立的问题为背景,考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时先将变量x 视为主元,由于对任意的实数x 都成立,借助二次函数的图象列出不等式0)3(4)2(22≤----my y y ,进而将不等式中的参数(包括常数和系数)分离出来,由于题设中是存在实数[]1,2y ∈,因此在解答时,应求函数yy y h 163)(-=的最大值,这一点很容易出错哦. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤．（1）求实数,a b 的值；（2）解关于x 的不等式：0>--bax cx （c 为常数）【答案】（1）2,1==b a （2）当2>c 时解集为{}2|<>x c x x 或；当2=c 时解集为{}R x x x ∈≠,2|；当2<c 时解集为{}c x x x <>或2|当2<c 时解集为{}c x x x <>或2|．考点：一元二次不等式的解法 18. 已知函数()|1||1|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥23,23x x x 或；（2）21-<<a（2）根据含绝对值不等式的性质：()()21111=+--≥++-x x x x ，所以不等式2()f x a a ≥-在R 上恒成立等价于22≤-a a ，解得：21-<<a考点：1．含绝对值不等式的解法；2．含绝对值不等式的性质；3．二次不等式的解法． 19. 解关于x 的不等式04)22(2>++-x a ax【答案】若,0=a 则解集为}2|{<x x ；若,0<a 则解集为}22|{<<x ax ；若,10<<a 则解集为2|{<x x 或}2a x >；若,1=a 则解集为}2|{≠x x ；若,1>a 则解集为2|{>x x 或}2ax <【解析】试题分析：首先分解因式．注意对0=a 进行讨论；当0≠a 时对方程()()022=--x ax 的根进行大小的讨论进行分类，在这一过程中需要注意a 的正负．考点： 1．含参的一元二次不等式；20. 已知函数()3|2|f x x =--，()2||g x x a =-（a R ∈）．（1）当1a =时，解不等式()()f x g x <；（2）不等式()()2f x g x ≤+在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17(,)(,)33-∞+∞ ；（2）1a ≤或3a ≥【解析】试题分析：（1）三种情况解不等式组，然后求并集即可；（2）令 ()()2()|2|2||1F x g x f x x x a =+-=-+--，只需()F x 的最小值为非负数即可. 试题解析：（1）当1a =时，()()f x g x <，即|2|2|1|3x x -+->，得2,2223x x x ≥⎧⎨-+->⎩或12,2223x x x <<⎧⎨-+->⎩或1,2223x x x ≤⎧⎨-+->⎩，解得73x >或x ∈∅或13x <， ∴不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞ ．（2）令()()2()|2|2||1F x g x f x x x a =+-=-+--，∴当2a >时，321,2,()23,2,323,.x a x F x x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪--≥⎩当2a =时，35,2,()37, 2.x x F x x x -+≤⎧=⎨->⎩ 当2a <时，321,,()21,2,323, 2.x a x a F x x a a x x a x -++≤⎧⎪=-+<<⎨⎪--≥⎩∴()F x 的最小值为(2)F 或()F a ，则()0,(2)0,F a F ≥⎧⎨≥⎩解得1a ≤或3a ≥．考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.21. 设b a 、为正实数，且2211=+ba . （1）求22b a +的最小值；（2）若32)(4)(ab b a ≥-，求ab 的值.【答案】（1）1；（2）1.考点：基本不等式的应用.22. 已知函数()()21,1f x x g x a x =-=-. （1）若关于x 的方程()()f x g x =的只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a <；（2）(],2-∞-.（2）不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立，即211x a x -≥- （*）对x R ∈恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a R ∈；②当1x ≠时，（*）可变形为211x a x -≤-，令()()()()2111111x x x x x x x ϕ+>⎧-⎪==⎨-+<-⎪⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a ≤-，结合①②得，实数a 的取值范围是(],2-∞-．考点：1、已知方程根的个数求参数范围；2、不等式恒成立求参数范围.：。

2017届高三理数同步单元双基双测“AB”卷专题2.3 导数的应用(一)(B卷) 含解析

班级姓名学号分数(测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题(共12小题，每题5分,共60分） 1. 已知直线a y =与函数1331)(23+--=x x xx f 的图象相切，则实数a 的值为( ）A ．26-或38B ．1-或3C ．8或38- D ．8-或38【答案】D 【解析】试题分析：即求导数为零的极值点，令()'2230,1,3f x xx x x =--==-=，()()81,383f f -==-.考点：导数与切线．2. 设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是，则点P 横坐标的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题． 3。

等比数列{}na 中，182,4aa ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f =(）A ．62 B ．92 C ．122 D ．152【答案】C 【解析】试题分析：128'()()()()f x x a x a x a =---28138()()()()()x x a x a x x a x a x a +--+---+17()()x x a x a +--，所以4412123818'(0)()(24)2f a a aa a a ===⨯=．故选C ．考点：导数的运算，等比数列的性质． 4. 若点P 是曲线y=x xln -2上任意一点，则点P 到直线y=x —2的最小距离是（） A 。

2 B 。

1 C.22D.3【答案】A考点:本题主要考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义。

5。

在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：)0xy上任意一点，l是曲=x(1>线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则以下结论正确的是A．OAB∆的面积为定值2B．OAB∆的面积有最小值为3C．OAB∆的面积有最大值为4D．OAB∆的面积的取值范围是[3,4]【答案】A考点：1、求切线方程；2、求三角形的面积。

2019届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)：专题6.2 基本不等式的应用(B卷)

3．
5
（2骤)
15.
16（1
（2）利用（1）的结论求函数.
【答案】（1）证明见解析：（2
【解析】
考点：1、基本不等式；2、函数最值．
17．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为已知此生产线的年产量最大为210吨.
(Ⅰ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】(Ⅰ) 年产量为200吨时，最低成本为32万元；(Ⅱ) 当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利润是.
【解析】
2n c n ++<
2n c n +
+>1221n n +++=+11111
12233412n c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+
+=+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
112n -<+， 2n c n +
+<定义法求数列通项； C. ，求RP ·RQ 的最小值；，问四边形PRQT 的面积是否存在
1(RP RQ x ∴=+21222(1)1k x x k k
+++≥1616RP RQ RP RQ ∴≥，即最小值为
考点：抛物线的定义；根与系数的关系；基本不等式.。

2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题5.2 数列的综合(A卷) 含解析

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．若数列{}n a 满足()*111,2n n a a a n N +==∈，则4a =______；前8项的和8S =______．（用数字作答）【答案】8、255 【解析】试题分析:由()*111,2n n aa a n N +==∈，可知数列{}n a 为等比数列，故48a =,8255S =。

考点：等比数列．2．已知数列｛a n ｝的前n 项和为nS ，且nS ＝1232-+n n,则数列{a n }的通项公式na ＝．【答案】⎩⎨⎧-=164n an21≥=n n 考点：已知nS 求na3．设数列{}na 的通项公式为2nan bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列,则实数b 的取值范围为．【答案】()3,-+∞【解析】试题分析:因该函数的对称轴为2b n -=，结合二次函数的图象可知当232<-b ,即3->b 时,单调递增,应填()3,-+∞. 考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一，也高考和各级各类考试的重要内容和考点。

解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，借助二次函数的对称轴进行数形结合，合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴2bn -=放在1的左边而得12≤-b ,而得2-≥b 的答案.这是极其容易出现的错误之一.4．数列{a n } 满足a 1=1，a n+1=2a n +3（n ∈N ＊），则a 4= ．【答案】29故答案为:29．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．5．已知：数列{}na 中，1=9a ，121222=+++,23521nn a a a a n n -≥-，则100a 的值为．【答案】12065【解析】试题分析：由121222=+++,23521n n a a a a n n -≥-得11212222=+++,352121n n n a a a a a n n +-+-+两式相减得：11223,2,22121n n n n n n a a a n a a n n n +++-=≥⇒=≥++，所以1009998212012011992032017201212061991991972011995535a a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=考点：叠乘法求项6．数列{}na ,{}nb 的前n 项和分别为nS 和nT ,若231nnSnT n =+则55a b ＝________【答案】914【解析】试题分析：()()19559195599218929228142a a a a Sb b b b T +=====+考点：等差数列性质及求和公式 7．已知数列{}na 的前n 项和542nnS-=-⨯，则其通项公式为【答案】23,12,2,nnn an n N-=⎧=⎨≥∈⎩ 考点：数列递推关系8．数列{}na 的通项公式为2nan n λ=+，对于任意自然数(1)n n ≥都是递增数列，则实数λ的取值范围为．【答案】()3,-+∞ 【解析】试题分析：由()()22211121nn a n n a n n n n n λλλλ-=+⇒=-+-=+-+-,因为{}na 是递增数列，所以()102nn aa n -->≥，即210n λ-+>，也即12n λ>-,因为2n ≥，所以3λ>-.即实数λ的取值范围为()3,-+∞。

高三数学基本不等式的应用

4
三、深化
• 证明：
x 3 2. x 1
2 2
四、应用
例3、用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围成的矩形的面积最大？［练习］用基本不等式求函数y=2x2+4x-7的最小值。［作业］课本P.94.练习第2题，P.95. 4，5题
高三数学基本不等式的应用高三数学先修不等式高中数学基本不等式基本不等式应用题基本不等式的应用高中数学不等式题型高中数学不等式公式数学必修五不等式初中数学不等式高中数学不等式视频
基本不等式的应用
一、温故
• 1、若P＞0，则P与9P的算术平均数是＿ 5P 3P ＿＿＿，几何平均数是＿＿＿＿； • 2、两个正数(a+b)与(a-b)的算术平均数 a 是＿＿＿＿ ;几何平均数是＿＿＿＿； a b 1 • 3、若a>1，则(a-1)与的几何平均数 a 1 1 是＿＿； • 4、基本不等式是 ab a b (a 0, b 0) ＿＿＿［练习］证明：
（ 1 ）a b 2ab; (2) x 1 2x;
2 2 2
1 (3)a 3; a -1
1 (4) x -2(x 0). x
三、深化
• 例2、已知函数
1 yx , x (-2, ), x2
• 求此函数的最小值。
［练习］P.91.

专题6.2 基本不等式的应用(B卷)-2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)(原卷版)

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