【VIP专享】2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：23选择题解题技能训练
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
【6份】新课标2016年高考数学(理)二轮复习检测卷及答案
x2－5x＋6 的定义域为( x－3
)
D．(－1，3)∪(3，6]
4－|x|≥0， 2 －4≤x≤4， 法二：由x －5x＋6 得 故函数定义域为(2，3)∪(3，4]． x>2且x≠3， >0， x － 3 x2 1 6．(2015· 长春模拟)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标 4 2 为( ) A．3 B．2 C．1 1 D. 2
2
) D．(0，2] )
A．[1，2]
1 B. 0，2
1 C. 2，2
9 10． 设函数 f(x)＝x3－ x2＋6x－a 对于任意实数 x， f′(x)≥m 恒成立， 则 m 的最大值为( 2 3 A．－ 4 3 B. 4 1 C. 4 1 D．－ 4
11． (2015· 商丘二模)设函数 f(x)的导函数为 f′(x)， 对任意 x∈R 都有 f(x)>f′(x)成立， 则( A．3f(ln 2)＜2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
2
)
C．3f(ln 2)＞2f(ln 3) D．3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不确定 12．已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( A．(－∞，0) C．(0，1) 二、填空题 13．(2015· 泰州模拟)函数 y＝xex 在其极值点处的切线方程为________． 14． 已知函数 f(x)＝aln x＋x 在区间[2， 3]上单调递增， 则实数 a 的取值范围是________． 15．(2015· 衡阳模拟)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋2a 的导函数为 f′(x)，对任意 x∈R，不 b2 等式 f(x)≥f′(x)恒成立，则 2的最大值为________． a 16. 1 B. 0，2 D．(0，＋∞) )
2016届高考数学(理)二轮复习专项强化练专题能力提升练(2)
专题能力提升练(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.cos=cos=cos=cos=-cos=-,故选C.2.已知sin2α=，则cos2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin2α=，所以cos2====.3.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【解题提示】根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为180°-(A+B)，用两角和的正弦公式展开、移项、合并后求解.【解析】选B.由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B)，所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.所以cosAsinB-sinAcosB=0.所以sin(B-A)=0，因为角A和B是三角形的内角，所以B=A.【方法技巧】判断三角形形状的方法(1)角化边，边化角利用正弦定理、余弦定理可以把角化为边、把边化为角.(2)注意三角形内角和定理的应用.4.(2015·济宁一模)已知函数f(x)=sin，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选C.因为f(x)=sin f=sin=sin2x=g(x)，所以为了得到g(x)=sin2x的图象，只要将f(x)的图象向右平移个单位长度.5.(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.y=cos=-sin2x，是奇函数，函数的最小正周期为π，满足题意，所以A正确；y=sin=cos2x，函数是偶函数，最小正周期为π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin，函数是非奇非偶函数，最小正周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin，函数是非奇非偶函数，最小正周期为2π，所以D不正确.【加固训练】(2015·上饶三模)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x,则下列说法正确的为( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为C.f(x)的图象关于直线x=-对称D.将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【解析】选D.f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin2x+=sin+,故该函数的最小正周期为T==π,最大值为,对称轴为2x+=k π+,k∈Z,故选项A,B,C错误,对于选项D:将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到f(x)=sin+=sin2x+,然后,将此图象向下平移个单位长度,得到函数f(x)=sin2x的图象,它是一个奇函数,故选项D正确.6.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )【解析】选D.对于振幅大于1时，三角函数的周期为T=，因为>1，所以T<2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于2π.7.已知f(x)=sin(ω>0)，f=f，且f(x)在区间有最小值，无最大值，则ω的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据f=f求出函数的对称轴，再利用对称轴处取最小值构造方程求解.【解析】选B.由f=f，知f(x)的图象关于x=对称，且在x=处有最小值，所以ω+=2kπ-(k∈Z)，有ω=8k-(k∈Z).又因为T=>-=，所以ω<6，故k=1，ω=.8.(2015·菏泽二模)已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=cos，则ϕ的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选C.因为函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<π)的图象向左平移个单位长度后可得sin=sin=cos=cos=g(x)，所以-+ϕ=2kπ±，k∈Z，因为|ϕ|<π，所以可解得ϕ=.9.(2015·青岛模拟)如图所示，函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0，|ϕ|<)的部分图象，已知x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=( )A.-1B.-C.D.【解题提示】根据函数图象求出函数的解析式，结合三角函数的对称性求出函数的对称轴即可得到结论.【解析】选D.由图象知函数的周期T=2=2×=π，即=π，解得ω=2，则f(x)=sin(2x+ϕ)，由五点法知2×+ϕ=π，解得ϕ=，即f(x)=sin，由2×x+=，解得x=，即x=是函数的一条对称轴，因为x1，x2∈，且f(x1)=f(x2)，所以x1，x2关于x=对称，则x1+x2=2×=，则f(x1+x2)=f=sin=sin=sin=.10.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=( )A. B. C. D.【解题提示】∠AED与∠BEC可放在直角三角形中，再利用∠CED=∠AED-∠BEC求解.【解析】选B.因为四边形ABCD是正方形，且AE=AD=1，所以∠AED=.在Rt△EBC中，EB=2，BC=1，所以sin∠BEC=，cos∠BEC=.sin∠CED=sin=cos∠BEC-sin∠BEC==.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则tan=________.【解析】因为点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,所以sinα=-2cosα,tanα=-2.所以tan==-.答案:-12.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=________.【解析】由0≤x≤,得0≤ωx≤<,则f(x)在上单调递增,且在这个区间上的最大值是,所以2sin=,且0<<,所以=,解得ω=.答案:13.(2015·广东高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a =,sin B=,C=,则b =________.【解题提示】可先求出角B的大小,再利用正弦定理求解.【解析】因为sin B=且B∈,所以B=或B=,又C=,所以B=,A=π-B-C=,又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.答案:114.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=4a+2b-5,且a2=b2+c2-bc,则=________.【解题提示】由a2=b2+c2-bc利用余弦定理求出角A.再由a2+b2=4a+2b-5配方可得a,b的值.最后利用余弦定理求出c.【解析】由a2=b2+c2-bc,利用余弦定理可得:cosA==,因为θ∈(0,π),所以A=.因为a2+b2=4a+2b-5,所以(a-2)2+(b-1)2=0,解得a=2,b=1.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,所以4=1+c2-c,所以c2-c-3=0,解得c=,所以=bcsin A=×1××=.答案:15.(2015·聊城一模)设函数f(x)=cos，有下列结论：①点是函数f(x)图象的一个对称中心；②直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴；③函数f(x)的最小正周期是π；④函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，其中所有正确结论的序号是.【解题提示】首先利用整体思想求出函数的对称轴方程，对称中心，和单调区间，及最小正周期，然后确定结果.【解析】函数f(x)=cos，最小正周期T==π，故：③正确；令：2x+=kπ+(k∈Z)，解得：x=+(k∈Z)，当k=-1时，点是函数f(x)图象的一个对称中心，故①正确；令：2x+=kπ(k∈Z)，解得：x=-(k∈Z)，当k=1时，x=，直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴，故②正确；令：2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z)，解得：kπ-≤x≤kπ-(k∈Z)，故④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2015·天津高考)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin,由周期公式可得最小正周期.(2)由x∈结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值. 【解析】(1)化简可得f(x)=sin2x-sin2=(1-cos2x)-===sin所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以sin∈,所以f(x)在区间内的最大值和最小值分别为,-.【加固训练】(2015·朝阳一模)已知函数f(x)=cosx(2sinx+cosx)-sin2x.(1)求函数f(x)在区间上的最大值及相应的x的值.(2)若f(x0)=2，且x0∈(0，2π)，求x0的值.【解析】(1)f(x)=cosx(2sinx+cosx)-sin2x=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin，因为x∈，所以2x+∈，所以sin∈，所以当且仅当2x+=，即x=π时，f(x)max=1.(2)由题意得，2sin=2，所以sin=1，又x0∈(0，2π)，所以2x0+∈，所以2x0+=或2x0+=，所以x0=或x0=.17.(12分)(2015·临沂二模)已知向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A), m·n=sin2C,且A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.(1)求角C的大小.(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且△ABC的面积为9,求c边的长.【解题提示】(1)根据向量数量积的定义,以及三角函数的关系式即可求角C的大小.(2)根据等差数列的性质,建立方程关系结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.【解析】(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,因为m·n=sin2C, 所以m·n=sin2C=sin C,即2sin Ccos C=sin C,解得cos C=,C=.(2)因为sin A,sin C,sin B成等差数列,所以2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b,又△ABC的面积为9,即absin C=9,即×ab=9,解得ab=36,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,得c2=4c2-3×36,解得c2=36,c=6.18.(12分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值.(2)若m与n的夹角为,求x的值.【解题提示】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.【解析】(1)因为m=,n=且m⊥n,所以m·n=·=sin x-cos x=sin=0,又x∈,所以x-∈,所以x-=0即x=,所以tan x=tan=1.(2)由(1)及题意知=sin,所以sin=,又x-∈,所以x-=,所以x=.19.(12分)已知p=(sinA，cosA)，q=(cosA，-cosA)(其中q≠0).(1)若0<A<，方程p·q=t-(t∈R)有且仅有一解，求t的取值范围.(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a=，若p∥q，求b+c的取值范围.【解题提示】(1)问题可转化为y=t与y=p·q+只有一个交点，数形结合求解.(2)由p∥q(其中q≠0)求出角A，再将b+c表示为只含有一个角的三角函数后再求取值范围.【解析】(1)依题意可得t=p·q+=sinAcosA-cos2A+=sin 2A-cos2A=sin(2A-)，因为A∈，所以-<2A-<.再根据t=p·q+有唯一解，可得-<t≤或t=1.(2)由p∥q(其中q≠0)得=-1，即tanA=-，所以A=.再根据正弦定理可得2R==1，所以b+c=sinB+sinC=sin(0<B<)，由<B+<，可得<b+c≤1.【加固训练】已知函数f=sinwxcoswx+cos2wx-(w>0)，直线x=x1，x=x2是y=f图象的任意两条对称轴，且的最小值为.(1)求w的值.(2)将函数f的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g的图象，求g在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin2ωx+×-=sin2ωx+cos2ωx=sin.由题意知，最小正周期T=2×=，又T===，所以ω=2.(2)由(1)可得f(x)=sin.将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y=sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin的图象.所以g(x)=sin.因为0≤x≤，所以-≤2x-≤π，所以-≤sin≤1.故g(x)在区间上的最大值为g=1，最小值为g(0)=-.20.(13分)(2015·潍坊一模)已知函数f(x)=sin-4sin2ωx+2(ω>0)，其图象与x轴两个相邻交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若将f(x)的图象向左平移m(m为可取到的最小正数)个单位长度得到函数g(x)的图象，并且其图象恰好经过点，求函数g(x)在x∈上的单调增区间.【解析】(1)f(x)=sin-4sin2ωx+2=sin2ωx-cos2ωx-4·+2=sin2ωx+cos2ωx=sin，根据图象与x轴两个相邻交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×=，求得ω=1，故函数f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin=sin的图象，再根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin=0，故m=，g(x)=sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤x≤kπ-，故函数g(x)的单调增区间为，k∈Z.再结合x∈，可得单调增区间为，.21.(14分)如图所示的四边形ABCD中,已知AB⊥AD,∠ABC=120°,∠ACD=60°,AD=27,设∠ACB=θ,C点到AD的距离为h.(1)求h(用θ表示).(2)求AB+BC的最大值.【解题提示】(1)由已知可求∠ADC=90°-θ,在△ACD中,由正弦定理可求AC的值,又∠CAD=30°+θ,且0<θ<60°,由h=AC·sin∠CAD即可得解.(2)在△ABC中,由正弦定理分别求出AB,BC,将AB+BC表示θ的函数,由正弦函数的图象和性质即可得解.【解析】(1)由已知得:∠ADC=360°-(90°+120°+60°+θ)=90°-θ.在△ACD中,=,所以AC==18cosθ,又∠CAD=30°+θ,且0<θ<60°,所以h=AC·sin∠CAD=18cosθsin(30°+θ)=+9sin(2θ+)(0<θ<60°).(2)在△ABC中,AB==18sin2θ,BC==36cosθsin(60°-θ)=9+9cos2θ-9sin2θ,所以AB+BC=9+9cos2θ+9sin2θ=9+18sin(2θ+60°)因为0<θ<60°,所以当θ=15°时,AB+BC取到最大值9+18.。
【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题23 选择题解题技能训练（含解析）一、选择题1．(文)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 6C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6，选B ．(理)(2014²中原名校联考)已知双曲线x 2a 2＋y 2b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1 2的两部分，则双曲线的离心率为( )A ． 3B ．233C ． 5D ．52[答案] B[解析] 由条件知∠OAB ＝120°，从而∠BOA ＝30°，∴b a ＝33，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e 2＝43，∵e>1，∴e ＝233.[方法点拨] 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记忆灵活应用．请练习下题：(2015²河南省高考适应性测试)已知椭圆C 1：x 217＋y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线C 2的离心率为( )A ．4B ．41313C ． 2D ．1＋52[答案] C[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y ＝b ax ，设它与椭圆C 1的交点为CD ，易得|CD |＝13|AB |＝2173， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 217＋y 2＝1.得：x 217＋b 2a2x 2＝1，x ＝±17a2a 2＋17b 2， ∴|CD |＝21＋b 2a2²17a2a 2＋17b 2＝217 a 2＋b 2a 2＋17b 2＝2173，整理得：a 2＝b 2，∴e ＝ 2.2．(2015²新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)⇒a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8⇒q ＝2，故a 2＝a 1q ＝12，选C ．3．(文)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3 1B ．2 1C ．4 1D ．3 1[答案] B[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：使P 与A 1重合，Q 与B 重合，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2 1.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C等于( )A ．35B ．45 C ．34 D ．43 [答案] B[解析] 解法一：取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45， 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.故选B ．[方法点拨] 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数、特殊图形．其解题原理是某个结论若对某范围内的一切情形都成立，则对该范围内的某个特殊情形一定成立．请练习下题：已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0[答案] D[解析] A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C 选项中，k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D ．[点评] 本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．4．(文)A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，且A <B <C (C ≠π2)，则下列结论中一定正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cot A <cotC C ．tan A <tan CD ．cos A <cos C[答案] A[解析] 利用特殊情形，因为A 、B 、C 是△ABC 的3个内角，因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角，此时结论仍然正确．而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数，因此B 、C 、D 均可排除，故选A ．(理)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．1或－3[答案] D[解析] 令x ＝0，∴a 0＝1；令x ＝1，故(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 6，且因a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或－3.5．已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，排除B 、D ．又f ′(π6)＝12³π6－sin π6＝12³(π6－1)<0，排除C ，选A ．[方法点拨] 筛选法筛选法也叫排除法(淘汰法)，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．6．(文)(2015²南昌市一模)给出下列命题：①若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32 ②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件 ③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．(理)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤[答案] D[解析] 对于⑤，由于众数为1，所以1在数据中，又极差≤1，∴最大数≤2，符合要求⑤正确；对于④，由于x ≤3，∴必有数据x 0≤3，又极差小于或等于2，∴最大数不超过5，④正确；当数据为0,3,3,3,6,3,3时，x ＝3，S 2＝187，满足x ≤3且S ≤2，但不合要求，③错，∴选D ．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1)C ．(－14，0)D ．(－14，0][答案] C[解析] 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m .作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，只需直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个交点即可，如图只需－14<m <0.[方法点拨] 数形结合法将所研究的问题转化为函数的图象或借助代数式的几何意义，作出相应的几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合几何图形的直观特征得到正确选项的一种解题方法，其实质就是数形结合思想的运用．1．运用图解法解选择题是依靠图形的直观性进行分析的，因此要对有关的函数图象或几何图形较熟悉，作图尽可能准确才能作出正确的选择．2．讨论方程根的个数、函数的零点个数、函数图象交点个数，直线与圆锥曲线或圆锥曲线之间位置关系的题目，三角形解的讨论，立体几何中线面位置关系的判断，线性规划等等问题常借助图形处理．请练习下题：(2014²长春市三调)已知实数x 、y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x <2x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0,5]C ． [0,5)D ． [53，5)[答案] C[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B (13，23)时，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C ．8．(2015²辽宁葫芦岛市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图平移直线2x ＋y ＝0知，当z ＝2x ＋y 经过点A (－1，－1)时取得最小值，经过点B (2，－1)时取得最大值，∴m ＝2³2－1＝3，n ＝2³(－1)－1＝－3， ∴m －n ＝3－(－3)＝6.9．(2015²安徽文，10)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <0[答案] A[解析] 令x ＝0⇒d >0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数f (x )的图象可知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两根，由图可知x 1>0，x 2>0，x 1<x 2，f ′(x )＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，当x ∈(－∞，x 1)时，f (x )单调递增，f ′(x )>0，∴a >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b <0，c >0.故A 正确．10．(文)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2＝( ) A ．m －39－mB ．m －3|9－m |C ．－15D ．5[答案] D[解析] 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，因此tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1，因此排除A 、B 、C ，选D ．(理)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[答案] B[解析] 由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．[方法点拨] 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解答比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化，几何体的表面积、体积等问题，常用此种方法确定选项．11．(文)(2014²石家庄市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )A ．a ，aB ．a ，a 2＋b 2C ．a 2，3a 2D ． a2，a[答案] A[解析] 如图，由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝|PC |＋|CF 1|，|PF 2|＝|PD |＋|DF 2|，又|CF 1|＝|F 1A |，|DF 2|＝|F 2A |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2A |＝|OF 1|＋|OA |－(|OF 2|－|OA |)＝2|OA |＝2a ，∴|OA |＝a ，同理可求得|OB |＝a .(理)若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在[0，π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．－3≤a <1C ．a <1D ．0<a <1[答案] A[解析] cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＝a ＋1，可设f (x )＝2sin(2x ＋π6)，g (x )＝a＋1，利用数形结合，如图所示，有1≤a ＋1<2，即0≤a <1，即可得出正确答案．故选A ．12．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A ．169πB ．83πC ．4πD ．649π[答案] D[解析] ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.13．(文)各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足：a n ＋2＝2a n ＋1＋a n ，b n ＋2＝b n ＋1＋2b n (n ∈N *)，那么( )A ．∀n ∈N *，a n >b n ⇒a n ＋1>b n ＋1 B ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n >b n C ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n ＝b n D ．∃m ∈N *，∀n >m ，a n <b n [答案] B[解析] 特值排除法：取a 1＝1，a 2＝2；b 1＝12，b 2＝3，显然a 1>b 1但a 2<b 2，排除A ；当a 1＝1，a 2＝2，b 1＝1，b 2＝2时，a 3＝5，b 3＝4，a 4＝12，b 4＝8，排除C 、D ，故选B ．(理)已知0<a <b <c 且a 、b 、c 成等比数列，n 为大于1的整数，那么log a n ，log b n ，log c n 是( )A ．成等比数列B ．成等差数列C ．即是等差数列又是等比数列D ．即不是等差数列又不是等比数列 [答案] D[解析] 方法1：可用特殊值法．令a ＝2，b ＝4，c ＝8，n ＝2，即可得出答案D 正确． 方法2：∵a 、b 、c 成等比数列， ∴可设b ＝aq ，c ＝aq 2.(q >1，a >0)则：log b n ＝log (aq )n ＝log a n 1＋log a q ，log c n ＝log (aq 2)n ＝log a n 1＋2log a q，可验证，log a n ，log b n ，log c n 既不是等差数列又不是等比数列．故选D ．14．(文)某兴趣小组野外露营，计划搭建一简易帐篷，关于帐篷的形状，有三人提出了三种方案，甲建议搭建如图①所示的帐篷；乙建议搭建如②所示的帐篷；丙建议搭建如③所示的帐篷．设帐篷顶的斜面与水平面所成的角都是α，则用料最省的一种建法是( )(四根立柱围成的面积相同)A ．①B ．②C ．③D ．都一样[答案] D[解析] 由于帐篷顶与水平面所成的角都是α，则不论哪种建法，顶部在地面的射影面积都相等，由S ＝S 射cos α得，不论哪种建法，所用料的面积都相等．(理)若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝(S M)nD ．P 2>(S M)n[答案] C[解析] 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >S M和P 2>(S M)n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝(S M )n ，且P ≠SM，所以选项A 不正确．15．(文)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] 由函数f (x )为奇函数，排除B ；当0≤x <π时，f (x )≥0，排除A ；又f ′(x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，f ′(0)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f (x )在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D ．(理)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )[答案] D[解析] 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝－π，排除A ；当x ＝π2时，y ＝1，排除C ．16．(文)(2014²浙江理，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )[答案] D[解析] 本题考查幂函数和对数函数图象．选项A 没有幂函数图象．选项B 中y ＝x a(a ≥0)中a >1.y ＝log a x (x >0)中0<a <1.不符合．选项C 中y ＝x a(x ≥0)中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中a >1.不符合．选项D 中y ＝x a (x ≥a )中0<a <1，y ＝log a x (x >0)中0<a <1，符合，选D ．(理)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由y ＝f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y ＝f ′(x )的函数值依次为正负正负，由此可排除B 、C 、D ．[方法点拨] 解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧，以节省解题时间．解答选择题的总体策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．17．(2015²四川文，5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x[答案] B[解析] A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋π4)是非奇非偶函数．故正确答案为B ．。
2016届高考数学(理)二轮复习专项强化训练23解析几何(含解析)
限时规范训练二十三[单独成册](建议用时45分钟)1．(2015·高考浙江卷)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k(x －t)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切Δ＝0，得k ＝t. 因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D(0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t 2， 直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t21＋t2.设△PAB 的面积为S(t)，则S(t)＝12|AP|·d＝t32.2．(2016·广东惠州调研)已知椭圆C 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62，点F(－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一定点A.解：(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋64b2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y22＝1.(2)证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由椭圆C 的标准方程为x 24＋y22＝1，可知|PF|＝1＋22＋y 21＝()x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF|＝2＋22x 2， |MF|＝＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝2＋22. ∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2. ①当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N(1，n)，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n，得线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n(x－1)，即(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.②当x 1＝x 2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎪⎫1，62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62. 线段PQ 的垂直平分线是x 轴，也过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的垂直平分线过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 3.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2，2)，四边形ABCD 的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，k AC ·k BD ＝－b2a2.(1)求OA →·OB →的取值范围；(2)求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，∴x 28＋y24＝1. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋2y 2＝8⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k2.y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2·2m 2－81＋2k 2＋km·－4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k 2.∵k OA ·k OB ＝－b 2a 2⇒y 1x 1·y 2x 2＝－12，∴m 2－8k 21＋2k 2＝－12·2m 2－81＋2k2⇒m 2＝4k 2＋2. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－81＋2k 2＋m 2－8k 21＋2k 2＝4k 2－22k 2＋1＝2－42k 2＋1， ∴－2≤OA →·OB →<2，当k ＝0时，OA →·OB →＝－2， 当k 不存在，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →＝2， ∴OA →·OB →的取值范围是[－2,2]． (2)由题意知S 四边形ABCD ＝4S △AOB . ∵S △AOB ＝12·1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2·|m|1＋k2＝24k 2＋21＋2k2＝22， ∴S △四边形ABCD ＝8 2.4．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．(1)证法一：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x＝k 4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k.∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB.证法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m ＝k ，即l 1∥AB.(2)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N. ∵M 是AB 的中点，∴|MN|＝12|AB|.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k(x 1＋x 2)＋4]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN|＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB|＝1＋k 2×1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22－－＝12k 2＋1×k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.。
2016届新课标高考理科数学第二轮知识点复习学案23
→＝(－4，－3)，1．(2015·课标Ⅰ，2，易)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)【答案】 A AB→＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－7，－4)，选A.2．(2015·江苏，6，易)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 由m a ＋n b ＝(9，－8)得， m (2，1)＋n (1，－2)＝(9，－8)， 即(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.【答案】 －31．(2014·广东，3，易)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)【答案】 B b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD→ B.12AD → C.BC→ D.12BC → 【答案】 A 如图，EB→＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →) ＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD→.方法点拨：正确运用平面向量三角形法则是解题关键．3．(2012·广东，3，易)若向量AB→＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →＝( )A ．(4，6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2，2)【答案】 A ∵AC→＝AB →＋BC →＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)，故选A.4．(2013·辽宁，3，易)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A ∵A (1，3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)，又∵|AB →|＝5，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB→|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.5．(2012·浙江，7，中)设a ，b 是两个非零向量．( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|【答案】 C 由|a ＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a 2＋b 2＋2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a ·b ＝－|a|·|b|，故a 与b 方向相反且|a|≥|b|.又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1，0)，使得b ＝λa.故A ，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|a ＋b|＝|a|－|b|，即D 命题不正确，故选C.6．(2011·山东，12，中)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】 D 由题意得AC→＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2，若C ，D 都在AB 的延长线上，则λ>1，μ>1，1λ＋1μ<2，这与1λ＋1μ＝2矛盾，故选D.7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP→|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解：(1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)， AC→＝(2，1)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，结合图形知(如图)，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1.故m －n 的最大值为1.考向1 平面向量的线性运算及共线问题1．向量的线性运算2．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa.(3)A ，B ，C 是平面上三点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC →＝P A →＋λAB→(如图所示)．3．向量共线定理的应用 (1)证明点共线； (2)证明两直线平行；(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．(1)(2014·福建，10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM→ D ．4OM → (2)(2013·四川，12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD →＝λAO →，则λ＝________．(3)(2014·江苏南京二模，10)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【思路导引】 解题(1)的关键是判断平行四边形中点M 的位置，点M 为两对角线的交点，即为两对角线的中点；题(2)应用加法的平行四边形法则；题(3)的思路是由P ，G ，Q 三点共线找出等量关系PQ →＝λPG →，再根据恒等关系列出方程组．【解析】 (1)依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.(2)在▱ABCD 中，由平行四边形法则得AB→＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.(3)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ→＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ→＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋ 13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.【答案】 (1)D (2)2 (3)31.向量的线性运算的解题策略(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．2．求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：OP→＝(1－t )OA →＋tOB →(t ∈R )． (5)OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. (1)(2012·大纲全国，9)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB→＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b (2)(2012·四川，7)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b |b|成立的充分条件是( )A ．|a|＝|b|且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b(1)【答案】 D ∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝|a |2＋|b |2＝5，CD ＝255.∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD→＝45AB →＝45(CB →－CA →) ＝45a －45b .(2)【答案】 D ∵a|a|表示与a 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a|＝b|b|.故选D.考向2 平面向量基本定理及其应用1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．(2)平面向量基本定理的实质平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．2．平面向量基本定理的应用(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，那么a ，e 1，e 2共面．(2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围)．(1)(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．【思路导引】 解题(1)的思路是先在△ABC 中用AB→和AC →表示DE →，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；题(2)方法一利用已知转化为AB→，AD →的关系，再利用AB →，AD →不共线求解，方法二利用几何图形和三点共线求解．【解析】 (1)∵DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23.∴λ1＋λ2＝12.(2)方法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB→，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85. 所以λ＋μ＝45.方法二：如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM→＋μAN →. ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45. 【答案】 (1)12 (2)45用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．(2014·山东济南质检，14)如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN→＝ 12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE→＝________． 【解析】 易得AN→＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE→＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )·AC→＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45.所以AE→＝25a ＋15b . 【答案】 25a ＋15b考向3 平面向量坐标运算的应用1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．3．平面向量中的重要结论G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． (1)(2014·北京，3)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9)(2)(2013·陕西，2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)(2013·北京，13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．【解析】 (1)根据平面向量坐标运算法则，得2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．(2)因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2.故选C.(3)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.【答案】 (1)A (2)C (3)4【点拨】 解题(1)的关键是掌握向量的坐标运算法则；解题(2)的方法是根据两向量共线的坐标表示的充要条件列出方程，进而求解；解题(3)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a ，b ，c 的坐标，利用a ，b ，c 之间的关系，列出方程求解．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．(2012·重庆，6)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10 【答案】 B 由⎩⎨⎧a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎨⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b|＝10，故选B.1．(2015·北京石景山一模，8)AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(2，4)，AC→＝(1，3)，则AD →＝( ) A ．(2，4) B ．(3，7) C ．(1，1) D ．(－1，－1) 【答案】 D 如图，BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴AD→＝BC →＝(－1，－1)，选D.2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C 因为a ∥b ，所以1×6－2x ＝0，解得x ＝3，选C.3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE→ C.AD → D.CF → 【答案】 D 由图知BA→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →－BC →＝CF →.4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP→＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D ．3【答案】 B 如图，因为AN→＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB→＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，故选B.5．(2014·皖南八校第三次联考，7)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 上的动点(可以与A 或B 重合)，如图所示，则DE →·CD →的最大值是( )A ．1 B.12 C ．0 D ．－1 【答案】 C 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE→＝λAB →＝λa (0≤λ≤1)， DE→＝AE →－AD →＝λa －b ， ∴DE→·CD →＝DE →·(－DC →) ＝(λa －b )·(－a ) ＝－λa 2＋a·b ＝－λ. 又0≤λ≤1，∴DE→·CD →的最大值为0.故选C. 6．(2015·山东淄博一模，7)定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b (λ∈R )，向量ON →＝λOA→＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x ＋1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32－2，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32＋2，＋∞ 【答案】 C 由题意知a ＝1，b ＝2，所以A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.所以直线AB的方程为y ＝12(x ＋3)．因为x M ＝λa ＋(1－λ)b ＝λ＋2(1－λ)＝2－λ，ON→＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λ(1，2)＋(1－λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，52－λ2，所以x N ＝2－λ，M ，N 的横坐标相同，且点N 在直线AB 上．所以|MN →|＝|y M －y N| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －12（x ＋3） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32. 因为x 2＋1x ≥2x 2·1x ＝2，且x 2＋1x ≤32，所以|MN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋1x －32＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ≤32－ 2.即|MN →|的最大值为32－2，所以k ≥32－2，选C. 7．(2015·湖南长沙一中月考，13)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝________.【解析】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89，∴n －m ＝13. 【答案】 138．(2015·河南洛阳一模，13)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.【解析】 k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.【答案】 －19．(2014·吉林长春一模，10)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为________．【解析】 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB→＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.【答案】 31．(2015·课标Ⅱ，4，易)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】 C ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2．(2015·重庆，7，易)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】 C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－2|a |2.又cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，|b |＝4|a |.∴cos 〈a ，b 〉＝－2|a |2|a |·4|a |＝－12. 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝23π.3．(2015· 广东，9，中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB→＝(1， －2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】 A ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5，选A.4．(2015·陕西，8，中)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B A 选项中，|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |恒成立(|cos θ|≤1)； B 选项中，当a ，b 反向共线或不共线时不成立； C 选项中，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立； D 选项中，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立．5．(2015·湖北，11，易)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 【解析】 ∵OA→⊥AB →，|OA →|＝3， ∴OA→·AB →＝0，∴OA →(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝|OA →|2＝9. 【答案】 96．(2015·浙江，13，中)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12，若平面向量b 满足b·e 1＝b·e 2＝1，则|b|＝________．【解析】 ∵e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3. 又∵b·e 1＝b·e 2＝1，∴|b||e 1|cos 〈b ，e 1〉＝|b||e 2|cos 〈b ，e 2〉 ＝1，即|b|cos 〈b ，e 1〉＝|b|cos 〈b ，e 2〉＝1，∴cos 〈b ，e 1〉＝cos 〈b ，e 2〉，∴〈b ，e 1〉＋〈b ，e 2〉＝π3，或〈b ，e 1〉＋〈b ，e 2〉＝53π(舍)．∴〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝π6，∴|b|＝1cos π6＝233. 【答案】2331．(2014·大纲全国，6，易)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】 B (2a －b )·b ＝2a·b －|b|2 ＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.2．(2013·湖北，7，中)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152【答案】 A 由条件知AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB→·CD →＝10＋5＝15. |CD→|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.3．(2014·湖南，10，中)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足||CD →＝1，则||OA →＋OB →＋OD →的取值范围是( ) A ．[4，6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27] D ．[7－1，7＋1] 【答案】 D 设动点D (x ，y )， ∵|CD→|＝1，CD →＝(x －3，y )，∴(x －3)2＋y 2＝1，∴D 点的运动轨迹是以(3，0)为圆心，1为半径的圆． 又OA→＋OB →＋OD →＝(－1＋x ，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2表示圆上的点到点(1，－3)的距离．又点(1，－3)到(3，0)的距离为d ＝4＋3＝7， ∴|OA→＋OB →＋OD →|的范围是[7－1，7＋1]． 4．(2014·重庆，12，易)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________.【解析】 |a|＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝|a||b|·cos 60°＝210×10×12＝10. 【答案】 105．(2014·四川，14，中)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】 c ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a|＝5，|b|＝25， 又∵cos 〈c ，a 〉＝c ·a |c||a|，cos 〈c ，b 〉＝c ·a |c||b|， 由题意知c ·a |a|＝c ·b |b|，即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.【答案】 26．(2014·江西，12，中)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a|＝________.【解析】 ∵|a|2＝a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2，又|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角余弦值为13，∴上式＝9－12×13＋4＝9，∴|a|＝3. 【答案】 37．(2014·江苏，12，中)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．【解析】 由题意，得AP→＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP→＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， ∴AP→·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD→2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－316×64， 解得AD →·AB →＝22. 【答案】 22方法点拨：借助AP →·BP →表示出AD →·AB →是解决本题的关键所在．考向1 平面向量的垂直与夹角1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a·b|a||b|. (5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．(1)(2014·课标Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5(2)(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3【解析】 (1)因为|a ＋b|＝10，所以|a ＋b|2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，所以4a ·b ＝4，a ·b ＝1.(2)∵a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，∴|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a·b ＝3＋3m .又a ，b 的夹角为π6，∴a·b |a||b|＝cos π6，即1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，解得m ＝ 3.【答案】 (1)A (2)B平面向量数量积的应用(1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直的问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．(1)(2013·江西，12)e1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．(2)(2013·山东，15)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP→＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． (1)【解析】 设a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的射影为|a|·cos θ＝a ·b |b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b|＝|2e 1|＝2，∴|a|·cos θ＝52.【答案】 52(2)【解析】 ∵AP→⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC→·AB →＝0. ∵向量AB→与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712. 【答案】 712思路点拨：解题(1)的关键是弄清楚a 在b 上的投影为|a|cos θ(θ为a 与b 的夹角)；解题(2)的方法是根据AP→·BC →＝0列出等量关系求出λ.考向2 平面向量的模及应用1．求平面向量的模的公式(1)a 2＝a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a ＝a 2； (2)|a±b|＝（a±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. 2．重要结论(1)||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．(1)(2013·湖南，8)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2014·湖北，12)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【思路导引】 解题(1)的思路是建立平面直角坐标系，设出c ＝(x ，y )，由向量的模找出c 的终点的运动轨迹，数形结合求解；解题(2)的方法一是代数法用向量的数量积直接运算；方法二是几何法．【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA→＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OC →＝c ＝(x ，y )．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以M (1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1，即|c |max ＝2＋1.(2)方法一：设OB→＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知，x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x－3y ＝0，解得x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB→|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB→|＝2 5. 【答案】 (1)C (2)2 51.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝a ·a 及(a±b )2＝|a|2±2a ·b ＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．2．求向量模的最值(范围)的方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． (2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(2011·天津，14)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________． 【解析】 以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )．P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25， 当x ＝3a4时取等号． ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】 5思路点拨：建立合适的平面直角坐标系，将|P A →＋3PB →|表示成某个变量的函数，然后求最值．1．(2015·山东省实验中学二模，6)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．1 D ．－1【答案】 A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3，选A.2．(2015·河南洛阳质检，6)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )A.π2B.π3 C.π4 D.π6【答案】 B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos a ，b＝a ·b|a||b|＝31×6＝12， 所以a ，b＝π3，选B.3．(2015·福建漳州五校期末，6)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b|等于( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．3【答案】 C 由已知得|a|cos 〈a ，b 〉＝|b|cos 〈a ，b 〉．又|a|＝1，|b|＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b|＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝5.4．(2014·北京朝阳二模，4)在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC 等于( )A ．60°或120°B ．120°C ．150°D ．30°或150°【答案】 C ∵AB→·AC →<0，∴∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，S △ABC ＝32，∴12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝32，∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°， 故选C.5．(2014·河南开封二模，8)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( ) A.49 B.43 C ．－43 D ．－49【答案】 A 根据向量的加法PB →＋PC →＝2PM →，得AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP→|·|PM →|·cos 0°＝2×23×13×1＝49. 6．(2015·广东惠州一模，6)若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】 D e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－72，|a|＝（2e 1＋e 2）2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝4＋2＋1＝7，|b|＝（－3e 1＋2e 2）2＝9e 21－12e 1·e 2＋4e 22＝9－6＋4＝7，所以a ，b 的夹角的余弦值为cos a ，b＝a ·b|a||b|＝－727×7＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.选D.7．(2015·河北石家庄调研，5)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1 D. 2【答案】 A ∵a ·b ＝0，且|a|＝|b|＝|c|， 所以|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ， c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈(a ＋b )，c 〉，所以当cos 〈(a ＋b )，c 〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2，所以|a ＋b －c |的最小值为2－1.选A.8．(2015·湖南师大附中月考，12)如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB→＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝________.【解析】 由已知得|AB →|＝2，|AC →|＝24，则OC →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →)·AB→＝OA →·AB →＋AC →·AB →＝2cos 3π4＋24×2＝－12.【答案】 －12易错点拨：OA →与AB →的夹角常误以为π4，在解题时一定要分清是向量的夹角还是其补角．9．(2015·山东枣庄一模，13)已知|OA→|＝1，|OB →|＝2，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝45°，设OC →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )，则m n ＝________.【解析】 因为OA→·OB →＝0，所以向量OA →⊥OB →，将OA →，OB →放在平面直角坐标系中，如图所示，因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，所以A (1，0)，B (0，2)．因为∠AOC ＝45°，所以点C 在直线y ＝x 上，设C (x ，x )，则OC→＝(x ，x )．由OC→＝mOA →＋nOB →，得(x ，x )＝m (1，0)＋n (0，2)，即(x ，x )＝(m ，2n )，所以m ＝2n ，即mn ＝ 2.【答案】21．(2015·湖南，9，中)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】 B 由AB ⊥BC ，且A ，B ，C 在圆上， 所以AC 为圆的直径．所以|P A →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO→|＋|PB →|，|PO →|＝2，所以当|PB →|最大时取最值，|PB →|max ＝3. 所以|P A →＋PB→＋PC →|≤4＋3＝7. 2．(2015·安徽，15，难)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量； ②b 为单位向量； ③a ⊥b; ④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC→.【解析】 ∵BC→＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，∴BC→∥b ，且|b|＝|BC →|＝2，故④正确，b 不是单位向量，故②错误． 又∵AB→＝2a ，∴|AB →|＝2|a|＝2， ∴|a|＝1，故a 是单位向量，则①正确． 又a·b ＝|a||b|cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1≠0，故③不正确．∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b|2＝4×(－1)＋22＝0，即4a ＋b 与BC →垂直，故⑤正确． 综上所述，正确的是①④⑤. 【答案】 ①④⑤3．(2015·天津，13，易)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF→＝16DC →，则AE→·AF →的值为________．【解析】 如图，依题意得DC ＝1， 则AE→·AF →＝(AB →＋BE →)·(AB →＋BC →＋CF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋BC →－512AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫712AB →＋BC → ＝712|AB →|2＋23|BC →|2＋2518AB →·BC → ＝712×4＋23×1＋2518×2×1×cos 120° ＝2918.【答案】 29184．(2015·江苏，14，难)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则 ∑11k ＝0(a k ·a k ＋1)的值为________． 【解析】 a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cosk ＋16π ＝cos k π6cos k ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cos k π6cos k ＋16π＋sin k π6sin k ＋16π＋sin k π6cos k ＋16π＋cos k π6sin k ＋16π＋cos k π6cos k ＋16π＝cos π6＋sin 2k ＋16π＋cos k π6cos k ＋16π， ∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)＝12cos π6＋∑11k ＝0sin 2k ＋16π＋∑11k ＝0cos k π6cos k ＋16π＝63＋0＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12×32＋0＝9 3. 【答案】 9 31．(2012·陕西，7，易)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－1【答案】 C ∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos 2θ－1＝0，∴cos 2θ＝0，故选C.2．(2014·浙江，9，难)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定 【答案】 B |b ＋t a |＝（b ＋t a ）2 ＝b 2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2a 2 ＝|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋t 2|a |2，令y ＝t 2|a |2＋2t |a ||b |cos θ＋|b |2，则y 是关于t 的一元二次函数．又∵|a |>0，∴其图象开口向上，因此在对称轴t ＝－|b ||a |·cos θ处取得最小值，由已知y min ＝4|a |2|b |2－4|a |2|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2－|b |2cos 2θ＝|b |2(1－cos 2θ)＝1， ∴|b |2sin 2θ＝1， ∴|b |sin θ＝1，∴若θ确定，sin θ确定，从而|b |确定． 若|b |确定，因为0≤θ≤π，所以θ不确定．3．(2014·安徽，10，难)设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．0【答案】 B x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4的可能取值情况为|a|2＋|a|2＋|b|2＋|b|2＝10|a|2或2a·b ＋|a|2＋|b|2＝5|a|2＋2a·b ＝5|a|2＋4|a|2cos 〈a ，b 〉或4a·b ＝4|a||b|cos 〈a ，b 〉＝8|a|2cos 〈a ，b 〉，代入选项知当〈a ，b 〉＝π3时，8|a|2cos 〈a ，b 〉＝4|a|2，符合题意．4．(2013·重庆，14，易)在以OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB→＝(－2，k )，则实数k ＝________． 【解析】 根据数量积的几何意义知OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＝9＋1＝10，∵OA→·OB →＝(－3)×(－2)＋1×k ＝6＋k ， ∴6＋k ＝10，解得k ＝4. 【答案】 45．(2012·北京，13，易)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE→·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 【解析】 以A 点为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E (a ，0)，0≤a ≤1.DE →·CB →＝(a ，－1)·(0，－1)＝a ×0＋(－1)×(－1)＝1.DE →·DC →＝(a ，－1)·(1，0)＝a ＋(－1)×0＝a ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 【答案】 1 16．(2012·上海，12，中)在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM→·AN →的取值范围是________．【解析】 以矩形的顶点A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立坐标系，如图所示，则B (2，0)，D (0，1)，C (2，1)．设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝a ，则0≤a ≤1，|CN →|＝2a ，|BM →|＝a ， ∴M (2，a )，N (2－2a ，1)． AM→＝(2，a )，AN →＝(2－2a ，1)． ∴AM→·AN →＝4－3a . 又0≤a ≤1，∴1≤4－3a ≤4， ∴AM→·AN →∈[1，4]． 【答案】 []1，47．(2013·天津，12，中)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 方法一：如图，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC→·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝1， 则AD→2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.① 因为|AD→|＝1，∠BAD ＝60°，所以AB→·AD →＝12|AB →|， 因此①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1. 解得|AB→|＝12或|AB →|＝0(舍去)， 所以AB 的长为12.方法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立如图的直角坐标系，过D 作DM ⊥AB 于点M .由AD ＝1，∠BAD ＝60°， 可知AM ＝12，DM ＝32.设|AB |＝m (m ＞0)，则B (m ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.因为E 是CD 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12，32.所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ，32，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，32.由AC→·BE →＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12m ＋34＝1，即2m 2－m ＝0，所以m ＝12或m ＝0(舍去)． 故AB 的长为12. 【答案】 12思路点拨：方法一利用平面向量运算，将AC→，BE →用已知向量AB →表示，然后求解；方法二建立合适的坐标系用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．8．(2011·浙江，15，中)若平面向量α，β满足||α＝1，||β≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________．【解析】 ∵以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，即2×12|α||β|sin θ＝12，|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ≥12.又θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π69．(2013·辽宁，17，12分，中)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当2x －π6＝π2，即x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.考向1 平面向量在平面几何中的应用平面向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，常用公式： cos θ＝a ·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 |a|＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB |＝|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (1)(2013·福建，10)在四边形ABCD 中，AC→＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10(2)(2014·天津，13)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．【解析】 (1)AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5，故选C. (2)如图，由题意可得AB→·AD →＝|AB →|·|AD →|cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，在菱形ABCD 中，易知AB →＝DC →，AD →＝BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF→＝AD →＋DF →＝1λAB →＋AD →，AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAB →＋AD →＝4λ＋43－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2.【答案】 (1)C (2)2【点拨】 解题(1)的关键是利用向量证明AC ⊥BD ；解题(2)的关键根据条件把向量AF→，AE →用向量AB →，AD →表示出来，再用向量数量积公式运算．用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题；。
(全国通用)2016高考数学二轮复习微专题强化练：全套专题(含答案)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题1 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)[答案] A[解析] A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.(理)(2014·甘肃三诊)若A＝{x|2<2x<16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B中元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] A＝{2,3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{2}，故选B.[方法点拨] 1.用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程(不等式)求出集合，特别注意集合中的限制条件(如x∈Z)．3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，常用V e nn图求解．2．(文)(2014·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.(理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [分析] 根据四种命题的关系判定． [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2015·天津理，1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[答案] A[解析] ∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}，故选A.4．(文)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B 的元素数目为( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多[答案] C[解析] 函数y ＝2x与y ＝2x 的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |32<x ≤3}B ．{x |32<x <3}C ．{x |32≤x <2}D ．{x |32<x <2}[答案] B[解析] M ＝{x |x ≤32}，N ＝{x |x <3}，∴阴影部分N ∩(∁U M )＝{x |x <3}∩{x |x >32}＝{x |32<x <3}．5．(文)(2014·邯郸一模)下列命题错误的是( )A．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件[答案] C[解析] p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．[点评] 此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．[方法点拨] 1.判定命题真假的方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．(3)形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．(4)判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．2．注意含逻辑联结词的命题的否定．3．设函数y＝f(x)(x∈A)的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f(x)恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f(x)恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f(x0)成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f(x0)成立，则a≥m.(理)(2015·安徽理，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案] D[解析] 考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B 中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.6．(文)已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2C．1 D．0[答案] B[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．常见命题的否定形式有：2.(1)简单命题“若A则B”的否定．(2)含逻辑联结词的复合命题的否定．(3)含量词的命题的否定．3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．(理)有下列四个命题：(1)若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(1)(2)(3)[答案] D[解析] (1)的逆命题：“若x 、y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的，故选D.7．(文)(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在，若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 [答案] C[解析] ∵x ＝x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x )＝0，即q ⇒p ，而由f ′(x 0)＝0，不一定得到x 0是极值点，故p ⇒/ q ，故选C.(理)已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,4]B ．(－∞，4)∪(2，＋∞)C ．[1,5]D ．(－∞，0)∪(6，＋∞) [答案] A[解析] 由|x －3|≤2得，1≤x ≤5；由(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0得，m －1≤x ≤m ＋1. ∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.[方法点拨] 1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．2．要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么¬p 是¬q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么¬p 是¬q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么¬p 是¬q 的充要条件．3．命题p 与q 的真假都与m 的取值范围有关，使命题p 成立的m 的取值范围是A ，使命题q 成立的m 的取值范围是B ，则“p ⇒q ”⇔“A ⊆B ”．8．(2015·安徽理，3)设p ：1＜x ＜2，q ：2x＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查指数运算与充要条件的概念．由q ：2x>20，解得x >0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.9．(文)(2015·青岛市质检)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥βD ．若m ∥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β [答案] C[解析] 当m ∥α，n ⊥β，m ⊥n 时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A ，B 错误；如图所示，由m ∥n ，得m ，n 确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l ，因为m ∥α，所以m ∥l ，l ∥n ，又n ⊥β，所以l ⊥β，又l ⊂α，所以α⊥β，故选项C 正确，D 错误，故选C.(理)(2015·潍坊市模拟)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是( ) A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．p ∧(¬q )是真命题 D ．(¬p )∧q 是真命题 [答案] C[解析] 因为当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，所以p 是真命题，当x >0时，2x>1，所以q 是假命题，所以p ∧(¬q )是真命题，(¬p )∧q 是假命题．10．(文)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( )A．3 B．4C．8 D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.(理)设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是( )A．存在有限集S，S是一个“和谐集”B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R[答案] D[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可．[解析] 对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝2k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．11．(文)(2015·陕西理，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 充分性：sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0，所以充分性成立；必要性：cos 2α＝0⇒(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝0⇒sin α＝±cos α，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.(理)(2015·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若3a >3b>3，则a >b >1，从而有log a 3<log b 3，故为充分条件．若log a 3<log b 3不一定有a >b >1，比如a ＝13，b ＝3，从而3a >3b>3不成立．故选B.12．(文)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. (理)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≤－3 [答案] A[解析] 条件p ：x >1或x <－3，所以¬p ：－3≤x ≤1； 条件q ：x >a ，所以¬q ：x ≤a ，由于¬p 是¬q 的充分不必要条件，所以a ≥1，故选A. 13．(文)(2014·重庆理，6)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧(¬q ) C ．(¬p )∧q D ．p ∧(¬q )[答案] D[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．(理)已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或¬qC ．¬p 且¬qD ．p 或q[答案] D[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．14．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋b i，则z2＝a－b i.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋b i，z2＝－a＋b i，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．15．(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)[答案] A[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．(理)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)[答案] A[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.16．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x2－y，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2[答案] C[解析] 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.(理)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；②命题p ：x ≠2或y ≠3，命题q ：x ＋y ≠5则p 是q 的必要不充分条件；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；④若随机变量x ～B (n ，p )，则D (X )＝np .⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆半径)．∴①为真命题；∵x ＝2且y ＝3时，x ＋y ＝5成立，x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3不成立，∴“x ＋y ＝5”是“x ＝2且y ＝3”的必要不充分条件，从而“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题， ∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题． ⑤显然为真命题，故选C. 二、填空题17．(文)设p ：关于x 的不等式a x>1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则a 的取值范围是________．[答案] (0，12]∪[1，＋∞)[解析] p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，即a >12.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．(理)(2015·青岛市质检)设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________． [答案] ②④[分析] 按集合τ的定义逐条验证．[解析] ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，因为{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③不是集合X 上的一个拓扑；④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.18．(文)(2015·郑州第二次质量检测)下列说法： ①“∃x ∈R,2x >3”的否定是“∀x ∈R,2x≤3”； ②函数y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )的最小正周期是π；③命题“函数f (x )在x ＝x 0处有极值，则f ′(x 0)＝0”的否命题是真命题；④f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x >0时的解析式是f (x )＝2x，则x <0时的解析式为f (x )＝－2－x.其中正确的说法是________． [答案] ①④[解析] ①对，特称(存在性)命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y ＝sin(2x ＋π3)sin(π6－2x )＝sin(2x ＋π3)·sin[π2－(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋π3)cos(2x ＋π3)＝12sin(4x ＋2π3)，故其周期应为2π4＝π2；③错，因为原命题的逆命题“若f ′(x 0)＝0，则函数f (x )在x ＝x 0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x <0，则－x >0，故有f (－x )＝2－x＝－f (x )，解得f (x )＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．[易错分析] 命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f (x )＝x 3等函数．(理)(2015·山东临沂二模)给出下列四个结论： ①“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题；②若x ，y ∈R ，则“x ≥2或y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件； ③函数y ＝log a (x ＋1)＋1(a >0且a ≠0)的图象必过点(0,1)；④已知ξ服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)＝0.2. 其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号)． [答案] ②③[解析] ①错，因为逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时，命题不成立；∵x ≥2与y ≥2只要有一个成立就有x 2＋y 2≥4，但是当x ＝32，y ＝32时，x 2＋y 2＝92>4却不满足x ≥2或y ≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断)；当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以③正确；根据正态分布的对称性可知P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，所以P (ξ>2)＝1－2P －2≤ξ2＝1－0.82＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③. [易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题2 函数的概念、图象与性质一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ文，5)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性． 由f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，得f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴f (x )·g (x )是奇函数，|f (x )|g (x )是偶函数，f (x )|g (x )|是奇函数，|f (x )g (x )|是偶函数，选C.[方法点拨] 函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0，偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(理)(2015·安徽理，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1[答案] A[解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念．由选项可知，B ，C 项均不是偶函数，故排除B ，C ；A ，D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.2．(文)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x≤1，x >－3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0，∴f (x )定义域为(－3,0]． (理)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查函数定义域的求法． 由题设得x 2－x >0，解得x <0或x >1，选C.[方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f (x )是整式时，定义域是全体实数；②f (x )是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f (x )为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f (x )是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查，这时一般应从外到内逐层剥离解决．例如，y ＝12－log 3x，从总体上看是分式，故先由分母不为0得到2－log 3x ≠0，再由偶次方根下非负得到2－log 3x >0，即log 3x <2，最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到0<x <9.3．(2015·山东理，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1.)则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 当a ≥1时，f (a )＝2a＞1， ∴f (f (a ))＝2f (a )，当a ＜1时，f (a )＝3a －1，若f (f (a ))＝2f (a )，则f (a )≥1，即3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1，综上a ≥23.∴选C.[方法点拨] 1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f (g (x ))的函数求值应遵循先内后外的原则． 4．(2015·湖北理，6)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( )A ．sgn [g (x )]＝sgn xB ．sgn [g (x )]＝sgn [f (x )]C ．sgn [g (x )]＝－sgn xD ．sgn [g (x )]＝－sgn [f (x )] [答案] C[解析] 考查新定义问题及函数单调性的应用．因为f (x )是R 上的增函数，a ＞1，所以当x ＞0时，ax ＞x ，f (x )＜f (ax )，g (x )＜0；x ＝0时，ax ＝x ，f (x )＝f (ax )＝f (0)，g (0)＝0；x ＜0时，ax ＜x ，f (x )＞f (ax )，g (x )＞0.因此sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .故本题正确答案为C.5．(文)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析] ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1，则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0，所以排除B 、D ，选A.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0ln x ， x ＞0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 结合图象分析．当k >0时，f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈(－∞，－1k)或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1、x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3、x 4，共存在4个零点，故选D.6．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)[答案] D[解析] 本题考查复合函数的单调性，f (x )＝log 12(x 2－4)由y ＝log 12u 及u ＝x 2－4复合而成，y ＝log 12u 在定义域内为减函数，而u ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.7．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 画出两函数的图象知，当0<x <1时，有一个交点，又f (1)＝g (1)＝0；当x >1时，f (x )＝0<g (x )恒成立，故选C.(理)函数f (x )＝log 12cos x (－π2<x <π2)的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除A ，B ；又x ∈[0，π2]时，cos x ∈(0,1]，f (x )＝log 12cos x >0，排除D ，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u ＝cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为增函数和减函数，而y ＝log 12u 为减函数，故复合函数f (x )＝log 12cos x 在区间(－π2，0)、(0，π2)上分别为减函数和增函数，故选C.8．(文)如果我们定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥h ，hg <h ，已知函数f (x )＝2x⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 由定义知，当x ≥0时，2x≥1，∴f (x )＝2x，当x <0时，2x<1，∴f (x )＝1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位得到，故选B.[方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件． 2．恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用． 3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论． (理)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又为偶函数D ．非奇函数且非偶函数[答案] A[解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法，难度中等． 根据所给的运算定义得函数f (x )＝2⊕x x ⊗－2＝4－x2|x －2|－2，求出函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，且x －2≤0，所以函数f (x )＝4－x2|x －2|－2＝4－x2－x －2＝4－x2－x，易知f (－x )＝－f (x )，所以原函数为奇函数，故选A. [易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将－x 代入，导致选择错误答案D.9．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x <0f x －，x ≥0，则f (2013)等于( )A ．－1B ．2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵2013＝403×5－2，∴f (2013)＝f (－2)＝log 22＝1.(理)(2014·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．分别令x ＝1和x ＝－1可得f (1)－g (1)＝3且f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧f－g ＝3，f ＋g＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，g ＝－1.⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C.10．(2015·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23)[答案] B[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，如何利用单调性构造不等式是解答本题的关键所在，难度中等．由于函数为偶函数，故f (ax －1)＝f (|ax －1|)，因此f (ax －1)<f (2＋x 2)⇔f (|ax －1|)<f (2＋x 2)，据已知单调性可得f (|ax －1|)<f (2＋x 2)⇔|ax －1|<2＋x 2，据题意可得不等式|ax －1|<2＋x 2恒成立，即－(2＋x 2)<ax －1<2＋x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋3>0，x 2＋ax ＋1>0恒成立，据二次函数知识可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－12<0，a 2－4<0，解得－2<a <2，故选B.[易错分析] 考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化，且讨论过程出错率也较高．利用整体思想将偶函数的条件拓展，利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程．11．(文)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间(1,2)上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1][答案] D[解析] 由f (x )在(1,2)上为减函数得a ≤1；由g (x )＝ax ＋1在(1,2)上为减函数得a >0，∴0<a ≤1.(理)函数f (x )＝(12)－x 2＋2mx －m 2－1的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] B[解析] ∵－x 2＋2mx －m 2－1＝－(x －m )2－1≤－1， ∴(12)－x 2＋2mx －m 2－1≥2， ∴f (x )的值域为[2，＋∞)，∵y ＝(12)x 单调递减，y ＝－(x －m )2－1的单调减区间为[m ，＋∞)，∴f (x )的单调增区间为[m ，＋∞)．由条件知m ＝2.[方法点拨] 函数单调性判定方法一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．三是利用导数研究．对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．12．(2015·浙江宁波期末)设函数y ＝f (x )是定义在R 上以1为周期的函数，若g (x )＝f (x )－2x 在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g (x )在[－2012,2012]上的值域为( )A ．[－2,6]B ．[－4030,4024]C ．[－4020,4034]D ．[－4028,4016][答案] C[解析] 本题考查函数性质与归纳推理的应用，考查对抽象函数的理解和应用，难度较大．求出几个区间的值域，再进行归纳推理．当x ∈[3,4]时，x －1∈[2,3]，g (x －1)＝f (x －1)－2(x －1)，且g (x －1)∈[－2,6]，又f (x )的周期为1，所以f (x )－2x ＝f (x －1)－2x ＝g (x －1)－2∈[－4,4]，所以g (x )在[2,4]内的值域为[－4,6]．同理，当x ∈[4,5]时，g (x )的值域是[－6,2]，所以g (x )在[2,5]内的值域为[－6,6]，…，g (x )在[2,2012]内的值域为[－4020,6]．g (x )在[1,2]内的值域为[0,8]，g (x )在[1,2012]内的值域为[－4020,8]，…，所以g (x )在[－2012,2012]内的值域为[－4020,4034]，故选C.[易错分析] 抽象函数值域的求解是一个难点，尤其是与年份相关的周期函数的值域问题，难度更大．利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换，使函数g (x )能够特殊化，从而归纳得出结论．13．(文)已知f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，a ＝f (2)、b ＝f (log 32)、c ＝f (12)，则有 ( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[答案] D[解析] ∵f (x ＋1)为偶函数，∴其图象关于y 轴对称， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 又∵函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递增， ∵f (2)＝f (0)，且0<12<log 32，∴f (2)<f (12)<f (log 32)，∴a <c <b .(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ＋1，－1≤x <k x 5－3x ＋2，k ≤x ≤a，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[12，3]C ．(0，3]D ．{2}[答案] B[解析] 当a ＝2时，f (x )＝x 5－3x ＋2，k ≤x ≤2，f (2)＝28不合题意，∴a ≠2，排除A 、D ；当a ＝13时，∵k ≤x ≤a ，∴k ≤13 ，当k ＝13时，－1≤x <13，23<1－x ≤2，∴log 223<log 2(1－x )≤1，又log 223<0，∴不合题意，排除C ，故选B.二、填空题14．(文)设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，23)[解析] f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，得f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)，又f (1)>1，所以f (2)<－1，即2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. (理)设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx .其中属于集合M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④ [解析] 对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④.15．如图所示，f (x )是定义在区间[－c ，c ](c >0)上的奇函数，令g (x )＝af (x )＋b ，并有关于函数g (x )的四个论断：①若a >0，对于[－1,1]内的任意实数m 、n (m <n )，g n －g mn －m>0恒成立；②函数g (x )是奇函数的充要条件是b ＝0； ③∀a ∈R ，g (x )的导函数g ′(x )有两个零点； ④若a ≥1，b <0，则方程g (x )＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②③[解析] ①∵g (x )＝af (x )＋b ，∴g n －g m n －m ＝a [f n －f mn －m，由图知对于f (x )在[－1,1]上任意两点A (m ，f (m ))，B (n ，f (n ))，有k AB ＝f n －f mn －m>0，又a >0，∴g n －g mn －m>0恒成立，故①正确；②g (x )为奇函数⇔g (－x )＝－g (x )⇔af (－x )＋b ＝－af (x )－b ⇔2b ＝－a [f (－x )＋f (x )]，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，故g (x )为奇函数⇔b ＝0，故②正确；③g ′(x )＝af ′(x )，由图知f (x )在[－c ，c ]上减、增、减，∴f ′(x )在[－c ，c ]上取值为负、正、负，从而当a ≠0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上与x 轴必有两个交点，又a ＝0时，g ′(x )＝0在[－c ，c ]上恒成立，∴∀a ∈R ，g ′(x )在[－c ，c ]上有两个零点，故③正确；④取a ＝1，b ＝－5，则g (x )＝f (x )－5与x 轴无交点，∴方程g (x )＝0无实根，∴④错误．三、解答题16．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f (12)＝0，当x >12时，f (x )>0.(1)求f (1)；(2)判断f (x )的增减性并证明．[解析] (1)令x ＝y ＝12，得f (1)＝f (12)＋f (12)＋12＝12.(2)f (x )为增函数，证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 2>x 1，Δx ＝x 2－x 1>0，则：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝f (Δx )＋f (x 1)＋12－f (x 1)＝f (Δx )＋12＝f (Δx )＋f (12)＋12＝f (Δx ＋12)，又∵Δx >0，∴Δx ＋12>12，∴f (Δx ＋12)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在R 上是增函数．[方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论，常结合条件式通过赋值转化解决，赋值时要紧扣目标进行．如判断奇偶性要创设条件产生f (－x )与f (x )的关系式；判断单调性，则要在设出x 1<x 2的条件下，构造产生f (x 1)－f (x 2)(或f x 1f x 2)，朝着可判断正负(或可与1比较。
2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练(含解析)
【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练（含解析）一、选择题1．已知向量a 、b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[审题要点] 弄清问题、熟悉问题和转化问题 要求向量的夹角，可由cos θ＝a ·a ＋2b|a ||a ＋2b |求解，这是求向量夹角的常用方法，→由已知可求解a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b 的值． →由已知可求|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2的值， 进而可求|a ＋2b |的值． →由上述步骤可求得cos θ＝a ·a ＋2b|a ||a ＋2b |的值．[解析] |a ＋2b |2＝4＋4＋4a ·b ＝8＋8cos60°＝12， ∴|a ＋2b |＝23，记向量a 与向量a ＋2b 的夹角为θ， 则a ·(a ＋2b )＝|a |·|a ＋2b |·cos θ ＝2×23cos θ＝43cos θ，又a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝4＋4cos60°＝6， ∴43cos θ＝6，cos θ＝32， 又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，故选D ．2．(文)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2[答案] D[审题要点] 仔细观察会发现f (x )的表达式中“a sin x ＋bx ”有其特殊性，即g (x )＝a sin x ＋bx 为奇函数，这是本题审题第一关键要素，其实从f (1)与f (－1)的提示，也应考虑是否具有奇偶性可用，由此可知f (1)＋f (－1)＝2c ；再注意观察细节可以发现c ∈Z ，从而2c 为偶数．[解析] 令g (x )＝a sin x ＋bx ，则g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)，∴f (x )＝g (x )＋c .∴f (1)＋f (－1)＝g (1)＋c ＋g (－1)＋c ＝2c ， ∵c ∈Z ，∴2c 为偶数， ∵1＋2＝3不是偶数，∴1和2一定不是f (1)与f (－1)的一组值，故选D ．(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2][答案] C[审题要点] 求a 的取值范围，需解给出的不等式，条件中的单调递增为解不等式时脱去函数符号“f ”所备，f (x )为偶函数，为化不等式为f (x 1)≤f (x 2)型而准备．解题思路步骤为：由log 12a ＝－log 2a――→偶函数f log 2a ≤f 1――→单调递增|log 2a |≤1――→隐含a >0a 的范围[解析] 因为log 12a ＝－log 2a 且f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C ．[方法点拨] 注意发掘隐含条件有的题目条件不甚明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，注意深入挖掘这些隐含条件和信息，就可避免因忽视隐含条件而出现的错误．3．(文)(2014·浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90cm 2B ．129cm 2C ．132cm 2D ．138cm 2[答案] D[审题要点]――→分析三视图组合体――→形状特征长方体和直三棱柱――→数据特征长方体的长、宽、高为4、6、3；直棱柱底面直角三角形两直角边长4、3，棱柱高为3――――――――――――→选择表面积公式或计算方法注意公共部分表面积 [解析] 由三视图知该几何体是一个直三棱柱与长方体的组合体，长方体长、宽、高分别为4cm,6cm,3cm ，直棱柱高为3cm ，底面为直角三角形，两直角边长为3cm 、4cm ，∴几何体的表面积为S ＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×12×3×4＝138cm 2，选D ．(理)若函数 f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 、d ∈R )的图象如图所示，则a b c d ＝( )A ． 165 (－8)B ． 1(－6)5 (－8)C ． 1(－6)58D ． 1658[答案] B[解析] ∵f (x )的图象以x ＝1和x ＝5为渐近线， ∴1和5是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5.∴c ＝5a ，b ＝－6a ；∵图象过点(3,2)，∴d9a ＋3b ＋c ＝2，∴d ＝－8a ，∴a b c d ＝a (－6a )(5a )(－8a )＝1(－6)5(－8)．[方法点拨] 注重挖掘图形信息：在一些高考数学试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息来解决问题．题目中未给出图形的，可画出图形，借助图形分析探寻解题途径．4．(文)(2014·福州市质检)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x (x －π2)(x －3π2)[答案] C[解析] 注意到题中所给曲线关于原点对称，因此相应的函数是奇函数，选项D 不正确；对于A ，f ′(x )＝1＋cos x ≥0，因此函数f (x )＝x ＋sin x 是增函数，选项A 不正确；对于B ，由于f (x )的图象过原点，因此选项B 不正确．综上所述知选C ．(理)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A ．23B ．33C ．23D ．13[答案] A[解析] 解法1：如图，连接C 1O ，过C 作CM ⊥C 1O .∵BD ⊥平面C 1CO ，∴BD ⊥CM ，∴CM ⊥平面BC 1D ∴∠CDM 即为CD 与平面BDC 1所成的角 令AB ＝1，∴AA 1＝2，CO ＝22， C 1O ＝22＋222＝92＝322， CM ·C 1O ＝CC 1·CO ，即322CM ＝2·22，∴CM ＝23， ∴sin ∠CDM ＝CM CD ＝23.解法2：以D 为原点DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，则x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－2,1)，设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n |·|DC →|＝23.5．(2015·郑州市质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝( )A ．1B ．13 C ．29 D ．38[答案] D[解析] 由茎叶图知乙的中位数为32＋342＝33，故m ＝3，∴甲的平均数为13(27＋33＋39)＝33，∴14(n ＋2＋4＋8＋20＋30×3)＝33，解得n ＝8，∴m n ＝38.[方法点拨] 注意读图识表，挖掘图表数据：在数据题目的图表数据中包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．审题时认真观察分析图表、数据的特征和规律，可为问题解决提供有效的途径．6．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1、x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f (x 1＋x 22)<f x 1＋f x 22，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3[答案] C[解析] 观察图象可知选C ．C 的正确性证明如下： 欲证f (x 1＋x 22)<f x 1＋f x 22，即证(x 1＋x 22)2<x 21＋x 222，即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22，即证(x 1－x 2)2>0.此式显然成立．故原不等式得证． [方法点拨] 注意对新定义的理解与转化：遇到新定义问题，要先弄清楚新定义的含义，将其用学过的熟知的数学知识加以转化，然后在新背景下用相应的数学知识方法解决．7．(文)设P 、Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2[答案] D[解析] 由圆的性质可知P 、Q 两点间的最大距离为圆心A (0,6)到椭圆上的点的最大距离与圆的半径之和，设Q (x ，y )，则AQ 2＝x 2＋(y －6)2＝10－10y 2＋y 2－12y ＋36＝46－9y 2－12y ＝－9(y ＋23)2＋50，当y ＝23时，|AQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.(理)(2014·福建文，11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49[答案] C[解析] 可行域如图：圆心C (a ，b )，则|b |＝1，由图知b ＝1，而当y ＝1时，由y ＝7－x 知x ＝6，所以a 2＋b 2最大值为62＋12＝37.8．(文)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有4个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A ．24B ．36C ．48D ．12[答案] B[解析] 正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着一个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，一条体对角线无满足要求的平面∴共有36个．(理)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积．如果数列{a n }既是“等和数列”，又是“等积数列”，且公和与公积是同一个非零常数m ，则( )A ．数列{a n }不存在B ．数列{a n }有且仅有一个C ．数列{a n }有无数个，m 可取任意常数D ．当m ∈(－∞，0]∪[4，＋∞)时，这样的数列{a n }存在 [答案] D[解析] 由题设a n ＋a n ＋1＝m ，a n ·a n ＋1＝m ，对任意正整数n 都成立，则a n 与a n ＋1是一元二次方程x 2－mx ＋m ＝0的两实数根，∴Δ＝m 2－4m ≥0，∴m ≥4或m ≤0，故这样的数列{a n }，当m ≥4或m ≤0时存在，但当0<m <4时不存在．二、填空题9．(文)(2014·乌鲁木齐诊断)已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，S n 、T n 分别是它们的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16的值为________．[答案] 315[解析] a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2a 11＋a 122b 11＋b 12＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝22a 1＋a 22222b 1＋b 222＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.(理)(2014·郑州市质检)我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”)，则“北斗数”中千位为2的共有________个 .[答案] 21[分析] 由北斗数的定义分类，个数、十位、百位数字之和为5，则0＋0＋5＝0＋1＋4＝0＋2＋3＝1＋1＋3＝2＋2＋1，共5类．[解析] 个、十、百位上的数字为0、0、5，共3个，个、十、百位上数字为0、1、4，共A 33＝6个；个、十、百位上数字0、2、3，共A 33＝6个；个、十、百位上数字为1、1、3，共3个；个、十、百位上数字为2、2、1，共3个，故共有21个．10．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] 考查归纳推理．f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x1＋3x，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． [审题要点](1)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 在点a ，f a 处相切――→导数的几何意义f ′a ＝0，f a ＝b――→解方程组求得a ，b(2)直线y ＝b 与曲线y ＝f x 有两个不同的交点 ――→从y ＝f x 的图象考虑判断曲线y ＝f x的形状――→利用导数判断y ＝f x的单调性、极值图象先减后增――→结合图象b 只需大于y ＝f x 的最小值――→导数知识求y ＝f x 的最小值[解析] 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )． (1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切， 所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )． 解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )1所以函数f (x f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ， 所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．[方法点拨] 审视条件 了解和转换解题信息审题时，一是对题目条件信息的挖掘整合；二是明确解题的目标要求，解题思路的确定，解题方法的选择，解题步骤的设计；三是弄清题目中是否有图表可用，是否需要画图帮助思考，列表整合数据？较复杂的问题如何进行转化．12．(文)(2014·北京文，17)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E 、F 分别为A 1C 1、BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．[审题要点] (1)要证平面ABE ⊥平面B 1BCC 1，需在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直；已知三棱柱侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，可知AB ⊥平面B 1BCC 1.(2)要证C 1F ∥平面ABE ，需在平面ABE 内找一条与C 1F 平行的直线，为此过C 1F 作平面与平面ABE 相交，考虑到C 1E 与平面ABE 相交，则平面C 1EF 与平面ABE 的交线EG 为所求(G 为AB 与平面C 1EF 的交点)．考虑条件E 、F 分别为棱的中点，猜想G 应为AB 的中点，由中位线GF 綊12AC 綊C 1E 获证．(3)要求V E －ABC ，高AA 1已知，关键求S △ABC ，由AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC 易得． [解析] (1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB ，又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)取AB 中点G ，连接EG 、FG . 因为E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点． 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝3， 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. [方法点拨] 审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题就是对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息进行提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否迅速准确地理解题意，是高考中能否取得最佳成绩的关键．审题时弄清已知什么？隐含什么？数、式结构有何特点？图表有何特征？然后进行恰当的转换，归结为熟知的问题进行解答．要注意架构条件与结论之间的桥梁，要注意细节和特殊情况的审视，要注意答题的条理和语言的规范．(理)如图1，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的侧视图和俯(左)视图如图2所示．(1)证明：BC ⊥平面PBD ； (2)证明：AM ∥平面PBC ；(3)线段CD 上是否存在点N ，使得AM 与BN 所成角的余弦值为34？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，请说明理由．[解析] 解法一：(1)证明：由俯视图可得BD 2＋BC 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ． 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ，所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：取PC 上一点Q ，使PQ PC ＝14，连接MQ 、BQ .由俯视图知PM PD ＝14， 所以MQ ∥CD ，MQ ＝14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 又BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.又因为AB ∥CD ，AB ＝14CD ，所以AB ∥MQ ，AB ＝MQ ，所以四边形ABQM 为平行四边形，所以AM ∥BQ . 因为AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ．(3)线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为34. 证明如下：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .所以D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)． 设N (0，t,0)，其中0≤t ≤4，所以AM →＝(－3，0,3)，BN →＝(－3，t －1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为34， 则有|AM →·BN →||AM →||BN →|＝34，所以|3|23·3＋t －12＝34， 解得t ＝0或2，均适合0≤t ≤4.故点N 位于D 点处，此时CN ＝4；或点N 位于CD 的中点处，此时CN ＝2，有AM 与BN 所成角的余弦值为34. 解法二：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .在△BCD 中，易得∠CDB ＝60°，所以∠ADB ＝30°. 因为BD ＝2，所以AB ＝1，AD ＝ 3.由俯视图和侧视图可得D (0,0,0)，A (3，0,0)，B (3，1,0)，C (0,4,0)，M (0,0,3)，P (0,0,4)，因为BC →＝(－3，3,0)，DB →＝(3，1,0)．因为BC →·DB →＝－3×3＋3×1＋0×0＝0，所以BC ⊥BD ． 又因为PD ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥PD ， 所以BC ⊥平面PBD ．(2)证明：设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0.因为BC →＝(－3，3,0)，PC →＝(0,4，－4)，所以⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋3y ＝0.取y ＝1，得n ＝(3，1,1)．因为AM →＝(－3，0,3)，所以AM →·n ＝3·(－3)＋1·0＋1·3＝0. 因为AM ⊄平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ． (3)同解法一．[方法点拨] 注重建立条件之间、条件与结论之间的联系：审题过程中要注意由已知可知什么？条件之间有何关联，怎样体现这种关联？由待求(证)结论需知什么？条件和结论之间的衔接点是什么？解题的切入点是什么？13．(文)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y514845421米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51 48 45 42 频数4(2)的概率．[审题要点] (1)读懂图表：首先理解两株作物“相近“的含义，其次明确X 与Y 的对应关系(表)，通过读图找出与其相近作物株数为1,2,3,4的作物分别有几株．(2)解题思路：Y ＝51――→读数表“相近”作物株数X 为1――→图形频数――→公式年平均收获量．年收获量至少为48kg ――→读数表Y ＝51或48――→由1知可求相应概率――→由事件互斥得出结果．[解析] (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.(理)(2014·北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较E (X )与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝(A B －)∪(A －B )，A ，B 独立． 根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x －.14．(文)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D ．(1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点． [审题要点] (1)求点D 纵坐标――→l 1与l 2交点为Dl 1、l 2的方程――→C 在A 、B 点的切线互相垂直设A 、B ，由导数得斜率，由A 、B 在C 上得坐标关系．(2)AB 过定点――→审视图形适当猜想定点可能为焦点F ――→转化证A 、B 、F 三点共线―→用向量或斜率证 [解析] (1)如图，设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．∵l 1、l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p， 直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p. ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.① ∵A 、B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p.∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x 212p ＝x 1px －x 1，y －x 222p ＝x2px －x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明：∵F 为抛物线C 的焦点， ∴F (0，p2)．∴AF →＝(－x 1，p 2－x 212p )＝(－x 1，p 2－x 212p)，BF →＝(－x 2，p2－x 222p )＝(－x 2，p 2－x 222p)．∵p 2－x 212p p 2－x 222p＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F .(理)(2014·沈阳市质检)已知函数f (x )＝mx －sin x ，g (x )＝ax cos x －2sin x (a >0)． (1)若过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0，求实数m 的最小值； (2)若m ＝1，且对于任意x ∈[0，π2]，都有不等式f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵过曲线y ＝f (x )上任意相异两点的直线的斜率都大于0 ∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则由f x 2－f x 1x 2－x 1>0，得f (x 1)<f (x 2)∴函数f (x )＝mx －sin x 在R 上单调递增 ∴f ′(x )＝m －cos x ≥0恒成立，即m ≥cos x ∴m min ＝1(2)∵m ＝1，∴函数f (x )＝x －sin x ∵f (x )≥g (x )，∴x ＋sin x －ax cos x ≥0对于任意x ∈[0，π2]均成立，令H (x )＝x ＋sin x －ax cos x则H ′(x )＝1＋cos x －a (cos x －x sin x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ①当1－a ≥0，即0<a ≤1时，H ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x >0 ∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数∴H (x )≥H (0)＝0 符合题意，∴0<a ≤1②当1－a <0，即a >1时，令h (x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x 于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x ∵a >1，∴2a －1>0，∴h ′(x )≥0 ∴h (x )在[0，π2]上为单调增函数∴h (0)≤h (x )≤h (π2)，即2－a ≤h (x )≤π2a ＋1∴2－a ≤H ′(x )≤π2a ＋1(ⅰ)当2－a ≥0，即1<a ≤2时，H ′(x )≥0∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数，于是H (x )≥H (0)＝0，符合题意，∴1<a ≤2(ⅱ)当2－a <0，即a >2时，存在x 0∈(0，π2)，使得当x ∈(0，x 0)时，有H ′(x )<0此时H (x )在(0，x 0)上为单调减函数 从而H (x )<H (0)＝0，不能使H (x )>0恒成立 综上所述，实数a 的取值范围为0<a ≤2[方法点拨] 注意对结论的转换：问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．当结论不很明确，语句晦涩，不利于问题的解决时，可以转换角度，翻译为熟悉的数学模型加以解决．15．(文)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1、k 2的两条不同直线l 1、l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A 、B ，l 2与E 相交于点C 、D ，以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N (M 、N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2. [审题要点] 由已知求出l 1的方程――→l 1与E 联立方程组关于x 的一元二次方程――→根与系数关系x 1＋x 1＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ―→FM →坐标――→同理FN →的坐标――→计算FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)；要证FM →·FN →<2p 2――→只需证k 1k 2＋k 21k 22<2――→再证－2<k 1k 2<1――→k 1>0，k 2>00<k 1k 2<1――→k 1＋k 2＝2k 1k 2<1成立．[解析] 由题意知，抛物线E 的焦点为F (0，p 2)，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为(pk 1，pk 21＋p 2)， FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为(pk 2，pk 22＋p 2)，FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． 因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<(k 1＋k 22)2＝1. 故FM →·FN →<p 2(1＋12)＝2p 2.[方法点拨] 逆向分析一些题目从已知到结论不易证明，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止．(理)(2014·新课标Ⅰ理，20)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[审题要点] (1)欲求E 的方程，需求a 、b ，需由条件建立a 、b 的方程组：审条件可以发现由离心率和k AF 可建立方程组获解；(2)l 与E 相交于P 、Q ，则S △OPQ ＝12|PQ |·d (d 是O 到l 的距离)，故解题步骤为：设l 的方程→l 与E 的方程联立消元化为一元二次方程→由判别式确定k 的取值范围→求|PQ |(用k 表示)→求S △OPQ (用k 表示)→根据f (k )＝S △OPQ 的表达式结构选取讨论最值方法→求l 的方程．[解析] (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1中消去y 得， (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. [方法点拨] 本题常见错误是：①误以为O 点到直线l 的距离最大时，S △OPQ 最大； ②找不到求f (k )＝S △OPQ 的最值的切入点；③计算失误．为避免上述错误请注意：①慢工出细活，计算时慢一点、细致一点，关键步骤及时检查，莫等完成解答后检查，浪费大量时间；②在直线运动变化过程中，观察△OPQ 面积的变化与什么相关；观察f (k )的结构特征与学过的常见函数作对比，进行化归．。
数学选择题解题技巧
数学选择题解题技巧数学选择题解题技巧1直接法(推演法)：定义：直接从题设条件出发，运用有关的概念、定义、公理、定理、性质、公式等，使用正确的解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论，然后对照题目中给出的选择项“对号入座”，作出相应的选择，这种方法称之为直接法.是一种基础的、重要的、常用的方法，一般涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.排除法定义：利用选择题的特征：答案唯一，来去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案。
途径有二种：1)从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论，这种方法称为排除法.2)从选项入手，根据题设的条件与选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，逐步缩小范围，得到正确结果.称为反排法.排除法常应用于条件多于一个时，先根据一些已知条件，在选择项中找出与其相矛盾的选项，予以排除，然后再根据另一些已知条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止.等价转化法定义：根据题目的条件和要求，将题目等价转化为一个容易解答的方式进行解决。
在解决有关排列组合的的应用问题尤为突出.定义法定义：根据题目中涉及到的知识的定义出发进行解答，因此回归定义是解决问题的一种重要策略.总结：要注意定义的成立条件或约束条件，平时要掌握定义的推导和证明过程.直觉判断法定义：通过平时的练习积累，可根据直觉对题目中的答案进行判断.比如一个长方形面积最小时，长与宽的关系是什么样的?二点间的直线距离最短等.要点：需要平时多积累、多观察、多总结.数学选择题解题技巧2先易后难就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
先熟后生高考数学书卷发下来后，通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对高考数学全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的数学计算。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：等差数列与等比数列含解析
第一部分 一 9一、选择题1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( )A ．21B ．24C ．28D ．7[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28.[方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ；4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋bk －1构造等比数列求通项a n .(理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1[答案] C[解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na .2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53 D ．4[答案] A[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.[方法点拨] 下标成等差的等差、等比数列的项或前n 项和的问题，常考虑应用等差、等比数列的性质求解．3．(2015·浙江理，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0 [答案] B[解析] 考查等差数列的通项公式及其前n 项和；等比数列的概念． ∵{a n }为等差数列，且a 3，a 4，a 8成等比数列， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒ a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，dS 4＝－23d 2＜0，故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9， 又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1， 又a 3＝9a 1，故a 1＝19.[方法点拨] 求基本量的问题，熟记等差、等比数列的定义、通项及前n 项和公式，利用公式、结合条件，建立方程求解．5．(2015·江西省质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2015项的和S 2015等于( )A ．31008－2B ．31008－3C ．32015－2D ．32015－3[答案] A[解析] 因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3， 所以S 2015＝(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014)＝1－310081－3＋3(1－31007)1－3＝31008－2.6．(文)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0[答案] A[解析] 设公比为q ，∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，∴a 1＋2a 2＋a 3＝0，∴a 1＋2a 1q ＋a 1q 2＝0，∴q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1，又∵a 1＝2，∴S 101＝a 1(1－q 101)1－q ＝2[1－(－1)101]1＋1＝2.(理)(2014·哈三中二模)等比数列{a n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 21＋a 22＋a 23＋a 24＋a 25＝15，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5的值是( )A ．3 B. 5 C ．－ 5 D ．5[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q＝3a 21(1－q10)1－q2＝15，∴a 1(1＋q 5)1＋q＝5，∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝a 1[1－(－q )5]1－(－q )＝a 1(1＋q 5)1＋q＝5.7．(文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87得， a 1＋a 20＝30，∴S 20＝20×(a 1＋a 20)2＝300.(理)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 [答案] C[解析] 由条件知a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0， ∵q >0，∴q ＝1＋2， ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2＝3＋2 2. 8．(2015·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p ＋q ＝9，选D.9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1) B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) [答案] D[解析] 由a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2得，a n ＝2n －1， 由b n ＋1b n＝2，b 1＝1得b n ＝2n －1， ∴ba n ＝2a n －1＝22(n －1)＝4n －1，∴数列{ba n }前10项和为1×(410－1)4－1＝13(410－1)．10．(文)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( )A ．1－14nB.23(1－14n ) C ．1－12nD.23(1－12n ) [答案] B[解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1， 所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×(1－14n )1－14＝23(1－14n )，故选B.(理)(2014·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1[答案] C[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12)＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 11．给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k ，2k －1，…，k1，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号．．是( ) A ．4900 B ．4901 C ．5000 D ．5001[答案] B[解析] 根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：199，298，397，…，5050，5149，…，991，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝98(1＋98)2＋50＝4901.[点评] 本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．二、填空题12．(文)(2015·广东理，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25 即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(理)(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] 考查等差数列与等比数列的性质．∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴4S 2＝3S 1＋S 3，∴4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝3a 2⇒q ＝3.又∵{a n }为等比数列，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.[方法点拨] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．13．(文)(2015·安徽理，14)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[答案] 2n －1[解析] 考查1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.(理)(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．[答案]2011[解析] 考查数列通项，裂项求和．由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－12)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，S 10＝2011.三、解答题14．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)， 则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1.[方法点拨] 证明数列是等差(等比)数列时，应用定义分析条件，结合性质进行等价转化． (理)(2015·河南高考适应性测试)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝2，a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2.(1)令b n ＝log 2(a n ＋2)，证明：数列{b n }是等比数列． (2)设c n ＝nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)由a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2，得a n ＋2＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋4＝(a n ＋1＋2)2.因为a n >0，所以a n ＋2＝a n ＋1＋2. 因为b n ＋1b n ＝log 2(a n ＋1＋2)log 2(a n ＋2)＝log 2a n ＋2log 2(a n ＋2)＝12，又b 1＝log 2(a 1＋2)＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1，则c n ＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1. S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋4×⎝⎛⎭⎫121＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －2＋2n ⎝⎛⎭⎫12n －1，① 12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫121＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋2n ⎝⎛⎭⎫12n .② ①－②得：12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝21－⎝⎛⎭⎫12n1－12－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝⎛⎭⎫12n . 所以S n ＝8－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2.15．(2015·南昌市一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．[解析] (1)等差数列{a n }，a 1＝1，S 3＝6，∴d ＝1，故a n ＝n⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n (1)b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1 (2)，(1)÷(2)得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， b 1＝2S 1＝21＝2，满足通项公式，故b n ＝2n(2) 设λb n >a n 恒成立⇒λ>n 2n 恒成立，设c n ＝n 2n ⇒c n ＋1c n ＝n ＋12n当n ≥2时，c n <1，{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝c 1＝12，故λ>12.16．(文)(2014·湖北理，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[分析] (1)设数列{a n }的公差为d ，利用等比数列的性质得到a 22＝a 1·a 5，并用a 1、d 表示a 2、a 5，列等式求解公差d ，进而求出通项，注意对公差d 分类讨论；(2)利用(1)的结论，对数列{a n }的通项分类讨论，分别利用通项公式及等差数列的前n 项和公式求解S n ，然后根据S n >60n ＋800列不等式求解．[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立， 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2，令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.[方法点拨] 存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．(理)(2014·新课标Ⅰ理，17)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n＋1＝S n＋1－S n用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a1，a2，a3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n＋2－a n＝λ推证{a n}为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.。
2016届高考数学二轮复习 第2部分 支招3 考题中抓题型课件 理
4．等差、等比数列
(2)由an＝2n＋1可知 bn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1213－15＋51－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3 ＝32nn＋3.
5．直线与圆锥曲线综合
客观题中主要考查双曲线的方程或简单几何性质，也可能和解答题互 为照应，如果解答题以椭圆为中心，小题可能考查抛物线问题或是抛 物线与双曲线相结合的问题，如果解答题以抛物线为主，小题就可能 考查椭圆方程或椭圆的简单几何性质；解答题多是以椭圆或抛物线为 载体，综合考查直线与圆锥曲线的位置关系．常出现定点、定值、范 围、存在性问题．
5．直线与圆锥曲线综合
[例7]
(2015·高考天津卷)已知椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F(－
c,0)，离心率为
3 3
，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2
＝b42截得的线段的长为c，|FM|＝4
3
3 .
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2 ，求直线OP(O为原点) 的斜率的取值范围．
3．立体几何
空间几何体的结构特征与三视图相结合考查几何体的表面积和体积问 题是历年高考的必考内容，多为选择题或填空题，有时也在解答题中 呈现，难度多为中等偏下．空间线面位置关系(包括平行与垂直)的判断 与证明也是历年高考的必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1) 问，第(2)问常是空间角的计算，可用空间向量求解．
6．函数与导数
在选择题、填空题、解答题中均有涉及，在解答题的压轴题中常考查 导数、含参不等式、方程、解析几何等知识的综合应用，且难度往往 较大；主要是利用导数求单调区间，极值与最值，结合不等式求参数 问题．
2016届高考数学(理)二轮复习专题跟踪训练23
专题跟踪训练(二十三)1．(2015·四川卷)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值．[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3.P(X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P(X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P(X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的均值为E(X)＝1×P(X ＝1)＋2×P(X ＝2)＋3×P(X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.2．(2015·陕西质检二)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和均值； (2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．[解] (1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7， P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－122×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝16，P(X ＝2)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝13， P(X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝112，P(X ＝4)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12＝16，P(X ＝5)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13＝16，P(X ＝7)＝12×13×12＝112， ∴教师甲投篮得分X 的分布列为∴E(X)＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝1948. 3．已知盒中有编号为A ，B ，C ，D 的4个红球，4个黄球，4个白球(共12个球)，现从中摸出4个球(除编号与颜色外球没有区别)．(1)求恰好包含字母A ，B ，C ，D 的概率；(2)设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X ，求X 的分布列和均值E(X)．[解] (1)P ＝C 13·C 13·C 13·C 13C 412＝955.(2)由题意知X 可能值为1,2,3， P(X ＝1)＝C 13C 412＝1165，P(X ＝2)＝C 23(C 14C 34＋C 24C 24＋C 34C 14)C 412＝68165， P(X ＝3)＝3C 14C 14C 24C 412＝3255.∴X 的分布列为∴均值E(X)＝1165＋165＋55＝8533.4．(2014·安徽卷)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(均值). [解] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P(A k )＝23，P(B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A 1A 2)＋P(B 1A 2A 3)＋P(A 1B 2A 3A 4)＝P(A 1)P(A 2)＋P(B 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(B 2)·P(A 3)P(A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P(X ＝2)＝P(A 1A 2)＋P(B 1B 2) ＝P(A 1)P(A 2)＋P(B 1)·P(B 2)＝59， P(X ＝3)＝P(B 1A 2A 3)＋P(A 1B 2B 3) ＝P(B 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(B 2)P(B 3)＝29， P(X ＝4)＝P(A 1B 2A 3A 4)＋P(B 1A 2B 3B 4) ＝P(A 1)P(B 2)P(A 3)P(A 4)＋P(B 1)P(A 2)P(B 3) P(B 4)＝1081，P(X ＝5)＝1－P(X ＝2)－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.。
高三二轮复习数学(理)第二部分 解题技巧课时训练 第二部分第四讲技能巩固训练
一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 由题意，可用特殊值法求解，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410＝2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510＝2，所以C 、D 选项错误，故选B.答案 B2．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 解析 依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC→＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立． 因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC→＝λAB →，AD →＝μAB →知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC→＝μAB →时，λ＞1，AD →＝μAB →时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．答案 D3．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析 若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．答案 B4．对于具有相同定义域D 的函数f (x )和g (x )，若存在函数h (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，对任给的正数m ，存在相应的x 0∈D ，使得当x ∈D 且x ＞x 0时，总有⎩⎨⎧0＜f (x )－h (x )＜m ，0＜h (x )－g (x )＜m ，则称直线l ：y＝kx ＋b 为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的“分渐近线”．给出定义域均为D ＝{x |x ＞1}的四组函数如下：①f (x )＝x 2，g (x )＝x ；②f (x )＝10－x＋2，g (x )＝2x －3x ；③f (x )＝x 2＋1x ，g (x )＝x ln x ＋1ln x ；④f (x )＝2x 2x ＋1，g (x )＝2(x －1－e －x )． 其中，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③ C ．②④D ．③④解析 ⎩⎨⎧ 0＜f (x )－h (x )＜m ，0＜h (x )－g (x )＜m ，⇔⎩⎨⎧f (x )－m ＜h (x )＜f (x )，g (x )＜h (x )＜g (x )＋m .(*) 当x ∈(x 0，＋∞)时，对于①，f (x )、g (x )均无最大值，故不满足(*)式，同理③也不正确．0 对于②，令h (x )＝2，则f (x )－h (x )＝10－x ＋2－2＝10－x ， h (x )－g (x )＝2－2x －3x ＝3x .∵x ＞1，∴⎩⎨⎧0＜f (x )－h (x )＜3，0＜h (x )－g (x )＜3.满足题意．对于④，f (x )＝2x 2x ＋1＝2(x ＋1)2－4x －2x ＋1＝2x －2＋2x ＋1，令h (x )＝2x －2，∴0＜f (x )－h (x )＝2x ＋1＜1. 而0＜h (x )－g (x )＝2x －2－2(x －1)＋2·e －x＜2e ＜1，也满足题意．故②④正确． 答案 C5．(2011·江西)如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是解析 小圆沿大圆内壁滚动时，在大圆上经过的弧长与小圆上滚动过的弧长应相等，当它们处于如图虚圆位置时，设大圆的圆心为O ，∠MOC ＝α，则 MC 的长度＝α×1＝α.而∠CO 1P ＝2α，则 CP 的长度＝2α×12＝α，则点P 即M 运动后的点，说明α为锐角时，点M 在MO 上运动；由∠OO 1B ＝2α可知 OB 的长度＝2α×12＝α，则点B 即N 运动后的点，说明α为锐角时，点N 在OA 上运动．以后运动可同理分析．答案 A6．若关于x 的方程4－x 2＝kx ＋2只有一个实根，则实数k 的取值范围为 A ．k ＝0B ．k ＝0或k ＞1C ．k ＞1或k ＜－1D ．k ＝0或k ＞1或k ＜－1解析 方程4－x 2＝kx ＋2的根可转化为y 1＝4－x 2，y 2＝kx ＋2的图象的交点，直线y 2＝kx ＋2过定点P (0,2)，半圆y 1＝4－x 2与x 轴交点A (－2,0)，B (2,0)．k P A ＝1，k PB ＝－1，当k ＝0或k＞1或k ＜－1时，直线y 2与半圆只有一个交点．答案 D 二、填空题7．设a ＞0，b ＞0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段________的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．解析 在Rt △ABD 中，CD 是斜边AB 上的高，所以CD 2＝AC ·CB ，所以CD ＝AC ·CB ＝ab ，所以线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数．在Rt △OCD 中，因为CE ⊥OD ，所以DE CD ＝CD OD ， 所以线段DE 的长度＝CD 2OD ＝ab a ＋b 2＝2aba ＋b .所以线段DE 的长度是a ，b 的调和平均数． 答案 CD ；DE8．(2011·安徽)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．解析 ①正确．设y ＝2x ＋12，当x 是整数时，y 是无理数，(x ，y )必不是整点． ②不正确．设k ＝2，b ＝－2，则y ＝2(x －1)，过整点(1,0)．③正确．直线l 经过无穷多个整点，则直线l 必然经过两个不同的整点，显然成立；反之亦成立，设直线l 经过两个整点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则l 的方程为(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，令x ＝x 1＋k (x 2－x 1)(k ∈Z )，则x ∈Z ，且y ＝k (y 2－y 1)＋y 1也是整数，故直线l 经过无穷多个整点．④不正确．由③知直线l 经过无穷多个整点的充要条件是直线l 经过两个不同的整点，设为P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则直线l 的方程为(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，又∵直线方程为y ＝kx ＋b 的形式，∴x 2≠x 1， ∴y ＝y 2－y 1x 2－x 1x ＋y 1x 2－y 2x 1x 2－x 1，∴k ，b ∈Q ；反之不成立，故k ，b ∈Q ， 设y ＝13x ＋14，则x ＝3y －34， 若y ∈Z ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －34∉Z ，即x ∉Z ，即由k ，b ∈Q 得不到y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点． ⑤正确．直线y ＝2(x －1)只经过整点(1,0)． 答案 ①③⑤9．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N ＋，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.解析 由(a n )*的定义知，要求(a 5)*只需寻找满足a m ＜5的m 的个数即可． 由于12＝1＜5,22＝4＜5,32＝9＞5，故(a 5)*＝2. ∵{a n }＝{1,22,32，…，n 2，…}，∴{(a n )*}＝{01个， 31,1,1个，52,2,2,2,2 个，73,,3 个，…，(21),,n n n + 个，…}． ∴((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4＝22，((a 3)*)*＝9＝32，…，((a n )*)*＝n 2. 答案 2；n 2三、解答题10．(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解析 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ， 再由已知得⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x (200－x )， 20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．11．(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程．(2)设动点P 满足：OP→＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为 －12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．解析 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知 k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点．设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因为c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．12．(2011·陕西)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)是否存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意x ＞0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ， ∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间， ∴x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， ∴最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0， 即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0， 即g (x )＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)满足条件的x 0不存在． 证明如下：证法一 假设存在x 0＞0，使|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意x ＞0成立，即对任意x＞0，有ln x＜g(x0)＜ln x＋2x，(*)但对上述x0，取x1＝e g(x0)时，有ln x1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，∴不存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1x对任意x＞0成立．证法二假设存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1x对任意的x＞0成立，由(1)知，g(x)的最小值为g(1)＝1，又g(x)＝ln x＋1x＞ln x，而x＞1时，ln x的值域为(0，＋∞)，∴当x≥1时，g(x)的值域为[1，＋∞)，从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1，即g(x1)－g(x0)≥1，故|g(x1)－g(x0)|≥1＞1x1，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g(x)－g(x0)|＜1x对任意x＞0成立．。
高考数学二轮复习微专题23答案 (2)
微专题23例题解析：假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为y ＋1＝12(x －2)，即y ＝12x －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝8，y ＝12x －2，得x 2－4x ＋4＝0，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 与TQ 的斜率存在．解法1设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则直线TP ：y －1＝y1－1x1－2(x－2)，直线TQ ：y －1＝y2－1x2－2(x －2)．故OM ＝2－x1－2y1－1，ON ＝2－x2－2y2－1.由直线OT ：y ＝12x ，设直线PQ ：y ＝12x ＋t(t ≠0)联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝8，y ＝12x ＋t ，消去y ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0. 当Δ＞0时，x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4， 所以OM ＋ON ＝ 4－⎝⎛⎭⎪⎫x1－2y1－1＋x2－2y2－1＝4－⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛x1－212x1＋t －1＋x2－212x2＋t －1 ＝4－错误!＝4－错误!＝4. 解法2设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线TP 和TQ 的斜率分别为k 1和k 2，由直线OT ：y ＝12x ，设直线PQ ：y ＝12x ＋t(t ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝8，y ＝12x ＋t ，消去y ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0. 当Δ＞0时，x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4， 所以k 1＋k 2＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝12x1＋t －1x1－2＋12x2＋t －1x2－2＝错误!＝错误!＝0.所以直线TP 和直线TQ 的斜率和为零，故∠TMN ＝∠TNM ，所以TM ＝TN ，故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2.故OM ＋ON ＝4.变式联想变式1证明：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＞0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1，0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－（－y1）x1－（－x1）＝y12x1＝k2.于是k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y2－y1x2－x1·y2－（－y1）x2－（－x1）＋1＝2·2y22－2y12x22－x12＋1＝x22＋2y22－（x12＋2y12）x22－x12＝4－4x22－x12＝0.所以k 1k＝－1，所以PA ⊥PB. 说明：本题是2011年江苏高考第18题，第(1)(2)两小题已删，展示的是第(3)题．对于一般的椭圆，A ，P 过关于原点对称，所以k AB ·k PB ＝－b2a2＝－12.设P(x 1，y 1)，则k AP ＝y1x1，k AB＝k AC ＝y12x1＝12k AP，所以12k AP ·k PB ＝－12，即k AP ·k PB ＝－1.解答题中，结论k AB ·k PB ＝－b2a2不能直接用，但是可以作为思考的方向，另外，证明也就一步．另外，通过刚才的分析，我们知道k AB ·k PB ＝－12是必须的，否则没有PA ⊥PB 的结论．而且，只要椭圆的离心率为22，都有k AP ·k PB ＝－1，即PA ⊥PB 的结论．变式2答案：过定点F(±2，0)． 解析：以MN 为直径的圆过定点F(±2，0)．设P(x 0，y 0)，则Q(－x 0，－y 0)，且x024＋y022＝1，即x 02＋2y 02＝4，∴直线PA 方程为y ＝y0（x0＋2）(x ＋2)， ∴M ⎝⎛⎭⎫0，2y0x0＋2.同理，直线QA 方程为y ＝y0x0－2(x ＋2)， ∴N ⎝⎛⎭⎫0，2y0x0－2.∴以MN 为直径的圆方程为(x －0)(x －0)＋⎝⎛⎭⎫y －2y0x0＋2⎝⎛⎭⎫y －2y0x0－2＝0.即x 2＋y 2－4x0y0x02－4y ＋4y02x02－4＝0，又x 02－4＝－2y 02，∴x 2＋y 2＋2x0y0y －2＝0，令y ＝0，x 2－2＝0， 解得x ＝±2，∴以MN 为直径的圆过定点F(±2，0)．说明：本题能不能一般化呢？如图，已知P ，Q 关于原点对称，定点A(m ，n)在椭圆上，设直线AP ，AQ 斜率分别为k 1，k 2，所以k 1·k 2＝－b2a2，直线AP ：y －n ＝k 1(x －m)，令x ＝0(求与y 轴交点)，则y M ＝n －k 1m ，同理y N ＝n －k 2m.那么以MN 为直径的圆方程为x 2＋(y －n ＋k 1m)(y －n ＋k 2m)＝0.在这个方程中，令y ＝n ，则x 2＋k 1k 2m 2＝0，即x 2－b2a2m 2＝0，从而x ＝±bam.也就是以MN 为直径的圆过定点⎝⎛⎭⎫±ba m ，n . 实际上，在方程x 2＋(y －n ＋k 1m)(y －n ＋k 2m)＝0中，k 1k 2m 2是定值，只要令y ＝n ，就能求出直线的定点．串讲激活串讲1 答案：⎝⎛⎭⎫263，63. 解析：由题意，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P(x 0，y 0)，因为点P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0.当x 0＝2时，l 1与l 2相交于F 1，与题意不符．当x 0≠2时，直线PF 1的斜率为y0x0＋2，直线PF 2的斜率为y0x0－2.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x0＋2y0，直线l 2的斜率为－x0－2y0， 从而直线l 1的方程：y ＝－x0＋2y0(x ＋2)，① 直线l 2的方程：y ＝－x0－2y0(x －2)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x02－2y0， 所以Q ⎝⎛⎭⎫－x0，x02－2y0.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x02－2y0＝±y 0，即x 02－y 02＝2或x 02＋y 02＝2.又P 在椭圆E 上，故x024＋y022＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x02－y02＝2，x02＋2y02＝4，解得x 0＝263，y 0＝63；⎩⎪⎨⎪⎧x02＋y02＝2，x02＋2y02＝4，解得x 0＝0，而由题意x 0＞0，故无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫263，63. 说明：以上解析是符合大题规范的，如果是客观题，可以从几何角度入手：由题意P ，Q ，F 1，F 2四点共圆，所以Q在过P ，F 1，F 2的圆上；因为F 1F 2垂直平分线为y 轴，所以圆心在y 轴上，所以点P ，Q 关于y 轴对称或关于原点对称，即x Q ＝－x 0.下略．当然，有兴趣的同学也可以让其在课后研究一下点Q 的轨迹(方程)，消去x 0，y 0后，点Q 的轨迹方程是(4－x 2)y 2＝2(x 2－2)2，曲线形状如图所示．串讲2 答案：(1)37；(2)①略；②(9，＋∞)．解析：(1)由题意得B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1， 联立⎩⎨⎧x24＋y2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，(舍去)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.连接BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到BF距离d＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37. 故S △MBF ＝12·BF·d ＝12×2×37＝37. (2)解法1：①设P(m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m＝－1m， 则直线PM 的方程为y ＝ －1mx －1， 联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x24＋y2＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m2＋4，4－m2m2＋4，所以k 1＝4－m2m2＋4－1－8m m2＋4＝－2m2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－8m m2＋4－m ，4－m2m2＋4＋2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－m3＋12m m2＋4，m2＋12m2＋4， 所以PB →·PM →＝(－m ，3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m3＋12m m2＋4，m2＋12m2＋4＝m4＋15m2＋36m2＋4，令m 2＋4＝t(t ＞4)， 故PB →·PM → ＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t2＋7t －8t ＝t －8t＋7，因为函数y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增， 所以PB →·PM →＝t －8t ＋7＞4－84＋7＝9， 即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．解法2：①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y0＋1x0x －1，令y ＝－2，得P ⎝⎛⎭⎫－x0y0＋1，－2.所以k 1＝y0－1x0，k 2＝－2－1－x0y0＋1＝3（y0＋1）x0， 所以k 1k 2＝y0－1x0·3（y0＋1）x0＝3（y02－1）x02＝3（y02－1）4（1－y02）＝－34(定值)． ②由①知，PB →＝⎝⎛⎭⎫x0y0＋1，3，PM→＝⎝⎛⎭⎫x0＋x0y0＋1，y0＋2，所以PB →·PM →＝x0y0＋1⎝⎛⎭⎫x0＋x0y0＋1＋3(y 0＋2)＝x02（y0＋2）（y0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y02）（y0＋2）（y0＋1）2＋3(y 0＋2)＝（7－y0）（y0＋2）y0＋1.令t ＝y 0＋1，则t ∈(0，2)，则PB→·PM→＝（8－t ）（t ＋1）t＝－t ＋8t＋7，因为y ＝－t ＋8t ＋7在t ∈(0，2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7＞－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞)．新题在线答案：(1)x22＋y 2＝1；(2)y ＝62x ＋1或y ＝－62x ＋1；(3)略．解析：(1)由椭圆的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.得⎩⎨⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以，椭圆的标准方程为x22＋y 2＝1. (2)由(1)知C(0，1)，设D(x 0，y 0)，因为CM →＝2MD →，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，代入椭圆方程得x 0＝62或－62，所以D ⎝⎛⎭⎫62，－12或D ⎝⎛⎭⎫－62，－12， 所以l 的方程为y ＝62x ＋1或y ＝－62x ＋1. (3)解法1设D 坐标为(x 3，y 3)，由C(0，1)，M(x 1，0)，可得直线CM 的方程为y ＝－1x1x ＋1， 联立椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－1x1x ＋1，x22＋y2＝1，解得x 3＝4x1x12＋2，y 3＝x12－2x12＋2. 由B(2，0)，得直线BD 的方程y ＝x12－2－2x12＋4x1－22(x －2)，①直线AC 方程为y ＝22x ＋1，②联立①②得x 2＝2x1，从而x 1x 2＝2为定值． 解法2设D 坐标为(x 3，y 3)，由C ，M ，D 三点共线得1－x1＝y3x3－x1，所以x 1＝x31－y3，① 由B ，D ，N 三点共线得y3x3－2＝y2x2－2，将y 2＝22x 2＋1代入可得x 2＝2x3＋2y3－22y3－x3＋2，②①和②相乘得，x 1x 2＝x31－y3·2x3＋2y3－22y3－x3＋2＝ 2x32＋2x3y3－2x3－2y32＋x3y3－x3＋2＝2x32＋2x3y3－2x3－2⎝⎛⎭⎫1－x322＋x3y3－x32＝2.故x 1x 2为定值2.。
2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,理科)审题+解题+回扣：第一篇
构造函数 (3) 求k的最大值 —————————→ 3 研究hx单调性 x hx＝fx－kx＋ 3
讨论参数k ————————————→ 结合2知k≤2时符合题意 k>2时hx的单调性
解 (1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
1 1 所以 f′(x)＝ ＋ ，f′(0)＝2. 1＋x 1－x
当sin α＋cos α＝0时，
3π 由 α 是第二象限角，知 α＝ 4 ＋2kπ，k↔Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2. 5 2 当 sin α＋cos α≠0 时，有(cos α－sin α) ＝4. 由 α 是第二象限角，知 cos α－sin α<0，
5 此时 cos α－sin α＝－ 2 .
2π ↓ T＝|ω|，ω>0(已知)
ω＝2
π 条件：fx图象关于直线x＝3对称 π ↓ f( )取到最值 3
π π 2×3＋φ＝kπ＋2k↔Z π π －2≤φ<2(已知) ↓ π φ＝－6
↓
3 α (2) 条件：f2＝ 4
↓代入f(x) π 1 sinα－6＝4 π 2π ↓条件6<α< 3
π 又因为 f(x)的图象关于直线 x＝3对称， π π 所以 2×3＋φ＝kπ＋2，k↔Z. π π π 2π π 由－2≤φ<2，得 k＝0，所以 φ＝2－ 3 ＝－6.
Байду номын сангаас
3 π 1 α α π (2)由(1)得 f(2)＝ 3sin(2· 2－6)＝ 4 ，所以 sin(α－6)＝4. π 2π π π 由6<α< 3 ，得 0<α－6<2， π π 12 15 2 所以 cos(α－6)＝ 1－sin α－6＝ 1－4 ＝ 4 . 3π π π 所以 cos(α＋ 2 )＝sin α＝sin[(α－6)＋6] π π π π ＝sin(α－6)cos 6＋cos(α－6)sin 6 3＋ 15 1 3 15 1 ＝4× 2 ＋ 4 ×2＝ . 8
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第一部分 二 23
x2 1．(文)已知抛物线 y2＝4x 的准线与双曲线a2－y2＝1(a>0)交于 A、B 两点，点 F 为抛
物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A． 3
C．2
[答案] B
[解析] 由题意易知，抛物线的准线方程为 x＝－1，焦点为 F(1,0)，直线 x＝－1 与双曲
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
1－a2 线的交点坐标为(－1，± a )，若△FAB 为直角三角形，则只能是∠AFB 为直角，△FAB 为
1－a2
5
等腰直角三角形，所以 a ＝2⇒a＝ 5 ，从而可得 c＝ 5 ，所以双曲线的离心率
c e＝a＝ 6，选 B．
x2 y2 (理)(2014·中原名校联考)已知双曲线a2＋b2＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的
1＋
b2 17a2
17a2
∴|CD|＝2 a2· a2＋17b2＝2 a2＋17b2 ＝ 3 ，
整理得：a2＝b2，∴e＝ 2.
17a2＋b2 2 17
圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 12 的两部分，则双曲线的离心率为( )
A． 3 C． 5
[答案] B
[解析] 由条件知∠OAB＝120°，从而∠BOA＝30°，
b 3 c2－a2 1
∴a＝ 3 ，∴ a2 ＝3，∴e2＝3，∵e>1，∴e＝ 3 .
4
23
[方法点拨] 直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地 推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出
且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分，则双曲线 C2 的离心率为( )来自A．4C． 2
[答案] C
[解析] 双曲线的一条渐近线方程为：y＝ax，设它与椭圆 C1 的交点为 CD，易得
1
|CD|＝3|AB|＝ 3 ，
由Error!
x2 b2
2 17
得：17＋a2x2＝1，x＝± a2＋17b2，
B． 6
D．3
23 B． 3
5 D． 2
30
相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
直接法解答选择题是最基本的方法，用直接法解题的关键是掌握相关知识，熟练应用
有关数学方法与技巧，准确把握题目的特点．平时应对基础知识、基本技能与方法强化记
忆灵活应用．请练习下题：
(2015·河南省高考适应性测试)已知椭圆 C1：17＋y2＝1，双曲线 x2 y2 C2：a2－b2＝1(a>0，b>0)，若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A，B 两点，