高中数学问题的设计与解决——《基本不等式及其应用》的教学实践
高一数学上册《基本不等式及其应用》优秀教学案例
本案例强调学习过程中的反思与评价，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生总结经验、改进学习方法。同时，学生通过自我反思，能够更加清晰地认识到自己的优点和不足，从而在今后的学习中更有针对性地进行提高。
5. 注重学生个体差异，实施差异化教学
在教学过程中，教师关注学生的个体差异，针对不同学生的特点，给予个性化的指导。这种差异化教学策略有助于提高每个学生的潜能，使他们在原有基础上得到最大程度的发展。同时，教师鼓励学生提问、发表见解，充分调动他们的学习积极性，提高教学质量。
2. 运用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，学会用数学语言表达和解决问题。
3. 设计多样化的练习题，帮助学生巩固基本不等式的知识，提高解题技能。
4. 引导学生总结解题思路，培养他们举一反三、触类旁通的能力。
（三）情感态度与价值观
1. 激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、克服困难的品质。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，使他们认识到数学在生活中的重要性。
3. 通过基本不等式的学习，让学生体会到数学的简洁、优美，增强他们对数学美的鉴赏能力。
4. 培养学生的批判性思维，使他们敢于对问题提出自己的见解，形成独立思考的习惯。
5. 引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习不仅仅是为了考试，更是为了培养自己的逻辑思维和解决问题的能力，为未来的发展奠定基础。
3. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）总结归纳
1. 教师引导学生回顾本节课所学的基本不等式的定义、性质和应用。
2. 总结基本不等式的解题思路和方法，强调关键步骤。
3. 提醒学生注意基本不等式的使用条件，避免滥用。
（五）作业小结
《基本不等式》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
人教B版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《基本不等式2a b ab +≤（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．【教学重点】2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 a bab +≤等号成立条件 1．课题导入 2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活．◆ 教学过程◆ 教学重难点◆◆ 教学目标◆ 教材分析2．讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=．2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义 探究：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ，BC =b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab ． 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1．如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力．[补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证： （1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．解：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2．（2）x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233yx＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 【设计意图】例题讲解，学以致用． 3．随堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证 （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果．解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ． 【设计意图】讲练结合，熟悉新知． 4．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．《基本不等式2a bab +≤（第2课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤的应用 教学难点a bab +≤求最大值、最小值． 1．课题导入◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标◆ 教材分析1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．【设计意图】复习引入． 2．讲授新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m ．由2x yxy +≥ 可得 2100x y +≥ 2()40x y +≥．等号当且仅当x =y 时成立，此时x =y =10． 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m ． （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2解法二：设矩形菜园的长为x m ．，宽为y m ，则2（x +y ）=36， x +y =18，矩形菜园的面积为xy m 2．由18922x y+≤==，可得81xy≤当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立．2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得)1600(720240000xxl++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx==因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案．【设计意图】 讲解例题，熟悉方法． 3．随堂练习1．已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 2．课本练习．【设计意图】讲练结合，巩固新知． 4．课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题．在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过两个例题的研究，2a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．《基本不等式2a b +≤（第3课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值．1．课题导入1．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 22a bab +≤求最大（小）值的步骤． 【设计意图】复习引入． 2．讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m >0，求证24624m m+≥． [思维切入]因为m >0，所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ， 直接利用基本不等式．◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标[证明]因为 m >0，，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号． 规律技巧总结 注意：m >0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件． 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式．3．随堂练习1[思维拓展1] 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+．例2 求证：473a a +≥-． [思维切入] 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a ，而左边44(3)333a a a a +=+-+--．这样变形后，在用基本不等式即可得证．[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a -3即a =5时，等号成立． 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．2）利用不等式求最值例3 （1） 若x >0，求9()4f x x x =+的最小值； （2）若x <0，求9()4f x x x =+的最大值．[思维切入]本题（1）x >0和94x x⨯=36两个前提条件；（2）中x <0，可以用-x >0来转化．解（1）因为 x >0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==，当且仅当94x x =即x =32时， 9()4f x x x=+取最小值12． （2）因为 x <0， 所以 -x >0， 由基本不等式得：99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==， 所以 ()12f x ≤． 当且仅当94x x -=-即x =-32时， 9()4f x x x =+取得最大-12．规律技巧总结 利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正． 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-（x >5）的最小值．[思维拓展2] 若x >0，y >0，且281x y+=，求xy 的最小值． 【设计意图】讲练结合，巩固新知．4．课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值． 【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力．5．评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力．本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果．其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣．。
不等式的基本性质及其应用教案设计
不等式是数学中重要的概念之一，主要用于描述两个或多个数之间的大小关系。
在数学中，不等式有着非常重要的应用，从中学到大学，不等式都是数学教育中必须要学习的一部分。
在本文中，我们将介绍不等式的基本性质及其应用教案设计，旨在帮助初学者更好地理解和掌握不等式。
不等式的基本概念不等式是数学中重要的概念之一，用来描述两个或多个数的大小关系。
通常用符号≤或≥来表示大小关系，例如：a≤b，表示a小于或等于b，a≥b，表示a大于或等于b。
不等式有许多种形式，例如一元不等式、二元不等式、绝对值不等式等等。
下面我们将对一元不等式进行介绍。
一元不等式：指只涉及一个未知数的不等式，其中未知数通常用x表示。
例如：x>3，x≤4.基本性质不等式有以下的性质：1.传递性：如果a≤b，b≤c，则有a≤c。
如果a≥b，b≥c，则有a≥c。
2.对称性：如果a≤b，则b≥a。
如果a≥b，则b≤a。
3.加减法原则：如果a≤b，c是任意实数，则a+c≤b+c、a-c≤b-c。
如果a≥b，c是任意实数，则a+c≥b+c、a-c≥b-c。
4.乘法原则：如果a≤b，且c＞0，则ac≤bc；如果a≥b，且c＜0，则ac≤bc。
5.反证法：假设a>b，但是a≤b，这个假设就是错误的。
不等式的应用不等式在高中数学中有多种应用，例如求解负数幂函数、代数式中的绝对值和最值问题等等。
下面我们来介绍一些典型的不等式应用。
1.求解不等式使用不等式求解问题是初学不等式的基础问题。
例如：求解不等式2x-5≤7，先将不等式转化为等价不等式，2x≤12，x≤6。
所以x的解集为{x| x≤6 }。
2.证明不等式使用不等式证明问题是在高中数学中经常出现的问题，例如证明a²+b²≥2ab。
方法是将不等式化为一个标准形式，即(a-b)²≥0，然后利用不等式的性质进行证明。
3.最值问题最值问题在高中数学中也有广泛的应用，例如求解最大值、最小值等。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．若，则．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；（2）若，则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.求的值域．变式1.若，求的最小值．在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）：1.已知，且，求的最小值．2.设，且，求的最小值．5．归纳小结，反思提高基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为，几何平均数记为利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面在曲面的上方6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．《基本不等式》教学设计说明一、内容和内容解析本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式教案
基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。
设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。
2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。
高中数学_不等式及其性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.1不等式及其性质(2)教案一、教学目标：1、知识与技能：掌握不等式的基本性质。
并能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式。
2、过程与方法：通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与等培养学生严谨的思维习惯、主动积极地学习品质，提高学生的学习能力。
3、情感、态度与价值观：通过参与活动，参与学习，感受数学的应用性，体会数学推理的严谨美。
二、教学重点：不等式的性质三、教学难点：不等式性质的证明。
四：教学方法：本节通过类比、启发、探究相结合的方法组织教学，按照由易到难，通过问题引导学生明确不等式各个性质的应用范围及会用不等式的性质证明简单的不等式。
五、教学过程：首先由教师讲故事引入课题，故事内容如下：两个小男孩，一个5岁，一个7岁，在一起玩游戏，突然小弟弟对哥哥说：“哥哥，三年后我就比你大了，我就是哥哥了。
”哥哥想了想说：“不是的，我永远是你的哥哥。
”然后教师提出问题，同学们，你们知道故事中隐含着什么数学问题吗？好我们带着这个问题进入本节课的学习。
（一）温故知新：⑴⇔>b a ⇔<b a ⇔=b a ⑵比较两个实数大小的方法是什么？步骤是什么？（3）若p ⇒q ，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件 活动：学生口答，教师板书。
设计意图：复习巩固上节知识，为不等式性质的证明做好铺垫。
学生口答，师生共同完成。
以旧引新，自然过渡。
（二）、自主探究：自学课本p64页回答以下问题，总结性质1、2、3及推论：（1）a>b 与b<a 是否等价？（2）若a>b ，b>c 则a>c 是否成立？（3）若a>b ，那么a+c>b+c 是否成立？若a+c>b+c ，那么a>b 呢？（4）若a>b ，c>d ，那么a+c>b+d 一定成立吗？反之呢？若不成立，请举一反例。
（5）若a>b ，c>d ，那么a -c>b -d 成立吗？试举例说明。
《基本不等式及其应用》教学设计
《基本不等式及其应用》教学设计（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如语文资料、数学资料、英语资料、幼儿资料、教案大全、案例分析、教学反思、教育笔记、说课稿、其他资料等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides various types of classic sample essays, such as Chinese materials, mathematics materials, English materials, children’s materials, lesson plans, case analysis, teaching reflection, education notes, lecture notes, other materials, etc. if you want to know the difference Please pay attention to the format and writing of the sample essay!《基本不等式及其应用》教学设计《基本不等式及其应用》教学设计一、教学内容分析本节课基于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必要的。
高中高一数学上册《不等式》教案、教学设计
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
-基础题：求解一元一次不等式；
-提高题：求解一元二次不等式；
-拓展题：求解不等式组及实际问题。
3.教师巡回指导：在学生做题过程中，教师进行巡回指导，解答学生疑问，及时发现问题并进行纠正。
（五）总结归纳
1.学生总结：让学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结不等式的概念、性质、解法及实际应用。
（二）讲授新知
1.不等式的概念：介绍不等式的定义，强调不等式与等式的区别，让学生理解不等式的意义。
2.不等式的性质：详细讲解不等式的性质，如同向可加性、反向可减性等，并通过实例进行说明。
3.不等式的解法：以一元一次不等式为例，讲解求解不等式的基本步骤，引导学生掌握解题方法。
4.不等式在实际问题中的应用：结合购物优惠券问题，讲解如何将实际问题转化为不等式模型，并求解。
8.适时进行课堂小结，巩固所学知识，查漏补缺。
-通过提问、讨论等方式，帮助学生梳理知识体系，形成系统化认识。
9.注重课后辅导，针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和帮助。
-定期检查作业，了解学生学习情况，及时解答学生疑问，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以同学们熟悉的购物优惠券问题作为切入点，提出问题：“同学们在购物时，如何利用优惠券使得自己的购物更加划算？”通过这个实例，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题。
2.一元一次不等式、一元二次不等式及不等式组的解法。
3.不等式在实际问题中的应用。
4.不等式的证明方法及逻辑推理能力的培养。
（二）教学难点
1.学生对不等式性质的灵活运用。
高中数学不等式及应用教案
高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。
一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。
二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。
2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。
2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。
2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。
五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。
布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。
本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。
通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。
高中高一数学上册《基本不等式及其应用》优秀教学案例
在教学过程中，教师应以身作则，关心学生，关注他们的情感态度和价值观的培养，使学生在学习数学的过程中，形成正确的价值观和积极的态度。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握基本不等式及其应用，教师应精心创设教学情境，将抽象的数学概念具体化、生活化。可以通过以下方式实施：
3.小组合作学习，提高学生的团队协作能力
本案例注重小组合作学习，让学生在合作中共同解决问题。这种教学方式有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力，使他们学会倾听、表达、交流、分享，提高解决问题的效率。
4.反思与评价相结合，提升学生的自我监控能力
在教学过程中，教师引导学生进行自我反思和同伴评价，培养他们的批判性思维和自我监控能力。通过反思与评价，学生能够更好地总结经验，发现不足，从而在今后的学习中取得更好的成绩。
2.能够运用基本不等式分析实际问题，建立不等式关系，从而解决具体问题。
3.学会运用基本不等式对数学表达式进行简化、变形，提高代数运算能力。
4.能够运用基本不等式分析函数的性质，解决函数相关的问题。
在教学过程中，教师应关注学生对基本不等式的理解和运用，通过典型例题、练习题和拓展题，帮助学生巩固知识，提高解题技能。
1.教师首先给出基本不等式的定义，如算术平均数大于等于几何平均数等。
2.接着，教师通过具体实例，讲解基本不等式的性质，如对称性、可加性等。
3.教师引导学生掌握基本不等式的证明方法，如比较法、综合法等。
4.教师通过典型例题，讲解基本不等式的应用，让学生感受基本不等式的价值。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，教师将设计具有挑战性的问题，引导学生进行合作探究。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
高中数学《基本不等式》的教学设计与实践
高中数学《基本不等式》的教学设计与实践内容摘要：本人根据新课标要求，培养学生的数学六大核心素养，以些为设计主线，从内容分析、目标分析、学情分析、策略分析、过程分析以及评价分析六个方面谈谈我对本节课的设计的反思。
关键词：新课标能力培养教学策略教学过程《基本不等式》是高中数学的重点内容，许多教师在设计、组织本节教学时常以常规模型开展教学，本人在收集并研究其他课例的基础上，从不同角度设计本节课的教学过程，下面是本人的实践过程一、分析内容。
从整体上看，相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是建立方程不等式的基础。
本节课是一类基本不等式，这类基本不等式是学习不等式的基本性质的基础。
它是解决其它不等式问题的重要方法。
这种基本功能主要体现在三个方面：第一，从数和运算的角度进行分析。
不等式涉及代数的基本量与基本运算，从几何学的角度可由图形性质直观地理解。
其次，可从多角度证明基本不等式。
基本不等式的代数结构是数学模型思想的范例。
二、教学目标，重点，难点。
教学目标目标是：能够抽象描述基本不等式，利用不等式性质证明基本不等式，通过几何直观和合探究说明基本不等式的几何解释。
能用基本不等式求解简单极小值问题。
在此基础上，教学重点是：基本不等式的定义证明，几何解释，以及用基本不等式解决简单最值问题。
难点是基本不等式几何解释和基本不等式求解简单最值问题。
三、学情探析首先，从学生所掌握的知识上看，学生在前几节课里已经学会了不等式的基本性质，可以用坐差法证明不等式，但由于缺乏代数证明的经验，学生很难正确地运用不等式的性质，对不等式进行等价变形。
需要老师的引导和示范。
其次，基本不等式的几何解释对学生来说也不容易理解，需要数形结合才能理解。
最后，用基本不等式解决两类最值问题时，需要理解和识别数量关系，这与学生熟悉的方程模型、刻画问题等量关系不同。
四、教学策略在教学过程中，基本不等式的获得、证明和简单应用作为明线，数学思维方法渗透和体验作为暗线，按照观察、抽象、归纳、探究、应用的方法进行教学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弋龟墅
高中数学问题的设计与解决
一基本不等式及其应用》的教学实践
口陆晨
（华东师范大学数学系，上海２０００６２）
数学教学无论是以何种教学方式进行，都是在不断提出问题、分析问题、解决问题的过程中展开的，可以说问题是数学教学的核心。
一个“好”的问题设计有利于更好地为学生的探究学习创设和谐的气氛和情境，有利于促进学生的主动学习与思维发展。
此外，课堂教学目标的实现与教学效率的高低在很大程度上也取决于问题设计，衡量教师教学水平和业务能力的标志之一便是教学过程中的问题设计能力。
以下笔者基于《基本不等式及其应用》的教学实践谈谈自己的认识和思考。
在《基本不等式及其应用》教学实践中，为了更好地激发学生的学习兴趣、达成教学目标，笔者在新课引入和新知学习两个阶段设计了５个问题。
一、新课引入阶段
为了激发学生的学习兴趣，同时也为了让同学们认识到日常生活中处处有数学。
笔者利用２００２年国际数学大会的会标（如图１）进行导入新课的设计。
【问题设计１】正方形的面积与４
个直角三角形的面积和之间有什么样
的数量关系？如何证明？
图１设计说明：学生在尝试归纳、证明数量关系的同时，教师引导学生不断修正归纳出的数量关系。
同时用几何画板演示以帮助学生理解数量关系中等号成立的条件。
二、新知学习阶段
为了让学生更好地理解和掌握基本不等式的内涵，笔者设计了一组问题，引导学生进行探索讨Ｉ。
２…０１０／。
１２见论、归纳总结，进而逐步明晰基本不等武的内涵。
【问题设计２】改变数量关系中字母的范围，数量关系还成立吗？
设计说明：引导学生对基本不等式的适用范围进行探索。
在完成探索后，让学生尝试归纳和概括基本不等式。
（基本不等式１．对于任意实数口和ｂ，有ａ２＋ｂ２＞，２ａｂ，当且仅当ａ＝ｂ时等号成立）
【问题设计３】如果ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ，用、／百和、／Ｆ分别代替“基本不等式１”中的字母和，你又能得到怎样的结论。
设计说明：基本不等式的内涵之一就是字母ａ和ｂ的“指代”，这是今后学习和应用基本不等式的难点之一。
问题设计的目的是让学生理解两个基本不等武之间联系的同时，初步了解这种“指代”的含义。
（基本不等式２：对于任意正数ｎ，ｂ，７．肾。
ａ＋。
ｂ≥
二河，当且仅当ａ＝ｂ时等号成立）
【问题设计４】若口，ｂ为大于等于零的数，上述不等式还成立吗？若８，ｂ为任意实数，上述不等式还成立吗？
设计说明：“基本不等式２”成立的条件是非常重要的，通过问题设计让学生关注这个要点，并且领悟强调口，ｂ都为正数的原因。
【问题设计
５】你能在图中
（如图２）找到
何和旦争
／‘港坛Ａ厂＼、＼
Ａｃ苗２Ｄ
曰万方数据
万方数据
高中数学问题的设计与解决——《基本不等式及其应用》的教学实践
作者：陆晨
作者单位：华东师范大学数学系,上海,200062
刊名：
教学月刊（中学版）
英文刊名：THE TEACHING OF POLITICS
年，卷(期)：2010(24)
本文链接：/Periodical_zzkjx201024013.aspx。