2016年北京朝阳中考一模数学试题
2016北京市朝阳区初三(一模)数 学
2016北京市朝阳区初三（一模）数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104 C．2.64×105 D．0.264×1062．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4甲组176 177 175 176乙组178 175 177 174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S 甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙28．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=．13．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．（5分）观察下列各等式：2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1），…根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣3=×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣=×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】将264000用科学记数法表示应为2.64×105，故选：C．2．【解答】由数轴可知a，b，c，d表示的数为﹣3，﹣1，2，3，∵|﹣3|=|3|，∴a与d互为相反数，故选：D．3．【解答】小易抽到杀手牌的概率=．故选C4．【解答】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．5．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故选B．6．【解答】∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．7．【解答】=（177+176+175+176）÷4=176，=（178+175+177+174）÷4=176，s甲2=[（177﹣176）2+（176﹣176）2+（175﹣176）2+（176﹣176）2]=0.5，s乙2=[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（177﹣176）2+（174﹣176）2]=2.5．s甲2＜s乙2．故选：A．8．【解答】连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．9．【解答】如图：水立方的坐标为（﹣2，﹣4）．故选：A．10．【解答】若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．12．【解答】原式=b（a2﹣6ab+9b2）=b（a﹣3b）2．故答案为：b（a﹣3b）213．【解答】∵方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣8k+16＞0，解得：k，则k的取值范围为：：k．∴k=1．故答案为：1（k的任意实数）．14．【解答】设共有客人x人，根据题意得x+x+x=65．故答案为x+x+x=65．15．【解答】设瓶子中有豆子x粒豆子，根据题意得：=，解得：x=1250，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．故答案为：1250．16．【解答】分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．【解答】（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°=﹣﹣2+1+4×=﹣﹣2+1+2=．18．【解答】原式=4m2﹣1+m2﹣5m=5m2﹣5m﹣1=5（m2﹣m）﹣1，由m﹣=1，得到m2﹣m=1，则原式=5﹣1=4．19．【解答】解不等式3（x﹣1）＜6x得：x＞﹣1，解不等式x≤得：x≤1，∴不等式组解集是﹣1＜x≤1，∴原不等式组的所有整数解为0、1．20．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1，∴∠BAC=2∠1．21．【解答】设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品，根据题意，列方程得，解得，答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．23．【解答】（1）∵双曲线y=经过点A（2，4），∴m=8，∵直线y=x+b经过点A（2，4），∴4=2+b，∴b=2，∴此直线与y轴的交点B坐标为（0，2）．∴m=8，点B（0，2）．（2）设点P（m，），由题意×2×|m|=8，∴m=±8，∴点P坐标（8，1），（﹣8，﹣1）．24．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠CDB=∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC=BE，在Rt△PDC中，∵tanP===，∴PC=8，∴PD==10，设BC=x，则BE=x，PB=8﹣x，∵∠EPB=∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8﹣x）：10，解得x=3，即BC的长为3．25．【解答】（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为：279.3+17.4=296.7（万人）；（2）2015年老年人的数量是：296.7+23.3=320（人），填表如下：年份老年人口数量（单位：万人）老年人口占户籍总人口的比例2013年279.3 21.2%2014年296.7 22.3%2015年320 23%（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约14万张，能满足老年人的入住需求；理由如下：根据2013﹣2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求．故答案为：（1）296.7；（3）14．26．【解答】（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述为：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）存在．设这两个实数分别为x，y，可以得到x﹣y=xy，∴y=，y=1﹣，∵两个实数都是整数，∴x+1=±1，∴当x=0时，y=0；当x=﹣2时，y=2．∴满足两个实数都是整数的等式为0﹣0=0×0，（﹣2）﹣2=﹣2×2．故答案为：差，积；﹣，﹣；1，，1，．27．【解答】（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（3）∵图象A关于x轴对称的图象记为图象B，如图，∴图象B的顶点坐标为（1，4），∵只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，∴直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，﹣4）、（3，0），当直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）时，直线解析式为y=﹣2x+6，此时n=6；当直线y=mx+n过点（1，﹣4）、（3，0）时，直线解析式为y=2x﹣6，此时n=﹣6，∴n的值为6或﹣6．28．【解答】（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AB=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣90°）=45°，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=135°，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=90°；（2）如图2，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣α）=90°﹣α，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=90°+α，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=α；（3）如图3，作AH⊥BC，∵∠ACB=30°，AC=2，∴AH=1，CH=，∴BH=2﹣，根据勾股定理得，AB==2，∵∠APC=135°，∴∠APH=45°，∴AP=AH=，∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，∴△PAD∽△CAB，∴==，∴AD=AB=×2=．29．【解答】（1）当t=﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），∵点C（0，），OC==AB，且点O为线段AB的中点，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，点C是线段AB的“等角点”；∵点D（，1），B、D横坐标相等，∴BD⊥x轴于点B．∵AB=﹣（﹣）=，BD=1﹣0=1，tan∠ADB==，∴∠ADB=60°，点D是线段AB的“等角点”；∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，∴AE⊥x轴于点A．∵AB=﹣（﹣）=，AE=﹣0=，tan∠AEB==，∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．故答案为：C、D．（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，∵∠APB=60°，∠ABP=90°，∴∠PAB=30°，又∵∠OMN=30°，∴PA=PM，AB=BM．∵AB=，∴BM=，∴PB=1．∴P（6﹣，1）．当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+，1）．②当点N在y轴正半轴时，如图2，∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，∴∠PBQ=30°，∴∠ABQ=60°，∴∠BMQ=∠MQB=30°，∴BQ=BM=AB，∴△ABQ是等边三角形．∴∠AQB=60°．当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB=90°．③以AB=做底，AO′=BO′为腰，∠AO′B=120°作三角形，如图3所示．∵AO′=BO′，AB=，∠AO′B=120°，∴AO′=1，O′O″=．（i）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB=1﹣，即t=1﹣；（ii）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．∵M′F=，∠OMN=30°，∴MF==．∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，∴O′M′==2．此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB=4，∴t+=4，t=4﹣．综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．故答案为：1﹣＜t＜4﹣．。
2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷(解析版)
2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104C．2.64×105D．0.264×1062．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1队员2队员3队员4甲组176177175176乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙28．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=．13．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A （2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC ⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．（5分）观察下列各等式：2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1），…根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣3=×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣=×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB 和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB 的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104C．2.64×105D．0.264×106【解答】解：将264000用科学记数法表示应为2.64×105，故选：C．2．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d【解答】解：由数轴可知a，b，c，d表示的数为﹣3，﹣1，2，3，∵|﹣3|=|3|，∴a与d互为相反数，故选：D．3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：小易抽到杀手牌的概率=．故选C4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故选B．6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【解答】解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1队员2队员3队员4甲组176177175176乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙2【解答】解：=（177+176+175+176）÷4=176，=（178+175+177+174）÷4=176，s甲2=[（177﹣176）2+（176﹣176）2+（175﹣176）2+（176﹣176）2]=0.5，s乙2=[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（177﹣176）2+（174﹣176）2]=2.5．s甲2＜s乙2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π【解答】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：如图：，水立方的坐标为（﹣2，﹣4）．故选：A．10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH【解答】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=b（a﹣3b）2．【解答】解：原式=b（a2﹣6ab+9b2）=b（a﹣3b）2．故答案为：b（a﹣3b）213．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=1．【解答】解：∵方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣8k+16＞0，解得：k，则k的取值范围为：：k．∴k=1．故答案为：1（k的任意实数）．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为x+x+x=65．【解答】解：设共有客人x人，根据题意得x+x+x=65．故答案为x+x+x=65．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．【解答】解：设瓶子中有豆子x粒豆子，根据题意得：=，解得：x=1250，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．故答案为：1250．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．【解答】解：分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．【解答】解：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°=﹣﹣2+1+4×=﹣﹣2+1+2=．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．【解答】解：原式=4m2﹣1+m2﹣5m=5m2﹣5m﹣1=5（m2﹣m）﹣1，由m﹣=1，得到m2﹣m=1，则原式=5﹣1=4．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜6x得：x＞﹣1，解不等式x≤得：x≤1，∴不等式组解集是﹣1＜x≤1，∴原不等式组的所有整数解为0、1．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1，∴∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．【解答】解：设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品，根据题意，列方程得，解得，答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A （2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点A（2，4），∴m=8，∵直线y=x+b经过点A（2，4），∴4=2+b，∴b=2，∴此直线与y轴的交点B坐标为（0，2）．∴m=8，点B（0，2）．（2）设点P（m，），由题意×2×|m|=8，∴m=±8，∴点P坐标（8，1），（﹣8，﹣1）．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC ⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠CDB=∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC=BE，在Rt△PDC中，∵tanP===，∴PC=8，∴PD==10，设BC=x，则BE=x，PB=8﹣x，∵∠EPB=∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8﹣x）：10，解得x=3，即BC的长为3．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为 296.7 万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为 14 万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．【解答】解：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为：279.3+17.4=296.7（万人）；（2）2015年老年人的数量是：296.7+23.3=320（人），填表如下： 年份老年人口数量 （单位：万人）老年人口占 户籍总人口的比例 2013年 279.3 21.2%2014年 296.7 22.3% 2015年32023%（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约14万张，能满足老年人的入住需求；理由如下：根据2013﹣2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求．故答案为：（1）296.7；（3）14．26．（5分）观察下列各等式： 2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1）， …根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述为：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）存在．设这两个实数分别为x，y，可以得到x﹣y=xy，∴y=，y=1﹣，∵两个实数都是整数，∴x+1=±1，∴当x=0时，y=0；当x=﹣2时，y=2．∴满足两个实数都是整数的等式为0﹣0=0×0，（﹣2）﹣2=﹣2×2．故答案为：差，积；﹣，﹣；1，，1，．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（3）∵图象A关于x轴对称的图象记为图象B，如图，∴图象B的顶点坐标为（1，4），∵只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，∴直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，﹣4）、（3，0），当直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）时，直线解析式为y=﹣2x+6，此时n=6；当直线y=mx+n过点（1，﹣4）、（3，0）时，直线解析式为y=2x﹣6，此时n=﹣6，∴n的值为6或﹣6．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AB=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣90°）=45°，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=135°，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=90°；（2）如图2，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣α）=90°﹣α，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=90°+α，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=α；（3）如图3，作AH⊥BC，∵∠ACB=30°，AC=2，∴AH=1，CH=，∴BH=2﹣，根据勾股定理得，AB==2，∵∠APC=135°，∴∠APH=45°，∴AP=AH=，∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，∴△PAD∽△CAB，∴==，∴AD=AB=×2=．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB 和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB 的“等角点”是C、D；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t ＜4﹣．【解答】解：（1）当t=﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），∵点C（0，），OC==AB，且点O为线段AB的中点，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，点C是线段AB的“等角点”；∵点D（，1），B、D横坐标相等，∴BD⊥x轴于点B．∵AB=﹣（﹣）=，BD=1﹣0=1，tan∠ADB==，∴∠ADB=60°，点D是线段AB的“等角点”；∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，∴AE⊥x轴于点A．∵AB=﹣（﹣）=，AE=﹣0=，tan∠AEB==，∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．故答案为：C、D．（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，∵∠APB=60°，∠ABP=90°，∴∠PAB=30°，又∵∠OMN=30°，∴PA=PM，AB=BM．∵AB=，∴BM=，∴PB=1．∴P（6﹣，1）．当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+，1）．②当点N在y轴正半轴时，如图2，∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，∴∠PBQ=30°，∴∠ABQ=60°，∴∠BMQ=∠MQB=30°，∴BQ=BM=AB，∴△ABQ是等边三角形．∴∠AQB=60°．当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB=90°．③以AB=做底，AO′=BO′为腰，∠AO′B=120°作三角形，如图3所示．∵AO′=BO′，AB=，∠AO′B=120°，∴AO′=1，O′O″=．（i）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB=1﹣，即t=1﹣；（ii）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．∵M′F=，∠OMN=30°，∴MF==．∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，∴O′M′==2．此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB=4，∴t+=4，t=4﹣．综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．故答案为：1﹣＜t＜4﹣．。
2016北京中考数学各区一模28题汇编
28. (怀柔一模)在正方形ABCD 中，点H 在对角线BD 上（与点B 、D 不重合），连接AH ，将HA 绕点H 顺时针旋转 90º与边CD (或CD 延长线)交于点P ，作HQ ⊥BD 交射线DC 于点Q. (1)如图1:①依题意补全图1；②判断DP 与CQ 的数量关系并加以证明；(2)若正方形ABCD 的边长为3，当 DP=1时,试求∠PHQ 的度数.28．（门头沟一模）在正方形ABCD 中，连接BD ．（1）如图1，AE ⊥BD 于E ．直接写出∠BAE 的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB 以A 旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD 交于M ，AE'的延长线与BD 交于N ． ① 依题意补全图1；② 用等式表示线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明． （3）如图2，E 、F 是边BC 、CD 上的点，△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，写出判断线段BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）图1 图228.（2016延庆一模） 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．EDACBNMEDAC BFCBCB（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．28. （2016东城一模）如图，等边△ABC ，其边长为1，D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°. （1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图()28.（2016房山一模）如图1，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，连接对角线BD .（1）将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE .①依题意补全图1；②试判断AE 与BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA 、DB 和DC 之间的数量关系； （3）如图2，F 是对角线BD 上一点，且满足∠AFC =150°，连接FA 和FC ，探究线段FA 、FB 和FC 之间的数量关系，并证明.（图1） （图2）28（2016海淀一模）．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G ． （1）若点D 在线段BC 上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 中点，连接GE ，AB，则GE 的长为_______，并简述求GE 长的思路．图1 备用图90EA CDB 28．（2016平谷一模）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=CD ，∠ACD =α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ． （1）依题意补全图1；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB =4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．28（石景山一模）．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称； （2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．28．（2016顺义一模）已知：在△ABC 中，∠BAC =60°．（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC =150°，P A =3，PC =4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图2，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且P A =3，PB =5，PC =4，求∠APC 的度数； （3）如图3，若AB =2AC ，点P 在△ABC 内，且P A =3，PB =5，∠APC =120°，请直接写出PC 的长．αB C A D 图1 备用图αBC A AC DB E A DB28（2016通州一模）．△ABC 中，45ABC ∠=︒，AB BC ≠，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D . （1）如图1，作ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，连接AF . 求证：FAB FBA ∠=∠； （2）如图2，连接DE ，点G 与点D 关于直线AC 对称，连接DG 、EG .①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并加以证明.28．（2016西城一模）在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．（1）如图1，当点P 与点B 重合时，QPM 的形状是_____________________； （2）当点P 在线段CB 的延长线上时，如图2． ①依题意补全图2；②判断QPM 的形状，并加以证明；（3）点P '与点P 关于直线AB 对称，且点P '在线段BC 上，连接AP '，若点Q 恰好在直线AP '上，正方形ABCD 的边长为2，请写出求此时BP 长的思路．（可以不写出计算结果）图2图1图1 图2 图328（2016燕山一模）．在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．设∠P AB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝γ．(1) 依题意补全图1；(2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）NA DC图2A BPCABCP图128. （怀柔）（1）①如图1…................................. .....….1分②DP=CQ. 如图2 …................................. .....….2分 ∵HA 绕点H 顺时针旋转 90º与边CD (或CD 延长线)交于点P ∴∠AHP=90°，即∠3+∠4=90°.HA=HP. ∵HQ ⊥BD 交射线DC 于点Q ； ∴∠QHD=90°，即∠QHP+∠4=90°.∴∠QHP=∠3. …................................. .....….3分 ∵四边形ABCD 是正方形； ∴∠1=∠2=45°,DA=CD. ∴∠Q=∠1=∠2=45°. ∴△QHP ≌△DHA.∴DA=QP. …................................. .....….4分 ∴QP=CD.∴QP -PC=CD -PC∴CQ=PD. …................................. .... ..................….5分 （2）①如图3,当点P 在边CD 上时，连接AP. ∵正方形边长为3，PD=1,∠ADP=90°.∴tan ∠APD=3. ∴∠APD=60°.∵HA=HP ，∠AHP=90°. ∴∠APH=45°. ∴∠HPD=105°. ∵∠Q=45°.∴∠PHQ=60°........... …................................. .... ..................….6分 ②如图4,当点P 在边CD 延长线上时，连接AP. ∵正方形边长为3，PD=1,∠ADP=90°.∴tan ∠APD=3. ∴∠APD=60°.∵HA=HP ，∠AHP=90°. ∴∠APH=45°. ∴∠HPD=15°.∵∠HQD=45°.∴∠PHQ=120°综上所述，∠PHQ 的度数为120°或60°. ......... …................................. .... ..................….7分 28．（门头沟一模）（本小题满分7分） 解：（1）∠BAE =45°．…………………………………………………………………1分（2） ① 依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分② BM 、DN 和MN 之间的数量关系是BM 2+ND 2=MN 2．………………3分 证明：如图1，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得△AFB ．∴∠ADB =∠FBA ，∠1=∠3，DN =BF ，AF =AN ． ∵正方形ABCD ，AE ⊥BD ，C BQ PADH图13421CBQPAD H 图2图3图4321F N M B'E'E DA CB ∴∠ADB =∠ABD =45°． ∴∠FBM =∠FBA +∠ABD=∠ADB +∠ABD =90°． ∴由勾股定理得FB 2+BM 2=FM 2．∵旋转△ABE 得到△AB'E'， ∴∠E'AB'=45°， ∴∠2+∠3=90°－45°=45°， 又∵∠1=∠3，∴∠2+∠1=45°． 即∠F AM =45°．∴∠F AM =∠E'AB'=45°． 又∵AM =AM ，AF =AN ， ∴△AFM ≌△ANM ．∴FM =MN ．又∵FB 2+BM 2=FM 2，∴DN 2+BM 2=MN 2．………………………………………………5分（3）判断线段BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路如下：a ．如图2，将△ADF 绕点A 瞬时针旋转90°得△ABG ，推出DF =GB ；b ．由△CEF 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，得EF =DF +BE ；c ． 由DF =GB 和EF =DF +BE 推出EF =GE ，进而得△AEG ≌△AEF ；d ．由△AEG ≌△AEF 推出∠EAF =∠EAG =45°；e ．与②同理，可证MN 2=BM 2+DN 2．………………………………………7分28.（2016延庆一模） 解：（1）①（2，1）；………………………………………………1分② 点B ．…………………………………………………………………………2分 （2）① M （－1，2）；…………………………………………………………………3分② 当m +1≥0，即m ≥－1时，由题意得N （m +1，2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=2，解得m =－2（舍）. ……………………………………………………………4分 当m +1＜0，即m ＜－1时，由题意得N （m +1，－2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=－2，解得m =－6. ……………………………………………………………………5分 ∴N （－5，－2）．………………………………………………………6分（3）2≤a ＜22．……………………………………………………………………7分 28.（2016东城一模）解：（1）相等. …………1分 （2）思路：延长FD 至G ，使得GD=DF ，连接GE ，GB .证明△FCD ≌△GBD ，△GED 为等边三角形，图1 G N M E DA CB F图2∴△GED 为所求三角形.最大角为∠GBE=120°. …………4分（3）过D 作DM ，DN 分别垂直AB ，AC 于M ，N .∴∠DMB =∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°. 又∵DB=DC ，∠B=∠C ， ∴△DBM ≌△DCN. ∴DM =DN .∵∠A=60°，∠EDF=120°， ∴∠AED +∠AFD=180°. ∴∠MED =∠AFD. ∴△DEM ≌△DFN. ∴ME=NF .∴AE+AF=AM -ME+AN+NF=AM+AN =333442+=. …………7分28.（房山一模） （1）①补全图形,如图1 ------------------------------1分 ②判断: AE =BD --------------------2分 证明：如图2，连接AC ∵BA =BC ，且∠ABC =60° ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB =60°，且CA =CB∵将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ∴CD =CE ，且∠DCE =60° ∴∠BCD =∠ACE∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴AE =BD ------------------------------3分 （2）判断：222DA DC DB += ------------------------4分 （3）判断：222FA FC FB += -------------------------5分 证明：如图3,连接AC∵BA =BC ，且∠ABC =60° ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB =60°，且CA =CB将线段CF 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接EF 、EA ∴CE =CF ，且∠FCE =60°， ∴△CEF 是等边三角形 ∴∠CFE =60°，且FE =FC ∴∠BCF =∠ACE∴△BCF ≌△ACE （SAS ）∴AE =BF ---------------------------------6分 ∵∠AFC =150°, ∠CFE =60°ECABD28-图228-图3CB∴∠AFE =90°在Rt △AEF 中， 有：222FA FE AE +=∴222FA FC FB +=. ---------------------------------7分 28.（海淀一模） 解:(1) ①补全图形，如图1所示． ………………………1分图1②BC 和CG 的数量关系：BC CG =，位置关系：BC CG ⊥．…………………2分证明: 如图1．∵，∴，． ∵射线、的延长线相交于点， ∴． ∵四边形为正方形，∴，． ∴．∴△≌△．…………………3分 ∴．∴45B G ∠=∠=︒，90BCG ∠=︒．∴BC CG =，BC CG ⊥．…………………4分 (2)．…………………5分思路如下：a . 由G 为CF 中点画出图形，如图2所示．b . 与②同理，可得BD=CF ，BC CG =，BC CG ⊥；c . 由，G 为CF 中点，可得2====CD FG CG BC ；d . 过点A 作AM BD ⊥于M ，过点E 作EN FG ⊥于N ，可证△AMD ≌△FNE ，可得1AM FN ==，NE 为FG 的垂直平分线，FE EG =；e . 在Rt △AMD 中，1AM =，3MD =，可得︒=∠=90,BAC AC AB ︒=∠=∠45ACB B ︒=∠+∠9021BA CF G ︒=∠=∠90BAC CAG ADEF ︒=∠+∠=∠9032DAF AF AD =31∠=∠ABD ACF ︒=∠=∠45ACF B 10GE =2=ABAD =GE FE AD === ……7分28（2016平谷一模）．解：（1）补全图形，如图1所示．........................1 （2）AE 与BD 的数量关系：AE =BD ， (2)AE 与BD 的位置关系：AE ⊥BD ．…………………3 证明：∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACB +α=∠DCE +α． 即∠BCD =∠ACE ． ∵BC=AC ，CD=BC ，∴△BCD ≌△ACE ． (4)∴AE =BD ．∴∠4=∠CBD ． ∵∠CBD =∠2， ∴∠2=∠4．∵∠3+∠4=90°，∠1=∠3， ∴∠1+∠2=90°．即AE ⊥BD ． (5)（3）求解思路如下：过点G 作GH ⊥AB 于H ．由线段CD 的运动可知，当α=64°时GH 的长度最大．………6 由CB =CD ，可知∠CBD =∠CDB ，所以∠CBD =18090642︒-︒-︒=13°，所以∠DBA =32°．由（2）可知，∠AGB =90°，所以∠GAB =58°，分别解Rt △GAH 和Rt △GBH ，即可求GH 的长． (7)28．（石景山一模）（1）补全图形，如图1所示．…………………………………1分（2）与的数量关系：． ………2分证明：连接，，延长到，使得，连接…3分∵四边形为正方形， ∴，∴△≌△．∴，． ∵，∴． ……………………4分 ∴△≌△．ABF ∠CBE ∠45ABF CBE ∠+∠=︒BF EF DC G AF CG =BG ABCD AB BC =90A BCD ABC ∠=∠=∠=︒BAF BCG BG BF =ABF CBG ∠=∠EF CE AF =+EF GE =BEF BEG MEA C D B∴∠=∠．∴． ………………5分 （3）求解思路如下：a ．设正方形的边长为，为，则，；b ．在Rt △中，由, 可得 从而得到与的关系；c ．根据cos ∠FED ，可求得结果．………7分28、（2016顺义一模）解：（1）PB =5 （2）30° （3）PC =228.（2016通州一模）证明：（1）∵AD BC ⊥，45ABC ∠=︒∴45BAD ∠=︒∴AD BD =，………………… 1分；∵DF 平分ADB ∠ ∴12∠=∠，在△ADF 和△BDF 中∵=,1=2,=,AD BD DF DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△ADF ≌△BDF .∴AF BF =.∴FAB FBA ∠=∠. ………………… 2分；或用“三线合一”（2） 补全图形 ………………… 3分；数量关系是：GD AE BE +=. ………………… 4分；过点D 作DH DE ⊥交BE 于点H ∴90ADE ADH ∠+∠=︒， ∵AD BC ⊥，∴90BDH ADH ∠+∠=︒，FBE CBE ABF MBE ∠+∠=45ABF CBE ∠+∠=︒3a AF x EF x a =+3DF a x =-EFD 222EF DF DE =+()()()22232x a a x a +=-+x a 23x a =2DE aEF x a==+图1∴ADE BDH ∠=∠，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，AKE BKD ∠=∠，∴DAE DBH ∠=∠，在△ADE 和△BDH 中∵=,=,DAE DBH AD BD ADE BDH ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△ADE ≌△BDH .∴DE DH =，AE BH =， ………………… 5分；∵DH DE ⊥，∴45DEH DHE ∠=∠=︒， ∵BE AC ⊥， ∴45DEC ∠=︒，∵点G 与点D 关于直线AC 对称， ∴AC 垂直平分GD ，∴GD ∥BE ，45GEC DEC ∠=∠=︒， ∴90GED EDH ∠=∠=︒，∴GE ∥DH ，………………… 6分； ∴四边形GEHD 是平行四边形∴GD EH =，………………… 7分.∴GD AE BE +=.或过点D 作DH DE ⊥交AC 的延长线于点H. 28（2016燕山一模）．(1) 补全图形，如图所示 ………………………1分(2) β＝45°，γ＝60°． ………………………3分(3) ①α＝β＋60°． ………………………4分 证明：如图2，∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ≌AD ＝AB ，∠P AD ＝∠P AB ＝α． ∵△ABC 是等边三角形， ≌AB ＝AC ，∠ACB ＝60°， ≌AD ＝AB ＝AC ，≌点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上， ≌∠BAD ＝2∠BCD ．∵∠BAD ＝∠P AD ＋∠P AB ＝2α，H图2KG EA BDC图2HLGEA DBC EDAPBC图2∠BCD＝∠ACE＋∠BCA＝β＋60°，≌2α＝2(β＋60°)，即α＝β＋60°．…………………………6分②由①知∠P AB＝∠BCD，≌A，B，C，E四点在同一个圆上，故∠AEC与∠ABC互补．由△ABC是等边三角形，得∠ABC＝60°，可求γ＝∠AEC＝180°－60°＝120°．…………………………7分28（2016西城一模）。
2016年度朝阳一模初三数学
北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学计数法表示应为A ．B ．C ．D ． 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．与B ．与C ．与D ．与3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．B ．C ．D ． 4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130º 6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 甲组 176 177 175 176 乙组178175177174326410⨯42.6410⨯52.6410⨯60.26410⨯a b b c c d a d 21132919E O CBAOACB图1设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为，，下列关系中完全正确的是 A ．=，＜ B ．=，＞ C ．＜，＜D ．＞，＞8．如图，△内接于⊙，若⊙的半径为6，，则的长为 A ．2π B ．4π C ．6π D ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且°．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11x 的取值范围是____________．12．分解因式：____________．13．关于x 的方程有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒．甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s ABC O O ︒=∠60A »BC30=∠AGH 2x -22369a b ab b -+=04222=-++k x x yx1–1–112O图216．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：10(2)8(21)4cos45----+-+︒．18．已知11mm-=，求(21)(21)(5)m m m m+-+-的值．19．解不等式组3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解．20．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF．求证：= 2∠1．BAC∠尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．1FEC21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线与双曲线的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ． (1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ；y x b =+my x=my x=FEDCB AP(2) 若DC =6，3tan 4P ∠= ，求BC 的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．观察下列各等式：，222=233-⨯，， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的 等于它们的 ；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征： －3＝ 3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征： － ＝ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由． 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯11()(1)()(1)22---=-⨯-⨯⨯c bx x y ++=2c bx x y ++=2（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB 的“等角点”．（1）若，在点302C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,D ⎫⎪⎪⎝⎭，32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中，线段AB 的“等角点”是 ； （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数；③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是 ．北京市朝阳区九年级综合测试（一）数学试卷评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分）t +t =-PC BA图2图1PCBA三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=11422--+⨯……………………………………………… …4分=12．……………………………………………………………………… 5分18．解：原式=22415m m m-+-………………………………………………………… 2分=2551m m--………………………………………………………………… 3分=25()1m m--．11mm-=Q，21m m∴-=．…………………………………………………………… 4分∴原式=4．…………………………………………………………………… 5分19．解：3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式①，得x>-1．……………………………………………………………2分解不等式②，得x≤1．………………………………………………………… 3分∴不等式组的解集是<≤1．………………………………………………… 4分∴原不等式组的所有整数解为0，1．……………………………………………5分20．证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠F AB．…………………… 2分∵AE=EF，∴∠EAF=∠EF A．……………… 3分∵∠1=∠EF A，∴∠EAF=∠1．…………………… 4分∴∠BAC=2∠1．…………………5分1-x①②1FECA21．解：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得 245250.x y x y +=⎧⎨=+⎩，…………………………………………………………………………3分解得18065.x y =⎧⎨=⎩，………………………………………………………………………………5分答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴,=90º． ∵BAE CDF ∠=∠，∴△≌△．………………1分 ∴． ∴． ∵,∴．………………………2分 又∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF =AD = 5． 在△EFD 中，DF =3，DE =4，EF =5， ∴222DE DF EF +=．∴∠EDF =90º．……………………………………………………………………4分∴1122ED DF EF CD ⋅=⋅． ∴125CD =． ……………………………………………………………………5分 23.解：（1）∵双曲线经过点，A （2，4）， ∴．………………………………………………………………………1分 ∵直线y x b =+经过点A （2，4），∴2b =．…………………………………………………………………………2分 ∴此直线与y 轴交点B 的坐标为（0，2）. …………………………………3分DC AB =DCF B ∠=∠ABE DCF CF BE =EF BC =AD BC =AD EF =xmy =8=m FEDCB A（2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD ． ∵DP 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DP ．∴90ODP ∠=︒． ………………………………………………………1分 ∴90.ODB BDP ∠+∠=︒ 又∵DC ⊥OB ， ∴90DCB ∠=︒．∴90BDC OBD ∠+∠=︒． ∵OD =OB ， ∴.ODB OBD ∠=∠ ∴BDP BDC ∠=∠．∴DB 平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B 作BE ⊥DP 于点E ． ∵,BDP BDC ∠=∠BC ⊥DC ，∴BC =BE . ……………………………………3分 ∵DC =6，， ∴DP =10，PC =8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x ，BP=8- x ．∵△PEB ∽△PCD ，∴8610x x-= ．∴．∴ ……………………………………………………………………… 5分 25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分 （2）统计表如下：2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表3tan 4P ∠=3=x .3=BC AA2014年 296.7 22.3% 2015年32023%……………………………………………………………………………………3分 （3）14； ……………………………………………………………………………………4分能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分 （2），；……………………………………………………………………2分 （3）1，12，1，12（答案不唯一）； …………………………………………3分 （4）存在. 设这两个实数分别为x ，y ．可以得到 ……………………………………………………4分 ∴．∴111y x =-+． ∵ 要满足这两个实数x ，y 都是整数， ∴ x +1的值只能是1±．∴当时，；当时，．∴满足两个实数都是整数的等式为，．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入， ∴把（2，–3）代入 ∴． ………………2分 （2）由（1）得2(1)4y x =--．∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分23-23-.xy y x =-1+=x xy 0=x 0=y 2-=x 2=y 0000⨯=-222)2(⨯-=--c bx x y ++=2．3-=c ，32-+=bx x y ．2-=b 322--=x x y由2230x x --=解得123,1x x ==-．∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3）． .……………………………………………………………………7分28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分∠DBA=． ……………….………………………………………………2分（2） 过点P 作PE ∥AC 交AB 于点E ． ………………………………………………3分 ∴PEB CAB ∠=∠． ∵ AC =BC ，∴CAB CBA ∠=∠． ∴PEB PBE ∠=∠． ∴PE PB =．又∵BPD DPE EPA DPE α∠+∠=∠+∠=， ∴BPD EPA ∠=∠． ∵PD PA =，∴△PDB ≌△PAE ．…………………………………………………………4分 ∵11(180)9022PBA PEB αα∠=∠=︒-=︒-， ∴180PBD PEA PEB ∠=∠=︒-∠=α2190+︒． ∴DBA PBD PBA α∠=∠-∠=. …………………………………………5分 （3）求解思路如下： a ．作AH ⊥BC 于H ；b ．由∠C =30º，AC =2，可得AH =1，CH =3，BH =23-， 勾股定理可求AB ； ………………………………………6分c ．由∠APC =135 º，可得∠APH =45 º，AP =2 ；d ．由∠APD =∠C =30º，AC =BC ，AP =DP ，6±︒90PEDC BAHABC DP可得△P AD ∽△CAB ，由相似比可求AD 的长． ……………7分29.解：（1）C ，D ． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，∵∠APB=60°，∠ABP =90°， ∴∠P AB =30°， 又∵∠OMN=30°，∴,.PA PM AB BM == ……………3分 ∵∴BM =∴∴P（6-1）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ ⊥AP ，且∠APB =60º， ∴∠PBQ =30º. ∴∠ABQ =60º.∴∠BMQ =∠MQB =30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB . ∴△ABQ 是等边三角形.∴∠AQB =60º. ………………………………………………………6分同理，当点N 在x 轴下方时,可得P（1），∠AQB =90º. ………7分③14t <<…………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.，3=AB ．1=PB NMNM。
北京市各区2016年中考数学一模汇编整式(含参考答案)
北京市2016年各区中考一模汇编整式一、整式之幂运算1.【2016东城一模，第02题】下列运算中，正确的是A ．x ·x 3=x 3B ．(x 2)3=x 5C ．624x x x ÷=D ．(x -y )2=x 2+y 22.【2016通州一模，第03题】下列各式运算的结果为6a 的是A ．33a a +B ．33()aC ．33a a ⋅ D．122a a ÷二、整式之因式分解3.【2016东城一模，第08题】对式子2241a a --进行配方变形，正确的是A ．22(1)3a +-B ． 23(1)2a --C ．22(1)1a --D ．22(1)3a --4.【2016东城一模，第11题】分解因式：22ab ac -=．5.【2016丰台一模，第11题】分解因式：2x 3-8x =．6.【2016平谷一模，第11题】分解因式：228x y y -=．7.【2016朝阳一模，第12题】分解因式：22369a b ab b -+=____________．8.【2016海淀一模，第11题】分解因式：22a b ab b -+=9.【2016西城一模，第11题】分解因式：34ab ab -=_______________．二、整式之因式简化10.【2016平谷一模，第18题】已知a+b =﹣1，求代数式()()2122a b a b a -+++的值．11.【2016通州一模，第11题】已知3m n +=，2m n -=，那么22m n -的值是 ．详细解答1. C2. C3. D4. ()()a b c b c +-5. 2x (x +2)(x -2)6. ()()222y x x +-7. 2)3(b a b -8. 2(1)b a -9. ab(b+2)(b-2)10. 解：()()2122a b a b a -+++=222122+a a ab b a -+++……………………………………………………2 =2221+a ab b ++ (3)∵a+b =﹣1，∴原式=()21a b ++............................................................4 =2 (5)11. 6。
2016年北京市各城区中考一模数学第24题汇总新编
2016年北京市各城区中考一模数学第24题汇总朝阳24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ．(1) 求证：DB 平分∠PDC ； (2) 若DC =6，3tan 4P ∠=，求BC 的长．大兴24. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点H 在⊙O 上，连结AH , E 是 »HB的中 点，过点E 作EC ⊥AH ，交AH 的延长线于点C ．连结AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若FB=2, tan ∠CAE =22，求OF 的长．东城25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB =∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB =3，DB =4，求DE 的长．D PA O CBO E BD C A 丰台24. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC的延长线于点F ．（1）求证：12CBF CAB ∠=∠； （2）连接BD ，AE 交于点H ，若AB = 5，1tan 2CBF ∠=，求BH 的海淀24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若3AE DE ==，求AF 的长.大兴24．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 为⊙O 的切线．（1）求证：DE ⊥BC ；（2）如果DE =2，tan C=21，求⊙O 的直径．平谷24．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于D ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）若∠EAB =30°，CF =2，求AG 的长．石景山25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，6EF =，求EB 的长．顺义25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CB D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，2tan 3CDA ∠=，求BE 的长．G F E O D C B A B F EA D CO通州26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB =BE ； （2）连结OC ，如果PD =23，∠ABC=60︒，求OC 的长．西城24．如图，在ABC V 中，AB 是O e 的直径，AC 与O e 交于点D ．点E 在»BD上，连接DE ，AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠．（1）求证：CF AB ⊥；（2）若4CD =，45CB =，4cos 5ACF ∠=，求EF 的长． F E DO A BC燕山24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C 作⊙O 的切线CF 交直线AB 于点F ，直线DB ⊥CF 于点E ．(1) 求证：∠ABD ＝2∠CAB ；(2) 若BF ＝5，sin ∠F ＝53，求BD 的长． FDA OB CEP C D O BEA。
北京市各区2016年中考数学一模汇编一元方程20190221264
北京市2016年各区中考一模汇编一元方程一、一元二次方程求解1.【2016平谷一模，第08题】已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 A ．m ＜3 B ．m ≤3 C ．m ＜3且m ≠2 D ．m ≤3且m ≠22.【2016西城一模，第05题】关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >3.【2016丰台一模，第13题】关于x 的一元二次方程x 2+ 2 ( m + 1 ) x + m 2- 1 = 0有实数根，则实数m 的取值范围 是.4.【2016朝阳一模，第13题】关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．5. 【2016丰台一模，第16题】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.二、一元二次方程简化6.【2016东城一模，第19题】已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．7.【2016丰台一模，第18题】已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．8.【2016朝阳一模，第18题】 已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．9.【2016海淀一模，第19题】已知250x x +-=，求代数式()()()()21322x x x x x ---++-的值10.【2016西城一模，第18题】已知：230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．11.【2016通州一模，第19题】已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．三、一元一／二次方程应用 12.【2016通州一模，第14题】我们知道，无限循环小数都可以化成分数．例如：将0.3g化成分数时，可设0.3x =g，则有3.310x =g，1030.3x =+g，103x x =+，解得13x =，即0.3g 化成分数是13．仿此方法，将0.45g g化成分数是____________．13.【2016朝阳一模，第14题】《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．14.【2016海淀一模，第13题】埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之一，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33”，设这个数为x，可列方程为15.【2016海淀一模，第21题】目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量水泵，对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步水泵的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，求小博每消耗1千卡能量需要行走多少步？16.【2016东城一模，第21题】列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？17.【2016丰台一模，第21题】根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍. 其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元. 据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元. 预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？18.【2016平谷一模，第21题】列方程或方程组解应用题：某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000元购买传说故事的本数相同，求经典著作的单价是多少元？19.【2016通州一模，第21题】通州区运河两岸的“运河绿道”和步行道是健身的主要场地之一. 杨师傅分别体验了60公里的“运河绿道”骑行和16公里的健步走，已知骑行的平均速度是健步走平均速度的4倍，结果健步走比骑行多用了12分钟，求杨师傅健步走的平均速度是每小时多少公里？20.【2016西城一模，第23题】上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：三、一元二次方程复杂应用（大题）21.【2016通州一模，第24题】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为5时，求k 的值.22.【2016东城一模，第27题】已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0． （1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．详细解答1. D2. A3. -1m ³4. 1=k （52k <的任意实数）5. 四；平方根的定义.6. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分 ∵ 230x x --=，∴23x x -+=-. …………4分 ∴原式= -2. …………5分7. 解：原式22449x x x =-++- 2245x x =--.------------ 3分∵2270x x --=，∴227x x -=. ------------ 4分 ∴原式22(2)5x x =--=2´7-5=9. ------------ 5分8. 解：原式=22415m m m -+-…………………………………………… 2分 =2551m m --…………………………………………………… 3分 =25()1m m --．11m m-=， 21m m ∴-=． …………………………………………………… 4分 ∴原式=4． …………………………………………………………… 5分9. 解：原式2322134x x x x x =-+-++-3分23x x =+- 4分∵230x x +-=∴25x x +=∴原式=5-3=25分10.11. 解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分； ∵2210a a --=，∴221a a -=， …… 4分； ∴2242a a -=∴原式=246+=. …… 5分.12.511或4599； 13. 65413121=++x x x 14. 21133327x x x x +++=15. 解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x 步。
北京市各区2016年中考数学一模汇编直线
北京市2016年各区中考一模汇编
直线
1.【2016东城一模，第10题】
如图，点A 的坐标为（0,1），点B 是x 轴正半轴上
的一动点，以AB 为边作等腰Rt △ABC ，使
∠BAC =90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标
为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
2.【2016东城一模，第12题】
请你写出一个一次函数，满足条件：○
1经过第一、三、四象限；○2与y 轴的交点坐标为（0，-1）. 此一次函数的解析式可以是．
3.【2016通州一模，第05题】
在一定温度下向一定量的水中不断加入食盐（NaCl ），那么能表示食盐溶液的溶质质量分数y 与加入的食盐（NaCl ）的量x 之间的变化关系的图象大致是
4.【2016通州一模，第12题】
写出图象经过点（-1，1）的一个函数的表达式是____________________________.
5.【2016西城一模，第13题】
已知函数满足下列两个条件：①当0x >时，y 随x 的增大而增大；②它的图象经过点()1,2，请写出一个符合上述条件的函数的表达式______________．
D.C.
B.A.x
y
O
详细解答1. A
2.
-1
y x
=答案不唯一
3. C
4.
1
y
x
=-、y x
=- (答案不唯一)；
5.y=2x (答案不唯一)；。
2016年初三数学一模-阅读理解与现场学习题
2016年初三数学一模——阅读理解与现场学习题1.(朝阳一模26) 在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是 ；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明； （3）如图2，在筝形ABCD 中，AB =4，BC =2，∠ABC =120°，求筝形ABCD 的面积.图1 图22.(丰台一模26)研究一个几何图形，我们通常从这个图形的定义、性质、判定三个方面进行研究.下面我们来研究筝形.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，则四边形ABCD 是筝形.(1)请你用文字语言为筝形定义；(2)请你进一步探究，写出筝形的性质(二条即可)；(3)除了定义，请你再探究出一种筝形的判定方法并证明.3.(燕山一模26)如图1，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究―筝形‖的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对―筝形‖的判定和性质进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1) 如图2，连接筝形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他．．性质（一条即可）： ，这条性质可用符号表示为： ；(2) 从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．A B CD图1 A BCDO图24.(西城一模26)有这样一个问题：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法． 小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究． 下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等. 关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等. 请将下面证明此猜想的过程补充完整；已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD = 求证：___________________________． 证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：____________________________________________．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题―一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形‖是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．5.(大兴一模26)研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 我们给出如下定义：如图，四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =像这样两组邻边分别相等的四边形叫做 ―筝形‖； （1）小文认为菱形是特殊的―筝形‖，你认为他的判断正确吗？（2）小文根据学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对AB≠BC 的―筝形‖的性质和判定方法进行了探究.下面是小文探究的过程，请补充完成：① 他首先发现了这类―筝形‖有一组对角相等，并进行了证明，请你完成小文的证明过程. 已知：如图，在‖筝形‖ABCD 中，AB AD =,CB CD = 求证：∠ABC=∠ADC. 证明：② 小文由①得到了这类―筝形‖角的性质，他进一步探究发现这类―筝形‖还具有其它性质，请再写出这类―筝形‖的一条性质 （除―筝形‖的定义外）;③ 继性质探究后，小文探究了这类―筝形‖的判定方法，写出这类―筝形‖的一条判定方法（除―筝形‖的定义外）：;CAEDBacbMNPQGFHDA6.(顺义一模26)我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的―等腰线段‖．例如：Rt △ABC ，取边AB 的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；50°25°72°45°36°（2）如图，在△EFG 中，若∠G =2∠F ，且△EFG 有等腰线段，请直接写出∠F 的度数的取值范围．EGF7.(门头沟一模26)阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载： ―勾广三，股修四，经隅五．‖．这句话的意思是：―如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．‖． 上述记载表明了：在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，那么a ，b ，c 三者之间的数量关系是： ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据―赵爽弦图‖（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S △ABC 12ab =，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 ．又∵ = ，∴()221=42a b ab c +⨯+，整理得2222=2a ab b ab c +++， ∴ ．（3）如图，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果AB =4，BC =8，求BE 的长．8.(朝阳一模26)观察下列各等式：，32232-2⨯= ,6)2.1(6)2.1(⨯-=-- ),1()21()1()21(-⨯-=--- ......根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：(1)上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的_____等于它们的______； (2)请你写出一个实数，使他们具有上述等式的特征：________-3=________×3；(3)请你再写出两个实数，使它们具有上述等式的特征：_______ - _______=________×________；(4)符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由.9.(海淀一模26)有这样一个问题：探究函数(1)(2)(3)y x x x =---的图象与性质．小东对函数(1)(2)(3)y x x x =---的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数(1)(2)(3)y x x x =---的自变量x 的取值范围是全体实数； （2）下表是y 与x 的几组对应值．x … 2- 1-0 1 2 3 4 5 6 … y…m24-6-62460…①m = ；②若M （7-，720-），N （n ，720）为该函数图象上的 两点，则n = ；（3）在平面直角坐标系xOy 中， A （,A A x y ），B （,B A x y -）为该函数图象上的两点，且A 为23x ≤≤范围内的最低点， A 点的位置如图所示． ①标出点B 的位置；②画出函数(1)(2)(3)y x x x =---（04x ≤≤）的图象．10.(平谷一模26)我们知道对于x 轴上的任意两点1(,0)A x ，2(,0)B x ，有AB =12x x -，而对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们把2121y y x x -+-称为P l ，P 2两点间的直角距离，记作),(21P P d ，即),(21P P d =2121y y x x -+-.（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（1，3），则d (O ，P )＝_____________； （2）已知O 为坐标原点，动点()y x P ,满足(),2d O P =，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形； （3）试求点M (2，3)到直线y =x +2的最小直角距离．11.(石景山一模26)阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围． 请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是__________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．-3-2-1-1-2-3123321y xO11xyO 11xyO12.(房山一模26)如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线12y x=（1）当x时，1y ＞0；（2）直线2y x b =-+，当22b =时，直线与双曲线有唯一公共点，问：b 时，直线与双曲线有两个公共点；（3）如果直线2y x b =-+与双曲线12y x=交于A 、B 两点，且点A的坐标为（1,2）,点B 的纵坐标为1.设E 为线段AB 的中点，过点E 作x 轴的垂线EF ，交双曲线于点F .求线段EF 的长. 13.(怀柔一模26)阅读下列材料：布鞋在我国有3000多年的历史.据考证，最早的手工布鞋是在山西侯马出土的西周武士跪像所穿的布鞋.2008年6月14日，―千层底手工布鞋制作技艺‖被文化部列入《国家级非物质文化遗产名录》，从而将这项古老的手工技艺保护起来.一句歌唱到―最爱穿的鞋是妈妈纳的千层底,站得稳走得正踏踏实实闯天下‖，唱出了祖辈对儿时生活的美好回忆.为了提高工作效率，智慧勤劳的先辈们发明了鞋样，就是用纸或纸板按尺寸和形状做成鞋面、鞋帮、鞋底的模型.例如：按照图1的鞋样就可做出图2模样的鞋子.根据以上材料完成下列问题：(1)如图3、4、5是一组布鞋图片，6、7、8是一组鞋样的图片，请你在答题纸上将布鞋和对应的鞋样用线段连接起来；26题图3 26题图4 26题图526题图226题图1xyy 1=2x12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5o(2)图10是图9所示童鞋的鞋样.看到这个鞋样，明明认为鞋样丢了一部分，芳芳认为鞋样没有丢.请你判断明明和芳芳谁说的对，并用所学的数学知识说明理由.Ps:通州、延庆未考阅读理解与现场学习题型26题图9 26题图10解：（1）菱形（正方形）（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行）已知：筝形ABCD.求证：∠B =∠D.证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. （3）连接AC .过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E .∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.又∵B C=2，∴BE =1，CE =3. ∴S四边形ABCD=21122434322ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. 2.(丰台一模26)解：（1）两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. --------- 1分 （2）①筝形有一组对角相等； --------- 2分 ②筝形是轴对称图形. --------- 3分（3）一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形. --------- 4分 已知：如图，四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线. 求证：四边形ABCD 是筝形.证明：∵AC 是BD 的垂直平分线, ∴AB=AD ，CB=CD. ∴四边形ABCD 是筝形.3.(燕山一模)(1) 筝形的其他性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角；是轴对称图形……（写出一条即可） ………………………1分 符号表示（略） ………………………2分(2) 筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形； ………………………3分 已知：四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ． 求证：四边形ABCD 是筝形．证明：在△BAC 和△DAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠，，＝，DCA BCA AC AC DAC BAC∴△BAC ≌△DAC （ASA ）， ∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，即四边形ABCD 是筝形． ………………………5分 其他正确的判定方法有：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形； 有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形； ……ABCD解：(1)已知：如图，筝形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD. 求证：∠B=∠D 证明：连接AC.在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===.,,AC AC CD CB AD AB∴△ABC ≌△ADC. ∴∠B=∠D. (2)筝形的其他性质：筝形的两条对角线互相垂直；筝形的一条对角线平分一组对角；筝形是轴对称图形…… (3)不成立.反例如图所示.在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O.由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠ADC ，AC 平分BD ，但是该四边形不是筝形. (答案不唯一，反例为矩形也可)5.(大兴一模)证明：（1）正确 ………………………………………………………………………… 1分(2) ①连结BD ，在△ABD 和△BCD 中， ∵AB=AD, BC=CD ∴∠ABD=∠ADB ∠DBC=∠BDC∴∠ABC=∠ADC ……………………………………………………………………… 3分 ② ―筝形‖有一条对角线平分一组对角（答案不唯一） …………………………… 4分 ③有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形（答案不唯一）………5分6.(顺义一模) （1）………….3分（2）045F ︒︒<∠≤……………………………………………………………………..….5分36°45°72°25°50°(1)222a b c +=；…………………………………………………………………1分(2)∵S △ABC 12ab =，2ABDE S c =正方形，MNPQ S =正方形 2)(b a + ．又∵ M NPQ 正方形S = 2214c ab +⨯， ∴()221=42a b ab c +⨯+，整理得2222=2a ab b ab c +++， ∴ 222a b c += ．……3分(3)∵矩形ABCD 折叠点C 与点A 重合，∴AE =CE ． 设AE =x ，则BE =8－x ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得AB 2+BE 2=AE 2， 即42+(8－x )2=x 2， 解得x =5．∴B E =8－5=3．………………………………………………………………5分8.(朝阳一模26)(5)上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的_差_等于它们的__积_；1分 (6)请你写出一个实数，使他们具有上述等式的特征：23- -3= 23- ×3； ……2分 (7)请你再写出两个实数，使它们具有上述等式的特征：_______ - _______=_______×_______；(答案不唯一)3分 (8)符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由.解：存在.设这两个实数分别为.,y x 可以得到.xy y x =- ……4分∴.1+=x xy ∴.111+-=x y ∵要满足这两个实数y x ,都是整数， ∴1+x 的值只能是.1±∴当0=x 时，;0=y 当2-=x 时，.2=y∴满足这两个实数都是整数的等式为.222)2(000-0⨯-=--⨯=，……5分GE F HD C AB第 11 页 共 11 页9.(海淀一模26)(2) ①；………………………1分 ②；………………………2分 (3)正确标出点B 的位置，画出函数图象. …………………5分10.(平谷一模26)解：（1）4；…………………………………………………………………………………1 （2）2x y +=，………………………………………2 所有符合条件的点P组成的图形如图所示． (3)（3） ∵d =23x y -+-=223x x -++- =21x x -+- (4)∴x 可取一切实数，21x x -+-表示数轴上实数x 所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M （2，3）到直线y ＝x ＋2的直角距离为1．……………………………5 11.(石景山一模26)解：2a <-； ……………………………………………………………………2分解决问题：将原方程转化为a x x =+-342·设函数3421+-=x x y ，a y =1，………………………………………3分 记函数1y 在40<<x 内的图象为G ， 于是原问题转化为2y a =与G 有一个或两个 交点时a 的取值范围，结合图象可知a 的取值范围是：13a -≤<．……………………………………………5分 -3-2-1-1-2-3123321y xOG-1311xy O第 12 页 共 12 页12.(房山一模26)解：（1）x ＞0 -----------1分 （2）当b ＜22-或b ＞22，-----3分 （3）∵点B 的纵坐标为1，∴点B 的横坐标为2，∵点E 为AB 中点，∴点E 坐标为（)23,23 ---------4分∴点F 的坐标为（23，34）∴EF=613423=- -------------5分13.(怀柔一模26)(1)……………………………………………………2分(2)答案不唯一(理由支持观点即可). ……………………………………………………5分xyF E B A 12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5o。
2016北京各区一模27题汇编及答案
2016北京各区中考数学一模27题汇编及答案延庆27. 已知：抛物线y=x²+bx+c 经过点A （2，-3）和B （4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G 1，求图象G 1的表达式； （3）设B 点关于对称轴的对称点为E ，抛物线G 2:y ＝ax 2（a≠0） 与线段EB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围怀柔27．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）． (1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴 翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y=x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．丰台27. 已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . （1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其yxyO余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b门头沟27．已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数， 求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．石景山27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ． （1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m海淀27．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ． （1）求点A 的坐标；（2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含 C ，D 两点）．若过点A 的直线 与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21C y x bx c ++：＝经过点()2,3A -，且与x 轴的一个交点为()30B ，． （1）求抛物线1C 的表达式；（2）D 是抛物线1C 与x 轴的另一个交点，点E 的坐标为()0m ，，其中0m >，ADE V 的面积为214． ①求m 的值；②将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，若当0x m ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n 的取值范围．xOy 224y mxmx m =-+-+(0)y kx b k =≠平谷27．已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标； （2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．通州27.已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C . （1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y xmx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；朝阳25．（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）． （1）求抛物线的表达式及顶点B 的坐标； （2）将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标n 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线()0y kx b k =+≠与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．东城27．已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0．（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．顺义27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x ax 2y 2-=的对称轴x = - 1 ． （1）求a 的值及x ax 2y 2-=与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线m 2y 2+-=x ax 与x 轴有交点,且交点都在点A （-4 ，0），B （1，0）之间，求m 的取值范围．燕山27．抛物线1C ：)3)(1(a x x a y -+=(0>a )与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，－3)．(1) 求抛物线1C 的解析式及A ，B 点坐标；(2) 将抛物线1C 向上平移3个单位长度，再向左平移n （0n >）个单位长度，得到抛物线2C ．若抛物线2C 的顶点在△ABC 内，求n 的取值范围．yx11O房山27. 如图，二次函数c bx x ++-=2y 的图象（抛物线）与x 轴交于A(1,0), 且当0x =和2x -=时所对应的函数值相等. （1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x 轴的另一交点为点B ,与y 轴交于点C ，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D ，使得△DAC 的周长最小？如果存在，求出D 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M 在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC 的面积最大，求此时点M 的坐标及△MBC 的面积.答案延庆27.解：（1）把A （2，-3）和B （4，5）分别代入y=x²+bx+c 得：3425164b c b c -=++⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3. …………………………………2分.∵y=x²-2x-3=（x-1）2-4.∴顶点坐标为（1，-4）. …………………………………3分.（2）∵将抛物线沿x 轴翻折，得到图像G 1与原抛物线图形关于x 轴对称，∴图像G 1的表达式为：y=-x²+2x +3. ………………………5分. （3）∵B （4，5）,对称轴：X=1∴B 点关于对称轴的对称点E 点坐标为（-2,5）………………………6分如图，当G 2过E 、B 点时为临界代入E （-2,5），则a=45代入B （4,5），则a=165∴45a 165〈≤………………………7分 怀柔 27．解：（1）将（1,0）代入，得m=2．∴抛物线的表达式为y=x 2+2x-3． ………………………1分（2）抛物线y=x 2+2x-3开口向上，且在-4<x<1范围内有最低点,∴当x=-1时，y 有最小值为-4. …………………………2分当x=-4时，．.............. ........ ...............................3分∴的取值范围是-4≤y<5．………............. .................…4分（3）当直线y=x+b 经过(-3,0)时，b=3. ...............................5分变换后抛物线的表达式为y=-x 2-2x+3.联立可得：-x 2-2x+3=x+b,令判别式为零可得b=......................................................6分由图象可知，5y =y 421b 的取值范围是 ：3<b<.…................................. .....….7分丰台27. 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线1x =, ∴21m -+=.∴1m =. ----------------- 1分（2）令0y =, ∴2140.2x x --=解得122, 4.x x =-= ∴(2,0),(4,0).A B - 令0x =，则 4.y =-∴(0,4).C - ----------------- 4分 （3）由图可知，①当直线过(0,4)C -时， 4.b =- ∴ 4.b >- ----------------- 5分 ②当直线与抛物线只有一个交点时, ∴2114.22x x x b --=+ 整理得23820.x x b ---=∵94(82)0,b =++=V∴41.8b =- ∴41.8b <------------------ 6分 结合函数图象可知,b 的取值范围为4>-b 或418<-b .------------------- 7分门头沟27．（本小题满分7分）（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3，=(3m －1)2. ……………………………………………………………1分∵ (3m －1)2≥0， ∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．………………………………………………2分 （2）解：令y =0，那么 mx 2+(3m +1)x +3=0.421xO 12345–7–6–5–4–3–2–112345解得 13x =-，21x m=-. …………………………………………………3分 ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++.…………………………………………4分 （3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1. 又∵点A 在点B 左侧， ∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）. 设直线CD 的表达式为y =kx +b . ∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得33.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的表达式为y =－3x +3. …………………………………………5分 又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54）， ∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）. 当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时， ∴－3(－3+n )+3=0， ∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时，∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. ………………………………………………7分 石景山27．解：（1）∵抛物线：经过点 ∴∴ ……………………………1分 ∴∴∴抛物线的顶点坐标是．……………………3分 （2）∵直线与直线相交于点 ∴两直线的对称轴为直线 ．……………………4分∵直线与直线关于抛物线：C 142++=x mx y ()65-，A 120256+-=m 1=m 142++=x x y ()322-+=x y ()3,2--1y x =-+3y x =+()2,1-1x =-1y x =-+3y x =+C 142++=x mx y的对称轴对称∴ ∴．………………………………5分 （3） ． …………………………………………7分海淀27. 解：（1）．∴ 点的坐标为． ………………………2分 （2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与轴交于，两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点的坐标为 ，点的坐标为 ．………………………3分 ∴ ． ∴ ．∴ 抛物线的解析式为．……4分 ② 由①可得点的坐标为 ．当直线过点，时，解得．………5分 当直线过点，时，解得． ………6分 结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． …………7分124-=-m2=m 43≤<m 224y mx mx m =-+-2(21)4m x x =-+-2(1)4m x =--A (1,4)-x B C B (1,0)-C (3,0)240m m m ++-=1m =223y x x =--D (0,3)-A D 1k =-A C 2k=平谷27．解：（1） 由题可知A 点的纵坐标为2-，点A 在直线l 上，∴()4,2A --．……………………………………………………………………1 由对称性可知()2,2B -．…………………………………………………………2 （2） 抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为226y x x =--+……………………………………………4 （3） 抛物线2y x bx c =-++顶点在直线l 上由题可知，抛物线顶点坐标为(),2t t +……………………………………………5 ∴抛物线解析式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入解析式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-．∴43t -≤<-．………………………………………………………………………6 把()2,2B -代入解析式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． (7)通州27. 解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩解得：43m n =-⎧⎨=⎩二次函数的表达式为243y x x =-+. ………………… 2分；顶点坐标为（2，-1） ………………… 3分；（2）39b <<. ………………… 5分； （3）∵()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数243y x x =-+的图象上，∴PQ ∥x 轴，∵二次函数243y x x =-+的对称轴是直线2x =，又∵12x x <，2PQ a =.∴12x a =-，22x a =+. ………………… 6分；∴()()2212612261x ax a a a a a -++=--+++ =5.朝阳 25.解：（1）∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上，∴1680m -=.解得 2m =.∴24y x x =-. …………………………………………………1分 即 ()224y x =--.∴顶点坐标为()2,4B -. ……………………………………………2分（2）当2x =时，y 有最小值–4；当5x =时，y 有最大值5.∴点P 纵坐标的n 的取值范围是45n -≤≤. ……………………………4分 （3）40b -<≤. …………………………………………………………………6分………………… 7分东城27.解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）2b x a -==∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分 （3）a >1或a <-5. …………7分顺义27．解：（1）抛物线的对称轴2112x a a-=-==--，∴1a =-即抛物线解析式²2y x x =--，∴与x 轴交点坐标为(0,0),(2,0)-； （2）-1≤m <3;；燕山27．解：(1) ∵抛物线)3)(1(a x x a y -+=与y 轴交于点C (0，－3)，∴3)30)(10(-=-+a a ,∴332-=-a , 12=a ,∴1±=a ． ∵0>a ,∴1=a ．∴抛物线1C 的解析式为)3)(1(-+=x x y ＝322--x x ． ………………1分 在)3)(1(-+=x x y 中，令0=y ，得1-=x ，或3=x ，∴A (－1，0)，B (3，0)． ………………………3分 (2) ∵322--=x x y ＝4)1(2--x ，∴抛物线1C 的顶点坐标为（1，－4）． ………………………4分 将抛物线1C 向上平移3个单位长度后，得1)1(2--=x y ，其顶点为（1，－1） 在△ABC 内， ………………………5分 再向左平移n （0n >）个单位长度，要想仍在△ABC 内，则顶点需在直线AC 的右侧．设直线AC 的解析式为b x k y +=，∵A (－1，0)，C (0，－3)，∴⎩⎨⎧+⋅-+⋅，＝，＝－b k b k 0310 解得⎩⎨⎧-，＝，＝－33b k∴直线AC 的解析式为33-=x y －， ………………………6分当1－=y 时，32－=x ．∴35)32(1=<－－n ． ∴n 的取值范围是350<<n ． ………………………7分房山27.解：（1）∵二次函数c bx x ++-=2y ， 当0x =和2x -=时所对应的函数值相等，∴二次函数c bx x ++-=2y 的图象的对称轴是直线1-=x ． ∵二次函数c bx x ++-=2y 的图象经过点A （1，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=1210bc b ----------------------1分解得⎩⎨⎧=-=32c b ∴二次函数的表达式为：32y 2+--=x x ． --------------------2分 （2）存在由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴连接BC ，与x=﹣1的交于点 D ，此时△DAC 周长最小 --------------3分 ∵32y 2+--=x x∴C 的坐标为：（0，3）直线BC 解析式为：y=x+3 --------------------4分 ∴D （﹣1，2）； ---------- 5分 （3） 设M 点（x ，322+--x x ）（﹣3＜x ＜0） 作过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，则E(x,0) ∵S △MBC =S 四边形BMCO ﹣S △BOC =S 四边形BMCO ﹣29， S 四边形BMCO =S △BME +S 四边形MEOC)(2121OC ME OE ME BE +⨯⨯+⨯⨯= =21（x+3）（322+--x x ）+21（﹣x ）（322+--x x +3） =8272923232++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x∵要使△MBC 的面积最大，就要使四边形BMCO 面积最大 当x=23-时，四边形BMCO 在最大面积=82729+ ∴△BMC 最大面积=8272982729=-+ --------------------------------6分当x=23-时，32y 2+--=x x =415 ∴点M 坐标为（23-，415） --------------------------------7分。
北京市各区2016年中考数学一模汇编一元二次方程20190221265
北京市2016年各区中考一模汇编一元二次方程一、一元二次方程求解1.【2016平谷一模，第08题】已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠22.【2016西城一模，第05题】关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >3.【2016丰台一模，第13题】关于x 的一元二次方程x 2+ 2 ( m + 1 ) x + m 2- 1 = 0有实数根，则实数m 的取值范围 是.4.【2016朝阳一模，第13题】关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．5. 【2016丰台一模，第16题】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.二、一元二次方程简化6.【2016东城一模，第19题】已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．7.【2016丰台一模，第18题】已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．8.【2016朝阳一模，第18题】 已知11m m -=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．9.【2016海淀一模，第19题】已知250x x +-=，求代数式()()()()21322x x x x x ---++-的值10.【2016西城一模，第18题】已知：230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．11.【2016通州一模，第19题】已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．三、一元二次方程复杂应用（大题）21.【2016通州一模，第24题】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为5时，求k 的值.22.【2016东城一模，第27题】已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0．（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．详细解答1. D2. A3. -1m ³4. 1=k （52k <的任意实数） 5. 四；平方根的定义.6. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分∵ 230x x --=，∴23x x -+=-. …………4分∴原式= -2. …………5分7. 解：原式22449x x x =-++- 2245x x =--.------------ 3分∵2270x x --=，∴227x x -=. ------------ 4分∴原式22(2)5x x =-- =2´7-5=9. ------------ 5分8. 解：原式=22415m m m -+-…………………………………………… 2分=2551m m --…………………………………………………… 3分 =25()1m m --． 11m m-=， 21m m ∴-=． …………………………………………………… 4分 ∴原式=4． …………………………………………………………… 5分9. 解：原式2322134x x x x x =-+-++- 3分23x x =+- 4分∵230x x +-=∴25x x +=∴原式=5-3=25分10.11. 解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分；∵2210a a --=，∴221a a -=， …… 4分； ∴2242a a -=∴原式=246+=. …… 5分.12. （1）证明：△=()()22214k k k -+-+⎡⎤⎣⎦ =2244144k k k k ++--=10>∴方程有两个不相等的实数根； ……………… 2分；（2）∵方程有一个根为5，∴2255(21)0k k k -+++=， 29200k k -+=∴14k =，25k =………………… 5分.13. 解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->， ∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根.……2分（2）x ==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分（3）a >1或a <-5. ……7分。
2016-朝阳九年级数学-一模
北京市朝阳区2016年初中毕业考试数学试卷 2016.4第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．在下列各数中，绝对值最大的数是A ．1B ．－2C ．21D ．13-2．2015年10月16日，新一期全球超级计算机500强榜单在美国公布，中国“天河二号”超级计算机以每秒338600000亿次浮点运算速度连续第六度称雄．将338600000用科学记数法表示为A ．3．386×107B ．0.3386×109C ．3．386×108D ．0.3386×1083. 右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．三棱锥4．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼·奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是A ．15B ．25C ．35D ．455. 下列运算正确的是A ．236x x x =B ．632x x x ÷=C ．32422x x x -=D ．()236xx =6．一次函数y kx b =+的图象如右图所示， 则k,b 应满足的条件是A ．0,0k b >>B ．0,0k b ><C ．0,0k b <>D ．0,0k b <<7．如图，将一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，则∠2的度数是A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°COAB第13题图 第14题图 8．如图，⊙O 的半径为10，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ， 若AB =12，则OC 的长为A ．2B ．22C ．6D ．89．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例， 右图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则 电流I 关于电阻R 的函数关系式为 A ．6I R=B ．6I R =-C ．3I R =D ．2I R=10．如图，把正方形ABCD 绕它的中心O 顺时针旋转，得到正方形A ’B ’C ’D ’，旋转角大于0°小于90°.△A ’EF 的面积为S ，线段AE 的长度为x ，那么S 关于x 的函数的图象可能是第Ⅱ卷 （共70分）二、填空题 （共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：22ax ay -=___________．12．某校在进行“阳光体育活动”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5（单位：kg ），则这组数据的中位数是__________．13. 如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（-3，-2），“炮”位于点（-2.0），则“兵”位于的点的坐标为 ． 14．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ． 15．若关于x 的一元二次方程2420kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________．A B C D S x O SnOF E C'D'A'B'O DA CBS x O Sx O16. 阅读下面材料:在数学课上，老师提出如下问题:小义同学作法如下：老师说:“小义的作法正确.”请回答:小义的作图依据是______________________________________________________． 三、解答题（共10道小题，17-24题每小题5分，25-26题每小题6分，共52 分） 17．（本小题5分） 计算：()1201611-2-2sin453-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭．18．（本小题5分）解不等式2113x x --≤，并写出不等式的正整数解．尺规作图：作一个角等于已知角. 已知：∠AOB ．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB ．①作射线O′A′；②以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于C ，交OB 于D ； ③以点O′为圆心，以OC 长为半径作弧，交O′A′于C′； ④以点C′为圆心，以CD 为半径作弧，交③中所画弧于D′； ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．D'C'CDBOAA'O'B'AO B如图，△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上.有下面四个关系式： （1）AD ＝CB ，（2）AD ∥BC ，（3）∠B ＝∠D ，（4）AE ＝CF .请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明. 已知： 求证：证明：20．（本小题5分）先化简，再求值：2212 2x xy y x y x y-+--，其中3x y =． 21．（本小题5分）某城市2015年约有初中生10万人， 2016年初中生人数还会略有增长.该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中m 的值为 ；（2）2015年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为 万； （3）请你结合对数据的分析，预估2016年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由. 22．（本小题5分）在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿植，种植在礼堂前的空地处. 根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植.两次所买绿植盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元. 请问第二批绿植每盆多少元？年份 喜爱阅读的初中生人数（万人） 2012 1.02013 2.22014 3.52015 5.0A B C D E F 2015年某市喜爱阅读的初中生的阅读首选类别2012-2015年某市 喜爱阅读的初中生人数1ODBCA如图，△ABC 和△CDE 都是直角三角形，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠B =∠D =∠ACE =90°，112BC AB == ，4CD = ．（1）求DE 的长；（2）连接AE ．求证：四边形ABDE 是矩形．24．（本小题5分）如图，以△ABC 的一边BC 为直径的⊙O ，交AB 于点D ，连接CD ，OD ， 已知∠A +12∠1=90°． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若∠B =30°，AD =2，求⊙O 的半径． 25．（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）． （1）求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；（2）将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线()0y kx b k =+≠与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．26．（本小题6分）E B DA C在一节数学活动课上，老师和同学们一起研究不同等腰三角形形状差异问题，老师提出我们可以规定一个“正度”，“正度”应满足三个条件：①可以用来衡量等腰三角形与正三角形的接近程度；②相似的等腰三角形的“正度”相等；③“正度”的值是非负数．经过讨论后，有两个组给出了答案：小智组提出：设等腰三角形的底和腰分别为a ，b ，可用式子a b -来表示“正度”，a b -的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；小信组提出：设等腰三角形的底角和顶角分别为α和β，可用式子αβ-来表示“正度”，αβ-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．⑴ 他们的方案哪个较为合理，为什么？⑵ 请再写出一种可以衡量“正度”的表达式．北京市朝阳区2016年初中毕业考试数学试卷评分标准及参考答案 2016.4一、选择题（每小题3分，共30分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题（每小题3分，共18分）11．()()a x y x y +- 12．6 13．（5-，1） 14．5π 15. 2k >-且0k ≠ 16．三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等（写出其中一个即可）． 三、解答题（17—24题每小题5分，25—26题每小题6分，共52 分）17．解：原式213222=++-⨯………………………………………………4分 =4． ………………………………………………………………… 5分18．解：3321x x -≤- ………………………………………………………………2分 3231x x -≤- ……………………………………………………3分2x ≤ ………………………………………………………………4分∴原不等式的所有正整数解为1，2． ………………………………………5分19．已知：AD ＝CB ，AD ∥CB ，∠D ＝∠B ． ……………………………………1分 求证：AE ＝CF ． 证明：∵AD ∥CB ，∴∠A ＝∠C. ……………………………………………………2分 ∵AD ＝CB ，∠D ＝∠B ,∴△ADF ≌△CBE ………………………………………………… 3分 ∴AF ＝CE. …………………………………………………………………4分 ∴AE ＝CF. ………………………………………………………… 5分20．解：原式()212x y x y x y -=⋅-- …………………………………………………3分 2x y x y-=- …………………………………………………………… 4分 当3x y =时， 原式3232y yy y-==-． …………………………………………………… 5分21. 解：（1）8. …………………………………………… … ………………1分（2）0.75. ……………………………………………… … ……………3分（3）答案依据数据说明，合理即可．如：6.6万人，因为该市喜爱阅读的初中生人数逐年增长，且增长趋势变快. …………………………5分22. 解：设第二批绿植每盆x 元． ……………………………………………1分依题意，得8000750010x x=+. ……………………………………… 2分 解得 150x =． ………………………………… 3分经检验，x = 150是原方程的解，且符合题意. …………… 4分 答：第二批绿植每盆150元． ………………………… …………………5分23.（1） 解：∵∠B =∠ACE =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∠ECD +∠ACB =90°．∴∠A =∠ECD ． …………… …………………………………1分 ∵∠B =∠D =90°，∴△ABC ∽△CDE ． …………………………………………2分∴BC ABDE CD=． ∵112BC AB == ，4CD =， ∴2DE =． ………………… ………………………………3分（2）证明： ∵∠B =∠D =90°，∴∠B +∠D =180°．∴AB ∥DE ． …………………………………………………4分 ∵AB =DE =2，∴四边形ABDE 是平行四边形． ∵∠B =90°，∴平行四边形ABDE 是矩形． ………………………………5分 24.（1）证明：依题意，得 ∠B =12∠1． …………………………………1分 ∵∠A +12∠1=90°， ∴∠A +∠B =90°. ∴∠ACB =90°. ∴AC ⊥BC .∵BC 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线． …… …………………………………2分（2） 解：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CDB =∠ADC =90°． ……………………………………3分 ∵∠B =30°，∴∠A =60°，∠ACD =30°．∴AC =2AD =4． ………………………………………………4分∴43tan ACBC B==∠．∴⊙O 的半径为23． ……………………………………5分25.解：（1）∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上，∴1680m -=.解得 2m =.∴24y x x =-. …………………………………………………1分 即 ()224y x =--.∴顶点坐标为()2,4B -. ……………………………………………2分（2）当2x =时，y 有最小值–4；当5x =时，y 有最大值5.∴点P 纵坐标的n 的取值范围是45n -≤≤. ……………………………4分 （3）40b -<≤. …………………………………………………………………6分26.解：（1）小信组的方案合理. …………………………………………………………1分因为αβ-的值越小，两个角越接近60°，等腰三角形就越接近正三角形， 且保证相似三角形的正度相等. ………………………………………………2分小智组的方案不合理. ……………………………………………………………3分 因为不能保证相似的等腰三角形的正度相等，如三边分别为4、4、2和8、8、4，4284-≠-|. …………………………4分（2）60α-︒（+120αβ-︒，1b a -，1αβ-，…） …………………………6分。
北京市各区2016年中考数学一模汇编一元方程20190221264
北京市2016年各区中考一模汇编一元方程一、一元二次方程求解1.【2016平谷一模，第08题】已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 A ．m ＜3 B ．m ≤3 C ．m ＜3且m ≠2 D ．m ≤3且m ≠22.【2016西城一模，第05题】关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >3.【2016丰台一模，第13题】关于x 的一元二次方程x 2+ 2 ( m + 1 ) x + m 2- 1 = 0有实数根，则实数m 的取值范围 是.4.【2016朝阳一模，第13题】关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．5. 【2016丰台一模，第16题】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.二、一元二次方程简化6.【2016东城一模，第19题】已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．7.【2016丰台一模，第18题】已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．8.【2016朝阳一模，第18题】 已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．9.【2016海淀一模，第19题】已知250x x +-=，求代数式()()()()21322x x x x x ---++-的值10.【2016西城一模，第18题】已知：230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．11.【2016通州一模，第19题】已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．三、一元一／二次方程应用 12.【2016通州一模，第14题】我们知道，无限循环小数都可以化成分数．例如：将0.3g 化成分数时，可设0.3x =g，则有3.310x =g，1030.3x =+g，103x x =+，解得13x =，即0.3g 化成分数是13．仿此方法，将0.45g g化成分数是____________．13.【2016朝阳一模，第14题】《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．14.【2016海淀一模，第13题】埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之一，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33”，设这个数为x ，可列方程为15.【2016海淀一模，第21题】目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量水泵，对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步水泵的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，求小博每消耗1千卡能量需要行走多少步？16.【2016东城一模，第21题】 列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？17.【2016丰台一模，第21题】根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍. 其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元. 据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元. 预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？18.【2016平谷一模，第21题】 列方程或方程组解应用题：某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000元购买传说故事的本数相同，求经典著作的单价是多少元？19.【2016通州一模，第21题】通州区运河两岸的“运河绿道”和步行道是健身的主要场地之一. 杨师傅分别体验了60公里的“运河绿道”骑行和16公里的健步走，已知骑行的平均速度是健步走平均速度的4倍，结果健步走比骑行多用了12分钟，求杨师傅健步走的平均速度是每小时多少公里？20.【2016西城一模，第23题】上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：三、一元二次方程复杂应用（大题）21.【2016通州一模，第24题】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为5时，求k 的值.22.【2016东城一模，第27题】已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0． （1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．详细解答1. D2. A3. -1m ³4. 1=k （52k <的任意实数）5. 四；平方根的定义.6. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分 ∵ 230x x --=，∴23x x -+=-. …………4分 ∴原式= -2. …………5分 7. 解：原式22449x x x =-++-2245x x =--.------------ 3分∵2270x x --=，∴227x x -=. ------------ 4分 ∴原式22(2)5x x =--=2´7-5=9. ------------ 5分8. 解：原式=22415m m m -+-…………………………………………… 2分 =2551m m --…………………………………………………… 3分 =25()1m m --．11m m-=， 21m m ∴-=． …………………………………………………… 4分 ∴原式=4． …………………………………………………………… 5分9. 解：原式2322134x x x x x =-+-++-3分23x x =+- 4分∵230x x +-=∴25x x += ∴原式=5-3=25分10.11. 解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分； ∵2210a a --=，∴221a a -=， …… 4分； ∴2242a a -=∴原式=246+=. …… 5分.12.511或4599； 13. 65413121=++x x x 14. 21133327x x x x +++=15. 解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x 步。
2016年3月北京市朝阳区中考数学模拟试卷一附答案解析
2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（一）（3月份）一.选择题1．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤12．对于任何有理数a，b，c，d，规定，若，那么x的取值范围（）A．x＜3 B．x＞0 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜03．如图，它们是一个物体的三视图，该物体的形状是（）A． B． C． D．4．用一个平行于底面的平面去截如图放置的一个圆锥，将其分成上下两个几何体，如果设上面的小圆锥体积为x，下面的圆台体积为y，当截面由顶点向下平移时，y与x满足的函数关系的图象是（）A．B．C．D．5．超市推出如下优惠方案（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．李明两次购物分别付款80元，252元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款（）A．288元B．332元C．288元或316元D．332元或363元6．AB是⊙O的直径，弦CD是与⊙O相切，且AB∥CD，弦CD=16cm，则阴影部分面积为（）A．144πcm2B．64πcm2C．79πcm2D．81πcm27．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）A．B．C．D．8．用一把带有刻度的角尺，（1）可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）；（2）可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；（4）可以量出一个圆的半径，如图（4）；上述四种说法中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个二.填空题9．2003年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台发电机组发电量达84700000000千瓦时，用科学记数法表示应为千瓦时．10．直线y=x+b过点A（1，O），并与反比例函数y=（k≠0）只有一个公共点B，则k的值等于．11．某数为S，观察图形的规律：请按上面规律判断S与n的关系是．12．图（1），图（2）是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图，设图（1），图（2）两种方法捆扎所需要钢丝绳的长度分别为a，b（不记接头部分），则a、b的大小关系：a b （填“＜”，“=”或“＞”）．三.解答题13．先化简，再求值.．14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．15．如图反映了被调查用户对甲，乙两种品牌空调售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意，四个等级，并依次记为1分，2分，3分，4分．（1）分别求甲，乙两种品牌空调售后服务的满意程度分数的平均值（计算结果精确到0.01）（2）根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌空调售后服务的满意程度较高？该品牌用户满意程度分数的众数是多少？16．如图，∠ABC=30°，O是BA上一点，以O为圆心作圆与BC相切于D点，交BO于点E，连结ED，F是OA上的一点，从F作FG⊥AB交BC于点G，BD=．设OF=x，四边形EDGF的面积为y．（1）求x与y函数关系式（不必求自变量的取值范围）．（2）若四边形EDGF的面积是△BED面积的5倍，试确定FG所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．17．某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？18．如图，ABCD是一块平形四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给甲，乙两户，为了方便用水，要求两户分到的田地都与水井相邻，试在图中画出方案，并给予必要的解释，以说明方案是正确合理的．19．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=，点P在BC边上运动（与B、C不重合），设PC=x，四边形ABPD的面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以点D为圆心，为半径作⊙D；以点P为圆心，以PC长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积．2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（一）（3月份）参考答案与试题解析一.选择题1．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选B．2．对于任何有理数a，b，c，d，规定，若，那么x的取值范围（）A．x＜3 B．x＞0 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜0【考点】解一元一次不等式．【分析】按新规定将化成不等式，再解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x•（﹣1）﹣2×（﹣1）＜8，﹣2x+2＜8，﹣2x＜6，x＞﹣3，故选C．3．如图，它们是一个物体的三视图，该物体的形状是（）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】由立体图形的三视图可得立体图形有2列，且第一列是前后两个立方体，且后面一个上面有一个立方体，第二是一个立方体，进而画出图形．【解答】解：如图所示：故选C．4．用一个平行于底面的平面去截如图放置的一个圆锥，将其分成上下两个几何体，如果设上面的小圆锥体积为x，下面的圆台体积为y，当截面由顶点向下平移时，y与x满足的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可以列出相应的函数解析式，根据解析式可以明确相应的函数图象，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，圆锥的体积一定，设为V，则y=V﹣x（x≥0），∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，图象是一条射线，故选B．5．超市推出如下优惠方案（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．李明两次购物分别付款80元，252元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款（）A．288元B．332元C．288元或316元D．332元或363元【考点】一元一次方程的应用．【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8=288元395×0.8=316元故选C6．AB是⊙O的直径，弦CD是与⊙O相切，且AB∥CD，弦CD=16cm，则阴影部分面积为（）A．144πcm2B．64πcm2C．79πcm2D．81πcm2【考点】扇形面积的计算；切线的性质．【分析】作出辅助线，先判断出CE，EF分别是大圆与小圆的半径，求出CE2﹣EF2=64，用S阴影=S大圆﹣S小圆．【解答】解：如图，记直径是AB的圆的圆心为E，连接CE，做EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF是⊙O的半径，在RT△CEF中，CF=CD=8，∴CE2﹣EF2=82=64，CE2﹣πEF2=π（CE2﹣EF2）=64πcm2；∴S阴影=π×故选B7．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：列表得：所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数，所以指针都落在奇数上的概率是，故选B．8．用一把带有刻度的角尺，（1）可以画出两条平行的直线a与b，如图（1）；（2）可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；（4）可以量出一个圆的半径，如图（4）；上述四种说法中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3 个D．4个【考点】作图—应用与设计作图．【分析】直接利用平行线的判定方法以及角平线的判定方法和圆周角定理、切线的性质等知识，分别分析得出答案．【解答】解：（1）可以画出两条平行的直线a与b，如图（1），正确；（2）可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2），正确；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3），正确；（4）可以量出一个圆的半径，如图（4），正确．故选：D．二.填空题9．2003年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台发电机组发电量达84700000000千瓦时，用科学记数法表示应为8.47×1010千瓦时．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】根据科学记数法的定义，写成a×10n的形式．a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，1≤|a|＜10．且n的数值比原数的位数少1，84 700 000 000的数位是11，则n的值为10．【解答】解：84 700 000 000=8.47×1010千瓦时，故答案为：8.47×1010．10．直线y=x+b过点A（1，O），并与反比例函数y=（k≠0）只有一个公共点B，则k的值等于﹣．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先把点A（1，O）代入一次函数y=x+b的解析式，求出b的值，进而得出一次函数的解析式，联立一次函数与反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵直线y=x+b过点A（1，O），∴1+b=0，解得b=﹣1，∴一次函数的解析式为：y=x﹣1，∵一次函数与反比例函数y=（k≠0）只有一个公共点B，∴，把①代入②得，x﹣1=，即x2﹣x﹣k=0与x轴只有一个交点，∴△=（﹣1）2+4k=0，解得k=﹣．故答案为：﹣．11．某数为S，观察图形的规律：请按上面规律判断S与n的关系是6n﹣6．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】观察可得，n=2时，S=6；n=3时，S=6+（3﹣2）×6=12；n=4时，S=6+（4﹣2）×6=18，从而找出规律，得出答案．【解答】解：观察可得，n=2时，S=6；n=3时，S=6+（3﹣2）×6=12；n=4时，S=6+（4﹣2）×6=18；…所以，S与n的关系是：S=6+（n﹣2）×6=6n﹣6．故答案为：6n﹣6．12．图（1），图（2）是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图，设图（1），图（2）两种方法捆扎所需要钢丝绳的长度分别为a，b（不记接头部分），则a、b的大小关系：a= b （填“＜”，“=”或“＞”）．【考点】相切两圆的性质；弧长的计算．【分析】分别将两个图形分成两部分来求解，线段和弧长；线段与圆的半径有关，利用相切两圆的圆心距离等于两圆的半径得出AB、EF、GH、DC等线段的长，弧长利用弧长公式，因为半径相等，只考虑圆心角即可．【解答】解：设每根圆柱形钢管的半径为r，如图1，四个角的扇形的圆心角都是90°，且AB=EF=4r，GH=CD=2r，四段扇形的弧长的和为一个圆的周长2πr，所以a的长为：a=4r+4r+2r+2r+2πr=12r+2πr，如图2，ON=QR=PM=4r，三个角的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，三段扇形的弧长的和为一个圆的周长，所以b的长为：b=4r+4r+4r+2πr=12r+2πr，∴a=b，故答案为：=．三.解答题13．先化简，再求值.．【考点】分式的化简求值．【分析】先通分，再把分子相加减，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=====，当x=﹣1时，原式===1﹣．14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：（1）连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；（2）添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．15．如图反映了被调查用户对甲，乙两种品牌空调售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意，四个等级，并依次记为1分，2分，3分，4分．（1）分别求甲，乙两种品牌空调售后服务的满意程度分数的平均值（计算结果精确到0.01）（2）根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌空调售后服务的满意程度较高？该品牌用户满意程度分数的众数是多少？【考点】条形统计图；众数．【分析】（1）利用加权平均数公式即可求解；（2）根据（1）的结果即可作出判断．【解答】解：（1）≈2.78，≈3.04．答：甲满意程度的平均值约为2.78．乙满意程度的平均值约为3.04．（2）乙品牌用户满意程度高，乙品牌满意程度分数的众数为3分．16．如图，∠ABC=30°，O是BA上一点，以O为圆心作圆与BC相切于D点，交BO于点E，连结ED，F是OA上的一点，从F作FG⊥AB交BC于点G，BD=．设OF=x，四边形EDGF的面积为y．（1）求x与y函数关系式（不必求自变量的取值范围）．（2）若四边形EDGF的面积是△BED面积的5倍，试确定FG所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】切线的性质．【分析】（1）连结OD．则OD⊥BC，由△BOD∽△BGF，推出，即可解决问题．（2）根据题意列出方程，求出OF的长即可解决问题．【解答】解（1）连结OD．则OD⊥BC．∵∠B=30°，BD=，∴OD=1，BO=2，∴BE=BO﹣OE=1，BF=2+x，S△BED=，∵∠B=∠B，∠ODB=∠BFG=90°∴△BOD∽△BGF，∴，∴，∴，即：．（2）由题意：得：x=1或x=﹣5（舍）∴OF=1∵FG⊥OF∴FG与⊙O相切．17．某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】通过理解题意，可知本题存在两个等量关系，即甲种服装的标价+乙种服装的标=210元，甲种服装的标价×0.8+乙种服装的标×0.9=182元，根据这两个等量关系可列出方程组求解即可．【解答】解：设甲种服装的标价为x元，则依题意进价为元；乙种服装的标价为y元，则依题意进价为元，则根据题意列方程组得解得．所以甲种服装的进价===50（元），乙种服装的进价===100（元）．答：甲种服装的进价是50元、标价是70元，乙种服装的进价是100元、标价是140元．18．如图，ABCD是一块平形四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给甲，乙两户，为了方便用水，要求两户分到的田地都与水井相邻，试在图中画出方案，并给予必要的解释，以说明方案是正确合理的．【考点】作图—应用与设计作图．=S△ACB，S△AOE=S△COF，进而得出答案．【分析】直接利用平行四边形的性质即可得出S△ACD【解答】解：如图所示：EF即为所求．理由过□ABCD两对角线的交点O和点P画直线EF，分别交AD，BC于E，F，=S△ACB，S△AOE=S△COF，∵S△ACD∴S□EABF=S□DEFC．19．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=，点P在BC边上运动（与B、C不重合），设PC=x，四边形ABPD的面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以点D为圆心，为半径作⊙D；以点P为圆心，以PC长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积．【考点】相切两圆的性质；直角梯形．【分析】（1）如图作DE⊥BC于E，由矩形的性质可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，进而表示出EP．从而求出BP，再根据梯形的面积公式可以表示出梯形的面积就可以表示出y与x之间的函数的关系式．由点P不与B、C重合，从而可以得出x的范围．（2）设PC=x时，⊙D与⊙P外切或内切时，分别分析求出x的值，代入（1）的解析式就可以求出四边形ABPD的面积．【解答】解：作DE⊥BC于E，∴∠BED=90°，∵AB⊥BC，∴∠B=90°∵AD∥BC，∴∠A=90°，∴四边形ABED是矩形．∴AD=BE，AB=DE，∵AD=1，AB=2，∴BE=1，DE=2，在Rt△DEC中，由勾股定理，得EC===2，∴BC=3，∵PC=x，∴BP=3﹣x，y=×2×（1+3﹣x）=﹣x+4．∵P点与B、C不重合，∴0＜x＜3．（2）解：当圆P与圆D外切时，如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，∴AB=DE=2，AD=BE=1，在Rt△CED中，DC=2，DE=2，根据勾股定理得：EC==2，∴EP=EC﹣PC=2﹣x，∵圆D与圆P外切，圆D半径为，圆P半径为x，∴DP=+x，在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2=DE2+EP2，即（+x）2=22+（2﹣x）2，解得：x=；即x=时⊙D与⊙P外切．=﹣+4=．此时S四边形ABPD当圆P与圆D内切时，如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，∴AB=DE=2，AD=BE=1，在Rt△CED中，DC=2，DE=2，根据勾股定理得：EC==2，∴EP=EC﹣PC=2﹣x，∵圆D与圆P内切，圆D半径为，圆P半径为x，∴DP=x﹣，在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2=DE2+EP2，即（x﹣）2=22+（2﹣x）2，解得：x=，综上，当x=或时，圆D与圆P相切．即x=时⊙D与⊙P内切．=﹣+4=．此时S四边形ABPD2017年2月26日。
2016朝阳数学一模
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人， 将264000用科学计数法表示应为A ．326410⨯ B ．42.6410⨯ C ．52.6410⨯ D ．60.26410⨯ 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．a 与bB ．b 与cC ．c 与dD ．a 与d 3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．21B ．13C ．29D ．194．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130º图16．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示， 在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是 A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙sB ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ， 则BC 的长为A ．2πB ．4πC ．6πD ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH1–112O图2三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11x 的取值范围是____________．12．分解因式：22369a b ab b -+=____________．13．关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ．所以直线CF 就是所求作的垂线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：1(2)1)4cos 45---++︒． 18．已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值． 19．解不等式组3(1)6,1.2x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解． 20．如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线y x b =+与双曲线my x=的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．(1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线my x=上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．FEDCB A1FECA24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ； (2) 若DC =6，3tan 4P ∠= ，求BC 的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由． 26．观察下列各等式：222=233-⨯，( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯，11()(1)()(1)22---=-⨯-， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的P等于它们的 ； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝ ⨯3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－ ＝ ⨯ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=-，在点32C⎛⎫⎪⎝⎭，,D⎫⎪⎪⎝⎭，32E⎛⎫⎪⎪⎝⎭中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．北京市朝阳区九年级综合测试（一）数学试卷评分标准及参考答案PCB A图2图1PCB A三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=11422--+⨯……………………………………………… …4分=12．……………………………………………………………………… 5分18．解：原式=22415m m m-+-………………………………………………………… 2分=2551m m--………………………………………………………………… 3分=25()1m m--．11mm-=，21m m∴-=．…………………………………………………………… 4分∴原式=4．…………………………………………………………………… 5分19．解：3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式①，得x>-1．……………………………………………………………2分解不等式②，得x≤1．………………………………………………………… 3分∴不等式组的解集是1-<x≤1．………………………………………………… 4分∴原不等式组的所有整数解为0，1．……………………………………………5分20．证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠F AB．…………………… 2分∵AE=EF，∴∠EAF=∠EF A．……………… 3分∵∠1=∠EF A，∴∠EAF=∠1．…………………… 4分∴∠BAC=2∠1．…………………5分①②1FECA21．解：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得 245250.x y x y +=⎧⎨=+⎩，…………………………………………………………………………3分解得18065.x y =⎧⎨=⎩， ………………………………………………………………………………5分答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC AB =,DCF B ∠=∠=90º． ∵BAE CDF ∠=∠，∴△ABE ≌△DCF ．………………1分 ∴CF BE =． ∴EF BC =． ∵AD BC =,∴AD EF =．………………………2分 又∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF =AD = 5．在△EFD 中，DF =3，DE =4，EF =5，∴222DE DF EF +=．∴∠EDF =90º．……………………………………………………………………4分∴1122ED DF EF CD ⋅=⋅． ∴125CD =． ……………………………………………………………………5分23.解：（1）∵双曲线xmy =经过点，A （2，4），∴8=m ．………………………………………………………………………1分 ∵直线y x b =+经过点A （2，4），∴2b =．…………………………………………………………………………2分 ∴此直线与y 轴交点B 的坐标为（0，2）. …………………………………3分FEDCB A（2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD ． ∵DP 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DP ．∴90ODP ∠=︒． ………………………………………………………1分 ∴90.ODB BDP ∠+∠=︒ 又∵DC ⊥OB ， ∴90DCB ∠=︒．∴90BDC OBD ∠+∠=︒． ∵OD =OB ， ∴.ODB OBD ∠=∠ ∴BDP BDC ∠=∠．∴DB 平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B 作BE ⊥DP 于点E ． ∵,BDP BDC ∠=∠BC ⊥DC ，∴BC =BE . ……………………………………3分 ∵DC =6，3tan 4P ∠=， ∴DP =10，PC =8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x ，BP=8- x ．∵△PEB ∽△PCD ，∴8610x x-= ．∴3=x ．∴.3=BC ……………………………………………………………………… 5分 25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分 （2）统计表如下：2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表AA11……………………………………………………………………………………3分 （3）14； ……………………………………………………………………………………4分 能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分分 分（4）存在. 设这两个实数分别为x ，y ．可以得到 .xy y x =- ……………………………………………………4分 ∴1+=x xy ．∴111y x =-+．∵ 要满足这两个实数x ，y 都是整数，∴ x +1的值只能是1±．∴当0=x 时，0=y ；当2-=x 时，2=y ．∴满足两个实数都是整数的等式为0000⨯=-，222)2(⨯-=--．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入c bx x y ++=2，∴．3-=c把（2，–3）代入，32-+=bx x y ∴．2-=b322--=x x y ． ………………2分 （2）由（1）得2(1)4y x =--．12∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分 由2230x x --=解得123,1x x ==-．∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3）6±． .……………………………………………………………………7分28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分∠DBA=︒90． ……………….………………………………………………2分（2） 过点P 作PE ∥AC 交AB 于点E ． ………………………………………………3分 ∴PEB CAB ∠=∠．∵ AC =BC ，∴CAB CBA ∠=∠． ∴PEB PBE ∠=∠． ∴PE PB =．又∵BPD DPE EPA DPE α∠+∠=∠+∠=， ∴BPD EPA ∠=∠． ∵PD PA =，∴△PDB ≌△PAE ．…………………………………………………………4分 ∵11(180)9022PBA PEB αα∠=∠=︒-=︒-， ∴180PBD PEA PEB ∠=∠=︒-∠=α2190+︒．∴DBA PBD PBA α∠=∠-∠=. …………………………………………5分 （3）求解思路如下：a ．作AH ⊥BC 于H ；b ．由∠C =30º，AC =2，可得AH =1，CHBH=2 勾股定理可求AB ； ………………………………………6分 c ．由∠APC =135 º，可得∠APH =45 º，AP；PEDC BAHABCP13d ．由∠APD =∠C =30º，AC =BC ，AP =DP ，可得△P AD ∽△CAB ，由相似比可求AD 的长． ……………7分29.解：（1）C ，D ． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，∵∠APB=60°，∠ABP =90°， ∴∠P AB =30°，又∵∠OMN=30°，∴,.PA PM AB BM == ……………3分∵，3=AB∴BM = ∴．1=PB∴P（61）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ ⊥AP ，且∠APB =60º，∴∠PBQ =30º. ∴∠ABQ =60º.∴∠BMQ =∠MQB =30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB . ∴△ABQ 是等边三角形.∴∠AQB =60º. ………………………………………………………6分同理，当点N 在x 轴下方时,可得P（1），∠AQB =90º. ………7分③14t <<…………………………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.NMNM。
2016年北京朝阳一模文科数学试题及答案
北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习（一模）数学（文）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项•A . {xx 兰2}B . {x1Ex 兰3}C. {x2cx 兰 3} D . {x2 兰 xE3>2.已知i 为虚数单位，则复数1 +i1.已知全集U 二R ，集合A 」..xx 乞3?,B Xxx ：：：2?，则（e B ）n A 二A . 1 +i ?B . 1 -i ? 3.已知非零平面向量 a .b ,a+b= A .充分而不必要条件B .C .充分必要条件D .C .-1 i ? D . —1—ia-b ”是 a_b ”的 4.执行如图所示的程序框图，输出的 A. 42 B. C. 8 D. S 值为19 35•在 MBC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 T3acosB + bsi*= 0，贝U B=i= i+1A. nB. nC. 2n 6336.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是D. 5nA. 3 ,3B. 3+ 6C. 1 2. 3D. 1 2 6 7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示 A.收入最高值与收入最低值的比是 3:1B. 结余最高的月份是7月份C. 1至2月份的收入的变化率与 4至5月份的收入的变化率D. 前6个月的平均收入为 40万元 （注：结余=收入-支出）必要而不充分条件 既不充分也不必要条件开始2 2 28. 若圆x (y -1)二r与曲线(x -1)y =1的没有公共点，则半径r的取值范围是r~~ :—A . 0 :: r < 2 B. 0 ：：：r ：：： C. 0 ：：：r ■；：■订3 D . 0 ：：： r ：：：—-32 2第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在答题卡上•「log2(x+3),xX0,9. 已知函数f (x) 2 则f(f(-1))= _____ ., x cO,x22210. 已知双曲线y2 =1过抛物线y2 =8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为—.m11. 已知递增的等差数列｛a n｝N”的首项a^1，且a「a2,a4成等比数列，则数列｛a.｝的通项公式a n = _______ ；a4 I +a4n+4 = _________ .y-°,12. 已知不等式组y乞x, 表示的平面区域为D .若直线y二a x 1与区域D有公共点，贝V2x y _9 乞0实数a的取值范围是—.2 213. 已知圆C : (x -3) (y - 5) =5，过圆心C的直线l交圆C于A, B两点，交y轴于点P.若A恰一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1 2”，则下一个人可以有“3；“34”，…，为PB的中点，则直线l的方程为—.14. 甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从 1 (1必须报)AA = *73. M , N 分别为BC 和CG 的中点,（I ）求证：平面 APM _平面BB 1C 1C ；P 为侧棱BB 1上的动点.“3 4, 5, 6, 7, 8, 9”等七种报数方法），谁抢先报到“100则谁获胜•如果从甲开始，则甲要想必 胜，第一次报的数应该是 ______ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 •15. （本小题满分13分）已知函数f （x ） =2si ，xcos （，x •-） （•■ - 0 ）的最小正周期为 二.3（［）求-■的值；（n ）求f （x ）在区间［-二三］上的最大值和最小值.6 216. （本小题满分13分）已知数列fa n /的前n 项和S n =2n 2 - n ,n • N “. （I ）求数列:a n ?的通项公式；(n)若b n =( _1 n a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 17. （本小题满分13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名着， 为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如下表阅读名着的平均本数;（n ）若从阅读5本名着的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率1（只需写出结论）•（注：方差S 2 =丄［（为-x ）nX n 的平均数）18. （本小题共14分）如图，在三棱柱 ABC —ABG 中，AA 丄底面 ABC , N BAC =90®, AB = AC = 2 ,据, 阅读名着的本数123 45男生人数1312|13女生人数133 12试 根 述 数 这 个 女 生（川）试判断该班男生阅读名着本数的方差2 2S 1与女生阅读名着本数的方差 S 2的大小2'(X 2 -乂)2 川'(X n -x )2],其中 x 为 X j X 2 ,上求(I )一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1 2”，则下一个人可以有“3；“34”，…，(n)若p为线段BB的中点，求证：AN//平面APM ；(川)试判断直线BG与平面APM是否能够垂直.若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由.19. (本小题共14分)2 2已知椭圆C：x y1的焦点分别为F I,F2.4 2(I )求以线段F1F2为直径的圆的方程；(n)过点P(4,0)任作一条直线I与椭圆C交于不同的两点M , N .在x轴上是否存在点Q，使得■ PQM • . PQN =180 ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20. (本题满分13分)k + x已知函数f (x) e x (k • R).k —x(I)若k =1,求曲线y = f(x)在点0, f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(川)设k乞0，若函数f (x)在区间.3,2-.2上存在极值点，求k的取值范围.参考答案、选择题：(满分40分)三、解答题：(满分80分)15. (本小题满分13分)兀解: (I) f(x)=2sin xcos( x ) 3亠兀(3 = sin(2 x ).3 2因为f (x)的最小正周期为T，则.=1.2尬因为才心,所以^2x -，-.则3_sin(2x -) _1.233当2x，即x 时，f (x)取得最大值是1 ---------------- ;3 212 2当2x，即x 时，f (x)取得最小值是3.3 3 2f(x)在区间[-匸,上]的最大值为1-—，最小值为- .3...................... 1分6 2 216. (本小题满分13分) 解：(I)由 St. =2n 2 —n ,当 n M 2 时，a n =S . _S n 』=2 n 2 _n_ 2( n _1 f _(n _ 1 )]=4 n_3. 当 n=1 时，a1=S=1,而 4 1 ~3 = 1, 所以数列 ^n /的通项公式a n = 4n - 3 , n • N ". 4)由(I)可得 b n =(-1)3 =(-1)n 4n_3 ,当n 为偶数时，nT n »1 5-9 13-17 川 4n-3]=42当 n 为奇数时，n 1 为偶数，T n =T n 1 —b n 十=2(n • 1)—(4n • 1) = —2n • 1.工2n, n 为偶数,综上，T n................................... 1分nI —2n +1, n 为奇数.17. (本小题满分13分)1 1 323 3 1 4+2 5解：(I)女生阅读名着的平均本数X =323325=3本.10...................................... 3 分(n)设事件 A =｛从阅读5本名着的学生中任取2人，其中男生和女生各 1人｝.男生阅读5本名着的3人分别记为4,a 2,a 3，女生阅读5本名着的2人分别记为d,b 2.(n)由(I )可知(x) =sin(2x)- 3从阅读5本名着的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是:\a i,a2?, g,a3?, ^2,a^f,〔bZ , ”耳上］,'©，①］, 乙2上1 , dpi, gb?,乙3山2二其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：汹，,温小,G2Z , 32 ,冷3,氐,:a3, t2?.则p(A 二—=-................................... 1分10 52 2(III ) S i S2 . ................... 1分18. (本小题满分14分)证明：(I)由已知，M为BC中点，且AB二AC，所以AM _ BC .又因为BB//AA，且AA丄底面ABC，所以BB丄底面ABC .因为AM 底面ABC，所以BR _ AM ,又BB PlBC =B ,所以AM _平面BB,GC .又因为AM 平面APM ,所以平面APM _平面BBQC .(n)所以DM // AA,且DM 二 AA .取C1B1 中点D，连结AD , DN , DM , BC .由于D , M分别为C1B1, CB的中点,则四边形AAMD为平行四边形，所以A1D // AM又AD二平面APM , AM 平面APM , 所以A1D //平面APM .由于D , N分别为C1B1, C1C的中点，C所以DN // EC.又P , M分别为BB , CB的中点,所以MP // BC.则DN // MP .又DN二平面APM , MP二平面APM , 所以DN //平面APM .由于ADd DN=D ,所以平面A1DN //平面APM .由于AN二平面ADN ,所以A,N〃平面APM.(Ill)假设BG与平面APM垂直，由PM二平面APM ,则BC, _ PM .设PB = x, x • [0, 3].当BG — PM 时，.BPM r/B.G B ,10分所以RtPB GB,MB 一BB,由已知MB = J2,GB =2 “2,BB F〕3 ,所以x _2丄22 、3由于x =4.3[0, 3],因此直线BC i与平面APM不能垂直. .......................................... 分19. (本小题满分13分) 解: (I)因为a2 =4 , b—2，所以C2=2.所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2 y^2 .(II )若存在点Q(m,0)，使得■ PQM . PQN =180 ,则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k「k2.等价于k1 k^ 0.则曲线y 二f(x)在点0, f (0)处切线的斜率为f (0)=3 .而f (0)=1，则曲线y 二f (x)在点0, f(0)处切线的方程为y =3x • 1.x2 2. e (2k k -x ) (k - x)2 (1 )当 k 0 时，由 x = k 且此时.k 2 2k k ，可得「k 2 2k ::: k - ■ k 2 2k .令f (x) ：：： 0 ,解得- k 2 2k 或* k 2 2k ，函数f (x)为减函数; 依题意，直线I 的斜率存在，故设直线I 的方程为y=k(x_4). y 二 k(x-4) 2 2 2 2 由 t x 2 y 2 ，得(2k +1)x —16kx+32k —4=0. —+— =1 .4 2 因为直线I 与椭圆C 有两个交点，所以.：0. 2 2 2 2 2 1 即(16k ) -4(2k 1)(32k -4) • 0 ,解得 k . 6 设 M (洛，％)， N(X 2,y 2),则 x ! X 2 16k 2 2k 2 1 x-i x 32k 2 -4 2k 2 1 y 1 - k(x 1 - 4)， y 2 - k(x 2 - 4). 令 k 2 二一y 1 y 2 0， % _m x 2 _m (为 _m)k(x 2 _4) (X 2 _m)k(x 1 _4) = 0 , 当 k = 0时，2x 1x^(m 4)(x 1 x 2) 8m = 所以2 32k 2 —4 2k 2 1 16k -(m 4)冇 8心0， 化简得, 所以m = 1. 当k = 0时，也成立. 所以存在点 Q(1,0)，使得.PQM . PQN =180 ............. ................................... 14分 20. (本小题满分13分) 解：(I )若 k=1，函数f (x)的定义域为{xx H 1}, x 2、f (x)=e(3 — x )(1-x)2(n)函数f (x)的定义域为 , f (x)=令f (x) . 0 ,解得k22k ::: X k22k，但x = k,所以当k2 2k ::: x ：：：k , k ：x< - k22k时，函数f (x)也为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为(-『：；,-k2-「2k) , (•、k2，2k,+：：),单调增区间为(k22k, k) , (k r,k22k).(2) 当k=0时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0) ,(0, + ：)当k=—2时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,-2)，(-2,+ ：)当-2 k ：：0时，由2k k2：：：0,所以函数f(x)的单调减区间为(-：：,k)，(k,+：J.即当-2乞k^O时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,k)，(k,+：).(3) 当k ：-2 时，此时-.k22k k .令f (x) ：：：0 ，解得x - k2 2k 或2k ，但x = k，所以当x k ，k ::: x - ,k22k，x k22k 时，函数f (x)为减函数；令f (x) • 0，解得一,k22k ::: x ：：：・一k22k，函数f (x)为增函数.所以函数f(x)的单调减区间为(-叫k)，(k,- J k2+2k)，(J k2+2k,邑),函数f (x)的单调增区间为(-k22k, k22k). ........... 9分(川)(1 )当-2_k_0时，由(n)问可知，函数f (x)在3,2. 2)上为减函数，所以不存在极值点；(2)当k ：：：-2时，由(n)可知，f (x)在(八k2 2k「k2 2k)上为增函数，在(.k22k,：：)上为减函数.若函数f(x)在区间(、、3,2.2)上存在极值点，则.3 、k22k 2.2 ,解得-4::: k ：：：一3 或1 k : 2,所以-4 ::: k ：：：—3.综上所述，当-4 k< -3时，函数f(x)在区间3,^ 2上存在极值点.13分。
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北京市朝阳区2016年初中第一次模拟数学试卷 2016.4第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．在下列各数中，绝对值最大的数是A ．1B ．－2C ．21D ．13-2．2015年10月16日，新一期全球超级计算机500强榜单在美国公布，中国“天河二号”超级计算机以每秒338600000亿次浮点运算速度连续第六度称雄．将338600000用科学记数法表示为A ．3．386×107B ．0.3386×109C ．3．386×108D ．0.3386×1083. 右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．三棱锥4．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼·奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是A ．15B ．25C ．35D ．455. 下列运算正确的是A ．236x x x =B ．632x x x ÷=C ．32422x x x -=D ．()236xx =6．一次函数y kx b =+的图象如右图所示， 则k,b 应满足的条件是A ．0,0k b >>B ．0,0k b ><C ．0,0k b <>D ．0,0k b <<7．如图，将一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，则∠2的度数是A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，⊙O 的半径为10，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ， 若AB =12，则OC 的长为A ．2B ．C ．6D ．89．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例， 右图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则 电流I 关于电阻R 的函数关系式为 A ．6I R =B ．6I R =-C ．3I R =D ．2I R=10．如图，把正方形ABCD 绕它的中心O 顺时针旋转，得到正方形A ’B ’C ’D ’，旋转角大于0°小于90°.△A ’EF 的面积为S ，线段AE 的长度为x ，那么S 关于x 的函数的图象可能是机读答题卡A B C D第13题图 第14题图 第Ⅱ卷 （共70分）二、填空题 （共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：22ax ay -=___________．12．某校在进行―阳光体育活动‖中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5（单位：kg ），则这组数据的中位数是__________．13. 如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使―帥‖位于点（-3，-2），“炮”位于点（-2.0），则―兵‖位于的点的坐标为 ． 14．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．15．若关于x 的一元二次方程2420kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________． 16. 阅读下面材料:在数学课上，老师提出如下问题:小义同学作法如下：老师说:“小义的作法正确.”请回答:小义的作图依据是______________________________________________________．三、解答题（共10道小题，17-24题每小题5分，25-26题每小题6分，共52 分） 17．（本小题5分） 计算：()1201611-3-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭．18．（本小题5分）解不等式2113x x --≤，并写出不等式的正整数解．19．（本小题5分）如图，△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上.有下面四个关系式： （1）AD ＝CB ，（2）AD ∥BC ，（3）∠B ＝∠D ，（4）AE ＝CF .请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明. 已知： 求证：证明：20．（本小题5分）先化简，再求值：22122x xy y x y x y-+-- ，其中3x y =．A B C D E F某城市2015年约有初中生10万人， 2016年初中生人数还会略有增长.该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中m 的值为 ；（2）2015年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为 万； （3）请你结合对数据的分析，预估2016年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由. 22．（本小题5分）在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿植，种植在礼堂前的空地处. 根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植.两次所买绿植盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元. 请问第二批绿植每盆多少元？23．（本小题5分） 如图，△ABC 和△CDE 都是直角三角形，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠B =∠D =∠ACE =90°，112BC AB == ，4CD = ． （1）求DE 的长；（2）连接AE ．求证：四边形ABDE 是矩形．CA如图，以△ABC 的一边BC 为直径的⊙O ，交AB 于点D ，连接CD ，OD ， 已知∠A +12∠1=90°． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若∠B =30°，AD =2，求⊙O 的半径． 25．（本小题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）． （1）求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；（2）将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线()0y kx b k =+≠与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．在一节数学活动课上，老师和同学们一起研究不同等腰三角形形状差异问题，老师提出我们可以规定一个“正度”，“正度”应满足三个条件：①可以用来衡量等腰三角形与正三角形的接近程度；②相似的等腰三角形的“正度”相等；③“正度”的值是非负数．经过讨论后，有两个组给出了答案：小智组提出：设等腰三角形的底和腰分别为a ，b ，可用式子a b -来表示“正度”，a b -的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；小信组提出：设等腰三角形的底角和顶角分别为α和β，可用式子αβ-来表示“正度”，αβ-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．⑴ 他们的方案哪个较为合理，为什么？⑵ 请再写出一种可以衡量“正度”的表达式．北京市朝阳区2016年初中毕业考试数学试卷评分标准及参考答案 2016.4一、选择题（每小题3分，共30分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题（每小题3分，共18分）11．()()a x y x y +- 12．6 13．（5-，1） 14．5π 15. 2k >-且0k ≠ 16．三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等（写出其中一个即可）． 三、解答题（17—24题每小题5分，25—26题每小题6分，共52 分）17．解：原式1322=++-⨯………………………………………………4分 =4． ………………………………………………………………… 5分18．解：3321x x -≤- ………………………………………………………………2分 3231x x -≤- ……………………………………………………3分2x ≤ ………………………………………………………………4分∴原不等式的所有正整数解为1，2． ………………………………………5分19．已知：AD ＝CB ，AD ∥CB ，∠D ＝∠B ． ……………………………………1分 求证：AE ＝CF ． 证明：∵AD ∥CB ，∴∠A ＝∠C. ……………………………………………………2分 ∵AD ＝CB ，∠D ＝∠B ,∴△ADF ≌△CBE ………………………………………………… 3分 ∴AF ＝CE. …………………………………………………………………4分 ∴AE ＝CF . ………………………………………………………… 5分20．解：原式()212x y x y x y -=⋅-- …………………………………………………3分 2x y x y-=- …………………………………………………………… 4分 当3x y =时， 原式3232y yy y-==-． …………………………………………………… 5分21. 解：（1）8. …………………………………………… … ………………1分（2）0.75. ……………………………………………… … ……………3分 （3）答案依据数据说明，合理即可．如：6.6万人，因为该市喜爱阅读的初中生人数逐年增长，且增长趋势变快. …………………………5分22. 解：设第二批绿植每盆x 元． ……………………………………………1分依题意，得8000750010x x=+. ……………………………………… 2分解得 150x =． ………………………………… 3分经检验，x = 150是原方程的解，且符合题意. …………… 4分 答：第二批绿植每盆150元． ………………………… …………………5分23.（1） 解：∵∠B =∠ACE =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∠ECD +∠ACB =90°．∴∠A =∠ECD ． …………… …………………………………1分 ∵∠B =∠D =90°，∴△ABC ∽△CDE ． …………………………………………2分∴BC ABDE CD=． ∵112BC AB == ，4CD =，∴2DE =． ………………… ………………………………3分（2）证明： ∵∠B =∠D =90°，∴∠B +∠D =180°．∴AB ∥DE ． …………………………………………………4分 ∵AB =DE =2，∴四边形ABDE 是平行四边形． ∵∠B =90°，∴平行四边形ABDE 是矩形． ………………………………5分 24.（1）证明：依题意，得 ∠B =12∠1． …………………………………1分 ∵∠A +12∠1=90°， ∴∠A +∠B =90°. ∴∠ACB =90°. ∴AC ⊥BC .∵BC 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线． …… …………………………………2分（2） 解：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CDB =∠ADC =90°． ……………………………………3分 ∵∠B =30°， ∴∠A =60°，∠ACD =30°．∴AC =2AD =4． ………………………………………………4分∴tan ACBC B==∠．∴⊙O 的半径为 ……………………………………5分25.解：（1）∵A （4，0）在抛物线22y x mx =-上，∴1680m -=.解得 2m =.∴24y x x =-. …………………………………………………1分 即 ()224y x =--.∴顶点坐标为()2,4B -. ……………………………………………2分（2）当2x =时，y 有最小值–4；当5x =时，y 有最大值5.∴点P 纵坐标的n 的取值范围是45n -≤≤. ……………………………4分 （3）40b -<≤. …………………………………………………………………6分26.解：（1）小信组的方案合理. …………………………………………………………1分因为αβ-的值越小，两个角越接近60°，等腰三角形就越接近正三角形， 且保证相似三角形的正度相等. ………………………………………………2分小智组的方案不合理. ……………………………………………………………3分 因为不能保证相似的等腰三角形的正度相等，如三边分别为4、4、2和8、8、4，4284-≠-|. …………………………4分 （2）60α-︒（+120αβ-︒，1b a -，1αβ-，…） …………………………6分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.。