已知轨迹问题：平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹

练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 ，写出焦点坐标.
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) 24 k 16 k m m 1
x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF 1 | | MF 2 | 2a 代入坐标 | MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
M
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2 F 1
M
图 形
F 1
o
F2 x
o
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
5 32 5 32 2 2 由椭圆的定义可知： 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 2 2 2
2 10
所以 a
10
2 2 2
又因为c=2,所以 b a c =10-4=6 x2 y2 因此，所求的椭圆的标准方程为： 1 10 6
练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
?
课堂练习
已知方程
x y + =1表示焦点在x轴 4 m
2 2
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4)
.
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0）， （2,0）并且经过点（5/2,-3/2）,求它的标准方程
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为
x2 y 2 2 1a b 0 2 a b
p
y
也是椭圆的标准方程。
.
F2 （０，a）
0 x
F1 (0,-a)
3.椭圆的标准方程:
F1
y
M F2 x
o
x2 y 2 焦点在x轴： 2 2 1a b 0 a b
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
2 2 y x 焦点在y轴： 1(a b 0) a 2 b2
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
2 x 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大.
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
2 2
y2
x2
1
16
12
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
x 2 y2 + =1 4 9
F1 F2 （1） 必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c) （3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a>2c)
若2a=F1F2轨迹是什么呢？ 若2a<F1F2轨迹是什么呢？
轨迹是一条线段
轨迹不存在
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法 （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
y
M ( x, y )
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
F1
O
F2
x
叫做椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是 F1 (c,0) F2 (c,0) ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中 a 2 b 2 c 2
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O F2
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
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小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
课堂小结:
（1）椭圆的定义（注意定义中的条件）；椭圆 定义应用较广，必须牢固掌握高度重视。 （2）椭圆标准方程要注意焦点的位置与方程形式 的关系。 （3）掌握定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。
一.课题引入：
温故知新
已知轨迹问题：
平面内到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹． 新轨迹问题： 平面内到 两个定点的距离 的和 等于 定长的点的轨迹．
二.讲授新课：
1 .椭圆定义：
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数（大于 | F1F2 | ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． P 注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
如果椭圆的焦点在y轴上,那 么椭圆的标准方程又是怎样的呢?
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同， F1 (0, c), F2 (0, c) 调换x,y轴）如图所示 , 焦点则变成 x2 y2 只要将方程中 2 2 1 的 x, y调换，即可得
a b
x y 1 2 2 b a
2
2
a b 0
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知2a 2c, 即a c, 所以 2 2 2 2
a c 0, 设a c b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
b (b 0),
2
两边除以 a 2b 2 得
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2