理论力学哈工大第七版第三章

第三章
空间力系
§3–1
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fy F sin sin
FRx — 有效推进力 FRy — 有效升力 FRz — 侧向力
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转
飞机转弯 飞机仰头
二．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
FR 0, MO 0
合力 过简化中心合力
FR 0, MO 0, FR MO
0
F
y
0
--称为空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例3-1
已知： Fn , , 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解：
Fz Fn sin
Fxy Leabharlann n cos Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
FAx FBx 1.5N
FAz FBz 2.5N
例3-7 已知：正方体上作用两个力偶
( F , F ), ( F2 , F2), 1 1
CD // A2 E ,不计正方体和直杆自重. 求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
解： 两杆为二力杆，取正方体，画 受力图建坐标系如图b 以矢量表示力偶，如图c
Fz F cos
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 方向余弦
不变.
力偶矩矢是自由矢量
三．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
z
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例3-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受
Fy 0
例3-5
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削
力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影. 解： 把力偶用力偶矩矢 表示，平行移到点 A .
M x Mix M3 M 4 cos45 M5 cos45 193.1N m
M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
二.空间平行力系的平衡方程
F 0 M
z
x
0
M
y
0
三.空间约束类型举例
例3-8 已知： P=8kN, P 10kN, 各尺寸如图 1 求： 、B、C 处约束力 A
解： 研究对象：小车
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
空间力偶系的合力偶矩
主矢
M O M i M O ( Fi )
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
主矩
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
MOx — 滚转力矩 M Oy — 偏航力矩 MOz — 俯仰力矩
力图。 FOB sin 45 FOC sin 45 0 Fx 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0

FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
一.空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.



解： 把力 F 分解如图 M x F F l a cos
My

F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3
空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
力螺旋
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
FR 0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
M O sin d FR
平衡
FR 0, MO 0
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fx i Fy j Fz k
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) yFz zFy
x
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) zFx xFz
y
M O ( F ) xFy yFx
M
x
0
M 1 M 3 cos 45 0
M
0 M 2 M 3 sin 45 0 y
M1 M 2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有
F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB 2 F1 F2
杆 A1 A2受拉， 1B2 受压。 B
z
x
M F 0
y
0.8P 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0 1
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例3-9
F 2000N, F2 2F1 , 30 , 60 , 各尺寸如图 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力
合力.合力作用线距简化中心为
d M O FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和.
合力偶
FR 0, MO 0
一个合力偶，此时与简化中心无关。
cos( FR , i )
Fx
FR
cos( FR , j )
Fy
FR
cos( FR , k )
Fz
FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 FR 0
F
x
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素：
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
F
Fx 0
y
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
0
00
M F 0
x
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0 D M y F 0 F R F2 F1 0 2 M z F 0 ( F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0