教案第1章第2节

y2 (n) = T [ x2 (n)] = ax2 (n) + b T [ x1 (n) + x2 (n)] = a[ x1 (n) + x2 (n)] + b
= ax1 (n) + ax2 ( n) + b ≠ y1 (n) + y2 (n)
∴该系统是非线性系统
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不满足可加性
= ∑ x ( m) h ( n − m)
m =−∞ ∞
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1.2 线性移不变系统
当n < 0时 y (n) = 0 ∞ n y ( n ) = ∑ x ( m) h( n − m) = ∑ 1 ⋅ a n − m 当0 ≤ n < N时
i
=
m =−∞
∑ x(m)h(n − m)，
∞
= ∑ aiT [ xi (n)]
i
= x ( n) ∗ h( n )
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数字信号处理 x(n)
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1.2 线性移不变系统 y(n)
LSI h(n)
y (n ) = x(n ) ∗ h(n)
一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表 征，任意输入的系统输出等于输入序列 和该单位抽样响应h(n)的卷积和。
=a ∑a
m =0
m =−∞ n n
−m
1− a =a 1 − a −1
n
m =0 − ( n +1)
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1.2 线性移不变系统
当n ≥ N时
y ( n ) = ∑ x ( m) h ( n − m) = ∑ 1⋅ a
y ( n) = 0
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1.2 线性移不变系统
n < 0时
y ( n) = 0
2) 当M < N
0 ≤ n ≤ M − 1时 n y ( n ) = ∑ x ( m) h ( n − m)
m =0
M ≤ n ≤ N − 1时 y ( n) =
y ( n) =
x(n) y(n)
离散时间系统 T[ · ]
y (n) = T [ x(n)]
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1.2 线性移不变系统
一、线性系统
若 y1 (n) = T [ x1 (n)] y2 (n) = T [ x2 (n)] T 可加性： [ x1 (n) + x2 (n)] = y1 (n) + y2 (n) T 齐次性： [ax1 (n)] = ay1 (n) 或满足叠加原理：
n<0 0≤n< N n≥N
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1.2 线性移不变系统
若x(n) = x(n) RN (n) h(n) = h( n) RM (n), 求输出y (n)
n < 0时 y (n) = 0 0 ≤ n ≤ N − 1时 n y ( n ) = ∑ x ( m) h ( n − m)
1) 当M ≥ N
N ≤ n ≤ M − 1时 N −1 y ( n ) = ∑ x ( m) h ( n − m)
m =0
m =0
M ≤ n ≤ N + M − 2时 y ( n) =
N −1
n ≥ N + M − 1时
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m = n − M +1
∑
x ( m) h( n − m)
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n =−∞
∑a
0
n
=∑a
n =0
∞
−n
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1.2 线性移不变系统
结论： 因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果 的，且是绝对可和的，即：
h ( n ) = h(n)u (n) ∞ ∑ n=−∞ h( n) < ∞
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1.2 线性移不变系统
例：某LSI系统，其单位抽样响应为
h ( n) = a nu ( − n )
试讨论其是否是因果的、稳定的。
解：讨论因果性： Q n < 0时 ∴该系统是非因果系统 ∞
n =−∞
h( n) ≠ 0
Q 讨论稳定性： ∑ h(n) =
1 1 − a −1 a > 1 = ∞ a ≤1 ∴当 a > 1时系统稳定，当 a ≤ 1时系统不稳定
N ≤ n ≤ N + M − 2时
m = n − M +1 N −1 m = n − M +1
∑ ∑
n
x ( m) h( n − m) x ( m) h( n − m)
n ≥ N + M − 1时
y ( n) = 0
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1.2 线性移不变系统
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：
h ( n) = a u ( n ) 0 < a < 1
n
输入序列为： x ( n) = u ( n ) − u ( n − N ) 求系统输出。
解：y (n) = x(n) * h(n)
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1.2 线性移不变系统
线性移不变系统 ——同时具有线性和移不变性的离散时间 系统称为线性移不变系统 LSI：Linear Shift Invariant
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1.2 线性移不变系统
三、单位抽样响应和卷积和 单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样 序列δ (n) 时的系统输出：
是否是移不变系统
2π π 解：T [ x( n − m)] = x(n − m)sin( n + ) 9 7 2π π y (n − m) = x(n − m)sin[ (n − m) + ] 9 7
≠ T [ x(n − m)]
∴该系统不是移不变系统
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∞ m =−∞
系统输出：y (n) = T [ x(n)] = T [ ∑ x(m)δ (n − m)]
=
m =−∞
∑ x(m)T [δ (n − m)]，线性
移不变性 h(n) = T [δ (n)] h(n − m) = T [δ (n − m)]
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∞
T [∑ ai xi (n)]
1.2 线性移不变系统 y(n)
2、结合律
x(n)
h1(n)
h2(n)
x(n)
h2(n)
h1(n)
y(n)
x(n)
h1(n)*h2(n)
y(n)
x(n)* h1(n)* h2 (n) = x(n)* h2 (n)* h1(n)
h(n) = h1(n)* h2 (n)
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y(n) = x(n)* h(n)
1.2 线性移不变系统
思考: 当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零 区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n) 又如何分段？ 结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长 度为M，则其卷积和的长度L为： L=N+M-1
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1.2 线性移不变系统
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1.2 线性移不变系统
例：证明由线性方程表示的系统
y ( n ) = ax ( n ) + b
a , b为常数
是非线性系统
证：设y1 (n) = T [ x1 (n)] = ax1 (n) + b
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1.2 线性移不变系统
四、LSI系统的性质 1、交换律
x(n) h(n) y(n) h(n) x(n) y(n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) = h( n) ∗ x ( n)
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第一章 离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号—序列 1.2 线性移不变系统 1.3 常系数线性差分方程 1.4 连续时间信号的抽样
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1.2 线性移不变系统
离散时间系统 ——是将输入序列变换成输出序列的一种运算。 记为：T [⋅]
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 y1 (n) + a2 y2 (n)
a, a1 , a2为常数 则此系统为线性系统。
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