中考数学6分题类型系列
北京中考数学试题分类汇编
目录北京中考数学试题分类汇编 ............................................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................北京中考数学试题分类汇编（答案） ............................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................2011-2016年北京中考数学试题分类汇编本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。
二次函数的应用大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)
二次函数的应用大题专练(七大类型)题型一:考向分析1类型一、销售问题1(2023·浙江湖州·统考一模)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?(2)设获得的销售利润(不含政府补贴)为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?(3)若每月获得的总收益(每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)不低于28800元，求该月销售单价的最小值．【答案】(1)8400元(2)200元(3)140元【解析】(1)解：在y=-3x+900中，令x=160，则y=420，∴政府这个月补贴420×20=8400元；(2)由题意可得：w=-3x+9002+30000，x-100=-3x-200∵a=-3<0，∴当x=200时，w有最大值30000．即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．(3)设每月获得的总收益为w ，由题意可得：w =-3x+9002+36300，=-3x-190x-100+20-3x+900令w =28800，则-3x-1902+36300=28800，解得：x=140或x=240，∵a=-3<0，则抛物线开口向下，对称轴为直线x=190，∴当140≤x≤240时，w≥28800，∴该月销售单价的最小值为140元．2类型二、图形面积问题2(2023春·湖北武汉·九年级校联考期中)春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【答案】(1)(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)，(2)32m或10m，(3)168000元【解析】(1)解：∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：40-x20-x=(x2-60x+800)m2，花卉B的面积为：x40-x-10=(-x2+30x)m2，花卉C的面积为：x20-x=(-x2+20x)m2，故答案为：(x2-60x+800)；(-x2+30x)；(-x2+20x)；(2)解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×x2-60x+800百元和3×-x2+30x百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×x2-60x+800=300×-x2+30x，∴x2-42x+320=0，解方程得x=32或x=10，∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；(3)解：∵花卉A与B的种植面积之和为：x2-60x+800+-x2+30x=(-30x+800)m2，∴-30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y=2x2-60x+800+3-x2+30x，+4-x2+20x∴y=-5x2+50x+1600，∴y=-5(x-5)2+1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x=8时，y最大，且y=-5(8-5)2+1725=1680(百元)，故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．3类型三、拱桥问题3(2023·安徽黄山·统考一模)如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB 和矩形OABC 构成.矩形OABC 的边OA =34米，OC =9米，以OC 所在的直线为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D 的坐标为92,245.(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM ，点M 正好在抛物线上，支撑MN ⊥x 轴，ON =7.5米，点E 是OM 上方抛物线上一动点，且点E 的横坐标为m ，过点E 作x 轴的垂线，交OM 于点F .①求EF 的最大值.②某工人师傅站在木板OM 上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.【答案】(1)y =-15x -92 2+245；(2)①当m =72时，EF 有最大值165；②32<m <112.【解析】(1)解：由题意知，抛物线顶点D 的坐标为92,245，设抛物线的表达式为y =a x -92 2+245，将点A 0,34 代入抛物线解析式得34=a 0-92 2+245，解得a =-15，∴抛物线对应的函数的表达式为y =-15x -92 2+245；(2)解：①将x =7.5代入y =-15x -92 2+245中，得y =3，∴点M 152,3 ，∴设直线OM 的解析式为y =kx k ≠0 ，将点M 152,3 代入得152k =3，∴k =25，∴直线OM 的解析式为y =25x ，∴EF =-15m -92 2+245-25m =-15m 2+75m +34=-15m -72 2+165，∵-15<0,∴当m =72时，EF 有最大值，为165；②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，∴当EF >125时，他就不能刷到大门顶部，令EF =125，即-15m -72 2+165=125,解得m 1=32,m 2=112，又∵EF 是关于m 的二次函数，且图象开口向下，∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m 的范围是32<m <112．4类型四、投球问题4(2023·浙江丽水·统考一模)某天，小明在足球场上练习“落叶球”(如图1)，足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A 处，正对一门柱CD ，距离AC =12m ，足球运动到B 的正上方，到达最高点2.5m ，此时AB =10m ．球门宽DE =5m ，高CD =2m ．(1)以水平方向为x 轴，A 为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E 处进入球网．若离A 点8m 处有人墙GH ，且GH ∥CF ，人起跳后最大高度为2.2m ，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．【答案】(1)足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5(2)足球不能进球网，理由见解析(3)足球能越过人墙，理由见解析【解析】(1)解：由题意得抛物线的顶点坐标为-10，2.5 ，设抛物线的函数表达式为y =a x +10 2+2.5，将0，0 代入得，0=100a +2.5，解得a =-140，∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y =-140x +10 2+2.5；(2)解：足球不能进球网，理由如下：当x =-12时，y =-140-12+10 2+2.5=2.4，∵2.4>2，∴足球不能进球网．(3)解：足球能越过人墙，理由如下：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，并经过点0,0 ，∴设抛物线的函数表达式为y =-140x 2+bx ．如图，由题意知，四边形CDEF 是矩形，则CF =DE =5，在Rt △ACF 中，由勾股定理得AF =AC 2+CF 2=13，∵足球恰好在点E 处进入球网，∴抛物线经过点-13,2 ，将-13,2 代入得，2=-140×-13 2-13b ，解得b =-249520，∴y =-140x 2-249520x ，∵GH ∥CF ，∴△AGH ∽△ACF ，∴AH AF =AG AC ，即AH 13=812，解得AH =263，把x =-263代入得，y =-140×-263 2-249520×-263 =409180，∵409180>2.2，∴足球能越过人墙．5类型五、喷水问题5(2023·山东潍坊·统考一模)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度OH =1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度DE =2米，竖直高度EF =1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l 的距离OD 为d 米．(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC ；(2)求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形DEFC 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求d 的取值范围．【答案】(1)6米(2)y=-18x+22+2，2,0(3)2≤d≤22【解析】(1)解：如图，由题意得A2,2是上边缘抛物线的顶点，则设y=a x-22+2．又∵抛物线经过点0,1.5，∴4a+2=1.5，∴a=-18．∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-18x-22+2．当y=0时，-18x-22+2=0，∴x1=6，x2=-2(舍去)．∴喷出水的最大射程OC为6m．(2)法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线x=2，∴点0,1.5的对称点为4,1.5，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴将点C向左平移4m得到点B的坐标为2,0法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，∴可设y=-18x+t-22+2，将点0,1.5代入得t1=4，t2=0(舍去)∴下边缘抛物线的关系式为y=-18x+22+2，∴当y=0时，0=-18x+22+2，解得x1=2，x2=-6(舍去)，∴点B的坐标为2,0；(3)解：如图，先看上边缘抛物线，∵EF=1，∴点F的纵坐标为1．当抛物线恰好经过点F时，-18x-22+2=1．解得x=2±22，∵x>0，∴x=2+22．当x>0时，y随着x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥1，则x≤2+22．∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+22．∵DE=2，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+22-2=22．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB ≤d ，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是2≤d ≤22．6类型六、几何动点问题1例6．(2023·山东青岛·统考一模)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，AD =10cm ，点P 、Q 分别是线段CD 和AD 上的动点．点P 以2cm/s 的速度从点D 向点C 运动，同时点Q 以1cm s 的速度从点A 向点D 运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ 沿AD 翻折得到QP ，连接PP 交直线AD 于点E ，连接AC 、BQ ．设运动时间为t s ，回答下列问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥AC ？(2)求四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式；(3)是否存在某时刻t ，使点Q 在∠PP D 平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t =409(2)S =35t 2-425t +72(3)存在，t =5【解析】(1)解：过点A 作AK ⊥CD 于点K ，∵∠ABC =90°，AB =8，BC =6，∴由勾股定理得AC =AB 2+BC 2=10，∵AD =10cm ，∴AC =AD ，∴△ACD 是等腰三角形，∴CD =2CK ，又∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =∠AKC =90°，∴四边形ABCK 是矩形，∴CK =AB =8，∴CD =16，若PQ ∥AC ，∴DP DC =DQ DA，由题意得，DP =2t ,AQ =t 则DQ =10-t ，∴2t 16=10-t 10，解得t =409，所以，t =409时，PQ ∥AC ；(2)过点Q 作QT ⊥CD ，交CD 于点T ，交AB 于点H ，∴AK =HT =BC =6，由(1)知CK =DK =8，AD =10，∴cos ∠D =DK AD =45，∴sin ∠D =AK AD=35=QT DQ =QT 10-t ，∴QT =6-35t ，∴QH =6-6-35t =35t ，∵四边形BCPQ 的面积=S ΔABC +S ΔACD -S ΔPQD -S ΔABQ =12⋅AB ⋅BC +12⋅CD ⋅AK -12⋅DP ⋅QT -12⋅AB ⋅QH ∴S =12×8×6+12×16×6-12⋅2t ⋅6-35t -12×8⋅35t ，整理得S =35t 2-425t +72，即四边形BCPQ 的面积S cm 2 关于时间t s 的函数关系式为S =35t 2-425t +72；(3)如图，设PP 交AD 于点E ，过点Q 作QF ⊥DP 于点F ，由折叠的性质得∠ADP =∠ADP ，PP ⊥AD ，∵AD 平分∠PDP ，QT ⊥PD ,QF ⊥P D ，∴QT =QF =6-35t ,∵点Q 在∠PP D 平分线上，PP ⊥AD ,QF ⊥P D ，∴QF =QE =6-35t ，∴DE =DQ +EQ =10-t +6-35t =16-85t ，∵cos ∠EDP =DE DP=45，即16-85t 2t =45，解得t =5，经检验t =5是分式方程的解且符合题意，所以t =5时，点Q 在∠PP D 平分线上．7类型七、图形运动问题7(2023·天津·校联考一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形AOBC 是正方形，顶点A -4，0 ，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第二象限，△MON 的顶点M 0，5 ，点N 5，0 ．(1)如图①，求点B ，C 的坐标；(2)将正方形AOBC 沿x 轴向右平移，得到正方形A O B C ，点A ，O ，B ，C 的对应点分别为A ，O ，B ，C ．设OO =t ，正方形A O B C 与△MON 重合部分的面积为S ．①如图②，当1<t ≤4时，正方形A O B C 与△MON 重合部分为五边形，直线B C 分别与y 轴，MN 交于点E ，F ，O B 与MN 交于点H ，试用含t 的式子表示S ；②若平移后重合部分的面积为92，则t 的值是_______(请直接写出结果即可)．【答案】【答案】(1)B 0，4 ，C -4，4(2)①S =-12t 2+5t -12；②5-15或6【解析】(1)解：由A -4,0 ，得AO =4，∵四边形AOBC 正方形，∴OB =BC =4．∴B 0，4 ，C -4，4 ；(2)解：①∵M 0，5 ，N 5，0 ，∠MON =90°，∴OM =ON =5，∠OMN =∠ONM =45°．由平移知，四边形A O B C 是正方形，得B C =4，∠B =∠B O O =90°．∴四边形OO B E 是矩形．∴B E =OO =t ，OE =B O =4，∠B EM =90°．∴∠EFM =45°，∴EF =ME =1，B F =t -1．∵∠B FH =∠EFM =45°，∴∠B HF =45°．∴B H =B F =t -1．当1<t ≤4时，S =OO ⋅OE -12B H ⋅B F =4t -12(t -1)2=-12t 2+5t -12．②当1<t ≤4时，由题意得S =-12t 2+5t -12=92，解得t=5-15或5+15(舍去)；当t=5时，点O 与点N重合，此时S=12×4×4=8>92，∴5<t<9，∴A N=A F=9-t，由题意得129-t2=92，解得t=6或t=12(舍去)；综上，t的值是5-15或6．故答案为：5-15或6．题型二:压轴题速练1一．解答题(共24小题)1(2023•宁波一模)抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)，部分对应值如下表：每件售价(元)91113每天的销售量(件)1059585(1)求y与x的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)13元；(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，(8≤x≤15)，将(9，105)，(11，95)代入得105=9k+b95=11k+b，解得k=-5b=150，∴y=-5x+150，∴y与x的函数关系式为y=-5x+150(8≤x≤15)；(2)由题意知，利润w=(x-8)(-5x+150)=-5(x-19)2+605，令w=425，则-5(x-19)2+605=425，解得x=13或x=25(不合题意，舍去)，∴每件消毒用品的售价为13元；(3)由(2)知w=-5(x-19)2+605(8≤x≤15)，∵-5<0，∴当8≤x≤15时，w随着x的增大而增大，∴当x=15时，w=525，此时利润最大，∴当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．2(2023•莱西市一模)某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x(元/件)，周销售量y(件)的三组对应值数据．x407090y1809030(1)求第一次每件玩具的进价；(2)求y关于x的函数解析式；(3)售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．【答案】(1)第一次每件玩具的进价为20元(2)y=-3x+300(3)当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800元【解析】解：(1)设第一次每件玩具的进价为m元，则第二次每件玩具的进价为(1+20%)m元，由题意得，3000 m -3000(1+20%)m=25，解得m=20，经检验m=20是原方程的解且符合题意，答：第一次每件玩具的进价为20元；(2)设y=kx+b，把x=40，y=180；x=70，y=9分别代入得，40k+b=180 70k+b=90，解得k=-3b=300，∴y=-3x+300，即y关于x的函数解析式是y=-3x+300；(3)W=y(x-20)=(-3x+300)(x-20)=-3x2+360x-6000=-3(x-60)2+4800，∵a=-3<0，抛物线开口向下，∴当x=60时，第一周的销售利润W最大，此时的最大利润为4800．3(2023•天山区一模)一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x(天)，通过一个月(30天)的试销，该种水果的售价P(元/千克)与销售时间x(天)满足如图所示的函数关系(其中0≤x≤30，且x为整数)．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．【解析】解：(1)当0≤x≤20时，设售价P(元/千克)与销售时间x(天)的函数关系式为P=kx+b，把(0，34)，(20，24)代入得20k+b=24b=34，j解得k=-12b=34，∴P=-12x+34；由函数图象可知当20<x≤30时，P=24；综上所述，P=-12x+3424(20<x≤30) ；(2)设第x天的利润为W，∵该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克，∴第x天的销售量为60+4(x-1)=(4x+56)千克，当0≤x≤20时，∴W=-12x+34-16(4x+56)=-2x2+72x-28x+1008=-2x2+44x+1008=-2(x-11)2+1250∵-2<0，∴当x=11时，W最大，最大为1250；当20<x≤30时，W=(24-16)(4x+56)=32x+448，∵32>0，∴当x=30时，W最大，最大为32×30+448=1408；∵1408>1250，∴试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元．4(2023•武汉模拟)某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s(单位：m)随运动时间x(单位：s)变化的数据，整理得下表．滑行时间x/s01234滑行距离s/m06142436经验证小明离A 处的距离s 与运动时间x 之间是二次函数关系．小明出发的同时，小华在距赛道终点30m 的B 处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s 的速度飞向小明，无人机离A 处的距离y (单位：m )与运动时间x (单位：s )之间是一次函数关系．(1)直接写出s 关于x 的函数解析式和y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)小明滑完整个赛道需要耗时多久？(3)小明出发多久后与无人机相遇？【答案】(1)s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)小明出发8s 与无人机相遇．【解析】解：(1)设s 关于x 的函数解析式为s =ax 2+bx +c ，将(0，0)，(1，6)，(2，14)代入得：c =0a +b +c =64a +2b +c =14 ，解得a =1b =5c =0，∴s =x 2+5x ；根据题意得y =150-30-2x =-2x +120，∴s 关于x 的函数解析式为s =x 2+5x ，y 关于x 的函数解析式为y =-2x +120；(2)在s =x 2+5x 中，令s =150得：150=x 2+5x ，解得x =10或x =-15(舍去)，∴小明滑完整个赛道需要耗时10s ；(3)由x 2+5x =-2x +120得：x =8或x =-15，∴小明出发8s 与无人机相遇．5(2023•邯郸模拟)将小球(看作一点)以速度v 1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v 1(m/s )与时间t (s )的积，另一部分与时间t (s )的平方成正比．若上升的初始速度v 1=10m/s ，且当t =1s 时，小球达到最大高度．(1)求小球上升的高度y 与时间t 的函数关系式(不必写范围)，并写出小球上升的最大高度；(2)如图，平面直角坐标系中，y 轴表示小球相对于抛出点的高度，x 轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v 2(m/s )，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y (m )与时间t (s )的函数解析式与(1)中的解析式相同．①若v 2=5m/s ，当t =32s 时，小球的坐标为 152，154 ，小球上升的最高点坐标为(5，5)；求小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式；②在小球的正前方的墙上有一高3536m 的小窗户PQ ，其上沿P 的坐标为6，154，若小球恰好能从窗户中穿过(不包括恰好去中点P ，Q ，墙厚度不计)，请直接写出小球的水平速度v 2的取值范围．【答案】(1)y =-5t 2+10t ，小球上升的最大高度是5m ；(2)①152，154 ；(5，5)；y =-15x 2+2x ；②185<v 2<4．【解析】解：(1)根据题意可设y =at 2+10t ，∵当t =1s 时，小球达到最大高度，∴抛物线y =at 2+10t 的对称轴为直线t =1，即-102a=1，解得a =-5，∴上升的高度y 与时间t 的函数关系式为y =-5t 2+10t ，在y =-5t 2+10t 中，令t =1得y =5，∴小球上升的最大高度是5m ；(2)①当t =32s 时，y =-5×32 2+10×32=154，x =v 2t =5×32=152，∴小球的坐标为152，154；由(1)可知，t =1s 时，取得最大高度，x =v 2t =5×1=5，∴小球上升的最高点坐标为(5，5)；由题意可知，x =v 2t ，∴t =x v 2=x 5，∴y =-5×x 5 2+10×x 5=-15x 2+2x ；∴小球上升的高度y 与小球距抛出点的水平距离x 之间的函数关系式是y =-15x 2+2x ；故答案为：152，154 ；(5，5)；②∵PQ =3536m ，P 的坐标为6，154 ，∴Q 6，259；当小球刚好击中P 点时，-5t 2+10t =154，解得t =1.5或t =0.5，∵t >1，∴t =1.5，此时v 2=6t=4m/s ，当小球刚好击中Q 点时，-5t 2+10t =259，解得t =53或t =13，∵t >1，∴t =53，此时v 2=6t =185m/s ，∴v 2的取值范围为：185<v 2<4．6(2023•崂山区一模)跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P 处起滑，在助滑道PE 上加速，从跳台E 处起跳，最后落在山坡MN 或者水平地面上．运动员从P 点起滑，沿滑道加速，到达高度OE =42m 的E 点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM =38m ，ON =114m ，设MN 所在直线关系式为y =kx +b ．甲运动员起跳后，与跳台OE 水平距离xm 、竖直高度ym 之间的几组对应数据如下：水平距离x /m 010203040竖直高度y /m4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE 水平距离为50m ，即得到60分，每比50m 远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m 近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50-2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．【答案】(1)y =-150x 2+45x +42；(2)甲运动员本次比赛得分为147.5分．【解析】解：(1)∵抛物线经过点(10，48)，(30，48)，∴对称轴是：直线x =10+302=20，∴顶点坐标为(20，50)，设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =a (x -20)2+50，将(0，42)代入得：a (0-20)2+50=42，∴a =-150，∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y =-150(x -20)2+50=-150x 2+45x +42；(2)根据题意可得，当y =0时，即-150(x -20)2+50=0，解得：x 1=70，x 2=-30(舍)，则60+2×(70-50)+50+(-2.5)=147.5，所以甲运动员本次比赛得分为147.5分．7(2023•镇平县模拟)为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED 和矩形ABCD 构成．已知矩形的长BC =12米，宽AB =3米，抛物线最高点E 到地面BC 的距离为6米．(1)按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED 的解析式；(2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y 轴对称的支撑柱PQ 和NM ，如图②所示．①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN ，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN ，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值，请你帮管理处计算一下．【答案】(1)抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①两根支撑柱之间的水平距离为6米；②“脚手架”三根支杆PQ ，PN ，MN 的长度之和w 的最大值为18米．【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =12(米)，∴点A (-6，3)，点D (6，3)，根据题意和图象可得，顶点E 的坐标为(0，6)，∴可设抛物线AED 的解析式为：y =ax 2+6，把点A (-6，3)代入解析式可得：36a +6=3，解得：a =-112，∴抛物线AED 的解析式为：y =-112x 2+6；(2)①当y =5.25时，-112x 2+6=5.25，解得x =±3，3-(-3)=3+3=6(米)，∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；②设N点坐标为m，-112m2+6，则MQ=2m，MN=-112m2+6，∴w=2m+2-112m2+6=-16m2+2m+12=-16(m-6)2+18，∵-16<0，∴当m=6时，w有最大值，最大值为18，∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值为18米．8(2023•宝应县一模)科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x(分钟)满足关系y=2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．(1)当x=8时，注意力指数y为84，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x(分钟)的函数关系式是y=-18x2+4x+60；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟)(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？(精确到1分钟)(参考数据：6≈2.449)【答案】(1)84，y=-18x2+4x+60；(2)在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．【解析】解：(1)根据题意，把x=8代入y=2x+68可得：y=84，由题意可知，抛物线的顶点坐标为(16，92)，∴可设抛物线的解析式为：y=a(x-16)2+92，把(8，84)代入可得：64a+92=84，解得：a=-1 8，∴y=-18(x-16)2+92=-18x2+4x+60，故答案为：84，y=-18x2+4x+60；(2)由学生的注意力指数不低于80，即y≥80，当0≤x≤8时，由2x+68≥80可得：6≤x≤8；当8<x≤45是，则-18x2+4x+60≥80，即-18(x-16)2+92≥80，整理得：(x-16)2≤96，解得：8<x≤16+46，∴16+46-6=10+46≈20(分钟)，答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；(3)设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，∵10+46<24，∴0≤t<6，要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则当x=t和当x=t+24时对应的函数值相同，即2t+68=-18(t+24-16)2+92，整理得：(t+16)2=384，解得：t1=86-16，t2=-86-16(舍)，∴t≈4，答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．9(2023•昭阳区一模)新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？【答案】(1)y=-2x2+20x+400；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．【解析】解：(1)由题意可得：销售量=(20+2x)套，则y=(20+2x)(140-x-100)=(2x+20)(40-x)=-2x2+60x+800，∴y与x的函数关系式为：y=-2x2+60x+800；(2)由题意可得：当y=1200时，即-2x2+60x+800=1200，解得：x1=10，x2=20，∴140-10=130(元)，140-20=120(元)，答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为130元或120元；(3)由(1)可知：y=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250，∵-2<0，∴当x=15时，y有最大值，最大值为1250，此时，售价=140-15=125(元)，答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．10(2023•大丰区一模)比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P(看成一个点)从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d(m)与运动时间t(s)之间的函数表达式是：d=7t，在竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．(1)求小铁球从抛出到落地所需的时间；(2)当t=1时，求小铁球P此时的坐标；(3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)(7，39.2)；(3)y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．【解析】解：(1)根据题意可得，OA的高度为44.1m，且竖直方向物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的函数表达式为h=4.9t2，∴当h=44.1时，小铁球落到地面，∴4.9t2=44.1，解得：t1=3，t2=-3(舍)，答：小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒；(2)当t=1时，则d=7×1=7，h=4.9×12=4.9，∴y p=44.1-4.9=39.2，∴小铁球P此时的坐标为(7，39.2)；(3)由(1)可知小铁球从抛出到落地所需的时间为3秒，∴d=7×3=21，∴OB=21(m)，即B(21，0)，根据题意可得，顶点坐标为A(0，44.1)，∴可设抛物线解析式为：y=ax2+44.1，将点B(21，0)代入得：441a+44.1=0，解得：a=-1 10，∴抛物线的函数表达式为：y=-110x2+44.1(0≤x≤21)．11(2023•南昌模拟)一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m(即DE=2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m(即F到DE的距离为2.5m)，达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．。
2023学年人教中考数学重难点题型分类 专题06 几何图形初步—角度问题压轴题真题
专题06 高分必刷题-几何图形初步—角度问题压轴题真题（解析版） 专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试 题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也 适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。
1.（明德）已知120AOB ∠=，60COD ∠=，OE 平分∠BOC .(1)如图①，当∠COD 在∠AOB 的内部时.①若∠AOC =40°，则∠COE =_________；∠DOE =_________.②若∠AOC =α，则∠DOE =_________（用含α的代数式表示）；（2）如图②，当∠COD 在∠AOB 的外部时①请写出∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.②在∠AOC 内部有一条射线OF ，满足∠AOC +2∠BOE =4∠AOF ，写出∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，并说明理由.【解答】解：（1）①∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝∠BOC ＝40°，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣40°＝20°． 故答案为：40°，20°．②∵∠AOB ＝120°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝120°﹣α，∵OE 平分∠BOC ， ∴∠COE ＝∠BOC ＝60°﹣α，∵∠COD ＝60°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝60°﹣（60°﹣α）＝α．故答案为：α．（2）①∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ，∵∠AOC ﹣∠AOB ＝∠BOC ，∠DOE ﹣∠COD ＝∠EOC ， ∴∠AOC ﹣∠AOB ＝2（∠DOE ﹣∠COD ），∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴∠AOC ﹣120°＝2（∠DOE ﹣60°），化简得：2∠DOE ＝∠AOC ．②∠DOE ﹣∠AOF ＝30°，理由如下：∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，∠BOC ＝2∠BOE ，∠AOC +2∠BOE ＝4∠AOF ，∴4∠AOF ＝∠AOB +4∠BOE ，∵∠DOE ＝∠COD +∠COE ，∠COE ＝∠BOE ，∴4∠DOE ＝4∠COD +4∠BOE ，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝∠AOB ﹣4∠COD ，∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，∴4∠AOF ﹣4∠DOE ＝﹣120°，∴∠DOE ﹣∠AOF ＝30°．2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.(1)如图①，已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且BOC AOC ∠>∠，若75AOB AOC ∠=︒∠=， ；(2)如图②，已知90AOB ∠=︒，若OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线.①求∠COD 的度数；②在①的基础上，现以O 为中心，将∠COD 顺时针旋转n °得到C OD ''∠.当OA 恰好是C OD ''∠的三分线时，求n 的值.图① 图②【解答】解：（1）已知OC 是∠AOB 的一条三分钱，且∠BOC ＞∠AOC ，若∠AOB ＝75°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝25°，故答案为：25°．（2）①如图2，∵∠AOB ＝90°，OC ，OD 是∠AOB 的两条三分线，∴∠COD ＝∠AOB ＝30°； ②分两种情况：当OA 是∠C 'OD '的三分线，且∠AOD '＞∠AOC '时，∠AOC ′＝10°，∴∠DOC '＝30°﹣10°＝20°，∴∠DOD '＝20°+30°＝50°；当OA 是∠C ′OD '的三分线，且∠AOD '＜∠AOC 时，∠AOC '＝20°，∴∠DOC ′＝30°﹣20°＝10°，∴∠DOD '＝10°+30°＝40°； 综上所述，n ＝40°或50°．3．（师大）若A 、O 、B 三点共线，∠BOC ＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：∠DOE ＝90°，∠DEO ＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD 在射线OB 上，则∠COE ＝ ；（2）如图2，将三角板DOE 绕点O 逆时针方向旋转，若OE 恰好平分∠AOC ，则OD 所在射线是∠BOC 的 ；（3）如图3，将三角板DOE 绕点O 逆时针转动到使∠COD ＝∠AOE 时，求∠BOD 的度数；（4）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE 恰好与直线OC 重合，求t 的值．【解答】解：（1）∵∠DOE ＝90°，∠BOC ＝50°，∴∠COE ＝40°，故答案为40°； （2）∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠COE +DOC ＝∠DOE ＝90°，∴∠AOE +∠DOB ＝90°， ∴∠DOC ＝∠DOB ，∴DO 平分∠BOC ，∴DO 是∠BOC 的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD ＝∠AOE ，∠COD +∠DOE +∠AOE ＝130°，∴5∠COD ＝40°，∴∠COD ＝8°，∴∠BOD ＝58°；（4）当OE 与射线OC 的反向延长线重合时，5t +40＝180，∴t ＝28，当OE 与射线OC 重合时， 5t ＝360﹣40，∴t ＝64，综上所述：t 的值为28或64．4.（雅礼）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使130BOC ∠=︒。
初中数学中考常见的九种出题形式和中考数学解题36招
中考数学常见出题形式汇总一、线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
二、图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
三、动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
四、一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。
五、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
六、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
近年中考数学试题分类汇编考点6分式(含解析)(2021年整理)
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考点6 分式一．选择题（共20小题)1．（2018•武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（) A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解:∵代数式在实数范围内有意义,∴x+2≠0,解得：x≠﹣2．故选:D．2．（2018•金华)若分式的值为0,则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0，解得x=3．故选：A．3．（2018•株洲）下列运算正确的是( ）A．2a+3b=5ab B．（﹣ab）2=a2b C．a2•a4=a8D．【分析】根据合比同类项法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则解答．【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、原式=a2b2，故本选项错误；C、原式=a6，故本选项错误；D、原式=2a3，故本选项正确．故选：D．4．（2018•江西)计算（﹣a）2•的结果为（）A．b B．﹣b C．ab D．【分析】先计算乘方,再计算乘法即可得．【解答】解；原式=a2•=b，故选:A．5．（2018•山西）下列运算正确的是（）A．(﹣a3）2=﹣a6B．2a2+3a2=6a2C．2a2•a3=2a6 D．【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．【解答】解：A、（﹣a3）2=a6,此选项错误;B、2a2+3a2=5a2，此选项错误；C、2a2•a3=2a5，此选项错误；D、，此选项正确；故选：D．6．(2018•曲靖)下列计算正确的是（）A．a2•a=a2B．a6÷a2=a3C．a2b﹣2ba2=﹣a2b D．（﹣）3=﹣【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a3，不符合题意;B、原式=a4,不符合题意；C、原式=﹣a2b，符合题意；D、原式=﹣,不符合题意,故选：C．7．（2018•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示:接力中，自己负责的一步出现错误的是( ）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【解答】解:∵÷=•=•=•==，∴出现错误是在乙和丁,故选:D．8．（2018•永州)甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B 两处所购买的西瓜重量之比为3:2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（)A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价C．商版A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
中考数学复习练测课件 题型3 创新画图题
2.(2020·江西三模)如图，在△ABC中，已知AB=AC， AD⊥BC于点D，请仅用无刻度的直尺按要求画图. (1)如图1，点P为AB上任意一点，在AC上找出一点P′，使 AP=AP′； (2)如图2，点P为BD上任意一点，在CD上找出一点P′，使 BP=CP′.
解：(1)如图1，点P′即为所求. (2)如图2，点P′即为所求.
等积（面积等底等高、同底等高）转化思想找到切入点；
2.常见的网格有正方形网格、等边三角形网格、菱形网格、 矩形网格，需熟记： （1）以特殊四边形为基本单元的网格中，特殊存在条件—— 对角线特征，如正方形连接对角线可得到45°角，等腰直角三 角形、垂直线段等；菱形连接对角线可得到垂直线段；矩形 连接对角线可得到相等线段； （2）等边三角形网格需注意60°角及“三线合一”性质的运 用.
类型1
以三角形为辅助画图
［方法特点］1.在三角形中熟记角平分线、中位线、中线、高线性质，三 角形三条角平分线(或高线或中线)必交于一点，以及垂直平分线可得到相 等的线段、角和互余的角等； 2.等腰及等边三角形的中线、高线或角平分线均为对称轴，且对称轴两边 对应线段、对应角均相等； 3.含60°角的直角三角形，可通过作斜边中线构造等边三角形； 4.利用同底等高，过这点作三角形的中线.
4.(2020·九江一模)在图1，图2中，点E在矩形ABCD的边BC 上，且BE=AB，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画 图.［保留画(作)图痕迹，不写画(作)法］ (1)在图1中，画∠BAD的平分线； (2)在图2中，画∠BCD的平分线.
5.(2020·江西三模)请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按 要求画菱形. (1)图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边 画一个菱形； (2)图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点(BE＞DE)， 以AE为边画一个菱形.
中考数学真题分类解析(六)分式方程考题汇编及解析
（2022•北部湾中考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）
（2022•山西中考）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【解析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得200
x =200
x+0.6
×4，解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元.。
【配套K12】中考数学 专题复习六 求最短路径问题
中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
(通用版)2018年中考数学总复习 专题检测6 分式方程及其应用试题
专题检测6 分式方程及其应用(时间60分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.在方程=7,-=2,+x=,=+4,=1中,分式方程有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知方程=1的根为x=1,则k=(B)A.4B.-4C.1D.-13.解分式方程+=3时,去分母后变形正确的是(D)A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)4.解分式方程+=,下列四步中,错误的一步是(D)A.方程两边分式的最简公分母是x2-1B.方程两边都乘(x2-1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解B项中的整式方程得x=1D.原方程的解为x=15.分式方程=的解为(D)A.x=0B.x=3C.x=5D.x=96.关于x的分式方程=1,下列说法正确的是(C)A.方程的解是x=m+5B.m>-5时,方程的解是正数C.m<-5时,方程的解为负数D.无法确定7.若分式方程=有增根,则增根为(B)A.x=-1B.x=1C.x=±1D.x=08.已知关于x的方程=3的解是正数,则实数m的取值范围为(C)A.m>-6B.m<-6C.m>-6,且m≠-4D.m>-6,且m≠29.对于非零的两个实数a,b,规定a*b=-,若5*(3x-1)=2,则x的值为(B)A. B. C. D.-10.“五一”期间,东方中学“动感数学”活动小组的全体同学租一辆面包车前去某景点游览,面包车的车费为180元.出发时又增加了2名同学,结果每个同学比原来少摊了3元车费.若设“动感数学”活动小组有x人,则所列方程为(B)A.-=3B.-=3C.-=3D.-=311.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3 000 m的管道,为尽量减少施工对交通造成的影响,实施施工时“…”,设实际每天铺设管道x m,则可得方程-=15,根据此情景,题中用“…”表示的缺失的条件应补为(C)A.每天比原计划多铺设10 m,结果延期15天才完成B.每天比原计划少铺设10 m,结果延期15天才完成C.每天比原计划多铺设10 m,结果提前15天完成D.每天比原计划少铺设10 m,结果提前15天完成12.如图所示的电路的总电阻为10 Ω,若R1=2R2,则R1,R2的值分别是(A)A.R1=30 Ω,R2=15 ΩB.R1=Ω,R2=ΩC.R1=15 Ω,R2=30 ΩD.R1=Ω,R2=Ω二、填空题(每小题3分,共24分)13.当x=1时,分式的值为-1.14.同学解分式方程=0,得出原方程的解为x=2或x=-2.你认为他的解答对吗?请你作出判断:不对,并说明理由:因为当x=2时,分母为零,无意义,所以x=2是原方程的增根.15.请选择一组a,b的值,写出一个关于x的形如=b的分式方程,使它的解是x=0,这样的分式方程可以是=1(答案不唯一).16.为改善生态环境,防止水土流失,某村准备在荒坡上植树960棵,由于青年志愿者的支持,每天比原计划多植20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天植树多少棵?设原计划每天植树x棵,由题意得方程-=4.17.若分式无意义,当-=0时,m=.18.规定a·b=-,若x·(x+2)=,则x为-1.19.研究10,12,15这三个数的倒数发现:-=-,我们称15,12,10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:3,5,x(x>5),则x的值是15.20.观察分析下列方程:①x+=3,②x+=5,③x+=7.请利用它们所蕴含的规律,求关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的根,你的答案是:x=n+3或x=n+4.三、解答题(共40分)21.(每小题5分,共10分)解方程:(1)=-3;(2)+=.=-3,两边同乘(x-2),得1=x-1-3(x-2),解得x=2,经检验x=2是增根,所以原方程无解.(2)+=,两边同乘x(x-1),得3(x-1)+6x=7,9x=10,x=,经检验x=是原方程的根,所以原方程的根是x=.解方程=去分母,得4(2x-1)去括号,得8x-=1-3x-x=-(1)小明的解答有错吗?如果有错,请指出错在第几步?(写出序号即可)解方程x-=.小明的解答有错,错在第①步;(2)去分母,得x2+x-2=2x,即(x-2)(x+1)=0,解得x=2或x=-1,经检验x=-1是增根,故分式方程的解为x=2.23.(7分)“”称为二阶行列式,已知它的运算法则为=ad-bc,请你根据上述规定求出下列等式中x的值.=1.=1整理,得2×-=1,即+=1,得x=4.经检验x=4是原方程的解.〚导学号92034152〛24.(8分)某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包,面市后发现供不应求,商店又购进第二批同样的书包,所购数量是第一批购进数量的3倍,但单价贵了4元,结果第二批用了6 300元.(1)求第一批购进书包的单价是多少元?(2)若商店销售这两批书包时,每个售价都是120元,全部售出后,商店共盈利多少元?设第一批购进书包的单价是x元,则第二批购进书包的单价是(x+4)元.由题意得×3=,解得x=80,经检验x=80是原方程的根.答:第一批购进书包的单价是80元.(2)×(120-80)+×(120-84)=3 700(元).答:商店共盈利3 700元.25.(9分)阅读下面的材料:例:用换元法解分式方程:已知+=7.解:设y=,则原方程可化为y+=7,即y2-7y+10=0,解这个方程得y1=5,y2=2,由y1==5,得方程x2-5x=0,解得x1=0,x2=5;由y2==2,得方程x2-2x-3=0,解得x3=-1,x4=3;经检验x1=0,x2=5,x3=-1,x4=3都是原方程的解.学习例题的方法,请你用换元法解下面的分式方程:-5-6=0.=y,则原方程化为y2-5y-6=0,解得y1=6,y2=-1.当y1=6时,=6,解得x1=;当y2=-1时,=-1,解得x2=;经检验x1=,x2=都是原方程的根,即原方程的根是x1=,x2=.。
【中考12年】江苏省淮安市2001-2012年中考数学试题分类 专题6 函数的图像与性质
【中考12年】江苏省淮安市2001-2012年中考数学试题分类专题6函数的图像与性质选择题1. （2002年江苏淮安3分）已知关于x的一次函数y mx1=+，如果y随x的增大而增大，则m的取值范围是【】A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤02. （2002年江苏淮安3分）二次函数2y x2x2=-+有【】A．最大值1 B．最大值2 C．最小值1 D．最小值23. （2002年江苏淮安3分）设A（ x1，y1）、B （x2，y2）是反比例函数2yx=-图象上的两点．若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是【】A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞04. （2004年江苏淮安3分）若反比例函数()ky k 0x =≠ (k≠0)的图象经过点(－1，2)，则k 的值为【 】A ．－2B ．－21C ．2D ．217. （2007年江苏淮安3分）关于函数1yx=-的图象，下列说法错误的是【】A．经过点（1，－1） B．在第二象限内，y随x的增大而增大C．是轴对称图形，且对称轴是y轴 D．是中心对称图形，且对称中心是坐标原点8. （2011年江苏淮安3分）如图，反比例函数ky=x的图象经过点A(－1，－2).则当ｘ＞1时，函数值y的取值范围是【】A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜y＜29. （2012年江苏淮安3分）已知反比例函数m1yx-=的图象如图所示，则实数m的取值范围是【】A、m>1B、m>0C、m<1D、m<0二、填空题1. （2009年江苏省3分）反比例函数1yx=-的图象在第▲ 象限．【答案】二、四。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数()ky=k0x≠的性质：当k0＞时，图象分别位于第一、三象限；当k0＜时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数1yx=-的系数k=10<-，∴图象两个分支分别位于第二、四象限。
类型6 二次函数的最值问题(精选20题)2020年中考数学三轮冲刺 难点题型突破(含答案)
二次函数的最值问题1．菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为（）A．B．C．D．2．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3D．43．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3B．3C．D．6．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A．B．C．D．7．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，﹣7），动点C（x，y）在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A．有最小值9B．有最大值9C．有最小值8D．有最大值88．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（）A．最小值﹣3B．最小值3C．最大值﹣3D．最大值39．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为．10．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D是边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE 和矩形HEBF的面积和最小时，AD的长度为．12．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取的值为cm．13．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．18．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC 上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．19．如图，线段AD＝5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x＝；（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．20．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝4cm，OC＝3cm，D为OA上一动点，点D以1cm/s的速度从O点出发向A点运动，E为AB上一动点，点E以1cm/s的速度从A点出发向点B 运动．（1）试写出多边形ODEBC的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使得△PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使得点E恰好落在BC边的点F处．求出此时时间t的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使得四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M，点N的坐标．试题解析1．菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为（）A．B．C．D．解：连接BD，AC，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；∴△ABD与△BCD为正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE，∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝2△BEF面积的最小值＝3．故选：B．2．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3D．4解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD＝AD＝3，DE⊥OA，∴OE＝EA＝OA＝2，由勾股定理得：DE＝，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴＝，＝，∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，即＝，＝，解得：BF＝x，CM＝﹣x，∴BF+CM＝．故选：A．3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．5．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3B．3C．D．解：如图，作HM⊥AB于M，∵AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠MDH＝90°，∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠MDH，∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，∴△ADG≌△MHD（AAS），∴AD＝HM，设AD＝x，则BD＝2﹣x，∴S△BDH＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，∴△BDH面积的最大值是，故选：C．6．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A．B．C．D．解：设菱形的高为h，∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，∴h＝，若设AP＝x，则PB＝1﹣x，∵PQ⊥AB，AQ＝2x，PQ＝x，∴DQ＝1﹣2x，∴S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△P AQ﹣S△CDQ＝1×﹣（1﹣x）•﹣x•x﹣（1﹣2x）•＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴△CPQ面积有最大值为，故选：D．7．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，﹣7），动点C（x，y）在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A．有最小值9B．有最大值9C．有最小值8D．有最大值8解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），∴，解得，∴二次函数为y＝x2﹣7x，∵A（7，0），B（0，﹣7），∴直线AB为：y＝x﹣7，设C（x，x﹣7），则D（x，x2﹣7x），∴CD＝x﹣7﹣（x2﹣7x）＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，∴1＜x＜7范围内，有最大值9，故选：B．8．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（）A．最小值﹣3B．最小值3C．最大值﹣3D．最大值3解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．9．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为5或．解：分三种情况：当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．综上，a的值为5或．故答案为：5或10．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm2．解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，根据题意得：S四边形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4×t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）2+18，∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．故答案为：3；1811．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D是边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE 和矩形HEBF的面积和最小时，AD的长度为．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，∴AC＝＝3，设DC＝x，则AD＝3﹣x，∵DF∥AB，∴＝，即＝，∴CE＝∴BE＝4﹣，∵矩形CDGE和矩形HEBF，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF＝AD＝3﹣x，则S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF＝DC•CE+BE•BF＝x•x+（3﹣x）（4﹣x）＝x2﹣8x+12，∵＞0，∴当x＝﹣＝时，有最小值，∴DC＝，有最小值，即AD＝3﹣＝时，矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小，故答案为12．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取的值为15cm．解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a＝x，h＝（30﹣x），0＜x＜30．S＝4ah＝8x（30﹣x）＝﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x＝15cm时，S取最大值．故答案为：15．13．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是．解：设PD＝x，S△PEF＝y，S△AQD＝z，梯形ABCD的高为h，∵AD＝3，BC＝4，梯形ABCD面积为7，∴解得∵PE∥DQ，∴∠PEF＝∠QFE，∠EPF＝∠PFD，又∵PF∥AQ，∴∠PFD＝∠EQF，∴∠EPF＝∠EQF，∵EF＝FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴＝，＝（）2，∵S△AQD＝3，∴S△DPF＝x2，S△APE＝（3﹣x）2，∴S△PEF＝（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，∴y＝[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×＝﹣x2+x，∵y最大值＝＝，即y最大值＝．∴△PEF面积最大值是．14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x＝﹣，y＝b2为最小值，∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCA又∵AC⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BAC．（2）Rt△ABC中，AC＝＝8cm，∵△ACD∽△BAC，∴＝，即，解得：DC＝6.4cm．（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，∵∠ACB＝∠EGB＝90°，∠B公共，∴△ACB∽△EGB，∴，即，故；y＝S△ABC﹣S△BEF＝＝；故当t＝时，y的最小值为19．18．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC 上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE＝x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．∵S△ABC＝48，BC＝12，∴AM＝8，∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴，而AN＝AM﹣MN＝AM﹣DE，∴，解之得DE＝4.8．∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE＝x，∴y＝x2，此时x的范围是0＜x≤4.8，②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（3），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，△ABC的高AM交DE于N，∵DE＝x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，即，而AN＝AM﹣MN＝AM﹣EP，∴，解得EP＝8﹣x．所以y＝x（8﹣x），即y＝﹣x2+8x，由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82＝23.04，当4.8＜x＜12时，因为，所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：y最大＝﹣×62+8×6＝24；因为24＞23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．19．如图，线段AD＝5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x＝ 2.4或2.6；（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．解：（1）∵AD＝5，AB＝x，BE垂直平分CD，∴BC＝BD＝5﹣x，在△ABC中，AC＝1，∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x），解得：2＜x＜3；（2）∵△ABC为直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AC2+BC2，即x2＝（5﹣x）2+1，∴x＝2.6；若BC是斜边，则BC2＝AB2+AC2，即（5﹣x）2＝x2+1，∴x＝2.4．故答案为：2.4或2.6．（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF＝h，AF＝m，则W＝（xh）2＝x2h2，①如图，当2.4＜x＜3时，AC2﹣AF2＝BC2﹣BF2，则1﹣m2＝（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，得：m＝，∴h2＝1﹣m2＝，∴W＝x2h2＝﹣6x2+30x﹣36，即W＝﹣6（x﹣）2+，当x＝2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；②当2＜x≤2.4时，同理可得：W＝﹣6x2+30x﹣36＝﹣6（x﹣）2+，当x＝2.4时，W取最大值1.44＜1.5，综合①②得，W的最大值为1.5．20．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝4cm，OC＝3cm，D为OA上一动点，点D以1cm/s的速度从O点出发向A点运动，E为AB上一动点，点E以1cm/s的速度从A点出发向点B 运动．（1）试写出多边形ODEBC的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使得△PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使得点E恰好落在BC边的点F处．求出此时时间t的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使得四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M，点N的坐标．解：（1）设OD＝t，AD＝4﹣t，AE＝t，S△ODEBC＝S△ABCD﹣S△DAE＝＝＝（0≤t≤3）（2）∵∴∴当t＝2时，S有最小值；此时：D（2，0）、E（4，2），①当P在x轴上时，设P（a，0），此时：DE2＝AD2+EA2＝22+22＝8，EP2＝（a﹣4）2+22＝a2﹣8a+20，DP2＝（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，∴当DE2＝EP2时，8＝a2﹣8a+20，∴a2﹣8a+12＝0，（a﹣2）（a﹣6）＝0，∴P（2，0），P1（6，0），∵P（2，0）与D重合∴舍去，当EP2＝DP2时，a2﹣8a+20＝a2﹣4a+4，16＝4a，a＝4，∴P2（4，0），当DE2＝DP2时，8＝a2﹣4a+4a2﹣4a﹣4＝0，∴，②当P在y轴上时，设P（0，b），则DP2＝22+b2＝b2+4EP2＝42+（b﹣2）2＝16+b2﹣4b+4＝b2﹣4b+20 DE2＝8，∴当DP2＝EP2时，b2+4＝b2﹣4b+204b＝16，b＝4，∴P5（0，4），当EP2＝DE2时，b2﹣4b+20＝8b2﹣4b+12＝0b2﹣4ac＜0，∴无解．当DP2＝DE2时，b2+4＝8，b2＝4，∴b＝±2，∴P6（0，﹣2）（DEP三点共线，舍去），∴综上共有6个这样的P点，使得△PDE为等腰三角形．即P1（6，0），P2（4，0），，，P5（0，4），P6（0，2）．（3）设AE＝t，则BE＝3﹣t．BF＝BE＝3﹣t，AD＝4﹣t，∴CF＝4﹣BF＝t+1，过D作DP⊥BC于P．则：CP＝OD＝t，∴PF＝1，又DP＝3，∴，∴，∴在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，∴（4﹣t）2+t2＝10，∴t2﹣8t+16+t2＝10，2t2﹣8t+6＝0，t2﹣4t+3＝0，∴t1＝1，t2＝3（舍），∴t＝1（9分），∴E（4，1），F（2，3），∵E关于x轴的对称点E′（4，﹣1），F关于y轴的对称点F′（﹣2，3），则E′F′与x轴，y轴的交点即为M点，N点．设直线E′F′的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴y＝﹣x+．（10分）∴M（，0），N（0，）．（12分）。
2023版山西数学中考总复习第六章图形的变化提分小专题十二-图形折叠的计算与证明
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4.（2022河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，点
E是边AB的中点，点P为边AC上的一动点，连接EP，将△AEP沿EP折叠得
5 到△A'EP.当A'E与△ABC的一条直角边垂直时，则线段AP的长为 2 或 5 ．
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点拨：由勾股定理易得 AB = 10.由题意知 E 为 AB 的中点，则 AE = 5.分如下两种情
应点为D'，AD'的延长线交BC于点E，则BE的长为 10 .
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点拨：（1）如图析 1，连接 FE ，易证 Rt△FD'E ≌ Rt △FCE ，
得 D'E = CE ， 设 D'E = CE = x， 则 BE = 10 - x，AE = 10 + x， 根据勾股定理列方程可求出 CE = 9 ，
49 若AE = 5，则GE的长为 13 ．
点拨：易证△DFC ≌ △AED，得到 CF = DE，
DF = AE = 5，根据勾股定理得 DE = 13，
可证△FCD ∽ △FDO，求出 DO = 60 ， 13
GE = DE - 2DO = 49 . 13
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3.（2022黄岩区模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A = 45°，点E是边
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典例精讲 掌握通性通法
（一）三角形中的折叠 1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，∠B = 35°，AD是斜边 BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB 相交于点E，则∠FAE等于 20° ．
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2. 如图，直角三角形纸片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为6，8，现 7
中考数学题型分布
中考数学题型分布
中考数学题型的分布可能会因地区和教材版本的差异而有所不同，但通常包括以下几种类型的题目：
1. 选择题：选择题是中考数学试卷中较为常见的题型。
它要求考生从给定的选项中选择正确答案。
选择题可以涉及各个数学概念和计算技巧。
2. 解答题：解答题要求考生用文字和符号进行推理、解决问题或证明。
这类题目常常需要考生灵活运用所学的知识和方法，提供详细的过程和推导。
3. 计算题：计算题是要求考生进行具体的数值计算的题目，如四则运算、代数式化简、方程求解等。
这类题目检验考生的计算能力和运算技巧。
4. 应用题：应用题是将数学知识应用于实际问题的题目。
这些问题通常与日常生活、实际工作或其他学科相关，要求考生进行建模、分析和解决问题。
5. 推理证明题：推理证明题要求考生根据已知条件进行推理和证明。
这类题目考察考生的逻辑思维和推理能力。
6. 图形题：图形题是考察考生对平面图形、立体图形等的认识和操作。
要求考生能够正确理解、分析和绘制各种图形。
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中考数学6种常考的压轴题类型
中考数学6种常考的压轴题类型中考数学6种常考的压轴题类型历年中考，压轴题一样平常都由3个小题构成。
第(1)题轻易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一样平常照旧属于通例题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，手段要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。
而从近几年的中考压轴题来看，大多不偏不怪，得分率不变在0.5与0.6之间，即考生的均匀得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不行怕。
线段、角的计较与证明题目中考的解答题一样平常是分两到三部门的。
第一部门根基上都是一些简朴题可能中档题，目标在于考查基本。
第二部门每每就是开始拉分的中困难了。
对这些题轻松把握的意义不只仅在于得到分数，更重要的是对付整个做题进程中士气，军心的影响。
一元二次方程与二次函数在这一类题目傍边，尤以涉及的动态几许题目最为艰巨。
几许题目的难点在于想象，结构，每每偶然辰一条帮助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
对比几许综合题来说，代数综合题倒不必要太多奇妙的要领，可是对考生的计较手段以及代数功底有了较量高的要求。
代数题目每每是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他常识点帮助的情势呈现的。
一元二次方程与二次函数题目傍边，纯粹的一元二次方程解法凡是会以简朴解答题的方法考查。
可是在后头的中难档大题傍边，凡是会和根的鉴别式，整数根和抛物线等常识点团结。
多种函数交错综合题目初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类标题自己并不会太难，很少作为压轴题呈现，一样平常都是作为一道中档次标题来考查考生对付一次函数以及反比例函数的把握。
以是在中考中面临这类题目，必然要做到停止失分。
列方程（组）解应用题在中考中，有一类标题说难不难，说不难又难，有的时辰三两下就有了思绪，有的时辰苦思冥想好久也没有设法，这就是列方程或方程组解应用题。
方程可以说是初中数学傍边最重要的部门，以是也是中考中必考内容。
从连年来的中考来看，结适事势热门考的较量多，以是还必要考生有一些糊口履历。
中考数学6分题类型系列
中考数学6分题类型系列类型一 计算题1、|21|45tan )21()3(20-︒-+-- 2、345tan 32312110-︒-⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--3、()()()︒⨯-+-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-30tan 33121201220103110012类型二 代数式的化简求值1、412)211(22-+-÷-+x x x x ，其中5-=x . 2、2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a -1.3、化简求值： 111(11222+---÷-+-m m m m m m ）,其中m =34、化简：xx x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+, 其中22+=x类型三 解方程1、解方程：x 2﹣4x+1=0． 2、解方程：x 2+4x －2=0 3、 解分式方程2322-=+x x4、解方程组⎩⎨⎧=+=+8361063y x y x 5、解分式方程：2641313-=--x x类型四 解不等式1.解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+231325x x x 2.解不等式组()()()⎩⎨⎧+≥--+<-14615362x x x x 并写出不等式组的整数解．类型五 函数综合题1、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；2、如图一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围类型六 几何证明和计算题一、四边形证明题已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线上的两点，且AF=EC.求证：DE=BF.二、三角形全等题如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
中考数学试卷真题分值安排
中考数学试卷真题分值安排中考数学试卷的题型多样，各个题型的分值也是根据考察的内容难易程度来进行安排的。
合理的分值安排可以全面考察学生的数学素养和解题能力，同时确保试卷整体难易适中，公平、公正地评价学生的学习水平。
下面将针对不同的题型进行详细分析。
1. 选择题型选择题型是中考数学试卷中相对较为简单的题型，常见的有单选题和多选题。
这类题目主要测试学生对知识点的掌握程度。
一般来说，单选题的分值较低，每题1-2分；而多选题的分值较高，每题2-4分。
2. 填空题型填空题型要求学生根据题目给出的条件，找到正确的答案填入空格中，常见的有计算题、方程题等。
这类题目既考察了学生的计算能力，又考察了学生解题的逻辑思维能力。
一般情况下，填空题的分值较低，每题1-2分。
3. 解答题型解答题型是中考数学试卷的重点和难点部分，常见的有证明题、应用题等。
这类题目要求学生运用所学的数学知识进行思维拓展，需要进行推理和证明，注重解题过程的合理性和逻辑性。
解答题的分值较高，每题3-5分。
4. 综合题型综合题型是一种综合性较强的题目，要求学生综合运用所学的多个知识点进行解题，常见的有应用题和分析题等。
这类题目既考察了学生对知识点的掌握程度，又考察了学生解决实际问题的能力。
综合题的分值一般比较高，每题4-6分。
根据以上分析，中考数学试卷的分值安排应该根据题目的难易程度来合理分配，确保试卷整体难度适中。
在选择题中，单选题每题1-2分，多选题每题2-4分；填空题每题1-2分；解答题每题3-5分；综合题每题4-6分。
通过合理设定分值，可以更好地评价学生的数学水平和解题能力，真实反映学生的实际水平。
同时，试卷的总分一般控制在100-120分左右，以确保整个试卷的难度水平与学生的知识水平相匹配。
为了避免计分过多或过少，试卷应尽量平均分布各个题型和知识点，注重考察学生的综合能力，规范评分标准，确保评分公正。
【数学2020】中考数学二轮复习随堂练习：第2章解答题(一)——突破6分题第3讲尺规作图综合题
第二部分第二章第3讲1．(2019贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．解：如图所示，△DEF即为所求．2．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD ＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示．因为∠EAC＝∠ACB，所以AD∥CB．因为AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以AB∥CD．3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2 3.(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若△ADE的周长为a，先化简T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值．解：(1)如图所示．(2)T ＝(a ＋1)2－a (a －1)＝3a ＋1. 因为DE 是AC 的垂直平分线， 所以AE ＝12AC ＝12×23＝ 3.在Rt △ADE 中，可得AD ＝AE cos A ＝332＝2，DE ＝AD sin A ＝2×12＝1. 所以a ＝3＋1＋2＝3＋ 3. 所以T ＝3a ＋1＝33＋10.4．(2019赤峰)已知：AC 是▱ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E ，连接CE ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若AB ＝3，BC ＝5，求△DCE 的周长．解：(1)如图，CE 为所作．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝3.∵点E 在线段AC 的垂直平分线上，∴EA ＝EC ．∴△DCE 的周长＝CE ＋DE ＋CD ＝EA ＋DE ＋CD ＝AD ＋CD ＝5＋3＝8. 5．(2018攀枝花)已知△ABC 中，∠A ＝90°.(1)请在图1中作出BC 边上的中线；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，设BC 边上的中线为AD ，求证：BC ＝2AD ．解：(1)如图1，AD即为所求．(2)证明：延长AD到E，使ED＝AD，连接EB，EC，如图2.因为CD＝BD，AD＝ED，所以四边形ABEC为平行四边形．因为∠CAB＝90°，所以四边形ABEC为矩形．所以AE＝BC．所以BC＝2AD．6．(2018自贡)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4，求DE的长．(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)解：(1)如图所示，作∠ABC的平分线交AC于E，过E作AC的垂线交AB于O，以O 为圆心，OB为半径作圆，即为所求．(2)因为BD是⊙O的直径，所以∠BED＝∠ACB＝90°.因为∠EBC＝∠EBD，所以△BCE∽△BED．所以BEBC＝BDBE.所以BE4＝5BE，解得BE＝2 5.所以DE＝BD2－BE2＝25－20＝ 5.7．(2019河池)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上．(1)尺规作图：作∠BAC 的平分线，与⊙O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；(2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论． 解：(1)如图所示．(2)OE ∥AC ，OE ＝12AC ．理由如下：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ．∵∠BAD ＝12∠BOD ，∴∠BOD ＝∠BAC ．∴OE ∥AC ．∵OA ＝OB ，∴OE 为△ABC 的中位线．∴OE ∥AC ，OE ＝12AC ．。
江西省2020届中考数学单元专题练之方程实际应用题(含解析)
江西省2020届中考数学单元专题练之方程实际应用大题类型一购买分配类问题1. (6分)某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．2. (6分)某电脑公司有A、B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元．学校计划花费150000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A型、B型电脑各多少台？3. (8分)春节来临之际，某食品经销商店购进了A，B两种食用油，每箱A种食用油比每箱B种食用油贵20元．该商店用了3840元购进A种食用油，用了1720元购进B种食用油，所购进的A种食用油的箱数是所购进的B种食用油的箱数的2倍，问每箱A种食用油和每箱B种食用油的进价．4. (8分) 某中学准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买4个足球和3个篮球共需360元，购买2个足球和5个篮球共需390元．(1)求购买一个足球，一个篮球各需要多少元；(2)该中学根据实际情况，决定从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共80个，要求购买足球和篮球的总费用不超过3990元，这所中学最多可以购买多少个篮球？类型二行程、工程问题5. (8分)暑假的一天，小刚到离家1.2千米的万州体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有24分钟，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时5分钟，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小刚骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少10分钟．骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小刚步行的速度(单位：米/分钟)是多少？(2)小刚能否在球赛开始前赶到体育馆？请通过计算说明理由．6. (8分)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？类型三实物模型问题7. (6分)如图，在铅笔盒中有一支圆珠笔和一把小刀，已知圆珠笔的长AB是小刀长CD(小刀不打开时的最大长度)的157倍，若把圆珠笔与小刀按平行于铅笔盒长的方向放置，则其重叠部分BC的长是2 cm，铅笔盒内部的长AD为20 cm，设小刀的长为x cm，求x的值．第7题图8. (6分)如图，有两堆碗，每个碗的大小完全相同，两堆碗的高度分别是20 cm和15 cm，设每个碗的高度为x cm，两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为y cm，求把这两堆碗堆在一起时的高度．第8题图9. (6分)如图①，是某单位的透空护栏，如图②是它的示意图，它是用外径为3 cm 的圆钢管与外圆直径为15 cm 的圆圈焊接而成的(圆圈由扁直钢筋做成，两圆钢管之间夹一个圆圈)，若要做高度统一为2 m ，长为7.41 m 的护栏．试问：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是多少m?第9题图10. (6分)如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条．已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．(1)3个铁环组成的链条长有多少？(2)若要组成不少于2米长的链条，至少需要多少个铁环？第10题图11. (8分)如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A 点逆流航行3小时到达B 点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C 点，总共行驶了198 km ，已知游艇的速度是38 km /h .(1)求水流的速度；(2)由于AC 段建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？第11题图12. (8分)小亮做了一个用于放试管的木架子，他在834 cm 长的木条上钻了7个孔，每个孔的直径都为a cm ，如图所示：第12题图(1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同，当a ＝54 cm 时，请计算相邻两孔之间的距离是多少cm?(2)如果两端的空间是32 cm ，其他相邻两孔之间的距离相同都为4324 cm ，请计算每个孔的直径为多少cm?13. (8分)小明家住闲林，每天骑公共自行车去距家12 km 的学校上学．自从开通了快速公交四号线(以下简称“B 4”)，他去学校又有了一个新选择(家和学校门口均有B 4站点)．某天小明6：30离开家，沿着与快速公交道平行的路骑行上学，他留意到每隔6分钟有一辆B 4从他后面驶向前面，每隔2分钟有一辆B 4从对面驶向后面．假设B 4和小明行驶的速度都不变，根据示意图回答下列问题(注意：忽略细节上的问题，如B 4车身长度及停靠站的时间，取书包的时间等等，排除超车的可能性)：(1)B 4每隔几分钟从车站开出一辆？(提示：设他们的速度分别为v 1，v 2，时间用t 表示，列方程求解．)(2)学校规定7：30到校，当小明骑行一半路程时发现忘带了书包，他连忙以速度v 3折返，再以相同的速度骑行至学校，你觉得他能按时到校吗？若不能，请你帮他设计一个理想条件下的方案．(已知B 4的平均行驶速度为30 km /h )第13题图14. (8分)(1)一种圆环甲(如图①)，它的外圆直径是8 cm ，环宽1 cm .①如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧(如图②)，长度为________ cm ； ②如果用n 个这样的圆环相扣并拉紧，长度为________ cm ； (2)另一种圆环乙，像(1)中圆环甲那样相扣并拉紧；①3个圆环乙的长度是28 cm ，5个圆环乙的长度是44 cm ，求出圆环乙的外圆直径和环宽；②现有n (n ＞2)个圆环甲和n (n ＞2)个圆环乙，将它们像(1)中那样相扣并拉紧，长度为多少厘米？第14题图类型四 销售利润问题15. (8分)某种商品A 的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，(1)商品A的进价为多少元？(2)现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%，对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则商品A、B分别进货多少件？16. (8分)某经销单位将进货价每件为27.4元的商品按每件40元销售，经两次调价后调至每件32.4元．(1)若该商店两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，其销量就增加10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月销售该商品可获利多少元？江西省2020届中考数学单元专题练之方程实际应用大题答案全解全析1. 解：设跳绳的单价为x 元，则排球的单价为3x 元，依题意得：750x －9003x ＝30， 解得x ＝15.经检验：x ＝15是原分式方程的根，且符合题意． 答：跳绳的单价是15元．2. 解：设购买A 型电脑x 台，B 型电脑y 台，根据题意得： ⎩⎨⎧x ＋y ＝356000x ＋4000y ＝150000， 解得⎩⎨⎧x ＝5y ＝30.答：购买A 型电脑5台，B 型电脑30台．3. 解：设A 种食用油每箱的进价为x 元，则B 种食用油每箱的进价为(x －20)元．由题意得3840x ＝1720x －20×2，解得x ＝192，经检验，x ＝192是原分式方程的解且符合题意． x －20＝192－20＝172.答：A 、B 两种食用油每箱的进价分别为192元、172元．4. 解：(1)设购买一个足球需要x 元，购买一个篮球需要y 元． 根据题意得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝3602x ＋5y ＝390，解得⎩⎨⎧x ＝45y ＝60.答：购买一个足球需要45元，购买一个篮球需要60元； (2)设购买a 个篮球，则购买(80－a )个足球．依题意得： 60a ＋45(80－a )≤3990， 解得a ≤26.答：这所中学最多可以购买26个篮球．5. 解：(1)设小刚步行的速度为x 米/分钟，则骑自行车的速度是3x 米/分钟，由题意得： 1200x －12003x ＝10，解得x ＝80，经检验，x ＝80是原分式方程的解且符合题意，则3x ＝240， 答：小刚步行的速度是80米/分钟；(2)不能；理由：回家取票的总时间为120080＋1200240＋5＝25分钟＞24分钟，故小刚不能在球赛开始前赶到体育馆．6. 解：(1)设甲工程队每天修路x 千米，乙工程队每天修路(x －0.5)千米， 根据题意，可列方程：1．5×15x ＝15x －0.5，解得x ＝1.5，经检验，x ＝1.5是原分式方程的解，且符合题意，则x －0.5＝1. 答：甲工程队每天修路1.5千米，则乙工程队每天修路1千米； (2)设甲工程队修路a 天，则乙工程队需要修(15－1.5a )千米，∴乙工程队需要修路15－1.5a1＝15－1.5a (天)，由题意可得0.5a ＋0.4(15－1.5a )≤5.2， 解得a ≥8.答：甲工程队至少修路8天．7. 解：设小刀的长为x cm ，则圆珠笔的长为157x cm ，依题意得： 157x －2＋x ＝20， 解得x ＝7.答：x 的值是7.8. 解：根据题意得：⎩⎨⎧x ＋4y ＝20x ＋2y ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝2.5.两堆碗堆在一起时的高度是20＋3y ＝27.5 (cm )． 答：两堆碗堆在一起时的高度为27.5 cm . 9. 解：设需要圆圈x 个．由题意得：15x ＋3(x ＋1)＝741， ∴x ＝41，圆钢管总长度为：(x ＋1)×2＝42×2＝84(m )， 扁钢筋的展直总长度：41×0.15π＝6.15π(m )．答：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是6.15π m 、84 m . 10. 解：(1)3×5－4×0.8＝11.8(厘米)． 答：3个铁环组成的链条长有11.8 厘米； (2)设n 个铁环长为y 厘米，由题意可得：y ＝5n －2(n －1)×0.8 即y ＝3.4n ＋1.6；2米＝200厘米，根据题意得：3.4n ＋1.6≥200，n ≥ 58617. 答：至少需要59个铁环． 11. 解：(1)设水流速度为x km /h ，则游艇的顺流速度为(x ＋38)km /h ，游艇的逆流速度为(38－x )km /h ，根据题意得：3(38－x )＋94(38＋x )＝198，解得x ＝2.答：水流的速度为2 km /h ；(2)由(1)可知，顺流航行速度为40 km /h ，逆流速度为36 km /h ， ∴AB 段的路程为3×36＝108(km )，BC 段的路程为94×40＝90(km )，故原路返回时间为：9036＋10840＝2.5＋2.7＝5.2(h )．答：游艇用同样的速度沿原路返回共需要5小时12分． 12. 解：(1)设相邻两孔之间的距离是x cm ，根据题意得： 834－7×54＝8x ， 解得x ＝1.5答：相邻两孔之间的距离是1.5 cm ；(2)设每个孔的直径为y cm ，根据题意得： 834－2×32－6×4324＝7y ， 解得y ＝1.答：每个孔的直径为1 cm .13. 解：(1)设B 4每隔x 分钟从车站开出一辆，小明的速度为v 1，B 4的速度为v 2，根据题意得： ⎩⎨⎧6（v 2－v 1）＝v 2x 2（v 1＋v 2）＝v 2x ， 解得v 2＝2v 1，x ＝3(分钟)．答：B 4每隔3分钟从车站开出一辆； (2)∵v 2＝2v 1，v 2＝30 km /h ， ∴v 1＝15 km /h ，根据题意，可列不等式方程： 12＋6v 3≤1－615，解得v 3≥30 km /h ，即v 3≥v 2，实际生活中不可能达到． ∴小明不能按时到校．可设计如下的理想条件下的方案：归还公共自行车，往返均改乘B 4. 14. 解：(1)①14；【解法提示】结合图形可知：把这样的2个圆环扣在一起并拉紧，那么长度为2个内圆直径＋2个环宽， ∴长度为6×2＋2＝14 cm . ②6n ＋2；【解法提示】根据以上规律可知：如果用n 个这样的圆环相扣并拉紧，长度为：6n ＋2. (2)①设圆环乙的外圆直径为x cm ，环宽为y cm ， 则根据题意得：⎩⎨⎧3x －4y ＝28，5x －8y ＝44，之得⎩⎨⎧x ＝12y ＝2，答：圆环乙的外圆直径为12 cm ，环宽为2 cm ； ②圆环∵乙的外圆直径是12 cm ，环宽是2 cm .首先假设总共2n 个环相扣，且两头的两个也相扣，即2n 个小环相扣后构成一个大环，则总长为(12＋8)n －(2＋4)n ＝14n ，则分三种情况：a . 两头都是甲，即解开某一个由两个甲相扣的地方，因此总长为14n ＋2；b . 两头都是乙，即解开某一个由两个乙相扣的地方，因此总长为14n ＋4；c . 两头为一个甲，一个乙，即解开某一个由甲和乙相扣的地方，因此总长为14n ＋3. 15. 解：(1)设这种商品A 的进价为每件a 元，由题意得： (1＋10%)a ＝900×90%－40， 解得a ＝700.答：这种商品A 的进价为700元；(2)设需对商品A 进货x 件，需对商品B 进货y 件， 根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝100700×10%x ＋600×10%y ＝6670， 解得⎩⎨⎧x ＝67y ＝33.答：需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件． 16. 解：(1)设这个降价率是x ， 依题意得：40(1－x )2＝32.4，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(舍去)； 答：这个降价率为10%；(2)∵降价后多销售的件数：[(40－32.4)÷0.2]×10＝380，∴两次调价后，每月可销售该商品的数量为：380＋500＝880(件)， ∴每月销售该商品可获利为(32.4－27.4)×880＝4400元； 答：两次调价后，每月销售该商品可获利4400元．。
中考数学典型题题型六类型二
１．（’１４益阳改编）如图，直线ｙ＝－３ｘ＋３与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ、Ｂ，抛物线ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｋ经过点Ａ、Ｂ，并与ｘ轴交于另一点Ｃ，其顶点为Ｐ．（１）求ａ，ｋ的值；（２）抛物线的对称轴上有一动点Ｑ，当点Ｑ在何处时，△ＡＢＱ周长最小；（３）在抛物线及其对称轴上分别取点Ｍ、Ｎ，使以Ａ，Ｃ，Ｍ，Ｎ为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．第１题图２．（’１３遂宁）如图，抛物线ｙ＝－１４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ（２，０），交ｙ轴于点Ｂ（０，５２），直线ｙ＝ｋｘ－３２过点Ａ与ｙ轴交于点Ｃ，与抛物线的另一个交点是Ｄ．（１）求抛物线ｙ＝－１４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ｙ＝ｋｘ－３２的解析式；（２）设点Ｐ是直线ＡＤ上方的抛物线上一动点（不与点Ａ、Ｄ重合），过点Ｐ作ｙ轴的平行线，交直线ＡＤ于点Ｍ，作ＤＥ⊥ｙ轴于点Ｅ．探究：是否存在这样的点Ｐ，使四边形ＰＭＥＣ是平行四边形，若存在请求出点Ｐ的坐标，若不存在，请说明理由；（３）在（２）的条件下，作ＰＮ⊥ＡＤ于点Ｎ，设△ＰＭＮ的周长为ｌ，点Ｐ的横坐标为ｘ，求ｌ与ｘ的函数关系式，并求出ｌ的最大值．二次函数压轴题———平行四边形问题第２题图３．（’１４三明改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４与ｘ轴的一个交点为Ａ（－２，０），与ｙ轴的交点为Ｃ，对称轴是ｘ＝３，对称轴与ｘ轴交于点Ｂ．（１）求抛物线的函数表达式；（２）设抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｅ，求△ＢＣＥ的周长；（３）经过Ｂ、Ｃ的直线ｌ平移后与抛物线交于点Ｍ，与ｘ轴交于点Ｎ，当以Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Ｍ的坐标．第３题图４．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝－１２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与直线ｙ＝－１２ｘ＋３交于点Ａ、Ｂ，且点Ａ在ｙ轴上，点Ｂ的坐标是（４，１）．（１）求抛物线的函数解析式；（２）过点Ａ作ＡＣ⊥ＡＢ，交ｘ轴于点Ｃ．①在抛物线的对称轴上是否存在一点Ｐ，使得△ＰＡＣ的周长最小，若存在，求出此时ＰＡ＋ＰＣ的值；若不存在，说明理由；②若点Ｑ是抛物线对称轴上的动点，以Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ为顶点的四边形是平行四边形，求点Ｑ的坐标．第４题图试题演练１．【思路分析】（１）由直线的解析式可以求出Ａ、Ｂ两点的坐标代入抛物线ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｋ的解析式，即可求ａ，ｋ的值；（２）因为点Ａ与点Ｃ关于对称轴对称，因此只要连接ＢＣ交对称轴于点Ｑ即可；（３）当点Ｎ在对称轴上时，ＮＣ与ＡＣ不垂直．所以ＡＣ应为正方形的对角线．根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可以求出Ｍ、Ｎ两点的坐标，在Ｒｔ△ＡＦＮ中，由勾股定理求出ＡＮ的长度即正方形的边长．解：（１）∵直线ｙ＝－３ｘ＋３与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ、Ｂ，∴Ａ（１，０），Ｂ（０，３），又抛物线ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋ｋ经过点Ａ（１，０），Ｂ（０，３），第１题解图∴ａ＋ｋ＝０４ａ＋ｋ{＝３，解得ａ＝１ｋ{＝－１，即ａ，ｋ的值分别为１，－１；（２）由（１）得抛物线对称轴为ｘ＝２，设Ｑ点的坐标为（２，ｑ），因为点Ａ坐标（１，０），则点Ｃ坐标（３，０）．如解图，连接ＢＣ，ＢＣ交直线ｘ＝２于Ｑ，则此时点Ｑ正好使△ＡＢＱ的周长最小．设直线ＢＣ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 代入点Ｂ、Ｃ坐标得３ｍ＋ｎ＝０ｎ{＝３，解得ｍ＝－１ｎ{＝３，所以直线ＢＣ解析式为ｙ＝－ｘ＋３，将点Ｑ（２，ｑ）代入直线ＢＣ得ｑ＝１，所以点Ｑ的坐标为（２，１）．（３）当点Ｎ在对称轴上时，ＮＣ与ＡＣ不垂直．所以ＡＣ应为正方形的对角线．如解图，四边形ＡＭＣＮ为正方形．又对称轴ｘ＝２是ＡＣ的中垂线，所以Ｍ点与顶点Ｐ（２，－１）重合，Ｎ点为点Ｐ关于ｘ轴的对称点，其坐标为（２，１）．此时，ＭＦ＝ＮＦ＝ＡＦ＝ＣＦ＝１，且ＡＣ⊥ＭＮ，∴四边形ＡＭＣＮ为正方形．在Ｒｔ△ＡＦＮ中，ＡＮ＝ＡＦ２＋ＮＦ槡２＝槡２，即正方形的边长为槡２．２．【思路分析】（１）将Ａ，Ｂ两点分别代入ｙ＝－１４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ进而求出抛物线解析式即可，将Ａ点代入ｙ＝ｋｘ－３２进而求出直线解析式即可；（２）首先设出Ｐ，Ｍ点的坐标，进而得出ＰＭ的长，将两函数联立得出Ｄ点坐标，进而得出ＣＥ的长，利用平行四边形的性质得出ＰＭ＝ＣＥ，得出等式方程求出解即可；（３）利用勾股定理得出ＤＣ的长，进而根据△ＰＭＮ∽△ＣＤＥ，得出两三角形周长之比，求出ｌ与ｘ的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解：（１）∵ｙ＝－１４ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过点Ａ（２，０）和Ｂ（０，５２），∴由此得－１＋２ｂ＋ｃ＝０ｃ＝５{２，解得ｂ＝－３４ｃ＝５{２，∴抛物线的解析式是ｙ＝－１４ｘ２－３４ｘ＋５２．∵直线ｙ＝ｋｘ－３２经过点Ａ（２，０），∴２ｋ－３２＝０，解得ｋ＝３４，∴直线的解析式是ｙ＝３４ｘ－３２；（２）设点Ｐ的坐标是（ｘ，－１４ｘ２－３４ｘ＋５２），则Ｍ的坐标是（ｘ，３４ｘ－３２），∴ＰＭ＝（－１４ｘ２－３４ｘ＋５２）－（３４ｘ－３２）＝－１４ｘ２－３２ｘ＋４，联立得方程组ｙ＝－１４ｘ２－３４ｘ＋５２ｙ＝３４ｘ－３{２，解得ｘ＝－８ｙ＝－１５{２或ｘ＝２ｙ{＝０，∵点Ｄ在第三象限，则点Ｄ的坐标是（－８，－１５２），由ｙ＝３４ｘ－３２得点Ｃ的坐标是（０，－３２），∴ＣＥ＝－３２－（－１５２）＝６，由于ＰＭ∥ｙ轴，要使四边形ＰＭＥＣ是平行四边形，必有ＰＭ＝ＣＥ，即－１４ｘ２－３２ｘ＋４＝６，解这个方程得：ｘ１＝－２，ｘ２＝－４，当ｘ１＝－２时，ｙ＝－１４ （－２）２－３４ （－２）＋５２＝３，当ｘ１＝－４时，ｙ＝－１４ （－４）２－３４ （－４）＋５２＝３２，因此，直线ＡＤ上方的抛物线上存在这样的点Ｐ，使四边形ＰＭＥＣ是平行四边形，点Ｐ的坐标是（－２，３）和（－４，３２）；（３）在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ＝８，ＣＥ＝６，由勾股定理得：ＤＣ＝８２＋６槡２＝１０，∴△ＣＤＥ的周长是２４．∵ＰＭ∥ｙ轴，容易证明△ＰＭＮ∽△ＣＤＥ，∴△ＰＭＮ的周长△ＣＤＥ的周长＝ＰＭＤＣ，即ｌ２４＝－１４ｘ２－３２ｘ＋４１０，化简整理得：ｌ与ｘ的函数关系式是：ｌ＝－３５ｘ２－１８５ｘ＋４８５，∴ｌ＝－３５ｘ２－１８５ｘ＋４８５＝－３５（ｘ＋３）２＋１５，７９ ∵－３５＜０，∴ｌ有最大值，当ｘ＝－３时，ｌ的最大值是１５．３．【思路分析】（１）已知解析式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４，我们只需要根据抛物线的图象及性质求出ａ，ｂ即可．对称轴为ｘ＝－ｂ２ａ，又过点Ａ（－２，０），所以函数表达式易得；（２）通过对称关系，确定点Ｅ的坐标，再分别运用勾股定理计算ＢＣ和ＣＥ的长，相加即可；（３）四边形以Ｂ、Ｃ、Ｍ、Ｎ为顶点的四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知ＭＮ∥ＢＣ，所以ＭＮ＝ＢＣ，即Ｍ、Ｎ的位置如Ｂ、Ｃ位置关系，则可分２种情形，①Ｎ点在Ｍ点右下方，即Ｍ向下平移４个单位，向右平移３个单位与Ｎ重合；②Ｍ点在Ｎ右下方，即Ｎ向下平移４个单位，向右平移３个单位与Ｍ重合．因为Ｍ在抛物线上，可设坐标为（ｘ，－１４ｘ２＋３２ｘ＋４），易得Ｎ坐标，由于Ｎ在ｘ轴上，所以其纵坐标为０，则可得关于ｘ的方程，进而求出ｘ，求出Ｍ的坐标；解：（１）∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋４交ｘ轴于Ａ（－２，０），∴０＝４ａ－２ｂ＋４，∵对称轴是ｘ＝３，∴－ｂ２ａ＝３，即６ａ＋ｂ＝０，两个关于ａ、ｂ的方程联立解得ａ＝－１４，ｂ＝３２，∴抛物线为ｙ＝－１４ｘ２＋３２ｘ＋４；（２）由（１）知抛物线对称轴为ｘ＝３，且抛物线与ｙ轴交点Ｃ的坐标为（０，４）．∵点Ａ坐标为（－２，０），∴点Ｅ坐标为（８，０）．在Ｒｔ△ＢＯＣ中，ＢＯ＝３，ＯＣ＝４，根据勾股定理得ＢＣ＝５；在Ｒｔ△ＥＯＣ中，ＣＯ＝４，ＥＯ＝８，根据勾股定理得ＥＣ＝４槡５，又ＢＥ＝５，所以△ＢＥＣ的周长为１０＋４槡５；（３）∵四边形为平行四边形，且ＢＣ∥ＭＮ．∴ＢＣ＝ＭＮ．①Ｎ点在Ｍ点右下方，即Ｍ向下平移４个单位，向右平移３个单位与Ｎ重合，设Ｍ（ｘ，－１４ｘ２＋３２ｘ＋４），则Ｎ（ｘ＋３，－１４ｘ２＋３２ｘ），∵Ｎ在ｘ轴上，∴－１４ｘ２＋３２ｘ＝０，解得ｘ＝０（Ｍ与Ｃ重合，舍去），或ｘ＝６，∴ｘＭ＝６，∴Ｍ（６，４）．②Ｍ点在Ｎ右下方，即Ｎ向下平移４个单位，向右平移３个单位与Ｍ重合．设Ｍ（ｘ，－１４ｘ２＋３２ｘ＋４），则Ｎ（ｘ－３，－１４ｘ２＋３２ｘ＋８），∵Ｎ在ｘ轴上，∴－１４ｘ２＋３２ｘ＋８＝０，解得ｘ＝３－槡４１，或ｘ＝３＋槡４１，∴ｘＭ＝３－槡４１，或３＋槡４１，∴Ｍ（３－槡４１，－４）或（３＋槡４１，－４），综上所述，Ｍ的坐标为（６，４）、（３－槡４１，－４）或（３＋槡４１，－４）．４．解：（１）由ｙ＝－１２ｘ＋３知Ａ（０，３），把（４，１）和（０，３）代入ｙ＝－１２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ得－８＋４ｂ＋ｃ＝１ｃ{＝３，解得ｂ＝３２ｃ{＝３，所以，抛物线的函数解析式为ｙ＝－１２ｘ２＋３２ｘ＋３；第４题解图（２）由于ＡＣ⊥ＡＢ交ｘ轴于Ｃ点可知Ｃ（－３２，０），①由抛物线ｙ＝－１２ｘ２＋３２ｘ＋３可得其对称轴为直线ｘ＝３２．设点Ａ关于ｘ＝３２的对称点为Ａ′（３，３），连接Ａ′Ｃ交直线ｘ＝３２于点Ｐ，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，此时ＰＡ＋ＰＣ的值最小，即△ＰＡＣ的周长的值最小 ，又∵Ａ′（３，３），Ｃ（－３２，０），∴Ａ′Ｃ＝（３＋３２）２＋３槡２＝３槡１３２，∴ＰＡ＋ＰＣ＝３槡１３２．②∵抛物线对称轴为ｘ＝－ｂ２ａ＝３２，对称轴平行于ｙ轴，∴当ＰＱ＝ＡＯ时，由Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ组成的四边形为平行四边形，设ＡＣ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ，过点Ａ′和点Ｃ的一次函数为ｙ＝ａｘ＋ｂ，∵Ａ（０，３），Ｃ（－３２，０），∴３＝ｎ－３２ｍ＋ｎ{＝０，解得ｍ＝２ｎ{＝３，∴ＡＣ的解析式为ｙ＝２ｘ＋３，将点Ａ′（３，３）和点Ｃ（－３２，０）代入，得３＝３ａ＋ｂ０＝－３２ａ＋{ｂ，解得ａ＝２３ｂ{＝１，∴过点Ａ′与点Ｃ的一次函数为ｙ＝２３ｘ＋１，当ｘ＝３２时，一次函数值为ｙ＝２３×３２＋１＝２，∴点Ｐ的坐标为（３２，２）．∵ＰＱ∥ＡＯ，∴当ＰＱ＝ＡＯ时，以Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ为顶点的四边形是平行四边形，此时Ｑ１，Ｑ２两点的位置如解图，又∵ＡＯ＝３，∴ＰＱ＝３时，Ｑ点坐标为（３２，２±３），∴当Ｑ点坐标为（３２，５）和（３２，－１）时，以点Ａ、Ｏ、Ｐ、Ｑ为顶点的四边形为平行四边形．。
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中考数学6分题类型系列
1、
2、3、类型二
代数式的化简求值
1、，其中、
2、，其中a =-1、
3、化简求值：
）, 其中m=
4、化简：, 其中类型三
解方程
1、解方程：x2﹣4x+1=0．
2、解方程：x2+4x－2=0
3、解分式方程
4、解方程组
5、解分式方程：类型四
解不等式1、解不等式组2、解不等式组并写出不等式组的整数解．类型五
函数综合题
1、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
2、如图一次函数的图像与反比例函数的图像相交于
A、B两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围类型六几何证明和计算题
一、四边形证明题已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F 是对角线上的两点，且AF=E
C、求证：DE=BF、FDCEBA
二、三角形全等题如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
三、圆的计算或证明题
1、已知：如图8，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F、求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．
2、在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠AOC＝120，求∠D的度数。
AOCDB类型七作图题（1）、角平分线（2）、垂直平分线（3）、图形的平移、旋转（4）、图形的对称图形、位似图形（5）、内切圆、外接圆
1、如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请作出它的位置、
2、已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位、（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1、（2）在图
2中画出以F点为位似中心，且位似比为1:2的位似图形。
A BC 图1图2FDE。