点到直线的距离教案--公开课

《点到直线的距离》教案
教学目标
（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。

引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。

教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程：
一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子：
如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？
这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。

教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。

二、师生互动 、探究新知
教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x 0 ,y 0）和一条定直线l ： Ax+By+C=0，那么如何求点P 到直线l 的距离d ？请学生思考并回答。

学生：先过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则|PQ|的长度就是点P 到直线l 的距离d ，将点线距离转化为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）
(1)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C
d y B
=+
）
仓库
(2) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0C
d x A
=+
） 第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。

教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？
学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：
B C By B C
y y y PQ C By l A Q +=
+
=-==+=000,0:0时，当 A
C Ax A C
x x x PQ C Ax l B Q +=
+
=-==+=000,0:0时，当 教师：当0≠AB 时，那么，而当直线是倾斜位置时，0:=++C By Ax l ，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。

点
到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论
学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……
教师根据学生提出的方案，收集思路。

思路一：利用定义
①求垂线PQ 的方程（由PQ ⊥l 以及直线l 的斜率可知垂线PQ
②求交点Q 坐标（联立方程组求解）
③两点间距离公式
上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。

l l )
（思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A
B
y y ≠-=
-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由⎩
⎨⎧=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2
2002B A AC ABy x B x Q +--=
()()2
02
0y y x x
d Q Q
-+-=
∴
教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。

如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？
思路二： 利用直角三角形等面积法 如图，设A ≠0，B ≠0。

引导过程：
①点P 的坐标的意义。

②过P 分别作x 轴、y 轴的垂线。

③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。

④如果知道面积和底边，就可以求出高。

现在 要求RP 、PS 、SR 的长度。

⑤两点间距离公式，转化问求R 、P 、S 的坐标。

多媒体显示、师生一起推导：
（思路二）解：设()00,y x P ，()
Q Q y x Q ,，()0,y x R R ，()S y x S ,0 00=++C By Ax R ，A C By x R +-
=0；00=++C By Ax S ，B
C
Ax y S +-=0 A
C By Ax x x RP R ++=
-=000
()0022
A Ax By C A
B -++=
+2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022
Ax By C
B A B ++=-
+=
00Ax By C
=
++
B
C
By Ax y y PS S
++=
-=000
由PS PR RS PQ ⋅=⋅， RS
PS PR PQ ⋅=
而2
2PS
RP RS +=2
22
200B
A B A C
By Ax +++= 2200B A AB
C
By Ax +++=
2
2
00B
A C
By Ax PQ +++=
∴
思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。

各小组同学都运用了不同的解法， 此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。

说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。

如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。

教师提问：①上式是由条件下时当0≠AB 得出，对时，或当00==B A 成立吗？（成立） 1.当A=0，B ≠0时，0:=+C By l 此时，直线为：B
C
y -
=,直线为平行于x 轴（或重合于x 轴）的直线 则：2200000)(B A C By Ax B C By B C
y B C y PS PQ +++=+=+=--==
2.当A ≠0，B=0时，0:=+C Ax l
此时，直线为：A
C
x -=，直线为平行于y 轴（或重合于y 轴）的直线
则：2200000)(B
A C By Ax A C Ax A C
x A C x PR PQ +++=+=+=-
-==
②点P 在直线l 上成立吗？（成立）
③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？
由此推导出点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax+By+C=0距离公式：
2
2
00B
A C
By Ax d +++=
∴适用于任意点、任意直线。

三、变式训练 、学会应用 练习1 (学生上台展示)
1.求点A （-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离。

2.求点C （1，-2）到直线4x+3y=0的距离。

3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离。

4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离。

5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a 的值。

练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。

练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。

教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。

四、拓展延伸、升华提高
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 三角形ＡＢＣ的面积。

解：设AB 边上的高为h ，则h AB S ABC ⋅=∆||2
1
， 22)31()13(||22=-+-=
AB ,
AB 边上的高为h 就是点C 到AB 的距离， AB 边所在直线方程为:04=-+y x . 点)0,1(-C 到直线04=-+y x 的距离
2
51
1|041|2
2
=
+-+-=
h .
因此，52
52221=⨯⨯=∆ABC S .
五、当堂检测
2
.6
.2
2.10
.04),(.23
3
3.33.3
.3
.)
(10433.1D C B A OP O y x y x P D C B A m y x l m ）的最小值是（是原点，则上，在直线若点或等于，则的距离等于：）到直线，点（||=-+-
-
-=-+ 六、学生小结 、教师点评
1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。

2.思想方法
转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。

离数形结合、特殊到一般的思想方法。

七、课外练习 巩固提高
① 课本习题3.3A 组第8,9题；
② 总结写出点到直线距离公式的多种方法。

八、板书设计。