重点中学自主招生考试数学试卷集
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图 所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个 C.16个 D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ）A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-； ②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ．（第6题图）（正视图）（俯视图）（第7题图）16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ． .19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.(第21题图)N(第22题图)23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值25Q ABC EFPMO（第23题图）．5、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A、3个球B、4个球C、5个球D、6个球5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A、至少有3人票数相等B、至少有4人票数无异C、不会有5人票数一致D、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P，OP=8,过点P所有的弦中长是整数的弦有条。
初三自主招生试卷数学试题
1. 下列哪个数是负数？A. -3B. 3C. 0D. -3.52. 下列哪个数是正数？A. -3B. 3C. 0D. -3.53. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a - b > 0B. a + b < 0C. a - b < 0D. a + b > 04. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b > c，则下列哪个结论一定成立？A. a - b < cB. a + c > bC. b - c < aD. b + c > a5. 下列哪个图形是平行四边形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形6. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形7. 下列哪个方程的解为x = 2？A. 2x + 1 = 5B. 2x - 1 = 5C. 2x + 1 = 3D. 2x - 1 = 38. 下列哪个方程的解为y = 3？A. 2y + 1 = 7B. 2y - 1 = 7C. 2y + 1 = 5D. 2y - 1 = 59. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2xC. y = 3x - 2D. y = 2x^210. 下列哪个方程的解为x = -1？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x - 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
把答案填写在横线上。
）11. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b = c，则这个三角形是______三角形。
12. 若一个数的平方根是2，则这个数是______。
13. 下列哪个数是负数？______。
14. 下列哪个数是正数？______。
15. 若a > b，则下列哪个不等式成立？______。
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷1．202420252024202363030301030×+=−×____________．2x +=的正数解为____________．3．等腰ABC △的底边AC 长为30，腰上的高为24，则ABC △的腰长为____________．4．已知实数m ，n 满足2202410m m ++=，224200n n ++=且1mn ≠，则601n mn=+____________． 5．若x 为全体实数，则函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有____________个． 6．若0abc ≠，1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c c a a b ++=+++____________． 7．K 为ABC △内一点，过点K 作三边的垂线KM ，KN ，KP ，若3AM =，5BM =，4BN =，2CN =，4CP =，则2AP =____________．8．记a ，b ，c 的最小值为{}min ,,a b c ，若{}()min 41,2,24fx x x x =++−+的最大值为M ，则6M =____________．9．已知正方形OBAC ，以OB 为半径作圆，过A 的直线交O 于M ，Q ，交BC 与P ，R 为PQ 中点，若18AP =，7PR =，则BC =____________．10．若a ，b ，c ，d ，e 为两两不同的整数，则22222()()()()()a b b c c d d e e f −+−+−+−+−的最小值为____________．11．PA ，PB 分别为1O 和2O 的切线，连接AB 交1O 于C 交2O 于D ，且AC BD =，已知1O 和2O 的半径分别为20和24，则2180PA PB = ____________．12．已知a ，b ，c 正整数，且只要1111a b c ++<，则111m a b c ++≤，设m 的最小值为r s （r s 为最简分数），则r s +=____________． 13．对于任意实数x ，y ，定义运算符号*，且*x y 有唯一解，满足()()()***a b c a c b c +=+，0*()(0*)(0*)a b a b +=+，则20*24=____________． 14．已知正整数A ，B ，C 且A C >，满足222879897ABC BCA CAB ++=，则ABC =____________．15．等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为____________．2024深圳中学自招答案一、填空题．1．【解析】原式20242025220242023630306303018090054301030301020×+×++===−×−．2．x +=，x =， ∴218232x x x =−， ∵0x >，∴223218x −=，解得：5x =，∴该方程的正数解为5x =．3．【解析】①若ABC △为锐角三角形，如图所示：设ABC △的腰长为x ，在ACD △中，18AD =，在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =，∴ABC △的腰长为25；②若ABC △为钝角三角形，如图所示：在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =（舍）， 综上所述：ABC △的腰长为25．4．【解析】由224200n n ++=得21120()2410n n+⋅+=，∵1m n ≠，∴m ，1n可以视为方程2202410x x ++=的两个实数根， ∴165m n +=−，∴60605011n mn m n ==++． 5．【解析】问题等价于方程2223243x x x x −+=−+的解的个数问题； ∴2240x x x +−=， 当0x ≥时，220x x −=，∴0x =或2x =；当0x <时，260x x −=，∴0x =或6x =（舍）； 综上所述：函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有2个． 6．【解析】222()()a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b++++=+++++++++++， ∴222a b c a b c a b c b c a c a b++=++++++++， ∴2220a b c b c a c a b++=+++． 7．【解析】22222222()()KA KB KM AM KM BM AM BM −=−+=−， 同理可得：2222KB KC BN CN −=−，2222KC KA CP AP −=−，三式相加得：222222AM BN CP BM CN AP ++=++，∴222222.34452AP ++=++，解得212AP =．8．【解析】由题意作出以下图形：考虑24y x =−+与2y x =+的交点即可；联立242y x y x =−+ =+ ，解得2383x y = = ，∴83M =，∴616M =． 9．【解析】连接OP ，设AM x =，ACOC a ==， ∴18PM x =−，32QM x =−，由正方形的对称性：18OP AP ==，由圆幂定理：2AC AM AQ =⋅，22PM PQ OC OP ⋅=−，∴232a x =，2214(18)18x a −=−，∴214(18)3218x x −=−，解得：28823x =，∴BC ==．10．【解析】记1a b x −=，2b c x −=，3c d x −=，4d e x −=，5e a x −=，则1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均为整数且不等于0，同时满足123450x x x x x ++++=，∴1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中存在偶数个奇数，若存在2个1，2个1−，1个2，则对于1x 、2x 、3x 、4x 、5x 构成的数环而言必有一个1与1−相邻，这是不符合要求的，否则存在两数相等；所以至少存在两个数的绝对值为1，3个数的绝对值为2，∴222221234514x x x x x ++++≥，对于(,,,,)(1,3,5,4,2)a b c d e =而言可以取到14，故其最小值为14．11．【解析】过1O 、2O 、P 分别作AB 的垂线，垂足依次为E 、F 、G ， ∴1190PAG O AE AO E ∠=°−∠=∠，2290PBG O BF BO F ∠=°−∠=∠，1122AE AG BD BF ===， ∴1APG O AE △∽△，2BPG O BF △∽△，∴1PA AO PG AE =，2PB BO PG BF =， ∴1122205246AO PA AO AE BO PB AO BF====，∴225180()180()1256PA PB =×=．12．【解析】不妨设a b c ≤≤，则2a ≥，当3a ≥时，1111111133412a b c ++≤++=； 当2a =时，11111112a b c b c ++=++<，∴1112b c +<，∴3b ≥， 当4b ≥时，1111111924520a b c ++≤++=， 当3b =时，1111114123742a b c ++≤++=， 即当(,,)(2,3,7)a b c =时，4142m =，83r s +=． 13．【解析】由(*)(*)(*)a b c a c b c +=+得*(*)(*)a b a c b c c =+−， ∴*(*)(*)*b a b c a c c a b =+−=，取0c =，则*(*0)(*0)(0*)(0*)0*()a b a b a b a b =+=+=+，对于0*()(0*)(0*)a b a b +=+，取0a b ==，得0*00=， 同时0*0(0*)(0*)0c c c =+−=，∴0*2c c =， ∴20*240*(2024)0*4422=+==．14．【解析】首先22228798971000ABC BCA CAB ++=<，∴A 、B 、C 均为一位数，且不为0，即从1到9，其次考虑末尾特点，222A B C ++的末尾为7，而完全平方数的末尾为014569，不考虑0，剩下14569，想要使得末尾为7，可以有1157++=或44917++=或56617++=或99927++=，由于A B C >>，故99927++=舍去（末尾为9的只有3、7两个），若满足1157++=，则对应的数为9、5、1，显然222951519195879897++>，舍去； 若满足56617++=，则对应的数为6、5、4，显然222654546465942057879897++=>，舍去； 若满足44917++=，则对应的数为8、3、2或8、7、2，计算222832328283879897++=符合题意；计算222872728287879897++>，舍去； 综上所述：832ABC =．15．【解析】设该等腰ABC △的腰为a ，底为b ．由题意：112(2)2b a b ×+，∴48(2)b a b +，∴b 2322304(2)ab b a b −=+， ∴33223042304246082(48)(48)b b b b a b b b ++=−+−，∴3230446082(48)(48)(48)(48)b b b a b b b b b +==++−+−， 记4608(48)(48)b k b b =+−，k 为正整数，∴222248480kb b k −×−=，∴2∆==×为完全平方数，m =（m 为正整数），∴22248m k −=，即2()()48m k m k +−=， 由于2824823=×，有(81)(21)27++=个因子，应该存在(271)2114−÷+=组，考虑到()m k +与()m k −应该同奇偶，故存在14311−=组，列举如下： ∴(,)(1152,2)m k m k +−=或(576,4)或(384,6)或(288,8)或(192,12)或(144,16)或(128,18)或(96,24)或(72,32)或(64,36)或(48,48)，∴(,)(577,575)m k =或)290,286(或)195,189(或)148,140(或(102,90)或(80,64)或(73,55)或(60,36)或(52,20)或(50,14)或(48,0)， 根据求根公式，224824848(48)2m m b k k ×+×+=， 代入检验可得：当(,)(102,90)m k =或(80,64)或(60,36)或(52,20)或(50,14)， 依次解得：80b =或96或144或240或336， ∵2a b k =+，∴2b k a +=，解得85a =或80或90或130或175， 综上所述：所有可能的等腰三角形的腰长之和为858090130175560++++=．。
2024年广东省深圳中学自主招生数学试题及答案
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷一、填空题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
1.______.2.方程在的正解为______.3.等腰的底边AC长为30，腰上的高为24，则的腰长为______.4.已知实数m，n满足，且，则______.5.若x为全体实数，则函数与的交点有______个.6.若，，则______.7.K为内一点，过点K作三边的垂线KM，KN，KP，若，，，，，则______.8.已知a，b，c，令a，b，c的最小值为，已知，若的最大值为M，则______.9.已知正方形OBAC，以OB为半径作圆，过A的直线交于M，Q，交BC与P，R为PQ中点，若，，则______.10.若a，b，c，d，e为两两不同的整数，则的最小值为______.11.PA，PB分别为和的切线，连接AB交于C交于D，且，已知和的半径分别为20和24，则______.12.已知a，b，c正整数，且只要则，设m的最小值为为最简分数，则______.13.对于任意实数x，y，定义运算符号*，且有唯一解，满足，，则______.14.已知正整数A，B，C且，满足，则______.15.等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为______.答案和解析1.【答案】54【解析】解：，故答案为：利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答．本题考查了有理数的混合运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．2.【答案】【解析】解：首先，考虑方程的两边统一分母．给定的方程是：，通过通分，我们可以将左边的两个分数合并为一个分数：，展开并化简分母和分子：分母：，分子：，于是原方程简化为：，进一步简化得到：，移项并除以假设，得：，解这个二次方程得到x的值：，，方程的正解为故答案为：根据解无理方程的步骤求解即可．本题考查无理方程，解题的关键是掌握无理方程的解题方法．3.【答案】【解析】解：等腰的底边AC长为30，腰上的高为24，的腰长为，故答案为：根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4.【答案】50【解析】解：由题意可知，m，是方程的两个根，，即，，故答案为：由两个方程的形式可知，m，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与n的数量关系并代入计算即可．本题考查考查根与系数的关系、绝对值，确定m，是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．5.【答案】2【解析】解：方法①：，当时，，联立方程组，，整理，得，解得：，；当时，，联立方程组，，整理，得，解得：，，交点有2个．故答案为：方法②：图象法，在同一坐标系中画两个函数的图象．如图，两函数的交点有2个．根据二次函数的性质，分和两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x的值，确定交点个数即可．本题考查了二次函数的性质，利用分类讨论的思想，解题关键是根据x的取值范围去掉绝对值符号，整理成一般形式求解．6.【答案】0【解析】解：，，，所以故答案为：利用“代1”法将进行变形处理即可求得答案．本题主要考查了分式的化简求值，解题的技巧性在于“1”的巧妙应用．7.【答案】12【解析】解：连接AK、BK、CK，于点M，于点N，于点P，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：连接AK、BK、CK，由，得，，，求得，，，可推导出，则，于是得到问题的答案．此题重点考查勾股定理的应用，正确地作出辅助线并且求得，，是解题的关键．8.【答案】14【解析】解：由题意，令，，，由，解得：，由，解得：，由，解得：，直线与直线的交点为，直线与的交点为，直线与的交点为，当时，，当时，，当时，，当时，，即，当时，；当时，；当时，；当时，综上所述，，即的最小值为，，故答案为：根据题意，令，，，联立方程组可求得直线与直线的交点为，直线与的交点为，直线与的交点为，再分情况进行分析：当时，；当时，；当时，；当时，进而求出M的值，即可得出答案．本题考查了一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组的方法是解题的关键．9.【答案】【解析】解：过P作直径FN，延长CO交于E，连MC、ME、MN、正方形ABOC，，为直径，，，又，，，，，正方形ABOC，，，又，≌，由得由得，即，，，，，，，故答案为：过P作直径FN，延长CO交于E，先证明，故再证明，故最后证明≌，故再换算即可．本题考查了正方形综合题，运用正方形性质，结合相似是解题关键．10.【答案】5【解析】解：，b，c，d为两两不同的整数，，，，，，的最小值为：故答案为：根据题意，a，b，c，d为两两不同的整数，可得，，，，，即可得的最小值为：本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握整式混合运算法则，完全平方公式是解题的关键．11.【答案】125【解析】解：作，，，，，，，，，，，PB分别为和的切线，，，，，，，∽，∽，，，，故答案为：作，，，证，证，，证∽，∽，得出，即可解答．本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线，构造相似三角形是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：，，，，，，，又，，即的最大值为2，，，为最简分数，故答案为：根据题意，，，，可得，，，进而得出，结合已知可得出，即的最大值为2，即可得出m的值，即的值，根据最简分数定义，即可得出答案．本题考查了分式的加减，最简分数定义，代数式求值，掌握分式的加减运算法则，最简分数定义是解题的关键．13.【答案】0【解析】解：令，则，即，令，，故答案为：根据新定义把变成据此解答即可．本题考查了实数的运算、数与式中的新定义问题，理解“*”的规定是关键．14.【答案】832【解析】解：，，，，，，，，，若尾数为7，则在1、4、9、6、5、6、9、4、1中，，此时A、B、C三个数为9、5、1，，此时A、B、C三个数为6、5、4，，此时A、B、C三个数为8、3、2，或8、7、2，下面开始验证，，不符合题意，，不符合题意，，符合题意，，不符合题意，综上，故答案为：根据平方的尾数和特征，从而得出ABC三个数的可能，再代入验证即可．本题主要考查尾数平方的特征，利用尾数和得出A、B、C三个数的可能性是解题的关键．15.【答案】560【解析】解：如图，作于点D，设腰长，底边，则，在中，，，，，故，，，，b为整数，，或，或，或，或，，可能的腰长之和为：故答案为：根据题意将腰长和底边设出来，通过面积和周长的关系建立关于a和b的等式，再利用分式取整的计算方法求解即可．本题主要考查了等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．。
重点高中自主招生数学试题
重点高中自主招生数学试题一、选择题1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于A. 2B. -2C. 1D. -12.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是A. $x \in (-\infty, \ln4)$B. $x \in (-\infty, 2)$C. $x \in (-\infty, \ln2)$D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于A. $f(x)$B. $f(x)+1$C. $f(x-1)$D. $\frac{1}{f(x)}$二、填空题1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。
2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。
3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。
三、解答题1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。
将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$进一步简化为：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\right)=\log_3(x+2)-1$由于等式两边底数相同，因此可以去掉对数符号：$\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}=x+2$接下来，我们将方程进行整理化简为二次方程：$x^2+2x=(x^2+2x+1)(x+2)$展开并合并同类项：$x^2+2x=x^3+4x^2+5x+2$整理得到：$x^3+3x^2+3x+2=0$通过观察，我们可以发现当$x=-1$时，方程成立。
自主招生试题初中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(x)的解析式为（）A. f(x) = 2x - 1B. f(x) = 2x + 1C. f(x) = 2x - 3D. f(x) = 2x + 32. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，若AB = 6，则BC的长度为（）A. 6B. 6√2C. 3√2D. 33. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为（）A. 5B. 6C. 2D. 34. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)5. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a² > b²B. a² < b²C. a > b²D. a < b²二、填空题（每题5分，共25分）1. 若a² + b² = 25，则a² - b²的值为______。
2. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
3. 已知函数f(x) = 3x² - 2x + 1，则f(2)的值为______。
4. 在平面直角坐标系中，点P(3, 4)关于原点的对称点为______。
5. 若a + b = 5，a - b = 1，则a的值为______。
三、解答题（每题15分，共45分）1. 解下列方程：x² - 4x + 3 = 0。
2. 在△ABC中，AB = 5，AC = 8，∠A = 30°，求BC的长度。
3. 已知函数f(x) = 2x² - 3x + 1，求f(x)的对称轴方程。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
自主招生中考数学试卷真题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列选项中，不属于实数的是（）A. 3B. -2C. √2D. π2. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 3x + 2 = 7 的解为（）A. x = 3B. x = 4C. x = 5D. x = 63. 已知 a + b = 5，ab = 6，则a² + b² 的值为（）A. 19B. 23C. 29D. 314. 在直角坐标系中，点 P（2，3）关于直线 y = x 对称的点为（）A. P（3，2）B. P（2，3）C. P（-3，-2）D. P（-2，-3）5. 若 sin A = 1/2，且 A 为锐角，则 cos A 的值为（）A. √3/2B. √3/4C. 1/2D. 1/46. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = √x7. 已知三角形 ABC 的内角 A、B、C 分别为30°、45°、105°，则 sin B 的值为（）A. √2/2B. √2/4C. 1/2D. 1/48. 在等差数列 {an} 中，若 a1 = 3，公差 d = 2，则第 10 项 an 的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 279. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 相似三角形的面积比等于边长比C. 圆的直径是圆的最长弦D. 等腰三角形的底角相等10. 若复数 z = a + bi（a、b ∈ R），且 |z| = 1，则 z 的共轭复数为（）A. a - biB. -a - biC. -a + biD. a + bi二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11. 若等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，公差为 d，则 S5 = 20，d = 2，则 a1 = ______。
自主招生中考数学试卷真题
自主招生中考数学试卷真题
一、选择题
1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(2) 的值。
A) -4 B) -1 C) 0 D) 1
2. 一袋中有红球和白球各若干枚，红球比白球多5枚，如果从袋中
任取3枚，恰好有2枚是白球的概率是3/7。
求袋中共有多少球？
A)11 B)12 C)13 D)14
3. 在三角形 ABC 中，已知 AB = AC，角 A 的平分线交 BC 于点 D，且 BD = CD，若 AB = 10 cm，BC = 8 cm，求 BD 的长度。
A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm
二、填空题
4. 设 a 是正整数且为奇数，若 (a + 2)^2 = 49，则 a 的值为 __。
5. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = (3n^2 - n) / 2，求 {an} 的
通项表达式。
三、解答题
6. 一架飞机从 A 地起飞，并经过 B 地最后到达 C 地，全程为 1000 km。
已知 AC 的长为 800 km，AD 的长为 200 km。
飞机的速度为 v
km/h。
求飞机从 A 地起飞到达 C 地，所用的时间。
7. 有一个水池，水池中有一根直径为 1.6 m 的圆柱形木杆，高度为3.2 m，水池的水位高度为 1 m，问木杆露出水面的长度是多少？
以上就是自主招生中考数学试卷的题目。
你可以根据这些题目进行练习，提升自己的数学水平。
祝你考试成功！。
安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含解析)
芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)
2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。
中考数学自主招生试题
选择题：
1. 下列选项中，哪个数是素数？
A. 9
B. 15
C. 23
D. 30
2. 两个数的最大公因数是8，最小公倍数是40，这两个数分别是：
A. 8、5
B. 8、10
C. 16、5
D. 16、10
3. 某商品原价是120 元，现在打折20%，那么折后的价格是：
A. 20 元
B. 96 元
C. 100 元
D. 144 元
填空题：
1. 一个长方形的长是12 厘米，宽是5 厘米，它的面积是______ 平方厘米。
2. 一个数字的百位数是7，个位数是8，它是______。
3. 若x + 4 = 10，那么x 的值是______。
应用题：
1. 甲、乙两个人一起修一段路，甲单独修完需要6 天，乙单独修完需要10 天。
他们一起工作几天能够完成修路任务？
2. 小明的手机套餐费用是每月50 元，每分钟通话费用是0.2 元。
如果他一共通话了100 分钟，那么他需要支付多少费用？
3. 根据统计数据，某班级男生人数是女生人数的3 倍，班级一共有40 名学生。
求男生和女生的人数分别是多少？。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。
答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。
答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。
2024年浙江宁波鄞州中学强基自主招生数学试卷真题(含答案详解)
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若，且，则______.2.______.3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______.4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______.5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______.6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______.7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为______.8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______.9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______.10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，，，则______.二、解答题：本题共2小题，共16分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的BP，AP分别交于D，C，的面积为判断并证明直线CD与AB的关系.求k的值.若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.12.本小题8分如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于求证：证明：B，O，D，C四点共圆.若，求答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的两个根，，故答案为根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果．2.【答案】【解析】解：原式故答案为：将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题．本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键．3.【答案】18【解析】解：构造图示的三个直角三角形，即，，，满足，，，，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时，在中故答案为本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．4.【答案】1或7【解析】解：由题意，的对称轴是直线，当时，又当时，，当时，，①当最大值为，或不合题意；②当最大值为，或，均不合题意；③当最大值为，不合题意或综上，或故答案为：1或依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．5.【答案】【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E，，设，则，，，点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，当AB与圆O相切时，有最大值，此时：，是等边三角形，，，，，又，，，四边形AOEB是平行四边形，又，四边形AOEB是矩形，，故答案为：由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解．本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键．6.【答案】3【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于，，为线段BC中点，，在和中，，≌，，，面积，，，，，，，故答案为：先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可．本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键．7.【答案】30【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，证明：过A作交BC延长线于点M，则，，；塞瓦定理：如图，，证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在中，COG是梅涅线，①在中，BOE是梅涅线，②根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线，，，，，，，，根据塞瓦定理可得，，，而，，故答案为：根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解．本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案为：根据，得出，从而得出结论．本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．9.【答案】12【解析】解：、y、z是大于1的正整数，是分数，为假分数，为整数，且分子分母能互相约分，，①当，时，分子中定有7，分母中有7才能进行约分，当时，，故符合题意，，②，时，分子中定有13，分母中有13才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，③，时，分子中定有21，分母中有21才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，…………其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和．本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值．10.【答案】【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，，，是等边三角形，，，，CE是的切线，，，，，，，，，∽，，同理可证：∽，得出：，，，，，是直径，，，，，，，，，，，，连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可．本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.【答案】解：如图1，，理由如下：由题意得，，，，，，，，，，∽，，；如图2，作于G，，，，，，舍去，；如图2，取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，是EF的中点，，当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，直线AB的解析式为：，设直线QR的解析式为：，由整理得，，，，舍去，，，，，，，，，【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出；作于G，可推出，进一步得出结果；取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出求得m的值，进一步得出结果．本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，是直径，，，为垂心，，，，，，是平行四边形，，，，，，设半径为r，，，又，；为垂心，，，，，，，，，、C、D、O四点共圆；设，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或舍去，【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到AFCD是平行四边形，从而得到结果；先求出，再结合，，得到四点共圆；设，用x表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果．本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
重点高中自主招生考试数学试卷集大全集
重点高中自主招生考试数学试卷集大全集Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<xA 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ ） A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………（ ）A.22个B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） 2 3 4 69.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） 个 个 个 个（第6题（正视图） （俯视（第7题图）10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ）A.0B.3C.33D.914.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，正方形AEFG的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ．16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．.19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点， 若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边），试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动(第21题图)(第22题图)点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由；(2)连结AQ 交PC 于点F ，设PCPF k =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化证明你的结论． 1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％)A 、6 0B 、40C 、 29D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/253、已知：2)3(3322=+-+x x x x ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四（第23题图）．边形A B CD面积有( )A、最小值12B、最大值12C、．最小值25D、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A、 3个球B、4个球C、5个球D、6个球5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A、至少有3人票数相等B、至少有4人票数无异C、不会有5人票数一致D、不会有6人票数同样2、半径为10的圆0内有一点P，OP=8,过点P所有的弦中长是整数的弦有条。
2024年重点中学自主招生模拟试卷(2)参考答案
2024年重点中学自主招生模拟试卷（2）数学参考答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2024•宁海县校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，当x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，由＝，得AM＝3，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形AEPD是矩形，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，∵∠A＝90°，PD⊥AC，∴PD∥AB，∴＝，即＝，∴AM＝3，∴AM＝AB，即M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，∴P是△ABC三条中线的交点，故选：D．2．（4分）（2024•达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E 分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①先求出，，则，由此可证△CAE∽△ABD，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；②根据△CAE∽△ABD得∠CAE＝∠ABD，再根据三角形外角性质得∠BFE＝45°，由此可对结论②进行判断确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，证明点F在弧AB上运动，则当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，然后求出△ABH的面积即可对结论③进行判断确；④根据点F在弧AB上运动，得当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，然后求出线段CP的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出答案．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，由勾股定理得：AC＝＝，∴，∵AD＝CE，∴，∴，又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，∴△CAE∽△ABD，∴，故结论①正确；②∵△CAE∽△ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，故结论②正确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK ⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如图所示：∴∠AOB＝90°，∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，∵∠DFE＝135°，∴点F在上运动，∵AB＝4，∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，∴AK＝OK＝2，在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，∴OA＝OH＝OB＝OP＝，∴KH＝OH﹣OK＝，∴SABH＝AB•KH＝＝，△故结论③正确；④∵点F在上运动，∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，∴四边形OMBK为矩形，∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，∴CP＝CO﹣OP＝，即CF的最小值是，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．3．（4分）（2023•鄞州区校级一模）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结EC与BG交于M，射线BH交EC于点N，交EF于点Q，交AD于点K，连接KE，则与△DKE面积相等的图形是（）A．△MEF B．△HNEC．四边形MNQF D．△CGM【分析】通过边长设元计算直接求出△DKE的面积，及选项中可求面积，得到面积相等的图形．计算中利用含有等角的直角三角形相似得到边长比例及边长，再利用基本的三角形面积等于底乘高的一半，得到目标三角形面积，最后四配选项中图形面积得到答案．【解答】解：作HP垂直CD于P，作HQ垂直CB于Q，作ET垂直AD于T，如图，设DH＝a，HG＝b，DC＝c，由四个直角三角形全等、正方形ABCD、正方形EFGH，可知：DH＝GC＝AE＝BF＝a，AB＝BC＝CD＝AD＝c，HG＝GF＝EF＝HE＝b，ET＝HP＝CQ，在Rt△DHC中，根据勾股定理得，c2＝a2+（a+b）2，∵△HCQ∽△CDH，∴，∴．∴，∴BQ＝CB﹣CQ＝c﹣，∵△KBA∽△BHQ，∴，∴AK＝AB×＝c×＝，∴DK＝AD﹣AE＝c﹣＝，∴SDKE＝，△∵ET＝HP＝CQ＝，∴SDKE＝＝＝，△∵△CGM∽△EFM，∴，∴GM＝，CG＝a，∴，∴SGMC＝S△DKE，故选项D正确；△同理FM＝，，故A错误；∵△HEC≌△GHB，∴∠HCE＝∠GBH，∴∠GBH+∠GHB＝∠HCE+∠GHB＝90°，∴△HEN∽△CEH，∴，∴，故B错误；同理，，∵△HEQ∽△BFQ．∴，∴，∴梯形HGFQ的面积＝，∴四边形HGMN的面积＝SHCN﹣S△GMC＝，△四边形MNQF的面积＝梯形HGFQ的面积﹣四边形HGMN的面积＝＝≠，故C错误；故选：D．4．（4分）（2023秋•洛江区期中）设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18B．20C．24D．25【分析】利用等式（n≥3），代入原式得出数据的规律性，从而求出．【解答】解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．5．（4分）（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）A．3B．6﹣4C．2﹣2D．2【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．【解答】解：取OB中点N，连接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M、N分别是BC、OB的中点，∴MN＝OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴线段AM的最小值是3，故选：A．6．（4分）（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．PA+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得SABCD＝四边形（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B 共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，此时PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴SADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣△2m+2，SDKTC＝（m+2﹣m）•2＝2，梯形∴SABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣四边形1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．7．（4分）（2023•宁波自主招生）如图所示，半径为r的圆O内切于正△PQR，M为边PQ 上一点，N为边PR上一点，且直线MN与圆O相切于点E，△PMN的内切圆C与MN相切于点F．若圆C的半径为，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，利用等边三角形的性质、切线长定理、解直角三角形等即可求得答案．【解答】解：如图1，设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，则CD⊥PQ，CG⊥PR，PD＝PG，MD＝MF，NF＝NG，ME＝MT，NE＝NK，PT＝PK，∵CD＝CG，∴PC平分∠QPR，同理，PO平分∠QPR，∴P、C、O三点共线，∵△PQR是等边三角形，∴∠QPR＝60°，∴∠OPQ＝∠QPR＝30°，∴PD＝＝＝r，CP＝2CD＝r，∵PD＝PG＝，∴＝r①，在Rt△POT中，PT＝＝＝r，OP＝2OT＝2r，∵PT＝PK，PT+PK＝PM+MT+PN+NK＝PM+ME+PN+NE＝PM+PN+MN，∴PT＝，∴＝r②，∴②﹣①得：MN＝r，如图2，过点C作CL⊥OE，交OE的延长线于L，则∠L＝∠CFE＝∠FEL＝90°，∴EL＝CF＝r，CL＝EF，∴OL＝OE+EL＝r+r＝r，OC＝OP﹣CP＝2r﹣r＝r，在Rt△OCL中，CL＝＝＝r，∴EF＝r，∴＝＝．故选：D．8．（4分）（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA ＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A．B．C．D．【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，T（2，2），K（1，），∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故选：A．9．（4分）（2022•常州自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB ＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．10．（4分）（2022•九龙坡区自主招生）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（）A．B．2C．2D．【分析】根据折叠的性质和平角定义，证明∠DAB＝90°，四边形APCD是平行四边形，根据平行四边形的性质和含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，∵AD∥BC，AD＝CP，∴四边形APCD是平行四边形，∴AR＝PR，∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝PB，∴PB＝QR，∴＝，故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．（5分）（2024•九龙坡区自主招生）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为．【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM 的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM 相似，根据相似比可得最终结果．【解答】解：设EF与CG的交点为M，在矩形ABCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF＝，∴∠FEC＝∠DEC，∴EM＝CM，∵FG∥CE，∴△GFM∽△CEM，∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM，∴GM＝FM，EF＝CG＝2，∵DG：GC＝1：4，AB＝，∴DG＝，CG＝EF＝2，∴CE＝＝，设GM＝x，则CM＝2﹣x；∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，即（）2+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，∴GM＝FM＝，CM＝EM＝，∴GF：＝：，∴GF＝．故答案为：．12．（5分）（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是82．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为4564．【分析】设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），根据最小的“方减数”可得m＝10，n＝18，即可求解；根据B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），得出为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐个检验计算，即可求解．【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，∴要使“方减数”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，当b＝0时，m2﹣n最小为82；②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余数为1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴＝53a+5b+为整数，又2m+n＝k2（k为整数），∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小为49，最大为256，即7≤k≤16，设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3，（Ⅰ）当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3﹣a，30a+b+8＝30a+3﹣a+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b＝，30a+b+8＝30a++8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则，是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，∴A＝682﹣60＝4564，故答案为：82，4564．13．（5分）（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝．【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E为AD中点，∴CE＝AE＝DE＝AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴＝，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴＝，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF＝CD＝1，∵E为AD中点，∴AC＝2EF，∴＝，∴2EF2＝（x+1）（x+2），∵EF2＝CE2﹣CF2，∴＝（2x+4）﹣12，解得x＝或x＝（小于0，舍去），∴BD＝．故答案为：．14．（5分）（2024•宁海县校级自主招生）如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是．【分析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE＝CA，当CD是直径时的值最小．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，∴OC＝OD＝AB，∴A，C，B，D四点共圆，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，∴∠CDB＝∠CDA，∴DE平分∠ADB，∵BE平分∠ABD，∴点E是△ABD的角平分线的交点，∴AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，∴∠CAE＝∠CEA，∴CA＝CE＝定值，∴当CD的值最大时，的值最小，∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，故答案为．15．（5分）（2024•渝中区校级自主招生）如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，SOAB＝，将△OAB沿OB翻折至△△OA′B，反比例函数恰好经过点B和点A′，连接A′C交x轴于点M，则点M的坐标为．【分析】过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，根据矩形及翻折的性质得∠BA'O＝90°，SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，再根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D △＝，由此可得SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，则SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝梯形，整理得2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，据此可得a＝2b，则点A'，设直线OB的表达式为y＝mx，将B代入y＝mx，得，直线OB的表达式为，再证四边形A'CHG为矩形得A'C∥OB，可设直线A'C的表达式为，将点A'代入，得，则直线A'C的表达式为，进而得点，证△A'OD和△BA'F相似得BF：A'D＝A'F：OD，根据A'，B得BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，则由此解出b即可得点M的坐标．【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，如图所示：∵四边形OABC为矩形，且SOAB＝，△∴SOBC＝S△OAB＝，△∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B，∴SOA'B＝S△OAB＝，∠BA'O＝90°，△∴SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，△根据反比例函数比例系数的几何意义得：SOBE＝S△OA'D＝，△∵A'D⊥x轴，BE⊥x轴，∴四边形A'BED为梯形，∵SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，∴SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝，梯形∴，整理得：2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，∵a＜b＜0，∴2a+b＜0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴点A'．设直线OB的表达式为：y＝mx，将B代入y＝mx，得：，∴直线OB的表达式为：，∴SOA'B＝OB•A'G＝，S△OAC＝OB•CH＝，△∴OB•A'G＝OB•CH，∴A'G＝CH，又∵A'G⊥OB，CH⊥OB，∴四边形A'CHG为矩形，∴A'C∥OB，设直线A'C的表达式为：y＝tx+n，则，∴直线A'C的表达式为：入，将点A'代入，得：，∴直线A'C的表达式为：，对于，当y＝0时，，∴点M的坐标为，∵A'D⊥x轴，BF⊥DA'，∴∠A'DO＝∠BFA'＝90°，∠FBA'+∠FA'B＝90°，∵∠BA'O＝90°，∴∠FA'B+∠DA'O＝90°，∴∠DA'O＝∠FBA'，∴△A'OD∽△BA'F，∴BF：A'D＝A'F：OD，∵A'，B，∴BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，∴，整理得：b4＝36，∴，（不合题意，舍去），∴，∴点M的坐标为．故答案为：．16．（5分）（2022•成都自主招生）在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为（0，﹣2）；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为（0，2）或（0，﹣3）．【分析】观察直接可得线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF于G，过D作DF⊥GF于F，设E（m，n），由△DEF≌△ECG（AAS），得EF＝CG，DF＝GE，可得，解得E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，由∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，知N是线段CD关于y 轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，根据E（，﹣），C（3，3），得NH＝＝，N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3）．【解答】解：如图：∵A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），∴线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标为（0，﹣2），以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF 于G，过D作DF⊥GF于F，如图：设E（m，n），∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEG＝∠GCE，又∠F＝∠G＝90°，DE＝CE，∴△DEF≌△ECG（AAS），∴EF＝CG，DF＝GE，∵点C（3，3），点D（6，﹣1），∴，解得，∴E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，如图：∵∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，∴N是线段CD关于y轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，∵E（，﹣），C（3，3），∴CE＝＝EN，HE＝，∴NH＝＝，∴N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3），∴线段CD关于y轴的“半直点”坐标是（0，2）或（0，﹣3），故答案为：（0，﹣2），（0，2）或（0，﹣3）．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（10分）（2024•福建）已知实数a，b，c，m，n满足，．（1）求证：b2﹣12ac为非负数；（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．【分析】（1）根据题意，可得b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．【解答】解：（1）证明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是实数，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a为奇数，∴a（3m+n）必为偶数，这与b为奇数矛盾；②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，又∵，∴c＝amn，∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；综上所述，m，n不可能都为整数．18．（10分）（2024•广东）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC．【数学理解】（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′．【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tan B＝，点D在AB上，AD＝．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE＝．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证；（2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证；（3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE 为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可．【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠DEA＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCA，∴AB＝BC．（2）证明：连接AA'，∵旋转，∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D，∴，∴△ADA′∽△CDC′，∴，∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线，∴AD＝BD，BF＝A'F，∴DF是△AA'B的中位线，∴AA'＝2DF，∴，∴2DF•CD＝BD•CC'（3）解：存在，理由如下，解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN，∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径，∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，∴∠AGD+∠CGE＝180°，∵tan B＝，BE＝3，∴BD＝5，∵CE＝，∴EN＝CE＝，∴BN＝BE+EN＝，∵DE⊥CE，∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外，作NF⊥AB，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°，∴△BDE∽△BNF，∴，∴NF＝＞，即NF＞r n，∴AB在⊙N外，∴G点在四边形ADEC内部．作MH⊥BC，∵BM＝，tan B＝，∴BH＝，MH＝，∴NH＝，∴MN＝≈7.4＜AM+CN∴⊙M和⊙N有交点．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．解法二：相似互补弓形，分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求．作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC，②作AD的中垂线，③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2，④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求．证明：∵＝＝，∴△O2AD∽△OEC，∴∠AO2D＝∠EOC，∵∠AGD＝（360°﹣∠AO2D）＝180°﹣∠AO2D，∠EGC＝∠EOC，∴∠AGD+∠EGC＝180°．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．19．（10分）（2023•鼓楼区校级自主招生）已知a+b+c＝2023，，求的值．【分析】依据题意，设，从而a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy），再代入式子中进行计算可以得解．【解答】解：由题意，设，∴a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy）．∴原式＝＝＝＝＝k（x2﹣yz）+k（y2﹣xz）+k（z2﹣xy）＝a+b+c＝2023．20．（10分）（2023•安徽自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m 的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y ＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由；（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x ≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．【分析】（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M1M2、M1F、M2F，证出M1F•M2F＝M1M2，最后可求+＝1；（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1，因为抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x1的值不断增大，所以当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x0处取得，根据题意列出方程求出x0，即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）∴0＝﹣+m，∴m＝．∴一次函数的解析式为y＝x+．∴点C的坐标为（0，）．∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，代入得：，解得，∴y＝﹣x2+x+．∴a的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+．（2）+为定值；理由如下：要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5，∴B（5，0），∵D（0，），∴直线BD解析式为y＝﹣x+，∴F（2，）．令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1，则＝2k+b1，∴b1＝﹣2k则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k．解法一：由，得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0，∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k，∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴M1M2＝＝＝＝＝＝4（1+k2），M1F＝＝＝，同理M2F＝，∴M1F•M2F＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝4（1+k2）＝M1M2，∴+＝＝＝1；解法二：∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+，∴（x﹣2）2＝9﹣4y，设M 1（x 1，y 1），则有（x 1﹣2）2＝9﹣4y 1．∴M 1F ＝＝＝﹣y 1；设M 2（x 2，y 2），同理可求得：M 2F ＝﹣y 2．∴+＝＝＝①．直线M 1M 2的解析式为y ＝kx +﹣2k ，即：y ﹣＝k （x ﹣2）．联立y ﹣＝k （x ﹣2）与抛物线（x ﹣2）2＝9﹣4y ，得：y 2+（4k 2﹣）y +﹣9k 2＝0，∴y 1+y 2＝﹣4k 2，y 1y 2＝﹣9k 2，代入①式，得：+＝＝1．（3）设y 2与y ＝﹣x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 1，∵抛物线C 2：y 2＝﹣（x ﹣h ）2可以看成由y ＝﹣x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大，∴当1＜x ≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在x 1处取得∴当x 0＝1时，对应的x 1即为m 的最大值将x 0＝1代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 得（1﹣h ）2＝4，∴h ＝3或﹣1（舍），将h ＝3代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 有：﹣（x ﹣3）2＝﹣x ，∴x 0＝1，x 1＝9．∴m 的最大值为9．21．（10分）（2022•宣城自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在边BC上，延长AD，AE与△ABC的外接圆分别交于P，Q两点．（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的长度．【分析】（1）连接BQ，根据同弧所对圆周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°结合等腰三角形性质可证∠PDE+∠EQP＝180°，最后得证∠P+∠DEQ＝180°即可；（2）先证明△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质求得，再证明△ABE∽△AQB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接BQ，∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠AQB，∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，∴∠PDE+∠EQP＝180°，∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，∴∠P+∠DEQ＝180°，∴D，E，Q，P四点共圆；（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，由（1）知∠ABC＝∠C，∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DAB，∴，即，∴，由（1）可知∠ABE＝∠AQB，∵∠BAE＝∠QAB，∴△ABE∽△AQB，∴，即，解得AQ＝6．22．（10分）（2022•南京自主招生）已知a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，求（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值．【分析】利用根与系数的关系及方程根的定义，利用整体的思想方法，用含t的代数式表示要求代数式的积得结论．【解答】解：∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝t﹣3，b2﹣2b+t﹣3＝0．∴b2＝2b+3﹣t．∴（2a+5﹣t）（b2+2）＝（2a+5﹣t）（2b+3﹣t+2）＝（2a﹣t+5）（2b﹣t+5）＝4ab﹣2bt+10b﹣2at+t2﹣5t+10a﹣5t+25＝t2+4ab﹣2t（a+b）+10（a+b）﹣10t+25．把a+b＝2，ab＝t﹣3代入得t2+4（t﹣3）﹣2t×2+10×2﹣10t+25＝t2+4t﹣12﹣4t+20﹣10t+25＝t2﹣10t+25+8＝（t﹣5）2+8．∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（t﹣3）＝4﹣4t+12＝﹣4t+16≥0，∴t≤4．∵（t﹣5）2≥0，∴当t＝4时，（t﹣5）2+8＝（4﹣5）2+8＝1+8＝9．∴（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值是9．23．（10分）（2022•成都自主招生）如图，抛物线y＝﹣x2+2mx+m+2与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设D是第四象限内抛物线上的点，连接AD、OD、CD，SCOD：S△AOD＝12：5．△①求点D的坐标；②连接BD，若点P，Q是抛物线上不重合的两个动点，在直线x＝a（a＞0）上是否存在点M，N（点A，P，M按顺时针方向排列，点A，Q，N按顺时针排列），使得△APM≌△AQN且△APM∽△ABD？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设A坐标（﹣x0，0）B（3x0，0），x0≠0且x0＞0，把A、B代入抛物线解析式得到关系式：8﹣8mx0＝0，由两根的积等于，所以可得m的值和解析式；（2）①设D（x0，y0），已知S△COD：S△AOD＝12：5，S△COD＝CO×x0，S△AOD＝AO•（﹣y），可得出x0，y0关系式y0＝﹣x0，D在抛物线上，把D代入抛物线，可得D的坐标；②由题意知△APM≌△AQN，所以AM＝AN，即M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，根据题意可得出△APQ∽△AMN，△AMN的中线在x轴上且与△APQ中线夹角为45°，可得出△APQ的中线在y＝x+1上，同时，P、Q关于y＝x+1对称，设P、Q解析式为y＝﹣x+b，PQ中点为（m，n）解方程组得到AR的长度，即x＝a与x轴交于H，由△APQ∽△AMN，可得到a的值．【解答】解：（1）由题设A坐标（﹣x0，0），则B为（3x0，0），x0≠0且x0＞0，则有，①﹣②得8﹣8mx0＝0，又∵﹣x0•3x0＝＝﹣m﹣2，则解得m＝1或﹣（舍去），即m＝1，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图所示：①设D（x0，y0），则SCOD＝×CO•x0＝x0，△SAOD＝×AO×（﹣y0）＝﹣y0，△又∵SCOD：S△AOD＝12：5，△∴＝①，又∵点D在抛物线上，∴y0＝﹣+2x0+3②，联立①②解得：x0＝4或x0＝﹣（舍去），则x0＝4，y0＝﹣5，即点D的坐标为（4，﹣5），②由（1）得B（3，0），如图2，∵△APM≌△AQN，∴AM＝AN，又∵P、Q不重合，则M、N不重合，且MN都在x＝a上，∴M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，∵△APM∽△ABD，∴△AQN∽△ABD，且相似比相同，∴△APQ∽△AMN，且∠NAQ＝∠DAB＝45°，∴△AMN的中线与△APQ中线夹角也为45°，而△AMN的中线在x轴上，∴△APQ的中线在y＝x+1上，∴P、Q关于y＝x+1对称，PQ垂直y＝x+1．设PQ解析式为：y＝﹣x+b，PQ中点为R（m，n），联立，∴x2﹣3x+b﹣3＝0，x1+x2＝3，∴m＝，将R（，n）代入y＝x+1得n＝，∴R（，），∴AR＝，设x＝a与x轴交于H，则由△APQ∽△AMN可得，＝＝＝，∴AH＝，∴a＝．24．（10分）（2022•洪山区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x轴，y轴的交点分别为P，Q，且经过P，Q两点的抛物线y＝x2+mx+n与x轴的另外一个交点为点M．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E是直线PQ下方的抛物线上的一动点（不包括P，Q两点）．①过点E作与x轴垂直的直线EF交直线PQ于点F，若点N为y轴上的一动点，当线段EF的长度最大时，求的最小值；②当tan∠EPM＝tan∠MQP时，求点E的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，进而求解；②求出tan∠PQM＝＝，得到tan∠EPM＝1，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x+6，当x＝0时，y＝6，令y＝x+6＝0，则x＝﹣6，故点P、Q的坐标分别为（﹣6，0）、（0，6），将点P、Q的坐标代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝x2+7x+6；（2）①设点F（x，x+6），则点E（x，x2+7x+6），则EF＝（x+6）﹣（x2+7x+6）＝﹣x2﹣6x，∵﹣1＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣3，即点E（﹣3，﹣6），过点O作OH，使OH和y轴负半轴的夹角为45°，过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，则＝EN+HN，则E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，则直线OH和x轴的夹角为45°，故OH的解析式为：y＝﹣x，直线EH的解析式为：y＝（x+3）﹣6＝x﹣3，联立y＝﹣x和y＝x﹣3并解得：x＝，则点H（，﹣），由点E、H的坐标得，EH＝＝；②过点M作MH⊥PQ于点H，由PQ的表达式知，∠QPO＝∠PQO＝45°，由点P、Q的坐标得，PQ＝6，则HM＝HP＝PM＝，则HQ＝PQ﹣PH＝6＝，则tan∠PQM＝＝，∵tan∠EPM＝tan∠MQP，则tan∠EPM＝1，即直线PE和x轴正半轴的夹角为45°，故直线PE的解析式为：y＝﹣（x+6）＝﹣x﹣6，联立y＝﹣x﹣6和y＝x2+7x+6并解得：，即点E（﹣2，﹣4）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2009年漳州双语实验学校高中阶段自主招生考试数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）学校 班级 姓名 号数 准考证号亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卡．．．的相应位置上，写在试卷上不得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有．．一个．．正确的选项，请把正确答案的代号填写在答题卡．．．中相应的表格内） 1．下列计算正确的是A ．32a a a =∙ B ． 523)(a a = C ． 32a a a =+ D ． 326a a a =÷ 2．不等式组⎩⎨⎧≥->+0401x x 的解集是A ．41≤≤-xB ．41≥-<x x 或C ．41<<-xD ．41≤<-x3．一组数据：3，4，5，x ，7的众数是4，则x 的值是A ．3B ．4C ．5D ．6 ４．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是A B D ５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为A ．5B ．6C ．7D ．8６．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U 变化的图像是7．下列事件是必然事件的是A ．直线b x y +=3经过第一象限；B ．方程0222=-+-xxx 的解是2=x ；C ．方程34-=+x 有实数根；D ．当a 是一切实数时，a a =2．8．如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD 为⊙O 的直径，则BD 等于 A.4 B.6 C.8D.1210．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 A ．41-n cm 2 B ．4n cm 2 C ．41cm 2D ．n )41( cm 2二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡．．．的相应位置上） 11．2009-的相反数是 ．12．分解因式:222-m = ．13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表示为毫米．14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB= ． 15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离<直线距离>约是 千米（精确到千米）．16．如图，菱形OABC 中，120A = ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧,,A B B B '''C ，A '弧CB 围成的阴影部分的面积是 ．(结果保留根号)F E B D C A B ''北京* 台北 * 600千米 ODC B A第９题 第１０题 第第１4题第１5题17．若方程组⎩⎨⎧=-=+a by x b y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，那么b a -= ．18．从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ．三、解答题(共8小题，满分78分. 请将答案写在答题卡．．．的相应位置上) 19．（满分8分）计算：20)2(30sin 2)23(-+-- 20．（满分8分）小明和小颖在玩“石头、剪刀、布”的一次游戏中，他们平局的概率是多少？ （请列表或画树状图分析） 21．（满分8分）如图, 将矩形EFBC 一条对角线FC 向两端延伸，使AF=DC ，连接AB 、ED ．求证：AB ∥ED ． 22．（满分10分）2009年10月1日是中华人民共和国成立六十周年纪念日，某中学举行了一次“建国知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本，绘制了如下的统计图．请根据图中的信息回答下列问题： （1）此样本抽取了多少名学生的成绩？（2）此样本数据的中位数落在哪一个范围内？(请直接写出该组的分数范围）（3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，已知该校有900名学生参加了这次竞赛活动，请估计该校获得优秀成绩的学生人数约为多少名？23．（满分8分）为了更好地宣传“2010年上海世博会”，“和谐之旅”号京沪城际铁路于2009年5月1日正式开通运营，预计高速列车在北京、上海间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到上海的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由上海返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由上海返回北京比去上海时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由上海返回北京的平均速度是每小时多少千米？ 24．（满分10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过点A 作AD ⊥BC 于点D （如图），则 sin B =c AD ，sin C =bAD，即AD =c sin B ，AD =b sin C ， 于是c sin B =b sin C ，即CcB b sin sin =． 同理有A aC c sin sin =，BbA a sin sin =．第21题所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． （1）在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠B ，运用上述结论．．．．(*)．．．和有关定理．．．．．就可以求出其余三个未知元素c 、∠A 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a 、b 、∠B∠A ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B∠C ；第三步：由条件c ． （2）如图，已知：∠A =60°，∠C =75°，a =6，运用上述结论(*)试求b ．25．（满分12分）如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、08)0,2(B A ，OBC OCA ∠=∠。
（1）求抛物线的解析式；（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标；（3P 的坐标．26．(满分14已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．A BF DEMNCAB C第26题2011年漳州一中高中自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！ 答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分）1.下列运算正确的是…………………………………………………………（ ）A.22532b a ab ab =+ B.632a a a =⋅C.)0( 122≠=-a a aD.y x y x +=+ 2.如图，点A 在数轴上表示的实数为a ，则2-a 等于…………………（ ）A.2-aB.2+aC.2--aD.2+-a 3.甲、乙两名运动员在10次的百米跑练习中，平均成绩分别为x 甲7.10＝秒，x乙7.10＝秒，方差分别为S 2甲054.0=，S 2乙103.0=，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是……………………………（ ）A.甲运动员B.乙运动员C.甲、乙两人一样稳定D.无法确定4.如图，A 、B 、C 、D 是直线l 上顺次四点，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且6=MN cm ，1=BC cm ，则AD 的长等于……………………（ ）A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm5.已知等腰三角形的一个外角等于︒140，则这个三角形的三个内角的度数分别是……………………………………………………………………………（ ）A.︒20、︒20、︒140 B.︒40、︒40、︒100 C.︒70、︒70、︒40 D. ︒40、︒40、︒100或︒70、︒70、︒40 6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点 A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y ． A –1 0 1 2 3 ． ． ． ．． （第2题图）A MBC ND l ． ． ． ．． ． （第4题图）轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ ） A.2 B.3C.6D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图 所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上） 11.函数12-+=x x y 的自变量x12.分解因式：=+-xy y x 273313.把2007个边长为1图形，则这个图形的周长是． 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-； ②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F B C D 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S△APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．EABCDG F（第14题图）（第13题图）… （正视图） （俯视图） （第7题图）（第16题图）三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上）17.计算：2330tan3)2(0---- .18.先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--+2122xx÷24--xx，其中42-=x.19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.(第21题图)N(第22题图)23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP .(1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论．Q ABC EFPMO（第23题图）．2011年浙江省象山中学提前招生数学试题一、选择题(每小题5分，共30分)1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样 二、填空(：每小题5分，共30分、} 1、姚明在一次“N BA”常规赛中，22投144中得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了一个两分球和 个罚球。