高中数学教案第二章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差课前导引素材新人教B版选修2_3
高中数学必修2-3第二章2.3 2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差1．问题导航(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ (3)如何计算简单离散型随机变量的方差？ 2．例题导读(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P 68练习1题． (2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P 68练习3题．1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑n i ＝1(x i －E (X ))2p i . ②标准差为________D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝________a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝________p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝________np (1－p )．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D ．1答案：C3．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2 答案：D4．已知随机变量X ________.答案：3.561．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差；[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[互动探究] 在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.1．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了1．(1)已知随机变量ξ若E (ξ)＝23，则D (ξ)的值为________．解析：由分布列的性质，得 12＋13＋p ＝1，解得p ＝16. ∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59. 答案：59(2)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差． [解] (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60(s)，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．2．(1)(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13(2)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.均值、方差的综合应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y 的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．试求D (X )和D (2X －1)．[解] E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D (2X －1)＝4D (X )＝4×1.56＝6.24.[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即D (aZ ＋b )＝aD (Z )＋b . (2)解决此类问题方法，应利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )，将求E (aX ＋b )，D (aX ＋b )的问题转化为求E (X )，D (X )的问题，从而可以避免求aX ＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．4．已知随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320解析：选B.由X ～B (100，0.2)知n ＝100，p ＝0.2， 由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16， 因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256.1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.随机变量ξ∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 答案：乙4．若随机变量X 的分布列为：(1)求m 的值；(2)求E (X )和D (X )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得0.1＋0.2＋0.4＋m ＋0.1＝1，解得m ＝0.2.(2)E (X )＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0，D (X )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析：选C.由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 2．设X ～B (n ，p )，若D (X )＝4，E (X )＝12，则n 和p 分别为( ) A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解析：选A.∵X ～B (n ，p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np （1－p ）＝4，解得p ＝23，n ＝18.3．已知X 的分布列如下表所示，则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的有( )A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C.E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故只有①③正确． 4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. ∴D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.5．(2015·滨州高二期末检测)若随机变量X 的分布列为：P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：选A.依题意有a ＝1－13＝23，所以E (X )＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (X )＝13(m－2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (X )有最小值为0.6．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n (p ＋1－p 2)2＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25,D （ξ）max ＝25＝5.答案：1258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－53)2×13＋(3－53)2×16＝59.答案：599．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．解：ξ的可能值为0，1，2，P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (ξ)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)， 得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.[B.能力提升]1．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布列大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解：∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， ∵E (X )＝E (Y )，D (X )＜D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．2．如表，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X 的分布列及其均值、方差．解：可能为0个，1个，2个，4个．P (X ＝0)＝9A 44＝924，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝824， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624，P (X ＝4)＝1A 44＝124. 故X 的分布列为：∴E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1， D (X )＝924×(0－1)2＋824×(1－1)2＋624×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1. 3．某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．(1)任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；(2)任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差． 解：设事件A ：选报法语课；事件B ：选报日语课．由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.75，P (B )＝0.6.(1)法一：任选1名同学，该同学一门课程都没选报的概率是P 1＝P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝0.25×0.4＝0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名同学，该同学只选报一门课程的概率是P 3＝P (AB )＋P (AB )＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45，该人选报两门课程的概率是P 4＝P (AB )＝0.75×0.6＝0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)＝(或ξ的期望是E(ξ)＝3×0.9＝2.7)，ξ的方差是D(ξ)＝3×0.9×(1－0.9)＝0.27.。
高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学案 新人教B版选修23
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量ξ是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以ξ的可能值为1，2，3，4，5，易知：P （ξ=1）=51=0.2,P(ξ=2)=54·41=0.2, P(ξ=3)=54·43·31=0.2,P(ξ=4)=54·43·32·21=0.2,P(ξ=5)=54·43·32·21·1=0.2,∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2. 温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：Dη=Eη2-(Eη)2求. 二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A 、B 两台测量仪器测量一长度为120 mm 的工件时分布列如下：试比较两种仪器的优劣.解析：设随机变量ξ1表示用A 仪器测量此产品长度的数值，随机变量ξ2表示用B 仪器测量此产品长度的数值，从而有E ξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,D ξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.729 9,E ξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,D ξ2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.989 9， 由此可知，E ξ1=E ξ2,D ξ1<D ξ2,∴A 仪器测量结果波动较小，表明A 仪器质量较好. 温馨提示本题若仅由Eξ1=Eξ2,易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）. 三、离散型随机变量的方差的最值【例3】 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p （0<p<1）,用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差Dξ的最大值？ （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ， 从而Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2.(1)Dξ=p -p 2=-(p 2-p+41)+41 =-(p 21-)2+41,∵0<p<1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值，最大值为41. (2)ξξE D 12-=p p p )(22-=2-(2p+p1),∵0<p<1, ∴2p+p1≥22, 当2p=p1,p=22时，取“=”，因此，当p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22. 各个击破类题演练 1且0<p<1.q=1-p,求D （X ）.解析：由题目知X 服从二点分布，所以 E （X ）=p,D(X)=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q 2p+p 2q=pq.这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X 围绕期望的平均波动大小为pq. 变式提升 1已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： P （X=k ）=kC 40.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求E （X ）和D （X ）.解析：根据题目知道离散型随机变量X 服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以 E （X ）=np=4×0.1=0.4,D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36. 类题演练 2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差. 解：设该学生在这次数学测试中选择正确答案的个数为X ，所得的分数（成绩）为Y ，则Y=4X. 由题知X~B （25，0.6）, ∴EX=25×0.6=15, DX=25×0.6×0.4=6, EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96. 点评：审清题意得出X~B （25，0.6）是解本题的重要一步. 变式提升 2若X 是离散型随机变量，P （X=x 1）=32,P(X=x 2)= 31,且x 1<x 2,又已知EX=34,DX=92,则x 1+x 2的值为（ ）A.35B.37C.3D.311解析：由EX=32x 1+31x 2=34得2x 1+x 2=4① 又DX=（x 1-34）2·32+(x 2-34)2·31=92得 18x 12+9x 22-48x 1-24x 2+29=0②由①②，且x 1<x 2得x 1+x 2=3. 答案：C类题演练 3设一随机试验的结果只有A 和A ，且P （A ）=p ，令随机变量X=1， ⎩⎨⎧不出现出现A A ,0,1则X的方差DX 等于（ ）A.pB.2p(1-p)C.-p(1-p)D.p(1-p) 解析：EX=0·（1-p ）+1·p=p,DX=(0-p)2·（1-p ）+(1-p)2·p=p-p 2=p(1-p). 答案：D变式提升 2甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，它们收获情况如下：试评价哪种水稻的质量较好.解：设甲、乙两种水稻的亩产量分别为ξ1,ξ2,则P （ξ1=300)=10020=51,P(ξ1=320)=10025=41, P(ξ1=330)=10040=52,P(ξ1=340)=10015=203;P (ξ2=310)=10030=103,P(ξ2=320)=10020=51,P(ξ2=330)=10040=52,P(ξ2=340)=10010=101.从而有Eξ1=300×51+320×41+330×52+340×203=323. Eξ2=310×103+320×51+330×52+340×101=323.这表明两种水稻的平均亩产量相等，进一步求各自的方差，得Dξ1=（300-323）2×51+(320-323)2×41+(330-323)2×52+(340-323)2×203=171, Dξ2=(310-323)2×102+(320-323)2×51+(330-323)2×52+(340-323)2×101=101,即有Dξ1>Dξ2.这说明乙种水稻其亩产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好.。
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
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【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
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错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
高中数学2.32离散型随机变量的方差教案选修选修2-3
2021年高中数学2.3 2离散型随机变量的方差教案新人教A版选修选修2-3教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.2过程与方法：了解方差公式“ D(aE+b尸aD±〞,以及"假设E〜B(n, p),那么D± =np(i—p)〞, 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.情感、态度与价值观：承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,表达数学的文化功能与人文价值.教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 .教学难点：比拟两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪.教学设想：了解方差公式“ D(aE +b尸a2DE :以及“假设E〜B(n, p),那么DE =np(1 —p)〞,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.授课类型：新授课 .课时安排：2课时.教具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天, 我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差^回忆一组数据的方差的概念：设在一组数据x1, x2,…,x n中,各数据与它们的平均值x得差的平方分别是(x1—x)2, (x2—x)2,…,(x n—x)2,那么S2=」[(x1 —x)2 +n, 二22r(x2 -x) +…+ (x n -x)]叫做这组数据的方差 .教学过程：、复习引入:1 .随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 .随机变量常用希腊字母E、Y］等表示.2 .离散型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.3 .连续型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量.4 .离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以------------------------------ 列出.5 . 分布列：6 .分布列的两个性质：⑴P>0, i=1, 2,...；⑵P1+P2+ (1)7 .二项分布：E 〜B(n, p),并记C：p k q n"=b(k；n, p).8 .几何分布：g(k, p)= q kJL p,其中k=0,1,2,…, q=1 —p.9 .数学期望：一般地,假设离散型随机变量E的概率分布为那么称E* =X I I +x2 P2 +••• +Xnpn +… 为E的数学期望,简称期望.10 .数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平11平均数、均值：在有限取值离散型随机变量七的概率分布中,令P1 = p2=…=P n ,… 1 1那么有P I = P2 =♦•• = Pn = , E- = 〔X I+X2十…十Xn〕M ,所以七的数学期望又称为平均数、均值.12 .期望的一个性质：E(a t+b) =aE：+b13 .假设E □ B (n,p ),贝U EE =np .二、讲解新课：1. 方差：对于离散型随机变量 E ,如果它所有可能取的值是x1, x2,…,x n,…,且取这些值的概率分别是R , p2 ,…,p n ,…,那么,D^= (X i -E5)2Pi+ (X2 -E-)2 Q+…+ (X n — E D2 p n +…称为,随机变量E的均方差,简称为方差,式中的E之是随机变量卫的期望.2 .标准差：D U的算术平方根J D E叫做随机变量E的标准差,记作.之.3 .方差的性质：(1) D(a U+b) =a2D U；(2) D U = E t2—(E、)2；(3)假设E 〜B( n, p),那么D 1 = np(1- p).4 .其它：⑴随机变量E的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量E的方差、标准差也是随机变量E的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.三、讲解范例：例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数从而111111 EX =1 2 3 4 5 6 — = 3.5;6 6 6 6 6 62 1 2 1 2 1 2 1DX -(1 -3.5) - (2 -3.5) - (3-3.5) (4-3.5)6 6 6 62 1 2 1 _ _(5 -3.5)2 一(6 -3.5)2 一： 2.926 6二X = DX 1.71.例2.根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列,利用计算器可算得EX = 1200X0.4 + 1 400 X0.3 + 1600 X0.2 + 1800 X0.1 =1400 ,DX = (1200-1400) 2 X0. 4 + (1400 -1400 ) 2X0.3+ (1600 -1400 ) 2X 0.2+(1800 -1400) 2X0. 1=40 000 ;EX = 1 000 X0.4 +1 400 X0.3 + 1 800 X0.2 + 2200 X0.1 = 1400 ,DX = (1000-1400) 2X0. 4+(1 400- 1400) X0.3 + (1800-1400) 2X 0.2 + (2200 -1400 ) 2X0.1 =160000 .由于EX =EX, DX<DX,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.例3.D U121 - 1 1 .斛：E -i =1又一+ 2父一+ '', + 7父一=4;7 7 72 1 2 1 2 1 - --- -D 1 =(1 -4) (2-4) 7 (7 -4) x =4；0 1 = . D 1 =2.1 1 1E 2=3.7 — 3.8 4.3 4 ；7 7 7D 2=0.04,二D 2 =0.2.点评：此题中的匕和％都以相等的概率取各个不同的值,但.的取值较为分散,七2的取值较为集中.E[=E g=4, D0=4, D b =0.04,方差比拟清楚地指出了与比二取值更集中.=2,=0.02 ,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差.例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下：射手甲击中环数8, 9, 10的概率分别为0.2,0.6,0.2; 射手乙击中环数8,9, 10的概率分别为0.4,0.2,0.24 .用击中环数的期望与方差比拟两名射手的射击水平.解：E 1 =8 0.2 9 0.6 10 0.2 =9D S =(8—9)2父0.2 + (9—9)2父0.6+ (10-9) 2M0.2 =0.4 ；同理有E 2 =9,D 2 = 08由上可知,E j =E：2, D^ <D t•所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8、10环地次数多些.点评：此题中,匕和七2所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同.E .=E'=9,这时就通过 D ：=0.4和DU 2=0.8来比拟 却和匕的离散程度,即两名射 手成绩的稳定情况例6. A 、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时, 出次品的概率如下表所示:解：E E i =0X 0.7+1 X 0.2+2 X 0.06+3 X 0.04=0.44,E E 2=0X 0.8+1 X 0.06+2 X 0.04+3 X 0.10=0.44.它们的期望相同,再比拟它们的方差 .DE 1= (0-0.44 ) 2X 0.7+ (1-0.44 ) 2X 0.2+ ( 2-0.44 ) 2X 0.06+ ( 3-0.44 ) 2X 0.04=0.6064,DE 2= (0-0.44 ) 2X0.8+ ( 1-0.44 ) 2X 0.06+ ( 2-0.44 ) 2X 0.04+ ( 3-0.44 ) 2X0. .10=0.9264.E 1< D E 2 故A 机床加工较稳定、质量较好 .四、课堂练习：1 . U ~ B(n, p ),E U =8,DU =1.6,那么 n, p 的值分别是()A. 100 和 0.08;B. 20 和 0.4;C. 10 和 0.2 ;D. 10 和 0.8 .答案：1.D.2. 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次 品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期 望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将 会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,那么各次抽样的次品率不变, 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.A 机床问哪一台机床加工质量较好 .B 机床解：设取得正品之前已取出的次品数为 E ,显然E 所有可能取的值为 0, 1, 2, 3当E =0时,即第一次取得正品,试验停止,那么9 3P ( E =0)=—=—12 4 当E =1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,那么399 P (卫=1)=_ _ =—12 1144 当E =2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,那么口 ,3299 P (七=2)= X X =12 11 10 220 当E=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,那么分析：涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很 大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结即E U B (200, 1%),从而可用公式：EE =np, DE =npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：由于商品数量相当大,抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以EuB(200,1% ) . 由于 EE =np , DE =npq ,这里 n=200 , p=1% , q=99% ,所以,EE =200X 1%=2,DE =200X 1%x 99%=1.984 .设事件A 发生的概率为p,证实事件A 在一次试验中发生次数七的方差不超过1/4.分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还 是掌握随机变量的分布列.求出方差DE =P(1-P)后,我们知道DE 是关于P(P>0)的二次函,数,这里可用配方法,也可用重要不等式证实结论证实：由于 七 所有可能取的值为 0, 1且P ( E =0) =1-p,P(七=1)=p, 所以,EE =0X (1 -p)+1 X p=p .那么 D E = (0-p) 2X(1 -p)+(1-p) 2 x p=p(1 -p) W5 .有A 、B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:3 2191=————= --------------------12 11 10 9 2203 9 9 1 3所以,EE = 0 一 ■ 1 — ■ 2 ------------ - 3 ------- 二— 4 44 220 3.有一批数量很大的商品的次品率为22010 1%从中任意地连续取出 200件商品,设其中次品果是彼此独立的.解答此题,关键是理解清楚：抽 200件商品可以看作200次独立重复试验,其中E A 、E B 分别表示 A B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比拟A 、B 两种钢筋哪一种质量较好.分析： 两个随机变量 E A 和E B &都以相同的概率 0. 1, 0. 2, 0. 4, 0. 1 , 0. 2取5个 不同的数值.七A 取较为集中的数值 110, 120, 125, 130, 135; E B 取较为分散的数值 100, 115, 125, 130, 145.直观上看,猜测 A 种钢筋质量较好.但猜测不一定正确,需要通过计 算来证实我们猜测的正确性.解：先比拟E A 与E B 的期望值,由于E E A =110X 0.1+120 X 0.2+125 X 0.4+130 X 0.1+135 X 0.2=125, EE B =100X 0.1+115X0.2+125X0.4 十 130X0.1+145X0 .2=125.所以,它们的期望相同.再比拟它们的方差.由于DE A =(110-125) 2X0.1+(120 -125) 2 X 0.2+(130 -125) 2X0.1+(135 -125) 2X0.2=50, DEB=(100-125) 2X0.1+(110 -125) 2 X 0.2+(130 -125) 2X0.1+(145 -125) 2 X 0.2=1 65.所以,DE A < D E B .因此,A 种钢筋质量较好.6 .在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是 25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题,比方福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一 般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一局部资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作 人员的工资等问题.此题的“不考虑获利〞的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用.解：设一张彩票中奖额为随机变量 E ,显然E 所有可能取的值为 0, 5, 25, 100.依题意,可得E 的分布列为E =05251000.2400505002000答：一张彩票的合理价格是 0. 2元. 五、小结：⑴求离散型随机变量 E 的方差、标准差的步骤：①理解E 的意义,写出 E 可能取的全部值；②求E 取各个值的概率,写出分布列；③根据分布列,由期望的定义求出EE ;④根据方差、标准差的定义求出DJ.之.假设E〜B(n, p),那么不必写出分布列,直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量J 和务,在E 匕和£,2相等或很接近时,比拟 D .和D 玄,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设1〜B(n 、p)且 E^=12 D t =4,求 n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E t =np D = = np 〔1 —p 〕解：由 0.1+0.6+a+1 = a=0.30.3+0.3+b=1 =- a=0.4 ••.E =2.3 , E =2.0 D =0.81 , D =0.6 .七、板书设计〔略〕 .八、教学反思：⑴求离散型随机变量E 的方差、标准差的步骤:①理解E 的意义,写出 E 可能取的全部值； ②求E 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出EE ;np =12 jp(1 — p) =4n =18 2 "32.随机变量 二服从二项分布即X~B(6、1 )求b (2 ; 6,1 )33解：p( =2)=c 62( 1) 2( 2)43 33.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量〞的分布列如下：〔注得分越大,水平越高〕④根据方差、标准差的定义求出D之、样.假设E〜B(n, p),那么不必写出分布列,直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量匕和％,在E.和EJ相等或很接近时,比拟D匕和DJ ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要.。
高中数学第二章 离散型随机变量的方差教案新课标人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。
我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
（三）、基础训练求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(DX22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
2.3.2离散型随机变量的方差与标准差(新)
二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
2、已知X～B(n, p)，E(X) 8, D(X) 1.6, 则n 10 , p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求E(X)和D(X)。 2，1.98
4.编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三
个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的
2 2 2
(3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2
2 2
( X ) D( X ) 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求E（X）和D（X）。
解： 离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
E（X）＝c×1＝c D（X）＝（c－c）2×1＝0
对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足 (1)p i ≥0,i=1,2,3,...; (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101)21(2122q q q q 解得 q=1-22 故X 的分布列为∴EX=(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-)=-2321++（-2）=1-2 DX=［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1）×21+0×(1-2q)+1×q 2=q 2-21; DX=［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q)+［1-(q 2-21)］2×q 2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ），那么σX=)1(100p p DX -=，因为DX=100p(1-p)=100p-100p 2（0≤p≤1）把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p=21时，成功次数的标准差的最大值为5. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1. 三、方差的应用【例3】 海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2（单位：s ），根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 解：∵EX 1=0,EX 2=0 ∴EX 1=EX 2∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2 ∴DX 1＜DX 2由上可知，A 面大钟的质量较好. 温馨提示随机变量X 的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX 则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X 1、X 2，且EX 1=EX 2或EX 1与EX 2比较接近时，我们常用DX 1与DX 2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X 较为离散，反之则表明X 较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X 与其均值的偏差较大，反之，则表明X 与其均值的偏差较小. 各个击破【类题演练1】若随机事件A 在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a =(1-2a)2a(2a+1-2a) =2a(1-2a)=-4［a-41］2+41 由分布列的性质得0≤1-2a≤1 且0≤2a≤1 ∴0≤a≤21∴当a=41时Dξ最大值为41； 当a=0或21时Dξ的最小值为0.【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为 P （ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，4Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.【类题演练2】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p-21)2+41,∵0＜p ＜1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--, ∵0＜p ＜1,∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1,即p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 解析：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.D ξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.D η=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
高中数学第二章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差课堂探究教案新人教B版选修2
离散型随机变量方差课堂探究探究一 求离散型随机变量方差解决求离散型随机变量方差问题，首先要理解随机变量X 意义，写出X 可能取全部值，其次求出X 每个取值对应概率，列出分布列，然后由期望定义求出E (X )，最后由方差计算公式求出D (X )．【典型例题1】 某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ分布列及方差． (2)在男生甲被选中情况下，求女生乙也被选中概率．思路分析：(1)先求出ξ分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差．(2)利用条件概率或用古典概型概率公式求解．解：(1)ξ可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ分布列为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中情况下，女生乙也被选中事件为C ，“男生甲被选中〞包含根本领件数为C 25＝10，“男生甲被选中，女生乙也被选中〞包含根本领件数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25.故在男生甲被选中情况下，女生乙也被选中概率为25.探究二 离散型随机变量方差性质及运算1．简化运算：当求随机变量ξ期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从，那么用公式求解，可大大减少运算量．2．性质应用：注意利用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 及D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)求期望与方差．【典型例题2】 袋中有20个大小一样球，其中记上0号有10个，记上n 号有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球标号．(1)求ξ分布列、期望和方差．(2)假设η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 值． 思路分析：(1)先求出ξ分布列，再利用公式求出期望与方差． (2)通过ξ与η线性关系表示出E (η)，D (η)，列方程组求解． 解：(1)ξ分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11， 即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．探究三 方差实际应用离散型随机变量期望反映了随机变量取值平均水平，而方差反映了随机变量取值稳定与波动，集中与离散程度，因此在实际决策问题中，通常需先计算期望，比拟一下谁平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁稳定性较好，因此在利用期望和方差意义去分析解决实际问题时，两者都要考虑．【典型例题3】 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建立，为了对重点建立负责，政府到两个建材厂进展抽样检查，他们从中各取等量样品进展检查，得到它们抗拉强度指数如下：其中X 和Y 120，比拟说明甲、乙两厂钢筋哪一种稳定性较好．思路分析：要比拟两种钢筋质量，可先比拟甲、乙两种钢筋平均抗拉强度，即期望，然后比拟这两种钢筋质量稳定性，即方差．解：E (X )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E (Y )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (X )＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D (Y )＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.由E (X )＝E (Y )，可知甲、乙两厂钢筋平均抗拉强度是相等，且平均抗拉强度都不低于120，但由于D (X )＜D (Y )，即乙厂钢筋抗拉强度与其平均值偏差较大，故可认为甲厂钢筋质量稳定性较好．探究四 易错辨析 易错点：用错公式而致误【典型例题4】 随机变量X 概率分布如下表所示：求E (X )，D (X )，D (X )值．错解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))p 1＋(x 2－E (X ))p 2＋(x 3－E (X ))p 3＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋13×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋13×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋13×16＝0，所以D (X )＝0. 错因分析：错误原因是在利用方差定义求解时，把(x i －E (X ))2p i 中(x i －E (X ))2平方漏掉了．正解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋(x 3－E (X ))2p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，所以D (X )＝59＝53.。
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案 人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差教学目标： 知识与技能：离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：学习方差公式“D (aX +b )=a 2D(X)”，以及“若X ～Β(n ，p )，则D(X)=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差. 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题. 教具准备： 多媒体、电子白板 教学设想：学习方差公式“D (aX +b )=a 2D （X ）”，以及“若X ～Β(n ，p )，则D （X ）=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型： 新授课 . 课时安排： 1课时 . 内容分析：对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究,即随机变量的方差.回顾样本方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 . 教学过程： 一、复习引入：1 数学期望: 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为则称 E （x ）=+11p x +22p x …++n np x … 为X 的数学期望，简称期望．2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .3、两种特殊分布的数学期望（1）若随机变量X 服从两点分布，则E(X)=p （2）若X ～B(n,p) 则E(X)=np 3. 期望的一个性质: E(aX+b)=aE(X)+b 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,称为随机变量X 的均方差，简称为方差，式中的E(X)是随机变量X 的期望．2. 标准差:D(X)的算术平方根X 的标准差，记作σ( X)．3.方差的性质：4.其它：⑴随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为从而.2()D aX b a D X +=（）21()ni ii D X x E X p ==-∑（）（）111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）由本题可总结出求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E(X)； ④根据方差、标准差的定义求出D(X)、σ(X).例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X 1 )= 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,D(X 1 )= (1200-1400) 2×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;E(X 2 )=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,D(X 2 )= (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 .因为E(X 1 )=E(X 2), D(X 1 ) <D(X 2),所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 四、课堂练习：1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教版选修2_32
2．3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答 x －甲＝x －乙＝7，利用样本的方差公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，求得： s 2甲＝2.2，s 2乙＝1.2.s 2甲>s 2乙，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质(1)设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)D (c )＝0(其中c 为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率)； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．要点一 求离散型随机变量的方差例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，∴D （ξ）＝14918. 规律方法 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值 ↓写出X 取每个值的概率 ↓写出X 的分布列 ↓由均值的定义求出E （X ） ↓利用公式D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝a ξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟踪演练1 已知X 的分布列为求：(1)E (X )，D (X )；(2)设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．解 (1)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59.(2)E (Y )＝2E (X )＋3＝73，D (Y )＝4D (X )＝209.要点二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)为3，标准差D （ξ）为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．解 由题意知，ξ服从二项分布B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.规律方法 方差的性质：D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪演练2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值． 解 设成功次数为随机变量X ，由题意可知X ～B (100，p )，则D （X ）＝100p （1－p ）. 因为D (X )＝100p (1－p )＝100p －100p 2， 把上式看作一个以p 为自变量的二次函数， 易知当p ＝12时，D (X )有最大值为25.所以D （X ）的最大值为5.即当p ＝12时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三 均值与方差的综合应用例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．规律方法 解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X 服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率． 解 (1)X 可能的取值为0，1，2. P (X ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. X 的分布列(2)由(1)，X 的均值与方差为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 答案 A解析 ξ～B (10，14)，∴D (ξ)＝10×14×(1－14)＝158.3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 4．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 答案 C2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m ) 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． ∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 答案 D解析 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8，D (X )＝np ·(1－p )＝1.6，所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 答案 1解析 D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.7．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解 (1)X 服从两点分布∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14.(2)由题意知，X ～B (10，12)．∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×(1－12)＝52.二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2 C ．3.2 D. 3.56 答案 D解析 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D （ξ）＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29 D ．16答案 A解析 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________． 答案 14解析 随机变量X 的所有可能取值为0，1，由题意，得X 的分布列为从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.D (X )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，因为0<p <1，所以当p ＝12时，D (X )取得最大值，最大值为14.11．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解 ∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．三、探究与创新13．(2013·北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13，所以X的分布列为故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．。
高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1
2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的数学期望【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列试比较甲、乙两射手射击水平的高低.解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X 1，X 2，则 E （X 1）=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3, E(X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大. 温馨提示离散型随机变量的分布列具有的性质p i ≥0,i=1,2,…,n 和∑=ni ip1=1.二、利用概率知识求随机变量的分布列【例2】（2006山东高考，理20）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量ξ的概率分布和数学期望; (3)计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=31012121235C C C C C =32. 方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为P(B)=310182215C C C C =31. 所以P(A)=1-P(B)=131-=32. (2)由题意,ξ所有可能的取值为2,3,4,5.P(ξ=2)=30131022121222=+C C C C C ;P(ξ=3)=15231022141224=+C C C C C ; P(ξ=4)= 10331022161226=+C C C C C ; P(ξ=5)=15831022181228=+C C C C C .因此ξ的数学期望为 Eξ=2×301+3×152+4×103+5×158=313.(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则 P （C ）＝P （ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3）＋P （ξ=4)=3013103152=+. 温馨提示求随机变量的分布列，首先弄清随机变量所有可能的取值，进而利用所学概率知识，求取每个值的概率，并列出表格即得分布列.三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率【例3】 设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为43,遇到红灯（禁止通行）的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（1)ξ的概率分布列及期望Eξ；（2）停车时最多已通过3个路口的概率. 解析：（1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4,P （ξ=0）=41, P(ξ=1)=43·41=163,P(ξ=2)=(43)2·41=649,P(ξ=3)=(43)3·41=25627,P(ξ=4)=(43)4=25681,Eξ=0+1×163+2×649+3×25627+4×25681=256525. (2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=125681-=256175.温馨提示本题的关键是正确求出各随机变量的概率值.各个击破类题演练 1一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.解析：根据题目知所含白球数X 服从参数N=10，M=5，n=4的超几何分布，则 E （X ）=1054⨯=N nM =2,所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球. 变式提示 1根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下二种方案. 方案1：运走设备，此时需花费3 800元.方案2：建一保护围墙，需花费2 000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元. 试比较哪一种方案好.解析：对于方案1，花费为3 800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3 800元；期望损失为60 000×0.1+0×0.99=600(元)，所以花费与期望损失之和为2 000+600=2 600（元）；比较二种方案，方案2的花费与期望损失之和较小，故方案2好. 类题演练 2一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话.已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3，4. 解析：ξ可能取的值是0,1,2,3,4,P （ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P (ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3.P (ξ=2)=22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P (ξ=3)=22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2.P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04.所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.变式提示 2设Y=2X+3，则EY 的值为（ ）A.37B.4C.-1D.1 解析：EX=21-+61=31-,EY=E(2X+3)=2EX+3=32-+3=37.答案：A类题演练 3已知随机变量X 满足P （X=1）=0.3,P （X=2）=0.7,则EX 的值为（ ）A.0.6B.0.7C.0.3D.1.7 解析：EX=1×0.3+2×0.7=1.7. 答案：D变式提升 3袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数ξ的概率分布.解析：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，并且有P （ξ=1）=51=0.2, P(ξ=2)=54×41=0.2, P(ξ=3)=54×43×31=0.2,P (ξ=4)=54×43×32×21=0.2,P (ξ=5)=54×43×32×21×11=0.2,。
2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)
10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p
高中数学概率随机变量的数字特征离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的方差
所取球的标号．求 ξ 的分布列、均值和方差.
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【解】 由题意得，ξ的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210， P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
3 10
η0 1 2
P
5 10
3 10
2 10
试对这两名工人的技术水平进行比较．
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【解】 工人甲生产出次品数 ξ 的期望和方差分别为 E(ξ)＝0×160＋1×110＋2×130＝0.7， D(ξ)＝(0－0.7)2×160＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×130＝0.81.工人 乙生产出次品数 η 的期望和方差分别为 E(η)＝0×150＋1×130＋2×120＝0.7，
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解：(1)由已知，有 P(A)＝C22C23C＋48C23C23＝365. 所以，事件 A 发生的概率为365. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4. P(X＝k)＝Ck5CC4843－k(k＝1，2，3，4)． 所以，随机变量 X 的分布列为
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2．离散型随机变量的方差 (1)离散型随机变量的方差、标准差 ①设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，…，xn， 这些值对应的概率是 p1，p2，…，pn，则 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋ (x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 叫做这个离散型随机变量 X 的 方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于 期望的平_均__(p_ín_gj_ūn_)波__动__大__小___．
离散型随机变量的数字特征教案
2.2.离散型随机变量的数字特征
曹婷娟【教学目标】
1. 理解均值与方差的意义；通过样本数据的均值与方差的特性了解离散型随机变量的数字特征并灵活运用。
2.体会数学知识之间的通性及思维的换位思考，提高运算能力和逻辑思维能力。
【教学重点】
重点：分析样本数据均值与方差的运算过程并总结出来离散型随机变量的数字特征难点：对离散型随机变量的数字特征的熟练运用
【教学方法】
本节课主要采用实例分析法，引导学生自主思考，总结，归纳出新知识。
【教学过程】
. .。
离散型随机变量的数字特征教案
离散型随机变量的数字特征教案一、教学目标1. 了解离散型随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 掌握离散型随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等基本数字特征的计算方法。
3. 能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
二、教学内容1. 离散型随机变量的数字特征概述离散型随机变量的定义数字特征的概念与分类2. 离散型随机变量的期望期望的定义与计算方法期望的性质与意义3. 离散型随机变量的方差方差的定义与计算方法方差的性质与意义4. 离散型随机变量的协方差协方差的定义与计算方法协方差的性质与意义5. 离散型随机变量的相关系数相关系数的定义与计算方法相关系数的性质与意义三、教学方法1. 讲授法：讲解离散型随机变量的数字特征的基本概念、计算方法和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提问解答，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、投影仪等教学设备。
五、教学进程1. 引入新课：介绍离散型随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 讲解离散型随机变量的期望：讲解期望的定义、计算方法、性质与意义。
3. 讲解离散型随机变量的方差：讲解方差的定义、计算方法、性质与意义。
4. 讲解离散型随机变量的协方差：讲解协方差的定义、计算方法、性质与意义。
5. 讲解离散型随机变量的相关系数：讲解相关系数的定义、计算方法、性质与意义。
6. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
7. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
注意：教学进程可根据实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对离散型随机变量数字特征的理解程度。
2. 练习题：布置难易适中的练习题，检验学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论：组织小组讨论，鼓励学生分享自己的理解和思路，培养学生的合作能力。
[精品课件]201x-201x学年高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.2 离散型随机变量的方差课件
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-
2 =1-
2,
D(X)=[-1-(1- 2)]2× 12+[0-(1- 2)]2×( 2-1)+[1-(1- 2)]2×
3 2
-
2
=
2-1.
答案:1-
2 2
1- 2
2-1
研究均值与方差有何意义? 剖析随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数(或数字 特征),是对随机变量的一种简明的描写.虽然随机变量的分布列完 全决定了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中地表现随 机变量的某些特点,例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波 动状况、集中与离散程度等.均值表示随机变量一切可能值的平均 值或集中位置,而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或 稳定与波动的程度,由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概 率分布出发,因而均值是随机变量的概率平均值.
题型一 题型二 题型三
解:由题意,得E(ξ
甲)=0.1×110+0.2×120+0.4×125+0.1×130+0.2×135=125, E(ξ乙)=0.1×100+0.2×115+0.4×125+0.1×130+0.2×145=125, D(ξ甲)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-
1234 5
2.牧场有10头牛因误食含有病毒的饲料而被感染,已知被感染的牛 的发病率为0.02,发病的牛的头数为ξ,则D(ξ)等于( ) A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 解析:因为发病的牛的头数ξ服从二项分布B(10,0.02),
所以D(ξ)=np(1-p)=10×0.02×0.98=0.196.
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2.3.2 离散型随机变量的方差
课前导引
知识预览
1.一般地，设一个离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1,x2,…，x n,这些值对应的概率是p1，p2…，p n，则把（x1-Eξ）2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(x n-Eξ)2·p n叫做随机变量ξ的_________，记为_________,它的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记为_________,即_________ .D(aξ+b)= _________;若ξ~B(n,p)那么Dξ=_________ (p=1-q).
答案：方差 Dξσξσξ=ξ
D a2Dξ npq
2.对Dξ的理解
第一，Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散，反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近.统计中常用ξ
D来描述ξ的分散程度.
第二，Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定.
3.求离散型随机变量的方差的一般步骤为（1）先求出随机变量ξ的分布列；（2）利用公
式先求Eξ，Eξ=∑∞
-1
n
n
n
p
x=x1p1+x2p2+…+x n p n+…;（3）求Dξ,Dξ=∑∞
=
-
1
2
)
(
n
n
n
P
E
xξ
=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(x n-Eξ)2p n+…。