2010年高考文科数学试题(全国卷2)
全国II高考数学文科试卷带答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9） 1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈+时，()0,()f x f x '<在(2单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2010?全国新课标）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A ∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）（2010?全国新课标）平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．3．（5分）（2010?全国新课标）已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．24．（5分）（2010?全国新课标）曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣x+1C．y＝2x﹣2D．y＝﹣2x+25．（5分）（2010?全国新课标）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2010?全国新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2010?全国新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa28．（5分）（2010?全国新课标）如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．（5分）（2010?全国新课标）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．（5分）（2010?全国新课标）若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）A．B．C．D．11．（5分）（2010?全国新课标）已知?ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在?ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）12．（5分）（2010?全国新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2010?全国新课标）圆心在原点上与直线x+y﹣2＝0相切的圆的方程为．14．（5分）（2010?全国新课标）设函数y＝f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y＝f（x）及直线x＝0，x ＝1，y＝0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i＝1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为．15．（5分）（2010?全国新课标）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．16．（5分）（2010?全国新课标）在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°．若AC＝AB，则BD＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2010?全国新课标）设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．18．（10分）（2010?全国新课标）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（10分）（2010?全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828附：K2＝．20．（10分）（2010?全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．21．（2010?全国新课标）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a＝，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）（2010?全国新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE＝∠BCD．（Ⅱ）BC2＝BE?CD．23．（10分）（2010?全国新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）（2010?全国新课标）设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．。
2010年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}R x x x A ∈≤=,2，{}Z x x xB ∈≤=,4，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ） {}2,0 （D ）{}2,1,0（2）a ，b 为平面向量，已知a =(4,3)，2a +b =(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- （3）已知复数z =，则||z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（A（B（C（D（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为A B CD(7) 设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）23aπ（B ）26aπ（C ）212aπ（D ）224aπ（8）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65 （D ）56(9)设偶函数()f x 满足)0(42)(>-=x x f x ，则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 （10）若4sin 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+=（A ）-（B（C ）（D（11）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩… 若a ，b ，c 均不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{|4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【考点】1E ：交集及其运算 【专题】11：计算题【分析】由题意可得{|22}A x x =-剟，{0B =，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求 【解答】解：{|||2}{|22}A x x x x ==-剟?{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A ，B ，属于基础试题2．（5分）平面向量,a b ，已知(4,3)a =，2(3,18)a b +=，则,a b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．865-C ．1665D ．1665-【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角【分析】先设出b 的坐标，根据(4,3)a =，2(3,18)a b +=，求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦 【解答】解：设(,)b x y =， (4,3)a =，2(3,18)a b +=，∴(5,12)b =-2036cos 513θ-+∴=⨯1665=，【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z =，则||(z = )A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】5A ：复数的运算 【专题】11：计算题【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得4iZ =+，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得13213iZ i+===-+1(3)(13)12323224(13)(13)i i i ii i +--=-=-=-++-，故1||2z =， 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】1：常规题型；11：计算题【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点(1,0)在曲线上321y x x =-+，232y x '=-，所以1|1x k y -='=，得切线的斜率为1，所以1k =； 所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为： 01(1)y x -=⨯-，即1y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A BC D 【考点】KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】先求渐近线斜率，再用222c a b =+求离心率． 【解答】解：渐近线的方程是by x a =±，24ba∴=，12b a =，2a b =，c =，c e a ==． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d ，于是可以排除答案A ，D ， 再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R 满足22(2)6R a =，代入球的表面积公式，24S R π=球，即可得到答案． 【解答】解：根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2246S R a ππ==球． 故选：B ．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入5N =，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56【考点】EF ：程序框图 【专题】28：操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：D ．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，则{|(2)0}(x f x ->= ) A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x >【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】11：计算题【分析】由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-， 则|2|(2)(|2|)24x f x f x --=-=-，要使(|2|)0f x ->，只需|2|240x -->，|2|2x -> 解得4x >，或0x <． 应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 10．（5分）若cos 45α=-，α是第三象限的角，则sin()(4πα+= )A ．BC ．D 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；GP ：两角和与差的三角函数 【专题】11：计算题【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin α的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：α是第三象限的角3sin 5α∴==-，所以324s i()445ππααα+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( ) A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-【考点】7C ：简单线性规划 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D 的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒-， 由25z x y =-得255z y x =-，平移直线当直线经过点(3,4)B 时，5z-最大， 即z 取最小为14-；当直线经过点(0,4)D -时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-． 如图：故选B ．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；3B ：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H ：对数的运算性质；4N ：对数函数的图象与性质 【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合【分析】画出函数的图象，根据f （a ）f =（b ）f =（c ），不妨a b c <<，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象如图， 不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<则(10,12)abc c =∈． 故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 222x y += ． 【考点】1J ：圆的标准方程；9J ：直线与圆的位置关系【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r =，所求圆的方程为222x y +=．故答案为：222x y +=【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数()y f x =为区间(0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x 剟，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个），区间(0，1]上的均匀随机数1x ，2x ，⋯，n x 和1y ，2y ，⋯，n y ，由此得到N 个点(x ，)(1y i -，2⋯，)N ．再数出其中满足1()(1y f x i =…，2⋯，)N 的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为1N N． 【考点】CE ：模拟方法估计概率；CF ：几何概型【分析】由题意知本题是求10()f x dx ⎰，而它的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，积分得到结果． 【解答】解：1()f x dx ⎰的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，∴根据几何概型易知110()N f x dx N≈⎰．故答案为：1N N． 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】7L ：简单空间图形的三视图 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项． 【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形； 故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=︒．若AC ，则BD = 2【考点】HR ：余弦定理【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB ，AC ，把已知条件代入整理，根据3BC BD =推断出2C D B D =，进而整理2222AC CD CD =+- 得22424AC BD BD =+-把AC ，代入整理，最后联立方程消去AB 求得BD 的方程求得BD ．【解答】用余弦定理求得2222cos135AB BD AD AD BD =+-︒ 2222cos45AC CD AD AD CD =+-︒即2222AB BD BD =++①2222AC CD CD =+-② 又3BC BD = 所以2CD BD =所以 由（2）得22424AC BD BD =+-（3）因为 A C A B所以 由（3）得222424AB BD BD =+- （4） （4）2-（1） 2410BD BD --=求得2BD =故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和【分析】（1）设出首项和公差，根据35a =，109a =-，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{}n a 的前n 项和，整理成关于n 的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由1(1)n a a n d =+-及35a =，109a =-得 199a d +=-，125a d +=解得2d =-，19a =，数列{}n a 的通项公式为112n a n =- （2）由（1）知21(1)102n n n S na d n n -=+=-． 因为2(5)25n S n =--+． 所以5n =时，n S 取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若AB 60APB ADB ∠=∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY ：平面与平面垂直 【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想【分析】（Ⅰ）要证平面PAC ⊥平面PBD ，只需证明平面PAC 内的直线AC ，垂直平面PBD 内的两条相交直线PH ，BD 即可．（Ⅱ）AB 60APB ADB ∠=∠=︒，计算等腰梯形ABCD 的面积，PH 是棱锥的高，然后求四棱锥P ABCD -的体积． 【解答】解：（1）因为PH 是四棱锥P ABCD -的高．所以AC PH ⊥，又AC BD ⊥，PH ，BD 都在平PHD 内，且PH BD H =．所以AC ⊥平面PBD ．故平面PAC ⊥平面PBD （6分）（2）因为ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，AB =所以HA HB = 因为60APB ADB ∠=∠=︒所以PA PB ==1HD HC ==．可得PH =．等腰梯形ABCD 的面积为122S ACxBD ==+9分）所以四棱锥的体积为1(23V=⨯+．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【考点】BL：独立性检验【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求2K的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=（2）2K的观测值2500(4027030160)9.96720030070430k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为9.967 6.635>，且2( 6.635)0.01P K=…，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E相交于A 、B 两点，且2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列． （Ⅰ）求||AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题【分析】（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++=，再由2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列，能够求出||AB 的值．（2）L 的方程式为y x c =+，其中c ，设1(A x ，1)y ，1(B x ，1)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x cy x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b 的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++= 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =（2）L 的方程式为y x c =+，其中c =设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩．，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．则2121222212,11c b x x x x b b --+==++． 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-即214|3x x =-． 则224212122222284(1)4(12)8()49(1)1(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得b ． 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数2()(1)x f x x e ax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x …时()0f x …，求a 的取值范围． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】()I 求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；()()(1)x II f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，分类讨论，确定()g x 的正负，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：1()2I a =时，21()(1)2x f x x e x =--，()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+ 令()0f x '>，可得1x <-或0x >；令()0f x '<，可得10x -<<；∴函数的单调增区间是(,1)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为(1,0)-；()()(1)x II f x x e ax =--．令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-．若1a …，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 而(0)0g =，从而当0x …时()0g x …，即()0f x …． 若1a >，则当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 而(0)0g =，从而当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <． 综合得a 的取值范围为(-∞，1]． 另解：当0x =时，()0f x =成立；当0x >，可得10xe ax --…，即有1x e a x-…的最小值，由1x y e x =--的导数为1x y e '=-，当0x >时，函数y 递增；0x <时，函数递减， 可得函数y 取得最小值0，即10x e x --…，0x >时，可得11x e x-…， 则1a …．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE BCD ∠=∠． （Ⅱ）2BC BE CD =．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明；NB ：弦切角 【专题】14：证明题【分析】()I 先根据题中条件：“AC BD =”，得BCD ABC ∠=∠．再根据EC 是圆的切线，得到ACE ABC ∠=∠，从而即可得出结论． ()II 欲证2BC BE = x CD ．即证BC CDBE BC=．故只须证明~BDC ECB ∆∆即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为AC BD =， 所以BCD ABC ∠=∠． 又因为EC 与圆相切于点C ， 故ACE ABC ∠=∠所以ACE BCD ∠=∠．（5分）（Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠， 所以~BDC ECB ∆∆， 故BC CDBE BC=． 即2BC BE CD =⨯．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线11cos (sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），2cos (sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），（Ⅰ）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】3J ：轨迹方程；JE ：直线和圆的方程的应用；4Q ：简单曲线的极坐标方程；QJ ：直线的参数方程；QK ：圆的参数方程 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 先消去参数将曲线1C 与2C 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，()II 设(,)P x y ，利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得1C 与2C 的交点为(1，10)(,2．（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=①． 则OA 的方程为cos sin 0x y αα+=②， 联立①②可得2sin x α=，cos sin y αα=-；A 点坐标为2(sin α，cos sin )αα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21212x sin y sin cos αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程2211()416x y -+=．故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数()|24|1f x x =-+． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图象：（Ⅱ）若不等式()f x ax …的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；7E ：其他不等式的解法；5R ：绝对值不等式的解法【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】()I 先讨论x 的范围，将函数()f x 写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；()II 根据函数()y f x =与函数y ax =的图象可知先寻找满足()f x ax …的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…，函数()y f x =的图象如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，极小值在点(2,1) 当且仅当2a <-或12a …时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点．故不等式()f x ax …的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[2-∞-，)+∞．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年全国高考文科数学试题及答案-新课标
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式： 样本数据12,n x x x 的标准差 锥体体积公式s ==13V s h 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| （2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-（3）已知复数z =，则i = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B（C（D （6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <->或 （10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）（B（C） （D（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为-----------.（14）设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -.再数出其中满足1()(1,2.....)y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱(16)在ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,AD =,135ADB ο∠=.若AC =,则BD=_____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值. （18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高.{}n a（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（Ⅱ）若AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. （19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由. 附：P(K ≧≧k)k0.0503.841 0.0106.625 0.00110.828K 2=n (ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（20）（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列. （Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值.（21）本小题满分12分）设函数()()21x x f x e ax =--（Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠. （Ⅱ）2BC =BE x CD.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ：{ {t 为参数}.图2C ：{ {θ为参数} （Ⅰ）当a=3π时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当a 变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()x ⎰=24x - + 1. （Ⅰ）画出函数y=()x ⎰的图像：（Ⅱ）若不等式()x ⎰≤ax 的解集非空，求n 的取值范围X=1+tcosa y=tsina X=cos θ y=sin θ2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分. （13）x 2+y 2=2 (14)1N N(15)①②③⑤三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a w =-9得112599{a d a d +=+=-解得192{a d ==-数列{a m }的通项公式为a n =11-2n. ……..6分(2)由(1) 知S m =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2.因为S m =-(n-5)2+25.所以n=5时，S m 取得最大值. ……12分 (18)解：(1)因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高.所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平PHD 内,且PH BD=H.所以AC ⊥平面PBD.故平面PAC 平面PBD 、 ……..6分 (2)因为ABCD 为等腰梯形，AB CD,AC ⊥所以因为∠APB=∠ADR=600所以可得等腰梯形ABCD 的面积为S=12……..9分 所以四棱锥的体积为V=13x （……..12分 （19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=、 ……4分 (2) 22500(4027030160)9.96720030070430k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关、 ……8分（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好、 ……12分（20）解：（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB|+|B |=4 又2AB =AF F AB 224||||+|B |,||=3得 （2）L 的方程式为y=x+c,其中c = 设1111(),B()A x x ，y ，y ,则A ，B 两点坐标满足方程组 222y=x+cx 1y b+={化简得222(1)2120.b x cx b +++-=则2121222212,.11c b x x x x b b --+==++因为直线AB 的斜率为1，所以21x x |AB|=-|即2143x x =-| . 则22421212222284(1)4(12)8()49(1)11b b b x x x x b b b --=+-=-=+++解得 2b =、（21）解： （Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，'()1(1)(1)x x xf x e xe x e x =-+-=-+.当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少.（Ⅱ）()(1)a f x x x ax =--.令()1a g x x ax =--，则'()xg x e a =-.若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞（22）解: （Ⅰ）因为AC BD =, 所以BCD ABC ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠所以ACE BCD ∠=∠、 ……5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠,EBC BCD ∠=∠,所以BDCECB ,故BC CDBE BC=. 即 2B C B EC D =⨯、 ……10分（23）解： （I ）当3πα=时，C 1的普通方程为1)y x -，C 2的普通方程为221x y +=.联立方程组{221),1,y x x x y -=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），1(,2 （II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a==-⎧⎨⎩ （a 为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆（24）解：（Ⅰ）由于()x f ={25,23, 2.x x x x -+<2.-≥则函数()x y f =的图像如图所示.……5分（Ⅱ）由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-时，函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点.故不等式()x f ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. ……10分。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅱ)解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集{|6}U x N x +=∈<，集合{1A =，3}，{3B =，5}，则()(U A B =ð )A ．{1，4}B ．{1，5}C ．{2，4}D ．{2，5}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题【分析】由全集{|6}U x N x +=∈<，可得{1U =，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【解答】解：{1A =，3}，{3B =，5}，{1AB ∴=，3，5}，{|6}{1U x N x +=∈<=，2，3，4，5}， (){2U AB ∴=ð，4}，故选：C ．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算． 2．（5分）不等式302x x -<+的解集为( ) A ．{|23}x x -<< B ．{|2}x x <- C ．{|2x x <-或3}x > D ．{|3}x x >【考点】73：一元二次不等式及其应用 【专题】11：计算题【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x 的值即可得到解集． 【解答】解：302x x -<+，得到(3)(2)0x x -+< 即30x ->且20x +<解得：3x >且2x <-所以无解； 或30x -<且20x +>，解得23x -<<， 所以不等式的解集为23x -<< 故选：A ．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题． 3．（5分）已知2sin 3α=，则cos(2)(πα-= )A ．B ．19-C ．19D 【考点】GO ：运用诱导公式化简求值；GS ：二倍角的三角函数 【专题】11：计算题【分析】先根据诱导公式求得cos(2)cos2a a π-=-进而根据二倍角公式把sin α的值代入即可求得答案． 【解答】解：2sin 3a =， 21cos(2)cos2(12sin )9a a a π∴-=-=--=-．故选：B ．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆． 4．（5分）函数1(1)(1)2ln x y x +-=>的反函数是( ) A ．211(0)x y e x -=-> B ．211(0)x y e x -=+>C ．211()x y e x R -=-∈D ．211()x y e x R -=+∈【考点】4H ：对数的运算性质；4R ：反函数 【专题】11：计算题；16：压轴题 【分析】从条件中1(1)(1)2ln x y x +-=>中反解出x ，再将x ，y 互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数． 【解答】解：由原函数解得x e=211y -+，1()f x e -∴=211x -+，又1x >，10x ∴->；(1)ln x R ∴-∈∴在反函数中x R ∈，故选：D ．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式()y f x =反求出()x y =Φ；（2）交换()x y =Φ中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）若变量x ，y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】7C ：简单线性规划 【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时，从而得到m 值即可． 【解答】解：作出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x =与325x y +=的交点为最优解点，∴即为(1,1)B ，当1x =，1y =时3max z =．故选：C ．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 6．（5分）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127(a a a ++⋯+= ) A ．14B ．21C ．28D ．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和 【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：3454312a a a a ++==，44a =， 1712747()7282a a a a a a +∴++⋯+=== 故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）若曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( ) A ．1a =，2b =B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =-D ．1a =-，2b =-【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用【分析】由2y x ax b =++，知2y x a '=+，再由曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为10x y -+=，求出a 和b ． 【解答】解：2y x ax b =++，2y x a ∴'=+， 1|2x y a ='=+，∴曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为(2)(1)y b a x -=+-，曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程为10x y -+=， 1a ∴=-，2b =．故选：B ．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答． 8．（5分）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3SA =，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A B C D ．34【考点】MI ：直线与平面所成的角 【专题】11：计算题【分析】由图，过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连接SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，由题设条件证出ABF ∠即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连接SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ， 正三角形ABC ，E ∴为BC 中点，BC AE ⊥，SA BC ⊥， BC ∴⊥面SAE ，BC AF ∴⊥，AF SE ⊥，AF ∴⊥面SBC ，ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长2，AE ∴，3AS =，SE ∴=32AF =， 3sin 4ABF ∴∠=． 故选：D ．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【考点】9D ：排列、组合及简单计数问题 【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C ，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从3个信封中选一个放1，2，有133C =种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有222422226C C A A =种放法， ∴共有36118⨯⨯=．故选：B ．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若C B a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +【考点】9B ：向量加减混合运算【分析】由ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理，我们易得到12BD BC AD AC ==，我们将CD CA AD =+后，将各向量用a ，b 表示，即可得到答案．【解答】解：CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-， ∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+ 故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD 为三角形ABC 的内角A 的角平分线，则::AB AC BD CD =11．（5分）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点()A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】16：压轴题【分析】由于点D 、1B 显然满足要求，猜想1B D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D -上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接1B D ，并在1B D 上任取一点P ， 因为1(1DB =，1，1)，所以设(P a ，a ，)a ，其中01a 剟．作PE ⊥平面1A D ，垂足为E ，再作11EF A D ⊥，垂足为F ， 则PF 是点P 到直线11A D 的距离．所以PF ；同理点P 到直线AB 、1CC所以1B D 上任一点与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离都相等，所以与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点有无数个． 故选：D ．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则(k = )A ．1B C D ．2【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据3AF FB =求得1y 和2y 关系根据离心率设2,a t c ==，b t =，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x ，根据韦达定理表示出12y y +和12y y ，进而根据1y 和2y 关系求得k ． 【解答】解：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 3AF FB =，123y y ∴=-，e =，设2,a t c ==，b t =， 222440x y t ∴+-=①，设直线AB 方程为x sy =+，代入①中消去x ，可得222(4)0s y t ++-=，∴2121224t y y y y s +==-+，22222234t y y s -=-=-+，解得212s =，k =故选：B ．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知α是第二象限的角，1tan 2α=-，则cos α= ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【分析】根据sin tan cos ααα=，以及22sin cos 1αα+=可求出答案． 【解答】解：1sin tan 2cos ααα=-=，2sin cos αα∴=- 又22sin cos 1αα+=，α是第二象限的角∴cos α=故答案为： 【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）91()x x+展开式中3x 的系数是 84 ．（用数字作答）【考点】DA ：二项式定理【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项1r T +，因为题目要求展开式中3x 的系数，所以只要使x 的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出91()x x +通项992991()r r r r r C x C x x--=，要求展开式中3x 的系数∴令923r -=得3r =，3984C ∴=故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线l ，过(1,0)M l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p = 2 ． 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线AB 的方程与抛物线方程联立消去y 得23(62)30x p x +--+=，进而根据AM MB =，可知M 为A 、B 的中点，可得p 的关系式，解方程即可求得p ．【解答】解：设直线:AB y =22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又AM MB =，即M 为A 、B 的中点，()22B px ∴+-=，即22B p x =+，得24120p P +-=， 解得2p =，6p =-（舍去） 故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = 3 ． 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用；ND ：球的性质【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得． 【解答】解法一：3ON =，球半径为4，∴小圆N ，小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，NE ∴=，同理可得ME =，在直角三角形ONE 中， 3NE =，3ON =，∴6EON π∠=， ∴3MON π∠=，3MN ∴=．故填：3．解法二：如下图：设AB 的中点为C ，则OC 与MN 必相交于MN 中点为E ，因为3OM ON ==，故小圆半径NBC 为AB 中点，故2CB =；所以NC =ONC ∆为直角三角形，NE 为ONC ∆斜边上的高，OC =2223ON MN EN CNCO ∴====故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理【分析】先由3cos 5ADC ∠=确定角ADC 的范围，因为BAD ADC B ∠=∠-所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案． 【解答】解：由3cos 05ADC ∠=>，则2ADC π∠<， 又由知B ADC <∠可得2B π<，由5sin 13B =，可得12cos 13B =， 又由3cos 5ADC ∠=，可得4sin 5ADC ∠=．从而4123533sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=．由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 所以533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯===∠． 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】88：等比数列的通项公式；8E ：数列的求和 【专题】11：计算题【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项1a 与公比q 的方程，然后求解即可 （2）由n b 的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，由题意得：12111126222114111(1)2(1)1221264(1)64(1)n n a q q a q a a q a q a q a q q q q q a q -⎧+=+⎪⎧==⎧⎪⎪⇔⇔∴=⎨⎨⎨==⎪⎩⎩⎪++=++⎪⎩（6分） （2）1211111(2)4()224n n n n n b ----=+=++ n b ∴的前n 项和11(1)1(14)141424()2111433414nn n n n T n n --=++=-++--（12分） 【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45︒，求二面角111A AC B --的大小．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线，即证DE 与异面直线1AB 与CD 垂直相交即可；（2）将1AB 平移到DG ，故C D G ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角，在三角形1B KH 中求出此角即可．【解答】解：（1）连接1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ． 因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =， 又13AE EB =，所以1FE EB =， 又D 为1BB 的中点， 故//DE BF ，1DE AB ⊥．作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点． 又由底面ABC ⊥面11AA B B ．连接DG ，则1//DG AB ， 故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥． 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．（2）因为1//DG AB ，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=︒设2AB =，则1AB =DG CG =AC =．作111B H AC ⊥，H 为垂足，因为底面111A B C ⊥面11AACC ，故1B H ⊥面11AAC C ．又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角．1B H =1C H 1AC =HK =1tan B KH ∠=∴二面角111A AC B --的大小为【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处． 20．（12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1T ，2T ，3T ，4T ，电流能通过1T ，2T ，3T 的概率都是P ，电流能通过4T 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知1T ，2T ，3T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率．【考点】5C ：互斥事件的概率加法公式；8C ：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】11：计算题【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将1T ，2T ，3T 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p ．（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，根据电路图，可得44134123(1)(1)(1)B A A A A A A A A =+-+--，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过i T 为事件i A ，1i =、2、3、4，A 表示事件：1T ，2T ，3T ，中至少有一个能通过电流，易得1A ，2A ，3A 相互独立，且123A A A A =，3()(1)10.9990.001P A p =-=-=， 计算可得，0.9p =；（Ⅱ）根据题意，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， 有44134123(1)(1)(1)B A A A A A A A A =+-+--， 则P （B ）44134123((1)(1)(1))P A A A A A A A A =+-+-- 0.90.10.90.90.10.10.90.9=+⨯⨯+⨯⨯⨯0.9891=．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算． 21．（12分）已知函数2()1f x x ax lnx =-++-． （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间1(0,)2上是减函数，求实数a 的取值范围．【考点】3D ：函数的单调性及单调区间；3E ：函数单调性的性质与判断 【专题】16：压轴题【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知()f x 在区间1(0,)2上是减函数，即()0f x '…在区间1(0,)2上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当3a =时，2()31f x x x lnx =-++-∴21(231)()23x x f x x x x--+'=-+-=解()0f x '>， 即：22310x x -+<函数()f x 的单调递增区间是1(,1)2．（Ⅱ）1()2f x x a x'=-+-， ()f x 在1(0,)2上为减函数，1(0,)2x ∴∈时120x a x-+-…恒成立．即12a x x+…恒成立． 设1()2g x x x =+，则21()2g x x '=-1(0,)2x ∈时，214x >，()0g x ∴'<，()g x ∴在1(0,)2上递减，1()()32g x g ∴>=，3a ∴…．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．22．（12分）已知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，||||17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【考点】9J ：直线与圆的位置关系；KC ：双曲线的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为(1,3)，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a ，b 的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件||||17FA FB =，用含a 的代数式表示，即可求得a ，则A 点坐标可得(1,0)，由于A 在x 轴上所以，只要证明2AM BD =即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简， 得2222222()440b a x a x a b a ----=，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=--，①由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x+=．故2221412a b a ⨯=-，即223b a =，②故2c a ， C ∴的离心率2ce a==． （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，(,0)A a ，(2,0)F a ，21212432,2a x x x x ++==-． 故不妨设1x a -…，2x a …，1||2BF a x =-，2||2FD x a =-，22121212||||(2)(2)42()548BF FD a x x a x x a x x a a a =--=-++-=++． 又||||17BF FD =，故254817a a ++=． 解得1a =，或95a =-（舍去），故12|||6BD x x =-， 连接MA ，则由(1,0)A ，(1,3)M 知||3MA =， 从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)
2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（ ）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年高考试题——数学文科(全国新课标卷)(解析版)真题
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式： 样本数据12,n x x x 的标准差 锥体体积公式s ==13V sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|（1）D 【解析】[2,2]A =-，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16B =，所以{}0,1,2A B ⋂=，选D.【方法指导】由所求A B ⋂可知，应分别求出集合A 和集合B ，在求集合B 时要注意x Z ∈这个条件，否则容易出错.（2）a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- (2)C【解析】(2)2(3,18)2(4,3)(5,12)b a b a =+-=-=-，所以216cos ,65||||4a b a b a b ⋅〈〉===+，选C.【方法小结】根据向量a =（4，3），2a +b =（3，18）的关系及向量的代数运算求向量b ，然后利用公式cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=求两向量夹角余弦.（3）已知复数z =z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2(3) B 【解析】z ==21844i i ===-+-，14z i =-，所以1||2z ==，选B. 【方法技巧】先利用平方运算，然后分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化复数z a bi =+形式，然后利用||z =.（4）曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ (4) A 【解析】32y x '=-，所以1|1x y ='=，即切线斜率为1，由直线点斜式得直线方程为01y x -=-，整理得1y x =-，选A.【规律总结】求曲线上某一点处的切线方程，通常利用导数求曲线在该点处的导数值，即切线斜率，然后利用点斜式求直线方程.（5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A （B （C ）2 （D ）2(5) D 【解析】设双曲线方程为22221x y a b -=，则其一条渐近线b y x a =过点（4,2），所以24ba=⋅，12b a =，12a =，2222114c a e a -=-=，所以e = D. 【方法技巧】根据已知条件建立双曲线中两个参量,a b 之间的关系，然后利用222b c a =-，把式子转化为,a c 的关系，得ca的大小，即斜率的大小.（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（6）C 【解析】由题意知，当0t =时，P 在0P 位置，2d =，质点P 在圆上按逆时针方向旋转，d 逐渐变小，当4t π=时，min 0d =，结合图像可知选C.【方法技巧】解决这类问题通常利用数形结合的方法，本题借助单位圆，把动点P 由0P 位置开始逆时针方向旋转，由图形可以看出点P 到x 轴距离d 在[0,]4t π∈变化时由2减少到0，结合图像可知结论.(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2(7) B 【解析】由题意值长方体的对角线长等于球的直径.所以22222(2)(2)6r a a a a =++=，所以2232r a =，球的表面积为2246S r a ππ==，选B. 【方法小结】要求球的表面积需要求球的半径或半径的平方，又根据长方体的顶点都在一个球面上可知球的直径即为长方体对角线长，球的直径的平方为长方体同一顶点出发的三条棱长的平方和.（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65（D ）56(8) D 【解析】由框图中的判断条件可知k 的最大值为5，根据框图中的运算公式可知111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111151122334455666=-+-+-+-+-=-=，选D.【技巧点拨】有5N =，结合框图中的限制条件k N ≥时，输出S ，知k 的最大值为5，再根据框图知k 每次增加1，1(1)S S s k =++，得111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯，然后利用裂项法111(1)1n n n n =-++得出结论.(9)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 (9) B 【解析】若20x -≥，2(2)240x f x --=->，得4x >；若20x -<，因()f x 为偶函数，(2)(2)f x f x -=-，2(2)240x f x --=->，得0x <.所以{|(2)0}x f x ->={|04}x x x <>或.选B.【方法小结】根据偶函数()f x 满足()24(0)xf x x =-≥，在求解不等式(2)0f x ->时要分20x -≥和20x -<两种情况来解.（10）若sin a ＝－45，a 是第三象限的角，则sin()4a π+=（A ）－10 （B ）10 （C ） -10 （D ）10(10) A 【解析】因为sin a ＝－45，a 是第三象限的角，所以3cos 5α==-，所以7sin()(sin cos )()422510a παα+=+=-=-，选A. 【解题小结】要求sin()4a π+的值，需要求cos α的值，根据sin a ＝－45，a 是第三象限的角，及22sin cos 1αα+=，求cos α的值，然后利用两角和的正弦公式把sin()4a π+展开，代入，即可得结论.（11）已知ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20） (11)B 【解析】ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），根据中点坐标公式得D （0，－4），当目标函数过点B （3，4）时，min 14z =-，当目标函数过点D （0，－4）时，max 20z =，所以z=2x-5y 的取值范围是（-14，20）.【规律总结】根据题意必须求D点的坐标，根据平行四边形对角线互相平分，得D点坐标，然后把平行四边形四个顶点坐标代入z=2x-5y，得目标函数的最大值与最小值，得范围.（12）已知函数|lg|,010, ()16,10.2x xf xx x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c互不相等，且()()(),f a f b f c==则abc 的取值范围是(A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)（12）C 【解析】如图，根据题意()f x m=有三个解，则01m<<，若lg a m=，则10ma=，若lg b m=-，则10mb-=，若162b m-+=，则122b m=-，由01m<<，得1012212m<-<，即1012b<<，所以1010m mabc b b-=⋅⋅=，所以1012abc<<，选C.【方法技巧】数形结合可知，若,,a b c互不相等，且()()(),f a f b f c==则()f x m=有三个解，则有01m<<，若令()()()f a f b f c m===，则有10ma=，10mb-=，162b m-+=，分别求出,,a b c，用m表示abc，根据m的范围，得abc的范围.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年全国高考文科数学试题及答案-全国2
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学第Ⅰ卷 （选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =ð（ ）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式302x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x >（3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=(A) (B) 19- (C) 19 (D) （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是(A) 11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+>(C) 11(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A（B（C（D ） 34 （9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b + （B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22b y =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2010年全国高考文科数学试题及答案-安徽
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分l50分，考试时间l20分钟.参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B ） 棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 答案：C解析：画数轴易知.(2)已知21i =-，则i(1)=i i (C)i (D)i 答案：B 解析：直接计算.(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B)2a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直 答案：D解析：利用公式计算，采用排除法.（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 答案：A解析：利用点斜式方程.(5)设数列｛na｝的前n项和n s=2n，则8a的值为（A）15 (B) 16 (C) 49 （D）64答案：A 解析：利用8a=S8-S7，即前8项和减去前7项和.（6）设ab c＞0,二次函数f(x)=a x2+bx+c的图像可能是答案：D 解析：利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系，结合ab c＞0产生矛盾，采用排除法易知.（7）设a=2535⎛⎫⎪⎝⎭，b=3525⎛⎫⎪⎝⎭,c=2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a 答案：A 解析：利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.（8）设x,y满足约束条件260,260,0,x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8答案：C 解析：画出可行域易求.（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （C）292（B）360 （D）280答案：B 解析：可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次，应减去.（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）318（B）418（C）518（D）618答案：C 解析：所有可能有6×6，所得的两条直线相互垂直有5×2.数学(文科)(安徽卷)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是答案：对任何X∈R，都有X2+2X+5≠0解析：依据“存在”的否定为“任何、任意”，易知.(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是答案：（2,0）解析：利用定义易知.(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=答案：12 解析：运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是.答案：5.7% 解析：50500099099000=，707001001000=，易知57005.7%100000=.(15)若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是、(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a+b≤2；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;211≥+ba⑤答案：①,③,⑤解析：①,⑤化简后相同，令a=b=1排除②、易知④，再利a+b 2易知③正确三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内.(16)△ABC 的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=1213. (1)求AB AC ⋅(2)若c-b=1，求a 的值.（本小题满分12分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 解：由cosA=1213 ，得sinA=)21312( 1- =513 .又12 bc sinA=30，∴bc=156、（1）AB AC ⋅ =bc cosA=156·1213 =144.（2）a 2=b 2+c 2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-1213 )=25，∴a=5（17）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率21=e .(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+= 由e=12 ，得c a =12 ，b 2=a 2-c 2 =3c 2、∴2222143x y c c += 将A （2,3）代入，有22131c c += ，解得：c=2, 椭圆E 的方程为2211612x y += （Ⅱ）由(Ⅰ)知F 1（-2,0），F 2（2,0），所以直线AF 1的方程为 y=34 (X+2)， 即3x-4y+6=0、直线AF 2的方程为x=2、由椭圆E 的图形知， ∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数.设P （x ，y ）为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点， 则有34625x y x |-+⎥=|-⎥ 若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去. 于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.18、（本小题满分13分）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表； （Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.（本小题满分13分）本题考查频数，频数及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识. 解：(Ⅰ) 频率分布表：（Ⅱ）频率分布直方图：（Ⅲ）答对下述两条中的一条即可：（i ）该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115 、有26天处于良好的水平，占当月天数的1315 、处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415 、说明该市空气质量基本良好.（ii ）轻微污染有2天，占当月天数的115 、污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730 ，超过50%、说明该市空气质量有待进一步改善.(19) (本小题满分13分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，E F ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点， (Ⅰ)求证：F H ∥平面EDB;4151 61 71 8（Ⅱ）求证：A C ⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；（本小题满分13分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力.(Ⅰ) 证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点、连EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH ∥AB 且 GH =12AB 又EF ∥AB 且 EF =12AB ∴EF ∥GH 、且 EF =GH ∴四边形EFHG 为平行四边形. ∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB. （Ⅱ）证：由四边形ABCD 为正方形，有A B ⊥BC.又EF ∥AB ，∴ EF ⊥BC 、而EF ⊥FB ，∴ EF ⊥平面BFC ，∴ EF ⊥FH. ∴ AB ⊥FH.又BF=FC H 为BC 的中点，FH ⊥BC.∴ FH ⊥平面ABCD. ∴ FH ⊥AC 、又FH ∥EG ，∴ AC ⊥EG 、又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ， ∴ AC ⊥平面EDB.（Ⅲ）解：∵ EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴ BF ⊥平面CDEF.∴ BF 为四面体B-DEF 的高、又BC=AB=2, ∴ BF=FC=111.323B DEF V -==（20）（本小题满分12分）设函数f （x ）=sinx-cosx+x+1, 0﹤x ﹤2 π,求函数f(x)的单调区间与极值. （本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0﹤x ﹤2π, 知'()f x =cosx+sinx+1， 于是'()f x =1+2sin(x+4π).令'()f x =0，从而sin(x+4π)=-22，得x= π，或x=32 π.当x 变化时，'()f x ，f(x)变化情况如下表：因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, π）与（32 π，2 π），单调递减区间是（π，32 π），极小值为f （32 π）=32 π，极大值为f （π）= π+2.（21）（本小题满分13分)设1c ，2c ...,n c ,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n,圆n c 都与圆1n c +相互外切，以n r 表示n c 的半径，已知{}n r 为递增数列.(Ⅰ)证明：{}nr 为等比数列；（Ⅱ）设1r =1，求数列n n r ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和、（本小题满分13分）本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理论证能力.解：(Ⅰ)将直线y=33x 的倾斜角记为θ ， 则有tan θ = 3，sin θ =12 .设C n 的圆心为（n λ，0），则由题意知nnγλ= sin θ =12 ，得n λ = 2n γ ；同理112n n ++λ=γ，题意知1112n n n n n +++λ=λ+γ+γ=γ将n λ = 2n γ代入，解得 r n+1=3r n . 故{ r n }为公比q=3的等比数列. （Ⅱ）由于r 1=1，q=3，故r n =3n-1，从而nnr=n ·13n -，记S n =1212nn ++⋯γγγ， 则有 S n =1+2·3-1+3·3-2+………+n ·13n -、 ① 3Sn=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·13n -+n ·3n -、 ② ①-②，得 3Sn 2=1+3-1 +3-2+………+13n --n ·3n - =133n--- n ·3n -=32 –(n+32)·3n -S n =94 –12 (n+32)·13n-.。
2010年高考文科数学试题答案(全国卷2)
第一套1.程序填空程序通过定义学生结构体数组，存储了若干个学生的学号、姓名和三门课的成绩。
函数fun 的功能是将存放学生数据的结构体数组，按照姓名的字典序（从小到大排序）。
请在程序的下划线处填入正确的内容并把下划线删除，使程序得出正确的结果。
第一处struct student t;第二处for(i=0;i<n-1;i++)第三处if(strcmp(a[i].name,a[j].name)>0 )2程序修改给定程序MODI1.C中函数fun 的功能是：在p所指字符串中找出ASCII码值最大的字符，将其放在第一个位置上；并将该字符前的原字符向上顺序移动。
/**found**/q=p+i;/**found**/while(q>p)3程序设计学生的记录由学号和成绩组成，N名学生的数据已在主函数中放入结构体数组s中，请编写了函数fun，它的功能是：把指定分数范围内的学生数据放在b所指的数组中，分数范围内的学生人数由函数值返回。
int fun(STREC *a,STREC *b,int l,int h){int i,j=0;for(i=0;i<N;i++)if((a[i].s>=1&&a[i].s<=h)b[j++]=a[i];return j;}第二套1.程序填空给定程序中已建立一个带有头结点的单向链表，链表中的各结点按数据域递增有序连接。
函数fun的功能是：删除链表中数据域值相同的结点，使之只保留一个。
第一处free(q);第二处q=p->next;第三处q=q->next;2. 程序修改给定程序MODI1.C中函数fun的功能是：用选择法对数组中的n各元素按从小到大的顺序进行排序。
/**found**/p=j;/**found**/p=i;3. 程序设计请编写一个fun函数，它的功能是：求出1到m之间（含m）能被7或11整除的所有整数放在数组a中，通过n返回这些数的个数。
2010年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}R x x x A ∈≤=,2，{}Z x x xB ∈≤=,4，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ） {}2,0 （D ）{}2,1,0（2）a ，b 为平面向量，已知a =(4,3)，2a +b =(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- （3）已知复数z =，则||z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为（A（B（C（D（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为A B CD(7) 设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）23aπ（B ）26aπ（C ）212aπ（D ）224aπ（8）如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于（A ）54 （B ）45（C ）65 （D ）56(9)设偶函数()f x 满足)0(42)(>-=x x f x ，则(){}20x f x ->=（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 （10）若4sin 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+=（A ）-（B（C ）（D（11）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是（A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩… 若a ，b ，c 均不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2010年高考试题与答案(全国卷2数学文)
r
1
rr
MN
23
21(本小题满分12分)
r
4
已知函数
32
f(x)x3ax3x1.
(I)设a2,求f(x)的单调区间；
(II)设f(x)在区间(2,3)上有一个极值点,求a的取值范围.
15.(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线
中点为M(1,3).
(I)求C的离心率；
22
xy
C:1(a0,b0)
AB22，DG=2，CG=2,AC=3.
1
作
B HAC,H为垂足，因为底面
111
AB C面AACC,故
11111
B H面AAC C，
111
又作
HKAC，K为垂足，连结B1K,由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH
1
为二面角
AACB的平面角
111
BH
1
2
1
2
ABACAB
111111
222
AC
11
3
n
1
b(a)
nn
a
n
2
,求数列{
b}的前n项和
n
T.
n
19(本小题满分12分)如图，直棱柱
ABCABC中，AC=BC，A1AAB，D为BB1
111
的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.
(I)证明：DE为异面直线
AB与CD的公垂线；
1
C
C
1
(II)设异面直线
AB与CD的夹角为45,求二面角
1
AACB的大小.
22
HCBCBH
1111
3
3
2010年高考全国数学卷（全国Ⅱ.文）（含详解答案）
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟分钟注意事项：注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中，分。
在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么互斥，那么 球的表面积公式球的表面积公式球的表面积公式P （A+B A+B））=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么相互独立，那么 P （A-B A-B））=P(A)-P(B)一、选择题一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 32x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3a =，则cos(2)x a -=（A ）53-（B ）19-（C ）19（D ）5335733a +a +a +3C S E F 233 3t3t 3sty23st23st255)）且斜率为，若33x。
2010年高考试题——文数(全国卷2)(解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= （A）B ）19-（C ）19（D【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e+-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年全国II高考数学文科试卷(带答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9）1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈时，()0,()f x f x '<在(2-单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(答案解析版)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）平面向量，已知=（4，3），=（3，18），则夹角的余弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选：C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一． 3．（5分）已知复数Z=，则|z|=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z=，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得Z===•=•=•=，故|z|==，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）A．y=x﹣1B．y=﹣x+1C．y=2x﹣2D．y=﹣2x+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先求渐近线斜率，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵渐近线的方程是y=±x，∴2=•4，=，a=2b，c==a，e==，即它的离心率为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．10．（5分）若cos α=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（ ）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的． 11．（5分）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 ．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n，由此得到N个点（x，y）（i﹣1，2…，N）．再数出其中满足y1≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为 ．【考点】CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【分析】由题意知本题是求∫01f（x）dx，而它的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：∵∫01f（x）dx的几何意义是函数f（x）（其中0≤f（x）≤1）的图象与x轴、直线x=0和直线x=1所围成图形的面积，∴根据几何概型易知∫01f（x）dx≈．故答案为：．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则BD= 2+ ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．【解答】用余弦定理求得AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°即AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②又BC=3BD所以CD=2BD所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）因为AC=AB所以由（3）得2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1=0求得BD=2+故答案为：2+【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{a n}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由a n=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，数列{a n}的通项公式为a n=11﹣2n（2）由（1）知S n=na1+d=10n﹣n2．因为S n=﹣（n﹣5）2+25．所以n=5时，S n取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．所以AC⊥平面PBD．故平面PAC⊥平面PBD（6分）（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．所以HA=HB=．因为∠APB=∠ADB=60°所以PA=PB=，HD=HC=1．可得PH=．等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．P（K2≥k）0.0500.0100.0013.841 6.63510.828附：K2=．【考点】BL：独立性检验．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求K2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题．【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．则．因为直线AB的斜率为1，所以即．则．解得．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x=0时，f（x）=0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)
的值．
∵S=
=1﹣ =
故选：D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的
题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码） 中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数 据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第 一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
第 7页（共 25页）
【解答】解：设 =（x，y）， ∵a=（4，3），2a+b=（3，18）， ∴
∴cosθ=
=， 故选：C． 【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：
①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．
3．（5 分）已知复数 Z=
A．
4．（5 分）曲线 y=x3﹣2x+1 在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1
B．y=﹣x+1
C．y=2x﹣2
D．y=﹣2x+2
第 8页（共 25页）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 菁优 网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题． 【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x| ≤4，x∈Z}，则 A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优 网 版权 所有
【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得 A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幽默小短片
1、金人
曾经有个小国的人到中国来，进贡了三个一模一样的金人，金壁辉煌，把皇帝高兴坏了。
可是这小国的人不厚道，同时出一道题目：这三个金人哪个最有价值？皇帝想了许多的办法，请来珠宝匠检查，称重量，看做工，都是一模一样的。
怎么办？使者还等着回去汇报呢。
泱泱大国，不会连这个小事都不懂吧？最后，有一位退位的老大臣说他有办法。
皇帝将使者请到大殿，老臣胸有成足地拿着三根稻草，插入第一个金人的耳朵里，这稻草从另一边耳朵出来了。
第二个金人的稻草从嘴巴里直接掉出来，而第三个金人，稻草进去后掉进了肚子，什么响动也没有。
老臣说：第三个金人最有价值！使者默默无语，答案正确。
这个故事告诉我们，最有价值的人，不一定是最能说的人。
老天给我们两只耳朵一个嘴巴，本来就是让我们多听少说的。
善于倾听，才是成熟的人最基本的素质。
2、辞职
A对B说：“我要离开这个公司。
我恨这个公司！”B建议道：“我举双手赞成你报复！！破公司一定要给它点颜色看看。
不过你现在离开，还不是最好的时机。
”A问：为什么？B说：“如果你现在走，公司的损失并不大。
你应该趁着在公司的机会，拼命去为自己拉一些客户，成为公司独挡一面的人物，然后带着这些客户突然离开公司，公司才会受到重大损失，非常被动。
”A觉得B 说的非常在理。
于是努力工作，事遂所愿，半年多的努力工作后，他有了许多的忠实客户。
再见面时B问A：现在是时机了，要跳赶快行动哦！A淡然笑道：老总跟我长谈过，准备升我做总经理助理，我暂时没有离开的打算了。
其实这也正是B的初衷。
一个人的工作，永远只是为自己的简历。
只有付出大于得到，让老板真正看到你的能力大于位置，才会给你更多的机会替他创造更多利润。
3、选择
有三个人要被关进监狱三年，监狱长给他们三个一人一个要求。
美国人爱抽雪茄，要了三箱雪茄。
法国人最浪漫，要一个美丽的女子相伴。
而犹太人说，他要一部与外界沟通的电话。
三年过后，第一个冲出来的是美国人，嘴里鼻孔里塞满了雪茄，大喊道：“给我火，给我火！”原来他忘了要火了。
接着出来的是法国人。
只见他手里抱着一个小孩子，美丽女子手里牵着一个小孩子，肚子里还怀着第三个。
最后出来的是犹太人，他紧紧握住监狱长的手说：“这三年来我每天与外界联系，我的生意不但没有停顿，反而增长了200％，为了表示感谢，我送你一辆劳施莱斯！”
这个故事告诉我们，什么样的选择决定什么样的生活。
今天的生活是由三年前我们的选择决定的，而今天我们的抉择将决定我们三年后的生活。
我们要选择接触最新的信息，了解最新的趋势，从而更好的创造自己的将来。
5、赶考
有位秀才第三次进京赶考，住在一个经常住的店里。
考试前两天他做了三个梦，第一个梦是梦到自己在墙上种白菜，第二个梦是下雨天，他戴了斗笠还打伞，第三个梦是梦到跟心爱的表妹脱光了衣服躺在一起，但是背靠着背。
这三个梦似乎有些深意，秀才第二天就赶紧去找算命的解梦。
算命的一听，连拍大腿说：“你还是回家吧。
你想想，高墙上种菜不是白费劲吗？戴斗笠打雨伞不是多此一举吗？跟表妹都脱光了躺在一张床上了，却背靠背，不是没戏吗？”秀才一听，心灰意冷，回店收拾包袱准备回家。
店老板非常奇怪，问：“不是明天才考试吗，今天你怎么就回乡了？”秀才如此这般说了一番，店老板乐了：“哟，我也会解梦的。
我倒觉得，你这次一定要留下来。
你想想，墙上种菜不是高种吗？
戴斗笠打伞不是说明你这次有备无患吗？跟你表妹脱光了背靠靠躺在床上，不是说明你翻身的时候就要到了吗？”秀才一听，更有道理，于是精神振奋地参加考试，居然中了个探花。
积极的人，象太阳，照到哪里哪里亮，消极的人，象月亮，初一十五不一样。
想法决定我们的生活，有什么样的想法，就有什么样的未来。
6、骆驼
在动物园里的小骆驼问妈妈：“妈妈妈妈，为什么我们的睫毛那么地长？”骆驼妈妈说：“当风沙来的时候，长长的睫毛可以让我们在风暴中都能看得到方向。
”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的背那么驼，丑死了！”骆驼妈妈说：“这个叫驼峰，可以帮我们储存大量的水和养分，让我们能在沙漠里耐受十几天的无水无食条件。
”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的脚掌那么厚？”骆驼妈妈说：“那可以让我们重重的身子不至于陷在软软的沙子里，便于长途跋涉啊。
”小骆驼高兴坏了：“哗，原来我们这么有用啊！！可是妈妈，为什么我们还在动物园里，不去沙漠远足呢？”
天生我才必有用，可惜现在没人用。
一个好的心态+一本成功的教材+一个无限的舞台=成功。
每人的潜能是无限的，关键是要找到一个能充分发挥潜能的舞台。
7、分粥
有七个人曾经住在一起，每天分一大桶粥。
要命的是，粥每天都是不够的。
一开始，他们抓阄决定谁来分粥，每天轮一个。
于是乎每周下来，他们只有一天是饱的，就是自己分粥的那一天。
后来他们开始推选出一个道德高尚的人出来分
粥。
强权就会产生腐败，大家开始挖空心思去讨好他，贿赂他，搞得整个小团体乌烟障气。
然后大家开始组成三人的分粥委员会及四人的评选委员会，但他们常常互相攻击，扯皮下来，粥吃到嘴里全是凉的。
最后想出来一个方法：轮流分粥，但分粥的人要等其它人都挑完后拿剩下的最后一碗。
为了不让自己吃到最少的，每人都尽量分得平均，就算不平，也只能认了。
大家快快乐乐，和和气气，日子越过越好。
同样是七个人，不同的分配制度，就会有不同的风气。
所以一个单位如果有不好的工作习气，一定是机制问题，一定是没有完全公平公正公开，没有严格的奖勤罚懒。
如何制订这样一个制度，是每个领导需要考虑的问题.。