第五章 近世代数09、10专科

(a ) (b)
r p
pr
e (b)
pr
(b)
pr
由定理5-12，s整除pr,而（r,s)=1，所以s 整除p，同理r也整除p，从而rs能整除p, 所以rs是（a о b) 的阶.
例（补充）


例 设(S,*)是有限的可交换单元半群，且对于 任意的a,b,c∈S,等式a*b=a*c蕴含b=c.试证明： (S,*)是阿贝尔群。 证明：对于任意的a∈S，考虑集合
° f1 f2 f3 f4 f1 f1 f2 f3 f4 f2 f2 f2 f2 f2 f3 f3 f4 f1 f2 f4 f4 f4 f4 f4

定理5-7 每个循环单元半群是可交换的单 元半群。
5.5 群及相关概念
G 1 a



如果一个代数系统（G, о)是单元半群， 且每个元素a∈G,有逆元素 1 1 aa a a e 即 则称G为一个群。 如果群还满足交换律，则称其为交换群， 或阿贝尔群。(见P.48例5-7) 群(G, о)中的元素个数|G|，称为群的阶， 若|G|有限，称为有限群，否则称为无限 群。
5.2 代数系统

（S,*, · ,……)表示一个代数系统。 设（S,*, △)和（S’,*’, △’)是两个代数系 统，满足 ①S’ S ②对任意a,b∈S’,有a*b=a*’b∈S’ △a=△’a∈S’ 称（S’,*’, △’)是（S,*, △) 的子代数 系统。
5.3 同态和同构





定理5-12 若群的一个元素a具有阶r,则 a k e 当且仅当k是r的倍数. 定理5-13群中除单位元素外不存在等幂元素. 定理5-14对|G|>1的群中不存在零元素 定理5-15 若a是群G的任意一个元素，则a的 1 阶与逆元素a 的阶相同。 证明 定理5-16 设（G, *)是阿贝尔群，a,b是G的 两个元素，其阶分别是r和s,若（r,s)=1(互 质），则a*b的阶为r· s. 证明
1 1 1 1 1
( g x g ) ( g y g ) f ( x) f ( y ) 所以f是G到G的同态映射

（2）
因为对x, y G, 假定f ( x) f ( y ),则 g x g 1 g y g 1 所以x y (消去律） 所以f是一个一对一的映射



例：对于实数集R上的加法和乘法运算， 是否存在单位元素和零元素？ 解：R上的加法运算，0是其单位元素， 没有零元素；乘法运算的单位元素是1， 零元素是0.
对于减法？




右单位元素是0，没有左单位元素，也没有零 元素。 如果对每个X∈S，存在y∈S,使x*y=y*x=e,则 称x,y互为逆元素. 1 逆元素是唯一的，y可记为 x 。 定理5-4 设*是集合A上具有单位元素e的一个 运算，任一元素a∈A，a的逆元素若存在则是 唯一的。
1 1 1 1 1
1
1

证②
取y b a 有： y a b a 1 a b 若还有y1 G, 满足y1 a b, 则 y a y1 a y (a a ) y1 (a a ) y y1 因此，y b a 1是满足y a b的唯一元素

单位元素和零元素

e和 可有左右
el x x; x er x; l x ; x r .



定理5-1 设*是S上的一个运算，具有左、 右单位元素，则el=er 定理5-2 设*是S上的一个运算，具有左、 右零元素，则 l r 左、右单位元素，左、右零元素也可以 不同时存在。

因为对每个x G, 有 f (g x g) g g x g g e x e x 所以f是满射
1 1 1（3）来自由上述（） 3）得：f是G到G的一个同构映射 1 （
定理5-15证明

证明：设a有有限阶r,即 a e
r
(a ) ( a ) e e
定理5-3 对运算*的单位元素或零元素如 果存在则唯一。 证明5-3 证：用反证法，如果有两个零元素，设 为 和 ，∵ 是零元素， ∴ * * ∵ ′是零元素， ∴ * * ∴ 零元素唯一。

x11
因此如果t是a 1 之阶，有t≤r 而 at ((a 1 )t ) 1 e1 e t ∵a的阶是r, a =e ∴r≤t ∴t=r
1 r
r 1
1
例


证明在一个有限群里，阶大于2的元素的 数目必定是偶数。 证明:设(G,*)是具有阶为n的有限群，即 m |G|=n,任取a∈G, a =e(m>2) 1 m m 1 1 其逆元素 (a ) (a ) e e 1 由定理4-11 m也是 a 的阶，有 a a 1 1 反证法∵若a a 则
f (eG ) * f (eG ) f (eG ) * f (eG ) * f (eG ) eH eH * f (eG ) f (eG ) eH
1
1

②对任意a∈G ,
aa
1 1
1
a a eG
1 1
1
eH f (ea ) f (a a ) f (a) * f (a ) 又有eH f (eG ) f (a a ) f (a ) * f (a) 因此f (a )是f(a)的逆元素，即f (a ) f (a )

如果有一一对应的映射，有 f(a· b)=f(a)*f(b), 则称f是从（S, · )到（T,*)的同构映射(同 构),记为（S, · ≌(T,*)。 ) 如果S=T,且f是同构的，则称f是自同构， 三者关系见p.46图5-2

例

例 设（Z,+)和（Zn, ⊕），+为普通加法， ⊕为模n加法， 即对所有x，y∈Zn,有： x⊕y=(x+y）mod n =(x) mod n ⊕(y) mod n, 其中Zn={0,1,……n-1}. 令f:Z→Zn,f(x)=(x)mod n, 则f是同态映射。 解：∵对任意x,y∈Z,有： f(x+y)=(x+y) mod n =(x)mod n ⊕(y) mod n =f(x) ⊕f(y).
第五章 近世代数


群论由法国数学家于十九世纪二十年代 提出。 可用于网络安全、编码理论等。
5.1 代数运算




如果a∈S,有△a∈S,则称S关于一元运算 △是封闭的。 如果a,b∈S，有a*b∈S，则称S关于二元 运算*是封闭的。 二元运算可以有结合律，交换律。 如果有e∈S,且对每个x∈S有 e*x=x*e=x 则称e是关于运算*的单位元素 如果有 ∈S,且对每个x∈S有 * x x * 则称 是关于运算*的零元素
1 1
1



定理5-9 如果（G, о)是一个群，则对每个a,b∈G, 有 ①存在一个唯一的元素x∈G,使得a оx=b 证明 ②存在一个唯一的元素y∈G,使得y оa=b 证明
定理5-9证明

证明① 1 取 x a b, 有
a x a ( a b) ( a a ） b b 若还有x1 G , 满足a x1 b, 则 a x a x1 a (a x) a (a x1 ) (a a ) x (a a ) x1 x x1 因此x a b是满足a x b的唯一元素
1 1 1
定理5-10 如果（G, o)是群，则对每个 a,b,c∈G,有： ①aob=aoc b=c ②boa=coa b=c (消去律) 定理5-11 如果（G, º )是群，则对每个 a,b∈G，有 1 1 1 （a b) b a 证明 推论：a1,a2,…,an∈G,有 (a1 a2 ... an)1 an1 ... a11 r 如果存在一最小的正整数r,使得 a e ， 则称r为元素a的阶（或周期）。若不存 在r,则称a的阶无限。
1
例
令（G, °)是一个群，g∈G,设有映射 1 f:G→G,其中f(x）= g x g , 证明：f是一个G到G的同构。 证明:（1） 因为对每个x, y G, 有

f ( x y ) g ( x y ) g 1 g xe y g g x g g y g
对代数系统（S, · )和（T,*),如果存在映 射f:S→T,使得对每个a,b∈S有： f(a· b)=f(a)*f(b)， 则称f是从（S, · )到（T,*)同态映射（同 态）。 如果存在S到T的满射f,有f(a· b)=f(a)*f(b). 则称f是从（S, · )到（T,*)的满同态。

同构
5.4 半群和单元半群
若一个代数系统满足结合律，则称其为 半群。 即对任何a,b,c∈A, a· c)=(a· · (b· b) c, 则(A, · )为半群。 若半群存在一个单位元素e,有 a· e=e· a=a 则称其为单元半群。 若单元半群也满足交换律，则称其为交 换单元半群。 一个集合到它的自身集合上的一个映射 称为一个变换。



群（G, · )和（H,*)有f:G→H,是一个映射， 对每个a,b∈G,有： f(a· b)=f(a)*f(b) ，则称f为一个群同态。 若上述f: G→H是一一对应的映射，则称f 为一个群同构。 两个群同构说明它们具有完全相同的性 质。


定理5-8 如果f :G→H,是群同态，则 ①f(eG )= eH (单位元素对应） f (a 1 ) f (a) 1 a , a 1 ∈G ② 证明： ① f (eG ) f (eG eG ) f (eG ) * f (eG )