最新七年级下册数学三角形专题训练

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初一下学期三角形培优专题训练

初一下学期三角形培优专题训练专题一：8字形图型1. 如图所示•求 / A+Z B+Z C+Z D+Z E的大小。

3 .如图：Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 等于（）A、180° B 、360 ° C 、270 ° D 、540°A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的大小.4.已知，如图, A B C D E F的度数为B C D E F G n度DE是Z CDB的平分线，ZA1 + Z2 +Z3 +Z 4+Z 5+Z 6+Z 7=6. 如图，7. 如图Z&如图AE是Z CAB的平分线,90 ，则n=C=40°,Z E=35° .求Z B的度数.ECEB2•如图是一个六角星，其中AOE60 , A5.如图所示.求Z专题二：燕尾形图型1. （2010?帛州）如图，/ BDC=98,A. 61°B. 60°2. 如图所示，已知/ 1=20°,/ 2=25°A. 60°B. 70 °3. 如图，已知DABC边BC延长线上一点，DF丄AB于F交AC于E, / A=35° ,? / D=42°求/ ACD的度数.4. 如图，直线DE交厶ABC的边AB、AC于D E,/ACB= 74°,/ AED= 48°，则/ BDF的度数是—5.知：如图，点E在AC上，点F在AB上, BE CF交于点O且/ C—/B= 20°,/ EO F/ A= 70°，求/ C的度数.6.下图，BE是/ ABD的角平分线，CF是/ ACD的角平分线，BE与CF交于点G,点/BDC=140 , / BGC=110，则/ A的度数为（）A. 70°B. 75C.80°D.85°:C=38，/ /B=23°,/ A的度数是（）C.37°D. 39°,/ A=35，则/ BDC的度数为（）C.80°D. 85°专题三：双垂直型1 如图所示，在△ ABC 中，/ ACB=90，/ ABC=25 , CDLAB 于 D,则/ AC ________________ 度2.图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , CDLAB,垂足为 D.下列说法不正确的是（）A.与/ 1互余的角只有/ 2 B .Z A 与/ B 互余C.Z 仁/ B D.若/ A=2/ 1，则/ B=30°3 .如图，AC 丄BD, DE I AB,下列叙述正确的是（）4 如图，△ ABC 中，Z BAC=90 , AD 丄BC 于 D, E 是 AD 上一点, 求证：Z BED>Z C5. 如图，在 VABC C 中， ACB 90 , CD 1 2A.Z A=Z BB.Z B=Z DC.Z A=ZDD.AB , AF 是角平分线，交 CD 于点E ，求证专题四：三角形三条角平分线型1如图①，BD CD 是/ ABC 和/ACB 的角平分线且相交于点 D,请猜想/ A 与/ BDC 之间的数量关系，并说明理由。

人教版(五四制)数学七年级下册《第17章三角形》章节检测-解答题题专项训练(末尾含答案解析)

试卷第1页，共139页人教版（五四制）数学七年级下册《第17章三角形》章节检测-解答题题专项训练（末尾含答案解析）一、解答题1．如图①．已知AM CN ∥，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于点B ，过点B 作BD AM ⊥于点D ，设BCN α∠=．（1）若30α=︒，求ABD ∠的度数；（2）如图②，若点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，使得BE 平分ABD ∠、BF 平分DBC ∠，求EBF ∠的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF 平分BCH ∠，且3BFC BCN ∠=∠，求EBC ∠的度数．【答案】（1）30°；（2）45°；（3）97.5°【分析】（1）延长DB ，交NC 于点H ，如图，先求解∠BHC =90°，再求解∠HBC =60°，然后根据平角的定义求解即可；（2）如解析图，仿（1）的思路易得∠ABD =α，则∠DBC =90°+α，然后根据角平分线的定义和角的和差解答即可；（3）根据邻补角的定义、角平分线的定义和平行线的性质可得1902BCF α∠=︒-=∠DFC ，进而可得7902DFB DFC BFC α∠=∠-∠=︒-，然后结合（2）的结论以及直角三角形的两个锐角互余可得关于α的方程，解方程即可求出α，进一步即可求出结果；【详解】解：（1）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN ，BD AM ⊥，DH NC ∴⊥．90BHC ．30BCN α∠==︒，9060HBC BCN ∴∠=︒-∠=︒．AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒．18030ABD ABC HBC ∴∠=︒-∠-∠=︒；（2）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN ，BD AM ⊥，DH NC ∴⊥．90BHC ．BCN α∠=，90HBC α∴∠=︒-．AB BC ⊥，90ABC ∴∠=︒．180ABD ABC HBC α∴∠=︒-∠-∠=． BE 平分ABD ∠，12DBE ABE α∴∠=∠=． 90HBC α∠=︒-，18090DBC HBC α∴∠=︒-∠=︒+． BF 平分DBC ∠，试卷第3页，共139页114522DBF CBF DBC α∴∠=∠=∠=︒+． 11454522EBF DBF DBE αα∴∠=∠-∠=︒+-=︒；（3）BCN α∠=，180180HCB BCN α∴∠=︒-∠=︒-． CF 平分BCH ∠，119022BCF HCF HCB α∴∠=∠=∠=︒-． //AM CN ，1902DFC HCF α∴∠=∠=︒-． 3BFC BCN ∠=∠，3BFC α∴∠=．7902DFB DFC BFC α∴∠=∠-∠=︒-．由（2）知：1452DBF α∠=︒+． BD AM ⊥，90D ∴∠=︒．90DBF DFB ∴∠+∠=︒．1745909022αα∴︒++︒-=︒．解得：15α=︒．4552.5FBC DBF α∴∠=∠=︒+=︒．52.54597.5EBC FBC EBF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线和邻补角的定义、直角三角形两个锐角互余的性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握基本知识、灵活应用数形结合思想和方程思想是解题的关键．2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图1方式叠放在一起，其中60A ∠=︒，30,45D E B ∠=︒∠=∠=︒．（1）若l 25∠=︒，则2∠的度数为_______；（2）直接写出1∠与3∠的数量关系：_________；（3）直接写出2∠与ACB ∠的数量关系：__________；（4）如图2，当180ACE ∠<︒且点E 在直线AC 的上方时，将三角尺ACD 固定不动，改变三角尺BCE 的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C 重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出ACE ∠角度所有可能的值___________．【答案】（1）65︒；（2）13∠=∠；（3）2180ACB ∠+∠=︒；（4）存在一组边互相平行；30︒或45︒或120︒或135︒或165︒．【分析】（1）根据垂直的性质结合图形求解即可；（2）根据垂直的性质及各角之间的关系即可得出；（3）由（2）可得180ACD ECB ∠+∠=︒，根据图中角度关系可得123ACB ∠+∠+∠=∠，将其代入即可得；（4）根据题意，分五种情况进行分类讨论：①当∥CB AD 时；①当∥EB AC 时；①当∥AD EC 时；①当∥DC EB 时；①当AD EB ∥时；分别利用平行线的性质进行求解即可得．【详解】解：（1）∵AC CD ⊥，∴90ACD ∠=︒，∵125∠=︒，∴2165ACD ∠=∠-∠=︒，故答案为：65︒；（2）∵AC CD ⊥，EC CB ⊥，试卷第5页，共139页∴90ACD ∠=︒，90ECB ∠=︒，即1290∠+∠=︒，3290∠+∠=︒，∴13∠=∠，故答案为：13∠=∠；（3）由（2）得：180ACD ECB ∠+∠=︒，∴1232180∠+∠+∠+∠=︒，由图可知：123ACB ∠+∠+∠=∠，∴2180ACB ∠+∠=︒，故答案为：2180ACB ∠+∠=︒；（4）①如图所示：当∥CB AD 时，30D DCB ∠=∠=︒，由（2）可知：30ACE DCB ∠=∠=︒；②如图所示：当∥EB AC 时，45ACE E ∠=∠=︒；③如图所示：当∥AD EC 时，30D DCE ∠=∠=︒，∴120ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒；④如图所示：当∥DC EB 时，45E DCE ∠=∠=︒，∴135ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒；⑤如图所示：当AD EB ∥时，延长AC 交BE 于点F ，试卷第7页，共139页∴60A CFB ∠=∠=︒，∵45E ∠=︒，∴15ECF CFB E ∠=∠-∠=︒，∴180165ACE ECF ∠=︒-∠=︒；综合可得：ACE ∠的度数为：30︒或45︒或120︒或135︒或165︒，故答案为：30︒或45︒或120︒或135︒或165︒．【点睛】题目主要考查垂直的性质、各角之间的计算、平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质进行分类讨论是解题关键．3．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．若a ，b ，c 满足22()()0a b b c -+-=，试判断ABC的形状．【答案】ABC 的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a ，b ，c ①①①①①①①①ABC ．【详解】解：∵22()()0a b b c -+-=，∴0a b -=，0b c -=∴a =b =c ，∴ ABC ∆是等边三角形．【点睛】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含90︒的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．4．如图，BD 是ABC ∆的角平分线，BE 是ABC ∆的AC 边上的中线．（1）若ABE △的周长为13，6BE =，4CE =，求AB 的长．（2）若92A ∠=︒，34CBD ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】（1）3；（2）20︒．【分析】（1）首先根据中线的性质得到4AE CE ==，然后根据ABE △的周长为13，即可求出AB 的长；（2）首先根据BD 是ABC ∆的角平分线得到268ABC CBD ∠=∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求出C ∠的度数．【详解】（1）①BE 是ABC ∆的AC 边上的中线，①4AE CE ==，又①ABE △的周长为13，①1313463AB AE BE =--=--=；（2）①BD 是ABC ∆的角平分线，①268ABC CBD ∠=∠=︒，又①92A ∠=︒，①180180926820C A ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】此题考查三角形中线和角平分线的概念，三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握三角形中线和角平分线的概念，三角形内角和定理．5．上小学时，我们已学过三角形三个内角的和为180°．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则B ∠=______；试卷第9页，共139页（2）若ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．①如图，若AD 是BAC ∠的平分线，请你判断ABD △是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E 是边BC 上一点，ABE △是“准互余三角形”，若24ABC ∠=︒，则EAC ∠=______．【答案】（1）15°；（2）①是，见解析；②24°或33°【分析】（1）根据ABC 是“准互余三角形”，60A ∠=︒得出+290A B ∠∠=︒，从中求出∠B 即可；（2）①ABD △是“准互余三角形”，理由如下：根据AD 平分BAC ∠，得出22BAC BAD DAC ∠=∠=∠，根据三角形内角和180BAC B C ∠+∠+∠=︒ ，得出290BAD B ∠+∠=︒即可；②点E 是边BC 上一点，ABE △是“唯互余三角形”，分两种情况，当2∠BAE +∠ABC =90°时，先求出33BAE ∠=︒，可得∠EAC =33°，当∠BAE +2∠ABC =90°时，可求42BAE ∠=︒，根据∠EAC =90°-∠BAE -∠ABC =24°即可．【详解】（1）∵ABC 是“准互余三角形”，60A ∠=︒，∴+290A B ∠∠=︒， ∴()()119090601522B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：15°（2）①解：ABD △是“准互余三角形”，理由如下：∵AD 平分BAC ∠，∴22BAC BAD DAC ∠=∠=∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，90C ∠=︒，∴90BAC B ∠+∠=︒，∴290BAD B ∠+∠=︒，∴ABD △是“准互余三角形”．②点E 是边BC 上一点，ABE △是“准互余三角形”，∴当2∠BAE +∠ABC =90°时， ∴()()119090243322BAE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴∠EAC =90°-①BAE -①ABC =33°，∴当∠BAE +2∠ABC =90°时，∴()()9029022442BAE ABC ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，∴∠EAC =90°-∠BAE -∠ABC =90°-42°-24°=24°．故答案为33°或24°．【点睛】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分，掌握如果一个三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒或290αβ+=︒．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”是解题关键．6．如图，在同一平面内有四个点A 、B 、C 、D ，请按要求完成下列问题．（注：此题作图不要求写出画法和结论）（1）分别连接AB 、AD ，作射线AC ，作直线BD 与射线AC 相交于点O ；（2）我们容易判断出线段AB +AD 与BD 的数量关系是，理由是．【答案】（1）见解析；（2）AB+AD ＞BD ，在三角形中，两边之和大于第三边．【分析】（1）根据直线，射线，线段的作图方法作图即可；（2）根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是：AB+AD＞BD，理由是：在三角形中，两边之和大于第三边，故答案为：AB+AD＞BD，在三角形中，两边之和大于第三边．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，作直线，射线和线段，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．如图，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，MN∥PQ．（1）如图1，求证：∠A＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，过点C作CD∥AB，点E在PQ上，∠ECM＝∠ACD，求证：∠A＝∠ECN；（3）在（2）的条件下，如图3，过点B作PQ的垂线交CE于点F，∠ABF的平分线交AC于点G，若∠DCE＝∠ACE，∠CFB＝32∠CGB，求∠A的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）72°．【分析】（1）过点A作平行线，证出三条直线互相平行，由平行得出与∠ACM和∠ABP相等的角即可得出结论；（2）由CD∥AB，可得同旁内角互补，再结合∠ECM与∠ECN的邻补角关系，可得结论；（3）延长CA交PQ于点H，先证明∠MCA=∠ACE=∠ECD，∠ABP=∠NCD，再设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x，由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ，从而∠CFB=270-2x，列出方程解得x值，则不难求得答案．【详解】解：（1）证明：过点A作AD∥MN，试卷第11页，共139页∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA=∠DAC，∠PBA=∠DAB，∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA，即：∠A=∠MCA+∠PBA；（2）∵CD∥AB，∴∠A+∠ACD=180°，∵∠ECM+∠ECN=180°，又∠ECM=∠ACD，∴∠A=∠ECN；（3）如图，延长CA交PQ于点H，∵∠ECM=∠ACD，∠DCE=∠ACE，∴∠MCA=∠ACE=∠ECD，∵MN∥PQ，∴∠MCA=∠AHB，∵∠CAB=∠AHB+∠PBA，且由（2）知∠CAB=∠ECN，∴∠ABP=∠NCD，设∠MCA=∠ACE=∠ECD=x，由（1）可知∠CFB=∠FCN+∠FBQ，∴∠CFB=270-2x，由（1）可知∠CGB=∠MCG+∠GBP，∴∠CGB=135°−12 x，∴270°−2x=32(135°−12x)，解得：x=54°，∴∠AHB=54°，∴∠ABP=∠NCD=180°-54°×3=18°，∴∠CAB=54°+18°=72°．【点睛】本题考查了平行线的性质及一元一次方程在计算问题中的应用，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．8．如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：∵MG平分∠BMN，∴∠GMN＝12∠BMN（），同理∠GNM＝12∠DNM．∵AB∥CD∴∠BMN＋∠DNM＝________（）．∴∠GMN＋∠GNM＝________．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，∴∠G＝________．【答案】角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°【分析】根据角平分线的定义，可得∠GMN＝12∠BMN，∠GNM＝12∠DNM．再由AB∥CD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】试卷第13页，共139页证明：∵MG 平分∠BMN ，∴∠GMN ＝12∠BMN （角分线的定义），同理∠GNM ＝12∠DNM ．∵AB ∥CD ，∴∠BMN ＋∠DNM ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠GMN ＋∠GNM ＝90°．∵∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝180°，∴∠G ＝90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9．如图所示，在一副三角板ABC 和三角板DEC 中，90ACB CDE ∠=∠=︒，60BAC ∠=︒，∠B ＝30°，∠DEC ＝∠DCE ＝45°．（1）当AB∥DC 时，如图∠，DCB ∠的度数为 °；（2）当CD 与CB 重合时，如图∠，判断DE 与AC 的位置关系并说明理由；（3）如图∠，当DCB ∠＝ °时，AB∥EC ；（4）当AB∥ED 时，如图∠、图∠，分别求出DCB ∠的度数．【答案】（1）30；（2）DE ∥AC ，理由见解析；（3）15；（4）图①①DCB =60°；图⑤①DCB =120°；【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（3）根据AB∥EC，得到①ECB=①B=30°，即可得到①DCB=①DCE-∠ECB=15°；（4）如图①所示，，设CD与AB交于F，由平行线的性质可得①BFC=①EDC=90°，再由三角形内角和定理①DCB=180°-①BFC-①B=60°；如图①所示，延长AC交ED延长线于G，由平行线的性质可得①G=①A=60°，再由①ACB=①CDE=90°，得到①BCG=①CDG=90°，即可求出①DCG=180°-①G-①CDG=30°，则①BCD=①BCG+①DCG=120°．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴①BCD=①B=30°，故答案为：30；（2）DE∥AC，理由如下：∵①CBE=①ACB=90°，∴DE∥AC；（3）∵AB∥EC，∴①ECB=①B=30°，又①①DCE=45°，∴①DCB=①DCE-∠ECB=15°，①当①DCB=15°时，AB∥EC，故答案为：15；（4）如图④所示，设CD与AB交于F，∵AB∥ED，∴①BFC=①EDC=90°，∴①DCB=180°-①BFC-①B=60°；如图①所示，延长AC交ED延长线于G，∵AB∥DE，∴①G=①A=60°，∵①ACB=①CDE=90°，∴①BCG=①CDG=90°，试卷第15页，共139页∴①DCG=180°-①G-①CDG=30°，①①DCB=①BCG+①DCG=120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，邻补角互补等等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质与判定条件．10．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝58°，AD平分∠CAB．求∠CAD和∠1的度数．【答案】∠CAD =46°，∠1=76°．【分析】利用三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAD，然后根据三角形外角性质∠1=∠C+∠CAD即可求解．【详解】解：∵∠C＝30°，∠B＝58°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣58°=92°．又∵AD平分∠BAC，∠BAC=46°，∴∠CAD=12∵∠1是△ACD的外角，∴∠1=∠C+∠CAD=30°+46°=76°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．试卷第17页，共139页11．（教材重现）如图是数学教材第135页的部分截图．在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．（问题思考）结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：（问题探究）n 边形有n 个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n 边形共有对角线（用含有n 的代数式表示）．（问题拓展）（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段．（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段．（3）已知平面上共有x 个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接条线段（用含有x 的代数式表示，不必化简）．【答案】规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条，3n -条；(3)2n n -条；（1）6；（2）105；（3）()12x x - 【分析】通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律利用规律，多边形的边数3-=一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到n边形的对角线条数（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条线段，即可得到答案．（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成的十五边形的的15条边，即可得到答案．（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．【详解】由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数．利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线；n边形的一个顶点出发，得到3n-条对角线．n边形的一个顶点可以得到3n-条对角线，故n个顶点共有(3)n n-，由于每条对角线重复连接了一次，故n边形共有(3)2n n-条对角线（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，每条对角线重复连接了一次，∴对角线条数为2，四边形的边数为4，∴一共可以连接2+4=6条线段．（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，每条对角线重复连接了一次，∴对角线条数为90，四边形的边数为15，∴一共可以连接90+15=105条线段．（3）解：由前面题的规律可知：有x个点可以组成x边形，每个点可以得到3x-条对角线，四个点共(3)x x-条，每条对角线重复连接了一次，∴对角线条数为(3)2x x-，四边形的边数为x，∴一共可以连接()()3122x x x xx--+=条线段．试卷第19页，共139页本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O 按如图方式叠放在一起，其中∠A =60°，∠D =45°．（1）如图1，若∠BOD =65°，则∠AOC =______ ；∠AOC =120°，则∠BOD =____ ；（2）如图2，若∠AOC =150°，则∠BOD =_____ ；（3）猜想∠BOD 与∠AOC 的数量关系，并结合图1说明理由；（4）如图3三角尺AOB 不动，将三角尺COD 的OD 边与OA 边重合，然后绕点O 按顺时针以1秒钟15°的速度旋转，当时间t （其中0＜t ≤6，单位：秒）为何值时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出t 的值．【答案】（1）115°，60°；（2）30°；（3）∠AOC +∠DOB =180°，理由见解析；（4）时间t 为2秒或3秒或5秒或6秒时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC =∠AOB +∠COD -∠BOD 可分别计算出∠AOC 、∠BOD 的度数；（2）根据∠BOD =360°-∠AOC -∠AOB -∠COD 计算可得；（3）由∠AOD +∠BOD +∠BOD +∠BOC =180°且∠AOD +∠BOD +∠BOC =∠AOC可知两（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【详解】解：（1）若∠BOD=65°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-65°=115°，若∠AOC=120°，则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-120°=60°；故答案为：115°；60°；（2）如图2，若∠AOC=150°，则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=360°-150°-90°-90°=30°；故答案为：30°；（3）∠AOC与∠BOD互补．理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补；（4）分四种情况讨论：当OD⊥AB时，∠AOD=90°-∠A=30°，t=30°÷15°=2(秒)；当CD⊥OB时，∠AOD=∠D=45°，t=45°÷15°=3(秒)；当CD⊥AB时，∠AOD=180°-60°-45°=75°，t=75°÷15°=5(秒)；当OD⊥OA时，∠AOD=90°，t=90°÷15°=6(秒)；综上，时间t为2秒或3秒或5秒或6秒时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．试卷第21页，共139页【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．13．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B ＝60°，求∠AEC 的度数．【答案】①AEC=115° 【分析】利用三角形的内角和定理求解40,ACB ∠=︒ 再利用三角形的高的含义求解50,CAD 再结合角平分线的定义求解25,CAE再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解： ∠BAC ＝80°，∠B ＝60°，180806040,ACBAD ⊥BC ，90,904050,ADC CADAE 平分∠DAC ，125,2CAEDAC 1802540115.AEC【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的运用三角形的高与角平分线的定义结合三角形的内角和定理得到角与角之间的关系是解本题的关键.14．一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数．【答案】这个内角的度数是148°，边数为14 【分析】根据多边形内角和定理：(2)180n -︒(3)n 且n 为整数），可得：多边形的内角和一定是180︒的倍数，而多边形的内角一定大于0︒，并且小于180︒，用2012除以180，根据商和余数的情况，求出这个多边形的边数与2的差是多少，即可求出这个多边形的边数，再用这个多边形的内角和减去2012︒，求出这个内角的度数是多少即可．【详解】解：20121801132÷=⋯，∴这个多边形的边数与2的差是12， ∴这个多边形的边数是：12214+=， ∴这个内角的度数是： 180122012︒⨯-︒ 21602012=︒-︒ 148=︒答：这个内角的度数为148︒，多边形的边数为14．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是要明确多边形内角和定理：(2)180n -︒(3)n 且n 为整数）．15．求下列图中的x 的值（1）（2）【答案】（1）65；（2）60．【分析】（1）根据四边形内角和等于360°，列方程即可求出x的值；（2）根据五边形内角和等于(5-2)⨯180°，列方程即可求出x的值．【详解】解：（1）∵四边形内角和等于360°，∴x+x+140+90=360，解得：x=65；（2）∵五边形内角和等于(5-2)⨯180°=540°，∴x+2x+150+120+90=540，解得：x=60．【点睛】本题考查了四边形和五边形的内角和，熟练掌握n边形的内角和等于(n-2)⨯180°是解题的关键．①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；②求角的度数常常要用到“n边形的内角和等于(n-2)⨯180°”这一隐含的条件．16．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是多少？【答案】这个多边形的边数为7．【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180°=3×360°-180°，解得n=7．答：这个多边形的边数为7．【点睛】试卷第23页，共139页本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关． 17．探究与发现：（1）如图（1），在∠ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ． ∠若70A ∠=︒，则P ∠= ．∠若A α∠=，用含有α的式子表示P ∠为．（2）如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，试探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF 中，DP 、CP 分别平分∠EDC 和∠BCD ，请直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系：．【答案】（1）①125°②∠P ＝90°＋12α；（2）∠P ＝12（∠A ＋∠B ）（3）∠P ＝12（∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F ）−180° 【分析】（1）①根据角平分线的定义可得：∠CDP ＝12∠ADC ，∠DCP ＝12∠ACD ，根据三角形内角和为180°可得∠P 与∠A 的数量关系； ②同①的方法即可求解；（2）根据角平分线的定义可得：∠CDP ＝12∠ADC ，∠DCP ＝12∠BCD ，根据四边形内角和为360°，可得∠BCD ＋∠ADC ＝360°−（∠A ＋∠B ），再根据三角形内角和为180°，可得∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系；（3）根据角平分线的定义可得：∠CDP ＝12∠ADC ，∠DCP ＝12∠BCD ，根据六边形内角和为720°，可得∠BCD ＋∠EDC ＝720°−（∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F ），再根据三角形内角和为180°，可得∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系．【详解】解：（1）①∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ， ∴∠CDP ＝12∠ADC ，∠DCP ＝12∠ACD ∵∠A ＋∠ADC ＋∠ACD ＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− 12（∠ADC＋∠ACD）∴∠P＝180°−12（180°−∠A）＝90°＋12∠A=90°＋12×70°=125°故答案为：125°；②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠ACD∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− 12（∠ADC＋∠ACD）∴∠P＝180°−12（180°−∠A）＝90°＋12∠A=90°＋12α故答案为：∠P＝90°＋12α；（2）∠P＝12（∠A＋∠B）理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝12∠ADC，∠DCP＝12∠BCD∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B）∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−12（∠ADC＋∠BCD）∴∠P＝180°−12[360°−（∠A＋∠B）]＝12（∠A＋∠B）（3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝12∠EDC，∠PCD＝12∠BCD∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−12（∠EDC＋∠BCD）∴∠P＝180°−12[720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]试卷第25页，共139页∴∠P＝1（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°2（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°．故答案为：∠P＝12【点睛】本题考查了四边形综合题，多边形的内角和，角平分线的性质，利用多边形的内角和表示角的数量关系是本题的关键．18．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM∥AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL∥AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，试卷第27页，共139页∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．19．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的值．试卷第29页，共139页【答案】∠G +∠H =36°．【分析】先设2GEB x ∠=，2GFD y ∠=，由题意可得8AEG x ∠=，4CFG y ∠=，由28180x x +=︒，24180y y +=︒，从而求出x y ，；根据题意得AEG G CFG ∠=∠+∠，AEH H CFH ∠=∠+∠，从而得到G H ∠+∠的值．【详解】解：设2GEB x ∠=，2GFD y ∠=，由题意可得，8AEG x ∠=，4CFG y ∠=，由28180x x +=︒，24180y y +=︒，解得18x =︒，30y =︒；由靴子图AEGFC 知，AEG G CFG ∠=∠+∠，即84x G y =∠+ 由靴子图AEHFC 知，AEH H CFH ∠=∠+∠，即即84x G y =∠+，95x H y =∠+， 179171893036G H x y ∠+∠=-=⨯︒-⨯︒=︒【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设2GEB x ∠=，2GFD y ∠=，由题意得到x y ，的关系式，正确将G H ∠+∠表示成x y ，的形式．20．△ABC 与△A 1B 1C 1在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A 、B 、C ；（2）△ABC 是由△A 1B 1C 1经过怎样的平移得到的?（3）若点P （x ，y ）是△ABC 内部一点，求△A 1B 1C 1内部的对应点P 1的坐标；（4）求△ABC 的面积．【答案】（1）（1，3 ），（2，0 ），（3，1）；（2）△ABC 是由△A 1B 1C 1向右平移4个单位，向上平移2个单位得到的；（3）点P 1的坐标为（x -4，y -2）；（4）2ABC S ∆= ．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据对应点A 、A ′的变化写出平移方法即可；（3）根据平移规律写出点P 1的坐标；（4）利用△ABC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．【详解】解：（1）A （1，3）； B （2，0）；C （3，1）；（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；（3）点P （x ，y ）是△ABC 内部一点，向左平移4个单位，横坐标减4得x =4,再向下平移2个单位，纵坐标减2得y -2，则P 1（x -4，y -2）；（4）根据割补法，补成长方形ADEF ，∴S △ABC =S 长方形ADEF -S △ADB -S △BEC -S △AFC =2×3-12×1×3-12×1×1-12×2×2， =6-1.5-0.5-2， =2．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，图形与坐标，三角形面积，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．21．如图，在∠ABC 中，∠BAC ＝40°，∠B ＝75°，AD 是∠ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数．试卷第31页，共139页【答案】85°【分析】根据角平分线定义求出DAB ∠，根据三角形内角和定理得出180ADB DAB B ∠=︒-∠-∠，代入求出即可．【详解】解：AD 平分CAB ∠，40BAC ∠=︒，1202DAB BAC ∴∠=∠=︒， 75B ∠=︒，180180207585ADB DAB B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解题的关键是注意：三角形的内角和等于180︒．22．一个多边形的内角和比它的外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数和它的内角和．【答案】多边形的边数为11，它的内角和为1620︒【分析】设多边形的变数为：x ，根据多边形内角和和外角和的性质，通过列一元一次方程并求解，即可完成求解．【详解】设多边形的变数为：x∴多边形的内角和为：()2180x -⨯︒，多边形的内角和为：360︒根据题意，得：()21804360180x -⨯︒-⨯︒=︒∴11x =∴多边形的内角和为：()1121801620-⨯︒=︒．【点睛】本题考查了多边形内角和、多边形外角和、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握多边形内角和、多边形外角和的性质，从而完成求解．23．如图，AD 是∠BAC 的平分线，CE 是△ADC 边AD 上的高，若∠BAC ＝80°，∠ECD ＝25°，求∠ACB 的度数．【答案】75°【分析】根据角平分线的定义求出∠DAC 的度数，所以EDCA 可求，进而求出∠ACB 的度数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝80°，∴∠DAC ＝40°，∵CE 是△ADC 边AD 上的高，∴∠ACE ＝90°﹣40°＝50°，∵∠ECD ＝25°∴∠ACB ＝50°+25°＝75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质．24．如图1，MN ∥PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．（1）求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2）若点C 在线段AD 上(不与A 、D 、G 重合)，连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H ，请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；（3）若直线AD 的位置如图3所示，()2中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出CBG ∠与AHB ∠的数量关系．试卷第33页，共139页【答案】（1）见解析；（2）290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒，证明见解析；（3）不成立，存在：2270AHB CBG ∠+∠=︒；2270AHB CBG ∠-∠=︒，理由见解析【分析】()1根据//MN PQ ，内错角相等MAG BDG ∠=∠，根据BG AD ⊥，可得∠AGB =90°，根据三角形外角性质得出90AGB BDG PBG ∠=∠+∠=︒，可得90MAG PBG ∠+∠=︒；(2) 过H 作HK ∥MN ，由//MN PQ ，MAC BDC ∠=∠，由三角形外角性质可得ACB BDC DBC MAC DBC ∠=∠+∠=∠+∠，根据AH 平分MAC ∠，BH 平分DBC ∠，可得2MAC MAH ∠=∠，2DBC DBH ∠=∠，得出()2ACB MAH DBH ∠=∠+∠，由HK ∥MN ，//MN PQ ，可得HK ∥MN ∥PQ ，可得AHB AHK KHB MAH DBH ∠=∠+∠=∠+∠，得出()22ACB MAH DBH AHB ∠=∠+∠=∠，根据点C 的位置分两种情况①如图，当点C 在AG 上时，利用三角形外角性质90ACB CBG ∠=∠+︒，②如图，当点C 在DG 上时，根据Rt BCG 中，90ACB CBG ∠=︒-∠即可；()3过H 作HK ∥MN ，根据//MN PQ ，可得HK ∥MN ∥PQ ，利用平行线性质可得∠MAH =∠AHK ，∠PBH =∠KHB ，可推得AHB AHK KHB MAH DBH ∠=∠+∠=∠+∠，根据角平分线得出MAH CAH ∠=∠，PBH CBH ∠=∠，根据四边形内角和∠ACB +∠HAC +∠AHB +∠HBC =360°，得出∠ACB =360°-2∠AHB ，根据点C 的位置分两种情况①如图，当点C 在AG 上时，根据外角性质90ACB CBG ∠=︒+∠，②如图，当C 在DG 上时，根据直角三角形两锐角互余可得，90ACB CBG ∠=︒-∠即可．【详解】解：()1如图1，//MN PQ ，MAG BDG ∴∠=∠，∵BG AD ⊥，∴∠AGB =90°AGB ∠是BDG 的外角，90AGB BDG PBG ∴∠=∠+∠=︒，90MAG PBG ∴∠+∠=︒；()2290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒，证明：过H 作HK ∥MN ，//MN PQ ，MAC BDC ∴∠=∠，ACB ∠是BCD △的外角，ACB BDC DBC MAC DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠， AH 平分MAC ∠，BH 平分DBC ∠，2MAC MAH ∴∠=∠，2DBC DBH ∠=∠，()2ACB MAH DBH ∴∠=∠+∠，∵HK ∥MN ，//MN PQ ，∴HK ∥MN ∥PQ ，∴∠MAH =∠AHK ，∠PBH =∠KHB ，∴AHB AHK KHB MAH DBH ∠=∠+∠=∠+∠，()22ACB MAH DBH AHB ∴∠=∠+∠=∠，①如图，当点C 在AG 上时，又ACB ∠是BCG 的外角，90ACB CBG ∴∠=∠+︒，290AHB CBG ∴∠=∠+︒，即290AHB CBG ∠-∠=︒；试卷第35页，共139页②如图，当点C 在DG 上时，又Rt BCG 中，90ACB CBG ∠=︒-∠，290AHB CBG ∴∠=︒-∠，即290AHB CBG ∠+∠=︒；()()32中的结论不成立．存在：2270AHB CBG ∠+∠=︒；2270AHB CBG ∠-∠=︒．过H 作HK ∥MN ，∵HK ∥MN ，//MN PQ ，∴HK ∥MN ∥PQ ，∴∠MAH =∠AHK ，∠PBH =∠KHB ，∴AHB AHK KHB MAH DBH ∠=∠+∠=∠+∠， AH 平分MAC ∠，BH 平分DBC ∠，MAH CAH ∴∠=∠，PBH CBH ∠=∠，∵∠ACB +∠HAC +∠AHB +∠HBC =360°，∴∠ACB +2∠AHB =360°，∴∠ACB =360°-2∠AHB ，①如图，当点C 在AG 上时，又ACB ∠是BCG 的外角，90ACB CBG ∴∠=︒+∠，。

七年级下册数学三角形证明题

七年级下册数学三角形证明题一、三角形内角和定理的证明题1. 题目：在△ABC中，∠A = 50°，∠B比∠C大30°，求∠B和∠C的度数。

解析：设∠C的度数为公式，因为∠B比∠C大30°，所以∠B的度数为公式。

根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，即公式。

已知∠A = 50°，所以可得方程公式。

化简方程得公式，即公式。

移项得公式，公式，解得公式。

所以∠C = 50°，∠B=公式。

2. 题目：证明三角形的三个内角中至少有两个锐角。

解析：假设三角形的三个内角中最多只有一个锐角。

那么就有两种情况：一是有三个直角；二是有两个直角和一个钝角；三是有一个直角和两个钝角；四是有三个钝角。

如果有三个直角，那么三个角之和为公式，不符合三角形内角和定理。

如果有两个直角和一个钝角，设直角为公式，钝角大于公式，那么三个角之和大于公式，不符合三角形内角和定理。

如果有一个直角和两个钝角，设直角为公式，钝角大于公式，三个角之和也大于公式，不符合三角形内角和定理。

如果有三个钝角，因为钝角大于公式，三个钝角之和必然大于公式，不符合三角形内角和定理。

所以假设不成立，即三角形的三个内角中至少有两个锐角。

二、三角形全等的证明题1. 题目：如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠B=∠E。

求证：△ABC≌△DEF。

解析：在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E。

根据三角形全等判定定理中的“边角边”（SAS），即如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

这里AB和BC是△ABC的两边，∠B是它们的夹角；DE和EF是△DEF的两边，∠E是它们的夹角。

因为AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E，所以△ABC≌△DEF（SAS）。

2. 题目：已知：如图，AC = BD，AD = BC。

求证：∠A=∠B。

初一几何三角形练习题及答案

初一几何三角形练习题及答案1. 求下列三角形的内角和：a) 直角三角形b) 等边三角形c) 钝角三角形解答：a) 直角三角形的内角和为180度。

其中一个角为90度（直角），剩余两个角之和为90度。

b) 等边三角形的内角和为180度。

由于等边三角形的三条边长度相等，所以三个角也必定相等，每个角为60度，三个角之和为180度。

c) 钝角三角形的内角和为180度。

钝角三角形有一个角大于90度，其它两个角的和小于90度，但三个角之和仍然等于180度。

2. 给定一个三角形，如果已知两个角的度数，如何求出第三个角的度数？解答：三角形的内角和为180度。

已知两个角的度数后，可以用180度减去这两个角的度数，得到第三个角的度数。

例如，如果一个三角形的两个角分别为40度和60度，那么第三个角的度数为180度 - 40度 - 60度 = 80度。

3. 求下列三角形的周长：a) 边长分别为3 cm, 4 cm和 5 cm的三角形b) 边长分别为6 cm, 8 cm和 10 cm的三角形解答：a) 边长分别为3 cm, 4 cm和 5 cm的三角形的周长为3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm。

b) 边长分别为6 cm, 8 cm和 10 cm的三角形的周长为6 cm + 8 cm +10 cm = 24 cm。

4. 求下列三角形的面积：a) 底边长为4 cm，高为3 cm的三角形b) 边长分别为5 cm, 7 cm和 8 cm的三角形解答：a) 底边长为4 cm，高为3 cm的三角形的面积为(4 cm * 3 cm) / 2 = 6 cm²。

b) 边长分别为5 cm, 7 cm和 8 cm的三角形的面积可以用海伦公式计算。

首先计算半周长：(5 cm + 7 cm + 8 cm) / 2 = 10 cm。

然后使用海伦公式：√(10 cm * (10 cm - 5 cm) * (10 cm - 7 cm) * (10 cm - 8 cm)) ≈ 17.32 cm²。

(完整版)初一数学三角形练习题(有答案)

初一三角形练习题1．一个三角形的三个内角中（）A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角C 、至多有一个锐角D 、至少有两个锐角 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，103. 如图在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。

图中与∠A 相等的角是（）A 、 ∠B B 、 ∠ACDC 、 ∠BCD D 、 ∠BDC4．如图，ＡＣ⊥ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ，下列叙述正确的是（）Ａ、∠Ａ＝∠ＢＢ、∠Ｂ＝∠ＤＣ、∠Ａ＝∠ＤＤ、∠Ａ＋∠Ｄ＝９００5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的和为( ) A.180° B.360° C.540° D.720°4题图 5题图 7题图 10题图6.等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为（） A 、 13 B 、 17 C 、 13或17 D 、不能确定7.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF=________度. A ．58° B ．68° C ．78° D ．32°8.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（） A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形 9.能将三角形面积平分的是三角形的（）A 、角平分线B 、高C 、中线D 、外角平分线 10.如图，AB ∥CD ，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（） A 、 550 B 、 700 C 、 400 D 、 110011.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是 12.一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是（）边形；一个多边形的各内角都等于1200，它是（）边形。

新北师大版七年级数学下册第三章全等三角形练习题

推理过程出现逻辑错误：在证明全等三角形的过程中，逻辑推理不严密，导致结论错误。图形绘制不准确：在绘制全等三角形时，图形绘制不准确，导致证明过程出现错误。
题目类型：选择题、填空题、证明题等解题思路：根据全等三角形的性质和判定定理，分析题目中的条件，选择合适的解题方法。易错点分析：学生在解题过程中容易出现哪些错误，如概念混淆、定理应用不当等。练习题解析：针对具体的练习题目，进行详细的解析，包括解题思路、步骤和答案。
XX,a click to unlimited possibilities
01 全等三角形的性质和判定方法 02 全等三角形的应用 03 全等三角形的综合应用 04 全等三角形的易错点分析
全等三角形对应角相等全等三角形对应边相等全等三角形的对应高、中线、角平分线相等全等三角形的周长和面积相等
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题目：已知三角形ABC中，AB=AC，D 是BC上一点，E是线段AD上一点，且 ∠BED=2∠BAC=90°，BD=1，CD=2，求DE的长。
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题目：在三角形ABC中，AB=AC，D是 BC的中点，E是线段AD上一点，且 ∠BED=2∠BAC=90°，求证：BE⊥AD。
条件：SAS、ASA、SSS、AAS 应用：证明线段相等、角相等、证明两三角形全等证明方法：根据条件选择合适的方法进行证明注意事项：避免使用不正确的证明方法
题目：已知三角形ABC全等于三角形DEF，且三角形ABC的周长为12，若M为AB的中点，且MC=3，求DF的长。
题目：在三角形ABC中，角A=90度，AB=AC，D为BC上任意一点，求证：BD^2 + CD^2 = 2AD^2。

【新】人教版七年级下册数学三角形章节测试卷 ( 含答案)

七年级下册数学三角形全章测试一、选择题：1．已知△ABC 的一个内角是40°，∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )． (A)140°(B)80°或100° (C)100°或140° (D)80°或140°2．如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AB ∥DE ，∠B ＝78°，∠C ＝60°，则∠EDC 的度数为( )．(A)42° (B)60° (C)78°(D)80°3．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB ∥DE ，测得∠B ＝140°，∠D ＝120°，则∠C 的度数为( )．(A)120° (B)100° (C)140°(D)90°4．上午9时，一艘船从A 处出发以20海里／时的速度向正北航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且,23BAC ACB ∠=∠则灯塔C 应在B 处的( )． (A)北偏西68° (B)南偏西85° (C)北偏西85°(D)南偏西68°5．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝1－2x ，CA ＝8，则x 的取值范围是( )． (A)0＜x ＜2 (B)－5＜x ＜－2 (C)－2＜x ＜5(D)x ＜－5或x ＞26．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ＝5∶7，∠C －∠A ＝10°，则∠C 等于( )． (A)75°(B)60°(C)50°(D)40°7．在△ABC 中，若AB ＝AC ，其周长为12，则AB 的取值范围是( )．(A)AB＞6 (B)AB＜3(C)4＜AB＜7 (D)3＜AB＜68．若一个多边形的内角和是其外角和的二倍，则它的边数是( )．(A)四(B)五(C)六(D)七9．若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°，则这个正多边形的边数是( )(A)七(B)八(C)九(D)十10．下列命题中，结论正确的是( )．①外角和大于内角和的多边形只有三角形．②一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°．③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变．(A)①②③④(B)①②④(C)①③④(D)①④11．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是( )．12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．(A)∠A＝∠1＋∠2 (B)2∠A＝∠1＋∠2(C)3∠A＝2∠1＋∠2 (D)3∠A＝2(∠1＋∠2)二、填空题：13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠FED的平分线，交AB于点G．若∠QED＝40°，那么∠EGB等于______．14．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形共有______条对角线．15．把“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______________________________________________________________________. 16．把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角＝______度．17．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝______.18．下列各命题中：①对顶角一定相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C，④同角的补角相等；⑤若∠AOB＋∠BOC＝180°；则∠AOB与∠BOC互为邻补角．其中错误的命题是______(填序号)19．如图，长方形的长和宽分别为2cm和1cm，则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.20．一个广场面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成．从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外界都围成一个多边形．若中央正六边形地砖的边长是0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是______米．三、解答题：21．已知：钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF．22．已知：如图，AB∥DE，∠1＝∠2，AC平分∠BAD，求证：AD∥BC．23．已知：在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，CD⊥AC交AB于D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数．24．已知：如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C－∠B＝20°，∠EOF －∠A＝70°，求∠C的度数．25．三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题．(1)把一个三角形分成面积相等的4块(至少给出两种方法)；(2)在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块(阴影部分)恰好可放养几只羊?四、探究题26．已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3，…、G n－1，试猜想：∠BG n－1C与∠A的关系．(其中n≥2的整数)首先得到：当n＝2时，如图1，∠BG1C＝______，当n＝3时，如图2，∠BG2C＝______，…………猜想∠BG n－1C＝______．图1 图2 图n。

初中数学三角形专题训练50题(含答案)

初中数学三角形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数为100°，BC=2BD，动点P在线段AB上，则PC＋PD的最小值为（）C D RA．R B2．如图，在⊙ABCD中，连接AC，⊙ABC＝⊙CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是()AB．2C．D．43．如图点P是⊙BAC内一点，PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，PE＝PF，则直接得到⊙PEA⊙⊙PFA的理由是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【详解】解：⊙PE⊙AB于点E，PF⊙AC于点F，⊙⊙PEA＝⊙PFA=90°，⊙PE=PF，AP=AP，⊙⊙PEA⊙⊙PFA（HL）；4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在y 轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D 的坐标为（）A ．(4，5)B ．(5，4)C ．(5，3)D ．(4，3)5．适合下列条件的ABC ∆中，是直角三角形的共有（）⊙6a =，45A ∠=︒；⊙32A ∠=，58B ∠=︒；⊙2a =，2b =，4c =；⊙7a =，24b =，25c =.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.【详解】⊙6a =，45A ∠=︒，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙3258A B ︒︒==∠，∠，A B ∠∠=︒+90，是直角三角形；⊙2222222a b c +=+≠，不能判定ABC ∆中是直角三角形；⊙()()22222272425a b c +=+==，是直角三角形；【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.=，点N在CD上，且6．如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，BM CD=与BN交于点P，则:DN CM DM,DM BN=（）A2B．C D．27．如图，已知正方形的面积为25，且AB比AC大1，BC的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】A8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，若ABC A B C ''△≌△，且点A '恰好落在AB 上，则ACA ∠'的度数为（）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得A C AC '=，从而得到60AA CA ，即可求解．【详解】解：⊙90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，⊙⊙A =60°，⊙ABC A B C ''△≌△，⊙A C AC '=，⊙60AA C A ，⊙60ACA '∠=︒．故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，1=30∠︒，2=50∠︒，3=∠（）度A ．10B ．20C ．30D ．50 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出⊙2的同位角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：如图：⊙⊙2=50°，直尺的两边互相平行，⊙⊙4=⊙2=50°，⊙⊙1=30°，⊙⊙3=⊙4-⊙1=50°-30°=20°．故选：B ．【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．在ABC 中，若90A C ∠+∠=︒，则（）．A ．BC AB AC =+B ．222AC AB BC =+ C ．222AB AC BC =+D ．222BC AB AC =+【答案】B【分析】由⊙A +⊙C =90°可得⊙B =90°，于是可确定AC 是Rt⊙ABC 的斜边，再根据勾股定理即得答案．【详解】解：⊙⊙A +⊙C =90°，⊙⊙B =90°，⊙AC 是Rt⊙ABC 的斜边，222【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC 是Rt ⊙ABC 的斜边是解题的关键．11．如图，直线AB CD ∥，AE CE ⊥于点E ，若140EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是（）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160° 【答案】B 【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出⊙AFC 的度数，再利用外角的性质求出⊙ECF ，从而求出⊙EC D ．【详解】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，⊙AB ⊙CD ，⊙⊙A +⊙AFC =180°，⊙⊙EAB =140°，⊙⊙AFC =40°，⊙AE ⊙CE ，⊙⊙AEC =90°，而⊙AEC =⊙AFC +⊙ECF ，⊙⊙ECF =⊙AEC -⊙F =50°，⊙⊙ECD =180°-50°=130°，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，下面给出的四个结论，其中正确的有（）．距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD⊙BC ，BD=DC ，得到AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，根据角平分线性质定理可知DE=DF ，根据HL 证直角三角形全等，得到AE=AF ，从而得到AD 平分EDF ∠，即可得出答案．【详解】解：⊙AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，⊙AD⊙BC ，BD=DC ，⊙AD 上的点到B 、C 两点的距离相等，⊙⊙正确；⊙AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，⊙DE=DF ，⊙EDA=⊙FDA ，⊙AD 平分⊙EDF ，⊙⊙正确；在直角△AED 和直角△AFD 中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩ ⊙⊙AED⊙⊙AFD ，⊙AE=AF ，⊙AD 平分⊙BAC ，又⊙AD 是BAC ∠的平分线，⊙到AE 、AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等，⊙⊙、⊙正确，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等腰三角形的性质的应用，对条件的合理利用是解题的关键．13．如图，BO 、CO 分别平分⊙ABC 、⊙ACB ，OD ⊙BC 于点D ，OD ＝2，⊙ABC 的周长为28，则⊙ABC 的面积为（）A ．28B ．14C ．21D ．7在BOD 和△OEB OBE BO ∠=∠∠==BOD △≌△OE =OD =21122AB OE BC OD AC OF ++ )AB BC AC OD ++ 282⨯故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则BAD∠=（）A．100°B．120°C．135°D．150°【答案】B【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC=AD，再利用菱形的性质以及等边三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：⊙AE垂直且平分边CD，⊙AC=AD，⊙四边形ABCD是菱形，⊙AD=DC，⊙ACB=⊙ACD，⊙⊙ACD是等边三角形，⊙⊙ACD=60︒，⊙⊙BCD=120︒．⊙⊙BAD=⊙BCD=120︒，故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出⊙ACD是等边三角形是解题关键．15．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答．解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．16．三角形的三边长为a，b，c，且满足22-=-，则这个三角形是（）()2a b c abA．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．【详解】由22a b c ab-=-得：222()2-+=-，a ab bc ab22即222a b c，+=,,a b c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．17．如图，⊙ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若⊙BAC+⊙DAE=150°，则⊙BAC的度数是（）A．105B．110C．115D．120【答案】B【分析】根据垂直平分线性质，⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．则有⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°，即180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，再与⊙BAC+⊙DAE=150°联立解方程组即可．【详解】⊙⊙ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，⊙DA=DB，EA=EC，⊙⊙B=⊙DAB，⊙C=⊙EAC．⊙⊙BAC+⊙DAE=150°，⊙⊙⊙B+⊙C+2⊙DAE=150°．⊙⊙B+⊙C+⊙BAC=180°，⊙180°-⊙BAC+2⊙DAE=150°，即⊙BAC-2⊙DAE=30°．⊙由⊙⊙组成的方程组150230BAC DAEBAC DAE∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得⊙BAC=110°．故选B．【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到⊙BAC和⊙DAE的数量关系.18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造⊙ABC，使点C在x轴上，⊙BAC＝90°，M为BC的中点，则PM 的最小值为（）A B C D【答案】C【分析】作AH⊙y轴，CE⊙AH，证明⊙AHB⊙⊙CEA，根据相似三角形的性质得到AE ＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：如图，过点A作AH⊙y轴于H，过点C作CE⊙AH于E，则四边形CEHO是矩形，⊙OH＝CE＝4，⊙⊙BAC＝⊙AHB＝⊙AEC＝90°，19．如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE=D ．2BF CF AC =⋅ 【答案】C 【分析】根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠AB AC=∴∠=ABCBE平分∴∠=ABEDAC△≌△∴∠ACD∴∠=ACDAD AE=∴∠=ADE∠=DGE∠即ADE∴≠DE GE∠=ABCCFB∴∠=∴=BC BF∴△∽△ABCBF CF∴=AB BC=AB ACBF CF∴=AC BF2=BF CF故答案选：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角20．如图，在Rt△ABC中，⊙ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊙BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ 与PQ之间的数量关系是（）A．AQ＝52PQ B．AQ＝3PQ C．AQ＝83PQ D．AQ＝4PQ⊙MN =PE ，ND =PC ，在△DNQ 和△CPQ 中，NDQ QCP NQD PQC DN PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙DNQ ⊙⊙CPQ ，⊙NQ =PQ ，⊙AN =NP ，⊙AQ =3PQ故选：B ．【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P 位置，熟练掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段．二、填空题21．在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，若a =6，b =8，则c =________．【答案】10【详解】根据勾股定理2223664100c a b =+=+=c 为三角形边长，故c=10.22．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关键．23．在ABC 中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，40ACD ∠=︒，则B ∠的度数为______．【答案】65︒或25︒【分析】分两种情况：当D 在线段AB 上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出B ∠的度数；当D 在线段AB 的延长线上时，根据题意，得出90ADC ∠=︒，再根据三角形的内角和定理，得出50A ∠=︒，再根据等边对等角，得出B ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出B ∠的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当D 在线段AB 上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050A ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，⊙218018050130B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙65B ∠=︒；如图，当D 在线段BA 的延长线上时，⊙CD 是AB 边上的高，⊙90ADC ∠=︒，又⊙40ACD ∠=︒，⊙180904050DAC ∠=︒-︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙B ACB ∠=∠，又⊙2DAC B ACB B ∠=∠+∠=∠，⊙250B ∠=︒，⊙25B ∠=︒，综上所述，B ∠的度数为65︒或25︒．故答案为：65︒或25︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．24．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为4，则勒洛三角形的周长为：_________．25．边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为___________．【详解】解：等边三角形的边长是26．在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝30°，BC＝2，则AC＝_______ ．27．如图，在四边形ABCD中，90∠=︒，2A==，BC=CD=AD AB∠的度数为________．ABC28．如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=︒，则O 的半径是________．【答案】2【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠的度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，⊙30BAC ∠=︒，⊙260BOC BAC ∠=∠=︒，⊙OB OC =，⊙BOC 是等边三角形，⊙2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如果等腰三角形的两边长分别为5cm 和10cm ，那么它的周长等于___________cm ．【答案】25【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解．【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm，+，因为55=10所以三角形不存在；当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm，+＞，因为51010所以三角形存在；++=，所以三角形的周长为5101025(cm)故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键．30．等腰三角形的一边长为3，周长为15，则该三角形的腰长是______．31．如图，⊙O的半径为5cm，△ABC内接于⊙O，BC＝5cm，则⊙A的度数为_____°．【答案】3032．如图，AD 、AE 分别是⊙ABC 的角平分线和高，⊙B =60°，⊙C =70°，则⊙EAD =______．【答案】5︒【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解．【详解】解：由题意可知，⊙B =60°，⊙C =70°，所以18013050A ∠=-=°，所以25BAD ∠=°，在三角形BAE 中，906030BAE ∠=-=°，所以⊙EAD=5°故答案为：5°．【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解．33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC 上，且⊙EOF＝90°，则S四边形OEBF⊙S正方形ABCD＝___.34．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD （点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O E⊙AC于点E，OF⊙BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．35．如图，直线L 1、L 2、L 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A 、D 、C ，且相互平行，若L 1、L 2的距离为1，L 2、L 3的距离为2，则正方形的边长为__________．AED DFC ≌，从而可得度．【详解】如图，过D ⊙123////L L L⊙13,EF L EF L ⊥⊥⊙AED DFC ≌1,DE CF AE DF ===22AD AE ED =+=故答案为：5．【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．36．正方形ABCD 中．E 是AD 边中点．连接CE ．作⊙BCE 的平分线交AB 于点F ．则以下结论：⊙⊙ECD =30°．⊙⊙BCF 的外接圆经过点E ；⊙四边形AFCD 的面积是⊙BCF⊙BF AB =．其中正确的结论有 _____．（请填写所有正确结论的序号），易证BCF GCF ≅37．菱形ABCD中，AD＝4，⊙DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝____．38．已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=4cm．若以BD为边作正方形BDEF，则AF=__cm．⊙如图1,正方形BDEF在点A一侧时,延长CA交EF于点M.39．如图，正方形ABCD中，2AB=，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE OF∆周长的最小值是__________．⊥，则OEF40．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝3cm ，BD ，AC ⊙CD ，⊙O 是△ABD 的外接圆，则AB 的弦心距等于_____cm ．【答案】116##516【分析】设AC、BD的交点为G，作圆的直径AN，连接BN，过点O作OF⊙AB于点三、解答题41．如图，AD⊙BC，⊙BAC＝70°，DE⊙AC于点E，⊙D＝20°.(1)求⊙B的度数，并判断⊙ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是⊙ABC的平分线．【答案】（1）⊙ABC是等腰三角形，⊙B＝40°；（2）见解析.【详解】分析：(1)、根据Rt⊙ADE的内角和得出⊙DAC=70°，根据平行线的性质得出⊙C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．详解：解：(1)⊙DE⊙AC于点E，⊙D＝20°，⊙⊙CAD＝70°，⊙AD⊙BC，⊙⊙C＝⊙CAD＝70°，又⊙⊙BAC＝70°，⊙⊙BAC＝⊙C，⊙AB＝BC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙⊙B＝180°－⊙BAC－⊙C＝180°－70°－70°＝40°.(2)⊙延长线段DE恰好过点B，DE⊙AC，⊙BD⊙AC，⊙⊙ABC是等腰三角形，⊙DB是⊙ABC的平分线．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．42．如图，小雪坐着轮船由点A出发沿正东方向AN航行，在点A处望湖中小岛M，测得小岛M在点A的北偏东60°，航行100米到达点B时，此时测得小岛M在点B的北偏东30°，求小岛M到航线AN的距离．Rt BDM 中，12BD MB ==2MD MB =答：小岛M 到航线【点睛】本题考查了方向角问题，勾股定理，等腰三角形的判定，含43．如图，BD 是⊙ABC 的高，AE 是⊙ABC 的角平分线，BD 交AE 于F ，若⊙BAC ＝44°，⊙C ＝80°，求⊙BEF 和⊙AFD 的度数．【答案】⊙BEF＝102°；⊙AFD＝68°【分析】根据BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，求得⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，根据三角形内角和定理即可求得⊙BEF和⊙AFD的度数．【详解】解：⊙BD是⊙ABC的高，AE是⊙ABC的角平分线，⊙BAC＝44°，⊙C＝80°，⊙⊙ADB＝90°，⊙BAE＝⊙EAD＝22°，⊙⊙CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，⊙⊙BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，⊙AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的高，角平分线的意义是解题的关键．44．（1）如图，90∠=∠=︒，O是AC的中点，求证：OB ODABC ADC=．（2）解方程：2430-+=．x x⊙()()130x x --=，即10,30x x -=-=，解得：121,3x x ==．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法是解题的关键．45．如图，点E 在边长为10的正方形ABCD 内，6AE =，8BE =，请求出阴影部分的面积，AEB S =四边形ABCD =10ABCD ⨯AEB S =【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．46．图（a ）、图（b ）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为16的等腰直角三角形．47．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，在四个论断“EA=ED，EF⊙AD，AB=DC，FB=FC”中选择二个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．已知、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，．求证、．证明、．【答案】见解析【分析】已知：EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．想办法证明EF 是线段BC 的垂直平分线即可．（答案不唯一）【详解】已知：如图，EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ，求证FB=FC ．理由：延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．故答案为EA=ED ，EF⊙AD ，AB=DC ；FB=FC ；延长EF 交BC 于H ．⊙EA=ED ，EF⊙AD ，⊙AH=HD ，⊙AB=DC ，⊙BH=CH ，⊙FH⊙BC ，⊙FB=FC ．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．48．如图，已知60AOB ∠︒=，OC 平分AOB ∠，CD ⊥OA 于点D ．(1)实践与操作：作OC的垂直平分线分别交OA于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接CE，若DE的长为1，求OC的长．（1）解：如图所示，49．正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2），现将△ABC平移先向右平移3个单位长度，再向下平移2单位长度．(1)请画出平移后的A B C '''（点B C ''、分别是B 、C 的对应点）；(2)写出点A B C '''、、三点的坐标；(3)求A B C '''的面积．【答案】(1)画图见解析 (2)A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）(3)1.5【分析】（1）根据所给的平移方式作图即可；（2）根据平移方式即可求出A 、B 、C 对应点A B C '''、、三点的坐标；（3）用A B C '''所在的正方形面积减去周围三个小三角形面积即可得到答案．（1）解：如图所示，A B C '''即为所求；（2）解：⊙A B C '''是△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到的，A （-2，3），B （-3，1），C （-1，2），⊙A '（1，1），B '（0，-1），C '（2，0）；（3）50．如图1，Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分⊙ABC，求⊙BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得⊙BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．。

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1．一个三角形的三个内角中（）
A 、至少有两个锐角
B 、至多有一个锐角
C 、至少有一个直角
D 、至少有一个钝角 2．下列三条线段的长度能组成三角形的是（）
A 、3，4，8
B 、5，6，11
C 、1，2，3
D 、5，6，10 3．关于三角形的边的叙述正确．．
的是（） A 、三边互不相等 B 、至少有两边相等 C 、任意两边之和一定大于第三边 D 、最多有两边相等 4．等腰三角形两边长分别为 3、7，则它的周长为（）
A 、13
B 、17
C 、13 或17
D 、不能确定 5．如右图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，那么图中与∠A 相等的角是（）
A 、∠
B B 、∠ACD
C 、∠BC
D D 、∠BDC 6．下列图形中具有稳定性有（）
A 、正方形
B 、长方形
C 、梯形
D 、直角三角形
7. 若三角形两边长分别是4、5，则周长c 的范围是（） A.1＜c ＜9 B.9＜c ＜14 C.10＜c ＜18 D. 无法确定 8. 一个三角形的三个内角中（）
A. 至少有一个等于90°
B. 至少有一个大于90°
C. 不可能有两个大于89°
D. 不可能都小于60°
9.等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A ．17 B ．13 C ．17或22 D ．22
10、一个三角形的两边分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为（） A 、6 B 、8 C 、10 D 、12
A
B
C
D
11．如图，图中共有_____个三角形，其中以BC 为一边的三角形是________________；以∠A 为一个内角的三角形是___________．
12．如图，AE 、AD 、CF 分别是△ABC 的高、中线和角平分线， ⑴∵AE 是△ABC 的高， ∴∠____=∠____=90°；
⑵∵AD 是△ABC 的中线，∴____=___=2
1
____；
⑶∵CF 是△ABC 的角平分线，∴∠____=∠____=
2
1
∠____． 13．如果三角形的两边分别是a=3cm ，b=4cm ，那么第三边c 的长度范围是__________． 14．△ABC 的周长为12，三边a 、b 、c 之间存在关系a －1=b ，b －1=c ，则三边长a=____，b=_____，c=____．
15．直角三角形两个锐角的外角平分线所组成的锐角等于_________度．
16．在△ABC 中，若∠C+∠A=2∠B ，∠C －∠A=80°，则∠A=___,∠B=___,∠C=___． 17．一个三角形三个外角度数的比是3∶3∶2，则该三角形的形状是______________． 18．等腰三角形的一腰中线分该三角形的周长为15cm 、18cm ，则底边长为__________． 19．△ABC 中，如果∠C=55°，∠B －∠A=10°，那么∠A=_____． 20．如图，△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，∠A=∠B ，∠ACD=∠EDC ，如果∠AED=140°，那么∠ACD=________，∠B=_______．
A B
C
D
E F
A B
C
D
E
1.一个三角形的两条边相等，周长为18cm ，三角形一边长4cm ，求其它两边长？
2．（8分）在△ABC 中，∠A=21∠C=2
1
∠ABC ， BD 是角平分线，求∠A 及∠BDC 的度数。

3．（8分）如图，△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=500
，∠C=700
，求∠DAC 及∠BOA 。

B
A
C
D
A
C D
E F O
B
4.实践与探索
如图，ΔABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数。

①若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BIC＝。

②若∠ABC＋∠ACB＝100°，则∠BIC= 。

③若∠A＝80°，则∠BIC＝。

④若∠A＝120°则∠BIC＝。

⑤从上述计算中，我们能发现已知∠A=x，求∠BIC的公式是：∠BIC＝。

C。