抛物线知识点全面总结

定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M
· F ·
MF ︳ ︳ 即: 若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN
1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3 距离相等的点的轨迹为( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条 定直线距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l
l
M M
l
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜e ＜1
e=1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
电脑演示
点M 随着K 运动的过程中, 始终有 | MF || MK |,即点 M 到定点F的距离与它到 定直线l的距离相等.
1 （2）因为抛物线的标准方程 x y，焦点在y轴的正 6 1 p 半轴上， 12 ，所以焦点坐标是 (0, 1 ) ，准线方程是 24 1 是y . 24 p （3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 2，p=4,所以 2 2
2
所求抛物线的标准方程是 x 8 y．
练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
4 3 2 1
y
P(x,y)
对称中心;
-2
2
2
4
6
8
10
-1
-2
3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4
o
p F ( ,0 ) 2
x
一个焦点、一条准线;
-5
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
5、
通径
过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径， |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.
(1) y 20 x; (2) y 2x ; (3)2 y 5x 0; (4) x 16 y 0.
2
2
2
2
(5, 0), x 5
1 1 (0, ), y 8 8
5 5 ( , 0), x 8 8
(0, 4), y 4
练习2 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是F(0,-2)；2 8 y x
2.4.1 抛物线及其标准方程
知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛 物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 喷泉的纵截面都是抛物线。
赵州桥
复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。 AOX 30 所以 y1 tan 30 3 因为x轴垂直于AB，且 ， x1 3 2
y1 2 3 p,| AB | 2 y1 4 3 p.
例 10. A 、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点, 满足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
证明：以抛物线的对称 轴为x轴，它的顶点为原点， 建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 2 2 px, y 2 y y0 2p 点A的坐标为 ( , y0 ),则直线OA的方程为y x, 2p y0 p 抛物线的准线是 x 2 p2 联立可得点D的纵坐标为y . y0 p O F 因为点F的坐标是( ,0),所以直线AF的 2 D B p x y 方程为 2 2 . y0 p y0 2p 2 p2 联立可得点B的纵坐标为y . 所以DB// x轴。 y0
变中有不变,动中有不动.
O
x
B ( x 2 , y2 )
例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个 2 顶点在抛物线 y 2 px( p 0) 上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、 B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、 B(x2,y2),则 y12 2 px1 , y 2 2 px
FM .
4
O
y M
F
x
例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
二次函数y ax 2 a 0 的图像为什么是抛物线 ? 指出它的焦点坐标, 准线方程.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
一、抛物线的几何性质
1、范围 =2px（p>0）
练1:已知直线过点(0,-2)且与x2=2y恰有 一个公共点,求直线方程
判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交
相切
相离
例3：斜率为1的直线l 经过抛物线 y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B 两点，求线段AB的长。
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0）
l
y∈R
(0,0) 1
y
O
F
y≥0
x∈R y轴 y≤0
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2 x2
p 点M的横坐标是_____. 2 a
a(a
p ) 2
a ,则点M到准线的距离是________,
y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的 (2)抛物线
(6, 6 2) 坐标是___________；
练习3 如图,M点是抛物线
y 4x 上一点,F是抛物线
2
的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角xFM 60o,求
y 2x 2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于 例5：已知抛物线
直线y=x+m对称,若x1x2=-1/2,则m的值为________
例6：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的 最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.
例7、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和 抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行 于抛物线的对称轴。
求标准方程
想 一 想
l N
M
· · F
如何建立直角 坐标系？
过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x 轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直 y 角坐标系xOy。 设︱KF︱= p l p p 则F（ 2 ，0），l：x = M 2 N 设动点M的坐标为（x，y）， x 由定义可知， K o F
例11.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB 中点的纵坐标的最小值。
y
M A D F
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y )
B
2 MN AD BC , MN
x
p 1 y y, 2 4
足 y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
o
p F ( ,0 ) 2
x
３、顶点
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。
x 0
2、对称性
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
y
P(x,y)
由于点( x, y ) 也满
x y 1 ； 2 4 y (2)准线方程是
.
(3)焦点到准线的距离是2.
y 2 4x, y2 4x, x2 4 y, x2 4 y
本题小结: ①求抛物线的焦点时一定要先把抛 物线化为标准形式； ②先定位，后定量。
y2 2 px上一点M到焦点的距离是 例2 (1)抛物线
· ·
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
p p 其中焦点F ,0 , 准线方程为x , 开口向右 2 2
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
对“标准”的理解 y2 = 2px（p＞0）
A
x
y 2 2 px( p 0) 的焦点F的 例8、已知过抛物线 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 两点。
（1）x1 x2 是否为定值？y1 y2 呢？ 1 1 （2） 是否为定值？ | FA | | FB |
y
A ( x1 , y1 )
F
这一结论非常奇妙,
准线方程