平面向量的数量积练习题[
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§5.3 平面向量的数量积
一、选择题
1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．0
解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ， 则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D
2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ·a a ·
b b ，则向量a 与
c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π
2
解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a －⎝
⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝
⎛⎭
⎪⎫
a 2a·
b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，
c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π
2
，故选D.
答案 D
3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）
A
2 B 1
2
C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C
4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－2
3
，
∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23＝－4.
答案 A
5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1
B ．1
C. 2
D ．2
解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －
c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， 故|a ＋b －c |≤1. 答案 B
6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1
3x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1
在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎝
⎛
⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π6，π2
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2
＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不
相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a ||b |，
|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜1
2|a |2|a ||b |＝3
2，∵0≤〈a ，b 〉≤π，
∴π
6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D
7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是
( )．
A.P 1P 2→·P 1P 3→
B.P 1P 2→·P 1P 4→
C.P 1P 2→·P 1P 5→
D.P 1P 2→
·P 1P 6→
解析 由于P 1P 2→
⊥P 1P 5→
，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→
与P 1P 6→
的夹角是2π3
， 故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，
则P 1P 2→
·P 1P 3→
＝|P 1P 2→
||P 1P 3→
|cos 30°＝32a 2
，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos 60°＝a 2.
答案 A 二、填空题
8．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________． 解析 ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 答案 7
9.已知向量(3,2)a =-, (31,4)a m m =--，若a b ⊥，则m 的值为 ． 解析 ,3(31)(2)(4)0,1a b a b m m m ⊥∴⋅=-+--=∴= 答案 1
10．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.
解析 设a 与b 夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝1，θ≠0且θ≠π.由a ＋b 与向量k a －b 垂直，得
(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k |a |2＋(k －1)|a ||b |cos θ－|b |2＝0，(k －1)(1＋cos θ)＝0.
又1＋cos θ≠0，∴k －1＝0，k ＝1. 答案 1
11．已知e 1，e 2是夹角为
2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．