21-1.1 一元二次方程概念

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1、一元二次方程的定义及解法

第一讲一元二次方程的定义及解法1.1 一元二次方程的定义知识网络图定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．22（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（）A ．1 B．3 C．0 D．1 或33．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（）A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5课后练习1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或152．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（）A ．2016B ．2018 C．2020 D．20223．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于1.2 直接开平方法知识概述1．直接开方法解一元二次方程：（1）直接开方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法（2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义课堂小练1．（2017 春?费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 课后练习1．（2017 秋?天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 1.3 配方法4． 5． A ． 0 B ．1 C ．2 2017 秋?蓬溪县期末）关于 A ．1B ．﹣ 12017 秋?常熟市期末）已知 A ． 2015 D ．1 或 2x 的一元二次方程（C ．±12元二次方程 x 2﹣ xB ．2016C ．2018 22a ﹣ 1) x 2+2ax+1 ﹣ a 2=0 有一个根是 0，则D ．0﹣ 2=0 的一个根是 m ，则 2018﹣ m 2+m 的值是（ D ． 2020（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解可直接开平方求解，两根是2）4（2x ﹣1）2=36．2)x 2﹣2x ﹣4=0．②形如关于 x 的一元二次方程知识概述1．配方法解一元二次方程：（1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法 .（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式：（3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 移项：将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边； ②化系数为 1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤ 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解课堂小练1．（ 2018?临沂）一元二次方程 y 2﹣ y ﹣ =0 配方后可化为（）A ．（y+ ） 2=1B ．（y ﹣ ）2=1C ．（y+ ）2=D ．（y ﹣ ）2=22．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程 x 2﹣ x ﹣1=0 时，应将其变形为（）2 2 2 2A ．（x ﹣ ） =B ．（x+ ） =C ．（x ﹣ ） =0D ．（ x ﹣ ） =3．（ 2018?中江县模拟）用配方法解方程： x 2﹣7x+5=0 ．课后练习上方程用配方法变形正确的是（1．（ 2018?秀洲区二模）在《九章算术》勾股”章里有求方程 2x +34x ﹣71000=0的正根才能解析的题目，以2A ．（x+17 ） 2B ．（x+17）2=71289 2C ．（x ﹣17）2=70711 2D ．（x ﹣17）2=712892．（2017 秋?定安县期末）将一元二次方程 x 2﹣ 4x ﹣ 6=0化成（ x ﹣ a ） 2=b 的形式，则 b 等于（）［来A ． 4B ． 6C ． 8D ． 103．（2018?宁河县一模）解下列方程：21）x 2+10x+25=022） x 2﹣ x ﹣1=0．4．（2017?广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法知识概述1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，2. 一元二次方程根的判别式①当时，原方程有两个不等的实数根②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根课堂小练1．（2016 秋?通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（A ．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0 C．x2﹣100x+2500=0 D ．2x2+3x ﹣1=0 2．（2016秋?惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0 的解是（）A ．x1 =1+ ，x2=1﹣B．x1=2+ ，x2=2﹣C．x1=1+ ，x2=1﹣ D ．x 1=2+ ，x2=2﹣[来源学§科§网Z§X§X§K]3．（2018?和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．课后练习1．解方程2（1）3x2+5x+1=0 ．1.5 因式分解法知识概述1.用因式分解法解一元二次方程的步骤1）将方程右边化为0；2）将方程左边分解为两个一次式的积；3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）要点诠释：22)2x2﹣7x+6=03）4x2﹣3=12x（用公式法解）24）2x2+3x=1 （用公式法解），十字相乘法等[来源学#科# 网 Z#X#X#K]（ 1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（ 2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；（ 3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式 . 课堂小练1．（ 2018?泸县模拟）解方程： x （x ﹣1）=4x+6 ．2．（2017 秋?白银期末）解方程：（1）3（ x ﹣ 1） 2=x （x ﹣1）课后练习1．解方程（1） 4x 2﹣ 8x+3=0（2）x （x+6）=7 （3）2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）22）4）3x（x﹣1）=2（x﹣5）x（x+5）=14；6）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．1）[来源学#科# 网Z#X#X#K]。

高一数学知识点全部总结

高一数学知识点全部总结一、代数1.1 一元二次方程一元二次方程是高一数学的重点内容之一，一元二次方程的定义是形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、公式法等。

1.2 不等式高一数学的不等式内容主要包括一元一次不等式、一元二次不等式以及一元三次不等式的求解方法，包括图像法、取值范围法、代数法等。

1.3 二次函数二次函数是高一数学代数部分的重点内容，涉及了函数的定义、性质、图像、极值、单调性、解析式等多个方面的内容。

1.4 基本初等函数高一数学还包括了基本初等函数的概念和性质，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、性质及其在实际问题中的应用。

1.5 绝对值函数绝对值函数也是高一数学中的一个重要内容，主要包括了绝对值函数的性质、图像及其在实际问题中的应用。

1.6 平面直角坐标系中的直线和圆平面直角坐标系中的直线和圆也是高一数学的重要内容，主要包括了直线的方程、性质、圆的方程、性质及其在实际问题中的应用。

1.7 数列数列也是高一数学的一个重要内容，包括等差数列、等比数列、递推数列等的概念、性质、求和公式及其在实际问题中的应用。

1.8 集合与函数高一数学的内容还包括了集合的基本概念、基本运算、集合的关系和函数的概念、性质、运算、基本初等函数的图像等内容。

1.9 二项式定理二项式定理是高一数学中的一个重要概念，包括二项式的展开式、二项式系数、二项式定理的应用等方面的内容。

1.10 逻辑与命题关系逻辑与命题关系也是高一数学的一个知识点，主要包括了命题、充分必要条件、等价命题、逻辑联结词、命题公式等内容。

二、几何2.1 几何图形的性质高一数学的几何内容主要包括了基本的几何图形的性质，包括直线、角、三角形、四边形、圆等的基本性质、判定方法和应用题。

2.2 相似三角形相似三角形是高一数学中的重点内容，主要包括了相似三角形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。

九年级数学一元二次方程实际应用

九年级数学一元二次方程实际应用大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。

不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。

你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！1. 一元二次方程的基础知识首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。

简单来说，一元二次方程就是形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。

听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。

1.1. 生活中的例子举个简单的例子吧。

如果你家有一个小花园，你想种一排花。

假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。

假设花间距是2米，而你想要种6排花。

你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。

1.2. 小故事比如说，小明决定在他家花园里种花。

他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。

经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。

经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。

2. 一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。

下面我们来看几个实际应用的例子。

2.1. 解决问题想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。

如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。

这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。

2.2. 购物打折还有一个常见的应用场景，就是购物打折。

比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。

假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。

1.1一元二次方程(1)

1．1 一元二次方程教学目标1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．2.根据实际问题，建立数学模型，类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．3.一元二次方程的一般形式及其有关概念．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【学习过程】一、问题情境学生活动：列方程．问题(1) ：两个连续整数的积为30，求这两个整数？分析：若设较小的整数为x，那么较大的整数是______，根据题意建立方程：____________，整理得：____________。

问题(2)：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？分析：若假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．问题（3）：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？分析：假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．思考：如何建立一元二次方程的数学模型？二、探索新知探究活动：请思考并回答下面问题．(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？(2)各个未知数项中，未知数的最高次数是几次？(3)方程中等号两边有分式或无理式吗？点拨：(1)都只含一个未知数x；(2)它们的最高次数都是2次的；(3)都是整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．即时训练：将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．例2．要使(k+1)x|k|+1+(k–1)x+2=0是一元二次方程，则k=_______.分析：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的三个要素：①只含一个未知数；②未知数的最高指数为2；③二次项系数a≠0；④方程为整式方程。

新人教版九年级数学上册：21章一元二次方程导学案

x新人教版九年级数学上册：21．1 一元二次方程（1）导学案学习内容：学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其相关的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题．学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．学习过程：（阅读教材第2 至3页，并完成预习内容。

）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.这样的方程叫做一元二次方程小结：一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。

一元二次方程专题讲义

1 =0 2
(3）2x2+1=3x
（4）3x2-6x+4=0
5
整理人：王子明
九年级上第一章一元二次方程专题讲义
知识点 3：公式法（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac≥0 时，将 a、 b、c 代入式子 x=
b b 2 4ac 就得到方程的根． 2a b b 2 4ac 叫做一元二次方程的求根公式． 2a
知识点 4：因式分解法依据 A.B=0 则 A=0 或 B=0 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， ※ 方程形式：如
ax m 2 bx n 2
，
x a x b x a x c
2

公式： x
b b 2 4ac 2 , a 0, 且b 4ac 0 2a
考点：用公式法解方程例 1 用公式法解下列方程．（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2- 2 x+
ห้องสมุดไป่ตู้
1 =0 2
（4）4x2-3x+2=0
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整理人：王子明
九年级上第一章一元二次方程专题讲义
2
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整理人：王子明
九年级上第一章一元二次方程专题讲义
1.4 根的判别式及应用课标知识与能力目标 4.不解方程判断方程根的情况 5.根据方程根的情况确定字母参数的取值范围 6.应用根的判别式证明方程根的情况 7.构造一元二次方程，应用根的判别式解决相关的存在性问题考点 1：不解方程判断方程根的情况例 1 下列四个结论中，正确的是 ( )

一元二次方程概念

一元二次方程点击一：一元二次方程的定义一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。

（1）x 2+x1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0（3）x+12-x =4（4）m 3－2m+3=0 （5）22x 2－5=0（6）ax 2－bx=4针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是。

点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.针对练习3: 把方程(1－3x )(x +3)=2x 2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习3: 若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2009的值.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

第二十一章一元二次方程复习课教学设计2024-2025学年人教版数学九年级上册

大单元设计格式要求单元分析依据新课标的理念，教科书在编排上注意螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断地深化对核心概念的理解。

如在方程的教学中，教科书改变了以往代数教材“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，是方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。

从教学内容来看，一方面一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。

从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。

当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。

一元二次方程又是以后学习的知识基础，这一章可以说是起到了承上启下的作用。

初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现例如，换元法、因式分解法、配方法等。

另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位。

单元主题第21章一元二次方程学习目标低阶目标：1)了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转换、降次等数学思想；2)通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系；高阶目标：3)能够利用一元二次方程解决有关实际问题，利用一元二次方程解决实际问题难点在于找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。

，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。

单元评价即单元学业质量标准1.1能理解与掌握一元二次方程及其有关的概念。

1.2能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

1.3能完成一元二次方程求根公式的推导。

1.1 一元二次方程教学设计

章节名称21.1 一元二次方程编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1）理解一元二次方程的概念，能够判断一元二次方程；2）理解一元二次方程的一般形式，正确识别一般式中的二次项及其系数、一次项及其系数及常数项；3）理解一元二次方程的根的概念。

过程与方法:回顾一元一次方程的知识引入一元二次方程的概念，通过对实际生活中遇到的问题列出一元二次方程，归纳一元二次方程特点，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。

情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

教学重点一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点将一元二次方程化成一般形式及一元二次方程的根的理解。

板书设计21.1一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)。

一元二次方程解的概念：能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。

方程的解也叫做根。

教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【知识点回顾】师：同学们你们还记得之前学的一元一次方程的概念吗？生：一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数最高次数是1，等号两回顾一元一边都是整式，这样的方程叫一元一次方程。

一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a≠0）. 【情景导入】师：现有四个实际生活中遇到的问题，根据题干信息列方程，化简方程，观察所得结果，你发现了什么？[多媒体展示][情景引入]问题一：正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？问题二：有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

一元二次方程知识点总结及例题解析

- 1 - 一元二次方程一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2¹=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22³--±-=二）)0a (0c bx ax 2¹=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac 4b 2-D ＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根；2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；3、当Δ< 0时方程无实数根时方程无实数根. .4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）时方程有两个实数根（方程有实数根）; ;5、ac<0时方程必有解时方程必有解,,且有两个不相等的实数根且有两个不相等的实数根; ;6、c=0c=0，即缺常数项时，方程有，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.0.另一个根为另一个根为ab-7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++的两个实数根，即①abx x 21-=+ac x x 21=·（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于5656，若存在，求出，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++可变形为()()0x x xx a 21=++的形式。

1.1一元二次方程的概念《湘教版九年级上册》(1)

2
7
0
－4
抢答：
一元二次方程
2
二次项一次项常数项系数系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 ax 2 bx的形式,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不
去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为(x－4) 尺,长为 (x－2) 尺,依题意得方程：
ax bx c 0(a, b, c是常数项，a 0)
2
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
由上面两个问题，我们可以得到两个方程：
(35 2 x) 900 0. 即:4 x 2 140 x 325 0
2
0.01t 2t 0.
2
1、上述两个方程有什么共同特点？ 2、与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？ 1、上面两个方程整理后含有一个 ___未知数,它们的最高次数是 2 ___ ,等号两边是整 __ 式。 2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？请定义。

1.1 一元二次方程(八大题型)

1.1一元二次方程考点一、一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.考点二、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.考点三、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.题型1：一元二次方程的概念1．下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列叙述正确的是（）A ．形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B ．方程2434x x +=不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程3．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①25x x =；②()22360x --=；③21x =；④27(2)7x x x -=；⑤2120x x +-=．A ．1B ．2C ．3D ．44．下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x+=；④20x a -=（a 为任意实数）1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．方程2x 2﹣5x ＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．2，5，4B ．2，﹣5，4C ．﹣2，﹣5，4D ．2，﹣5，﹣47．把2(2)43x x x x -=-化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．25440x x +=-B ．25440x x --=C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=题型3：根据一元二次方程的概念确定参数9．已知（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．10．当m =___________时，方程(2150m m xmx --+=是一元二次方程．11．关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，则k =________．12．若方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．13．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-14．要使方程()()2310a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠﹣1D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠015．关于x 的方程（m 2﹣4）x 2＋（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足______时，方程为一元二次方程，当m 满足______时，方程为一元一次方程．16．关于x 的一元二次方程(1)2||10m x x m -++-=，常数项为0，求m 的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得||10m -=，所以1m =±．小轩：由题意，得||10m -=，且10m -≠，所以1m =-．其中解题过程正确的是（）A ．两人都正确B ．小轩正确，小莉不正确C ．小莉正确，小轩不正确D ．两人都不正确题型4：一元二次方程的解17．若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有一个解为1x =-，则m 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．418．若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1219．已知x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．﹣1题型5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形20．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．21．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2022B ．2020C ．2019D ．202122．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为（）．A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算23．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法24．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a ，b ，c 满足a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣1，0C ．1，﹣1D ．无法确定25．关于x 的方程()2220k x kx +--=必有一个根为（）A ．x=1B ．x=-1C ．x=2D ．x=-226．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202227．如果a ，b ，k 均为整数，则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有()A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个28．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（）A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．12020题型7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题29．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是___．30．若(),ab a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n<<<B ．m n a b<<<C ．a m n b <<<D ．m a b n<<<31．设a 、b 是整数，方程x 2+ax +b =022a b ab+的值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-1题型8：一元二次方程的解的估算32．根据表格估计方程x 2+2x =6其中一个解的近似值．x 1.63 1.64 1.65 1.66…x 2+2x5.91695.96966.02256.0756…根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）A．2019B．2018C．0D．2020答案与解析题型1：一元二次方程的概念1．下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．解：①x 2﹣5x ＝2022，是一元二次方程；②20ax bx c ++=，当a =0时不是一元二次方程；③2316xx +=，是一元二次方程；④()()2261x x x -+=+，整理后不含二次项，不是一元二次方程，所以，一定是关于x 的一元二次方程的是①③，共2个，故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．下列叙述正确的是（）A ．形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B ．方程2434x x +=不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，可得答案．解：A ．形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，故A 不符合题意；B ．方程2434x x +=的一般形式是24340x x +-=，常数项是4-，故B 不符合题意；C ．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C 不符合题意；D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键．3．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①25x x =；②()22360x --=；③21x =；④27(2)7x x x -=；⑤2120x x+-=．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】2的整式方程．①变形为250x x -=，是一元二次方程；②()22360x --=，整理变形为42063x x -+=，最高次数为4，不是一元二次方程；③21x =，变形为210x -=，是一元二次方程；④27(2)7x x x -=变形为140x =，不是一元二次方程；⑤2120x x+-=，是分式方程；故①③满足，共有2个一元二次方程故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．4．下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x+=；④20x a -=（a 为任意实数）1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x+=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．题型2：一元二次方程的一般形式5．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【答案】A 【解析】【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为2310,x x --=从而可得答案．解：∵(1)(1)3x x x +-=，∴213,x x -=2310,x x \--=∴方程的一般形式为：2310,x x --=故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：()200++=≠ax bx c a ”是解本题的关键．6．方程2x 2﹣5x ＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．2，5，4B ．2，﹣5，4C ．﹣2，﹣5，4D ．2，﹣5，﹣4【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：∵方程2x 2﹣5x ＝4化成一般形式是2x 2﹣5x ﹣4＝0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．7．把2(2)43x x x x -=-化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．【答案】230x x -=31-0【解析】【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可．解：2(2)43x x x x -=-，，去括号：22243x x x x -=-，移项合并同类项：230x x -=，∴二次项系数为：3；一次项系数为：1-，常数项为：0；故答案为：230x x -=；3；1-；0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：20(a 0)++=≠ax bx c 是解题的关键．8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．25440x x +=-B ．25440x x --=C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=【答案】B【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．解：(()2210x x x -+-=，去括号得：x 2-5+4x 2-4x +1=0，整理得：5x 2-4x -4=0．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键．题型3：根据一元二次方程的概念确定参数9．已知（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．【答案】－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m -1≠0，且212m +=，解答即可．∵（m －1）21m x +＋3x －5＝0是一元二次方程，∴m -1≠0，且212m +=，∴m -1≠0，且1,1m m ==-，∴1m =-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．10．当m =___________时，方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．∵(2150m m x mx --+=是一元二次方程，∴212m -=且0m ≠，解得m =【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，则k =________．【答案】1-【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．解：关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，1012k k ì-¹ï\í+=ïî①②由①得：1,≠k 由②得：1,k =±所以 1.k =-故答案为：1-【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．12．若方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．【答案】2-【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,由题意得:22022m m -≠⎧⎨-=⎩解得:m =-2.故答案为：2-【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.13．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【答案】B【解析】【分析】把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．解：把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，得m 2-9=0，解得m =-3或3，当m =3时，原方程二次项系数m -3=0，舍去，∴m =-3故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.14．要使方程()()2310a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠﹣1D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠0【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a -3≠0，a ≠3．故选B ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．当a =0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b =0或c =0时，上面的方程在a ≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．15．关于x 的方程（m 2﹣4）x 2＋（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足______时，方程为一元二次方程，当m 满足______时，方程为一元一次方程．【答案】2m ≠±2m =-【解析】【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.解：由题意得：m 2﹣4≠0，解得：2m ≠±，即当2m ≠±时，方程为一元二次方程；由题意得：m 2﹣4＝0，且m ﹣2≠0，解得：m ＝﹣2，即当m ＝﹣2时，方程为一元一次方程．故答案为：2m ≠±；m ＝﹣2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．16．关于x 的一元二次方程2(1)2||10m x x m -++-=，常数项为0，求m 的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得||10m -=，所以1m =±．小轩：由题意，得||10m -=，且10m -≠，所以1m =-．其中解题过程正确的是（）A ．两人都正确B ．小轩正确，小莉不正确C ．小莉正确，小轩不正确D ．两人都不正确【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案．由题意，得||10m -=，且10m -≠，解得1m =-．故小轩正确，小莉不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m 的方程是解题关键．题型4：一元二次方程的解17．若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有一个解为1x =-，则m 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x =-1代入一元二次方程可得到关于m 的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．解：把x =-1代入x 2-2x +m =0得1+2+m =0，解得m =-3．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -≠，即可确定a 的值．将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -≠解得3a ≠故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．19．已知x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．﹣1【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x ＝x 的方程x 2﹣4x +c ＝0，列出关于c 的新方程，通过解新方程来求c 的值．解：∵x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，∴x 2﹣4x +c ＝0，∴（2﹣4（+c ＝0，解得c ＝1．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义．题型5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形20．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．【解析】【分析】由题意知22310m m --=，即2231m m -=，再将2462021m m -+整理并将2231m m -=整体代入计算求解即可．解：由题意知：22310m m --=，即2231m m -=，∴2462021m m -+()22232021m m =-+212021=⨯+=2023．故答案为：2023．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．21．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2022B ．2020C ．2019D ．2021【答案】D【解析】【分析】设1t x =+，即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=，由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，即250at bt ++=有一个根为2022t =，所以12022x +=，x =2021．由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=，对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-，设1t x =+，所以250at bt ++=，而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，所以250at bt ++=有一个根为2022t =，则12022x +=，解得2021x =，所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2021x =．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．22．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为（）．A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到2202210a a -+=，然后将其变形得到a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，最后整体代入代数式求值即可．解：∵a 是关于x 的一元二次方程2202210x x -+=的一个根，∴2202210a a -+=，∴a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，∴原式=2022a -1-2021a +20222022a=a -1+1a =211a a +-=2022a a-1=2021，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想．23．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．【答案】32/1.5【解析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：∵关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，∴2230am bm --=，2230an bn --=∴223am bm -=，223an bn -=∵(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，∴[2（am 2－2bm ＋a ）][3(an 2－2bn )－2a ]＝54∴2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =∵ab ≠0∴a ，b 均为非零实数，∴32a =故答案为：32【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法24．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a ，b ，c 满足a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣1，0C ．1，﹣1D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把1x =-代入得：0a b c -+=，即方程的一个解是1x =-；故选：C ．本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．25．关于x 的方程()2220k x kx +--=必有一个根为（）A ．x=1B ．x=-1C ．x=2D ．x=-2【答案】A【解析】【分析】分别把1x =，1-，2，2-代入()2220k x kx +--=中，利用一元二次方程的解，当k 为任意值时，则对应的x 的值一定为方程的解.解：A 、当1x =是，220k k +--=，所以方程()2220k x kx +--=必有一个根为1，所以A 选项正确；B 、当1x =-时，220k k ++-=，所以当0k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为1-，所以B 选项错误；C 、当2x =时，48220k k +--=，所以当3k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2，所以C 选项错误；D 、当2x =-时，48220k k ++-=，所以当1k =-时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2-，所以D 选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.26．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【解析】【分析】把2(1)3a x bx b -+-=化为：()()21130,a x b x -+--=再结合题意可得12021,x -=从而可得方程的解.解：2(1)3a x bx b -+-=可化为：()()21130,a xb x -+--=关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，∴把1x -看作是整体未知数，则12021,x -=2022,x =即2(1)3a x bx b -+-=有一根为2022.x =故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.27．如果a ，b ，k 均为整数，则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有()A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a +b =k ，ab =18；再由a ，b ，k 均为整数，求出k 的值即可．解：∵（x+a ）（x+b ）=x 2+kx+18，∴x 2+（a+b ）x+ab=x 2+kx+18，∴a+b=k ，ab=18，∵a ，b ，k 均为整数，∴a=±1，b=±18，k=±19；a=±2，b=±9，k=±11；a=±3，b=±6，k=±9；故k 的值共有6个，故选C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．28．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（）A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．1 2020【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．∵0a ≠，0c ≠，a+c=0∴1c a=-，∵ax 2+bx+c=0和cx 2+bx+a=0，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2020x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2020x =是方程210b x x a+-=的一个根，∴2020x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2020x =-是方程20cx bx a ++=的一个根故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．题型7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题29．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211a a +的值是___．【答案】2023-【解析】【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =-，则2202110a a ++=，然后利用整体代入的方法计算．解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，∴“天宫”方程的一个解为1x =-，方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程，2202110a a ∴++=，220211a a ∴+=-，212021a a +=-，220211a a +=-，∴2220212022120211a a a a a a ++-++2220212021120211a a a a a a a =+++-++2202112021a a a a a=-++---111a a =-+-+12a a=+-212a a +=-20212a a-=-20212=--2023=-．故答案为：2023-．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．30．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n<<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n<<<【答案】D【解析】【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，∴m ＜a ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键．31．设a 、b 是整数，方程x 2+ax +b =022a b ab +的值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-1【答案】C【解析】【分析】，再代入方程x 2+ax +b =0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b 的值，再代入计算即可．=1．∵方程x 2+ax +b =0，∴2+b =0．∴))2110a b ++=．∴(()240a a b -+-+=．∵a 、b 是整数，∴20,40a a b -=⎧⎨-+=⎩．解得2,2a b =⎧⎨=-⎩．∴22a b ab +=()()222222+-⨯-=2-．故选：C ．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题题型8：一元二次方程的解的估算32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．x 1.63 1.64 1.65 1.66…x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756…根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）【答案】1.65【解析】【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，∵0.0304＞0.0225，∴6.0225比5.9696更逼近6，∴方程x2+2x=6的一个解大约是1.65，故答案为：1.65．【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．一、单选题D .21x =，是一元二次方程，故此选项符合题意故选：D【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．把一元二次方程()2132x x x +=+化为一般形式，正确的是（）A ．22530x x ++=B ．22220x x -+=C ．2220x x --=D ．22310x x --=【答案】C【解析】原方程去括号移项后，得222320x x x +--=，合并同类项，得2220x x --=．3．关于x 的方程()273320aa x x ----=是一元二次方程，则（）A ．3a ≠±B ．3a =C ．3a =-D ．3a =±【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，列出272a -=和30a -≠，求解即可．【解析】解：∵关于x 的方程()273320aa x x ----=是一元二次方程，∴272a -=且30a -≠，解得，3a =±且3a ≠，即3a =-，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据次数为2列出方程，注意：二次项系数不为0．4．将一元二次方程2213x x -=化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A ．2，﹣1B ．2，0C ．2，3D ．2，﹣3【答案】D【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 为二次项系数，b 一次项系数；c 常数项，即可；【解析】依题：将一元二次方程2213x x -=化为一般式为：22310x x --=；对照一元二次方程的一般式的各项系数可得：二项式系数：2；一次项系数：-3；故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的一般式及各项系数及常数项，关键在熟练的将一元二次方程转换为一般式；5．已知m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m 的值为（）A ．2020B ．2021C ．2019D ．-2020【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2-3m =-1，再把2020﹣m 2+3m 变形为2020﹣（m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 为一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根．∴m 2-3m +1=0，即m 2-3m =-1，∴2020﹣m 2+3m =2020﹣（m 2-3m ）=2020-（-1）=2020+1=2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是（）A ．1-B ．1C ．1+或1-D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且0a ≠）特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解析】∵关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，∴210m -=且10m -≠，解得1m =-．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．7．已知a ，b ，c 满足0,420a b c a b c ++=++=，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况为（）A ．121,2x x ==B ．121,2x x =-=-C ．方程的解与a ，b 的取值有关D ．方程的解与a ，b ，c 的取值有关【答案】A【解析】∵0,420a b c a b c ++=++=，∴a c b +=-①，42a c b +=-②，②-①得3a b =-，∴2c a =，分别∴一元二次方程20ax bx c ++=的某一个解的取值范围是11x -<<．故答案为：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．10．已知m ，n 是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个实数根，设2210010012100,,,s m n s m n s m n =+=+⋯=+，…，则202020192018as bs cs ++的值为（）A ．2019B ．2018C ．0D ．2020【答案】C 【解析】∵201920192019s mn =+，201820182018s m n =+，202020202020s m n =+，∴202020192018as bs cs ++=()()()()()2020202020192019201820182018220182a m n b m n c m n m am bm c n an bn c +++++=+++++．∵m ，n 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，∴220,0am bm c an bn c ++=++=，∴20182018202020192018000as bs cs m n ++=⨯+⨯=．二、填空题11．请你写出一个解为2的一元二次方程：___________．【答案】x 2+x -6=0（答案不唯一）【分析】根据方程解的定义，构造方程即可解决问题．【解析】解：（x -2）（x +3）=x 2+x -6=0．故答案为：x 2+x -6=0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及其应用问题；灵活运用解的定义来分析、判断是解题的关键．12．将一元二次方程(x -2)(2x +1)=x 2-4化为一般形式是___________.【答案】x 2-3x +2=0【分析】把方程化为ax 2+bx +c =0的形式即可求解．【解析】解：(x -2)(2x +1)=x 2-4，去括号得2x 2+x -4x -2=x 2-4，移项得2x 2+x -4x -2-x 2+4=0，合并同类项得x 2-3x +2=0．故答案为：x 2-3x +2=0．∴220222αα+=，220222ββ+=，∴()()()()22202212022221224ααββ+-++=-⨯+=故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．三、解答题。

专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。

第一章一元二次方程《苏教版九年级数学上册》

D．以上都不对
新课讲解
知识点2 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
为什么要限制
a ≠0， b， c
可以为0吗？
新课讲解
二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：
指出方程各项的系数时要带上前面的符号哟.
（1）如何解这类方程? （2）如何用这类方程解决一些实际问题?
新课讲解
知识点1 一元二次方程的定义
合作探究
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?
⑤整理后未知数的最高次数不是2.
新课讲解
练一练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
C．x2＋
1 x
＝2
B．x2＋1－x2＝0 D．x2－x－2＝0
2 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，
那么m的值为( C )
A．±3
B．3
C．－3
感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
A
系： AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0.
B
新课导入
思考

一元二次方程和二元一次方程

一元二次方程和二元一次方程数学对于很多人来说可能像个谜一样复杂，其实它在我们生活中无处不在。

特别是今天咱们聊聊一元二次方程和二元一次方程，这两位数学“老朋友”是如何在生活中默默发挥作用的。

1. 一元二次方程：简单却强大1.1 什么是一元二次方程？说到一元二次方程，大家可能会觉得很陌生，其实它就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。

这里面有个“二次”，也就是 x 的平方，明白了吧？比如，生活中的抛物线就是这种方程的图像。

看过很多运动员起跳后飞空的轨迹，就是抛物线啦。

1.2 生活中的应用咱们来举个简单的例子：假如你在后院种了几个小树苗，想知道在树苗长大后能遮住多少面积。

这个时候就可以用一元二次方程来预测树苗的成长路径。

这看似复杂，其实就是帮你“画个未来蓝图”嘛。

2. 二元一次方程：处理多个变量的好帮手。

2.1 二元一次方程的基本概念二元一次方程就是有两个变量的方程，像 ( ax + by = c ) 这样。

这个“两个变量”就像在玩两个不同的游戏，咱们得找出在这两个游戏中的最佳得分。

这个方程的图像是直线，搞懂它能帮你在复杂的情况中找到简洁的解决方案。

2.2 生活中的小妙用假设你和朋友去买手机，想知道每个人的花费情况。

如果手机的总价是 ( c ) 元，你们两个人每人要出多少钱，这时候就可以用二元一次方程来计算。

这样，一张数学“表格”就能帮你们清楚分摊费用。

3. 一起看方程的实际应用3.1 规划个人财务如果你想计划一下一年内的开支，设定目标，可能需要用到一元二次方程来估算未来的经济状况。

你可以用它来计算每个月存多少钱才可以在年底有个“美满的结局”。

3.2 解决交通问题交通方面也是一个“大头疼”的地方。

假如你要计算每天的通勤时间，尤其是在高峰期，你可以用二元一次方程来帮助你规划最佳的出发时间，以便避开拥堵。

4. 结尾总的来说，一元二次方程和二元一次方程看起来可能有点让人头疼，但实际上，它们是生活中“不可或缺”的好帮手。

初三数学公式法解一元二次方程

初三数学公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的基本概念说到一元二次方程，大家可能会觉得有点陌生，但其实它就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a, b, c ) 是常数，( x ) 是我们要找的未知数。

听上去有点复杂，其实它就像是生活中的一场寻宝游戏。

只要掌握了公式，解题就变得轻松无比，甚至像吃饼干一样简单。

想象一下，方程就像一个巨大的宝藏图，待我们一步步去揭开谜底。

1.1 一元二次方程的形式一元二次方程可以分为标准形式、配方形式和根的形式。

标准形式是最常见的，大家都知道的 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

配方形式，听起来有点高大上，其实就是把方程转换成 ( a(x p)^2 + q = 0 ) 的样子，方便我们找到根。

而根的形式就像是在告诉你方程的答案到底在哪里，直接给出 ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。

这公式简直是揭开谜底的钥匙，谁还怕解方程呢？2. 解一元二次方程的步骤那么，具体该如何解呢？首先，我们要先确认一下 ( a ) 不能等于零，要不然方程就成了一次方程，没意思。

接着，我们要计算判别式 ( D = b^2 4ac )。

这个 ( D ) 的作用可大了，直接关系到方程有几个解。

如果 ( D > 0 )，恭喜你，有两个不同的实数解；如果 ( D = 0 )，恭喜你，只有一个解，这个解就像是一个孤独的旅行者；如果 ( D < 0 )，哎，那就没有实数解了，只能留给虚数朋友们来聚会。

2.1 计算判别式接下来，我们来深入了解一下这个判别式。

假设我们有方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )，那我们就得计算 ( D = (4)^2 4 times 2 times 2 = 16 16 = 0 )。

这时候，咱们就可以得知，它有一个重根，也就是两个相同的解。

我们可以直接套入公式，得到 ( x = frac{(4) pm sqrt{0{2 times 2 = frac{4{4 = 1 )。

一元二次的根与系数的关系讲解

一元二次的根与系数的关系讲解一元二次方程，听起来是不是有点高深？别担心，今天我们就来轻松聊聊它的根与系数的关系，让数学变得更亲民，顺便让你对这个公式有个更深的了解。

1. 一元二次方程的基础知识1.1 方程的样子首先，一元二次方程的标准形式是 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

听起来像是天书，但其实这就像是我们的日常生活，有点复杂却又很普通。

这里的 ( a )、( b )、和 ( c ) 就是方程的系数，分别代表不同的“角色”。

记住哦，( a ) 不能等于零，因为那样就变成了一元一次方程了。

1.2 方程的根接下来，咱们来聊聊根。

方程的根就是能让方程成立的 ( x ) 值，也就是那些“救世主”。

一元二次方程的根可以通过求根公式来找到，公式是：。

x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a 。

看，这个公式是不是有点吓人？但其实，简单的说就是，我们用系数来计算 ( x )的值，得出根。

2. 根与系数的关系2.1 根的和与积好啦，咱们现在进入重点了。

根与系数的关系有两个重要的概念：根的和和根的积。

根的和是 ( x_1 + x_2 = frac{b{a )，根的积是 ( x_1 cdot x_2 = frac{c{a )。

这就像是人生中的搭档，两个根在方程里一起工作，和谐又有趣。

比如说，假设你有两个好朋友，他们的性格互补，一个内向，一个外向，正好平衡了你们的生活。

2.2 实际应用那么，这些公式有什么实际用处呢？想象一下，你在做生意，或者计划一个活动，常常会遇到需要计算最佳方案的情况。

通过一元二次方程的根与系数关系，你能找到最优解。

就像找到了通往成功的“密码”，让你事半功倍。

3. 总结与思考3.1 乐趣无穷的数学数学其实是个充满乐趣的世界，像是拼图一样，只要你找到合适的拼块，就能看到完整的画面。

一元二次方程就像是其中的一块拼图，让我们看到数字背后的奥秘。

3.2 保持好奇心所以，不要害怕数学的复杂性！保持好奇心，多去探究，才能真正理解它的魅力。

一元二次方程化为一般形式

一元二次方程化为一般形式1. 一元二次方程的基本概念嘿，大家好！今天咱们来聊聊一元二次方程，听起来是不是有点复杂？其实，它就像是生活中的一些小烦恼，别看它外表光鲜亮丽，里面可藏着不少“小秘密”。

你想啊，什么是“一元二次方程”呢？简单说，就是形如ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 都是常数，a 不能为零。

为什么呢？因为如果 a 是零，那这就不是二次方程了，而变成了一次方程，听起来就没那么酷了，对吧？1.1 一般形式的重要性一元二次方程的“一般形式”可不是随便说说的。

它就像你穿衣服的风格，有了这个“框架”，你才能自由发挥。

我们常常用这个形式来解决问题，比如找出方程的根。

说白了，方程就像人生的路口，我们得找到正确的“方向”，才能顺利过关。

想象一下，走在路上，忽然发现了一个岔口，你得选择哪个呢？这时候，一元二次方程就能帮你理清思路。

1.2 怎么化为一般形式？那么，怎么把它化为一般形式呢？其实，这个过程就像是在调味料，关键在于掌握好配比。

首先，你得把方程整理一下，尽量把所有项都放到一边，另一个边留给零。

这就像收拾屋子，得把杂物先搬到一边，才好打扫。

接下来，你可以将方程的每一项都调整到标准格式，这样就能轻松看到它的结构。

2. 方程的实际应用一元二次方程不仅仅是在课堂上能用得上，生活中处处都是它的影子。

比如说，你去超市买东西，心里想着：“这两样东西加起来多少钱呢？”这就有点像一元二次方程的思考方式。

把各项加起来，然后求出总数。

再比如，在设计一个花园时，可能需要计算面积，这时候，二次方程同样派上用场。

数学其实并不神秘，只是我们常常忽略了它在生活中的存在。

2.1 举个简单的例子想象一下，你要在一个长方形的花坛中种花，长是 10 米，宽是 5 米，问问你，这个花坛的面积是多少？简单吧！直接用长乘宽就好。

然而，如果你想把这个花坛变成一个正方形，并且要保持相同的面积，这就要用到一元二次方程了。

一元二次方程复习

第二章一元二次方程复习姓名 ____一元二次方程有关概念1. 一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2．一元次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)3. 一元二次方程的解法一般有四种即①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法。

在解题时，要认真分析方程的特点，选择适当的方法。

4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0) 的求根公式:5.一元次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况可以用b 2-4ac 来判别当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的数根当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的数根当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根一元二次方程测试题一、填空1、一元二次方程3x 2－23＝－10x 的二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

2、(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是 .3、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， .4、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）5、方程()()21230y y +-=的根是________；方程0162=-x 的根是___________。

6、三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为7、知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 .8、政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品的价格。

某种药经过两次降价，由每盒60元调至52元。

若设每次降价的百分率为x ，则由题意义可列方程___9、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为10方程：x 2－4＝0的解为：____________方程33-=-y y y )(的解为 ().04.2422≥--±-=∴ac b a ac b b x11等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是 12在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b=a 2-b 2,根据这个规则，方程(x+2) ﹡5=0的解为二、选择13、方程x(x+2)=2(x+2)的解是（）A. 2和-2B. 2C. -2D. 无解 14、一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是（）A 、有一个实数根B 、有两个相等的实数根C 、有两个不相等的实数根D 、没有实数根15、关于x 的一元二次方程kx 2+3x －1=0有实数根，则k 的取值范围是（）A 、k ≤49-B 、k ≥49-且k ≠0C 、k ≥49-D 、k ＞49-且k ≠0 16、如果一元二次方程3x 2-2x =0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值等于（）A 、0B 、2C 、32 D 、32- 17、将方程122=-x x 进行配方，可得（）A ．2)1(2=+xB ． 5)2(2=-xC ．1)1(2=-xD ．2)1(2=-x 18、若2x 2+1与4x 2－2x －5的值互为相反数，则x 的值是（）A 、1-或32B 、1或32-C 、1或23- D 、1或23 19、观察下列表格，一元二次方程x 2－x －1.1＝0的最精确的一个近似解是（）A ．0.09B ．1.1C ．1.6D ．1.720、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x ，列出方程正确的是（）A 、580（1+x ）2=1185B 、1185（1+x ）2=580C 、580（1－x ）2=1185D 、1185（1－x ）2=580三、解下列方程（每题4分，共16分）21、01862=--x x 22、 2x 2+4=6x23、x 2－2x －99=0 24、()()752652x x x +=+25、49)13(2=-x 26、 3x 2+5(2x+1)=0四、列方程解应用题27、将一个正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖)的盒子。