第六章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

i(t ) = I0 + ∑Ik sin kωt + k ) (
k =1
∞
则有效值: 则有效值
I= =
1 T 2 ∫0 i (ωt )d(t ) T 1 T ∫0 I0 + ∑Ik sin(kωt +k ) d(t ) T k =1
∞ 2
利用三角函数的正交性得： 利用三角函数的正交性得：
I=
(R + jXL3)( jXC3) Z(3ω1 ) = = 374.5∠ 89.190 R + j( XL3 XC3) 106 & & U3 = IS3 Z(3ω1 )= 33.3× ×374.5∠ 89.190 2
= 12.47 ∠ 89.20 m V 2
(d)五次谐波作用 (d)五次谐波作用
（3）奇谐波函数 ）
ak = 0
－T/2
f (t)
T/2
t
T f (t ) = f (t + ) 2
a2k = b2k = 0
t
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为： 的表达式为：
iS
Im
Im iS (t ) = 0
T 0< t < 2 T < t <T 2
I5m
π 角频率 ω = 2 = 2× 3.14 6 = 10 6 rad/s T 6.28×10
电流源各频率的谐波分量为： 电流源各频率的谐波分量为： 各频率的谐波分量为
1 I1m = 20 A = 5
IS0 = 78.5 A
is3
is1 = 100sin106 t A
100 is5 = sin5 106 t A 5
100 = sin3 106 t A 3
各种频率的谐波分量单独计算： （2） 对各种频率的谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用
IS0 = 78.5A
电容断路，电感短路: 电容断路，电感短路:
R
IS0
u0
U0 = RI S0 = 20×78 .5×106 = 1.57 m V
（b)基波作用 b)基波作用
解
T/2 T/4
O T/4
T/2
t
余弦分量； (2) 余弦分量；
f(t)
T/2 T/4
正弦偶次分量； (3) 正弦偶次分量； f(t)
O T/4
T/2
t
T/2 T/4
余弦奇次分量。 (4) 余弦奇次分量。 f(t)
O T/4
T/2
t
T/2 T/4
O T/4
T/2
t
6.3 有效值、平均值和平均功率 有效值、
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加： (3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 =1.57 m V
& = 5000m U1 Байду номын сангаас 2
& = 12.47 ∠89.2° m U3 V 2
& = 4.166 ∠89.53o m U5 V 2
u = U0 + u + u3 + u5 1 ≈ 1.57 + 5000sinωt ° ( ω + 12.47sin 3 t 89.2 ) ( ω V + 4.166sin 5 t 89.53° ) m
非正弦周期交流电路的计算 6.4 非正弦周期交流电路的计算
1. 计算步骤
利用傅立叶级数， （1） 利用傅立叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号； 成若干种频率的谐波信号； 利用正弦交流电路的计算方法， （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算； 分别应用相量法计算； 不同，对直流C （注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流 相当于 注意: 开路、 相于短路 相于短路。） 开路、L相于短路。） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。 （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
基波
t
t
七次谐波
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量 基波 直流分量+基波 三次谐波 直流分量 基波+三次谐波 基波
三次谐波
等效电源
iS
Im
t T/2 T
IS0
is1 is3 is5
Im 2Im 1 1 iS = (sinωt + sin3ωt + sin5ω t +K ) + 2 π 3 5
系数之间 的关系为
∞
A0 = a0 Akm = a + b ak = Akm cosφk bk φk = arctan ak
2 k 2 k
bk = Akm sinφk
系数的计算： 系数的计算：
1 T A0 = a0 = ∫ f ( t )d t T 0 1 2π ak = ∫ f (t )cos kω1 td(ω 1t )
π
0
bk =
∫ π
1
2π
0
f ( t )sinkω1 td(ω1 t )
的展开式。 求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化 f(t) （1）偶函数 ）
f (t ) = f (t )
（2）奇函数 ）
bk = 0
－T/2
f(t)
T/2
t
f (t ) = f (t )
t
T/2 T
Im 1 T 1 T/2 直流分量： 直流分量： IO = ∫0 iS (t)dt = T ∫0 Imdt = 2 T
谐波分量： 谐波分量：bK =
0 1 2I π = ( coskω t ) 0 = m k π kπ Im
π∫
1
2π
0
iS (ωt )sinkωtd(ωt )
K为偶数 为偶数 K为奇数 为奇数
is1 = 100sin106 t
1 1 = 6 = 1k 12 ω1C 10 ×1000×10 ω1L = 106 ×103 = 1k XL>>R
Z(ω1 ) =
R
iS
C
u
L
(R + jX L ) ( jXC ) XL XC L ≈ = = 50k R + j( XL XC ) R RC
Z(ω1 ) = 50K
f (t ) = f (t + kT )
常见的非正弦周期波形
u o
(a) 脉冲波形
T
u o
u o
t
T
(b) 方波电压
t
T
(c) 锯齿波
t
i T
i t
(d) 磁化电流
o
o
T
t
(e) 半波整流波形
例1 半波整流电路的输出信号
例2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3
计算机内的脉冲信号
T
t
例4 交直流共存电路 +V
第六章 非正弦周期电流电路
重点 1. 周期函数分解为傅立叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
6.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路， 生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
2. 计算举例 例1
方波信号激励的电路。 已知： 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R
R = 20、L = 1m 、 = 1000pF H C Im = 157 A、 T = 6.28S
）已知方波信号的展开式为： 解 （1）已知方波信号的展开式为：
iS
iS
Im
C
u
L
Im 2Im 1 iS = (sinωt + sin3ωt + + 2 3 π 1 ) + sin5ωt +L 5
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 。 k整数 ）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 整数
∫
2π
0
sinkωtd(ωt ) = 0
∫
2π
0
cos kωtd(ωt ) = 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为π。 ）
∫
2π
0
sin kωtd(ωt ) = π
2
∫
2π
∞
高次谐波
f (t ) = A0 + ∑ Akm cos(kω1t + φk )
k =1
也可表示成： 也可表示成：
Akm cos(kω1 t +φk ) = ak cos kω1 t + bk sin kω1 t
f ( t ) = a0 + ∑[ak cos kω1 t +bk sinkω1t]
k=1
k=1
∞
则其平均值定义为： 则其平均值定义为：
I AV
1 T = ∫ i(t ) dt 0 T
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u(t ) = U0 + ∑Uk cos(kωt +uk )
i(t ) = I0 + ∑Ik cos(kωt +ik )
k=1
∞
k=1 ∞
1 P= T
∫
∞
T
0
u idt
(k = uk ik )
IS0
is1
is3
is 5
例2
f(t)
的部分波形如图所示。 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使 的部分波形如图所示 为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量： 的傅立叶级数中只包含如下的分量： 正弦分量； 余弦分量； (1) 正弦分量； (2) 余弦分量； 正弦偶次分量； (3) 正弦偶次分量； 余弦奇次分量。 (4) 余弦奇次分量。 O T/4 正弦分量； (1) 正弦分量； f(t) t 试画出 f(t) 的波形。 的波形。
I I +∑ k =1 2
2 0
∞
2 k
I=
结论
I + I + I +
2 0 2 1 2 2
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波 分量有效值平方和的方根。 分量有效值平方和的方根。
U = U + U + U +
2 0 2 1 2 2
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t )
= I0 + ∑Ik cos(kωt +k )
Es
产生非正弦周期量的原因举例： 产生非正弦周期量的原因举例： ⑴正弦电源经过非线性元件（例如整流元件或铁 心线圈）时，产生的电流将是非正弦周期量。 ⑵发电机由于内部结构的原因很难保证电压是理 想的正弦波。 ⑶在几个不同频率正弦电源的作用下，线性电路 中的响应也将是非正弦周期量。 分析非正弦周期电流电路，先要用傅立叶级数将 其分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，应用 叠加定理分别求出各量单独作用时的稳态响应，最后 在时域叠加得到总响应。此方法称为谐波分析法。
代入已知数据： 代入已知数据：
t
T/2 T
Im = 157 A , T = 6.28 s
直流分量 基波最大值
Im 157 I0 = = = 78.5 A 2 2 2Im 2×1.57 I1m = = = 100 A π 3.14
三次谐波最大值 五次谐波最大值
I3m
1 = I1m = 33.3A 3
6.2 周期函数分解为傅立叶级数
周期函数展开成傅立叶级数： 周期函数展开成傅立叶级数： 直流分量 基波（ 基波（和原 函数同频） 函数同频） 二次谐波 倍频） （2倍频）
f (t ) = A0 + A m cos(ω1t +φ1 ) + 1
+ A2m cos(2ω1t +φ2 ) +L + Anm cos(nω1t +φn ) +
100 is5 = sin5 106 t A 5
1 1 = = 0.2(K ) 6 12 ω5C 5×10 ×1000×10 ω5 L = 5×106 ×103 = 5k
(R + jXL5)( jXC5) Z(5ω1 ) = = 208.3∠ 89.53o R + j(5XL5 XC5)
& = I Z(5ω )= 20×106 U5 &5s 1 4.166 V = ∠ 89.53°m 2 2 208.3∠ 89.53°
ak =
π∫
2
2π
0
iS (ωt ) cos kωtd(ωt )
π
0
1 = sinkωt π k
2Im
=0
is 的展开式为： 的展开式为：
1 1 Im 2Im (sinωt + sin3ωt + sin5ωt +L iS = ) + 2 3 5 π
周期性方波波形分解
直流分量
t
三次谐波 五次谐波
is1 = 100sin106 t A
100×106 5000 & = I Z(ω ） & U1 m V 50 = 1 1 = 2 2 100 (c)三次谐波作用 (c)三次谐波作用 is3 = sin3 106 t 3
1 1 = = 0.33K 6 12 ω3C 3×10 ×1000×10 ω3 L = 3×106 ×103 = 3k
0
cos2kωtd(ωt ) = π
（3） 三角函数的正交性
∫ coskωt sin pωtd(ωt) = 0 π ∫ coskωt cos pωtd(ωt) = 0 π ∫ sinkωt sin pωtd(ωt) = 0
0 2 0 2 0
2π
(k ≠ p )
2. 非正弦周期函数的有效值
若
利用三角函数的正交性， 利用三角函数的正交性，得：
P = U0 I0 + ∑Uk Ik cosk
k=1
= P + P + P + ...... 0 1 2
P = U0 I0 + U1I1 cos1 + U2 I2 cos2 +L
结论 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 平均功率＝直流分量的功率＋