课时提能演练(四十四) 7.3

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课时提能演练(四十四)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直
2.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
(A)A，M，O三点共线
(B)A，M，O，A1不共面
(C)A，M，C，O不共面
(D)B，B1，O，M共面
3.(2012·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则
①α、β垂直
②α、β至少有三个公共点
③α、β至少有一条公共直线
④α、β至多有一条公共直线
以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④
5.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
6.(2012·揭阳模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )
(D)2
(C)1
2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_______对．
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是_________.
9.(2012·杭州模拟)设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b,b∥c，则a∥c；
②若a⊥b,b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a,b一定是异面直线；
⑤若a,b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的命题是__________(只填序号)．
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．
【探究创新】
(16分)在长方体ABCD—A′B′C′D′的A′C′面上有一点P(如图所示，其中P 点不在对角线B′D′上).
(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由.
(2)过P点在平面A′C′内作一直线l′，使l′与直线BD成α角，这样的直线有几条？
答案解析
1.【解析】选A.直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
2.【解析】选A.连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1,C1,A,C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A，M，O三点共线.
3.【解析】选C.由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合.故①不一定成立；②成立；
③成立；④不成立.
4.【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,
∴①错；当a∩β=P时,②错；如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.
5.【解析】选D.在A图中分别连接PS,QR，
易证PS∥QR，∴P,Q,R,S共面；
在C图中分别连接PQ,RS，
易证PQ∥RS，∴P,Q,R,S共面．
如图，在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形，
故四点共面；
D图中PS与QR为异面直线，
∴四点不共面，故选D.
【误区警示】对于截面问题，常因不能准确确定平面的交线而出错．
【变式备选】已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选A.根据平面的基本性质进行判断.①不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面.②不正确，当A 、B 、C 三点共线时，P 、A 、B 、C 四点共面.③不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面.④不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形.
6.【解析】选B.如图，取AC 中点G ，连FG 、EG ，则 FG ∥C 1C ，FG=C 1C ；EG ∥BC ，EG=1
2
BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，
cos ∠EFG FG
FE 5=
==. 7.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线， 则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线 对的直线有4条，分别是A ′B,BC ′,A ′D,C ′D ，正方体 的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有
124
242
⨯=对(每一对被计算两次，所以记好要除以2)． 答案：24
8.【解题指南】将平面图形还原为空间图形，然后逐一进行判断． 【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，
则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
9.【解析】由公理4知①正确；
当a⊥b,b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；
当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；
a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；
当a,b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．
答案：①
10.【解题指南】根据公理3，确定两平面的两个公共点即可得到交线．
【解析】在平面AA1D1D内，延长D1F，
∵D1F与DA不平行，
∴D1F与DA必相交于一点，设为P，
则P∈D1F,P∈DA.
又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB,
∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．
11.【证明】如图所示，取B1B的中点G，
连接GC1，EG，
∵GB∥C1F，且GB=C1F
∴四边形C1FBG是平行四边形，
∴FB∥C1G，且FB=C1G,
∵D1C1∥EG，且D1C1=EG,
∴四边形D1C1GE为平行四边形．
∴GC1∥D1E，且GC1=D1E,
∴FB∥D1E，且FB=D1E，
∴四边形EBFD1为平行四边形．
又∵FB＝FD1，
∴四边形EBFD1为菱形．
【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明，如证得
BE=ED1=D1F=FB后即下结论得到菱形．
【探究创新】
【解析】(1)连接B′D′，在平面A′C′内过点P作直线l,使l∥B′D′, ∵B′D′∥BD,∴l∥BD,
∴l即为所求作的直线.
π或0时，这样的直线l′有且只有一条；
(2)当α=
2
π且α≠0时，这样的直线l′有两条.
当α≠
2。