第五章 重庆大学均匀平面波在无界媒质中的传播 (2)

电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
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本章内容
4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场 建议习题 4.1, 4.3, 4.6, 4.9, 4.10, 4.11, 4.14, 4.15
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特点：当场随时间变化时， 特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。 时间改变，从而引起电磁能量流动。 电磁能量守恒关系： 电磁能量守恒关系： 的能量＝ 内增加的能量＋ 进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
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由
r r r r r r 利用矢量恒等式： 利用矢量恒等式 (Ε × H) = Ε × H H × Ε r r r r D r r r r D r × H = J + Ε × H = Ε J + Ε t t r r r r r r × Ε = B H × Ε = H B t t
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4.1 波动方程
问题的提出 一阶矢量微分方程组， 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。 间的相互作用关系。 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。 阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。 麦克斯韦方程组 无源区的波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒 质，则有 波动方程。 波动方程。
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位函数的不确定性 r r 满足下列变换关系的两组位函数 A、） （A′、′） 和 能描述同 （ 一个电磁场问题。 一个电磁场问题。
即
r r A′ = A+ψ ψ 为任意可微函数 ψ ′ = t r r r × A′ =×( A+ψ ) =× A r r A′ ψ r A ′ = ( ) ( A+ψ ) = t t t t
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坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理
r r 1r r 1 r r r r 微分形式： 微分形式： (E × H) = ( E D + H B) + E J t 2 2 r r r d r r 1r r 1 r r 积分形式： 积分形式： ∫ (E × H) dS = ∫ ( E D + H B) dV + ∫ E J dV S V dt V 2 2 d 1r r 1 r r 其中： ∫ ( E D + H B) dV —— 单位时间内体积V 中所增加 其中 dt V 2 2 的电磁能量 r r 中的电流所做的功； E J dV—— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功； ∫
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位函数的规范条件
r 的散度。 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A 的散度。利用 r 位函数的不确定性， 位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得 A
以简化。 以简化。 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件， 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 r A+ ε =0 t 除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件， 除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 r A = 0
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即可得到坡印廷定理的微分形式
r r 1r r 1 r r r r (Ε × H) = ( Ε D + H B) + Ε J t 2 2
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电磁能量及守恒关系
dW 1r r 电场能量密度： 电场能量密度 we = E D dt 2 V r r 1 S 磁场能量密度： 磁场能量密度 wm = H B 2 1r r 1 r r 电磁能量密度： 电磁能量密度 w = we + wm = E D + H B 2 2 1r r 1 r r d 中的电磁能量： 空间区域V中的电磁能量 W = ∫ w V = ∫ ( E D + H B)dV V V 2 2
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 r 原因： 的散度。 原因：未规定 A的散度。
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4.2
电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
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引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
r B = 0
r r B × Ε = t
r r B = × A
r r A ×(Ε + ) = 0 t
r r A E+ = φ t
r r A E = t
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电磁场与电磁波
在任意闭曲面S 所包围的体积V上 对上式两端积分， 在任意闭曲面 所包围的体积 上 ， 对上式两端积分，并应用散 度定理， 度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式
r r r d r r 1r r 1 r r ∫ (E × H) dS = ∫ ( E D + H B) dV + ∫ E J dV S V dt V 2 2
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r r= × A E = t
r r r E × B = J +ε t
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r r r r A D = εE、 = E t
r r r r r r r r r D r B Ε × H H × Ε = Ε J + Ε +H t t
将以上两式相减， 将以上两式相减，得到
在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时， 在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有 r r r r r D r Ε 1 (Ε Ε) 1 r r Ε = εΕ = ε = ( Ε D) t t 2 t t 2 r r r r r B r H 1 (H H) 1 r r H = H = = ( H B) t t 2 t t 2
推证
r r E ) ×× H = ×(ε t
r r r H 2 ( H) H = ε 2 t
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r r H 2 H ε 2 = 0 t
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问题 若为有源空间，结果如何？ 若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？
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应用洛仑兹条件的特点： 应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 且比较简单，易求解； 解的物理意义非常清楚， 反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于J， 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于 ，标 量位只决定于ρ 这对求解方程特别有利。只需解出A， 量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 就可得到待求的电场和磁场。 解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数， 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位的解也不相同，但最终 用不同的规范条件，矢量位 和标量位 的解也不相同， 得到的电磁场矢量是相同的。 得到的电磁场矢量是相同的。 问题 若应用库仑条件， 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
r r E 2 E ε 2 = 0 t
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r r H 2 H ε 2 = 0 t
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电磁波动方程
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r r Ε × H = ε t r r × Ε = H t r H = 0 r Ε = 0 r 2 r E 2 同理可得 E ε 2 = 0 t
物理意义：单位时间内，通过曲面 进入体积V的电磁能量等于 物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积 的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。 体积 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
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V
在导电媒质中， 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率