辽宁省葫芦岛市协作校2021届高三数学12月联考试题

辽宁省葫芦岛市协作校2021届高三数学12月联考试题考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教B 版集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数与解三角形，向量，复数，数列，立体几何，直线与圆，圆锥曲线.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合{}210A x x =-≤≤，{}290B x x =-≤，则A B =（ ）A. []3,10B. []3,10-C. []2,3-D. []2,9-2. 复数()()13z i i =+-，则z =（ ）A. 4B. 22C. 3D. 233. 设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为7，则C 的渐近线方程为（ ）A. 5y x =±B. 6y x =±C. 5y x =±D. 6y x =±4. 若直线2310ax y ++=和直线()110x a y +++=互相垂直，则a =（ ） A. 0B. 32-C. 35-D. 23-5. 已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面，b β⊂，则“a β⊥”是“a b ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数()2()ln1x x f x x x-=+-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=-，63a a =-，则下列数值中最大的是（ ） A.416S B.525S C.636S D.749S 8. 如图，在三棱锥D ABC -中，AC BD ⊥，一平面截三棱锥D ABC -所得的截面为平行四边形EFGH .已知2EF =，5EH =，则异面直线EG 和AC 所成角的正弦值是（ ）147 35 2 二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则（ ） A. 椭圆C 3 B. 椭圆C 的长轴长为4 C. 椭圆C 的焦距为2D. 4a =10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列{}n a 满足3a ，432a ，52a 成等差数列，其前n 项和为n S ，且531S =，则（ ）A. 512n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 12n n a +=C. 51322n n S -=-D. 4216n n S +=-11. 已知函数23()sin cos 30)2f x x x x ωωωω=+>，若将函数()f x 的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到的函数图象关于y 轴对称C. 当,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 当函数()f x 取得最值时，()122k x k Z ππ=+∈ 12. 已知()f x 是R 上的奇函数，()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，2()2f x x x =+，则（ ） A. ()53f -= B. ()33f -= C. ()20200f =D. ()20213f =- 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 已知()1,2a =，(),2b m m =-，若//a b ，则m =________.14. 直线10ax y +-=被圆()2212x y -+=所截得的弦长为2，则a =________. 15. 正实数a ，b 满足329a b +=，则16a b+的最小值为__________. 16. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内一动点，13HP =，则CP 的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在①24n n a a +-=，26S =，②3516a a +=，3542S S +=，③222n n S a n =+三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知圆C 的圆心在x 轴上，圆C 过点()1,0，()3,2-. （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点M 在直线2x =上且位于第一象限，若过点M 且倾斜角为135︒的直线l 与圆C 相切，求切线l 的方程.19. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥.（1）证明：1AD BD ⊥.（2）若112D D D B ==，求二面角1A BC B --的正弦值.20. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 3sin b A B =，222b c a bc +-=. （1）求ABC △外接圆的面积； （2）若BC 33ABC △的周长. 21. 已知曲线C 上每一点到直线l ：32x =-的距离比它到点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离大1. （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上存在不同的两点P 和Q 关于直线l ：20x y --=对称，求线段PQ 的中点的坐标. 22. 已知函数()()ln af x x ax e -=-（a R ∈，且0a ≠，e 为自然对数的底）.（1）求函数()f x 的单调区间. （2）若函数ln ()()a g x f x e =+在()0,+∞有零点，证明：1211a ea e+>+.高三上学期协作校第二次考试数学试题参考答案一、选择题1. C ∵{}33B x x =-≤≤，∴{}23A B x x =-≤≤.2. B 由已知，(13)31(31)z i i i =+=+，所以22(31)(31)822z =++-==.3. B 因为离心率7c e a ==216b c a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭C 的渐近线方程为6y x =.4. C 因为直线2310ax y ++=与直线()110x a y +++=互相垂直，所以()21310a a ⨯++=，得35a =-.5. A 因为a β⊥，b β⊂，所以a b ⊥，反之不一定成立，故“a β⊥”是“a b ⊥”的充分不必要条件.6. C 因为()f x 的定义域为R ，且()()x x x x f x f x ---===-，所以()f x 为奇函数，排除选项B ，D.因为5(1)0f =<，所以排除选项A. 7. D 因为353618a S a +==-，所以，33a =-.又63a =，所以17a =-，2d =，则29n a n =-，28n S n n =-，281n S n n =-，所以在416S ，525S ，636S ，749S 中，最大的为749S . 8. A EFGH 是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，//AC EH ，直线EG 和AC 所成角为直线EG 和EH 所成角.因为AC BD ⊥，所以90EHG ∠=︒.因为EF =EH =EG =，故sin GEH ∠=9. BC 由椭圆的性质可知，椭圆C的短轴长为C的离心率12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长为24a =，椭圆C 的焦距为22c =，故选BC.10. AC 由3a ，432a ，52a 成等差数列，得43532a a a =+.设{}n a 的公比为q ，则22310q q -+=，解得12q =或1q =（舍去），所以155********a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得116a =.所以数列{}n a 的通项公式为15111622n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5116121321212n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，故选AC.11. ABD由题意得，)2212sin 1()sin cos sin 2222x f x x x x x ωωωωω-=+=+13sin 2cos 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，所以1ω=. 因为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，故A 正确. 将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到曲线sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象关于y 轴对称，故B 正确.当,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，52,366x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，1sin 2,132x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即()f x 的值域为1,12⎛⎤-⎥⎝⎦，故C 错误.令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈，所以当()f x 取得最值时，()122k x k Z ππ=+∈，故D 正确. 12. ACD 因为在R 上()2f x +是偶函数，()f x 是奇函数，所以()()()222f x f x f x +=-+=--，即()4()f x f x +=-，()8()f x f x +=.又因为当[]0,2x ∈时，2()2f x x x =+，所以()()()5313f f f -===，()()()3513f f f -==-=-，()()()()20202012400f f f f ==⋅⋅⋅==-=，()()()()20212013513f f f f ==⋅⋅⋅==-=-，故选ACD. 二、填空题 13.23 由//a b ，得()220m m --=，则23m =. 14. 0 因为圆()2212x y -+=2，所以圆心()1,0到直线10ax y +-=的距离为1，即2111a d a -==+，所以0a =.15. 3 因为329a b +=，所以161161182(32)312399a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =，3b =时取等号.132 如图，作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，则11B G =.因为13HP =2GP =，所以点P 的轨迹是以G 为圆心，2为半径的圆弧，所以CP 的最小值为2132CG -=.三、解答题 17. 解：选①由24n n a a +-=，可知数列{}n a 的公差为2， 又26S =，可得1126a a ++=，得12a =，所以2n a n =，2n S n n =+，可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++. 选②设数列{}n a 的公差为d ，则由3516a a +=，3542S S +=，得11261681342a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =，2n S n n =+，可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++. 选③当1n =时，12a =，当2n =时，2228S a =+，解得2d =，所以2n a n =，2n S n n =+，可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++. 18. 解：（1）设圆C 的标准方程为()()2220x a y r r -+=>， 因为圆C 过点()1,0，()3,2-，所以()221a r -=，()2234a r -+=，解得32a r =⎧⎨=⎩，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=. （2）设()()2,0M m m >，直线l 的斜率为-1，则直线l 的方程为()2y m x -=--，即20x y m +--=，2=.因为0m >，所以1m =+所以切线l 的方程为3y x =-++.19.（1）证明：在ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒.由余弦定理得BD ==则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥. 因为1AD D D ⊥，1BDD D D =，故AD ⊥平面1D DB .又1BD ⊂平面1D DB ，所以1AD BD ⊥.（2）解：取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥. 由（1）可知平面1D DB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，11D O ===.以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OD 的方向为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则()2,0A -，)B，()0,1,0C ，()D ，()10,0,1D ，则()23,2,0AB =，()113,0,1BBDD ==，()3,1,0BC =-.设平面1B BC 的法向量为(),,n x y z =，则1303000x n BB n z x y BC ⎧⎧+=⎪⎨⋅=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩.令1x =，则3y =，3z =-，有()1,3,3n =-.又()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量， 所以321cos ,771m n m n m n⋅===⨯， 所以二面角1A BC B --的正弦值为327177-=.20. 解：（1）因为sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=， 即sin sin b A a B =，所以3a =，由2221cos 22b c a A bc +-==，得3A π=， ABC △外接圆的半径为132sin 32aA==⨯，所以ABC △外接圆的面积为3π. （2）设BC 的中点为D ，则33AD =. 因为1()2AD AB AC =+， 所以()()2222211272444AB AC A AD B AC c b bc =++⋅=++=， 即2227c b bc ++=.又222b c a bc +-=，得3b =，3c =.所以ABC △的周长为9.21. 解：（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线12x =-的距离等于该点到点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离， 所以曲线C 是顶点在原点，x 轴为对称轴，()1,0F 为焦点的抛物线， 所以曲线C 的轨迹方程为22y x =.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点M 的坐标为()00,x y .因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，所以直线PQ 的斜率为-1.设其方程为y x b =-+，由22y x b y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得2220y y b +-=. 由题意，12y y ≠，从而441(2)840b b ∆=-⨯⨯-=+>①， 所以122y y +=-，所以12012y y y +==-. 又()00,M x y 在直线l 上，所以01x =，所以点()1,1M -， 此时0b =，满足①式.故线段PQ 的中点M 的坐标为()1,1-. 22.（1）解：由()()ln af x x ax e-=-，知()()'()ln 1ln f x ax aex =+=.①当0a >时，定义域为()0,+∞，由'()0f x >，得1x ae>， 由'()0f x <，得10x ae<<； ②当0a <时，定义域为(),0-∞，由'()0f x >，得1x ae<， 由'()0f x <，得10x ae<<. 综上，当0a >时，增区间为1,ae ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,ae ⎛⎫⎪⎝⎭； 当0a <时，增区间为1,ae ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,0ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为ln ()ln()aa g x x ax e e-=+-有正零点，显然0a >， 由（1）知()g x 在10,ae ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,ae ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以min 11ln ()0a a g x g e ae ae e -⎛⎫==-+-⎪⎭≤⎝，即ln 10a a e e ae --+≥.11对于函数()1xh x e x =--，有'()1x h x e =-，由'()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，故()()00h x h ≥=，即不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时，取等号.故当0a >时，1a e a >+，即11a e a -<+. 在不等式1x e x ≥+中，取1ln x a =，可得1ln 1a a ≥-+，即11ln a a -≥-，从而11ln a ae e e-≥-， 所以1111ln 101a a e a ae e ae e ae -+-+>-+≥+，即1211a ea e +>+.。