6年级奥数培优讲义-2-不定方程-难版
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
小学奥数六年级上第7讲《不定方程》教学课件
巩固提升
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作业3：一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总 和为20.08，那么应划去多少个1.3? 答案：17个
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作业4：樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃. (1)第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了；已知冬菜 包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子? (2)第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子，于是樱木邀请晴子一起去吃包子 到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串，已知羊肉串每串12元， 最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25；那么两人最多吃了多少串羊肉串? 答案：10；7
巩固提升
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作业5：甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其 余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人 各捐7册，其余各捐9册，已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班 捐赠的册数都在400与600之间；各班各有多少人? 答案：甲班51人，乙班53人，丙班49人
六年级上第7讲
不定方程
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知识树
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数学知识点
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1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
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六年级奥数不定方程
六年级奥数 不定方程【知识要点】如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。
不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。
不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a 、b 、c 为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。
一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
不定方程通常利用不等式及整除性来求解。
【典型例题】例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。
”你知道李军的生日是几月几日吗？分析：如果设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。
解：设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，列方程：31x+12y=347变形后得： y=1231347x -………………………………………………………………（1） 即y=29-3x+1215-x ∵x 、y 为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除∴x=5 把x=5代入（1），得所列方程的整数解为: 答：李军的生日是5月16日。
例 2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”分析：该题共有三个未知数，若设买公鸡x 只，买母鸡y 只，买小鸡z 只，则可建方方程5x+3y+31×（100-x-y ）=100 化简整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤7100 即1≤x≤14 注意到100和4y 都是4的倍数，而7和4互质，所以x 也应是4的倍数，x 就是三种可能：4、8、12。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：代数法
在解题时，我们常常用字母(或符号)来表示数量，并根据题中的等量关系列出方程，然后通过解方程来求出问题的解，这种方法叫做代数法。
在用代数法解题的过程中，通过用字母来代替未知数，使其与已知数同等地参与列式、运算，这样有利于由已知向未知的转化，克服了平时必须避开未知数来列式的不足，使某些较复杂的、隐蔽的数量关系变得简单、明显，降低了思维难度。
用代数法解题的一般步骤:(1)审题，用字母表示所求的数量或有关的未知数；(2)找出题中数量问的相等关系，列出方程；(3)解方程；(4)检验并写出答案。
[例1】有一项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需30天完成，丙单独做需48天完成。
现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天。
那么，丙休息了[例2] 六年级甲、乙两班学生共有109人，已知甲班男生占甲班人数的乙班女生占乙班人数的则两班共有男生多少人?思路剖析依题意，甲班学生数应是11的倍数，设为11x；乙班的学生数应是9 的倍数，设为9y，，从而有11x+9y=109，求出这个不定方程的整数解，问题就可得到解决。
解答设甲班的学生数为llx，乙班的学生数为9y，依题意有llx+9y=109这个方程可以变为9y=109-llx因为左边是自然数，所以x最大等于9。
当x取1、2、3、4、6、7、8、9 时，右边都不是9的倍数；只有当x=5时，右边等于54，是9的倍数，此时y=6，所以x=5，y=6是这个方程惟一的一组解。
甲班有学生11 x 5=55(人)，乙班有学生9×6=54(人)两班共有男生答:两班共有男生60人。
[例3】一个人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，问两种盒子各有多少个?思路剖析把大、小盒子的个数都设出来，结合大、小盒子装的数量及弹子的总数就可列出一个不定方程。
解这个不定方程，就可求出两种盒子各有多少个。
6年级奥数-不定方程
不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。
小学奥数-不定方程(教师版)
小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。
当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。
不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。
在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。
因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。
不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。
但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。
题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。
然而，这种情况下的解不止一种。
不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。
解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。
因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。
因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。
代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。
设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。
y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。
又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。
六年级奥数第二十四讲 不定方程 全集
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
书人讲义--2016秋季--六年级--讲座十 不定方程与方程组
四、 自主学习 小明 2008 年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和， 则小明 2008 年有多大？
五、
课后思考
六、 课后作业 P80 3、4、10 七、 学习札记
P86
1、4
牛刀小试 1：一个分数������ ，把它的分母减 2，即������−2，约分后等于4；如果原来的分 数的分母加上 9，即
������ ������ ＋9
������
������
3
，约分后等于7，则������ 等于多少？
5
������
例2、 某单位职工到郊外植树，其中3的职工各带一个孩子参加，男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵，每个孩子种 6 棵，他们共种了 216 棵树， 那么其中有女职工多少人？
讲座十不定方程与方程组 一、 复习回顾 1、解方程：32x－7x＝6.56＋8.6x
2、求满足不定方程 2x＋5y＝9 的自然数解。
二、
知识要点
三、 例题精讲 例1、 一个分数，若分子加上 2 而分母加上 3，得到的分数约简后是 1/2；若分 子增加 3 而分母减少 2， 得到的分数约简后是 2/3。 则原来的分数是多少？
例5、 求解不定方程组：5x＋7y＋9z＝52 的正整数解。 3x＋5y＋7z＝36
例6、 阳光小学在校园里新载了樟树、梨树和桃树，每种树的棵树都是质数。如 果将三种树的总棵树加 4 后除以 10，则比樟树的 10 倍减去梨树的棵树后 还少 4 棵。问阳光小学新载的樟树、梨树和桃树各有多少棵？
例7、 有三堆砝码，第一堆中每个砝码重 3 克，第二堆中每个砝码重 5 克，第三 堆中每个砝码重 7 克。现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130 克， 那么共需要多少个砝码？其中 3 克、 5 克和 7 克的砝码各有几个？
6年级-2-不定方程-难版
第2讲 不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数典型例题知识梳理⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
六年级数学同步奥数培优
第一讲方程(解方程)例1①14x-12=7x+23②3x+4x-6=36-5x ③7*(x-8)=31+4x同步精练①15x-10=8x+11②5x+6x-6=36-3x ③9*(x-4)=45+6x例 2 ①21.5+8*4x=28.7 ②37x=7.5+12x ③23x-21=49+3x同步精练①26-3.5*4=2.5x② 3.4x-9.8=1.4x+9 ③0.72*3+4x=3.06+3x例3第二讲方程(列方程解应用题)例1光明小学买2张桌子和5把椅子共付220元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍，每张桌子和每把椅子各多少钱?1．幼儿园买来花毛巾和白毛巾各40条，共用640元，已知花毛巾单价是白毛巾单价的3倍，一条花毛巾和一条白毛巾共多少元?2．买30于克精粉和70千克小米共付人民币312元，l千克精粉的价格是1千克小米价格的2倍，买精粉和小米各用去多少元?3．买10个排球和4个篮球共付510元，每个篮球比每个排球贵5元，篮球和排球的单价各是多少元?例2有一群鸭，在河里的只数是岸上的3倍，如有26只鸭上岸，那么岸上的鸭子就与河里的鸭一样多。
这群鸭一共有多少只?1．甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出相等数目的梨，剩下的梨数，甲筐恰好是乙筐的5倍，求两筐所剩的梨数各是多少?2．六(1)班与六(2)班原有图书一样多，后来六(1)班又买来新书38本，六(2)班从本班原有图书中取出72本送给一年级同学，这时六(1)班的图书是六(2)班的3倍，两班原有图书各多少本?3．有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。
如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲乙两班各多少人?例3生产一批零件，原计划10天完成，实际每天比原计划多生产42个零件，结果提前3天完成任务。
这批零件有多少个?1．一辆汽车从甲地到乙地，原计划每小时行30千米，实际每小时比原计划多行10千米，结果比原计划提前2小时到达。
6年级奥数培优讲义-1-简单方程组-难版
小升初奥数能力基础教程（六年级）- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：六年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）第1讲简单的方程组及其应用在抗洪救灾中，6节火车车皮和15辆汽车可运载360吨救灾物资；8节火车车皮和10辆汽车可运载440吨救灾物资. 每节火车车皮与每辆汽车平均各装多少吨物资？在此问题中我们只要设两个未知数，数量关系就可以很清楚地表示出来了。
设：每节火车车皮装x 吨物资，每辆汽车装y 吨物资，可得到两个关于x 、y 的方程 6x+15y=360 ； 8x+10y=440 ，联立就是方程组⎩⎨⎧=+=+440108360156y x y x ，解出x 、y 的值，就可使问题得到解决。
这样的方程组如何求解呢？由于方程中出现了两个未知数，我们只需消去一个未知数，就可转化为一元一次方程来求解，常用的方法有代入消元、加减消元.加减消元法：将方程组中的某个未知数的系数调整为相等，将方程组中方程的相减达到消元目的.代入消元法：利用方程组中的某条方程得到某项未知数的代数表达式，然后将它代入方程组中的其他方程达到消元目的。
一、基本解法【例1】★已知方程0183=--y x ，用含x 的式子表示y ，则y =813-x ；用含y 的式子表示x ，则x =318+y . 【例2】★方程组⎩⎨⎧=+=-425125y x y x 中，上面的等式为①，下面的等式为②，则①＋②得_10x=5__，②－①得__4y=3___【小试牛刀】解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩（,x y 为正整数）典型例题【解析】将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3)(52)2512x y x y -++=⨯+，去括号整理1122x =解得2x =，所以方程的解为21x y =⎧⎨=⎩【例3】★★解下列方程组 （1） ⎩⎨⎧=+=+944235y x y x【解析】代入消元或加减消元：解得⎩⎨⎧==1223y x （2） ⎩⎨⎧=+=-16321123y x y x （3） ⎩⎨⎧=+-=05243n m nm【解析】得⎩⎨⎧==25y x 【解析】得 ⎪⎩⎪⎨⎧==21510n m【小试牛刀】解方程组（1） ⎩⎨⎧=+=+440108360156y x y x （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+785x z z y y x 【解析】⎩⎨⎧==450y x 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧===532z y x 二、应用问题【例4】★甲乙两数和为42，甲数的3倍比乙数多22，这两个数各是多少？ 【解析】甲数为x ，乙数为y则⎩⎨⎧=-=+22342y x y x ，解得⎩⎨⎧==2616y x【例5】★★七年前甲的年龄是乙的3倍，七年后甲的年龄是乙的2倍，则甲乙两人现在的年龄分别是多少？【解析】设甲乙今年分别为x 岁，y 岁⎩⎨⎧+=+-=-)7(27)7(37y x y x ，解得⎩⎨⎧==2149y x 【例6】★★甲、乙两人赛跑，若甲让乙先跑12米，则甲跑6秒可追上乙；若乙比甲先跑2.5秒，则甲跑5秒可追上乙。
苏教版六年级数学下册奥数培优 第9讲 不定方程
苏教版六年级数学下册第8讲不定方程知识概述当未知数的个数多于方程的个数时，我们就称这样的方程为不定方程。
不定方程的解不唯一，一般情况下，不定方程的解有无数个，如果题目中有条件加以限制，它的解就是有限的。
这一讲我们研究:求不定方程的自然数解的方法，以及列不定方程解决实际问题。
例1、求不定方程3x＋5y＝34的自然数解。
练习：求下列不定方程的自然数解1、2x＋5y＝92、3x＋4y＝203、4x＋5y＝34例2、求不定方程4x＋6y＝38的自然数解。
练习：求下列不定方程的自然数解。
1、2x＋3y=212、5x＋4y=593、12x＋5y=99例3、在停车场有一些车，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有20个轮子，那么三轮摩托车有多少辆?练习：1、甲种铅笔7角钱一支，乙种铅笔3角钱一支，张明用6元钱恰好买两种不同的铅笔共多少支?2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座?(两种车都要用)3、大盒子每盒装11粒玻璃球，小盒子每盒装8粒玻璃球。
要把89个玻璃球装入盒内，要求每个盒子恰好装满，需要大、小盒子各多少个?例4、某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元;超过10吨时，超出部分每吨0.8元，李家比张家多交水费3.3元，如果两家的用水量都是整数吨，两家各交水费多少元?练习：1、有甲、乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨。
现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每一辆卡车都要满载。
甲、乙两种卡车各需多少辆?2、张超将玻璃弹子装人两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大、小盒子总数大于10个。
大、小盆子各多少个?3.小明问小强:“你养了几只兔和鸡?”小强说:“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡?”课后练习一、求下列不定方程的自然数解。
1、2x＋3y=182、2x＋3y=243、8x＋5y=514、5x＋4y=52二、列不定方程解决下列问题1、工人叔叔为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根(不截断)正好铺满158米的地段?2.小明买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元一支的，也有1元5角一支的，两种圆珠笔他各买了多少支?3、商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元。
六年级奥数培训教材
[键入文字][键入文字] 六年级拔尖数学目录第1讲定义新运算第2讲简单的二元一次不定方程第3讲分数乘除法计算第4讲分数四则混合运算第5讲估算第6讲分数乘除法的计算技巧第7讲简单的分数应用题（1）第8讲较复杂的分数应用题（2）第9讲阶段复习与测试（略)第10讲简单的工程问题第11讲圆和扇形第12讲简单的百分数应用题第13讲分数应用题复习第14讲综合复习（略）第15讲测试（略）第16讲复杂的利润问题(2）第一讲定义新运算在加.减。
乘。
除四则运算之外,还有其它许多种法则的运算。
在这一讲里,我们学习的新运算就是用“＃”“＊”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。
例1：如果A＊B=3A+2B，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B表示照这样的规定，6＃（8#5）的结果是多少？例3：规定求2Δ10Δ10的值。
例4：设M*N表示M的3倍减去N的2倍，即M＊N=3M-2N（1）计算(14 ＊10）＊6（2）计算(＊）＊（1 ＊)例5：如果任何数A和B有A¤B=A×B-（A+B）求（1)10¤7（2）（5¤3）¤4（3)假设2¤X=1求X例6:设P∞Q=5P+4Q，当X∞9=91时,1/5∞（X∞ 1/4)的值是多少？例7:规定X＊Y=,且5＊6=6＊5则(3*2）*(1*10）的值是多少?例8:▽表示一种运算符号，它的意义是已知那么20088▽2009=？巩固练习1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1）3▽2 （2）5▽3（3）1▽X=123，求X的值2、已知1△4=1×2×3×4;5△3=5×6×7计算(1）（4△2)+（5△3）（2）(3△5）÷(4△4）3、如果A*B=3A+2B，那么（1）7＊5的值是多少？（2)（4*5)＊6 （3）（1*5）*(2＊4）4、如果A〉B,那么｛A,B｝=A；如果A〈B，那么｛A,B｝=B；试求（1）{8，0.8｝（2）｛{1。
六年级奥数：第40讲 不定方程
第40講不定方程一、知識要點當方程的個數比方程中未知數的個數少時，我們就稱這樣的方程為不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
這種方程的解是不確定的。
如果不加限制的話，它的解有無數個；如果附加一些限制條件，那麼它的解的個數就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小於5的整數，那麼解就只有x＝3，Y＝2這一組了。
因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對解的影響。
解不定方程時一般要將原方程適當變形，把其中的一個未知數用另一個未知數來表示，然後再一定範圍內試驗求解。
解題時要注意觀察未知數的特點，儘量縮小未知數的取值範圍，減少試驗的次數。
對於有3個未知數的不定方程組，可用削去法把它轉化為二元一次不定方程再求解。
解答應用題時，要根據題中的限制條件（有時是明顯的，有時是隱蔽的）取適當的值。
二、精講精練【例題1】求3x+4y＝23的自然數解。
先將原方程變形，y＝23－3x4。
可列表試驗求解：所以方程3x+4y＝23的自然數解為X=1 x=5Y=5 y=2 練習11、求3x+2y＝25的自然數解。
2、求4x+5y＝37的自然數解。
3、求5x－3y＝16的最小自然數解。
【例題2】求下列方程組的正整數解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2這是一個三元一次不定方程組。
解答的實話，要先設法消去其中的一個未知數，將方程組簡化成例1那樣的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式變形，得y＝4－x。
因為x、y、z都是正整數，所以x只能取1、2、3.當x＝1時，y＝3當x＝2時，y＝2當x＝3時，y＝1把上面的結果再分別代入①或②，得x＝1，y＝3時，z無正整數解。
x＝2，y＝2時，z也無正整數解。
x＝3時，y＝1時，z＝1.所以，原方程組的正整數解為x＝1y＝1z＝1練習2求下麵方程組的自然數解。
六年级奥数讲义列方程解应用题
小升初名校真题专项测试-----方程解应用题测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分. （06年清华附中入学测试题） 【解】：设10人的平均分为a 分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程： [ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克？ （02年人大附中入学测试题） 【解】：设饼干为a ，则巧克力为444-a ，列方程： a+20+（444-a ）×（1+5%）-444=7 解得：a=184。
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。
如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了_________本。
（06年试验中学入学测试题） 【解】：设甲、丙数目各为a ，那么乙、丁数目为226400a-，所以列方程4a+3×226400a-+2a+1．4×226400a-=16000 解得：a=1200。
4、六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。
（03年圆明杯试题） 【解】：因为是填空题，所以我们直接设这个班有16人，计算比较快。
所以题目变成了：1个学生年龄为13岁，有12个学生年龄为12岁，3个学生学生年龄为11岁，求平均年龄？ (13×1+12×12+11×3)÷16＝11.875，即平均年龄为11.875岁。
六年级奥数专题不定方程
十一、不定方程（一）年级班姓名得分 一、填空题1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□=.2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有道题没答.3.x 是自然数,∙∙=÷52.0810a x ,字母a 表示一个数字,x 是.4.不定方程172112=+y x 的整数解是.5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是.6.如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b的最小值等于.7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有个.二、解答题11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第二堆的石头块数.———————————————答案——————————————————————1. 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x 道题,做错y 道题,依题意得:10047=-y x ①所以74100y x +=≥72147100=.又x +y ≤20 ② 所以x ≤20-y ≤20,故7214≤x ≤20.又4|4 y ,4|100,由①知4|7 x ,又4与7互质,所以4| x ,故 x=16或20. 当x=20时,由①得y=10,与②产生矛盾.因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x -y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,99925100810+=a x ,整理得, 37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x . 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除, 推知a=9,因此7502530=⨯=x .4. 没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解. 5. 1975.设他出生年份为ab 19,依题意,得:b a ab +++=-91191997 整理得:87211=+b a所以11287ba -=由0≤b ≤9得1192871136⨯-=≤11287b -≤111071187=,即1136≤a ≤11107.故a =7,从而b =5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b ) 即 12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24.7. 14.设有x 只蜈蚣,y 只三头龙,每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组:⎩⎨⎧=+=+29840263ny x y x① ②①×40-②,得()742120=-y n ,即5372)120(⨯⨯=-y n ③由于x 和y 都是正整数,从①式得y ≤8.又因为537120120⨯<<-n , 所以从③式得y =7,106120=-n ,由此得n =14.8. 32.设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到 13 x -7=10 y -5.因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2,得到x =4, y =5是上式的一组解,且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.为使10y -5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a 页,第二天看了b 页,则前五天看的页数依次为: a , b , a+b , a+2b ,2a+3b .上面各个数的和是200,得到 5a +7b =200.因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数.因为b >a ,所以上式只有两组解:b =20, a =12; b =25, a =5.将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.10. 15.以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x 组,小猴子y 组,则有338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x , 891115=+y x .易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x , y , z 只,由题意列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x 3×①-②整理得10047=+y x . 又4|4 y ,4|100,所以4|7 x ,又(4,7)=1,所以4| x .又74100y x -=≤72147100=.① ②所以x=4,8或12.x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了⨯y 100分.由共花钱数可列方程()3040010050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得54)5(=-y x因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y -5<15,所以x 的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x 块石头,第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:⎩⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得1002-=x y .代入②整理得1800711=-z x .所以11)1(71631171800++=+=z z x . 又x ,z 自然数,所以11|z+1,当z=10时, x 有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.十一、不定方程（二）年级班姓名得分 一、填空题①②1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆=.2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程23732=++z y x 的自然数解是.5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a .已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有口人.8.某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?———————————————答案——————————————————————1. 5.依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.2. 260.设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a.依题意,得n an n =++⨯915%25整理得9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).设共分为x 组.由树苗总数可列方程 2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).4. ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z=1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x5. 8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=. 当a=1时, x=837, y=692; 当a ≥2时, y <0,不合题意. 所以电话号码为8371692.6. 7,3,2.由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .7. 5.设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x整理得1223=+y x .易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.① ②设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3yx +人.这个条件说明3| x + y . 由已知216631310=⨯+++yx y x 即7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=.所以, y=12, x=3.即有女职工3人.9. 32,80.画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,则()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).10. 17.82设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100. 化简方程得35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯ 所以98563=+x 或298⨯.所以324642==x x 或(舍去).故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.11. 设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾.因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).12. 设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得380517=+y x ①所以175380yx -=由0<y <40得176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y即17622171010<<x又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.13. 设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得4422818=++y x ③ ③-①得22512=+y x ④①②学习好资料 欢迎下载解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.14. 设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有: ⎩⎨⎧--=+--=+n m b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得)(9)(8m n a b -=-③ 所以)(98m n -,故m n -8, 由b >a ,n <10知m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.① ②。
精品六年级奥数a第二章一次不定方程
｛ ｛ ｛ 大马2匹 中马30匹 小马68匹
大马5匹 中马25匹 小马70匹
大马8匹 中马20匹 小马72匹
｛ ｛ ｛ 大马11匹 中马15匹 小马74匹
大马14匹 中马10匹 小马76匹
大马17匹 中马5匹 小马78匹
(6a) 第二章 一次不定方程
【热身演练 】
3、每只大公鸡价值5个钱，每一只母鸡价值3个钱，每3只小鸡价 值1个钱，现在有100个钱想买100只鸡。问大公鸡、母鸡、小鸡 各应买几只？（中国古趣题）
答：此工程需3米和5米的钢管各3根和7根，或8根和4根，如果要尽可能 地使用5米长的钢管，需用10根钢管。
(6a) 第二章 一次不定方程
【热身演练 】
2、学校组织野外生存训练，要将99个同学分成10个或10个以上 的小组，这些小组根据训练内容分成A、B两队，A队每组12人，B 队每组5人。A、B队各有几个小组？要使B队小组尽可能多的话， 应分成几个小组？
33
3
要尽可能地使用5米长的钢管，则看那组结果符合要求就取哪一组。
(6a) 第二章 一次不定方程
【技巧感悟 】
解: 设需3米长的钢管x根，5米长的钢管y根。有 3x+5y=44
根据题意得y=4或7满足题意。
｛ ｛ 所以
x=3 y=7
,
或
x=8 y=4
要尽可能地使用5米长的钢管，取第一组结果，即可用3米长的3根， 5米长的7根，一共需用10根钢管。
金杯数学（6a）
(6a) 第二章 一次不定方天程津科学技术出版社
【知识领航】
当我们用列方程解决实际问题的时候，常常会遇到方程的个数 比方程中未知数的个数少的情况，通常我们称这样的方程为不定方 程。如：罐中有蜘蛛和蟋蟀脚共38只，每只蜘蛛脚8只，每只蟋蟀 脚6只，蜘蛛和蟋蟀各几只？我们设蜘蛛有x只，蟋蟀有y只，列方 程为8x+6y=38。
六年级奥数方程与方程组讲座
六年级奥数方程与方程组讲座方程与方程组1内容概述二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．典型问题1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是．那么原来的分数是多少?【分析与解】方法一：设这个分数为，则分子、分母都减去19为 ,即 ,解得 ,则122-33=89．所以原来的分数是方法二：设这个分数为变化后为，那么原来这个分数为，并且有 =122, ，解得。
=14．所以原来的分数是．2．有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占50％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?【分析与解】要使A堆中黑、白子一样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中拿白子个，则拿黑子( +150)个．依题意有 =75％, 解得 =25. 所以要拿黑子25+150=175个．白子25个．3．A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升?【分析与解】设c种酒精x升，则B种酒精戈x+3升，A 种酒精ll-x-(x+3) 升.有：[11-x-(x+3)] +4％+( x+3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5．其中A种酒精为11-2x-3=7(升)．4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。
下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的加上现在到关校门时间的，就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点?【分析与解】设现在为下午点．那么上午6：00距下午点为6+ 小时；下午点距下午6：40为6 小时．有：，解得x=4．所以现在的时间为下午4点．5．如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是的2倍．求这个自然数．【分析与解】由题意知整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．6．一堆彩色球，有红、黄两种颜色．首先数出的50个球中有49个红球；以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已经数出的球中红球不少于90％，那么这堆球的数目最多只能有多少个?【分析与解】方法一：首先数出的50个球中，红球占49÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％．取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低．设取得次后，红球恰占90％．共取球50+8z，红球为49+7 ．(49+7 )÷(50+8 )×100％=90％，解得 =20，所以最多可取20次，此时这堆球的数目最多只能有50+8×20=210个．方法二：设,除了开始数出的50个球，以后数了次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有≥90％，即49+7n≥45+7．2n,解得≤20，所以n的最大值20.则这堆球的数目最多只能有50+8×20：210个．7.有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?【分析与解】设这些人中的年龄从大到小依次为、、、，①+②+③十④得：2( +y+z+ )=90，则=15…………………………………………⑤①-⑤得： , =21；④-⑤得：，z=3；所以最大年龄与最小年龄的差为 =21—3=18(岁)．方程与方程组2内容概述一般的，把含有未知数的等式称为方程将含有未知数的个数称为“元”，如： +y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知数的方程合在一起，就组成了二元方程组，就是一个二元一次方程组．把未知数的最高次数称为“次”，如就是一个二元二次方程．如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．方程的基本性质：1．方程两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立；2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立．在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项．如3 +12=18，可以将12移项为3x=18-12．通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元法，简称代人法；通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做加减消元法，简称加减法典型问题1．若石是自然数，且满足，试求的值．【分析与解】4 -1必须是105的约数，105=3×5×7，当4 -1=7时， =2：当4x-1=15时， =4；当4x-1=3时， =1；当4 -1=35时， =9．所以只能是105÷(4×9-1)=9-6，即 =9．2．小吴和小林两人解方程组，由手小吴看错了方程①中的而得到方程组的解为 ,小林看错了方程②中的而得到的解为 ,如果按正确的、计算，试求出原方程组的解．【分析与解】因为小吴同学没有看错②，所以是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；因为小林同学没有看错①，所以是符合①的解，有×3-2×8=2，解得 =6；即原方程组为解得3．解方程组：【分析与解】这是一个高达2005元的一次方程组，必须从中发现规律才求出来未知数的值．由所以 ; 所以所以 = ,所以所以于是有令 , 那么有所以即4．一只小虫从A爬到B处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A处到B处之间的路程是多少米?【分析与解】设小虫的速度为名米／分钟，从A到B所需时间为Y分钟，那么有：化简为解得所以A、B地相距3×60=180米．5．若干学生搬一堆砖，若每人搬五块，则剩下20块未搬走；若每人搬9则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人?【分析与解】设有n个学生．根据砖的数量可得到方程即 =23因为23是质数，所以n与(9-K中一个是23，另一个是1．所以只能是n=23评注：在这道题中，K仅是一个过渡变量，借用9-K≤9，求得n=23．。
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- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：六年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题知识梳理的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3， x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1， x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解 所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A，求B A +的值。
【解析】331733113=+BA 3A+11B=17，因为A 、B 为正整数，所以A=2，B=1，A+B=3【例3】★★（北大附中入学考试真题）14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个? 【解析】设大、中号钢珠分别有x ，y 个，则小号钢珠有(14-x-y)个。
由题意可得12x+8y+5(14-x-y)=100，化简得7x+3y=30。
可求出正整数解x=3，y =3，14-x-y =8。
【小试牛刀】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚?【解析】设有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃(41x+lly)个馒头。
由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程 7x+29y=41x+1ly ．化简为9x=17y 。
当x=9，y=17时和尚最少，有7×9+29×17=556(个)。
【例4】★★长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽. 【解析】设长方形长为x ，宽为y ，则2x+2y=xy ，两边同时除以2xy ， 得2111=+x y ，因为x 、y 均为整数，所以x=1，x=2时，y 不存在所以⎩⎨⎧==63y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==36y x【例5】★★ 已知2A ，3B ，4C 是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上A ，分母不变，所得三个新分数的和为613，求C 等于多少?【解析】因为2A 是真分数，所以A=1，6134131211=+++++C B ，化简得4B+3C=7，因为3B ，4C 均为真分数，所以B=1，C=1【例6】★★甲班有42名学生，乙班有48名学生。
某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分均为整数，且平均成绩均高于80分，那么甲班成绩比乙班成绩高多少分？ 【解析】甲班成绩为x ，乙班成绩为y⎪⎩⎪⎨⎧>>=80804842y x y x ，由方程①8y=7x. 因为x 、y 均为整数，x>80，y>80，所以x=96，y=84. x-y=12【小试牛刀】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x 次，晚上见面y 次．根据题意有：3561x y +=(15x ≤，15y ≤)． 可以凑出，当2x =时，11y =；当7x =时，8y =；当12x =时，5y =．因为小花狗共叫了()2x y + 声，那么()x y +越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当12x =，5y =时波斯猫叫得最少，共叫了1123527⨯+⨯=(声)．【例7】★★袋子里有三种颜色不同的球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从袋中取出10个球，数字和21，问红，黄，蓝颜色的各有多少个？ 【解析】设红球x 个，黄球y 个，蓝球（10-x-y ）个 则x+2y+3（10-x-y ）=21，化简2x+y=9因为y 为奇数，所以y=1,3,5,7,9，所以x=4,3,2,1,0，10-x-y=5,4,3,2,1，共五种情况【小试牛刀】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43。
问：小明最多摸出几个标有数字2的球?【解析】设摸出标有数字2，3和5的球分别为x,y ，z 个，于是有 x+y+z=12 ① 2x+3y+5z=43 ② 5×①-②，得 3z+2y=17 ③由于x ，y 都是正整数，因此在③中，y 取1时．x 取最大值5。
【例8】★★★ 小刚说：“从我家门牌号中抽取两个数字，共可组成6个不同的两位数，这些数的和的一半刚好是我家的门牌号”，问小刚家门牌号多少? 【解析】设小刚家门牌号为xyz （即100x+10y+z ）则10x+y+10x+z+10y+x+10y+z+10z+x+10z+y=2(100x+10y+z ）化简得y+10z=89x ，因为x 、y 、z 均为一位整数，所以x=1，y=9，z=8.xyz =198.【例9】★★ 袋中有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们数字和为43。
问小明最多摸出几个标有数字2的球？【解析】设数字2摸出x 个，数字3摸出y 个，数字5摸出（12-x-y ）个 2x+3y+5（12-x-y ）=43，化简得3x+2y=17，要使x 最多，所以x=5【小试牛刀】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【解析】设参加的男宾有x 人，女宾有y 人，则由题意得方程：()11301006021603x y x y +++⨯=，即1501202160x y +=，化简得5472x y +=．这个方程有四组解：413x y =⎧⎨=⎩，88x y =⎧⎨=⎩，123x y =⎧⎨=⎩和018x y =⎧⎨=⎩，但是由于有13的成人带着孩子，所以x y +能被3整除，检验可知只有后两组满足．所以，这个活动共有()1123123203++⨯+=人或11818243+⨯=人参加．【例10】★★★甲说：“我和乙、丙共有100元。
”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的31，丙的钱不变，我们三人仍有钱100元。
”丙说：“我的钱连30元都不到。
”问三人原来各有多少钱？解：设甲有x 元，乙有y 元，丙有z 元⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100316100z y x z y x ，且0<z<30，化简得15x=2y ，x+y>70，因为y 为15的倍数，所以y=75，x=10符合题意. 此时z=15.【小试牛刀】（百鸡问题）公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100， 买鸡100只，问可买公鸡，母鸡，小鸡各几只？ 【解析】设公鸡x 只，母鸡y 只，100)100(3135=--++y x y x ，化简得7x+4y=100，x 为4的倍数， 所以x=0，4，8，12时，y=25，18，11，4.⎪⎩⎪⎨⎧===75250z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ，共四种情况.【例11】★★★（选讲）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 位男生和11位女生 的捐款总数与乙班的9位男生和n 位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已 知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。
(其中：22)11(12122+=++m m m )【解析】设每人的捐款数是x 元。
11+m=9+n,所以n=m+2 且 （11+m ）x=mn+9m+11n+145 所以 461111x m m =+++因为x 是整数,m 为正整数，所以m+11=23或46， 所以 x=25或47。
1. 求不定方程7375=+y x 的正整数解。
【解析】5332145773y y y x ++-=-=，1+y 是5的倍数，y=4或9， ⎩⎨⎧==49y x ，⎩⎨⎧==92y x2. 求方程组⎩⎨⎧=--=++26325375z y x z y x 的正整数解。
【解析】方程②×7－方程①，得2x-3z=3，2x=3（z+1），因为x 、y 、z 为正整数，所以x=3⎪⎩⎪⎨⎧===113z y x3．将一个两位数的个位与十位数字调换位置，得到的新数比原数的2倍少1，这个两位数是多少？【解析】设两位数为10x+y ，则10y+x=2（10x+y ）-1化简得：19x-1=8y ，x 为奇数，所以x=1时，y 无解；x=3时，y=7；x=5时，y 无解； 所以这个数是37.4．100元钱买4元，8元，10元的笔记本共15本，问三种笔记本各多少本? 【解析】各买x 、y 、本4x+8y+10（15-x-y ）=100，化简得：3x+y=25 解得⎪⎩⎪⎨⎧===618z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===447z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===276z y x5.某地水费，不超过10度时，每度0.45元，超过10度时，超出部分按每度0.80元，张 家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元？ 【解析】设张家用了x 度，李家用了y 度。