自编题目：高一期末必修四角函数测试题(精典)
(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称 6．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．327．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．139．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 10．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．已知函数273(0)()323(0)x xf x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.14．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称；③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.19．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．24．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.25．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.26．如图，有一矩形空地ABCD ，240AB BC ==米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB 边中点O 处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是60EOF ∠=︒，其中E 、F 分别在边BC ，CD 上．（1）若30BOE ∠=︒，求四边形OECF 的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．3．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.4．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.5．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±，所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈， 因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.9．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可.【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 10．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】 由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：B11．B解析：B 【分析】根据函数在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，可得周期的范围，进而得到关于ω的方程与不等式，结合n *∈N 可求ω的值，从而可得答案. 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=， 所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ， 所以242633n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦函数的几何性质，解题的关键是利用单调区间以及对称点、最值点与周期的关系列出不等式.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围．对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈，∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.19．【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时；因为当时所以当时取到最小值所以故答案为：【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关解析：52【分析】可拆分理解，构造251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小值，又当4x =时，12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解 【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数性质可知当4x =时，min ()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，当4x =时，121sin 2362x ππ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，所以当4x =时，()f x 取到最小值，5(4)2f =，所以min 5()2f x =.故答案为：52【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期， 所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）()4sin 423g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,2()412k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z ． 【分析】（1）结合图象求出A ，ϕ，代入点的坐标，求出ϕ，从而求出函数()f x 的解析式； （2）通过图象变换，求出函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质求出()g x 的对称中心即可． 【详解】（1）由图象知：3532,41234A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 解得：T π=，故22πωπ==，故()2sin(2)f x x ϕ=+， 将点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得：2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故()223k k ϕππ=+∈Z ， 而2πϕ<，故3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 解析式转化为2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变）， 解析式转化为4sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 最后向下平移2个单位得到()y g x =图象， 则()4sin 423y g x x π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，令()4sin 43h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令4()3x k k ππ-=∈Z ，解得：()412k x k ππ=+∈Z ， 故()h x 的对称中心是,0()412k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ， 故()g x 的对称中心是,2()412k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z ． 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；（2）代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω， 选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ； （2）同选①选③：（1）由6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值可得ϕ； （2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分） 方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③ ∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的最大值， ∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论． 23．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=， 故()3()cos(2)3cos 26f xg x m x x m π-⋅-=+--cos 2cossin 2sin3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.24．（1）()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离()h t 表示出来；（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010ππ=弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是10t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 102y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010210h t t t t πππ⎛⎫=++-=-≥⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，据题意有12050,2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩又周期20T =，所以10πω=，由在最低点入舱得01022πππϕϕ⋅+=-⇒=-，故得()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥⎪⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：()()50sin cos 1010104h h t g t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当()21042t k k ππππ-=+∈Z ，即()15202t k k =+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，所以152t =，即游客乙坐上摩天轮552t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2) 数学模型（解析式）建立后，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题确定自变量的取值范围．25．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.26．（1）400平方米；（2）200平方米． 【分析】（1）四边形OECF 的面积OBCF BOE S S S =-△；（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，过点F 作FM AB ⊥于点M ，利用三角函数的知识可得EOF S △；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，可用含α的式子表示出y ；令()cos sin(120)f ααα=⋅︒-，结合三角恒等变换公式和余弦函数的图象与性质求出()f α取得最小值时，α的值，再将其代入EOF S △的表达式中即可得解． 【详解】解：（1）由60EOF ∠=︒，30BOE ∠=︒，可知⊥OF OB ，O 为AB 中点，2AB BC =，OB BC ∴=，∴四边形FOBC 为正方形．在Rt BOE △中，30BOE ∠=︒，20OB =米，BE ∴=，∴四边形OECF 的面积为12020204002OBCF BOE S S -=⨯-⨯=△平方米．（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，则120AOF α∠=︒-，过点F 作FM AB ⊥于点M ，在Rt OBE △中，cos OB BOE OE ∠=，20cos cos OB OE BOE α∴==∠，在Rt OMF △中，sin FMAOF OF∠=，20sin sin(120)FM OF AOF α∴==∠︒-．112020·sin sin 6022cos sin(120)EOF S OE OF EOF αα∴=∠=⨯⨯⨯︒=︒-△，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，则()3EOF EOF ABCD y mS m S S =+-△△矩形3(2040)cos sin(120)cos sin(120)m m αααα=⨯+⨯-⋅︒-⋅︒-[800]cos sin(120)m αα=+⋅︒-．令21()cos sin(120)sin cos 2f αααααα=⋅︒-=-cos 2111sin 2cos(230)242ααα+=-⨯=+︒+．[0α∈︒，45]︒，230[30α∴+︒∈︒，120]︒，1cos(230)[2α∴+︒∈-．若该空地产生的经济价值y 最大，则()f α应取得最小值，为12-，此时0α=︒，200EOF S ∴====△平方米． 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米． 【点睛】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与三角函数的图象与性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
高一数学必修4《三角函数》测试卷(含答案)
《三角函数》测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.与457- 角终边相同的角的集合为（ ）A.{}360457,k k Z αα=⋅+∈B.{}36097,k k Z αα=⋅+∈ C.{}360263,k k Z αα=⋅+∈ D.{}360263,k k Z αα=⋅-∈ 2.若α是第一象限的角，则2α-在（ ）A.第一象限B.第一象限或第四象限C.第二象限或第三象限 D .第二象限或第四象限3.若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则tan 6a π的值为（ ）A.0B.33C.1D.34.已知函数sin 2xy =，则此函数是（ ）A.周期为4π的奇函数B.周期为2π的奇函数 C.周期为π的偶函数 D.周期为2π的偶函数5.函数sin 1()3x y =的单调递减区间为（ ）A.2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.[]2,2()k k k Z πππ-∈D.[]2,2()k k k Z πππ+∈6.若()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，且(2012)3f =，则(2013)f 的值为（ ） A.1B.1-C.2-D.3-7.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A.向左平移4π个单位长度B.向右平移4π个单位长度C.向左平移2π个单位长度 D.向右平移2π个单位长度 8.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）9.如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ的最小值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π10.与函数tan(2)4y x π=+的图像不相交的一条直线是（ ）A.2x π=B.2x π=-C.4x π=D.8x π=11.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则ω的最小值为（ ） A.13B.3C.6D.9 12.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,ωπϕπ>-<<.若()f x 的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A.()f x 在区间[]2,0π-上是增函数B.()f x 在区间[]3,ππ--上是增函数C.()f x 在区间[]3,5ππ上是减函数D.()f x 在区间[]4,6ππ上是减函数二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2013cot4π的值为 . 14.函数1()lg(sin )cos 2f x x x =+-的定义域为 （用区间表示）. 15.令tan1a =,tan 2b =,tan3c =,tan 4d =.则,,,a b c d 按由大到小的顺序排列为 .16.关于函数()sin(2)4f x x π=+，有下列说法：①其表达式可改写成()cos(2)4f x x π=+；②直线8x π=-是()f x 的一条对称轴；③()f x 的图像可由()sin 2g x x =的图像向右平移4π个单位长度得到； ④存在(0,)απ∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立. 请把你认为正确结论的序号填写在横线上 .三.解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）17.已知函数2sin cos ,y x x x R =-∈，求该函数的值域.18.已知10sin cos 5θθ+=-，求11sin cos θθ+和tan θ的值.19.下图表示电流强度()I 安与时间()t 秒的关系式sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（1）根据图像计算sin()I A t ωϕ=+的解析式；（2）该图像可由cos I t =的图像经过怎样的变换得到？写出详细的变换步骤.20.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离()s cm 和时间()t s 的函数关系式为6sin(2)(0)6s t t ππ=+≥.（1）作出该函数的图像；（2）单摆开始摆动(0)t =时,离开平衡位置多少cm ； （3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少cm ； （4）单摆1s 内来回摆动多少次.21.已知函数1()sin(2)26f x x π=-.（1）求出()f x 的最小正周期和最值，及取得最值时x 的集合； （2）当[]0,x π∈时，求函数()f x 的单调递增区间.22.已知函数()sin(),(0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<其中的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为2(,2)3M π-.（1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.《三角函数》答案解析一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)CDDAA D B D A D CA二．填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1 14.2,2()3k k k Z πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦15.a d c b >>> 16. ②④ 三．解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）2222min max sin cos sin (1sin )sin sin 1sin ,11,(1)15,241,1514y x x x x x x t x t y t t t t y t y =-=--=+-=≤≤∴=+-≤≤∴=-=-==⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦17.解: 令则-1 -1 时 时 函数的值域为，222221018.sin cos 52(sin cos )12sin cos 53sin cos 1011sin cos 210sin cos sin cos 3sin cos 10sin cos 3tan 10,3tan 10tan 30tan 3tan 3tan θθθθθθθθθ+θθθθθθ+θθθθ+1θθθθ+=-∴+=+=∴=-∴+===-∴=-++=∴=- 解: 即 或13θ=-3211119.(1)300,()603005021001100()23002303300sin(100)3(2)cos sin s A T Tk k k I x I t I t I πππωππϕππϕππϕππ==--=∴==⨯-+=∴=+∴=∴=+=−−−−−−−→=−−−−−−−→= 向左平移个单位长度向右平移个单位长度解：由图知 时，可取1100300in()sin(100)33300sin(100)3x x x ππππππ+−−−−−−−−→+−−−−−−−−→+横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变20.解:(1)找出曲线上的六个特殊点，列表如下：t112- 016 51223 111226t ππ+0 6π 2π π32π 2πs36 0 6- 0图像如下：(2)0sin3()63.(3)66.1(4)1,111.t s cm cm A cm T f Ts π===∴=∴===∴ 时， 单摆开始摆动时，离开平衡位置 振幅 单摆摆到最右边时，离开平衡位置 单摆内来回摆动次max min 1121.(1)()sin(2)sin(2)26262222626226231,,621,,32(2)2f x x x T x k x k x k x k x x x k k Z y x x x k k Z y πππππππππππππππππππ=-=--∴==-=-+=-+-=+=+⎧⎫∴∈=-+∈=⎨⎬⎩⎭⎧⎫∈=+∈=-⎨⎬⎩⎭解: 由得 由得 当 当 由[][]3222625360,5()0,36k x k k x k x f x ππππππππππππ+≤-≤++≤≤+∈⎡⎤∴⎢⎥⎣⎦得在上的单调递增区间为，(1)2,22222(,2)323223226026()2sin(2)6(2),12272,636A T TM k k f x x x x πππωπππϕππϕππϕπϕππππππ==⨯=∴==-∴⨯+=+∴=+<<∴=∴=+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 22.解:由题意得 图像过 又 []max min 2,()/262672,()/1662()1,2x x f x x x f x f x ππππππ∴+===+===-∴- 当即时， 当即时， 的值域为。
(必选)高一数学必修4第一章《三角函数》测试题
4.下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是（）.
A. B. C. D.
5.设 ，则 （）.
A. B. C. D.
6. 为三角形 的一个内角，若 ，则这个三角形的形状为（）.
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形
7.定义在 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时， ，则 的值为（）.
14.函数 的最大值为________.
15.方程 的解的个数为__________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.)
17.（本小题满分10分）已知 是第三角限角，化简 .
18.（本小题满分12分）已知角 的终边在直线 上，求角 的正弦、余弦和正切值.
19.（本小题满分12分）（1）当 ，求 的值；
（2）设 ，求 的值.
20.（本小题满分12分） 已知函数 ， ．
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值.
21.（本小题满分12分）已知 ， ，是否存在常数 ，使得 的值域为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
云南省昭通市实验中学2010-2011学年第二学期高一数学必修4第一章《三角函数》测试题参考答案
16. ，
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17.解：∵ 是第三角限角，∴ ， ， ，
∴
.
18.解：设角 终边上任一点 （ ），则 ， ， .
当 时， ， 是第一象限角，
， ， ；
当 时， ， 是第三象限角，
， ， .
【2019-2020高一数学试卷】必修4第一章《三角函数》章末检测 及答案解析
必修4第一章《三角函数》章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若θ=–3 rad ，则θ的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中，终边相同的角是( )A ．2π3和240° B ．π5-和314° C ．79-π和299πD ．3和3°3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( )A ．π3 B ．π6 C ．π3-D ．π6-4．函数f （x ）=sin （2x π4-）图象的一条对称轴是( ) A ．x π4=- B ．x π8=C ．x π4=D ．x 3π8=5．一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是π3，则该扇形的面积是( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π6．已知()3sin π5α+=，且α为第三象限角，则cos α=( )A ．5-B ．3-C ．5- D ．45-7．将曲线π2sin 45y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的对称轴方程为( )A ．()3ππ808k x k =-+∈Z B ．()3ππ802k x k =-+∈Z C ．()3ππ808k x k =+∈ZD ．()3ππ202k x k =+∈Z8．已知函数f （x ）=（ωx π3-）（ω>0），若f （x ）在区间（π，2π]内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．106⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1120633⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，， C ．1120633⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， D ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．直线y =a 与函数f （x ）=tan （π4x ω+）（ω>0）的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f （x ）在（–m ，m ）（m >0）上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．（0，π4]B ．（0，π2]C ．（0，3π4]D ．（0，3π2]10．y =cos （2x –π6）（–π≤x ≤π）的值域为( )A ．[–12，12] B ．[–1，1]C ．[–12，1] D ．[–12，2]11．若函数()()πcos 2()2f x x ϕϕ=+<满足()π6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的零点是( ) A ．ππ12k k +∈Z ， B ．1ππ212k k +∈Z ， C ．ππ3k k +∈Z ，D ．1ππ23k k +∈Z ，12．已知函数()sin2f x x x =+，将函数f （x ）向右平移ϕ（ϕ>0）个单位后得到一个奇函数的图象，则ϕ的最小值为( )A ．π12 B ．π6 C ．π3D ．2π3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知sin α45=，且α是第一象限的角，那么tan α的值为__________． 14．在区间[–4π，–2π]上，与角7π6终边相同的角为__________．15．若tan θ<0且sin θ<0，则θ是第__________象限的角．16．若函数y =tan ωx 在（–π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（1）化简：()()()()3πtan πcos 2πsin 2cos πsin πααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----；（2）已知sin （απ3+）15=，求cos （5π6+α）的值．18．（本小题满分12分）已知角α的终边经过点133P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求sin α，cos α，tan α的值；（2()5πsin 3π2cos αα⎛⎫-++ ⎪19．（本小题满分12分）已知一扇形的圆心角为α（α>0），所在圆的半径为R ．（1）若α=90°，R =10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值C （C >0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？20．（本小题满分12分）已知tan α13=-，计算： （1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）212sin cos cos ααα+；（3）sin αcos α；（4）（sin α+cos α）2．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=tan （x π6-）． （1）求函数f （x ）的定义域； （2）求函数f （x ）的单调区间； （3）求函数f （x ）的对称中心．22．（本小题满分12分）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2． （1）求函数的单调区间和对称中心．（2）若关于x 的方程2sin 2x –m cos x –4=0在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有实数解，求实数m 的取值范围．必修4《三角函数》章末检测答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分） 二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级 姓名 座号密 封 装 订 线必修4第一章《三角函数》章末检测答案解析1．【答案】C【解析】θ=–3 rad 时，π<–3+2π3π2<，所以θ的终边落在第三象限．故选C ． 2．【答案】C【解析】对于A 选项，4π2403︒=，不合题意； 对于B 选项，π365-=-︒，314°–（–36°）=350°，不合题意； 对于C 选项，297ππ4π99⎛⎫--= ⎪⎝⎭，符合题意； 对于D 选项，3≈3×57.3°=171.9°，171.9°–3°=168.9°，不合题意．故选C ． 3．【答案】B【解析】他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是π6，故选B ． 4．【答案】D【解析】对于函数f （x ）=sin （2x π4-），令2x π4-=k ππ2+，k ∈Z ，得x π3π28k =+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为x 3π8=，故选D ．5．【答案】C【解析】一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是π3，扇形的弧长为2π3， 扇形的面积为S 12π2π2233=⨯⨯=．故选C ． 6．【答案】D【解析】∵()3sin π5α+==-sin α，且α为第三象限角，∴sin α35=-，∴cos α45==-．故选D ． 7．【答案】D【解析】将曲线π2sin 45y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到曲线y =2sin （2x π5+）的图象，令2x ππ52+=+k π，k ∈Z ，解得x 3ππ202k =+，k ∈Z ，所以所求曲线的对称轴方程为x 3ππ202k =+，k ∈Z ．故选D ． 8．【答案】B【解析】∵x ∈（π，2π]，ω>0，∴ππππ2π333x ωωω-<-≤-， ∵f （x ）在区间（π，2π]内没有零点，∴()πππ3π2π1π3k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩k ∈Z ，∴12323k k ω+≤<+，k ∈Z ，∵123232023k k k ⎧+<+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，∴4233k -<<，∴k =–1或k =0，当k =–1时，106ω<<；当k =0时，1233ω≤<． ∴ω的取值范围为：1120633⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，．故选B ． 9．【答案】B【解析】直线y =a 与函数f （x ）=tan （π4x ω+）图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则T =2π， 所以ωπ12T ==，所以f （x ）=tan （12x π4+）， 由k ππ122-<x π4+<k ππ2+，解得2k π3π2-<x <2k ππ2+，（k ∈Z ）；所以函数f （x ）在（3π2-，π2）上是单调增函数；又f （x ）在（–m ，m ）上是单调增函数，即（–m ，m ）⊆（3π2-，π2），解得0<m π2≤；所以m 的取值范围是（0，π2]．故选B ．10．【答案】C【解析】由–π≤x ≤π，可知–π2≤2x ≤π2，–2π3≤2x –π6≤π3，所以–12≤cos （2x –π6）≤1，即所求值域为[–12，1]，故选C ． 11．【答案】D【解析】∵()π6f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x π12=为函数f （x ）图象的一条对称轴， ∴2π12⨯+φ=k π，k ∈Z ，得φπ6=-+k π，又|φ|π2<，∴φπ6=-．∴当f （x ）=cos （2x π6-）=0，2x π6-=k ππ2+，x ππ32k =+，k ∈Z ，故选D ．12．【答案】B【解析】将函数()sin2f x x x ==2sin （2x π3+）的图象向右平移ϕ（ϕ>0）个单位后， 所得到的图象对应的函数解析式为y =2sin[2（x –ϕ）π3+]=sin （2x –2ϕπ3+），再由y =sin （2x –2ϕπ3+）为奇函数，可得–2ϕπ3+=k π，k ∈Z ，可得ϕπ162=-k π，k ∈Z ，则ϕ的最小值为π6．故选B ．13．【答案】43【解析】sin α45=，且α是第一象限的角，cos α35==，所以tan αsin 4cos 3αα==．故答案为：43．14．【答案】17π6-【解析】因为：[]7π17π4π4π2π66-=-∈--，，所以与角7π6终边相同的角为17π6-． 故答案为：17π6-．15．【答案】四【解析】∵tan θ<0，∴θ位于第二象限或第四象限， ∵sin θ<0，∴θ位于第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴， 综上θ位于第四象限，故答案为：四． 16．【答案】（0，12] 【解析】∵根据题设可知ω>0，又函数y =tan ωx （ω>0）在（–π，π）上是递增函数，∴k ππ2-≤ω•（–π），且ω•ππ2≤+k π，k ∈Z ，∴求得ω12k ≤-，且ω12≤+k ，k ∈Z ， ∴可得：ω12≤，∴ω的取值范围为（0，12]．故答案为：（0，12]．17．【解析】（1）()()()()3πtan πcos 2πsin 2cos πsin πααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----()()()tan cos cos 1cos sin ααααα-⋅⋅-==--⋅．（5分）（2）∵sin （απ3+）15=， ∴cos （5π6+α）=cos （ππ23++α）=–sin （π3+α）15=-．（10分）18．【解析】（1）∵由题意可得x 13=-，y 3=-，r =|OP |=1，∴cos a 13x r ==-，sina y r ==，tan a yx==．（6分） （2()5πsin 3π2cos 4αα⎛⎫-++ ⎪===．（12分）19．【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α=90°π2=，R =10，l π2=⨯10=5π（cm ），（3分） S 弓=S 扇–S △12=⨯5π×1012-⨯102=25π–50（cm 2）．（6分）（2）扇形周长C =2R +l =2R +αR ， ∴R 2Cα=+，（8分） ∴S 扇12=α•R 212=α（2C α+）222C =•214164C αα≤++． 当且仅当α2=4，即α=2时，扇形面积有最大值216C ．（12分）20．【解析】∵tan α13=-， （1）12sin 2cos tan 25315cos sin 5tan 1653αααααα-+++===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（3分）（2）2222221()11sin cos tan 110312sin cos 2sin cos cos 2tan 13213cos αααααααααα-+++====+++⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭．（6分） （3）sin αcos α22221sin cos tan 331sin cos tan 110()13αααααα-====-++-+．（9分） （4）（sin α+cos α）2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos tan 1ααααααααα++++==++ 2211()1223315()13⎛⎫-++⨯- ⎪⎝⎭==-+．（12分） 21．【解析】（1）对于函数f （x ）=tan （x π6-）， 令x π6-≠k ππ2+，求得x ≠k π2π3+，k ∈Z ， 故函数的定义域为{x |x ≠k π2π3+，k ∈Z }．（4分）（2）令k ππ2-<x π6-<k ππ2+，求得ππ3-<x <k π2π3+，可得函数的增区间为（ππ3-，k π2π3+），k ∈Z ．（8分）（3）令x ππ62k -≠，得x ππ26k ≠+，k ∈Z ，故函数的对称中心为（ππ26k +，0），k ∈Z ．（12分）22．【解析】（1）函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为π2． ∴周期12T π2=，即T =π，那么2πω=π，可得ω=2． ∴f （x ）=cos （2x π3+），（2分）令2k π–π≤2x π3+≤2k π，k ∈Z ，可得2ππ3k -≤x ππ6k ≤-，∴函数的单调递增区间[2ππ3k -，ππ6k -]，k ∈Z ，令2k π≤2x π3+≤2k π+π，k ∈Z ，可得ππ6k -≤x ππ3k ≤+，∴函数的单调递减区间[ππ6k -，ππ3k +]，k ∈Z ，（4分） 令2x πππ32k +=+，可得x 1ππ212k =+，∴函数的对称中心为（1ππ212k +，0）k ∈Z ．（6分）（2）方程2sin 2x –m cos x –4=0在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有实数解， ∵sin 2x =1–cos 2x ，∴2（1–cos 2x ）–m cos x –4=0，即2cos 2x +m cos x +2=0，（8分） 令t =cos x ，∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上，∴t ∈（0，1）则2t 2+mt +2=0在（0，1）上有解，m =–2（t 1t+），令 f （t ）=t 1t+≥=2，当且仅当t =1时，取等号，即–2（t 1t+）≤–4．任取0<t 1<t 2<1，有f （t 1）–f （t 2）=（t 1–t 2）（1121t t -⋅）>0， 所以f （t ）在（0，1）上单调递减，所以m <–2k （1）=–4，所以m 的取值范围为{m |m <–4}．（12分）。
高中高一数学必修4三角函数练习试卷试题包括答案.docx
高一必修 4 三角函数练习题一、选择题（每题 4 分，计 48 分）1. sin(1560 o) 的值为（）A 1B1C3D3 22222.如果 cos(A)1A) =（），那么 sin(22A 1B1C3D3 22223.函数 y cos(32x) 的最小正周期是（）5A B 5C2D5524.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是（）A3B2C D4 335.已知 tan100 o k ，则 sin80 o的值等于（）AkBkC1k 2 1 k 2 1k 21k2kDk6.若 sin cos 2 ，则tan cot的值为（）A1B2C1D27.下列四个函数中，既是(0,) 上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）2A y sin xB y |sin x |C y cosxD y | cos x |8.已知 a tan1 ， b tan 2， c tan3 ，则（）A a b cB c b aC b c aD b a c9.已知 sin(1，则 cos() 的值为（）)633A1B1C1D1 223310.是第二象限角，且满足cossin2(sincos )2 ，那么 是 （ ）象限角22 2 2A 第一B 第二C 第三D 可能是第一，也可能是第三11. 已知 f ( x) 是以 为周期的偶函数，且x [0, ] 时， f ( x) 1 sin x ，则当 x [5,3 ] 时，22f ( x) 等于 （）A 1 sin xB 1 sin xC 1 sin xD 1 sin x12. 函数 f ( x) M sin( x)(0) 在区间 [ a, b] 上是增函数，且 f ( a)M , f (b)M ，则 g( x) M cos( x ) 在 [ a,b] 上（）A 是增函数B 是减函数C可以取得最大值 MD可以取得最小值M二、填空题（每题 4 分，计 16 分）13. 函数 ytan( x) 的定义域为 ___________ 。
高一数学必修4三角函数练习题及答案
高一必修4三角函数练习题一、选择题（每题4分，计48分） 1.sin(1560)-的值为（ ）A 12- B 12 C - D 2.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（ ）A 12- B 12 C D 3.函数2cos()35y x π=-的最小正周期是 （ ） A 5π B 52π C 2π D 5π4.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 （ ）A3π B 23π C π D 43π 5.已知tan100k =，则sin80的值等于 （ ）AB CD6.若sin cos αα+=tan cot αα+的值为 （ ）A 1-B 2C 1D 2-7.下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A sin y x =B |sin |y x =C cos y x =D |cos |y x =8.已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 （ ）A a b c <<B c b a <<C b c a <<D b a c << 9.已知1sin()63πα+=，则cos()3πα-的值为（ ）A 12B 12- C 13 D 13-10.θ是第二象限角，且满足cossin22θθ-=2θ是 （ ）象限角 A 第一 B 第二 C 第三 D 可能是第一，也可能是第三 11.已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5[,3]2x ππ∈时，()f x 等于 （ ）A 1sin x +B 1sin x -C 1sin x --D 1sin x -+12.函数)0)(sin()(>+=ωϕωx M x f 在区间],[b a 上是增函数，且M b f M a f =-=)(,)(， 则)cos()(ϕω+=x M x g 在],[b a 上 （ ）A 是增函数B 是减函数C 可以取得最大值MD 可以取得最小值M -二、填空题（每题4分，计16分）13.函数tan()3y x π=+的定义域为___________。
(典型题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2D ．16．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 7．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减8．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-9．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C10．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B C ．1916D ．3411．已知函数2()[sin()])cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]312．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，现有命题：①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称.其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2xy x+=-的最小正周期为π；②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；④若函数()2221sin 41x xy x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.14．已知()tan 1f x a x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．15．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.16．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 17．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.18．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 19．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________.20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．已知函数27()sin cos 2sin 632x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.22．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．23．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．24．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 25．已知函数()231cos 2f x x x =-+. （1）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的取值范围；（2）将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 26．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C解析：C 【分析】由图可知，17248g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.5．B解析：B 【分析】 由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==， 则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．6．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误； 对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.7．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.8．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．10．C【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．11．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos 21()[sin()])cos()2sin(2)2262ωπωωωωω-=+=+=-+x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<. 故选：C. 【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.12．A【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】22111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈， 所以函数的定义域关于原点对称.又()()()222211()sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-=-，故()f x 为偶函数， 故②正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ+=+-=+， 故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ-=--=-，故()f x 的图象关于直线2x π=对称，故④正确.令2sin t x =，则(]0,1t ∈且()1f x t t=-，因为1y t t=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据()()f a x f x -=来讨论. 二、填空题13．③④【分析】①化简可得即可求出；②由可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得利用奇函数的性质可得【详解】对①则最小正周期为故①错误；对②若则可能相等故②错误；对③若则即即即即故③解析：③④ 【分析】①，化简可得tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出；②由,a b 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得24sin 141x xy x +=++，利用奇函数的性质可得.【详解】对①，tantan 21tan 24tan 21tan 241tan tan 24xx y x x x πππ++⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭-⋅，则最小正周期为2π，故①错误；对②，若()()f a f b =，则,a b 可能相等，故②错误；对③，若22tan 3tan 2αβ=+，则2222sin 3sin 2cos cos αβαβ=+，即222222sin cos 3cos sin 2cos cos αβαβαβ=+，即22222222sin cos cos cos 3cos sin 3cos cos αβαβαβαβ+=+，即22cos 3cos βα=，即223sin sin 2αβ-=，故③正确；对④，()22221sin 4sin 14141x xx x y x x +++==+++，令()24sin 41x x g x x =++，则()()g x g x -=，故()g x 是奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，()()max min 112M N g x g x ∴+=+++=，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.14．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-【分析】令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+，,2x k k Z ππ≠+∈，定义域关于原点对称，且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数，则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：首先要观察出()f x中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.15．【分析】先求出由可求出利用单调性可得结合即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数因为所以因为函数在区间上是单调递增函数所以解得：因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是解析：60,5⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先求出()sin 12g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，利用单调性可得1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，结合0>ω即可求解.【详解】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()sin 12g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为02x π≤≤，所以5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， 因为函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数， 所以1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：665ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，因为0>ω，所以605ω<≤， 故答案为：60,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由x 的范围求出12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，将12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.16．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.17．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一） 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】1()sin cos cossin sin(1cos 332f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．18．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单解析：②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.19．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z πϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332t πππ<-≤，即可得解. 【详解】 由T π=可得22T πω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++=∈ ⎪⎝⎭，即,3k k Z πϕπ=+∈， 又()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,3k k πϕπ=+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===， 则()()sin 2f x A x ϕ=+， 将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈， 得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）422,3x k x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣.【分析】（1）化简()f x ，应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （2）应用整体思想，运用正弦函数图像，建立不等式，即可求解. 【详解】()sin cos cos sincoscos sinsin cos 16633f x x x x x x ππππ=-+++-11cos cos cos 1cos 122x x x x x x x =-++-=+-12cos 12sin 126x x x π⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （1）由22,262k x k k Z πππππ-+++∈，解得222,33k x k k Z ππππ-++∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以7+2++2,666k x k k Z πππππ-<<∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422,3xk x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣. 【点睛】方法点睛：解决正弦型函数的单调性和不等式的相关问题，运用整体思想，先由三角函数恒等变换，化简解析式为同一角同一三角函数的形式，再运用三角函数的性质以及建立三角不等式求解.22．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，又26312fππ⎛⎫+⎪=- ⎪⎪⎝⎭，故5cos2+112πϕ⎛⎫⨯=-⎪⎝⎭，所以526kπϕππ+=+即2,6k k Zπϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x xπ=+.（2）()cos(2)cos266g x x xππ=-+=，故()3()cos(2)3cos26f xg x m x x mπ-⋅-=+--cos2cos sin2sin3cos2cos2666x x x m m xπππ⎛⎫=---=---⎪⎝⎭故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m=-与cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象交点的个数，cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得：当1m-=-31m<-<即1m=或31m-<<时，方程有2个不同的解；当31m-<-≤31m≤<时，方程有4个不同的解；当3322m-<-≤即3322m-≤<时，方程有3个不同的解；【点睛】方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.23．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围 【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩， 150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 24．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296，所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.25．（1）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质确定当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的取值范围； （2）根据图象的平移得到()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得()g x 得单调递增区间. 【详解】（1）()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，， π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.∴函数()f x 的取值范围为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.(2)由题意知：()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈， 解得πππ2π.36k k k Z -≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，并求函数在区间上的最值，及函数的单调区间，考查学生的运算能力，属于中档题. 26．（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）[]1,2-. 【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为()g x 的图象关于直线512x π=对称， 所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈， 因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.。
高一必修4三角函数测试(含答案)
高一必修4三角函数部分综合测试卷（满分150分，时间120分钟）一、选择题：（每小题5分共计60分）1.sin α=错误！未找到引用源。
,α∈错误！未找到引用源。
,则cos α= ( )A.- 错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.-错误！未找到引用源。
2．在（0，2π）内，x x cos sin >成立的x 的取值范围（ ）A. )45;()2,4(ππππ B.),4(ππ C . )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ3．已知角α的终边与单位圆交于点错误！未找到引用源。
,则sin2α的值为 ( ) A.错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。
C.- 错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
4. sin89cos14sin1cos76-=（ ）A45．=+-)12sin12(cos)12sin12(cosππππ( )A. 23-B. 21-C. 21 D . 236.将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数 的图象，则ϕ的一个可能取值为 ( )(A) 34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π-7、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为（ ）A B C D8．在ABC ∆中，2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形9．=-+0tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3-10．要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)42cos(π-=x y （ ）A. 向左平移8π个长度单位 B. 向右平移8π个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4π个长度单位11．设tan α,tan β是方程x 2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( )A .-3 B.-1 C.1 D.312．若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-二、填空题：（每小题5分共计20分） 13.函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是________________________；14. 已知函数)52sin()(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值是____________；15．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________；16. 已知βα,为锐角, 的值为则βαβα+==,51cos ,101cos .三、解答题：（6道小题共计70分）17．（10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点.已知A,B 的横坐标分别为错误！未找到引用源。
(完整word)高中数学必修4三角函数综合测试题及答案详解,推荐文档
必修4三角函数综合测试题及答案详解、选择题1 •下列说法中，正确的是()A •第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831°是第二象限角D. —95° 20 , 984° 40 , 264° 40是终边相同的角a n2. 若点(a,9)在函数y= 3x的图象上，贝U tan^的值为()A. 0B.^C. 1D. 3g3. 若|cos g= cosg, |tan g= —tang,则2的终边在( )A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限或x轴上D. 第二、四象限或x轴上4. 如果函数f(x)= sin(册g)(0< g<2 n的最小正周期是T,且当x= 2时取得最大值，那么()nA. T = 2,g= 2 B . T= 1, g=nC. T = 2,n An D. T = 1, 0= 25 .若sin扌—x =—舌'，且n<<2n,贝U x 等于47A.3 nB/6n511C~ n D —冗6 .已知a是实数，而函数f(x)= 1 + asinax的图象不可能是()A .奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 10.函数 f(x)= x — cosx 在(0,+x )内()A .没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7.将函数y = sinx 的图象向左平移（K0＜杯2 n ）单位长度后，得到 y =nsin x — 6的图象，则.nA ・6 _ 5 nB W 7n C.百11 n D .T8.若 tan 0= 2,…2sin 0—B . 13 C.45 D.59. 函数f(x)= 忌的奇偶性是（111. 已知 A 为锐角，lg（1 + cosA）= m, lg^—COsA= n,则IgsinA 的值是（）B . m — n1D.2（m — n ）n12. 函数f （x ）= 3sin 2x —3的图象为C , 11① 图象C 关于直线x = 12 n 对称；n 5 n② 函数f （x ）在区间—12, 12内是增函数;冗③ 由y = 3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C ,其中正确命题 的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上） ,.,n 1 n _ M .13. 已知 sin a+ 2 — 3, a€ — 2， 0，则 tan a= ________ .14. 函数y — 3cosx （0W x < n 的图象与直线y — — 3及y 轴围成的图形的面积 为 ________ .15. ________________________________________________________ 已知函数f （x ） — sin （3x+©）（CD >0）的图象如图所示，贝U 3— ________ .16. 给出下列命题：① 函数y — cos |x +才是奇函数； ② 存在实数X ，使sinx + cosx — 2；③ 若a, B 是第一象限角且a < B,则tan a <tan B;八1 A- m + ni i Cim+n④x—81是函数y—sin 2x+于的一条对称轴；n n⑤函数y—sin 2x+ 3的图象关于点衫，0成中心对称. 其中正确命题的序号为__________ .三、解答题17. （10 分）已知方程 sin （a — 3 n 2cos （a — 4n ）sin n — a + 5cos 2 n — a 3n2sin ~2 — a — sin — a18. （12 分）在厶 ABC 中，sinA + cosA ^#，求 tanA 的值.n 319. (12分)已知 f(x) = sin 2x + 6 + 2, x € R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)的单调减区间；⑶函数f(x)的图象可以由函数y = sin2x(x € R)的图象经过怎样变换得到?n20. (12分)已知函数y = Asin@x+©)(A>0,心>0)的图象过点P ^, 0，图象n与P 点最近的一个最高点坐标为 3，5 .的值.(1) 求函数解析式；(2) 求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3) 求使y w 0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos _a = . 2cos 3n+ p，_ 3sin 号―a =—慣sin 扌+ B，且0< a<n，0< 仟n，求a, p的值.n n 22. (12 分)已知函数f(x) = x2+2xtan B— 1,x€ [ —1, 3]，其中氏一2, 2 .⑴当皓—塾寸，求函数的最大值和最小值；(2)求B的取值范围，使y=f(x)在区间［—1, 3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案、选择题1. D；2. D;3.D; 4. A; 5. B6. D；7. D;8. C;9.A; 10. B11 .D;12.C二_ 、填空题13 .—22;14. 3 n 15.32 16. ①④三、解答题17.解〔Sin( a—3n^2cos(a—4 n，•'•—si n(3 — a = 2cos(4 n a).•••-sin( — M = 2cos(—a).•'si n a= — 2cos a 可知 COS aM 0. sin a+ 5cos a• • •原式= '——2cos a+ sin a—2cosa+ 5cos a3cos a—2cos a — 2cos a — 4coS a18 •解・.sinA + cosA =¥，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n从而知 cosA<0,.・.jA €2, n .•'sinA — cosA = " ■' sinA + cosA 2 — 4sinAcosA由①②，得 sinA =4 , cosA =4sinAl•anA=cosA= — 2—3.2 n19. 解（1）T =~2 =冗.. 冗小 冗〜3 n⑵由 2k 卄 2= 2x + 6< 2k n+~2, k^Z ,n , 2 n得 k n+ 6= x < k n+_3, kZ所以所求的单调减区间为. n , 2 n k n+ 6，k n+~3 (k@).n334.1+1# ②(3) 把y= sin2x的图象上所有点向左平移石个单位，再向上平移2个单位，即得函n 3 数 f(x) = sin 2x + 6 + 2的图象.T n n n 20. 解(1)由题意知 4 = 3— 12= ~4，'T =n.2 n n n •••3= T = 2, 由 w 12 +©= 0, 得 R — 6，又 A = 5,n•'y = 5sin 2x —召. n n (2)函数的最大值为5,此时2x —6= 2k n+ 2(k®).n•'x = k n+ 3(k^Z). n n⑶-5sin 2x — 6 w 0 ,• 2k n — 2x —©w 2k n k ^Z).5 n , n •兀―12 w x w k n+ ^(k .n 321. 解 cos a = , 2cos 2 n+ B,即卩 sin a= , 2sin 辽3si 门号冗一a = — 2sin 2+ B ,即.3cos a= 2cos 迄①2+②2得，2= sin 2 a+ 3cos a.2 2 2又 sin a+ cos a= 1 ,「COS a=又Taq O , n n•B= 6. cos a=— 2 , a=3•a=4，或 4冗. ⑵当 a= ¥时,十5冗/宀「n n 亠 3 n 5 n又R0, n , •/= -Q.综上，a4, A6，或尸N, ^~Q.22. 解⑴当皓—訥寸，f(x) = x2—爭—1= X—尹—4・••xq —1，. 3］，•当x=¥时，f(x)的最小值为一3，当x= —1时，f(x)的最大值为(2)f(x) = (x+tan®2— 1 —tan20是关于x的二次函数.它的图象的对称轴为x=—tan 0••y=f(x)在区间［—1，. 3］上是单调函数，• —an (X —1，或一tan 0》一3，即卩tan0》1，或tan (X —3.n n .…n n n n2，2，••的取值范围是—2，—3 u4，2 .。
高中数学《必修四》三角函数测试题
高中数学《必修四》三角函数测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( ) A.(1)、(2)B.(2)、(3) C.(1)、(3)D.(2)、(4)4.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-515.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±23 6.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin28.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( ) A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______. 14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______. 16.(本小题满分16分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分16分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分16分) 已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分16分)已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=-2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.一、选择题（每题5分，共40分）1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A ．52B ．213C ．16D ．43、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ）A 090 B 060 C 0120 D 01504、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70°B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45°5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ． 1：3：2D ．3：1：26、设a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，对任意实数x ，222222()()f x b x b c a x c =++-+有（ ） A 、()0f x = B 、()0f x > C 、()0f x ≥ D 、()0f x <7、在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形8、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ）9、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 10、在△ABC 中，A =60°,b =1,面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++=11、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 12、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72c =，且60C ︒=，又ABC △的面积为332，则a b +=________________三．解答题（2小题，共40分） 13、（本题满分20分） 在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；(II)设AC=6，求∆ABC 的面积. 14、（本题满分20分）在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1） 求角B 的大小;（2） 求22cos cos()A A C +-的取值范围.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ·360°+90°<α<k ·360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B . 答案：B 2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π·(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N . 答案：A4．解析：787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°. -289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52.答案：A6．解析：∵cos(π+α)=-21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ·α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α. 即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2×360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3. 答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α. ∴cos 2α=101. 故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52. 解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23.答案：2314．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }. 答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rr C r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3.故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315.17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根.∴sin α=-53或sin α=2(舍). 故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169.∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55×(1+52)=2557.评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β①3cos α=2cos β②由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2.即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22.故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π,当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π. 综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.高二数学必修5第一章《解三角形》考试答案一、选择题（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBCDABBC二、填空题（每题5分,共20分）9、18___ 10、2393三、解答题（共两小题，共40分） 16、解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-， ∴42B A π=-， ∴2sin sin()(cos sin )42222B B B A π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >， ∴3sin 3A =（Ⅱ）由正弦定理得sin sin AC BCB A =∴36sin 3321sin 3AC ABC B•===，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+32261633333=⨯+⨯= ∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯=17、解:（1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+ ∴1cos 2B =∴3B π=（2）由（1）得：23A C π+=，故2222cos cos()2cos cos(2)313(cos 21)(cos 2sin 2)2231sin 2cos 2122sin(2)16A A C A A A A A A A A ππ+-=+-=++-+=++=++又203A π<<∴32662A πππ<+< ()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]。
(好题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．452．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应0.618⎫≈⎪⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）A 51- B 51- C 51+ D 355．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线116x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为12x π=D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 6．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（ ）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大；D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1BC ．1916D ．3410．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169 B ．120169C ．119169D ．5916911．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 12．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B3a <<C．a >D ．92a >二、填空题13．已知()tan 1f x a x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．14．当ϕ=___________时，函数()()sin f x x ϕ=+在区间4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调(写出一个值即可).15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.16．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______. 17．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象.若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为_______________. 18．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为()0,3，则125...PA PA PA +++=____.19．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .20．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__.三、解答题21．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．22．已知函数π()3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）用“五点法”画出函数()y f x =在一个周期内的简图；（2）说明函数()y f x =的图像可以通过sin y x =的图像经过怎样的变换得到？（3）若003()[2π3π]2f x x =∈，，，写出0x 的值. 23．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.24．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为h 米，试将h 表示为时间t 的函数； （2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值. 25．已知函数()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，R x ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期T 及()f x 的图象的对称轴；（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数()f x 在一个周期内的图象.x3π24u x =+()f x26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为()223cos 534α==+-，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确；()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确； 当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 4．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,2BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故1151512sin18sin 2BCDC DAC AC AC --︒=∠====. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.5．D解析：D 【分析】选项A 由()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈可判断；选项B ()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈可判断；选项C 令12x π=，求得()cos02f x π==，可判断;选项D 由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈可判断.【详解】由函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 选项A. ()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈则1,212x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，512x π=-，所以5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，故A 正确； 选项B ：()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈即11,23x k k Z ππ=+∈，当3k =时，116x π=，故B 正确；选项C ： ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭令12x π=，得ππcos 0122f π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C 正确； 选项D ：由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当1k =时，536x ππ≤≤，所以()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 错误， 故选：D . 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题，解答本题的关键是将23x π+看成一个整体，令2,32x k k Z πππ+=+∈；2,3x k k Z πππ+=+∈和222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得出答案，属于中档题.6．B解析：B【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明 【详解】A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++ ()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉 故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.7．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.8．B解析：B 【解析】31()3)cos(2)2()cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．10．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解． 【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =， 设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =，5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．11．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度， 所以156********4ππ︒=⨯=， 故选：C12．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈， 当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 由2y t t =+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.二、填空题13．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-【分析】令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+，,2x k k Z ππ≠+∈，定义域关于原点对称，且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数， 则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3-关键点点睛：首先要观察出()f x中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.14．（集合或中的任何一个值都行）【分析】由函数的周期和区间长度可以确定和是单调区间的端点值由此列式求值【详解】的周期是而区间的长度是个单位长度则一个周期内完整的一个单调增区间或减区间当时所以解得：或解得解析：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【分析】由函数的周期，和区间长度可以确定3π和43π是单调区间的端点值，由此列式，求ϕ值. 【详解】()f x 的周期是2π，而区间4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的长度是π个单位长度，则4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭一个周期内完整的一个单调增区间或减区间， 当433x ππ<<时，433x ππϕϕϕ+<+<+， 所以2324232k k ππϕπππϕπ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ，解得：52,6k k Z πϕπ=-+∈， 或23243232k k ππϕπππϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：26k πϕπ=+，k Z ∈，所以其中一个6π=ϕ， 故答案为：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定3π和43π是单调区间的端点值，列式后就比较容易求解.15．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：(40π+如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解. 【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.16．是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得：解得：当时得：所以的表达式是是正整数且故答案为：是正整数且【点睛】方法点睛：形如一解析：()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈【分析】根据最值列出等式求,A k ，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求ω，以及利用最高点求ϕ. 【详解】由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩，解得：1518A k =⎧⎨=⎩，12712πω-=⋅，解得：6π=ω，当7x =时，72,6k k Z πϕπ⨯+=∈，得：726k ϕππ=-+()0,ϕπ∈，56ϕπ∴=，所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为：()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】方法点睛：形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>，一般根据最值求,A k ，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和ω，以及“五点法”中的一个点求ϕ.17．【分析】根据图象的平移得出函数再由已知得或要使最大则最大最小可求得取得的最大值【详解】将函数的图象向左平移个单位可得的图象再向上平移1个单位得到的图象则因为所以当得或∵∴要使最大则最大最小则当最大最 解析：5512π【分析】根据图象的平移得出函数()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由已知得()()123g x g x ==或()()123g x g x ==-.要使122x x -最大，则123x π+最大，223x π+最小.可求得122x x -取得的最大值. 【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得2sin 2+2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再向上平移1个单位，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.则()33g x -≤≤， 因为[]12,2,2x x ππ∈-，所以当()()129g x g x =，得()()123g x g x ==或()()123g x g x ==-.∵[]12,2,2x x ππ∈-，∴1211132,2,3333x x ππππ⎡⎤++∈-⎢⎥⎣⎦， 要使122x x -最大，则123x π+最大，223x π+最小.则当17232x ππ+=最大，25232x ππ+=-最小时，即11912x π=，2176x π=-时，122x x -取得最大值为5512π.故答案为：5512π. 【点睛】本题考查三角函数的图象平移，正弦型函数的最值，属于中档题.18．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知， 它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以1253...5||5(010PA PA PA PA +++===. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.19．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为解析：(4002【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值． 【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos 203tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--800sin(2)40033πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(23)()m -．故答案为：400(23)-． 【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数的奇偶性 3【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】 因为函数()()()3sin 2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈. 又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-.又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos6-=.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 三、解答题21．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=，故()()cos(2)26f xg x m x x m π-=+-cos 2cossin 2sin2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当3322m -<-≤即3322m -≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.22．（1）答案见解析； （2）答案见解析；（3）72π3π ,3π，. 【分析】（1）令26x π+分别等于0，2π，π，32π，2π，求出对应的坐标，再描点作图即可作出函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期上的简图．（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再将得到的图象向左平移6π得，然后将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍即可． （3）由03()2f x =，可得0,x k k Z π=∈或03,x k k Z ππ=+∈，结合0[2π3π]x ∈，即可得答案. 【详解】 （1）列表：26x π+2π π32π 2πx12π-6π 512π 23π 1112π()f x3 03-（2）将函数sin y x =的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到3sin y x =，再将得到的图象向左平移6π得到3sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍得到，3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）因为03()2f x =，所以00313sin 2sin 26262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022,66x k k Z πππ+=+∈或0522,66x k k Z πππ+=+∈， 即0,x k k Z π=∈或03,x k k Z ππ=+∈，又因为0[2π3π]x ∈，， 所以0x 的值为72π3π ,3π，. 【点睛】方法点睛：三角函数图象变换步骤：sin y x =先向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来A (横坐标不变)，这时的曲线就是()y Asin x ωϕ=+的图象．23．（1）()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[)2,+∞.【分析】（1）由图象得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点()1,0的坐标代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）利用三角函数图象变换求得()2cos 84g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由已知可得()max m g x ≥，利用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的周期为()2518T =⨯-=，所以284ππω==， 又因为函数()f x 的图象过点()1,0，则有2cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且函数()f x 在1x =附近单调递减， 所以()242k k Z ππϕπ+=+∈，所以()24k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以4πϕ=，所以()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得函数2cos 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将2cos 84y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度， 得()()2cos 42cos 8484g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，即()max g x m ≤， 因为[]0,6x ∈，所以,8442x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当084x ππ-=，即2x =时，()g x 取最大值，最大值为2，即2m ≥.综上可得，实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 24．（1）()5040cos()15th t π=-；（2）5t =分钟或25t =分钟；（3）h 最大值为40米.【分析】（1）由题意可知高度h 与时间t 的关系符合()sin()h t A t B ωϕ=++，根据已知求出,,,A B ωϕ的值，写出解析式即可.（2）设()30h t =，解方程求出(0,30)t ∈即为距离地面的高度恰好为30米的时间. （3）有题意列出游客甲、游客乙距离地面的高度解析式分别为12(),()h t h t ，利用三角函数有12|()()|h t h t -的最大值为所求h 的最大值. 【详解】（1）由题意，设()sin()h t A t B ωϕ=++，得：9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得40,50A B ==，又当0t =时，(0)40sin 5010h ϕ=+=， ∴22k πϕπ=-，不妨令0k =有2πϕ=-，而230T πω==得15πω=，∴()5040cos()15th t π=-，（2）由题意有()5040cos()3015th t π=-=，即1cos()152tπ=， ∴153tππ=或5153tππ=，得5t =或25t =. （3）若游客甲高度解析式为1()5040cos()15th t π=-，则游客乙高度解析式为2()5040cos()153t h t ππ=--，∴12cos()cos()1515|()()|40|cos()cos()|40||40|cos()|1531522153ttt tt h t h t πππππππ-=--=-=+∴令153t πππ+=，解得10t =，此时12|()()|h t h t -的最大值为40米.【点睛】关键点点睛：根据实际问题构建三角函数模型，进而由题设求对应高度的时间，以及应用三角恒等变换求两游客的高度差最大值. 25．（1）最小正周期为π，对称性ππ28k x =-，Z k ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用函数siny A =()x ωϕ+的周期性和对称性，求得()f x 的最小正周期和对称轴.（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象. 【详解】解：（1）∵()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，故它的最小正周期为2ππ2=， 令3ππ2π42x k +=+，Z k ∈， ππ28k x =-，Z k ∈（2）由题意可得表格如下：x38π-8π-8π 38π 58π 3π24u x =+0 2π π32π 2π()f x22-【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键．26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，231232f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以22511sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。
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5、已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()
A．2B．1
C. D．3
6、集合M＝{x|x＝nπ＋ ，n∈Z}，N＝{x|x＝2kπ± ，k∈Z}的关系是()
A．M＝NB．M N
C．N MD．M N
7、已知函数 ，则 ( )
A．1 B．－2C．2 D．
【解析】由题意 ，因为 是第三象限的角，所以 ，
因此 .
9、【答案】A
【解析】在y轴左侧，图象过点 ，∴ ，解得 ，在y轴右侧， ，
∴ ， 为五点作图中的第三个点，∴ ，解得 .
10、【答案】A.
【解析】将函数 图象向左平移 个单位，得 ，当 时， ，故选A.
11、【答案】A
【解析】由题可知： ，由图像移动的原则，可得图像是向右平移 个单位得到 。
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题是________．
14、化简： _______________．
15、已知函数 的图像如图所示，
20、【答案】（1）定义域 ，函数f（x）的值域为 1，+∞）。
单调递减区间是 ，
f（x）的单调递增区间为 。
12、一观览车的主架示意图如图所示，其中 为轮轴的中心，距地面32m（即 长），巨轮的半径为30m， m，巨轮逆时针旋转且每钟转动一圈.若点 为吊舱 的初始位置，经过 分钟，该吊舱 距离地面的高度为 m，则 =（）
A. B.
C. D.
评卷人
得分
二、填空题（每题4分 共计20分）
13、给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
6、【答案】A
【解析】当n为偶数时，设n＝2k，
则M＝{x|x＝2kπ＋ ，k∈Z}，
当n为奇数时，设n＝2k＋1，
则M＝{x|x＝(2k＋1)π＋ ，k∈Z}
＝{x|x＝2kπ＋π＋ ，k∈Z}
＝{x|x＝2kπ－ ，k∈Z}，所以M＝N.
7、【答案】B
【解析】由 ,所以 ，故选 .
8、【答案】B.
则 。
16、已知函数 ，在下列四个命题中：① 的最小正周期是 ；② 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到；③若 ，且 ，则 ；④直线 是函数 图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．
评卷人
得分
三、解答题（6大大题 共计70分）
17、用弧度制表示：1终边在 轴上的角的集合2终边在 轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合
绝密★启用前
2014-2015学年度期末考试模拟试卷2
三角函数
考试范围：三角函数；考试时间：120分钟；满分|：150分命题人：Robert
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
**************************祝考试顺利*************************************
8、若 ， 是第三象限的角，则 （）
A． B． C． D．
9、函数 的图象如图，则（）
A．
B.
C.
D.
10、将函数 图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）
A. B. C. D.
11、函数 的图象经过下列何种平移可得函数 的图象（）
A．向右平移 个单位B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
12、【答案】B
【解析】过点 作地面平行线 ，过点 作 的垂线 交 于 点．点 在 上逆时针运动的角速度是 ，∴ 秒转过的弧度数为 ，设 ，当 时， ， ，当 时，上述关系式也适合．故 ．
二、填空题
13、【答案】③
【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但 与 的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
评卷人
得分
一、单项选择（每题5分 共计60分）
1、下列说法中正确的是（）
A．第一象限角一定不是负角B． 是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等
2、已知角 的终边经过点 ，则 =()
A． B． C． D．
3、 的值为( ).
A． B． C． D．
4、已知角 的终边经过点 ，则 =（）
参考答案
一、单项选择
1、【答案】C
【解析】
2、【答案】B
【解析】
3、【答案】A
【解析】
4、【答案】D
【解析】
5、【答案】A
【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4
则面积S＝ rl＝ r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1
∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.
从而α＝ ＝ ＝2.
22、某港口水深y（米）是时间t( ，单位：小时)的函数，记作 ，下面是某日水深的
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察： 的曲线可近似看成函数 的图象（A>0， ）
（I）求出函数 的近似表达式；
（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？
18、已知 的终边过点 (其中 ，
（1）求 及 的值.
（2）化简并求 的值；
19、用图象求函数 的定义域。
20、已知函数
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶数,判断它的周期性
21、已知函数 .
（1）用五点法作出它在一个周期上的简图；
（2）该函数的图像可由 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
14、【答案】
【解析】
15、【答案】0
【解析】
16、【答案】③④
【解析】
三、解答题
17、【答案】1终边在 轴上的角的集合
2终边在 轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
【解析】
18、【答案】（1）
（2）原式=
原式=
【解析】
19、【答案】由 得 ，
利用图象知，所求定义域为 ，
亦可利用单位圆求解。
【解析】