勾股定理的逆定理及应用
勾股定理及逆定理的应用
勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
勾股定理及其逆定理的内容
勾股定理及其逆定理的内容勾股定理和逆定理都是数学中非常经典的内容，不过听起来可能会有点儿陌生。
其实，它们非常实用，而且还很有趣。
让我们一起来聊聊吧。
1. 勾股定理的基本概念1.1 什么是勾股定理首先，咱们得知道勾股定理到底是什么。
它是关于直角三角形的一个定理。
简单来说，直角三角形的两条直角边（我们叫它们“勾”和“股”）的平方和等于斜边（我们叫它“弦”）的平方。
这就是勾股定理的核心内容。
听起来有点复杂，但举个例子就明白了。
假设你有一个直角三角形，直角边长分别是3和4，那么这两个边的平方和就是3²+4²=9+16=25。
斜边的平方也得等于25，所以斜边的长度就是5。
1.2 生活中的应用这个定理在我们的生活中非常有用。
比如说，如果你要测量房间的对角线长，只需要知道长和宽就能算出来。
又或者你在设计一些东西时，勾股定理能帮你确保每个角都是直角。
它就像是生活中的一个小工具，随时随地帮你解决问题。
2. 勾股定理的证明2.1 几何证明说到证明，勾股定理有几种不同的方法，其中几何证明是最直观的。
简单来说，就是我们可以用几何图形来证明这个定理。
想象一下，你在一个直角三角形的每一边上画出一个正方形，这些正方形的面积就像是拼图一样，可以用来证明勾股定理。
看起来可能会有点复杂，但其实就是一种图形化的方法，让定理更容易理解。
2.2 代数证明除了几何证明，还有一种代数证明的方法。
我们可以用代数公式来证明勾股定理的正确性。
这种方法比较适合那些喜欢公式和计算的人。
它用的是代数的语言，通过一些方程式来展示定理的正确性。
3. 勾股定理的逆定理3.1 什么是逆定理勾股定理的逆定理其实也很有趣。
它告诉我们，如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
也就是说，如果你知道一个三角形的三条边分别是a、b和c，并且它们满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形肯定是直角三角形。
勾股定理的应用
勾股定理的应用1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.知识点一：立体图形的展开图1：正方体（原图）（展开图）2：长方体（原图）（展开图）3：圆柱体（原图）（展开图）4：圆锥（原图）（展开图）知识点二：蚂蚁爬行问题例1．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：经过的最短路程；例2.如图，ABCD-A′B′C′D′是棱长为10cm的正方体，一只沿表面．问从点A 爬至D′至少要多远？例3.底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小要从A点爬到B点，则的最短距离是？那么A到C点最短距离呢（C为中点）例4.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只，想到B点去吃可口的食物，则沿台阶面到B点最短路程是多少米？总结：蚂蚁爬行问题解题的关键在于，1：发挥想象空间把立体图形展开成平面图形。
2：立体图形中两点之间的距离就可以看作平面图形上的两点之间的距离。
3：运用勾股定理算出距离。
知识点三：两点之间线段最短例一．如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有几米？例二．如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm和cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm 。
例三：如图，将一根长24cm 的筷子，底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的最小值是 cm 。
总结：1：找出所求的的线段；2：构造一个包含所求线段的直角三角形；3：运用勾股定理算出所求的距离。
勾股定理及其逆定理应用
勾股定理及其逆定理应用1. 简介勾股定理是数学中的基本定理之一，描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决实际问题提供了有力的工具。
除了勾股定理本身，其逆定理也有着广泛的应用价值。
本文将介绍勾股定理及其逆定理的基本原理和应用。
2. 勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
数学表达式为：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边长度。
该定理可以用来计算不知道的边长，或者验证一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理的一个重要应用是解决实际问题中的测量和计算。
例如，在建筑工程中，可以利用勾股定理计算墙面的对角线长度，或者确定直角拐角的位置。
在导航系统中，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
此外，勾股定理还可以用于解决三角函数的关系，例如求解正弦、余弦和正切等。
3. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理由三个整数构成，称为勾股数。
逆定理可以表示为：给定三个正整数a、b和c，若满足以下条件，则它们是勾股数：1.a、b和c两两互质；2.a、b和c中至少有一个为偶数。
勾股数具有很多有趣的性质和应用。
例如，利用勾股数可以构造出无穷多个满足勾股定理的直角三角形。
此外，逆定理还与数论中的素数有着密切的关系。
例如，勾股数中的c值是素数的情况下，其它两个整数a和b可以构成一个素勾股数。
4. 勾股定理的应用勾股定理被广泛应用于几何学和三角学中。
在几何学中，可以利用勾股定理求解三角形边长、角度和面积等问题。
在三角学中，勾股定理的衍生形式被用于计算三角函数的值。
在物理学中，勾股定理用于计算物体的速度、加速度和力的分解。
在工程学中，勾股定理被应用于设计和计算建筑物、桥梁和机械等。
例如，计算机图形学中的三维模型投影和旋转操作都离不开勾股定理。
此外，勾股定理还在实际生活中的测量和定位中发挥着重要作用。
例如，在测量地理位置时，可以利用勾股定理计算两个地点之间的直线距离。
17.1勾股定理的逆定理及其应用(教案)
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第十七章第一节《勾股定理的逆定理及其应用》。教学内容主要包括以下两部分：
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理逆定理的应用：通过勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并解决实际问题。
五、教学反思
在本次教学过程中，我深刻地感受到了勾股定理逆定理这一章节的教学效果和学生的接受程度。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思和总结：
1.学生对勾股定理逆定理的理解程度：在授课过程中，我发现部分学生对逆定理的概念理解不够深入，需要我在讲解时更加注重逻辑推理和实际例子的运用。今后，我将在教学中增加对逆定理推导过程的演示，让学生更好地理解其内涵。
举例：重点讲解逆定理的发现过程，如通过构建具体的直角三角形模型，让学生观察并总结出两边平方和等于第三边平方的特征。
2.教学难点
-理解逆定理的逻辑推理过程：学生需要理解并掌握从勾股定理到逆定理的逻辑推理过程，这对于他们的逻辑思维能力是一个挑战。
-在复杂问题中运用逆定理：在实际问题中，学生可能难以识别出可以使用逆定理的情况，或者在应用时遇到计算上的困难。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理逆定理的基本概念。勾股定理逆定理是指如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际问题的解决过程，展示如何利用勾股定理逆定理来判断直角三角形。
2.教学方法的选择：为了激发学生的学习兴趣，我采用了小组讨论、实验操作等形式多样的教学方法。实践证明，这些方法能够有效提高学生的参与度和积极性。但在小组讨论环节，我也注意到部分学生存在依赖思想，未能充分发挥自身的主观能动性。因此，在今后的教学中，我将加强对学生的引导，提高他们的独立思考能力。
勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理的应用一、判断三角形是否是直角三角形例1：在△ABC 中，a=22n m -，b=2mn ，c=22n m +，其中m ，n 是正整数，且m ＞n ，试判断△ABC 是否是直角三角形．分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边．解：∵m,n 是正整数，且m ＞n ， ∴c ＞b,c ＞a ．∴22422422222242)2()(n m n n m m mn n m b a ++-=+-=+ =42242n n m m ++．又∵=+=2222)(n m c 42242n n m m ++, ∴222c b a =+．∴△ABC 是直角三角形．说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：⑴确定最大边（不妨设为c ）；⑵计算2c 与22b a +的值；⑶比较2c 与22b a +是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形．二、根据等式变形，确定三角形三边之间的关系，从而判断三角形的形状．例2：若△ABC 的三边长a,b,c 满足条件,201612200222c b a c b a ++=+++试判断的△ABC 形状．分析：由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a,b,c 的关系，从而判断三角形的形状．解：由已知得,0200201612222=+---++c b a c b a ∴,0)10020()6416()3612(222=+-++-++-c c b b a a ∴()()()01086222=-+-+-c b a ．∵()()()010,08,06222≥-≥-≥-c b a∴a-6=0,b-8=0,c-10=0．∴a=6,b=8,c=10．∴22222210100643686c b a ===+=+=+． ∴△ABC 是直角三角形．说明：在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，解这类题时，要善于把已知的条件等式变形（配方或因式分解等）．三、与勾股定理的综合应用例3：如图1，已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 在AB 上,且BF=41AB ． ⑴请你判断EF 与DE 的位置关系，与同学交流，并说明理由； ⑵若此正方形的面积为16，求DF 的长．分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过E 点，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF 与DE 是垂直的，故连接DF ，设正方形边长为a ，利用勾股定理，用2a 分别表示222,,DF EF DE ,再利用逆定理判断△DFE 为直角三角形，由此得到EF ⊥DE ．解：(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE ． 设正方形边长为a ，则AD=DC=a,AF=43a,BE=EC=21a ． 在Rt △DAF 中,22222222162516943a a a a a AF AD DF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △CDE 中,22222222454121a a a a a CE CD DE =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △EFB 中, 22222222165411612141a a a a a BE FB EF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=．∵,162516545222222DF a a a EF DE ==+=+ ∴△DFE 为直角三角形， ∴EF ⊥DE ．(2)∵正方形的面积为16，∴2a =16． ∵,25161625162522=⨯==a DF ∴DF=5．说明：此题是勾股定理与逆定理的综合运用，解此题关键是：连接DF构造了一个三角图1形，因此解题时应灵活运用所学知识．例4:在四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=090,求四边形ABCD 的面积． 分析:由AB=3,BC=4, ∠B=090,想到连接AC,则Rt △ABC 的面积可求,且可求出AC 的长,因此在△ACD 中，三边长已知,欲求面积,想到它是不是直角三角形,因此用勾股定理的逆定理进行判断．解:连接AC, ∵AB=3,BC=4,∠B=090, ∴,25222=+=BC AB AC ∴AC=5． 在△ACD中,由勾股定理得169144251252222=+=+=+CD AC ．而,1691322==AD ∴=+22CD AC 2AD ．∴∠ACD=090,∴△ACD 是直角三角形． ∴.3012521,64321=⨯⨯==⨯⨯=∆∆ACD ABC S S ∴四边形ABCD 的面积为.36=+∆∆ACD ABC S S说明:本题综合运用了勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意到:如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．图2勾股定理的实际应用举例许多生活中的实际问题都可以转化为一个直角三角形问题，因此，勾股定理不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．下面我们举几例，供同学们复习时参考．例1 一艘轮船以每小时16海里的速度离开港口向南偏东450方向航行，另一艘轮船在同时以每小时12海里的速度向南偏西450方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？分析：依据题意可画出如图1所示的示意图，可知∠AOB=900． 解：在Rt △AOB 中，因为OA=16×1.5=24，OB=12×1.5=18． 所以AB 2=OA 2+OB 2=242+182=900．所以AB=30．30海里．例2 如图2，美伊战争期间，美军运输车队计划沿由东向西延伸的公路L 向巴格达前线供应军用物资，一支先头小分队奉总部之命沿公路侦查敌情．当行至A 地时，测得一伊军炮兵阵地P 的方位是北偏西300，行至B 地时，测得P 地方位是北偏东300，继续前进到C 地，测得P 地方位是北偏东600，在C 地俘虏一名伊军士兵，得知C 、B 两地之间的距离不会超过10千米，并获得可靠情报：P 地伊方炮火的射程半径是9千米．根据以上数据，请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性．分析：美军运输队沿公路行进的安全性决定于L 公路是否在P 地伊军炮火射程之内，即取决于P 地到L 公路的距离是多少，可以过P 作PD ⊥L ，垂足为D ，再将PD 放在直角三角形中球队，然后比较其与9千米的大小．解：（一）先按BC=10千米计算：连结PA 、PB 、PC ，作PD ⊥L ，垂足为D ，如图37，根据三次测得的方位角可知∠PAB=∠PBA=600，图1东北西南APB C60300 300图2L所以△PBA为等边三角形，∠PCB=300，所以△PBC为等腰三角形，从而AB=PB=BC=10（千米），进一步可得BD=210=5（千米）．在Rt△PBD中，PD2=PB2-BD2=100-25=75，因为75＜92=81，所以公路上点D在伊军炮火射程之内．（二）若BC＜10（千米），则Rt△PBD中PB就小于10千米，BD就小于5千米，因而PD也相应缩小，致使D点更靠近伊军阵地．总之，美军运输车队沿L公路通行缺乏安全性．勾股定理与最短距离勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．下面举例说明勾股定理在解决这类问题时的应用．例1如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，22215AB=+=cm）．故“顽皮虫”5．例2如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的下底面A图3ABCP600600300D点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B 点（距D 点14圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表面上从A 点爬到B 点所经过的最短路程是图4中线段AB 的长．由条件知，底面圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm ），所以13694BD =⨯=（cm ）．由勾股定理知，2212915AB =+=（cm ）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm ．例3 如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M 点，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30，MC ＝SB ＝DF ＝1cm ，所以MF ＝18－1－1＝16cm ，在 Rt △MFS 中，由勾股定理得22163034SF =+=（cm ）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm ．评注：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，然后再利用勾股定理求出最短距离．。
勾股定理逆定理及其应用
一、教材分析：（一）本节课在教材中的地位作用“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。
课标要求学生必须掌握。
（二）学情分析：尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键以及教法等。
（三）教学目标：根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。
教学目标知识技能1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。
数学思考1、通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；2、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。
解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。
情感态度1、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辨证关系；2、在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。
重点勾股定理的逆定理及其应用。
勾股定理应用
一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角。
二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：例题1如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）A ．15 B ．16 C ．17 D ．18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．50B ．52C ．54D ．56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理：重点是准确掌握勾股定理，难点是能熟练地运用勾股定理.
知识点精析与应用
1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c².
(1)注意：由于直角三角形斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和.不能写成
a²+c²=b²,除非b为斜边才能这样写.
(2)定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有:①已知两边求第三边；②证明三角形中的某些线段的平方关系；③作长为根号n的线段.
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，课本里是用面积法证明的，这种证明方法同学们一定要掌握好.
[解题方法指导]。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.(要点梳理）（高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边(如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．要点诠释：当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：① 3、4、5; ②5、12、13;③8、15、1７;④7、24、２５;⑤９、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释:(1)22121n n n -+，，（1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;（２）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长;(3)2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长;(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假:(1)同位角相等，两直角平行； （2）如果2x =，那么24x =;(3）等腰三角形两底角相等； （4)全等三角形的对应角相等. （５）对顶角相等.（6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.（思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可．(答案与解析)解:(１)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．(２）逆命题是：如果24x =,那么2x =，它是假命题.（3）逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(４)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.（5）逆命题是：如果两个角相等,那么这两个角是对顶角，它是假命题.（６)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题.举一反三:（变式)下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =，则22a b =．A.1个B.2个 C ．３个 D ．4个(答案)B;提示:①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中,A Ｂ⊥ＡＤ，AB ＝２，A Ｄ＝23，ＣD=3,B Ｃ=5,求∠ADC 的度数. (答案与解析)解:∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°,在Ｒt △ＡＢD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ B Ｄ＝4,∴ 12AB BD =,可知∠AD Ｂ=３０°, 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=,22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BD Ｃ＝90°,∴ ∠ADC=∠ADB ＋∠B ＤC ＝30°+90°＝120°．(总结升华）利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：(变式1)△ＡBC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）Ａ.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 Ｄ.直角三角形(答案)D ；提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ＡBC 为直角三角形．(变式2)如图所示，在△AB Ｃ中,已知∠ＡＣB=90°，ＡC ＝B Ｃ，Ｐ是△A ＢC 内一点,且P Ａ＝3，PB=1，P Ｃ＝C Ｄ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数.（答案)解:连接BD ．∵ CD ⊥ＣＰ，且CD ＝C Ｐ=2，∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD=45°． ∵ ∠AC Ｐ+∠ＢＣP ＝∠B ＣP+∠BCD=90°, ∴ ∠ＡCP=∠B ＣD ． ∵ ＣＡ＝C Ｂ，∴ △C ＡP ≌△C ＢＤ(SA Ｓ), ∴ ＤB=P Ａ=3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB=1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 22819DB DP PB =+=+=,∴ △D ＰB 为直角三角形，且∠DPB ＝９０°，∴ ∠CPB=∠CPD+∠DPB ＝４5°+9０°=13５°.３、如图所示，在平面直角坐标系中,直线33y x =+与x 轴交于点B,与y 轴交于点A,直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状.要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长,而由直线的解析式易求出线段AO ，ＢO ，C Ｏ的长,再根据勾股定理可求得A Ｂ,A Ｃ的长. (答案与解析）解:∵ 直线33y x =+与x 轴交于点Ｂ, ∴ 当0y =时,1x =-， ∴ 点Ｂ的坐标为(－1,0).∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0,3)．∴ ＡO ＝3，B Ｏ=1．在Rt △ＡＢO 中，由勾股定理,得222223110AB AO BO =+=+=.∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C,∴ 当y ＝0时，x =9,∴ 点C 的坐标为(９，0)． 在R ｔ△ＡCO 中,由勾股定理,得222223990AC AO CO =+=+=.又∵ BC ＝ＢO+CO=１0,∴ 221090100AB AC +=+=,2210100BC ==．∴ 222AB AC BC +=.∴ △ABC 为直角三角形,∴ AB ⊥ＡC.(总结升华）在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外,在平面直角坐标系中,只要知道两点的坐标,便可求出线段的长度．类型三、勾股定理逆定理的实际应用４、如图所示，ＭN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时５0分我国缉私艇Ａ发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里,并在M Ｎ线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为1２海里,若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？（答案与解析)解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===,∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又B Ｄ⊥A Ｃ,可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =.∴ 1441441313169÷=≈0．85(ｈ)＝5１（分). 所以走私艇最早在１0时41分进入我国领海．(总结升华）（１）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．(巩固练习）一.选择题１.（2012•广西)已知三组数据:①2，3，4；②3,４,5；③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ）A.② B ．①② Ｃ.①③ Ｄ．②③2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（ )A.三个内角之比为5∶6∶1 B ． 一边上的中线等于这一边的一半Ｃ.三边之长为2０、21、２9 Ｄ． 三边之比为1.５ : 2 : ３3.列命题中,不正确的是( ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3：2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:２的三角形是直角三角形．4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、ＣD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD 、EF 、ＧＨ Ｂ.AB 、EF 、G Ｈ C.AB 、CF 、EF D ．G Ｈ、AB 、C Ｄ５．五根小木棒，其长度分别为7，15,２0,24，2５，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D.4二.填空题7．若△AB Ｃ中,()()2b a b a c -+=，则∠B ＝＿＿_＿＿_＿__＿_＿．8．如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的△ＡBC 是______三角形．９.若一个三角形的三边长分别为１、a 、8(其中a 为正整数），则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为___＿__.10.△ABC 的两边a b ，分别为5,12，另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数，则c 应为_＿___＿，此三角形为______.11.有两根木条，长分别为６０cm 和80cm ,现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x (钝角所对的边）长度的取值范围___＿_＿___．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形,那么2,2,2c b a ＿____＿＿_组成直角三角形.（“能”或“不能”）.三.解答题13．已知a b c 、、是△ＡB Ｃ的三边,且222244a c b c a b -=-,试判断三角形的形状．14．观察下列各式:322345+=,2228610+=，22215817+=,222241026+=,…,你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15．在等边△ABC 内有一点P,已知PA=３,ＰＢ=4，ＰC=5.现将△ＡＰB 绕Ａ点逆时针旋转60°,使Ｐ点到达Q 点,连P Ｑ，猜想△PＱC 的形状,并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)Ｄ；(解析）根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2．(答案)D ；(解析)D 选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C;(解析)度数之比为1:2:２，则三角形内角分别为36°:72°:72°4.（答案)B ；(解析)22222228,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH ====+=,所以这三条线段能构成直角三角形．5.(答案)Ｃ;(解析）22222272425152025+=+=，.6．(答案）C ；(解析)因为222a b c +=，两边之和等于第三边,故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误;因为a b c +>,所以c b a ,,能组成三角形,②正确；因为ab ch =,所以2222222a ab b h c ch h+++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确;因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确．二．填空题7．（答案)９0°;(解析)由题意222b a c =+,所以∠B=９0°.8．(答案)直角;(解析）2AB =13,2BC =52,2AC =６5，所以222AB BC AC +=.9.(答案)２4;（解析)∵7＜a ＜９,∴a ＝8.1０．(答案）1３;直角三角形;(解析）７＜c ＜1７.１１.(答案)100cm <x ＜140cm ；(解析)因为60,80，１０0构成直角三角形,则钝角三角形的最长边应该大于100cm ,再根据两边之和大于第三边，所以x <60cm +8０cm =1４０cm ．１2.(答案)能；(解析)设c 为斜边,则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ . 三．解答题1３．（解析)解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220a b a b c -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14.(解析）解:222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(n ≥1且n 为整数) 15.（解析）解:因为△ＡPB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC,所以△APB≌△AQC,∠PAQ=60°, 所以AP=A Ｑ＝P Ｑ=3，BP ＝CQ=4,又因为PC ＝5，222PQ CQ PC +=所以△PQC 是直角三角形.。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得
四边形 ABCD 的面积；
A
D
解：（1）连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
B
C
∴ AC AB2 BC2 62 82 10．
∵CD＝10，AD＝10 2 ，
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ 10 2 2＝200，
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出 C
△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出
B D
CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响；
A
解：（1）学校 C 会受噪声影响． 理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM
的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回
A 港所需的时间；
M
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理
C
可求得 BD 的长度，则 CD＝BC－BD；然后在
D
Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min）， C
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
B
F D E A
例3 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6， BC＝8，CD＝10，AD＝10 2．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：（1）连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，
勾股定理及其逆定理综合应用
毕达哥拉斯定理是一个基本的数学概念，它指出在直角三角形中，斜边（直角的对边）长度的平方等于其他两条边的平方和。
该定理在数学、物理和工程中有许多实际应用，是解决各种问题的重要工具。
在本文中，我们将详细探讨勾股定理及其逆定理的综合应用。
我们还将讨论这些定理的证明，并提供示例说明如何使用它们来解决现实世界的问题。
什么是勾股定理？毕达哥拉斯定理是数学中最著名和最广泛使用的定理之一。
它以发现它的古希腊数学家毕达哥拉斯命名。
该定理指出，在直角三角形中，斜边长度的平方等于其他两条边的平方和。
这种关系可以用等式表示：a^2 + b^2 = c^2其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
勾股定理的证明毕达哥拉斯定理有几种不同的证明，每一种都以不同的方式证明了定理的有效性。
该定理最著名的证明之一被称为“图解证明”，它涉及绘制直角三角形图并使用几何原理来证明该定理成立。
毕达哥拉斯定理的另一个证明被称为“代数证明”，它涉及使用代数方程来证明定理的有效性。
此证明首先将直角三角形分成两个较小的直角三角形，每个直角三角形的边等于较大三角形的斜边。
然后可以通过证明两个较小三角形的平方和等于较大三角形斜边的平方来证明该定理。
勾股定理的应用毕达哥拉斯定理在数学、物理学和工程学等各个领域都有许多实际应用。
在数学中，该定理常用于求坐标平面上两点之间的距离或求直角三角形斜边的长度。
在物理学中，勾股定理用于计算三维空间中两点之间的距离，以及计算物体沿直线运动的速度。
在工程中，该定理用于计算梁和其他结构元件的长度，以及设计和分析各种结构的强度。
逆勾股定理逆勾股定理是与勾股定理相关的数学概念。
该定理指出，如果已知直角三角形两条短边的平方，则可以计算出斜边的长度。
逆毕达哥拉斯定理可以用等式表示：c = 开方(a^2 + b^2)其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
反勾股定理的证明逆勾股定理可以通过从勾股定理的等式(a^2 + b^2 = c^2) 开始并求解c 来证明。
初中数学重点梳理：勾股定理与应用
勾股定理与应用知识定位三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础，而其中的勾股定理在初中竞赛三角形中占据非常大的地位。
必须熟练掌握勾股定理及逆定理的应用、勾股数的推算公式和判定直角三角形。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中勾股定理中相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 22、勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式④ 罗士琳法则任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
⑤ 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
⑥ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
⑦ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5、 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
常见勾股数3，4，5 ： 勾三股四弦五5，12，13 ： 5·12记一生6，8，10： 连续的偶数7，24，25 ： 企鹅是二百五8，15，17 ： 八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82例题精讲【试题来源】【题目】△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是多少【答案】24【解析】 解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2)= 142-102=4×24∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图1，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31;B ．33;C ．21;D ．63【答案】A【解析】 解: 如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k )所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）【答案】256【解析】 解：如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20【答案】C【解析】 解：如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10）， 那么1021M M M +++ =_________。
勾股定理逆定理及其应用
勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
勾股定理逆定理及应用
第2讲勾股定理逆定理及应用教学目标熟悉勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理解几何图形重难点分析重点：1、勾股定理的逆定理；2、勾股定理与最短距离问题；3、勾股定理的简单应用。
难点：1、直角三角形的判定；2、实际问题中构造直角三角形解决问题。
知识点梳理1、勾股定理的逆定理：（1）判断三边能否组成直角三角形；（2）根据三边关系构造直角三角形。
2、构造直角三角形解决几何问题3、勾股定理的简单应用（1）利用勾股定理逆定理求长度、面积；（2）最短路径问题；（3）实际应用。
知识点1：勾股定理与逆定理【例1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是【】A．1、2、3 B．5、12、13 C．1、1、2 D．6、7、8【随堂练习】1、以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是【】A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，92、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．5，12，14B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，173、下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．9，12，15D ．5，12，134、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是【 】A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，65、分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有【 】A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【例2】由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是【 】A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2C ．（b ＋c ）（b －c ）＝a 2D ．31=a ，41=b ，51=c【随堂练习】1、下面说法正确的是个数有【 】①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理的逆定理技巧总结
勾股定理的逆定理技巧总结
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否是直角三角形。
以下是几种常见的逆定理技巧：
1. 如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
也就是说，如果a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形，其中a、b、c 分别代表三角形的三条边。
2. 如果一个三角形的两边较长的平方大于第三边的平方，那么这个三角形是锐角三角形。
也就是说，如果a²+ b²> c²，那么这个三角形是锐角三角形。
3. 如果一个三角形的两边较长的平方小于第三边的平方，那么这个三角形是钝角三角形。
也就是说，如果a²+ b²< c²，那么这个三角形是钝角三角形。
需要注意的是，这些逆定理只能判断三角形是否是直角三角形、锐角三角形或钝角三角形，而不能确定三角形的具体角度大小。
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勾股定理的逆定理及应用
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足a2+b2=c2吗
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗
_______________________________________________________________ __________________
入门测试
1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB ＝120 m，则AB为( )
A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m
2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )
A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km
4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高m，宽m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长．
5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
6.直角三角形的性质：①有一个内角为（）；②两个锐角（）；
③两条直角边的（）等于斜边的（）.
1.熟练掌握勾股定理的逆定理，
2.应用三角形相关知识的解决直角三角形中的计算及证明问题。
一个三角形，满足什么条件一定就是直角三角形呢
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数：
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a²+b²=c²
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第（）个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，直角就在第4个结处。
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
基础演练
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是( )
A 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是( )
A.是直角三角形;
B.可能是锐角三角形;
C. 可能是钝角三角形;
D.不能确定.
一组勾股数的倍数一定是勾股数吗（）为什么
3.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是（）．
4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，
计算两圆孔中心A和B的距离为（）mm.
巩固提升
一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗
1．)以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )
A．3，5，3 B．4，6，8
C．7，24，25 D．6，12，13
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( ) A．∠C是直角B．∠B是直角
C．∠A是直角D．∠A是锐角
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为
( )A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则这个桌面（）(填“合格”或“不合格”)．
5．在△ABC中，a＝3，b＝7，c2＝58，则S△ABC＝（）
6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( ) A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)2
7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
8、已知三角形的三边分别为5，12，13，则这个三角形是（）
9、三条线段m,n,p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为（）10．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝
12.求：(1)AC的长度；
(2)△ABC的面积．
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
1、由于，，不是勾股数，所以，，为边长的三角形不是直角三角形（）
2、由于，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数（）
3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( )
（1）9，12，15; （2）15，36，39;
（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.
4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 .
(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）.
(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形
6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为m的木梯，准备把梯子架到m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．m B．m C．m D．m
8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（）海里．
9. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c＋a＝2b，c－a＝1
2b，则△ABC
是什么特殊三角形
课程顾问签字： 教学主管签字：。