2014-2015年辽宁省大连三中高一(上)数学期末试卷与答案

2014-2015学年辽宁省大连三中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若M={y|y=2x﹣1}，P={x|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}2．（5.00分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．[1，+∞）C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）3．（5.00分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β4．（5.00分）直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a﹣1）y+a2=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或15．（5.00分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．46．（5.00分）过点P（2，﹣1）作圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB，则弦长AB的最短时AB所在的直线方程方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=07．（5.00分）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于O．减去△AOB，将剩下部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为（）A．B．C．D．28．（5.00分）一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A．5 B．4 C．3 D．29．（5.00分）M（x 0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交10．（5.00分）在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A．B．C．D．11．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有（）A．PC1与AA1异面B．PC1与A1C垂直C．PC1与平面AB1D1相交D．PC1与平面AB1D1平行12．（5.00分）已知函数f（x）=（x∈R）时，则下列结论正确的是（）（1）∀x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立（2）∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根（3）∀x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）（4）∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在R上有三个零点．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程）13．（5.00分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）14．（5.00分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．（5.00分）已知两圆x2+y2=9和（x+4）2+（y+3）2=8，则它们的相交弦长为．16．（5.00分）在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）化简求值：（1）1.10+﹣0.5﹣2+lg25+2lg2（2）已知2x=72y=A，且+=2，求A的值．18．（12.00分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2）且圆心C在直线y=x上，又直线L：y=kx+2与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若∠POQ=120°，求直线L的方程．19．（12.00分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．20．（12.00分）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为4．（1）求圆的方程．（2）对于（1）中圆心在第一象限的圆C，从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．（12.00分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．（1）当棱锥A′PBCD的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：DE⊥平面A′BC．22．（12.00分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（2）已知P={a|函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数}；Q={a|函数g （x）是减函数}．求（P∩C R Q）∪（Q∩C R P）；（3）在（2）的条件下，比较f（2）与3﹣lg2的大小．2014-2015学年辽宁省大连三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）若M={y|y=2x﹣1}，P={x|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1}B．{y|y≥1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}【解答】解：由M中y=2x﹣1＞0，得到M={y|y＞0}，由P中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴P={x|x≥1}，则M∩P={y|y≥1}，故选：B．2．（5.00分）已知两点A（﹣1，2），B（2，1），直线l：3x﹣my﹣m=0与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．[1，+∞）C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：把A（﹣1，2）代入直线l：3x﹣my﹣m=0，得﹣3﹣2m﹣m=0，解得m=﹣1，∴=﹣3；把B（2，1）代入直线l：3x﹣my﹣m=0得3×2﹣m﹣m=0，解得m=3，∴=1．由题意可得：直线l的斜率的取值范围是k l≥1，或k l≤﹣3．故选：D．3．（5.00分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．4．（5.00分）直线l 1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a﹣1）y+a2=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或1【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得，即∴a=2，故选：B．5．（5.00分）函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：f（x）是[0，1]上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+log a2=a⇔log a2=﹣1，∴2=a﹣1⇔a=．故选：B．6．（5.00分）过点P（2，﹣1）作圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB，则弦长AB的最短时AB所在的直线方程方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：圆心坐标D（1，0），要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥AB时，满足条件，此时DP的斜率k==﹣1，则弦AB的斜率k=1，则此时对应的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故选：A．7．（5.00分）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于O．减去△AOB，将剩下部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：如图所示，折叠后的四面体．其中AO⊥底面OCD，OC⊥OD．∵边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于O．∴AO=OC=OD=2．∴以A（B），C，D，O为顶点的四面体的体积===．故选：A．8．（5.00分）一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12=×∴12，∴x=3，故选：C．9．（5.00分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选：C．10．（5.00分）在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意作出图形，如图所示；SO⊥底面BPM，过侧棱SB与高的平面ABCD截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S﹣BPM，截面图形为D选项．故选：D．11．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有（）A．PC1与AA1异面B．PC1与A1C垂直C．PC1与平面AB1D1相交D．PC1与平面AB1D1平行【解答】解：连接BC1和DC1∵根据长方体的性质可知BD∥B1D1，AB1DC1∴两个平面平行．而PC1在其中一个平面上，∴PC1∥面AB1D1故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=（x∈R）时，则下列结论正确的是（）（1）∀x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立（2）∃m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根（3）∀x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）（4）∃k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在R上有三个零点．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（2）（3）D．（1）（3）（4）【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：对于（1），由图可得：函数图象关于原点对称，函数为奇函数，∴∀x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故（1）正确；对于（2），∀m∈（0，1），|f（x）|=m时，|f（﹣x）|=m，∴方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；对于（3），函数在定义R为增函数，∴∀x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），故（3）正确；对于（4），当k∈（1，+∞），使得函数f（x）的图象与y=k仅交于原点，∴∀k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx在R上仅有一个零点．故（4）错误，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程）13．（5.00分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．14．（5.00分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为×2×2×2=4．消去的三棱锥的体积为××2×1×2=，∴几何体的体积V=4﹣=．故答案为：．15．（5.00分）已知两圆x2+y2=9和（x+4）2+（y+3）2=8，则它们的相交弦长为．【解答】解：由题意相交弦AB所在的直线方程为：[（x+4）2+（y+3）2﹣8]﹣[x2+y2﹣9]=0，即4x+3y+13=0，因为圆心（0，0）到直线4x+3y+13=0的距离为，所以|AB|=2=．故答案为：．16．（5.00分）在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为43π．【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE==4，DF=3，EF==，∴GF=，球半径DG==，∴外接球的表面积为4π×DG2=43π，故答案为：43π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）化简求值：（1）1.10+﹣0.5﹣2+lg25+2lg2（2）已知2x=72y=A，且+=2，求A的值．【解答】解：（1）1.10+﹣0.5﹣2+lg25+2lg2=1+8﹣4+2=7．（2）已知2x=72y=A，可得x=log2A，2y=log7A，且+=2，可得log A2+log A49=2，可得log A98=log A A2．解得A=7．18．（12.00分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2）且圆心C在直线y=x上，又直线L：y=kx+2与圆C相交于P、Q两点．（1）求圆C的方程；（2）若∠POQ=120°，求直线L的方程．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径r．因为圆经过A（﹣2，0），B（0，2）所以：|AC|=|BC|=r，解得a=0，r=2，所以C的方程x2+y2=4．（2）∵直线L：y=kx+2与圆C相交于P、Q两点，∠POQ=120°，∴圆心（0，0）到直线L：kx﹣y+2=0的距离d==，解得k=±1，∴直线L的方程为y=±x+2．19．（12.00分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，∴四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．20．（12.00分）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为4．（1）求圆的方程．（2）对于（1）中圆心在第一象限的圆C，从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【解答】解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆心（a，2a），∵圆的半径为，圆被直线x﹣y=0截得的弦长为4，∴由弦长公式求得弦心距d==，再由点到直线的距离公式得d==|a|=，解得a=±2，∴圆心坐标为（2，4），或（﹣2，﹣4），又半径为，∴所求的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10．（2）圆心在第一象限的圆C为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10，∵从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，∴切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2，∴|PO|2=|PC|2﹣|CM|2，∴（x1﹣2）2+（y1﹣4）2﹣10=x12+y12．∴2x1+4y1+5=0．∴动点P的轨迹是直线2x+4y+5=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x+4y+5=0的距离d==，∴由，得，故所求点P的坐标为P（﹣，﹣1）．21．（12.00分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．（1）当棱锥A′PBCD的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：DE⊥平面A′BC．【解答】解：（1）令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x．BP=2﹣x，因为A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，故A′P⊥平面PBCD，=Sh=（2﹣x）（2+x）x=（4x﹣x3），所以V A′﹣PBCD令f（x）=（4x﹣x3），由f′（x）=（4﹣3x2）=0得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以，当x=时，f（x）取得最大值，即：体积最大时，PA=．（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF∥BC，EF=BC，PD∥BC，PD=BC，所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．故DE⊥A′B，又因为点P为AB的中点，PD∥BC，可得D为AD中点，A′D=DC，又E为A′C的中点，可得：A′E=EC，所以：DE⊥A′C，由于A′B∩A′C=A′，可得DE⊥平面A′BC．22．（12.00分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；（2）已知P={a|函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数}；Q={a|函数g （x）是减函数}．求（P∩C R Q）∪（Q∩C R P）；（3）在（2）的条件下，比较f（2）与3﹣lg2的大小．【解答】解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（﹣x）=﹣g（x），h（﹣x）=h（x），∴f（﹣x）=﹣g（x）+h（x），∴g（x）=[f（x）﹣f（﹣x）]=[x2+（a+1）x+lg|a+2|﹣x2+（a+1）x﹣lg|a+2|]=（a+1）xh（x）=[f（x）+f（﹣x）]=[x2+（a+1）x+lg|a+2|+x2﹣（a+1）x+lg|a+2|]=x2+lg|a+2|；（II）∵函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|=（x+）2﹣+lg|a+2|在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，∴（a+1）2≥﹣，解得a≥﹣1或a≤﹣且a≠﹣2又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜﹣1且a≠﹣2∴命题P为真的条件是：P={a|a≥﹣1或a≤﹣且a≠﹣2}，Q={a|a＜﹣1且a ≠﹣2}．∴（P∩C R Q）∪（Q∩C R P）={a|a＞﹣}；（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，∵a＞﹣，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6，设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+＞0．∴函数v（a）在区间[﹣，+∞）上为增函数．又∵v（﹣）=3﹣lg2，∴当a＞﹣时，v（a）＞v（﹣），即f（2）＞3﹣lg2。