高等数学-隐函数的求导法则

第五节 隐函数的求导法则

一、一个方程的情形

隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有

d d x y

F y

x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入

(,)0F x y =，得恒等式

(,())0F x f x ≡，

等式两边对x 求导得

d 0d F F y x y x

∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得

d d x y

F y

x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:

22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x

∂∂

=-+-⋅

∂∂ 2

2

()x x y y x x

x y y y y x

x

y y y

F F F F F F F F F F F F --=-

-

-

22

32x x y x y x y y y x y

F F F F F F F F

-+=-

．

例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个

单值可导的隐函数()y f x =，并求22

d d ,00

d d y y

x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．

因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．

d 0d y x x =0x y F x F =-=

e 10,0

cos x y

x y y x -=-=-==-，

22d 0d y x x = d e ()

0,0,1

d cos x y

x y y x y x -=-'===-- 02

01

(e )(cos )(e )(sin 1)

(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=-

-3=-．

隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有

x z F z x F ∂=-∂，y z

F z

y F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入

(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，

将上式两端分别对x 和y 求导，得

0=∂∂⋅+x

z F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．

因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得

x z F z x F ∂=-∂， y z

F z

y F ∂=-∂． 例2 设2

2

2

40x y z z ++-=，求22z

x

∂∂．

解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，

2242x z F z x x x F z z

∂=-=-=∂--，

2

22

2223

(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)

z x

x x

x x z

x x x z x

z z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形

在一定条件下， 由方程组

(,,,)0

(,,,)0

F x y u v

G x y u v =⎧⎨

=⎩ 可以确定一对二元函数

(,)

(,)u u x y v v x y =⎧⎨

=⎩

， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2

2y x y

u +=

，

2

2y x x v +=

． 事实上，

0xu yv -=

u y x v =1

=⋅+u y

x x yu 2

2y x y

u +=

， 2222y

x x y x y

y x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．