机械优化设计_第六章约束优化方法
机械优化设计约束优化方法
（1）直接法
直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。
（2）间接法
间接法包括：罚函数法（内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法）、广义乘子法、广义简约梯 度法和约束变尺度法等。
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是
如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不 需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点并 比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探 索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合 形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下 降，还应当满足所有的约束条件。
基本思想：在可行域中选取K个设计点 （ n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标 函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点) ，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的 映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
取次好点和好点连线的中点为X(0)。
令：X(4)= X(0)+α(X(0)-X(H))
称X(4)为映射点，记为X(R)，α为映射系数，通常取 α=1.3，可根据实际情况进行缩减。
一般情况下，映射点的函数值比坏点的函数值要 小，即F(X(R))< F(X(H))。若满足可行域，则用X(R)代替 X(H)构成新的复合形。如此反复迭代直到找到最优解。
（3）计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。
X0
1 K K1j1
X(j),
j
H
（4）计算映射点X(R)
X (R )X (0 )(X (0 )X (H ))
检查X(R)是否在可行域内。若X(R)为非可行点，将映 射系数减半后再按上式改变映射点，直到X(R)进入可行 域内为止。
《机械优化设计》第6章约束优化方法
X(R)
● X(S)
X(H)
映射迭代公式： x(R)=x(S)+α(x(S)-x(H)) 搜 索 方 向：沿x(H)→x(S)的方向'。 步长因子（映射系数）α： α>1，建议先取1.3'。 若求得的x(R)在可行域内，且f(x(R))<f(x(H))，则以x(R)代替x(H)组 成新复合形，再进行下轮迭代'。
x j x0 a0e j
机械优化设计
§第二节 随机方向法
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算 余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标 函数最小的点xL '。
4) 比较xL 和x0两点的目标函数值:
①若f(xL) <f(x0)，则 取xL 和x0连线方向为可行搜索方向；
②若f(xL) ≥f(x0)，则缩小步长α0 ，转步骤1）重新计算， 直至f(xL) <f(x0)为止'。
则可行搜索方向为： d x L x0
四、搜索步长的确定
步长由加速步长法确定：
τ为步长加速系数，一般取1.3
机械优化设计
五. 计算步骤 1) 选择一个可行的初始点x0; 2) 产生k个n维随机单位向量e j ( j = 1, 2, …, k);
3) 取试验步长0，计算出k个随机点x j ;
4) 在k个随机点中，找出可行的的随机点xL, 产生可行搜索 方向d= xLx0.
5) 从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭代计
算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值
不再下降的新点x'。
6) 若收敛条件满足，停止迭代'。否则， 令x0 x转步骤2
机械优化设计
例6-1 求下列约束m优in化f问x题 的x2最优x 解
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
机械优化设计第六章
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
基本思路： 原目标函数 加权 新的目标函数
（无约束优化问题）
述
约束函数
（约束优化问题）
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
迭代过程：
min f ( x) f ( x1 , x2 , s.t. g j ( x) g j ( x1 , x2 , hk ( x) hk ( x1 , x2 , , xn ) , xn ) 0 ( j 1, 2, , xn ) 0 ( k 1, 2, , m) , l)
第六章 约束优化方法
第二节 随机方向法
随机方向法基本思路：
迭代公式： xk 1 xk d k (k 0,1, )
探索 ：x k 1 x k d k 满足：f ( x k 1 ) f ( x k ) g j ( x k 1 ) 0( j 1, 2, , m)
述
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
j 1 k 1
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
述
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法的特点：
①计算效率和数值计算的稳定性有较大提高。 ②可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。
(4)当同一次迭代的初始点与末点的函数值满足式 | f ( x) f ( x 0 ) | 1和步长已达到 || x x 0 || 2 时，则结束迭代计算，并取x* x, f ( x* ) f ( x)。（式中1， 2为给定的收敛精度）
随机方向法的步骤：
约束优化方法的讲解
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0
《机械优化设计》第6章习题解答-2资料
8． 有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N ，最大工作载荷F2=680N ，工作行程h=10.16mm 弹簧丝用油淬火的50CrV A 钢丝，进行喷丸处理； 工作温度126°C ；要求弹簧中径为20mm ≤D2≤50mm ，弹簧总圈数4≤n1≤50，支 承圈数n2=1.75，旋绕比C ≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。
[解] 1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 212．目标函数：弹簧的重量为式中 ρ――钢丝材料的容重，目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(x x x n D d x F --⨯=⨯⨯=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足min S S ≥式中 2.1m i n m i n =--S S ，可取最小安全系数，按题意S ――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：m s s s S ττττττττα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲--0τ初选弹簧钢丝直径：4mm ≤d ≤8mm ，其抗拉强度MPa b 1480=σ，取弹簧的循环工作次数大于710，则材料的脉动循环疲劳极限为MPa b 44414803.03.0'0=⨯==στ设可靠度为90％，可靠性系数 868.0=r k ； 工作温度为126°C ，温度修正系数 862.0126273344273344=+=+=T k t再考虑到材料经喷丸处理，可提高疲劳强度10％，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为MPa k k t r 4.365444862.0868.01.1)1.01('00=⨯⨯⨯=+=ττ36/107.8mm kg -⨯=ρρπ12220.25n D d W =--s τ弹簧材料的剪切屈服极限，计算公式为MPa b s 74014805.05.0=⨯==στ--ατ弹簧的剪应力幅，计算公式为328dD F ka πτα=式中 k ――曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为14.02)(6.1615.04414d D C C C k ≈+--=a F ――载荷幅，其值为N F F F a 2042/)272680(2/)(12=-=-=m τ――弹簧的平均剪应力，计算公式为328dD F k m sm πτ=式中s k ――应力修正系数，计算公式为dD C k s /615.01615.012+=+= m F ――平均载荷，其值为N F F F m 4762/)272680(2/)(12=+=+=由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为 计算剪应力幅ατ：86.2186.023214.023.8308)/(6.1x x d D F d D dD F ka a =⋅==ππτα328 计算平均应力幅m τ：21312246.74512.1212615.01x x x d D F Dd dD F k m m sm +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==33288ππτ 计算弹簧的实际疲劳安全系数S ：mms s s S τττττττττταα494.0506.14.365+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为012.1)(min 1≤-=-=SS S S x g ２）根据旋绕比的要求，得到约束条件016)(21min 2≤-=-=x x C C C x g３）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件50222≤-=-=≤-=-=1)4(0120)3(max max 242min 3x D D D g x D D D g４）根据压缩弹簧的稳定性条件，要求：c F F ≤2式中 c F ――压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算：K H D H F C ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2022085.611813.0μ 式中 K ――要求弹簧具有的刚度，按下式计算：mm N h F F K /2.4016.1027268012=-=-=0H ――弹簧的自由高度，按下式计算： 当mm K F 16.9240.26802===λ 时， 304.20)5.0(2.1)5.0(310+-=+-=x n H λμ――长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 7.0=μ；则：[][]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=221398.1311304.20)5.0(268.320.3040.5)(13x x x x x F C于是得 01680)(25≤-=-=CC C F F F F x g5）为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷2F 时的高度2H 应大于压并高度b H ，由于13112)5.0()5.0(64.4016.108.50x x d n H h H H b -=-==-=-=于是得到010123.00246.0)(131226≤--=-=x x x H H H x g b６）为了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度αK 与设计要求的刚度K 的误差小于1/100，其误差值用下式计算：401.02.40)75.1(8100/)(33241---=--=x x Gx K K K αθ式中 G ――弹簧材料的剪切弹性模量，取G=80000Mpa 。
机械优化设计方法第六章 约束最优化方法
定在(-1，+1)区间的随机数取得。 有些计算机具有直接调用的功能，但有些计算机则无此 功能，需要另编程序。如可获得(0，1)区间内服从均匀 分布的随机数数列ri(i=1,2,…,n)，则可通过下式 yi= ai+ ri(bi- ai) (i=1,2,…,n) 转化成在(ai，bi)区间内服从均匀分布的随机数数列。 以ai＝-1，bi＝1代入上式，可得(-1，+1)区间内服从 均匀分布的随机数数列 yi= 2 ri-1 由于yi在区间(-1，+1)内产生，因此所构成的随机方向单 位向量端点一定位于n维的超球面上。
现以图6-5所示二维不等式约束优化问题来作
进—步说明。
其数学模型为 min f X
X D R 2
D：g1(X)≥0 g2(X)≥0 a1≤x1≤b1 a2≤x2≤b2 其中， g1(X)≥0，g2(X)≥0可称 为隐式约束条件，而边 界约束a1≤x1≤b1， a2≤x2≤b2可称为显式约 束条件。
需要指出，这样产生的初始点X(0)=[x1(0), x2(0),…, xn(0)]T
虽能满足设计变量的边界条件，但不一定能满足所有 约束条件(如点)。 因此这样产生的初始点还须经过可行性条件的检验， 如能满足，才可作为一个可行的初始点。否则，应重 新随机选初始点，直到满足所有的约束条件。
三、随机搜索方向的产生
6-2 约束随机方向搜索法
一、基本原理
基本原理可用
图6-1所示二维 最优化问题进 行说明。
在约束可行区域D内，任意选择一个初始点X(0)，以给
定的初始步长α=α0沿着随机方向S(1)取得探索点 X=X(0)+αS(1) 若该点同时符合下降性(即f(X) < f(X(0))和可行性(即 X∈D)要求，则表示X点探索成功。 并以它作为新的起始点，即X→X(0)，继续按上面的迭 代公式在S(1)方向上获取新的探索成功点。 重复上述步骤，迭代点可沿S(1)方向前进，直至到达某 搜索点不能同时符合下降性和可行性要求时停止。 此时废弃该搜索点并退回到前一个搜索成功点作为S(1) 方向搜索中的最终成功点，记作X(1)。 此后，将X(1)点置为新的始点X(1)→X(0)，再产生另一随 机方向S(2)，以步长α重复以上过程，得到沿S(2)方向的 最终成功点X(2)。 经若干循环，点列{ X(k)( k=1,2,…) }必最后逼近约束最 优点X*。
机械优化设计多目标问题的最优化方法
则 x*为K-T非劣解。例，图中的
Q、S点。
§6.2 基本概念和定义
劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。
例如 有一个2维(x∈R2)的两个目标函数f1(x)和f2(x)求极小 化的约束问题。
（a）设计空间
（b）二维
§6.3
一.
协调曲线法
基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解， 以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配 关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。 f1(X)=4,f2(X)=9,当f2=9时，极小化f1 得D点 当f1=4时，极小化f2得E点 DE的延长线AB为协调曲线 协调曲线： ① 双目标函数的协调曲线 min . f x f1 x Wf 2 x
§6.2 基本概念和定义
（a）设计空间
（b）目标空间
从某种意义上说．非劣解解集(Q1－Q2曲线)中的任一点都可以作为多目标问 题的最终解。但通常是根据不同的要求，从中选出一个满意的解作为最终的 解．称它为选好解。例如，图 (b)中取f1(x*)=f2(x*)=2，x*=2这个非劣解。
§6.2 基本概念和定义
s.t. g u x * 0 u 1,2,, m
例：图中的 T、P点。 ② 多目标优化的 K-T 非劣解： x*∈D ，若不存在搜索方向S，能同时满足：
f x *T S 0 其中： f1 x T 1 g x * S 0 f x
q j 1
j 1,2, , q u 1,2, , m 称为目标函数的离差；
机械优化设计_第六章约束优化方法
机械优化设计
x0 ； 1）在可行域内选择一个初始点
2）沿该点周围不同的方向进行若干次 搜索， 搜索，计算各方向上等距离点的函数 值，找出其中最小值 f ( xL ) 及点 ；
f ( xL ) < f ( x 0 ) 则以两点连线方向作为搜索方向以适
当的步长向前搜索，得到新点 。 当的步长向前搜索， 若 ，则将新的起点移 重复前面过程； 至 f ( x) < f ( xL ) ，重复前面过程；
0
则转步骤（ ）重新计算， 则转步骤（2）重新计算，直到产生的随机点是可 行点为止。 行点为止。
机械优化设计 3．可行搜索方向的产生 ． （1）在 ( − 1, 1 ) 区间内产生伪随机数 ） 并计算随机单位向量。 ri j ( i = 1, 2, ⋅⋅⋅n; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, k ) ，并计算随机单位向量。
f ( X ) − f ( X 0 ) ≤ ε1 X − X0 ≤ ε2
得到满足，迭代终止。 得到满足，迭代终止。约束最优解为
X∗ = X, f (X∗) = f (X )
否则， 转步骤（ ）。 否则， 0 ← X 转步骤（2）。 X
机械优化设计 随机方向法的特点 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单， 对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单， 使用方便； 使用方便； 由于可行搜索方向的选择能保证目标函数下降 最快，加之步长可以灵活变动， 最快，加之步长可以灵活变动，使得算法的收 敛速度较快； 敛速度较快； 初始点的选择对于收敛迭代次数影响较大。 初始点的选择对于收敛迭代次数影响较大。 对于求解小型的机械优化问题， 对于求解小型的机械优化问题，随机方向法 是一种比较有效的算法。 是一种比较有效的算法。
xL 3）如果
第六章 约束优化方法
重复上述步骤，迭代点可沿S ( 1 )方向前进，直至到
达某搜索点不能同时符合下降性和可行性要求时停止。
此时废弃该搜索点，并退回到前一个搜索成功点作为作 为S(1)方向搜索中的最终成功点，记为X (1)。
若在初始点X ( 0 )或某个换向转折点处（如图中的X (1)点）， 沿某随机方向的探索点目标函数值增大（如图中的A点、 C点）或者越出可行域（如B点、D点），则应相应弃掉
2）把上述满足要求的终点作为新的起点，重新产 生随机方向，如果能够找到一个合适的方向，同时满足 条件，则沿该方向以原步长继续搜索；如若找不到适合 的方向，则将步长减半，仍以该点为起点随机搜索，如 果能找到新的方向，则沿该方向继续，如果不能，步长 再减半。直到找不到新的搜索方向，且步长满足精度要 求，则以该起点为最优点。
③要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域 内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。
a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集
2、间接法
该方法可以求解等式约束优化问题和一般约束优化 问题。对于不等式约束问题和等式约束间题均有效。
其基本思想是将约束优化问题通过一定的方法进行 改变，即是按照一定的原则构造一个包含原目标函数 和约束条件的新目标函数，将约束优化问题转化为无 约束优化问题，再采用无约束优化方法进行求解。属 于间接法的约束问题的最优化方法有消元法，拉格朗 日乘子法，增广拉格朗日乘子法和惩罚函数法等。
1）输入设计变量的下限值和上限值，即
ai ≤ xi ≤ bi
2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数 ri (0 ≤ ri ≤ 1)
3）计算随机点x的各分量
机械优化设计-约束优化方法
第 ６ 章 约束优化方法
6.3 复合形法
二、复合形法的搜索方法： 在可行域内生成初始复合形后，将采用不同的搜索方法来改变其形
状，使复合形逐步向约束最优点趋近。改变复合形形状的搜索方法主要有以 下几种：
★反射 ★扩张 ★收缩 ★压缩
第 ６ 章 约束优化方法
6.3 复合形法
二、复合形法的搜索方法－反射：
第 6 章 约束优化方法
6.０ 概述
数学模型: 求解式（ 6-1 ）的方法称为约束优化方法。 根据求解方式的不同，可分为:
☆直接解法; ☆间接解法
第 6 章 约束优化方法
6.０ 概述
☆直接解法;
第 6 章 约束优化方法
6.０ 概述
直接解法的特点: ☆由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，
第 ６ 章 约束优化方法
6.5 惩罚函数法 一、内点惩罚函数法 内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内， 序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解 具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题 转化后的惩罚函数形式为 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可 行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近 于 0 ，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好象在可行域的边界上筑 起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子 为 0 时，才能求得在约束边界上的最优解。
第 ６ 章 约束优化方法
6.4 可行方向法 四、步长的确定
第 ６ 章 约束优化方法
6.4 可行方向法 四、步长的确定
第 ６ 章 约束优化方法
6.4 可行方向法 四、步长的确定
机械结构优化设计的多条件约束方法
机械结构优化设计的多条件约束方法在工程设计中，机械结构的优化设计是一个重要的环节。
优化设计的目标是在满足各种约束条件下，使得结构的性能达到最优。
然而，由于实际工程问题的复杂性，单一的优化目标往往无法满足所有的要求。
因此，需要采用多条件约束方法来进行设计。
多条件约束方法是指在优化设计过程中，同时考虑多个设计变量和多个性能指标，以及多个约束条件。
这些指标和约束条件往往是相互矛盾的，所以需要找到一种平衡的方法来满足各种要求。
下面将介绍一些常用的多条件约束方法。
首先，多目标优化是一种常用的多条件约束方法。
多目标优化的目标是寻找一组非劣解，即不存在其他解能在所有目标函数上同时取得更好的值。
这样的解集称为帕累托前沿。
通过选择不同的非劣解，设计者可以根据优先级制定合适的设计方案。
其次，约束方法是一种常见的多条件约束方法。
约束方法的思想是将多个约束条件转化为一个综合的约束函数，并将其作为一个目标函数进行优化。
通过调整综合约束函数的权重，可以实现不同约束条件之间的平衡。
然而，这种方法存在一个问题，即如何确定综合约束函数的权重。
一种常用的方法是使用加权系数法，根据不同约束条件的重要性分配不同的权重。
另外，最优化方法也是一种常见的多条件约束方法。
最优化方法的思想是将多个目标函数和约束条件转化为一个综合的优化问题，在满足约束条件的前提下，寻找使得综合目标函数取得最优值的设计变量。
最优化方法可以采用数学规划方法进行求解，如线性规划、非线性规划等。
除了上述方法，还有一些其他的多条件约束方法。
例如，灰色关联分析方法可以通过对设计变量和性能指标之间的关联度进行评价，从而确定最优设计方案。
遗传算法是一种模拟自然界遗传过程的优化方法，通过进化的过程搜索全局最优解。
模糊综合评价方法可以将模糊数学理论引入到多条件约束问题中，通过对设计变量和性能指标进行模糊综合评价，得到最优解。
综上所述，机械结构优化设计的多条件约束方法有多种选择。
根据具体的设计需求和问题特点，可以选择适合的方法进行设计。
机械系统优化设计中的约束与优化问题
机械系统优化设计中的约束与优化问题在机械工程领域，优化设计是一项关键任务。
通过对机械系统进行优化，可以提高效率、减小能耗、延长使用寿命等。
然而，在进行机械系统的优化设计时，我们必须面对各种约束和优化问题。
首先，机械系统的约束可以分为两类：设计约束和工程约束。
设计约束包括机械系统的形状、尺寸、重量等方面的限制，以及与其他系统或部件的接口要求。
这些约束是设计者必须遵守的，因为它们直接关系到机械系统的可用性和实际应用。
另一方面，工程约束包括材料强度、制造成本、可维护性等因素。
这些约束是实际工程实施时需要考虑的，因为它们关系到机械系统的可靠性和经济效益。
在优化设计中，我们通常会面临多个冲突的目标。
例如，在减小机械系统的重量的同时，要确保其强度不下降；在提高机械系统的效率的同时，要保持其成本可控。
这就引入了多目标优化问题。
多目标优化问题需要寻找一个最佳的折中方案，将各个目标在不同约束条件下进行优化，以求达到最大化总体效益的目标。
为了解决这些优化问题，我们通常使用数学建模和优化方法。
对于约束问题，我们可以使用约束优化方法，如拉格朗日乘子法和KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入优化问题中，从而将原问题转化为一个无约束问题。
然后，我们可以使用一般的优化算法，如梯度下降、遗传算法等，来解决这个无约束问题。
此外，在实际的机械系统优化设计中，我们还会面临一些实际的限制。
例如，制造设备和制造工艺的限制，材料的可获得性等。
这些实际限制需要考虑在内，以确保设计方案的可行性和可实施性。
另一个重要问题是机械系统的不确定性。
在机械系统的设计过程中，我们通常会面临各种形式的不确定性，如设计参数的不确定性、负载的不确定性等。
这些不确定性会对设计结果产生影响，因此需要在优化设计中进行考虑。
一种常见的方法是使用鲁棒优化方法，通过考虑不确定性的范围和分布，寻找一个鲁棒的设计方案，以确保在不同的不确定条件下系统仍然能够正常工作。
机械优化设计第六章 约束优化的直接搜索法
由上式计算得到的(K1-1)个随机点不一定 都在可行域内，因此要设法将不可行点移到
可行域内。
整理课件
在随机产生每个随机点时，要检查其可 行性，若可行转 3）；否则计算前(K-1)个可 行点所成复合形的中心（或形心）点 XF ：
XF = (∑Xj) / (K-1)
然后将非可行点XK向中心点XF移动，即
整理课件
直接法通常适用于仅含不等式约束的优化 问题，当有等式约束时，该等式约束函数不 能是复杂的隐函数，而且容易实现消元过程。
• 直接法的基本思想
在m个不等式约束条件所确定的可行域
内，选择一个初始点X(0)，然后决定可行搜 索方向S(0) ，且以适当的步长(0) ，沿S(0)
方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降
的可行的新点X(1) ，即完成一次迭代，再以
新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛 条件后，迭代终止。
整理课件
迭代公式为一般公式：
X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , …)
S(k) 为可行搜索方向， (k)为步长。 可行搜索方向是指：当设计点沿该方向 作微量移动时，目标函数值将下降，且不会 超出可行域。
• 确定初始可行点 方法1）决定性方法 当问题的约束条件
比较简单，可凭判断人为地在可行域内选定 一个初始点。
方法2） 随机投点方法 当问题的约束条 件较为复杂时，靠判断选择初始可行点较困 难，这时可借助计算机中的随机数发生器， 产生随机但可行的初始整理课点件 。
设给定设计变量的上下限值为：
ai≤ xi ≤ bi (i = 1, 2, …, n) 则产生的随机点的各分量为
5）计算反射点XR XR = XC + (XC - XH)
机械优化设计方法
f x0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20
lim
d
0
lim x1 0 x2 0
f
x (0) 1
x1,
x20
x2
f
x10 , x20 x2
x1
x1
f
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2
TDh
8 B2 h2
人字架的总质量
1
mD, h 2 AL 2TD B2 h2 2
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h
h2 ) 2
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
cos1
沿d方向的方向向量
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
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（2）在区间 0 ,1 内产生 n 个伪随机数 （3）计算随机点 X 的各分量 x i
q i ( i 1, 2, , n )
a i q i bi a i ( i 1, 2, , n )
X
L
和
X
0
的函数值，当点
X
L
满足
g j X L 0 j 1, 2, m j f X L m in f X j 1, 2 , k f XL f X0
产生可行搜索 方向的条件
则可行搜索方向为 d X L X 0
（4）判别随机点 X 是否可行，若随机点 X 可行， 则取初始点
X
0
X ；若随机点 X 为非可行点，
则转步骤（2）重新计算，直到产生的随机点是可 行点为止。
机械优化设计 3．可行搜索方向的产生 （1）在 1, 1 区间内产生伪随机数
ri
j
i 1, 2, n ;
j 1, 2, , k
C
k 1
1
k
X
j
j 1
XR XC XC XH
机械优化设计
4）判别反射点 x R 的位置: 若 x R 为可行点，则比较 x R 和 x H 点的目标函数值， 如果 f ( x R ) f ( x H ) ，则用 x 取代 x ，构成新的 R H 复合形，完成一次迭代；如果 f ( x R ) f ( x H ) ，则将 缩小0.7倍重新计算新的反射点，若仍不可行，继续缩 小直至 f ( x R ) f ( x H ) 为止； 若为 x 不可行点，可缩小反射系数直至为可行点，并 R 按上述方法确定合适的新点。 反射成功的条件：
否则应缩短步长，直至取得较好点。 4）如此循环下去，当满足计算精度， 则可结束迭代计算
f (xL ) f ( x )
0
x
机械优化设计 1．随机数的产生 首先令 r1 2 3 5 , r2 2 3 6 , r3 2 3 7 , 取 r 2657863 然后按以下步骤计算： 令 r 5r 若 r
k
k
1, 2,
k
----步长 ----可行搜索方向
d
k
可行搜索方向：当设计点沿该方向作微量移动时，目标 函数值将下降，且不会越出可行域。
机械优化设计
直接解法的搜索路线
机械优化设计 2）直接解法的特点 ①迭代计算无论何时终止，都可获得一个比初始 点好的设计点； ②若目标函数是凸函数，可行域是凸集，则可保 证获得全域最优解。否则，将由于所选择的初始点 的不同，而探测到不同的局部最优解上，在这种情 况下，探索结果经常与初始点的选择有关系，为了 能得到全局最优解，在探索过程中最好能改变初始 点，或选择几个差别较大的初始点分别计算，以便 从多个局部最优解中 选择更好的最优解； ③要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域 内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。
机械优化设计
机械优化设计 1．初始复合形的形成 （1）由设计者决定 k 个可行点，构成初始复合形。 适用于设计变量少，约束条件简单的情况。 （2）由设计者选定一个可行点，其余的 k 1 个可行点用随机法产生。各顶点按下式计算：
X
j
a rj b a
j 1, 2, , k
对于求解小型的机械优化问题，随机方向法 是一种比较有效的算法。
机械优化设计
三、复合形法
基本思路： 在可行域内构造一个具有 k ( n 1 k 2 n ) 个顶点 的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值 进行比较，找到目标函数值最大的顶点（称最坏 点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下 降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新 的复合形，复合形的形状每改变一次，就向最优 点移动一步，直至逼近最优点。
③ 若 X L 仍是不可行点，则继 续移动，直到成为可行点为止。
这种方法可保证移动后的点一定会在可行域内，且 不会与原来的可行点重合。
机械优化设计 完全适用于可行域是凸集的情况，如为非凸集， 中心点可能不在可行域内，可以通过改变设计变量 的上限和下限值，重新产生各顶点来解决。经过多 次计算，有可能在可行域内生成初始复合形。
机械优化设计
4．搜索步长的确定
所用的步长一般按加速步长法来确定。所谓加速步 长法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。 各次迭代的步长按下式计算：
k 1 k
5．随机方法的计算步骤
（1）选择一个可行的初始点 （2）产生 k 个 n 维随机单位向量 e
j
加速步长系数
j 1, 2, , k
机械优化设计
1）在可行域内选择一个初始点 x
0
；
2）沿该点周围不同的方向进行若干次 搜索，计算各方向上等距离点的函数 值，找出其中最小值 f ( x L ) 及点 ；
3）如果
xL
则以两点连线方向作为搜索方向以适 当的步长向前搜索，得到新点 。 若 ，则将新的起点移 x ) f ( xL ) 至 f ( x，重复前面过程；
由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约 束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束 和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广 泛的应用。
机械优化设计
二、随机方向法
基本思路： 在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概 率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个 能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜 0 索方向 d 。从初始点 x 出发，沿搜索方向 d 以一定的步长进行搜索，得到新点 x ，新点应该 满足一定的条件（约束条件即在可行域内，且保 证目标函数值的下降性），至此完成第一次迭代。 然后将起始点移至 x ，重复以上过程，经过若干 次迭代计算后，最终取得约束最优解。
机械优化设计 （1）直接解法
适用于仅含不等式约束的问题，基本思路是： 在不等式确定的可行域内选择一个初始点，然后决定 可行搜索方向，且以适当的步长进行搜索，得到一个使目 标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点 为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。
X
k 1
X
k
kd
XE
若扩张点为可行点，且
XE
f
X R 则扩张
成功，构成新的复合形。 否则，放弃扩张，仍用原 反射点构成新的复合形。
X
H
XR
机械优化设计 （3）收缩
在中心点以外找不到好的反射点，可以在中心点以内， 即采用收缩的方法寻找较好的新点，其计算公式为：
XK XH
f
XC
XH
XK
g
j X R
0 J 1, 2 , , m
f
XR
f
XH
机械优化设计 （2）扩张
当求得的反射点为可行点，且目标函数值下降较多， 则沿反射方向继续移动，即采用扩张的方法，可能找到 更好的新点
XE XR
f
XR
XC
XR XC
hk X
h k x1 , x 2 , x n 0 ( k 1, 2, l )
求解上式的方法称为约束优化方法
机械优化设计 2、求解方法 根据求解方式不同，约束优化设计问题可分为 直接解法和间接解法。 （1）直接解法：将迭代点限制在可行域内（可行 性），步步降低目标函数值（下降性），直至到达 最优点。如随机方向法、复合形法、可行方向法、 广义简约梯度法。 （2）间接解法：通过变换，将约束优化问题转化 为无约束优化问题求解。如惩罚函数法、增广乘子 法等。
，并计算随机单位向量。
r1 j j r2 j rn
e
j
1 [ ( ri ) ]
j i 1 n 2 1/ 2
（2）取一维试验步长 0 ，按下式计算 k 个随机点
X
j
X
0
0e
j
j 1, 2, k
机械优化设计 （3）检验小，选 L X 出目标函数值最小的点 ； （4） 比较两点
f
XH
则收缩成功，用收 缩点构成新的复合 形。
机械优化设计 （4）压缩
若采用上述方法均无效，可采取复合形各顶点向最 好点 X L 靠拢，即采用压缩的方法来改变复合形的形状。 压缩后的各顶点的计算公式为：
X
j
X L 0 .5 X L X
j
( j 1, 2, , k ; j
机械优化设计
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
机械优化设计 （2）间接解法 1)基本思路 将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加 权处理后，和目标函数结合起来，构成新的目标 函数，即将原约束优化问题转化成一个或一系列 的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约 束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最 优解。
f
X
f
X0
1
X X0 2
得到满足，迭代终止。约束最优解为
X
X, f
X
f X
否则， 0 X 转步骤（2）。 X
机械优化设计
随机方向法的特点
对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单， 使用方便； 由于可行搜索方向的选择能保证目标函数下降 最快，加之步长可以灵活变动，使得算法的收 敛速度较快； 初始点的选择对于收敛迭代次数影响较大。
式中：X
j
——复合形中的第j个顶点。
a、 b ——设计变量的上限和下限；