高一数学人教a版必修2课后导练：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 含解析
人教新课标版数学 高一人教A版必修二练习 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系A级基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.答案：D2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.答案：B3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°答案：C4．空间四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且PQ ＝2，QR ＝5，PR ＝3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由已知得∠PQR ＝90°，又AC ∥PQ ，BD ∥QR ， 所以异面直线AC 与BD 所成角即∠PQR . 答案：A5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形解析：如图所示，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH为正方形．答案：D 二、填空题6．在四棱锥P -ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：87．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，有下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 则一定成立的是________(填序号)．解析：因为AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，所以∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180° 答案：③8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，所以AE 与AD 所成的角即为AE 与BC 所成的角，即是∠EAD .连接DE ，在Rt △ADE 中，设AD ＝a ，则DE ＝52a ，AE ＝AD 2＋DE 2＝32a ，故cos ∠EAD ＝23.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23.答案：23三、解答题9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 与B 1D 1所成的角．解：如图，连接BD ，A 1D . 因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以DD 1綊BB 1，所以四边形DBB 1D 1为平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1.因为A 1B ，BD ，A 1D 是全等的正方形的对角线， 所以A 1B ＝BD ＝A 1D ， △A 1BD 是正三角形， 所以∠A 1BD ＝60°. 因为∠A 1BD 是锐角．所以∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角，所以A 1B 与B 1D 1所在的角为60°.10．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 成30°角，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：取BD 的中点G ，连接EG ，FG ， 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点， 所以EG 綊12CD ，GF 綊12AB .所以EG 与GF 所成的角即为AB 与CD 所成的角． 因为AB ＝CD ，所以△EFG 为等腰三角形． 又AB 与CD 所成角为30°， 所以∠EGF ＝30°或150°.因为∠GFE 就是EF 与AB 所成的角， 所以EF 与AB 所成角为75°或15°.B 级 能力提升1．在三棱锥A -BCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且PQ ＝2，QR ＝5，PR ＝3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：如图所示，因为PQ 綊12AC ，QR 綊12BD ，所以∠PQR 为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，PQ ＝2.QR ＝5，PR ＝3，有PQ 2＋QR 2＝PR 2.由勾股定理，得∠PQR＝90°.答案：A2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3．如图所示，E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD ＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面．(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)解：当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD .同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形． (3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ， 所以EF ∥AC .又因为AC ⊥BD ，而∠FEH 是AC 与BD 所成的角， 所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形， 所以EG ＝FH .。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
人教新课标版数学高一人教A版必修2练习2-1-2空间中直线与直线之间的位置关系
双基达标(限时20分钟)1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()．A．异面B．相交C．不相交D．不平行解析和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行．答案 D2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()．A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.答案 D3．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．A．2对B．3对C．6对D．12对解析如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线．答案 C4．下列命题不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．解析命题①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，对于命题④，异面直线不具有传递性．答案①②④5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．解析如图B1D与CC1所成的角为∠BB1D.∵△DBB1为直角三角形．＝ 2.∴tan∠BB1D＝BDBB1答案 26．如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，P是面A1C1上的一点，过点P如何画一条直线和棱AB平行？过点P如何画一条直线和BD平行？解如图，过点P在面A1C1内作直线l∥A1B1，由于A1B1∥AB，∴l∥AB，l即为所画直线．连接B1D1，若P∈B1D1，∵BB1綉DD1，∴BD∥B1D1，B1D1即为所画直线．若P∉B1D1，过点P作直线l1∥B1D1，∵B1D1∥BD，∴l1∥BD.∴l1为平面A1C1内过点P且与BD平行的直线．综合提高(限时25分钟)7．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是()．A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行解析∵a⊂α，c⊂α，∴a与c相交或平行．同理，b与c相交或平行．若c∥a，c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾．∴a，b不能都与c平行，即直线a，b中至少有一条与c相交．答案 B8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的为()．A．①②B．③④C．②③D．①③解析根据正方体平面展开图还原出原来的正方体，如图所示，由图可知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①③正确．答案 D9．(2012·菏泽高一检测)如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．解析①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．答案②④10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．解析由于EF∥A1B，GH∥BC1，所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角，由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.答案60°11．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B ′C ′∥BC ； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′∩BB ′＝O ， 且AO A ′O ＝BO B ′O ＝23， ∴AB ∥A ′B ′，同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC 且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23， ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 12．(创新拓展)如图，在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别为CC 1、AD 的中点 ，求异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值．解 取D 1C 1的中点M ，连接OM ，OF ，因为OF 綉MD 1， 所以四边形OFD 1M 是平行四边形，所以OM 綉FD 1，所以∠MOE 是异面直线OE 和FD 1所成的角或其补角． 连接OC 、ME .OM ＝FD 1＝DF 2＋DD 21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＝52a ，ME ＝MC 21＋C 1E 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝22a .OE ＝OC 2＋CE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a .所以OE 2＋ME 2＝OM 2＝54a 2， 所以△OME 是直角三角形， 且∠OEM ＝90°，所以cos ∠MOE ＝OE OM ＝32a52a＝155，即异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值是 155.。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系基础梳理1．空间两条直线的位置关系．空间两条直线的位置关系有且只有三种．(1)从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧没有公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行异面有且仅有一个公共点相交(2)从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧在同一平面内⎩⎪⎨⎪⎧平行相交不同在任何一平面内——异面练习1：三棱锥的六条棱可组成多少对异面直线？答案：三对2．异面直线．(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ．4．等角定理．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角．(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．练习2：两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什么？答案：平行或相交►思考应用1．分别在两个平面内的两条直线是异面直线吗？解析：从图中可以看出a，b虽然在两个平面内，但是它们相交或平行，是共面直线．2．对于等角定理中在什么情况下相等、互补？解析：如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.3．如下定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角(或补角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．解析：在这个定义中，空间中有一点是任意取的，若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．自测自评1．下列说法中正确的是(B)A．不在一个平面内的两条直线是异面直线B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D．两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.2．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(D)A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(C)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.4．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能解析：∵两个平面的位置不确定，∴两条直线的位置关系不确定，题型一空间直线位置关系的判定题型二证明两直线是异面直线题型三求异面直线所成的角基础达标1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(D)A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(D) A．90°B．45°C．60°D．30°3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(D)A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．4．如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点．将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(B)A．90°B．60°C．45°D．0°解析：将三角形折成三棱锥如图所示B点、C点均与A点重合，HG与IJ为一对异面直线．在三棱锥ADEF中，IJ綊12AD，HG綊12DF，所以∠ADF即为所求，可知△ADF为等边三角形，所以HG与IJ所成角为60°.5．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(D)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．答案：60°巩固提升7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(C)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GE＝12BC，GF＝12SA，且GE ∥BC ，GF ∥SA ，则∠GFE 就是EF 与SA 所成的角(或补角)．若设此空间四边形边长为a ，那么GF ＝GE ＝12a ，EA ＝32a ， EF ＝EA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝22a ， 因此△EFG 为等腰直角三角形，∠EFG ＝45°，所以EF 与SA 所成的角为45°.8．如图，a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，E ，F 分别是线段AC 和BD 的中点，判断EF 和a ，EF 和b 的位置关系，并证明你的结论．解析：假设EF 和a 共面，设这个平面为α，则EF ⊂α，a ⊂α，∴A ，B ，E ，F ∈α，∴BF ⊂α，AE ⊂α.又∵C ∈AE ，D ∈BF ，∴C ，D ∈α.于是b ⊂α.从而a ，b 共面于α，这与题设条件a ，b 是异面直线相矛盾． ∴EF 和a 共面的假设不成立．∴EF 和a 是异面直线．同理可得EF 和b 也是异面直线．9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解析：(1)连接DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°.(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角为60°.1．异面直线的对数用分类的方式记数．2．异面直线所成的角不可能为钝角．3．求异面直线所成角一般先平移到两条直线相交后求夹角．。
数学必修2——2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》导学导练
高中数学必修2高中数学必修二2.1.2《空间直线与直线的位置关系》导学导练【知识要点】1、空间中两直线的位置关系（重点）2、平行公理（公理4）3、定理：4、异面直线所成的角【范例析考点】考点一．直线位置关系的判断 例1：下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是 直线 ②BD 和FH 是 直线 ③BH 和DC 是 直线(2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条? 【针对练习】1．两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线D. 可能是异面直线，也可能是相交直线2．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交D. 以上都有可能3．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c ,那么直线c 一定（ ）A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行． 4．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ）①这三条直线必共点； ②其中必有两条是异面直线； ③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）.A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．异面6．已知直线a ∥b ，a 与平面α相交于A ，求证：b 与平面α必相交．考点二．异面直线的判断例2：如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? 【针对练习】1、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D.可能相交、可能平行、可能异面2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则 a 和c 的位置关系是（ ）A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面3、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）.A. 12B. 24C. 36D. 485、如图，已知平面α与平面β相交于直线m ，n ⊂β，且m ∩n ＝A ，直线l ⊂a 且l ∥m ．证明n 、l 是异面直线．考点三．空间直线的平行问题例3：已知a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （ ）A 、一定是异面直线B 、一定是相交直线C 、不可能是平行直线D 、不可能是相交直线 【针对练习】1．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ）A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行；② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是GF H EB C D AEAFB C M ND鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长3、如图在空间四边形ABCD 中， E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
高中数学人教A版必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1. ∴MN∥EF 且 MN＝23EF. ∴MN∥BD(公理 4)． ②MN＝23EF＝13BD＝2.
探究 2 (1)公理 4 说明平行线具有传递性，证明空间中两直 线平行问题，经常转化为它们都与第三条直线平行来完成．这样 做实质上是把立体几何问题转化为一个平面或几个平面上的平 面几何问题．
(2)在正方体 AC1 中，E 是 CC1 的中点，画出平面 AED1 与正 方体各面的交线．
画法如下：①取 BC 中点 F；②连接 EF、连接 AF. 求证：A，D1，E，F 四点共面．
【证明】 EF 为△CC1B 的中位线，EF 綊12BC1，BC1 綊 AD1， ∴EF 綊12AD1.
∴A，D1，E，F 四点共面．
方法三：分别取 AA1，CC1 的中点 M，N，连接 MN，则 MN∥EF. 如图所示，连接 DM，B1N，则 B1N∥DM，且 B1N＝DM，
∴四边形 DMB1N 为平行四边形． ∴MN 与 DB1 必相交． 设交点为 P.设 AA1＝1， 则 MP＝ 22，DM＝ 25，DP＝ 23， ∴DM2＝DP2＋MP2.∴∠DPM＝90°.∴DB1⊥EF. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
(2)构造异面直线所成角的方法有： ①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线 的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间 问题转化为平面问题)； ②当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困 难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交 于该点； ③通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．
方法二：如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE∥DB1，且 HE＝12DB1.于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．
数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
人教A版高中数学必修2：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角
(或夹角).
异面直线所成的角的范围( 0o , 90o ]
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
bb′
a′ ″
O
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 ,
复习与准备： 平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
六角螺母
C A
高一数学人教A版必修2课后导练：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含解析
课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是（）A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交. 答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指（）①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.答案：C8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ）A.1B.4C.3D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D.答案：D11已知:a 、b 是异面直线，a 上有两点A 、B ，距离为8，b 上有两点C 、D ，距离为6，BD 、AC 的中点分别为M 、N ，且MN=5，求证：a ⊥b.证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP.在四边形ABCD 中，MP 是中位线，∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b.拓展探究12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线.证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线，∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD,∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面.（2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α,又设平面DBFE 为β.∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.同理，P 点也是α与β的公共点，∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ.故P 、Q 、R 三点共线.。
2019年秋高一数学人教A版必修2课后导练：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含解析
课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是（）A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交. 答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指（）①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.答案：C8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ） A.1 B.4 C.3 D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D. 答案：D11已知:a 、b 是异面直线，a 上有两点A 、B ，距离为8，b 上有两点C 、D ，距离为6，BD 、AC 的中点分别为M 、N ，且MN=5，求证：a ⊥b.证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP. 在四边形ABCD 中，MP 是中位线， ∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°. ∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角, ∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b. 拓展探究12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面. （2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α, 又设平面DBFE 为β. ∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点. 同理，P 点也是α与β的公共点， ∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ. 故P 、Q 、R 三点共线.。
高中数学必修二人教A版练习：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析.doc
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EM AD,FM BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC 的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN 不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,所以EH∥BD,且EH=BD. ①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.。
人教新课标版数学高一人教A版必修2试题 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系[课时达标检测]一、选择题1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．2.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF 与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.4．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．二、填空题6．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．解析：设棱长为1，因为A1B1∥C1D，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝12＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝32，cos∠AED1＝D1EAE＝1232＝13.答案：138．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．解析：①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交．答案：③三、解答题9.如图所示，E 、F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ 、QC 1.∵E 是AA 1的中点，∴EQ 平行且等于A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ 平行且等于B 1C 1(平行公理)．∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E 平行且等于C 1Q .又∵Q 、F 是DD 1、C 1C 两边的中点，∴QD 平行且等于C 1F .∴四边形QDFC 1为平行四边形．∴C 1Q 平行且等于DF .又∵B 1E 平行且等于C 1Q ，∴B 1E 平行且等于DF .∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ； PN ∥CD ，且PN ＝12CD ， 所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ①，(1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.(2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.。
【优质文档】人教A版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点(含答案)-2
29．已知 a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线， 给出下列说法： ① 若 a ∥ b ，b ∥ c ， 则 a P c ；②若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；③ 若 a 平面 ，b 平面 ， 则 a ，b 一定是异面直线； ④ 若 a ，b 与 c 成等角， 则 a ∥ b ．其中正确的说法是 ______
人教 A 版必修 2 第二章 2.1.2《空间中直线与直线之间的位置
关系》精选题高频考点（含答案 )-1
学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________
一、单选题 1．下列四个命题：
① 任意两条直线都可以确定一个平面；
② 若两个平面有 3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③ 直线 a ， b ， c ，若 a 与 b 共面， b 与 c 共面，则 a 与 c 共面；
④ 若直线 l 上有一点在平面 外，则 l 在平面 外 .
其中错误命题的个数是（
）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
2．如图所示，正四棱锥 P ABCD 的底面面积为 3 ，体积为 2 ， E 为侧棱 PC 的中 2
① BM 与 DE 平行； ② CN 与 BE 是异面直线； ③ CN 与 BM 成 60 角；
④ DM与 BN 垂直 .
以上四个结论中，正确的是 ______.
试卷第 6 页，总 10 页
36 ．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
① AF GC ；② BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60 ； ③ BD PMN ； ④ BG 与平面 ABCD 所成的角为 45 .
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是()A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有()A．2对B．3对C．4对D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4(1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB 1M 1M 是平行四边形，可证BB 1与MM 1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点，∴MM 1AA 1．又∵AA 1BB 1，∴MM 1∥BB 1，且MM 1＝BB 1， ∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形，∴B 1M 1∥BM ． 同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形，∴C 1M 1∥CM ． 由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角， ∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1． 迁移与应用 1．D2．证明：连接BD ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ． 所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD1与A1B所成的角为45°．(3)连接D1C，AD1，则A1B∥D1C．∴D1C与AC所成的角就是A1B与AC所成的角．又∵AC＝CD1＝D1A，∴∠ACD1＝60°．∴A1B与AC所成的角为60°．迁移与应用(1)90°(2)45°(3)90°【当堂检测】1．B2．D3．C4．BB1，CC1，DD15．8。
高中数学人教A版新必修2教案：第2章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系含答案
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点)3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1空间直线的位置关系阅读教材P44～P45“探究”以上的内容，完成下列问题．1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)图2-1-102．空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )【解析】 (1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面． (2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．(3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．(4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 教材整理2 公理4及等角定理阅读教材P 45“探究”以下至P 46倒数第7行的内容，完成下列问题． 1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．150°D ．以上结论都不对【解析】 因为AB ∥PQ ，BC ∥QR ，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.【答案】 B教材整理3异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题．1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°.3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.如图2-1-11，正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．图2-1-11【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°.【答案】90°45°[小组合作型]如图2-1-12，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图2-1-12①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[再练一题]1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a ∥c.【答案】(1)D(2)C如图2-1-13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．图2-1-13(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．【自主解答】(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[再练一题]2．如图2-1-14，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．图2-1-14求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【证明】(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.[探究共研型]探究1面直线所成的角？图2-1-15【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a，b所成的角．探究2异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．如图2-1-16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．图2-1-16【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决．【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊12AD，FM綊12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.求两异面直线所成的角的三个步骤1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．2．证：证明作出的角就是要求的角．3．计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ≤90°.[再练一题]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．【解】如图，连接BD、A1D，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴DD1綊BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l() A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【解析】不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.【答案】 C2．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正确．【答案】 B3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C15．如图2-1-17所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．图2-1-17【解】取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1．掌握空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义中“不同在”的含义．2．知道两条异面直线所成角的意义，掌握两条直线垂直的含义．3．理解并掌握公理4和等角定理，并能解决有关问题．1．异面直线(1)概念：不同在________平面内的两条直线叫做异面直线．对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是“不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为“不同在某一平面内”．(2)图示：如图a，b所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．【做一做1】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的是()A．AB B．BB1C．DD1D．B1C12．空间两条直线的位置关系(1)相交直线——同一平面内，________一个公共点；(2)平行直线——同一平面内，____公共点；(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．(1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线；(2)空间两条直线的位置关系空间两条直线⎩⎪⎨⎪⎧共面⎩⎪⎨⎪⎧相交平行异面【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．相交或异面文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相____图形 语言符号语言 直线a ，b ，c ，a ∥b ，b ∥c ____作用 证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的______公理4是今后论证平行问题的主要依据．在公理4中，若把直线a ，b ，c 的平行关系限制在同一平面内，则可看作是公理4的一种特殊情况．【做一做3】 如图所示，在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，E ′，F ′分别是AB ，BC ，A ′B ′，B ′C ′的中点，求证：EE ′∥FF ′.文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角______或____图形 语言符号 语言 OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180° 作用证明两个角相等或互补等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补．初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否则不成立．【做一做4】已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝() A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定5．两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____(或____)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的．(2)范围：________.(3)两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是____，那么就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a__b.两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．【做一做5】在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′垂直且异面的棱有__________．答案：1．(1)任何一个【做一做1】D2．(1)有且只有(2)没有【做一做2】D3．平行a∥c传递性【做一做3】证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四边形EBB′E′是平行四边形．∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.4．相等互补【做一做4】C5．(1)锐角直角(2)(0°，90°](3)直角⊥【做一做5】BC，B′C′，CD，C′D′1．对异面直线的理解剖析：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．要注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b这两条直线.例如，如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，则AB和B1C1是异面直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．有以下方法可以判断两条直线是异面直线：①定义法(直观判断法)：由定义判断两条直线不可能在同一个平面内．或者用下面的结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.用符号语言表示为：Bα，A∈α，aα，A a，则a与直线AB为异面直线．如图所示．②排除法：排除两条直线共面(平行或相交)，则两条直线是异面直线．2．作出两条异面直线所成的角剖析：根据异面直线所成角的定义，通常在两条异面直线中的一条直线上取一点，然后只需作另一条直线的平行线即可．但是，在作辅助线之前最好观察图形，看看在所给的图形中，有没有满足定义的角，如果没有，再作辅助线．例如，如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB和B1C1是异面直线．由于AB∥A1B1，则∠A1B1C1就是它们所成的角，当然∠ABC也是它们所成的角；对于异面直线AD1和B1C来说，在图中就没有它们所成的角，这就需要作辅助线，连接BC1交B1C于E，则BC1∥AD1，故∠C1EC是异面直线AD1和B1C所成的角．很明显△C1EC是等腰直角三角形，∠C1EC＝90°，即异面直线AD1和B1C所成的角为90°.题型一：空间两条直线位置关系的判定【例1】已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．反思：判定两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交，可用平面几何中的定义和方法来处理；判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断．在解答本题的过程中，易出现这样的错误：a与b异面，b与c异面，则a与c异面．事实上，异面这种位置关系，不像平行一样具有传递性．题型二：求两条异面直线所成的角【例2】如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求E F和AB所成的角．反思：(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； ②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形．因此可用“一作二证三计算”来概括． (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况． (3)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧．题型三：公理4的应用【例3】 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点．求证：B F ∥ED 1.反思：证明两条直线平行时，若能证明它们分别平行于第三条直线，根据公理4，则这两条直线平行，此法又称为中间量法．题型四：等角定理的应用【例4】 如图所示，OA ，OB ，OC 为不共面的三条射线，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC.反思：在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等．此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行．答案：【例1】 解：直线a 与c 的位置关系有三种情况，如图所示． 直线a 与c 可能平行，如图①；可能相交，如图②；可能异面，如图③.【例2】解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角，且EG ＝GF . ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF . ∴∠EGF ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.【例3】 证明：如图，取BB 1的中点G ，连接GC 1，GE .∵F 为CC 1的中点，∴BG ∥C 1F ，且BG ＝C 1F ， ∴四边形BGC 1F 为平行四边形． ∴BF ∥GC 1.又∵EG ∥A 1B 1，A 1B 1∥C 1D 1，且EG ＝A 1B 1，A 1B 1＝C 1D 1， ∴EG ∥C 1D 1，且EG ＝C 1D 1， ∴四边形EGC 1D 1为平行四边形． ∴ED 1∥GC 1.∴BF ∥ED 1.【例4】 证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC . ∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC . ∴△A 1B 1C 1∽△ABC .1．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，a ，c 异面，则b 与c( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线2．直线a 与直线b 相交，直线c 与直线b 相交，则直线a 与直线c 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能 3．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与B 1C 1所成的角等于__________．4．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AH AB AD =，CF CGCB CD=，则EH 与F G 的位置关系是__________．5．已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，求证：∠BEC ＝∠B1E1C1.答案：1．C 2.D 3.45° 4.平行5．证明：如图所示，连接EE1.∵E，E1分别是AD，A1D1的中点，∴AE∥A1E1，且AE＝A1E1，∴四边形AEE1A1是平行四边形．∴AA1∥EE1，且AA1＝EE1.又∵AA1∥BB1，且AA1＝BB1，∴EE1∥BB1，且EE1＝BB1，∴四边形BEE1B1是平行四边形．∴BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1.又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.。
高中数学(人教A)必修二课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2. 1. 2空间中直线与直线之间的位置关系学习会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面目标直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.新匍谡1.空间直线的位置关系⑴异面直线①定义: 把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;②画法: （通常用平面衬托）bB(2)空间两条直线的位置关系V共面直线同一平面内，有且只有一个公共点; 平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.平行公理(公理4)与等角定理⑴公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.a//b\(=^a// c. b//c\符号表述:(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角⑴定义：已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线/〃a,b r//b f则异面直线a与b所成的角就是直线a，与，所成的锐角(或直角).(2)范围：0。
"三90。
・特别地，当〃= 90°〃互相垂直，记作"丄"对异面直线的定义可作如下理解：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，其中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面经过这两条直线，或者说找不到一个平面经过这两条直线.“异面”的含义就是“不能共面”.定义中“任何”是不可缺少的关键词，不能误解为"不同在某一平面内” •两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后, 它们所成的角的大小也就随之确定了.自我尝试7n判断正误(正确的打“错误的打“X”)(1)异面直线没有公共点.(7 )(2)没有公共点的两条直线是异面直线.(X )(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内.(J )(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线.(X )(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则方与c是异面直线.(X )(6)如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等.(X )屢如果两条直线a与b没有公共点，那么a与〃的位置关系是（）A.共面C.异面答案:D B.平行D.平行或异面@ 已知AB//PQ, BC//QR.若ZABC=30°,则ZPQR等于（）A. 30。
人教新课标A版高一数学《必修2》2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我
们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）. b b b O O a α a' a . α a
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上， 然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b
异面
课堂探究
探究点2 空间中直线的平行关系 思考：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
D'
C'
A' D A
B' C
B
课堂探究
探究点2 空间中直线的平行关系
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说空间中平行直线具有传递性，
课堂探究
探究点1 空间中两条直线的位置关系
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的画法: 想一想:怎样通过图形来表示异面直线?
为了表示异面直线m，l
不共面的特点，作图时，
通常用一个或两个平面
m
m
l
l
衬托.如右图:
知识识记
练习1 异面直线的定义的理解
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上不与线段的端点重合的点，那
例1的变式
A
E D
分析：需要证明四边形ABCD有
H G C
B
F
一组对边平行，但不相等.
课堂探究
探究点3 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立 呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角 的大小关系如何？
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课后导练
基础达标
1两条异面直线的公垂线指的是（）
A.和两条异面直线都垂直的直线
B.和两条异面直线都垂直相交的直线
C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段
D.和两条异面直线都垂直的所有直线
解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交.
答案：B
2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.可能是平行直线
D.可能是异面直线，也可能是相交直线
解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.
答案：D
3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.
答案：D
4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.
答案：D
5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
解析：长方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，与对角线AC
1
成异面直线的棱有：BB
1
；BC；A
1
B
1
；
A 1D
1
；DD
1
；DC.
答案：C
6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.
∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.
∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,
∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.
答案：C
7“a、b是异面直线”是指（）
① a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.
答案：C
8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q
分别是直线b、c上的一点.
求证：MN和PQ是异面直线.
证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,
∴a⊂α,又a∩b=O,
∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,
∴b⊂α,
∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.
所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.
综合应用
9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.
解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，
∴4×6=24对.
答案：24
10一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（）A.1 B.4 C.3 D.1或3或4
解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D.
答案：D
11已知:a、b是异面直线，a上有两点A、B，距离为8，b上有两点C、D，距离为6，BD、AC的中点分别为M、N，且MN=5，求证：a⊥b.
证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP. 在四边形ABCD 中，MP 是中位线，
∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,
∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.
∴MP ∥CD,NP ∥AB,
∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,
∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b.
拓展探究
12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC ∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：
（1）D 、B 、F 、E 四点共面；
（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线.
证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线，
∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD,
∴EF ∥BD,
∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面.
（2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α,
又设平面DBFE 为β.
∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.
又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.
同理，P 点也是α与β的公共点，
∴α∩β=PQ.又∵A 1C ∩β=R,。