2019年高考数学一轮复习课时分层训练28平面向量的数量积与平面向量应用举例
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课时分层训练(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
A 组 基础达标
一、选择题
1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )
A ．－3
2
B ．0
C.32
D ．3
A [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－32.]
2．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为 ( )
A ．－322
B ．－3 5
C.32
D ．35
C [因为点C (－1,0)，
D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →
方向上的投影为
|AB →
|cos 〈AB →
，CD →
〉＝AB →·CD
→
|CD →|＝15
52＝32
2.]
3．(2018·海口调研)若向量a ＝(2，－1)，b ＝(3－x,2)，c ＝(4，x )满足(6a －b )·c ＝8，则x 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
D [因为6a －b ＝(9＋x ，－8)，所以(6a －b )·c ＝36＋4x －8x ＝8，解得x ＝7，故选D.]
4．已知O 为坐标原点，向量OA →
＝(3sin α，cos α)，OB →
＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π，
且OA →⊥OB →
，则tan α的值为( )
【导学号：79140158】
A ．－43
B ．－45
C ．45
D ．34
A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上
述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，2π，
则tan α<0，解得tan α＝－4
3
，故选A.]
5．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3.若n ⊥(t m ＋n )，
则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94
D ．－9
4
B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，
∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.
又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×1
3＋|n |2＝0，
解得t ＝－4.故选B.] 二、填空题
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.
－2 [∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.
又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.]
7．(2018·合肥一检)若非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．
14 [由(a ＋b )⊥(3a －b )可得(a ＋b )·(3a －b )＝0，又|a |＝1，|b |＝2，则可得a·b ＝1
2
，设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b ＝1
.]
8．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →
＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰
直角三角形，则△OAB 的面积为________.
【导学号：79140159】
1 [由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →
，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →
得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →
|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，
所以|OB →
|＝|OA →
|＝2，故S △OAB ＝1
2
×2×2＝1.]
三、解答题
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.
(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．
[解] 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－16.
(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
10.如图432，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x,3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC →
＝(3，
0)，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2.
图432
(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →
；
(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．