上海十所名校高三联合测试数学试卷

上海十所名校高三联合测试数学试卷
一、填空题(本大题共计12小题，每小题4分，满分48分) 1．若直线l 1：–2x+ay+6=0与直线l 2：x+(a –1)y +3=0垂直，则实数a 的值等于 。

2．若6)1(x x x +的展开式的第五项是5
12
，设S n =x –1+x –2+……+x –n ，则n n S ∞→lim = 。

3．已知函数f (x )=log a (x –k )的图像过点(4,0)，而且点(1,5)关于直线y=x 对称的点亦在函数图像上，则f (x )= 。

4．已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1=–2003，b 1=2004，S n ，T n 分别表示{a n }、{b n }的前n 项的和(n ∈N )。

若S n +T n =0，则a n +b n 的值为 。

5．集合A={z |z=i
i n
+-11，n ∈N }，若集合B 满足B ⊂A ，且B 仅有三个元素，试写出
所有符合条件的B 。

6．sin(α+2β)=53，cos(βα+2)=13
5-，(90o <α<180o ，0<β<90o )，则cos 2β
α-= 。

7．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]=3，[–1.08]= –2，定义函数{x }=x –[x ]，那么下列命题中正确的是 。

(1)函数{x }的定义域为R ，值域为[0,1]；(2)
方程{x }=2
1
有无数解(3)函数{x }是周期函数；(4)函数{x }是增函数。

8．某班新春联欢会原定5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目，将这两个节目随机地排入原节目单，那么这两个新节目恰好排在一起的概率是 。

9．(理科)等边ΔABC ，BC=a ，将它沿平行于BC 的线段EF 折起，(E ，F 分别在AB 、AC 上)，使平面AEF ⊥平面BEFC ，若折叠后，A ，B 两点距离为d ，则d 的最小值为 。

(文科)等边ΔABC ，BC ＝a ，E 、F 为AB 、AC 的中点，将它沿线段EF 折起，使平面AEF 与平面BEFC 成60o 的二面角，求折叠后AB 的长。

AB ＝ 。

10．设F 1、F 2是双曲线x 2–4y 2=4的两个焦点，P 在双曲线上，且021=⋅PF PF ，则
||||21PF PF ⋅的值等于 。

11．已知y ＝f –1(x )是函数f (x )=⎩⎨⎧<<-<<-+)
10()
01(1x x x x 的反函数，则函数g (x )=f (x )+f –1(x )
的表达式是：g (x )= 。

12．只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．4l ，43，47，53，6l ，71，83，97是一个由8个质数组成的数列．小王正确地写出它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P 满足小王得出的通项公式，但它不是质数．P ＝ 。

二、选择题(本大题共计4小题，每小计4分，满分16分)
13．把函数y=2sin(32π+x )的图像向左移2
π
个单位，得到图像对应的函数解析式可以
是 ( )
(A ) y=2sin(122π+x ) (B ) y=2sin(1272π+x ) (C ) y=2sin(62π+x ) (D ) y=2sin(12
2π
-x )
14．已知两条直线m ，n 和两个平面α、β，则下列命题正确的个数是 ( ) (1)若n ⊂α，m ∥n ，则m ∥α；(2)若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；(3)若m ⊂α，n ⊂α且m ∥β，n ∥β，则α∥β；(4)若α⊥β，α∩β=n ，则m ⊥α。

(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个
15．若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩⎨⎧>--+>+0))((b x a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b
x a
x 成立的 ( )
(A )仅充分条件(B )仅必要条件(C )充要条件(D )既不是充分条件也不是必要条件
16．给定函数f (x )=x 2+ax+b ，若对于任意x 、y ∈R ，均有pf (x )+qf (yi)≥f (px+qy )，其中p 、q ≥p+q ＝l ，那么p 的取值范围是 ( ) (A )[–2,1] (B )[–1,0] (C )[–1,2] (D )[0,1]
三、解答题(本大题共有6小题，满分86分，解答下列各题必须写出必要的步骤)
17．己知平面向量={3, –1}，}2
3
,21{=，若存在不为零的实数x 、y ；满足
x )3(2++=，b x
a y n 1
+-=，且⊥；(1)试求x 、y 的关系式，并表示为y=f (x )
形式；(2)判断并证明y=f (x )的奇偶性；写出单调递增区间和单调递增区间(理科：并对其中一个单调递增区间加以证明；文科：只要写出单调区间即可，不必证明)(本题满分12分)
18．已知c ＞2，设P ：方程x 2+6x +c ＝0有虚数根；Q ：不等式|x –2|+|x –c |＞2的解集是R 。

如果两命题P 、Q 有且仅有一个是正确的，求c 的取值范围(本题满分12分)
19．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝a，D是A1C1的中点连接DB1，AB1，DA。

(1)求证：平面ADB1⊥平面ACC1A；(2)求A1到平面ADB1的距离。

(3)求二面角A1–AB1–D的大小。

(用反三角函数表示)(本题满分14分)
20．海水受太阳和月亮的引力，产生潮汐现象，船一般在涨潮时驶进航道，靠近船
数的解析式。

(2)(文科)一条货船的吃水深度(船底与水面距离)为5米，安全条例规定，不论行驶或停靠，至少要有l.25米的安全间隙(船底与海底的距离)，如果该船只是进港维修(船的吃水深度不变)，求出该船在港口最多停留多长时间，并写出具体时间段?
(理科)一条货船载满货物的吃水深度(船底与水面的距离)为5米；卸完货物后的吃水深度为4米；卸完货物的时间为2小时，若货船的吃水深度H与卸货时间T，近似满足函数H＝aT+b(0≤T≤2)，试求a，b；如果安全条例规定，不论行驶或停靠，至少要有1.25米的安全间隙(船底与海底的距离)，判断如果该船分别在14：00和16：00进港卸货，卸完货即离开港口，是否符合安全条例要求?(本题满分16分) 21．已知S n是正数数列{a n}的前n项和，S12，S22、……、S n2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。

(1)求a n、b n；(2)(文科)从数列{
n
b
1
}中能否挑出唯一的无穷等比数
列，使它的各项和等于
2
6
1
S。

若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的
话，请说明理由。

(理科)设C n=42
n
S–3对于任意的n∈N，是否存在正整数m，使得
C n=2
n
b，若存在，求出正整数m关于n的表达式，并给出证明；若不存在，请说明理由。

(本题满发16分)
22．设抛物线过定点A(0,2)，且以x轴为准线。

(1)设求抛物线顶点M的轨迹C的方程．(2)如果点P(a,1)不在线段y=1(–2≤x≤2)上，过P点存在一对互相垂直、且同时与曲线C各有二个交点的直线，求a的取值范围(本题满分16分)。