七年级数学下册三角形
专题4.1认识三角形(与三角形有关的线段)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.1 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC. 特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明：（1）三角形的角平分线是线段； ⇔21⇔21（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段??三角形的边段??概念??分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出CDE ∆的边和角．（3）AD 是哪些三角形的边？C ∠是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：ABD ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆，ACB ∆，共5个；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB 的，含AD （不含AB ）的，含DE （不含AD ）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD 的三角形，先找AD 左边的，再找AD 右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB 为边的三角形有∠ABD ，∠ABC ，以AD 为边的三角形有∠ADE ，∠ADC ，再以DE 为边三角形有∠DEC ，一共有5个三角形分别为ABD ∆，ABC ∆，ADC ∆，ADE ∆，EDC ∆；（2）CDE ∆的边：CD ，CE ，DE ，角：C ∠，CDE ∠，DEC ∠；（3）AD 是ADB ∆，ADE ∆，ADC ∆的边；C ∠是ABC ∆，ADC ∆，DEC ∆的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD 为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD 边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD 为边的三角形有：∠BDC ，∠BDO ，以∠1为内角的三角形有：∠EOC ，∠ACD ．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC 的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c 的关系，进而判断ABC ．解：∠22()()0a b b c -+-=，∠0a b -=，0b c -=∠a =b =c ，∠ ABC ∆是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）∠ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝∠B ；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∠∠A ＝30°，∠C ＝∠B ，∠A ＋∠C ＋∠B ＝180°，∠∠C ＝∠B ＝75°，∠满足条件的三角形是锐角三角形．(2) ∠三个内角的度数之比为1∠2∠3，∠可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∠满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段??构成三角形条件??确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm 、8cm 、4cm ； （2）5cm 、6cm 、11cm ； （3）5cm 、6cm 、10cm ；【答案】（1）不能，因为3cm ＋4cm ＜8cm ；（2）不能，因为5cm ＋6cm ＝11cm ；（3）能，因为5cm ＋6cm ＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a ，b ，c 能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明b a c b c -<<+即可．解：三条线段a ，b ，c 能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知b a c b c -<<+，∠三条线段a ，b ，c 能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明b a c b c -<<+是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a ．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为整数，当a 为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) 212a << (2)当11a =时，三角形的周长最大为23【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知7575a -<<+，即212a <<，∠a 的取值范围是212a <<；（2）解：由（1）知，a 的取值范围是212a <<，a 是整数，∠当11a =时，三角形的周长最大，此时周长为：571123++=，∠周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三：【变式】已知：ABC 中，5AB =，21BC a =+，12AC =，求a 的范围．【答案】38a <<【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∠AB BC AC 、、是ABC 的三边，∠AC AB BC AC AB -<<+，即：a -<+<+12521125，解得：38a <<，故答案为：38a <<．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段??三角形的高??作图??求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 均在小正方形的顶点上．(1) 画出ABC 中BC 边上的高AD ；(2) 直接写出ABC 的面积为___．【答案】(1)见分析 (2)8【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：AD 即为所求；1【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形ABC ，直角三角形DEF 和钝角三角形PQR 的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，,AD AE 分别是ABC 的中线和高，3cm AE =，26cm ABD S =△．求BC 和DC 的长．【答案】8cm BC =，4cm CD =ABD S =是ABC 的中线，得到解：由题意，得：BD AE ⋅4cm ，是ABC 的中线，12BD BC =∠4cm,28cm CD BC BD ===．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD BE ，分别是ABC 的高，若465AD BC AC ===，，，求BE 的长．2ABC S =分别是ABC 的高，1122ABC S BC AD AC =⨯=⨯45AD BC AC ===，，，462455BC BE ⨯==24BE =【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．7．如图，在ABC 中()2AB BC AC BC BC >=，，边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ==，【分析】先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论7050AC CD AC CD +=+=①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC >，①当7050AC CD AB BD +=+=，时，470x x +=，解得：14x =，441456AC x ∴==⨯=，14BD CD ==，50501436AB BD ∴=-=-=，36AB ∴=，36286456BC AB AC +=+=>=，满足三边关系，5636AC AB ∴==，；②当5070AC CD AB BD +=+=，时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ∴==，70701060AB BD =-=-=，60AC BC AB +==，不满足三角形三边关系，所以舍去，5636AC AB ∴==，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 举一反三：【变式】如图，已知AD 、AE 分别是ABC 的高和中线9cm,12cm AB AC ==，15cm BC =，90BAC ∠=︒．试求：(1) ABE 的面积；(2) AD 的长度；(3) ACE △与ABE 的周长的差．2ACE △的周长－ABE 的周长）解：ABC 是直角三角形，2191254(cm )2ABC =⨯⨯，AE 是BC 上的中线，BE EC ∴=，ABE ACE S S ∆∆∴=，2127cm 2ABE ABC S S ∆∆∴=； ）解：BAC ∠=，AD 是BC 1122AD BC ∴⋅=AB AC AD BC ⋅∴=）解：AE 是BC BE CE =，ACE 的周长－ABE 的周长和ABE 的周长差是3cm 【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．(1) 当t =___________时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2) 当t =___________时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3) 当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒先求出ABC的周长为把ABC的周长分成相等的两部分时，12cmBC+=速度即可求解；）根据中线的性质可知，点把ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即）分两种情况：∠P在AC1）ABC中，∠8cmAC，6cmBC，10cmAB，∠ABC的周长861024cm=++=，∠当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时212t=，解得6t=．故答案为：6；）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时213t=，解得 6.5t=．故答案为：6.5；）分两种情况：∠当P在AC∠BCP的面积16 2CP⨯⨯4CP=，24t=，t∠当P在AB∠BCP的面积=12=ABC面积的一半，∠P为AB中点，213t=， 6.5．故t为2或6.5秒时，BCP的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分【变式】已知ABC的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 1AM 是ABC 的边BC 上的中线，如图1，则1ACM 的面积为 （用含S 的式子表示，下同）；2CM 是1ACM 的边1AM 上的中线，如图2，则2ACM △的面积为 ；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，则3ACM △的面积为 ；…… ）中的求解可得规律，利用规律即可求解．是ABC 的边上的中线，ABC 的面积为11122ACM ABC S S S ==； 2CM 是1ACM 的边AM 2， 12111244ACM ACM ABC S S S S ===；3AM 是2ACM △的边2CM 上的中线，如图3，231128ACM ACM S S S ==， 故答案为：12S ，14S ，1）解：∠112ACM SS =，211124ACM ACM S S S ==2312ACM ACM S S ==，以此类推，可得12n ACM S ⎛⎫= ⎪⎝⎭2022=2022ACM S故答案为：202212⎛⎫ ⎪【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是9．如图，CE 是ABC 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知64AFE ∠=︒，求FEC ∠的度数．【答案】32︒ ACB AFE ==∠是ABC 的角平分线，12BCE ACB =∠FEC BCE =∠本题主要考查了平行线的性质，【变式】如图，点E 为直线AB 上一点，B ACB ∠=∠，BC 平分ACD ∠，求证：AB CD ．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：BC 平分ACD ∠，ACB BCD ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，B BCD ∴∠=∠，∠AB CD ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，ABC 中，按要求画图：(1) BAC ∠的平分线AD ；(2) 画出ABC 中BC 边上的中线AE ；(3) 画出ABC 中AB 边上的高CF ．【分析】（1）画出BAC ∠的平分线交BC 于D 即可；（2）取BC 的中点E ，连接AE ，中线AE 即为所求；（3）过点C 作CF BA ⊥交BA 的延长线于F ，CF 即为ABC 中AB 边上的高．（1）解：如图，AD 即为所求；（2）解：如图，中线AE 即为所求；（3）解：如图，高CF 即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：'''；(1)画出ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C'''的重叠部分面积为多少？(2)ABC与A B C重叠部分面积为'''即可；）根据题意画出ABC沿CB个单位后的A B C）正方形的边长为，根据图形进行求解即可．'''如图所示：解：（1）ABC沿CB方向平移2个单位后的A B C（2）∠正方形的边长为1，9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）∠∠∠；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是∠∠∠三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：∠三角形木架的形状______，说明三角形具有______；∠四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠是三角形，稳定性；∠四边形，稳定性．【分析】∠根据三角形的稳定性进行解答即可；∠根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：∠由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；∠四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
数学七年级下册三角形的常见题型
数学七年级下册三角形的常见题型
数学七年级下册三角形的常见题型有：
1.已知三角形的两边长分别为3和4，则第三边长x的取值范围是：x＜7且x＞1。
2.三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。
3.三角形外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
4.推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
5.三角形具有稳定性。
6.三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
7.已知三角形两边的长度分别为5和7，则第三边的长度范围为：大于2小于12。
以上是部分三角形的常见题型，仅供参考。
在解决具体问题时，还需根据题目要求和知识点进行灵活运用。
北师大版七年级数学下册第 四章 三角形 全等三角形的基本模型 (25PPT)
解：(1)∵AB∥CD ∴∠BAO＝∠DCO（两直线平行，内错角相等） ∠ABO＝∠CDO（两直线平行，内错角相等） ∵O 是 DB 的中点 ∴BO＝DO
在△ABO 和△CDO 中 ∠BAO＝∠DCO（，已证） ∠ABO＝∠CDO（，已证） BO＝DO（，已证） ∴△ABO≌△CDO(AAS).
(2)∵△ABO≌△CDO， ∴AO＝CO（全等三角形的对应边相等） 1 CO＝2AC＝2 1 ∵BO＝2BD＝3 ∴△BOC 的周长为 BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.
平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后 两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合，或者绕该顶点旋转后重合
例 5.如图，已知点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE， ∠A＝∠D. (1)说明：AC∥DE； (2)若 BF＝13，EC＝5，求 BC 的长.
边:AB=DE,∠ EF,然后应用 =∠D,然后应 AAS”判定全等
B=∠E
“SAS”判定 用“ASA”判
全等
定全等
②边为角的对 找边的邻角相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用
边:
“AAS”判定全等
AC=DF,∠B=
∠E
类型1 平移模型
图形特点：沿同一条直线平移可得到两三角形重合
例 1.如图，AB∥DC，AC∥DE，点 C 为 BE 的中点，试说明：AB＝DC. 解：∵AB∥DC，AC∥DE
练2.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交
于点O．试说明△AEC≌△BED.
解:∵∠A=∠B（已知） ∠AOD=∠BOE（对顶角相等）
在△AOD中，∠2=1800-∠A-∠AOD 在△BOE中，∠BEO=1800-∠B-∠BOE ∴∠2=∠BEO 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠BEO ∴∠1+∠AED=∠BEO+∠AED 即∠AEC=∠BED
七年级 下册 数学 PPT课件 精品课 第4章三角形 三角形的中线、角平分线
归纳
知2－导
铅笔支起三角形卡片的点就是三 角形的重心！
（来自《教材》）
知2－讲
位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．
（来自《点拨》）
角的平分线
C
如右图，如果∠AOB=∠BOC，
那么射线OB叫做∠AOC的角
B
平分线。
O
A
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射
(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
三角形的三条角平分线线交于一点
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠__A_B_E=_∠__C_B_E= 1 ∠__AB_C__
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠__B_C_F_
B
D
C
练一练
• 1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，所以
∠B+∠BCD=90°，所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC
= 1 AC·BC=1
2
2
AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以CD= AC BC 68 24 .
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形
的三边关系．
（来自《点拨》）
知1－练
3 如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E 是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边 形PDCE的面积为( B )
北师大数学七年级下册第三章-认识三角形
第03讲_全等三角形辅助线的作法知识图谱三角形的内角（北师版）知识精讲概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形表示三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示如图，顶点是A ，B ，C 的三角形，记作，的三边，有时也用a ，b ，c 来表示．顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、边AB 分别用b ，c 来表示．按角分类直角三角形三角形中有一个角是直角 斜三角形锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角思考：如何按边分类？内角和定理三角形三个内角的和等于．证明过点A 作BC 的平行线DE ∴∠B=∠1，∠C=∠3 ∵D 、A 、E 三点共线 ∴∠1+∠2+∠3=180° ∴∠B+∠2+∠C=180°直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余．表示在Rt △ACB 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即两个锐角互余.五．易错点1．求角度过程中计算错误．2．注意导角计算等角的补角相等，等角的余角相等. 3．会利用三角形内角和定理判定三角形形状.三点剖析一．考点：1．按角分类；2．内角和定理；3．直角三角形的性质二．重难点：利用内角和定理求角度．三．易错点：求角度过程中计算错误．按角分类例题1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形231DBCA ECBA【答案】 D【解析】 设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°=180°， 解得k°=45°， ∴2k°=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形．随练1、 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ）A.3B.4或5C.6或7D.8【答案】 A【解析】 由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3=3个锐角三角形．内角和定理例题1、 如图，在△ABC 中，46B ∠=︒，54C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ）A.45°B.54°C.40°D.50°【答案】 C【解析】 ∵46B ∠=︒，54C ∠=︒，∴180180465480BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴11804022BAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵DE ∥AB ，∴40ADE BAD ∠=∠=︒．故选：C ．例题2、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A.44°B.60°C.67°D.77°【答案】 C【解析】 △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝22°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝68°，由折叠的性质可得：∠CED ＝∠B ＝68°，∠BDC ＝∠EDC ， ∴∠ADE ＝∠CED －∠A ＝46°，∴180672ADEBDC ︒-∠∠==︒．例题3、 （1）如图①，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝80°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数；EDC B A（2）将（1）中“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠B＝x°，∠C＝y°，∠C＞∠B”，①其他条件不变，你能用含x，y的代数式表示∠EAD吗？请写出，并说明理由；②如图②，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，用含x，y的代数式表示∠EFM，并说明理由．【答案】（1）20°（2）①1122EAD y x∠=-；理由见解析②1122EFM y x∠=-；理由见解析【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°∵AE平分∠BAC，∴1302CAE BAC∠=∠=︒∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝80°，∴∠CAD＝90°－∠C＝10°，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°；（2）①∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－x－y∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-；②过A作AD⊥BC于D，∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴1122 EFM y x ∠=-．随练1、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=____________．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．随练2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_________-．【答案】130°或90°【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°．直角三角形的性质例题1、如图，图中直角三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个．例题2、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝________°．【答案】 135【解析】 观察图形可知：△ABC ≌△BDE ， ∴∠1＝∠DBE ，又∵∠DBE ＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∵∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠3＋∠2＝90°＋45°＝135°．例题3、 如图，ABC △中，AD 是高，AE 、BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线，它们相交于点O ，60A ∠=︒，70C ∠=︒．求DAC ∠，BOA ∠．【答案】 20︒；125︒【解析】 9020DAC C ∠=︒-∠=︒∵180C BAC ABC ∠+∠+∠=︒，70C ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴50ABC ∠=︒∵AE ，BF 是角平分线，∴12302BAC ∠=∠=︒，13252ABC ∠=∠=︒∵23180BOA ∠+∠+∠=︒，∴125BOA ∠=︒．随练1、 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边成50°角，那么这个直角三角形的较小的内角是________度． 【答案】 25【解析】 暂无解析随练2、 图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt △ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（ ）A.9个B.8个C.7个D.6个【答案】 A【解析】 暂无解析三角形的边知识精讲按角分直角三角形三角形中有一个角是直角斜三角形锐角三角形三角形中三个角都是锐角钝角三角形三角形中有一个角是钝角按边分不等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形有两条边相等的三角形等边三角形（正三角形）三边相等的三角形三角形任意两边的和大于第三边三角形任意两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．四．易错点1．在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最能否组成三角形．2．在应用三边关系判断三条线段能否组成三角形时，要注意“任意”二字．三点剖析考点：1. 按边分类；2. 三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么b c a b c-<<+.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.按边分类例题1、若下列各组值代表线段的长度，以它们为边能构成三角形的是（）A.6、13、7B.6、6、12C.6、10、3D.6、9、13【答案】D【解析】A、6＋7＝13，则不能构成三角形，故此选项错误；B、6＋6＝12，则不能构成三角形，故此选项错误；C、6＋3＜10，则不能构成三角形，故此选项错误；D、6＋9＞13，则能构成三角形，故此选项正确．例题2、各边长度都是整数、最大边长为11的三角形共有________个．【解析】 设另外两边长为x ，y ，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12． 当y 取值11时，x ＝1，2，3，…，11，可有11个三角形； 当y 取值10时，x ＝2，3，…，10，可有9个三角形；当y 取值分别为9，8，7，6时，x 取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36．三边关系例题1、 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2cm ，3cm ，5cm B.7cm ，4cm ，2cm C.3cm ，4cm ，8cm D.3cm ，3cm ，4cm 【答案】 D【解析】 A 、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B 、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C 、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D 、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．例题2、 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.6 C.11 D.16 【答案】 C【解析】 设此三角形第三边的长为x ，则10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C ．例题3、 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+【答案】 见解析【解析】 ∵AD BC ⊥∴AB AD ＞，在△AEC 中，AE EC AC +>．又∵AE 为中线，∴12EC BC =即12AE BC AC +>，∴12AB AE BC AD AC ++>+随练1、 已知一个三角形的第一条边长为（a+2b ）厘米，第二条边比第一条边短（b ﹣2）厘米，第三条边比第二条边短3厘米．（1）请用式子表示该三角形的周长；（2）当a=2，b=3时，求此三角形的周长． 【答案】 （1）3a+4b+1 （2）19【解析】 （1）第二条边长为：a+2b ﹣（b ﹣2）=（a+b+2）厘米， 第三条边长为：a+b+2﹣3=（a+b ﹣1）厘米， 则周长为：a+2b+a+b+2+a+b ﹣1=3a+4b+1； （2）当a=2，b=3时， 周长为：3×2+4×3+1=19．随练2、 在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝2，且AC 的长为奇数，则AC ＝________．ED CBA【解析】暂无解析随练3、如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．【答案】3【解析】暂无解析稳定性例题1、下列图形中，不具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．A可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；B可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；C可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；D可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．故选B．随练1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A.0根B.1根C.2根D.3根【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选B．三角形的高、中线、角平分线知识精讲一．三角形的高线、中线、角平分线概念从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线三．易错点1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．特别是钝角三角形的高，有两条是在三角形外.2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.3.三角形的中线是线段4.三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线三点剖析考点：1.三角形的高、中线、角平分线；2.面积问题；重难点：1.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2.三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3.每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.三角形的高、中线、角平分线例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（）A.2cm、2cm、2cmB.3cm、3cm、3cmC.4cm、4cm、4cmD.2cm、3cm、5cm【答案】A【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE=OF=OD，设OE=x，∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴12×6×8=12OF×10+12OE×6+12OD×8，∴5x+3x+4x=24，∴x=2，即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．故选A．例题2、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到'''A B C，图中标出了点B 的对应点'B．（1）补全'''A B C根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）'''A B C的面积为________【答案】（1）如图所示：'''A B C即为所求；（2）如图所示：CD就是所求的中线；（3）如图所示：AE即为BC边上的高；（4）8．【解析】（1）连接BB'，过A、C分别做BB'的平行线，并且在平行线上截取AA CC BB'='='，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；（4）4421628⨯÷=÷=．故'''A B C的面积为8．随练1、如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD＝∠DBE，则有（）A.BE⊥ACB.BE平分∠ABCC.∠BCD＝∠CBED.∠CBD＝∠BED【答案】A【解析】延长BE到AC上一点F，∵CD是高线，∴∠BED＝∠CEF，∠BDE＝90°，则∠DEB＋∠EBD＝90°，∵∠ACD＝∠DBE，∴∠ACE＋∠CEF＝90°，∴∠CFB＝180°－（∠ACE＋∠CEF）＝90°，即BE⊥AC，故A选项正确；随练2、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有________．（1）AD是在△ABC的角平分线（2）BE是的△ABD的AD边上的中线（3）CH为△ACD边AD上的中线（4）AH是△ACF的角平分线和高线．【答案】（1）（4）【解析】（1）根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法正确；（2）根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；（3）根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法不正确；（4）根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．面积问题例题1、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S l，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．【答案】14【解析】∵BE＝CE，∴1112622ACE ABCS S==⨯=，∵AD＝2BD，∴2212833ACD ABCS S==⨯=，∴S1＋S2＝S△ACD＋S△ACE＝8＋6＝14．例题2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm／s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝________，△APE的面积等于6．【答案】 1.5或5或9【解析】如图1，当点P在AC上，∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，∴CE＝4，AP＝2t．∵△APE的面积等于10，∴1124622APES AP CE t==⨯⨯=△，∴t＝1.5；如图2，当点P在线段CE上，∵E是DC的中点，∴BE＝CE＝4．∴PE＝4－（t－3）＝7－t，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝5，如图3，当P在线段BE上，同理：PE＝t－3－4＝t－7，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝9，综上所述，t的值为1.5或5或9．例题3、如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B l C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A.2B.143C.3D.72【答案】A【解析】如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB1＝S △ABC ，S △A1AB1＝S △ABB1＝S △ABC ，∴S △A1BB1＝S △A1AB1＋S △ABB1＝2S △ABC ，同理：S △B1CC1＝2S △ABC ，S △A1AC1＝2S △ABC ，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A1BB1＋S △B1CC1＋S △A1AC1＋S △ABC ＝7S △ABC ＝14．∴S △ABC ＝2．随练1、 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于（ ）A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2 【答案】 B 【解析】 2111cm 24BCE ABC S S S ===△△阴影． 随练2、 如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ︰CD ＝2︰3，AD ，BE 交于点O ，若S △AOE －S △BOD＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】【解析】 ∵点E 为AC 的中点，∴S △ABE=12S △ABC ． ∵BD ：CD=2：3， ∴S △ABD=25S △ABC ， ∵S △AOE -S △BOD=1，∴S △ABE -S △ABD=12S △ABC -25S △ABC=1， 解得S △ABC=10．故答案为：10随练3、 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+． 他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；∵ABC APC S S ∆∆=-___________，∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．【答案】 （1）见解析（2）①BD PM PN PQ =++②BD PM PQ PN =+-【解析】 该题考查的是等面积方法的应用．（1）由图可知∵ABC APC APB S S S ∆∆∆=-∴111222AC BD AC PN AB PM ⋅=⋅-⋅, ∵AB AC =∴BD PN PM =-（2）①连接AP 、BP 、CP参考该同学思考问题的方法，则有∵ABC APB APC BPC S S S S ∆∆∆∆=++，∴11112222AC BD AB PM AC PN BC PQ ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB AC BC ==，∴BD PM PN PQ =++．②过点P 分别作直线AB ，AC ，BC 的垂线P ，垂足分别为点M ，N ，Q ，分别连接接AP 、BP 、CP ，参考以上的思考方法，则有∵ABC APB BPC APC S S S S ∆∆∆∆=+-， ∴11112222AC BD AB PM BC PQ AC PN ⋅=⋅+⋅-⋅， ∵AB AC BC ==，∴BD PM PQ PN =+-．拓展1、 若一个三角形的三个内角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】 A【解析】 ∵三个内角的度数之比为3:4:2，∴三个内角的度数分别是60︒，80︒，40︒；∴该三角形是锐角三角形．2、 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a b ∥，150∠=︒，260∠=︒，则3∠的度数为（ ）A.50︒B.60︒C.70︒D.80︒【答案】 C 【解析】 由题意：354∠=∠=∠，由124180∠+∠+∠=︒，故123180∠+∠+∠=︒，故370∠=︒。
七年级下册数学全等三角形的模型及应用(知识点串讲)(解析版)
专题12 全等三角形的模型及应用知识网络重难突破知识点一全等三角形常见模型（1）一线三等角常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）（2）手拉手模型常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）（2）半角模型常见图形如下：（正方形、一般四边形）（1）一线三等角典例1（2019春•莲湖区期末）如图1，在ABC⊥∆中，90∠=︒，AB ACBAC=，过点A作直线DE，且满足BD DE 于点D，CE DE⊥于点E，当B，C在直线DE的同侧时，（1）求证：DE BD CE=+．（2）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．（3）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．【解答】（1）证明：如图1，BD DE⊥，CE DE⊥，90D E ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒．90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠．在ADB ∆和CEA ∆中，D E ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，DE AD AE =+，DE CE BD ∴=+；（2）解：BD DE CE =+，理由：如图2，BD DE ⊥，CE DE ⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒．90BAD ABD ∴∠+∠=︒．90BAD EAC ∠+∠=︒ABD EAC ∴∠=∠．在ADB ∆和CEA ∆中，ADB CEA ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =．AE AD ED =+，BD DE CE ∴=+．（3）解：DE CE BD =-，理由是：如图3，同理易证得：()ABD CAE AAS ∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，DE AD AE =-，DE CE BD ∴=-．典例2（2019春•长清区期末）CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）如图（1），若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，当90BCA α∠=∠=︒时，线段BE与CF有怎样的大小关系？并说明理由．（2）如图（2），若直线CD经过BCA∠的外部，当90∠=∠>︒时，则EF、BE、AF三条线段之间BCAα有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）BE CF=，理由：FCA FAC∠+∠=︒，90∠+∠=︒，90BCE ACF∴∠=∠，（同角的余角相等）BCE FCA=，∠=∠，CA CBBEC CFA∴∆≅∆，Rt BCE Rt CAF(AAS)∴=；BE CF（2）EF AF BE=+，理由：CAF ACFα∠+∠=︒-∠，BCE ACFα∠+∠=︒-∠，180180∴∠=∠，（同角的补角相等）BCE CAF=，∠=∠，CA CBBEC CFA∴∆≅∆，BCE CAF AAS()=，∴=，BE CFCE AF∴=+=+．EF CE CF AF BE（2）手拉手全等典例1如图，等边ABC∆中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边EDC∆，连接AE．（1）求证：ACE BCD∆≅∆；（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．【解答】证明：（1）ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，BC AC ∴=，DC CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCA DCE DCA ∴∠-∠=∠-∠，即BCD ACE ∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，BC AC BCD ACE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆；（2）//AE BC ，理由是：ACE BCD ∆≅∆，CAE ABC ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，ABC ACB ∴∠=∠，CAE ACB ∴∠=∠，//AE BC ∴．典例2（2019春•金牛区期末）如图．已知∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠F AB +∠DAE 的度数；（3）请问线段CE 、BF 、DE 之间有什么数量关系？请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝90°，∠CAD +∠DAE ＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠CAB＝∠DAE，∠BCA＝∠E＝45°，∠F AB+∠DAE＝∠F AB+∠CAB＝∠F AC，∵∠AFC＝90°，∠BCA＝45°，∴∠F AC＝45°，∴∠F AB+∠DAE＝45°；（3）解：CE＝2BF+2DE；理由如下：延长BF到G，使得FG＝FB，连接AG，如图所示：∵AF⊥BG，∴AB＝AG，∴∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE，∴CE＝2BF+2DE．典例3（2019春•天桥区期末）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ，设BAC α∠=，BCE β∠=．（1）线段BD 、CE 的数量关系是 ；并说明理由；（2）探究：当点D 在BC 边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若90BAC ∠=︒，CE 与BA 的延长线交于点F ．求证：EF DC =．【解答】解：（1）结论：BD CE =．理由：如图1中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=．（2）结论：180αβ+=︒．理由：如图1中，BAD CAE ∆≅∆（已证），ABD ACE ∴∠=∠，BCE ACB ABC ABC ACE β∴∠=∠+∠=∠+∠=，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，BAC α∠=，180αβ∴+=︒．（3）如图2中，由（1）可知BAD CAE ∆≅∆，BD EC ∴=，B ACE ∠=∠，AB DC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ACF ∴∠=∠=∠=︒，90BCF ∴∠=︒，45F ∠=︒，B F ∴∠=∠，CB CF ∴=，BD EC =，EF CD ∴=．（3）半角模型典例1（2019春•罗湖区期末）四边形ABCD 是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．（1）如图1，将一个直角顶点与A 点重合，角的两边分别交BC 于E ，交CD 的延长线于F ，试说明BE＝DF；（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；（3）如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE ＝15，DF＝2，试求线段EF的长．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，在△BAE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF；（2）如图2，∵AD＝AB，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，此时AB与AD重合．由旋转可得∠BAE＝∠DAE'，BE＝DE'，∠B＝∠ADE'＝90°．∴∠ADF+∠ADE'＝90°+90°＝180°，∴点F、D、E'在同一条直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAE'＝45°＝∠EAF，在△EAF和△E'AF中，∵，∴△EAF≌△E'AF（SAS），∴EF＝E'F，∵E'F＝DF+DE'＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（3）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图3所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°，∴∠EAF′+∠EAD+∠DAF＝90°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴EF＝EF'＝BE﹣BF'＝BE﹣DF＝15﹣2＝13．知识点二全等三角形的应用典例1（2019春•皇姑区期末）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD CB=，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出10BD=，5ED=，则AB的长是()A．2.5B．10C．5D．以上都不对【解答】解：AB BD⊥，ED AB⊥，90ABC EDC∴∠=∠=︒，在ABC∆和EDC∆中，90ABC EDCBC DCACB ECD∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA∴∆≅∆，5AB ED∴==．故选：C．典例2（2019春•灵石县期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由．【解答】解：O是AB、CD的中点，OA OB∴=，OC OD=，在AOD∆和BOC∆中，OA OBAOD BOC OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BOC SAS∴∆≅∆，CB AD∴=，30AD cm=，30CB cm∴=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019春•罗湖区期末）如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（）A．8m B．25m C．50m D．60m【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：28﹣20＜AB＜28+20，即：8＜AB＜48，则AB的值在8和48之间．2．（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD CA =，连接BC 并延长至E ，使CE CB =，连接ED ．若量出58DE =米，则A ，B 间的距离即可求．依据是( )A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA【解答】解：在ABC ∆和DEC ∆中，AC CD ACB DCE BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEC SAS ∆≅∆，58AB DE ∴==米，故选：A ．3．（2018春•槐荫区期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD CD =，AB CB =，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC BD ⊥；②12AO CO AC ==；③ABD CBD ∆≅∆；④四边形ABCD 的面积12AC BD =⨯其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：在ABD ∆与CBD ∆中，AD CD AB BC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABD CBD SSS ∴∆≅∆，ADB CDB ∴∠=∠，在AOD ∆与COD ∆中，AD CD ADB CDB OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD COD SAS ∴∆≅∆，90AOD COD ∴∠=∠=︒，AO OC =，AC DB ∴⊥，故①②正确；四边形ABCD 的面积111222S ADB S BDC DB OA DB OC AC BD =∆+∆=⨯+⨯=， 故④正确；故选：D ．4．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选：C ．5．（2019春•青羊区期末）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥CE 于点E ，BD ⊥CE 于点D ，AE ＝5cm ，BD ＝2cm ，则DE 的长是（ ）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm【解答】解：∵AE ⊥CE 于点E ，BD ⊥CE 于点D ，∴∠AEC ＝∠D ＝∠ACB ＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，∴DE＝CD﹣CE＝5﹣2＝3cm．故选：C．6．（2019春•罗湖区期末）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是（），①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，且DA∥BC，则BC⊥CE．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；∵DA ∥BC ，∴∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝30°，∵∠ACE ＝60°，∴∠ECB ＝90°，∴BC ⊥CE ，④正确，综上所述，①②④正确，故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2018春•历下区期中）如图，两棵大树间相距13m ，小华从点B 沿BC 走向点C ，行走一段时间后他到达点E ，此时他仰望两棵大树的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90︒，且EA ED =．已知大树AB 的高为5m ，小华行走的速度为1/m s，小华走的时间是 ．【解答】解：90AED ∠=︒，90AEB DEC ∴∠+∠=︒，90ABE =︒，90A AEB ∴∠+∠=︒，A DEC ∴∠=∠，在ABE ∆和DCE ∆中B C A DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ECD AAS ∴∆≅∆，5EC AB m ∴==，13BC m =，8BE m ∴=，∴小华走的时间是818()s ÷=，故答案为：8s ．8．（2018春•槐荫区期末）如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD BC =，再在过点D 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，可证明EDC ABC ∆≅∆，所以测得ED 的长就是A 、B 两点间的距离，这里判定EDC ABC ∆≅∆的理由是．【解答】解：AB BD ⊥，ED BD ⊥，90ABD EDC ∴∠=∠=︒，在EDC ∆和ABC ∆中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EDC ABC ASA ∴∆≅∆．故答案为：ASA ．9．（2019春•商河县期末）如图，要在湖两岸A ，B 两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A 、B 两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC CD =，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，这时测得50DE =米，则AB = 米．【解答】解：根据题意可知90B D ∠=∠=︒，BC CD =，ACB ECD ∠=∠()ABC EDC ASA ∴∆≅∆50AB DE ∴==米．故答案为：5010．（2019春•平阴县期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤120AOE ∠=︒，其中正确结论有 （填序号）．【解答】解：等边ABC ∆和等边CDE ∆，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB BCD DCE BCD ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠，在ACD ∆与BCE ∆中，AC BC ACD BCECD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆， AD BE ∴=，①正确，ACD BCE ∆≅∆，CBE DAC ∴∠=∠， 又60ACB DCE ∠=∠=︒，60BCD ∴∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，在CQB ∆和CPA ∆中，CBE DAC AC BCBCQ ACP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()CQB CPA ASA ∴∆≅∆，CP CQ ∴=， 又60PCQ ∠=︒，PCQ ∴∆为等边三角形，60PQC DCE ∴∠=∠=︒，//PQ AE ∴，②正确，CQB CPA ∆≅∆，AP BQ ∴=③正确，AD BE =，AP BQ =，AD AP BE BQ ∴-=-，即DP QE =，60DQE ECQ CEQ CEQ ∠=∠+∠=︒+∠，60CDE ∠=︒，DQE CDE ∴∠≠∠，故④错误；//BC DE ，CBE BED ∴∠=∠，CBE DAE ∠=∠，60AOB OAE AEO ∴∠=∠+∠=︒，同理可得出120AOE ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，故⑤正确；∴正确结论有：①②③⑤；故答案为：①②③⑤．11．（2019春•金牛区期末）如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝12厘米，BC ＝8厘米，CD ＝14厘米，∠B ＝∠C ，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE 与以C 、P 、Q 三点所构成的三角形全等．【解答】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ，∵∠B ＝∠C ，∴①当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，△BPE 与△CQP 全等，此时，6＝8﹣3t ，解得t，∴BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为23厘米/秒；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t，∴点Q的运动速度为6厘米/秒；故答案为：3或．三、解答题（共2小题）12．如图，Rt ABC⊥于D，CE AE∠=︒，直线l为经过点A的任一直线，BD l⊥，∆中，AB AC=，90BAC若BD CE>，试问：（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由；（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？并说明理由．【解答】解：（1）AD与CE的大小关系为AD CE=，理由是：90∠+∠=∠=︒，BAD EAC BAC又CE l⊥于E，90∴∠+∠=︒，ACE EAC∴∠=∠；BAD ACEBD l ⊥于D ，CE l ⊥于E ，90BDA AEC ∴∠=∠=︒；又AB AC =；()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=．（2）线段BD ，DE ，CE 之间的数量之间关系为：BD DE CE =+，理由如下： ABD CAE ∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，又AE DE AD =+，BD DE CE ∴=+．13．（2018秋•宿松县期末）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且EAF ∠=60︒，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ∆≅∆，再证明AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处）北偏西30︒的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；故答案为EF BE DF =+．（2）结论EF BE DF =+仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，如图2，在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AE AG∴=，BAE DAG∠=∠，12EAF BAD∠=∠，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，EAF GAF∴∠=∠，在AEF∆和GAF∆中，AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS∴∆≅∆，EF FG∴=，FG DG DF BE DF=+=+，EF BE DF∴=+；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，3090(9070)140AOB∠=︒+︒+︒-︒=︒，70EOF∠=︒，12EOF AOB∴∠=∠，又OA OB=，(9030)(7050)180OAC OBC∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF AE BF=+成立，即2(4560)210EF=⨯+=（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
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第七章 三角形【知识回顾】练习题：1、①已知三角形两边长分别是2cm 和7cm ，问第三边a 的取值范围是__________ ②已知三角形两边长分别是3和5,问周第的取值范围是___________ ③已知三角形两边长分别是2和8，第三边长是偶数，求第三边长x 的取值范围是________ ④已知三角形两边长分别是7和17，第三边长是奇数，求第三边长y 的取值范围是_______2、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 A 、5，6，11 B 、8，8，16 C 、4，5，10 D 、6，9，143、已知一个三角形的周长是18cm ，且三边长之比是2:3:4，则三边长分别是______________4、若一个等腰三角形两边为3与7，则这个三角形周长为________5、四条线段的长分别为5cm ，6cm ，8cm ，13cm 以其中任意三条线段为边可构成_____个三角形6、在三角形中，已知相邻的外角是内角的2倍，则它的外角为_______，内角为_________7、等腰三角形的一个底角为500,则其顶角为______8、三角形的三个外角度数之比为2:3:4，则对应内角之比为_________9、一个三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则这个三角形是________三角形⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩定义:由不在______三条线段______所组三角形 成的图形表示方法:_________________________三角形两边之和_____第三边三角形三边关系三角形两边之差_____第三边中线________________三角形的三条重要线段高线________________三角形角平分线____________内角和__三角形的内角和与外角和多边形⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩__________1________外角性质2________外角和____________三角形面积:______________________________三角形具有____性,四边形__________性多边形定义_______________________________多边形n 边形内角和为__________多⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩边形外角和为____从n 边形一个顶点可作出_____条对角线定义:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有_________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有_____和___________和_______;_______和_____________⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪11、①在ABC 中，1123A B C∠=∠=∠，则A ∠=___________,________B C ∠=∠=②在ABC 中,若020A B ∠-∠=,2A C ∠=∠,_____,_____,________A B C ∠=∠=∠=③在ABC 中，A ∠比B ∠大010，B ∠比C ∠大010则：_____,_____,A B C ∠=∠=∠= ④在ABC 中，A B C ∠+∠=∠，则ABC 是__________三角形 12、①一外多边形的内角和等于0540则边数______n =②一个多边形的内角和与外角和相等，则边数______n =③如果一个多边形的每一个内角都等于0144，则它的内角和为_______,它是____边形④已知一个多边形每一个外角都等于030则它是______边形⑤若一个多边形边数增加一条边，那么它的内角和_____________外角和__________⑥一个多边形的内角中，最多有______个锐角，一个多边形的外中最多有________个钝角⑦一个五边形的五个外角的度数比为1:2:3:4:5 ，则它的五个内角分别为___________它们的比等于______________⑧一个十边形十个内角都相等，则这个十边形每个内角等于____________ ⑨n 边形中所有对角线的条数是__________ 13、①当围绕一点拼在一起的几个多边形内角加在一起恰好组成一个_______时，即______度，就能镶嵌一个平面②能用一种正多边形拼成地面的是____________③能用两种正多边形镶嵌的有_________,______________,__________ ④当用一块正三角形，一块正六边形，再加____块正____边形就能铺满地面，还有别的方法吗？第七章 三角形（一）本章知识结构图：（二）例题与习题：1.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形 2.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB ＝_________°.3.在△ABC 中，若a=3,b=5,则c 边的取值范围_ _______.4.如果三条线段的比是： （1）5：20：30 （2）5：10：15 （3）3：4：5 （4）3：3：5 （5）5：5：10 （6）7：7：2 那么其中可构成三角形的比有（ ）种. A.2 B.3 C.4 D.55.三角形的三边分别为3，8，1-2x ，则x 的取值范围是（ ） A.0＜x ＜2 B.-5＜x ＜-2 C.-2＜x ＜5 D.x ＜-5或x ＞26.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的外部，那么这个三角形是___ ___三角形.7. 已知△ABC ，求作：（1）△ABC 的中线AD ；（2）△ABC 的角平分线AE ；8. 已知△ABC ，求作：△ABC 的高线AD 、CE 。
9.在△ABC 中，两条角平分线BD 、CE 相交于点O ，∠BOC=116°，那么∠A 的度数是______。
10.已知BD 、CE 是△ABC 的高，若直线BD 、CE 相交所成的角中有一个为50°，则∠BAC 等于______________.11.在△ABC 中，∠B －∠A=15°，∠C －∠B=60°，则△ABC 的形状为_________. 12.（08年北京卷第5题）．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．813. 一个多边形的每一个内角为144°，则它的边数是______，它的对角线的条数是_____. 14.把一个五边形切去一角，则它的内角和为（ ）度。
A.360 B.540 C.720 D.以上答案都可能.15.一个多边形，除了一个内角外，其余的内角和为2750°，求这个多边形的边数。
16.下列正多边形不能镶嵌成一个平面图案的是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 17、画图题AB 图1A B C 图2 B CAD E第２题图某节目摄制组拍摄节目时，摄影机只能在轨道0A 上移动，演员在0B 方向上的某处P 表演．当摄影机到达点C 处时，离演员最近，拍摄效果最好．请在图中确定这时演员的位置P ．(保留画图痕迹，不写画法)18、问题：有四个工艺品厂，位置如图，准备建一个公共展厅展销四个厂的产品，展厅建在何处，才能使四个工艺品厂的展厅的距离之和最小。
19.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时， 则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变， 你发现的规律是（ ）A.∠A=∠1+∠2B. 2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D. 3∠A=2(∠1+∠2)20.（08年芜湖）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 ． （只填写拼图板的代码）21.B=32°，∠C=21°， 当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格， 你能说出其中的道理吗？22.（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°， 则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过点B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．23.如图1,△ABC,D 在BC 的延长线上，E 在CA 求证:∠2>∠1.A BCD21图 图1 D1 A BC E 2 19图第18题图图1如图2,△ABC ，CD 是它的外角∠ACE 的平分线，求证：∠2>∠1.24. （1）已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点.， 求证：AB+AC>DB+DC ；（2）已知：如图2，△ABC 中，D 为AB 边上一点，求证：AB+AC ≥DB+DC; （3）如图3，点P 为△ABC 内任一点，求证：PA+PB+PC>21(AB+BC+AC); （4）如图4，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB+AC>BD+DE+EC.25.如图a ，五角星ABCDE.（1）请你猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为多少度？（2）若有一个顶点B 在运动，五角星变为b 图、c 图（1）的结论还正确吗？请说明理由。
26.（1）如图1，在△ABC 中，∠C=80°, ∠B=40°,AD 垂直BC 于D,AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数？（2）若将“∠C=80°, ∠B=40°”改为“∠C ＞∠B ”而其它条件不变，你能求出∠EAD 与∠B ，∠C 之间的数量关系吗？（3）如图2，在△ABC 中，AE 平分∠BAC,点F 在AE 上，FD 垂直BC 于D, ∠EFD 与∠B ，∠C 之间有何关系？请说出理由. （4）如图3，在△ABC 中，AE 平分∠BAC,点F 在AE 的延长线上，FD 垂直BC 于D, ∠EFD 与∠B ，∠C 之间有何关系？请说出理由.27．如图，△ABC 的BC 边上的高与△ 的 边上的高相同。
28．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边上的中点．若C1 EF AD B 2 图1 C A B DE 图2 2 1 D CB A 图2PCBA图3EDCBA图4D AB C Ea 图 D A B C Eb 图 A C D EB c 图D C B AE 图1 A D C B E 图２图３D CBEAFF ABCFED（第28题）△的面积为．△的面积为12，则DEFABC。