九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用作业课件新版华东师大版
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质教案新版华东师大版
23．3.3 相似三角形的性质会说出相似三角形的性质：对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方．重点1．相似三角形中的对应线段比值的推导．2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导．3．运用相似三角形的性质解决实际问题．难点相似三角形性质的灵活运用,相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用．一、情境引入复习：1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些？2．在△ABC与△A′B′C′中,AB＝10 cm,AC＝6 cm,BC＝8 cm,A′B′＝5 cm,A′C′＝3 cm,B′C′＝4 cm,这两个三角形相似吗？说明理由．如果相似,它们的相似比是多少？二、探究新知教师结合上述第2题,引导学生探究：上述两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为ACA′C′＝2.相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之处,还会得出什么结果呢？一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线,如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系．同学们画出上述的两个三角形,作对应边BC和B′C′边上的高,用刻度尺量一量AD与A′D′的长,ADA′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．我们能否用推理的方法来说明这个结论呢？△ABD和△A′B′D′都是直角三角形,且∠B＝∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′,∴ADA′D′＝ABA′B′＝k.接下来,教师再提出问题让学生归纳,并引导学生通过演绎推理来证明．思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？S△ABCS△A′B′C′＝12AD·BC12A′D′·B′C′＝ADA′D′·BCB′C′＝k2归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比．教师展示例1,引导学生分析,学生独立完成,小组内交流．例1 如图,梯形ABCD的对角线交于点O,DCAB＝23,已知S△DOC＝4,求S△AOB,S△AOD.三、练习巩固教师展示课件,可由学生自由完成,教师点名上台展示,教师点评．1．如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(图形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m,桌面距离地面为1 m,若灯泡距离地面3 m,则地面上阴影部分的面积为________．【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．2．如图,在△ABC中,BC＝24 cm,高AD＝12 cm,矩形EFGH的两个顶点E,F在BC上,另两个顶点G,H分别在AC,AB上,且EF∶EH＝4∶3,求EF,EH的长．四、小结与作业小结1．相似三角形对应角相等,对应边成比例．2．相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方．布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手,提出问题继续探究相似三角形的有关性质,通过动手测量,猜想出结论,并加以证明,加深对知识的理解,提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力,并通过对知识方法的总结,培养反思问题的习惯,形成理性思维．。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.2第2课时相似三角形的判定定理0810177
23.3.2 第2课时 相似三角形的判定定理知识点 1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．如图23－3－26，若AEAB＝________，则△AEF ∽△ABC ，理由是___________________图23－3－262．如图23－3－27，已知∠1＝∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是( ) A. AB AD ＝BC DE B. AB AD ＝AC AEC ．∠B ＝∠ADED ． ∠C ＝∠E 3．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，BC ＝15，A ′C ′＝8，则当B ′C ′＝________时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.4．如图23－3－28，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．若AE ＝2，AB ＝5，AD ＝4，AC ＝10，则△ABC 与△AED 相似吗？请说明理由．5．如图23－3－29，AE 与BD 相交于点C ，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝3，DC ＝6，CE ＝4，试问：(1)△ABC 与△DEC 是否相似？为什么？(2)求DE 的长．知识点 2 三边成比例的两个三角形相似6．已知AB ＝12 cm ，AC ＝15 cm ，BC ＝21 cm ，A 1B 1＝16 cm ，B 1C 1＝28 cm ，当A 1C 1＝________ cm 时，△ABC ∽△A 1B 1C 1.7．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，10，5，则甲、乙两个三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断8．图23－3－30中的两个三角形是否相似？为什么？－309．［2017·枣庄］如图23－3－31，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图23－3－32中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )10．如图23－3－33，点P 在△ABC 的边AC 上，要判定△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB AC D. AB BP ＝AC CB11．下列条件中，能判定△ABC 与△DEF 相似的有( )①∠A ＝45°，AB ＝12，AC ＝15，∠D ＝45°，DE ＝16，DF ＝40；②AB ＝12，BC ＝15，AC ＝24，DE ＝20，EF ＝25，DF ＝40；③∠A ＝50°，AB ＝15，AC ＝20，∠E ＝50°，DE ＝28，EF ＝21.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个12．如图23－3－34，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，连结BD ，给出下列条件：①∠ACB ＝∠ABD ；②AB 2＝AD ·AC ；③AD ·BC ＝AB ·BD ；④AB ·BC ＝AC ·BD .其中单独能够判定△ABC ∽△ADB 的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3413．如图23－3－35，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG.(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AF FG的值．14．如图23－3－36，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F .求证：(1)△ACB ∽△DCE ；(2)EF ⊥AB .15．如图23－3－37，已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D .(1)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．(2)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求出BP 的长．图23教师详答1. AF AC两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2． A 3．10 [解析] 由AC A ′C ′＝BC B ′C ′得128＝15B ′C ′，解得B ′C ′＝10. 4．解：相似．理由：∵AE AB ＝25，AD AC ＝410＝25， ∴AE AB ＝AD AC. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED . 5．解：(1)相似．理由：∵BC EC ＝24＝12，AC DC ＝36＝12， ∴BC EC ＝AC DC. 又∵∠ACB ＝∠DCE ，∴△ABC ∽△DEC .(2)∵△DEC ∽△ABC ，∴DE AB ＝DC AC ＝63＝2， ∴DE ＝2AB ＝8. 6．207. A8．解：相似．理由：∵AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝53， ∴△ABC ∽△DEF .9．C 10．D [解析] A ．当∠ABP ＝∠C 时， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ；B ．当∠APB ＝∠ABC 时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ；C ．当AP AB ＝AB AC时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABP ∽△ACB ；D ．无法得到△ABP ∽△ACB . 故选D.11． C 12． A14．证明：(1)∵AC ＝3，DC ＝2，BC ＝6，EC ＝4， ∴AC DC ＝32，BC EC ＝64＝32，∴AC DC ＝BC EC. 又∵∠BCA ＝∠ECD ＝90°，∴△ACB ∽△DCE .(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠B ＝∠E .∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠E ＋∠A ＝90， ∴∠AFE ＝90°，∴EF ⊥AB .15． (1)存在．设BP ＝x ，则PD ＝10－x .∵∠B ＝∠D ，∴当AB PD ＝PB CD时，△ABP ∽△PDC ，即910－x ＝x 4， 整理得x 2－10x ＋36＝0，此方程没有实数根； 当AB CD ＝PB PD时，△ABP ∽△CDP ， 即94＝x 10－x ，解得x ＝9013， 即BP 的长为9013. (2)存在2个符合题意的点P .设BP ＝y ，则PD ＝12－y .∵∠B ＝∠D ，∴当AB PD ＝PB CD时，△ABP ∽△PDC ， 即912－y ＝y 4， 整理得y 2－12y ＋36＝0，解得y 1＝y 2＝6；当AB CD ＝PB PD时，△ABP ∽△CDP ， 即94＝y 12－y ，解得y ＝10813， 即BP 的长为6或10813.。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形3相似三角形的性质教案新版华东师大版12
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形3相似三角形的性质教案新版华东师大版121．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于F点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比；(2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( )A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．解析：求AC 边上的高，先将高线作出，由△ABC 的面积为18，求出AC 的长，即可求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ；(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AE AD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB)2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AEAD，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.。
23.3 第4课时 相似三角形的判定(数学华师大版九年级上册)
例 2 如图，D在△ABC的AB边上。
（1）若AD=1，BD=2，AC= 3 ，△ACD与△ABC相似吗？为什么？
（2）若AC 2 AD • AB ，△ACD与△ABC相似吗？为什么？
A D
A D
E
B
C
B
C
拓展：已知，如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且 AD 3 AE，连结DE，若BC=4，AB=5，求证：△ADE∽△ACB.
B E
C
图中断△两AD个E三与角△形AB全C等的时一，组对应边AD与AB的长 度发的现使 断比当用 三 类值A了 角 似E为哪 形 的= 些 相 方1,将13方 似 法A点法 是 呢CE？ 否 ？时由判 有，点△AA开DE始与在△AACB上C相移似动., 此
时
3
D A
AD AB
=_A__E_． AC
5
例 3 如图，已知BD、CE是△ABC的高。
（1）求证：AE . AB=AD . AC； （2）连结DE，求证：△ADE∽△ABC；
A
E
D
B
C
例 4 如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长
线上一点，满足 AB 2 DB CE . （1）求证：△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数。
经
C
典
A
D FE
习
A
DB
B
GC
题 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， ∠AED= ∠B，
射线AG分别交线段DE、BC于点F、G，且 AD DF. AC CG
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 AD 1，求 AF 的值。 AC 2 FG
2022秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形4相似三角形的应用课件新版华东师大版
7．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠 杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头 就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必 须向上翘起10 cm，已知AC:BC＝5:1，要使这块石头滚 动，至少要将杠杆的A端向下压________cm.
【点拨】如图，AM、BN都与水平线垂直， 即AM∥BN.易知△ACM∽△BCN， ∴ABCC＝ABMN.∵AC:BC＝5:1，∴ABMN＝51，即 AM＝5BN， ∴当BN≥10 cm时，AM≥50 cm. 故要使这块石头滚动，至少要 将杠杆的A端向下压50 cm. 【答案】50
6.【中考·陕西】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测 量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的 一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择 了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再 在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点 C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m ，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量 信息，求河宽AB. 解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE， ∴DBCE＝AADB.∴11.5＝ABA＋B8.5， ∴AB＝17 m. 答：河宽AB为17 m.
8.【中考·泰安】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作 ，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各 中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是如图，四边形DEFG是一座边长为 200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城， 东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点， 出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步 恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？ 请你计算KC的长为________步．
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 23.3.2 相似三角形的判定导学案2(
23.3.3 相似三角形的判定【学习目标】1、两个三角形相似的判定方法2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
2、两个三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．【学习重难点】相似三角形的判定定理2和3【学习过程】一、课前准备判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法（1） ，（2） 。
二、学习新知自主学习：1、观察课本67页图23-3-10，完成填空。
然后通过量角或量线段计算之后，得出△ADE ∽△ABC 。
分析题目条件：（1）有一个公共角∠A,(2)AD=31AB, AE=31AC, 结论：△ADE ∽△ABC探 索： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？2、总结另一个判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．符号语言： ∵,AB AC A A A B A C '=∠=∠''''， ∴△ABC ∽△A B C '''. 3、探 索：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？完成下面的做一做，再讨论总结判断另一个相似的方法。
4、课本69页做一做我们可以发现这两个三角形相似．即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．实例分析：例1、例3 判断图中△AEB 和△FEC 是否相似？证明：例4、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知：AB ＝6 cm ， BC ＝8 cm ，A C ＝10 cm ，A ′B ′＝18 cm ，B ′C ′＝24 cm ， A ′C ′＝30 cm ．试判定△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．（小组讨论完成）证明:【随堂练习】1、在△ABC 和△'''A B C 中，∠C =∠'C =90°，AC =12，BC =15，''A C =8，则当 ''B C =____________时，△ABC ∽△'''A B C ．2、在△ABC 中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=1，C 1A 1=2，当B 1C 1=______时，△AB C ∽△A 1B 1C 1。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质0810178
23.3.3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A ．5∶3 B ．3∶5 C ．25∶9 D.5∶ 3 2．［2017·重庆］若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A ．3∶2 B ．3∶5 C ．9∶4 D ．4∶93．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的AC 边和A ′C ′边上的高，且AB ＝10，A ′B ′＝2，BD ＝6，求B ′D ′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC ∽△DEF ，且AB DE ＝12，所以BC （ ）＝AC （ ）＝________，则AB ＋BC ＋AC（ ）＋（ ）＋（ ）＝________，所以△ABC 与△DEF 的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC .若△ADE 与△ABC 的周长之比为2∶3，AD ＝4，则DB ＝6．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________． 7．［教材练习第2题变式］已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求AC 和A ′C ′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A ．2∶3 B.2∶ 3 C ．4∶9 D ．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶1610．如图23－3－39，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，且DE ∥BC ，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶111. 如图23－3－40所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB＝________．12．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积为64 cm 2，求：(1)A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； (2)△A ′B ′C ′的周长； (3)△ABC 的面积．13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ACD 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．414．如图23－3－42，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，则DE ∶EC 等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. 152D ．516．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．17．如图23－3－45，AD，BE分别是△ABC的角平分线和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的角平分线和中线，已知∠BAC＝∠B′A′C′，AB·A′D′＝A′B′·AD.求证：AD·B′E′＝A′D′·BE.2318．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH的周长为24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．1．A 2．A 3．解：由题意知AB A ′B ′＝BD B ′D ′，∴102＝6B ′D ′， 解得B ′D ′＝1.2. 4．EF DF 12 DE EF DF 12 125．2 6．157．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以6072＝AB A ′B ′＝BCB ′C ′.又因为AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以56＝15A ′B ′＝BC 24，所以A ′B ′＝18(cm)，BC ＝20(cm)，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B11. 22[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵S △ADE ＝S 四边形BCED ， ∴S △ADE S △ABC ＝12， ∴AD AB ＝12＝22. 12．解：(1)∵CD C ′D ′＝AB A ′B ′，∴4C ′D ′＝12， ∴C ′D ′＝8(cm)． (2)∵C △ABCC △A ′B ′C ′＝AB A ′B ′，∴12＝20C △A ′B ′C ′， ∴C △A ′B ′C ′＝40(cm)．(3)∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB A ′B ′2，∴14＝S △ABC 64，∴S △ABC ＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14. ∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3. 故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25， ∴DE AB ＝25. ∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3. 故选A. 15．D16．因为AE ∶EC ＝2∶1，所以AE ∶AC ＝2∶3，CE ∶AC ＝1∶3. 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝4∶9.因为DE ∥BC ，所以BD AB ＝CE AC ＝13.设△ABC 中BA 边上的高为h ，则△BDC 中BD 边上的高也为h ，所以S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，所以S △BDC ∶S △ABC ＝BD ∶AB ＝1∶3，所以S △ADE ∶S △BDC ＝49S △ABC ∶13S △ABC ＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，BE ，B ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，AC ＝2AE ，A ′C ′＝2A ′E ′. 又∵AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD ，∴AB A ′B ′＝ADA ′D ′， ∴△BAD ∽△B ′A ′D ′， ∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 又∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝2AE 2A ′E ′＝AE A ′E ′， ∴△ABE ∽△A ′B ′E ′，∴BE B ′E ′＝AB A ′B ′. 又∵AD A ′D ′＝AB A ′B ′，∴AD A ′D ′＝BE B ′E ′，∴AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE . 18．解：设PD ＝x ，则EF ＝x . ∵矩形EFGH 的周长为24， ∴EF ＋EH ＝12， ∴EH ＝12－x . 又∵EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AP AD ， 即12－x 10＝1616＋x，解得x 1＝4，x 2＝－8(不合题意，舍去)， ∴x ＝4，即PD ＝4，∴S △BPC ＝12BC ·PD ＝12×10×4＝20.。
华师大版九上 第23章 图形的相似 23.3.4 相似三角形的应用(33张PPT)
课后作业（思维拓展）
解：设AE＝x， 则BF＝20－10.2－x. ∵ME∥BD， ∴△AME∽△DAB.
∵NF∥AC，∴△BNF∽△BCA.
故路灯的高度约为6.8m．
课后作业（思维拓展）
14．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面 积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正 方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方 案如图1，乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方 案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果 中可保留分数)
【思路分析】根据题意得出
，进而得出
△ABO∽△CDO，再利用三角形的性质即可求出答案．
典例精析
【答案】15 【方法归纳】在具体测量操作过程中，一定要构建出能
使两三角形相似的必要条件后才能运用相似三角形的性 质求解
典例精析
知识点3 借助标杆、直尺或平面镜测量物体的高度 【例3】 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB
第23章 图形的相似
新知预习
1．利用影长测量物体的高度通常利用相似三角形的性质， 即相似三角形的对应边的比_ 相等 ___或在同一时刻物
_ 高___与_ 影长___的比相等原理解决． 2．利用相似测量河(塘)的宽度或距离时，测量不能直接
到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图， 三点应_ 在一条直线上___． 3．借助标杆或直尺测量物体的高度，用相似三角形对应 边的比_ 相等___的性质求物体的高度.
他先测得留在墙上的影高 (CD)为1.2m，又测得地面部 分的影长(BC)为2.7m，他测 得的树高应为多少米？
课后作业（能力提升）
解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为 h m，
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.4相似三角形的应用教案华东师大版(20
重庆市沙坪坝区虎溪镇九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形 23.3.4 相似三角形的应用教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市沙坪坝区虎溪镇九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.4 相似三角形的应用教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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相似三角形的应用课题名称相似三角形的应用三维目标 1.知识目标：（1）学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用.(2）经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。
2.能力目标:(1）全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决实际问题的能力.（2）通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力。
3．情感目标：(1）通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦。
（2）力求培养学生科学，正确的数学观,体现探索精神。
重点目标1。
引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决.2。
面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。
难点目标通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型导入示标1。
学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。
2。
经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形 2
23.3.5 相似三角形的应用【学习目标】能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．【学习重难点】1、相似三角形的实际运用2、测量无法到达物体的宽度和高度【学习过程】一、课前准备测量旗杆的高度操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB的影长=米，求AB：=米，其影长DE b=米，标杆高FD mBD a分析：∵太阳光线是平行的∴∠____________＝∠____________又∵∠____________＝∠____________＝90°∴△____________∽△____________∴__________________，即AB=__________二、学习新知自主学习：探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案一：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？实例分析：例6 为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知高度的竹竿DE，比较竹竿的影长CD 与金字塔的影长AB，却可近似地算出金字塔的高度OB，如果DE=1米，CD=2米，AB =274米，求金字塔的高度OB。
OEN例7 、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D ，些时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB 。
九年级数学 第23章 图形的相似23.3 相似三角形 1相似三角形上课 数学
做一做
如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上的任一点，作 DE∥BC，交 边 AC 于点 E，用测度尺和量角器 量一量，看看 △ADE 与 △ABC 的边角之间有什么关系，进而判断 这两个三角形是否相似.
显然∠ADE = ∠ABC， ∠AED = ∠ACB，∠A = ∠A.
又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得
• 学习重点：
掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义 判断两个三角形是否相似.
• 学习难点：
熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段 长或角的度数.
复习导入
什么是相似多边形？识别两个多边形是否相 似的标准是什么？
如果两个多边形的对应边成比例，对应角都 相等，那么这两个多边形相似.
推进新课
AD = AE ，
通过度量，还可以D发E现= A D ，
AB AC
BC AB
因而有 △ADE∽△ABC .
我们可以用演绎推理证明这一结论.
已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC
于点 D、E.
A
求证：△ADE ∽ △ABC .
证明 ∵ DE∥BC ，
D
E
∴ ∠ADE = ∠B，
∠AED = ∠C，
23.3 相似三角形 1.相似三角形
• 学习目标：
1. 知道相似三角形的概念； 2. 能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角； 3. 会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似 三角
形的相似比，由相似比求出未知的边长；
4. 掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它 两边 （或两边的延长线）相交所构成的三角形 与原三 角形相似”来判断两个三角形相似.
AE=DE=AD，
AC BC AB