2011年高考数学一轮复习(共87节)14.2导数的运算
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
当 x< 0 时 y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由 y′＝1x，所以 y′|x ＝x1＝x11，所以切线方程为 y－ln(－x1)＝x11(x－x1)，
又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝x11(－x1)，解得 x1＝－e，所以切 线方程为 y－1＝－1e(x＋e)，即 y＝－1ex.
角度2 求切点坐标或参数的值(范围)
[例2] (1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x
＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 则a的取值范围是______________________________________________．
答案：e2
4．函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝________. 解析：∵f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋21f′π3，∴f′π3＝43π，∴f π6＝3π62＋23π. 答案：3π62＋23π
[一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然 后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
022x2 ＋ 021
1 xln
2，D
正确．
答案：A B D
2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系 式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为 ( )
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
2011届高考数学考点知识专题总复习导数的概念及应用
2011 届高考数学考点知识专题总复习导数的观点及应用课时考点 2 导数的观点及应用高考考纲透析：（理科）(1)认识导数观点的某些实质背景 ( 如刹时速度、加快度、圆滑曲线切线的斜率等 ) ；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的观点。
(2) 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法例. 认识复合函数的求导法例 . 会求某些简单函数的导数。
(3) 理解可导函数的单一性与其导数的关系；认识可导函数在某点获得极值的必需条件和充足条件 ( 导数在极值点双侧异号 ) ；会求一些实质问题( 一般指单峰函数 ) 的最大值和最小值。
（文科）(1)认识导数观点的某些实质背景。
(2) 理解导数的几何意义。
(3) 掌握函数， y=c(c 为常数 ) 、y=xn(n ∈ N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。
(4) 理解极大值、极小值、最大值、最小值的观点 . 并会用导数求多项式函数的单一区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
(5) 会利用导数求某些简单实质问题的最大值和最小值。
高考风向标：导数的观点及运算，利用导数研究函数的单一性和极值，函数的最大值和最小值，特别是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。
高考试题选：1.设是函数的导函数，的图象如下图，则的图象最有可能的是（）2. 设曲线≥ 0）在点（ t,e--t）处的切线与x 轴 y 轴所围成的三角形面积为S（ t ） .（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（ t ）的最大值 .3.已知 a 为实数，，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在 [--2 ，2] 上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（—∞，— 2）和 [2 ， +∞ ] 上都是递加的，求 a 的取值范围 .热门题型 1: 函数的最值已知函数 f(x)= －x3＋ 3x2＋9x ＋ a,（ I ）求 f(x) 的单一递减区间；（ II ）若 f(x) 在区间 [ － 2， 2] 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：（ I ） f ’(x) ＝－ 3x2＋ 6x ＋ 9．令 f ‘ (x)3 ，所以函数 f(x) 的单一递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（ II ）因为f( － 2) ＝ 8＋ 12－ 18＋ a=2＋ a， f(2)＝－8 ＋12＋ 18＋ a＝ 22＋a，所以f(2)>f( － 2) ．因为在（－1，3）上 f ‘ (x)>0 ，所以 f(x)在[－1,2]上单一递加，又因为f(x)在[－2，－1]上单一递减，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2] 上的最大值和最小值，于是有22＋ a＝ 20，解得 a＝－ 2．故 f(x)= － x3 ＋ 3x2＋ 9x－ 2，所以 f( －1) ＝ 1＋3－ 9－ 2 ＝－ 7，即函数 f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．变式新题型1：已知的最大值为3，最小值为，求的值。
高考数学一轮复习 14.2 矩阵与变换 理 苏教版
14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程．解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点，设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4. 6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 10.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。
高考数学复习知识点讲解教案第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,
.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =
− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______
=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.
[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =
−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2
−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.
2011年高考数学课标人教A版理、文一轮复习精品教学课件及同步练习第2章函数、导数及其应用同步练习word
第二章 第一节 函数及其表示题组一函数与映射的概念1.设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为 ( ) A.∅ B.{1} C.∅或{2} D.∅或{1}解析：由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得x ＝±1或x ＝±2.若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅.故A ∩B ＝∅或{1}. 答案：D2.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A.y ＝55x 与y ＝2xB.y ＝lne x 与y ＝e ln xC.y ＝()()131x x x -+-与y ＝x ＋3D.y ＝x 0与y ＝1x 解析：对于命题A ，对应关系不同；对于命题B ，定义域不同；对于命题C ，定义域不同；对于命题D ，y ＝x 0(x ≠0)与y ＝ (x ≠0)完全相同.答案：D3.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x 1 2 3 f (x ) 231则方程g [f (x )]＝x 的解集为 ( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ 解析：当x ＝1时，g [f (1)]＝g (2)＝2，不合题意； 当x ＝2时，g [f (2)]＝g (3)＝1，不合题意； 当x ＝3时，g [f (3)]＝g (1)＝3，符合题意. 答案：Cx1 2 3 g ( x )32101x题组二函数的表示方法4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f [f (13)]＝ ( )A.－13B.13C.－23D.23解析：由图象知f (x )＝ ∴f (13)＝13－1＝－23，∴f [f (13)]＝f (－23)＝－23＋1＝13.答案：B5.已知f 11xx -+()＝2211x x -+，则f (x )的解析式为 ( ) A. f (x )＝21x x + B. f (x )＝221xx -+C. f (x )＝221x x +D. f (x )＝21xx -+解析：由f 11x x -+()＝2211x x -+，令t ＝11xx -+， 则x ＝11t t-+， ∴2222211121,11111t x t t t x t t---+==-++++()()即f (t )＝22,1tt + ∴f (x )＝221xx+. 答案：C6.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝. 解析：考虑到所给式子中含有f (x )和f (1x)，故可考虑利用换元法进行求解.在f (x )＝2f (1x )x －1，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f x x ()－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.答案：23x ＋13题组三分 段 函 数7.(2010·青岛模拟)已知函数 f (x )＝2,,2,x x x x +⎧⎨-+>⎩≤0则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A.[－1,1]B.[－2,2]C.[－2,1]D.[－1,2]解析：当x ≤0时，不等式f (x )≥x 2化为x ＋2≥x 2，即220x x x ⎧+⎨⎩≥≤,所以－1≤x ≤0；当x ＞0时，不等式f (x )≥x 2化为－x ＋2≥x 2，即22>0x x x ⎧-+⎨⎩≥所以0＜x ≤1.综上可得不等式的解集为[－1,1]. 答案：A 8.已知函数f (x )＝22,2<2x x x -⎧⎨-⎩(≥)()则不等式x ·f (x －1)＜10的解集是 . 解析：当x －1≥2，即x ≥3时，不等式等价于3,3<x x x ⎧⎨-⎩≥()10解得3≤x ＜5；当x －1＜2，即x ＜3时，不等式等价于 <3,2<x x ⎧⎨-⎩10解得－5＜x ＜3.综上可知不等式的解集为{x |－5＜x ＜5}. 答案：{x |－5＜x ＜5}9.已知f (x )＝22,1,2,1<<2,,2,2x x x x x x ⎧⎪+-⎪-⎨⎪⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a 的值.解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去. ②当－1<a <2时，f (a )＝2 a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝22a ，由22a ＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6.综上可知，a 的值为32或 6.题组四函数及其表示的灵活应用10.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 ( )解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度.由图中切线斜率的变化规律可知选A. 答案：A11.如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2006)f (2005)＋f (2008)f (2007)＋f (2010)f (2009)＝ .解析：f (2)＝f (1)f (1)＝22，f (2)f (1)＝2， f (3)＝f (1)f (2)＝23，f (4)＝f (2)f (2)＝24， f (4)f (3)＝2，…f (2010)f (2009)＝2， ∴原式＝2×1005＝2010. 答案：201012.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(－3)、f(1)的值；(3)若f(x)＝16，求x的值.解：(1)y＝222,1,2,<1.x xx x⎧+⎪⎨+⎪⎩()≥(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍)；若x＜1，则x2＋2＝16，解得x＝14(舍)或x＝－14.即x＝2或x＝－14.第二章 第二节 函数的定义域和值域题组一函数的定义域问题1.(文)(2009·江西高考)函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为 ( )A.[－4,1]B.[－4,0)C.(0,1]D.[－4,0)∪(0,1] 解析：求y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域，即2340,0.x x x ⎧--+⎨≠⎩≥⇒[－4,0)∪(0,1]. 答案：D(理)(2009·江西高考)函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]解析：定义域21>034>0x x x +⎧⎨--+⎩⇒－1＜x ＜1.答案：C2.若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A.(0，34)B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，0]∪[34，＋∞)D.[0，34)解析：依题意，函数的定义域为R ， 即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立.①当m ＝0时，得3≠0，故m ＝0适合，可排除A 、B. ②当m ≠0时，16m 2－12m <0， 得0<m <34，综上可知0≤m <34，排除C.答案：D3.若函数f (x )的定义域是[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a )(0＜a ＜12)的定义域是 .解析：∵f (x )的定义域为[0,1]，∴要使f (x ＋a )·f (x －a )有意义，须011,01 1.x a a x a x a a x a +--⎧⎧⇒⎨⎨-+⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤ 且0<a <12，a <1－a ，∴a ≤x ≤1－a .答案：[a,1－a ]题组二函数的值域问题4.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A.a ＝－1或3B.a ＝－1C.a >3或a <－1D.－1<a <3解析：若a 2－2a －3≠0，则函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R ，当a 2－2a －3＝0时，得a ＝－1或3，但当a ＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R ，故a ＝－1. 答案：B5.若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是A.[12，3]B.[2，103]C.[52，103]D.[3，103] 解析：令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，故值域为[2，103].答案：B6.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,<a a bb a b⎧⎨⎩≥.函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是 ( )A.0B.12C.32D.3解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：C7.(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 . 解析：∵1≤f (x )≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5,1]. 答案：[－5,1]8.分别求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝－x 2＋2x (x ∈[0,3])； (3)y ＝x ＋1－x 2； (4)y ＝1－2x1＋2x.解：(1)分离变量法将原函数变形为 y ＝2x －6＋7x －3＝2＋7x －3.∵x ≠3，∴7x －3≠0. ∴y ≠2，即函数值域为{y |y ∈R 且y ≠2}. (2)配方法∵y ＝－(x －1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1]. (3)换元法先考虑函数定义域，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，设x ＝cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，易知当θ＝π4时，y 取最大值为2，当θ＝π时，y 取最小值为－1，∴原函数的值域是[－1，2]. (4)分离常数法y ＝1221221121212x x x xx ---+==-++++∵1＋2x ＞1，∴0＜212x+＜2， ∴－1＜－1＋212x+＜1，∴所求值域为(－1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9.(2010·福建“四地六校”联考)设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝1,,22.x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪∈⎩(1-),若x 0∈A ，且f [f (x 0)] ∈A ，则x 0的取值范围是 ( ) A.(0，14] B.[14，12] C.(14，12) D.[0，38]解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈[12，1)ÜB ，∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2[1－(x 0＋12)]＝2(12－x 0).∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2(12－x 0)＜12.∴14＜x 0≤12，又∵0≤x 0＜12，∴14＜x 0＜12. 答案：C10.设f (x )＝2,2,,<1,x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数y ＝g (x )的值域是 ( )A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如图为f (x )的图象，由图象知f (x )的值域为(－1，＋∞)， 若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 答案：B11.规定记号“*”表示一种运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1]； (2)函数f (x )＝k *x 的值域是 . 解析：(1)1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1. (2)f (x )＝k *x ＝1]x )＋1＋x ≥1.答案：(1)1 (2)[1，＋∞)12.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝22(1),(0),(1),(0).x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b 的取值范围. 解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝22(1),(0),(1),(0).x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩ ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]恒成立， 根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.第二章 第三节 的单调性题组一函数单调性的判定1.(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( ) A.f (x )＝1xB.f (x )＝(x －1)2C.f (x )＝e xD.f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时， 都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数. 答案：A2.函数y ＝x 2＋b x ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是 ( ) A.b ≥0 B.b ≤0 C. b ＞0 D. b ＜0 解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为单调函数 ∴x ＝－2b≤0，即b ≥0. 答案：A3.讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性. 解：f (x )＝x ＋ax (a >0)，∵定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}且 f (－x )＝－x ＋a－x ＝－(x ＋ax )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数，所以先讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性. 设x 1> x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1a x －x 2－2a x ＝(x 1－x 2)(1－12a x x )，∵当0<x 2<x 1≤a 时，恒有12ax x >1. 则f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(0，a ]上是减函数. 当x 1>x 2≥a 时，恒有0<12ax x <1， 则f (x 1)－f (x 2)>0，故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数. ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数； f (x )在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞) 解析：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，∴f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B5.(2010·黄冈模拟)已知函数f (x )＝13log (2x 2＋x )，则f (x )的单调递增区间为 ( )A.(－∞，－14)B.(－14，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－12)解析：由2 x 2＋x ＞0，得x ＞0或x ＜－12，令h (x )＝2 x 2＋x ，则h (x )的单调减区间为(－∞，－14).又∵x <－12，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12).答案：D 6.已知函数f (x )＝31axa -- (a ≠1).(1)若a ＞0，则f (x )的定义域是 ；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 解析：当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是(－∞，3a]； (2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3. 当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0， 此时a ＜0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]. 答案：(1)(－∞，3a] (2)(－∞，0)∪(1,3]题组三抽象函数的单调性及最值7.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A.c <b <aB.b <c <aC.c >a >bD.a <b <c 解析：由题意f (x )＝f (|x |).∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>1,0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数.∴c >a >b . 答案：C8.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52)的值是 ( )A.0B.12C.1D.52解析：令x ＝－12，∴－12f (12)＝12f (－12)＝12f (12)(∵f (－12)＝f (12))，∴f (12)＝0.令x ＝12，∴12f (32)＝32f (12)，∴f (32)＝0.令x ＝32，∴32f (52)＝52f (32)，∴f (52)＝0.答案：A9.设奇函数f (x )在 [－1,1]上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是 .解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，由已知易得f (x )的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立， 则g g ⎧⎨⎩(-1)≤0(1)≤0⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：t ≤－2或t ＝0或t ≥2题组四函数单调性的综合应用10.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f(x)x在区间(1，＋∞)上一定 ( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数解析：由题意a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a|，＋∞)上为增函数，故选D.答案：D11.已知函数f (x )＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值. 解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数. ∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋ax ＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数.若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 若a ≤1，即0<a ≤1时， f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.12.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)＝1， (1)求证：f (1)＝0； (2)求f (116)；(3)解不等式f (x )＋f (x －3)≤1.解：(1)证明：令x ＝4，y ＝1，则f (4)＝f (4×1)＝f (4)＋f (1).∴f (1)＝0. (2)f (16)＝f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (1)＝f (116×16)＝f (116)＋f (16)＝0，故f (116)＝－2.(3)设x 1，x 2＞0且x 1＞x 2，于是f (x 1x 2)＞0，∴f (x 1)＝f (x 1x 2×x 2)＝f (x 1x 2)＋f (x 2)＞f (x 2).∴f (x )为x ∈(0，＋∞)上的增函数. 又∵f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]≤1＝f (4)，∴>6,3>0,3x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩()≤4,⇒3＜x ≤4. ∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤4}.第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为() A.－1 B.1 C.－2 D.2解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.答案：D3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()A.∀a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.∃a∈R，f(x)是偶函数D.∃a∈R，f(x)是奇函数解析：当a ＝16时，f (x )＝x 2＋16x ，f ′(x )＝2x －16x2， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数，故A 、B 错. 当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，故C 正确. D 显然错误，故选C. 答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f (x )＝ax 4＋b cos x －x ，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 ( ) A.1 B.－7 C.4 D.－10解析：设g (x )＝ax 4＋b cos x ，则g (x )＝g (－x ).由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1. 答案：A5.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98 解析：由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)， 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝－2.故选A. 答案：A6.设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ( )A.0B.1C.52 D.5解析：由f (1)＝12，对f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)， 令x ＝－1， 得f (1)＝f (－1)＋f (2).又∵f (x ) 为奇函数，∴f (－1)＝－f (1). 于是f (2)＝2f (1)＝1；令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，于是f (5)＝f (3)＋f (2)＝52.答案：C7.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)＞0＞f (－3)，则方程f (x )＝0的根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f (12)＞0＞f (－3)＝f (3)，所以函数f (x )在(12，3)上与x 轴有一个交点，必在(－3，－12)上也有一个交点，故方程f (x )＝0的根的个数为2.答案：C8.(2010·滨州模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 .解析：当x ＞0时，f (x )＝0即2008x ＝－log 2008x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2008x ，f 2(x )＝－log 2008x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＜0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3. 答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则( )A.f (3)＜f (－2)＜f (1)B.f (1)＜f (－2)＜f (3)C.f (－2)＜f (1)＜f (3)D.f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.此类题能用数形结合更好. 答案：A10.(2009·福建高考)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 ( )A.y ＝x 2＋1B.y ＝|x |＋1C.y ＝321,01,<0x x x x +⎧⎨+⎩≥D.y ＝e ,0e ,<x x x x -⎧⎪⎨⎪⎩≥0解析：∵f (x )为偶函数，由图象知， f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数，故选C. 答案：C11.(2009·山东高考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2] 上是增函数.若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ .解析：由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )， 故函数图象关于直线x ＝2对称，又函数f (x )在[0,2]上是增函数，且为奇函数， 故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0， 根据对称性知函数f (x )在[2,4)上大于0，同理推知函数f (x )在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f (x )＝m (m ＞0)的两根关于 直线x ＝2对称， 故此两根之和等于4，根据f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )， 函数f (x )以8为周期，故在区间(－8,0)上方程f (x )＝m (m ＞0)的两根关于直线x ＝－6对称，此两根之和等 于－12，综上四个根之和等于－8. 答案：－812.(文)已知函数f (x )＝222,>00,0,,<0x x x x x mx x ⎧-+⎪=⎨⎪+⎩是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知2>1,21,a a --⎧⎨-⎩≤所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]. (理)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围. 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数. 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－1 3.第二章 第五节 函数的图象题组一作 图1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝ (13)x 的图象 ( )A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度 解析：∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝3×(13)x 的图象可以把函数y ＝(13)x 的图象向右平移1个单位.答案：D2.函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )解析：利用函数的平移可画出所给函数的图象，函数f (x )＝1＋log 2x 的图象是由f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位得到；而g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x 的图象右移1个单位而得. 答案：C3.作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝(12)|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.解：(1)先化简，再作图.y ＝2222x x x x ⎧--⎪⎨-++⎪⎩如图(1).(2)此函数为偶函数，利用y ＝(12)x (x ≥0)的图象进行变换.如图(2).(3)利用y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换. 如图(3).题组二识 图4.函数y ＝1－11x -的图象是 ( )解析：法一：将函数y ＝1x 的图象变形到y ＝11x -，即向右平移1个单位，再变形到y ＝－11x -，即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11x -＋1，从而得到答案B.法二：利用特殊值法，取x 1＝0，此时y 1＝2；取x 2＝2，此时y 2＝0.因此选B. 答案：B5.函数f (x )＝x |x|·a x(a ＞1)图象的大致形状是 ( )解析：f (x )是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f (x )＝(>0)(<0)x x a x a x ⎧⎪⎨-⎪⎩，∴x ＞0时，图象与y ＝a x 在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y ＝a x 的图象关于x 轴对称，故选B. 答案：B6.(2010·包头模拟)已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号 . 解析：按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围. 答案：④②①③7.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③1()2f x f x +()＜f (122x x +).其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上). 解析：由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得2122f x f x x x -()-()＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得11f x x ()＞22f x x ()，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的. 答案：②③8.函数f (x )＝01log >09c ax b x x x +⎧⎪⎨+⎪⎩(≤)()()的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝ . 解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：133题组三函数图象的应用9.(2010·东北师大附中模拟)函数y ＝f (x )的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为( )A.{|－255＜x ＜0或255＜x ≤1} B.{x |－1＜x ＜－55或55＜x ≤1} C.{x |－1＜x ＜－55或0＜x ＜55} D.{x |－255＜x ＜255且x ≠0}解析：由图象可知，该函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＜12x ，当x ＝1时，f (x )＝0＜12，显然成立，当0＜x ＜1时，f (x )＝21x -， ∴1－x 2＜14x 2，∴255＜x ＜1.当－1≤x ＜0时，－21x -＜12x ，∴1－x 2＞14x 2，∴－255＜x ＜0.综上所述，不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为 {x |－255＜x ＜0或255＜x ≤1}.答案：A10.(文)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A.(－1,0)B.[－1,0)C.(－2,0)D.[－2,0) 解析：作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0). 答案：A(理)(2010·平顶山模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2101>0x x f x x -⎧-⎨-⎩(≤)()()若方程f (x )＝x＋a 有两不同实根，则a 的取值范围为 ( ) A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(0,1) D.(－∞，＋∞) 解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，f (x )＝f (x －1). 故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1). 答案：A11.函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中点A (1,2)、B (3,0)，函数g (x )＝(x －1)f (x )，则函数g (x )的最大值为. 解析：依题意得f (x )[](][](]2,0,1,3,1,32(1),0,1.311,3x x x x x x x g x x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩⎧-∈⎪⎨+-∈⎪⎩()=(-)(),当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x (x －1)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12的最大值是0； 当x ∈(1,3]时，g (x )＝(－x ＋3)(x －1)＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1的最大值是1. 因此，函数g (x )的最大值为1. 答案：112.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围. 解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示， 由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示. 由题意可得：0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12，与a ＞1矛盾. 综上可知：0＜a ＜12.第一章 第六节 指数函数题组一指数幂的化简与求值1.(827)23＋(－1)3372964的值为 ( ) A.0 B.89 C.43 D.29解析：(827) ＋(－1)3372964＝[(23)3]－13(94)3＝49－49＝0. 答案：A 2.计算： (1)(0.027)13-－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14 ·13123324.0.1ab a b ---()() 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271000 －(－1)2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫259 －1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝132244100•·32a ·32a -·32b ·32b -＝425a 0·b 0＝425.题组二指数函数的图象及应用3.已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )232312-13-12A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由已知得2a ＝3b ，在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝3x 的图象，当纵坐标相等 时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出③④不可能成立. 答案：B4.(2010·泉州模拟)定义运算a ⊕b ＝>a a b b a b ⎧⎨⎩(≤)()则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()解析：∴f (x )＝1⊕2x ＝102<0xx x ⎧⎨⎩(≥),(),故选A.答案：A5.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如右图所示， 则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是 ()解析：由f (x )图象，得0<a <1，b <－1， ∴g (x )为减函数且g (0)＝1＋b <0. ∴A 项符合题意. 答案：A题组三指数函数的性质6.若x ∈(2,4)，a ＝22x ，b ＝(2x )2，c ＝22x，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A.a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD.b ＞a ＞c 解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x ,2x 当x ∈(2,4)时的大小即可. 用特殊值法，取x ＝3，容易得知，x 2＞2x ＞2x ， 则a ＞c ＞b . 答案：B 7.若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝(13)|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞). 答案：B8.(2010·永州模拟)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是 ( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，1) C.(－1,1) D.(0,2)解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1＜0＜k ＋1，解得－1＜k ＜1. 答案：C9.函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为 .解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512.答案：2512题组四指数函数的综合应用10.若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A.f (2)<f (3)<g (0) B.g (0)<f (3)<f (2) C.f (2)<g (0)<f (3) D.g (0)<f (2)<f (3)解析：∵f (x )－g (x )＝e x 且f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数， ∴f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ， 解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x2.∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (3)>f (2)>f (0)＝0且g (0)＝－1， ∴g (0)<f (2)<f (3)，故选D. 答案：D11.已知函数f (x )＝22,1,1,<xx x x ⎧⎪⎨-⎪⎩≥()1,若f (x 0)≥4，则x 0的取值范围是 . 解析：x ≥1时：2x ≥4，即2x ≥22，∴x ≥2； x <1时：(x －1)2≥4， 即x －1≥2或x －1≤－2， 即x ≥3或x ≤－1，∴x ≤－1. 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)12.设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域. 解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0， 由a x ＞0得a ＝2，所以f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)(x ∈[54，5]).(3)由已知得，y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2]).由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为[242－1,5].第二章 第七节 对数函数题组一对数的化简与求值1.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2010)＝8，则f (21x )＋f (22x )＋…＋f (x 22010x )＝( )A.4B.8C.16D.2log a 8 解析：∵f (x 1x 2…x 2010)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (2010)＝8，∴f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2010)]＝2×8＝16. 答案：C2.已知log 23＝a ，log 37＝b ，则用a ，b 表示log 1456为 . 解析：∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 27＝ab ， ∴log 1456＝log 256log 214＝3＋log 271＋log 27＝3.1ab ab ++ 答案：31ab ab ++题组二对数函数的图象3.(2009·广东高考)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝ ( ) A.log 2x B.12x C.log 12x D.x 2 解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：C4.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ()解析：由题意得0＜a ＜1,0＜b ＜1，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是D. 答案：D5.已知函数f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤ g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图象的交点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：画出f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤g (x )＝ln x 的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，故选C. 答案：C题组三对数函数的性质6.(2009·天津高考)设a ＝13log 2，b ＝121log 3，c ＝(12)0.3，则 ( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c 解析：∵13log 2＜13log 1＝0，∴a ＜0；∵121log 3＞121log 2＝1，∴b ＞1； ∵(12)0.3＜1，∴0＜c ＜1，故选B. 答案：B7.(2010·诸城模拟)若定义运算f (a *b )＝ 则函数f [log 2(1＋x )*log 2(1－x )]的值域是 ( ) A.(－1,1) B.[0,1) C.(－∞，0] D.[0，＋∞),,,a a bb a ⎧⎨⎩<≥b解析：f (log 2(1＋x )*log 2(1－x )) ＝22log 1log 0x x x x ⎧⎨⎩<<<(1+),(0≤),(1-),(-1).借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1). 答案：B8.(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C. 2D. 4 解析：故y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)单调性相同且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得. 最值之和：f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12.答案：B(理)函数f (x )＝a x ＋log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，则a 等于 ( )A.2B.12C.2或12D.23解析：a x 与log a x 具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f (1)＋f (2)＝－14，f (1)·f (2)＝－38，解得a ＝12.答案：B9.已知f (x )＝log a (ax 2－x )(a ＞0，且a ≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围. 解：设t ＝ax 2－x ＝a (x －12a )2－14a， 若f (x )＝log a t 在[2,4]上是增函数，0<<1,>1,114,4,22164>042>0,0<<1,>1,11,,>1.8411>,>,24a a a a a a a a a a a a a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩需≥或≤即≤或≥ 所以实数a 的取值范围为(1，＋∞).题组四对数函数的综合应用10.(2009·辽宁高考)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1).则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log 23＜2. ∴3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝242log 12()＝242log 2-＝1242log 2＝124.答案：A11.若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间是 .解析：定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－12)，当x ∈(0，12)时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为a ＞ 0，a ≠1，设u ＝2x 2＋x ＞0，y ＝log a u 在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)的单调递增区间是u ＝2x 2＋x (x ∈(－∞，－12)∪(0，＋∞))的递减区间，即(－∞，－12).答案：(－∞，－12)12.(文)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝221(log -)2x 2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知22222log log 2>2,log 2<2.x x x x ⎧-+⎪⎨+⎪⎩()(-) 222log <0log >1,0<2<4.0<<1>2,1<<2.0<<1.x x x x x x x x ⎧⎪∴⎨-+⎪⎩⎧∴⎨-∴⎩或或 (理)已知f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R). (1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值； (2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x ，x ∈[1,2]，令h (x )＝(2x ＋2)2x ＝4(x ＋1x ＋2)，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝4(1－1x 2)＝4(x －1)(x ＋1)x 2>0，∴h (x )在[1,2]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18. 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a18＝2求得a＝32>1(舍去)；当a>1时，有F(x)min＝log a16，令log a16＝2求得a＝4>1.∴a＝4.(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a<1，x∈[1,2]时，log a x≥2log a(2x＋t－2)恒成立，由log a x≥2log a(2x＋t－2)可得log a x≥log a(2x＋t－2)，∴x≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋x＋2.设u(x)＝－2x＋x＋2＝－2(x)2＋x＋2＝－2(x－14)2＋178，∵x∈[1,2]，∴x∈[1，2].∴u(x)max＝u(1)＝1.∴实数t的取值范围为t≥1.第二章 第八节 幂函数与二次函数题组一幂函数问题1.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x112f (x ) 122则不等式f (|x |)≤2的解集是 ( ) A.{x |－4≤x ≤4} B.{x |0≤x ≤4} C.{x |－2≤x ≤2} D.{x |0＜x ≤2} 解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝12x .∴12x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：A2.函数y ＝1nx ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )解析：由n >2知－1n <0，∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数. 答案：A3.比较下列各组值的大小：(1)138--和－1319()；(2) 254.1、253.8-（ 1.9-）35-(3)0.20.5和0.40.3.解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.(1)由于幂函数13y x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以1133<89--，因此 1133<89----，即11339<18;----()(2)由于2235554.11,0 3.81, 1.9><<0<,-(-)-13y x -=因此223555><<4.11,0 3.81, 1.9-(-)-(3)由于指数函数y ＝0.2x 在R 上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3，又由于幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数， 所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.题组二二次函数的解析式4.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是 ( ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C. f (0)＜f (2)＜f (－2) D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－b x ＋c ， ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ， ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12，∴f (0)＜f (2)＜f (－2). 答案：C5.(2010·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a ∈(0，＋∞)，∴a 2＋1＞1，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.故选B.答案：B6.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ，∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩ 由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0.∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35， ∴f (x )＝－15x 2－65x －35.题组三 二次函数的性质7.函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是 ( )A. f (1)≥25B.f (1)＝25C. f (1)≤25D.f (1)＞25解析：由题知8m ≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A ① ②。
2011年高考数学一轮复习资料二
2008年高考数学一轮复习资料二11、题目 高中数学复习专题讲座综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 高考要求函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能 因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 学法指导 怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识(一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数 近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及5个方面 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中(三)把握数形结合的特征和方法函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决 纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识 典型题例示范讲解例1设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图像函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x x x x f f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ), 即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n21) =［f (n 21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =an21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例2甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图 本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力知识依托 运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法错解分析 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件 技巧与方法 四步法 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价解法一 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS,全程运输成本为y =a ·v S +bv 2·v S =S (va+bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (va+bv ),v ∈(0,c ] (2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (va+bv )≥2S ab ① 当且仅当va=bv ,即v =b a 时，①式中等号成立若b a ≤c 则当v =b a 时，有y min ＝2S ab ； 若b a >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v a +bv )－S (ca+bc ) =S ［(v a －c a )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv ) ∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0∴S (v a +bv )≥S (ca+bc ),当且仅当v =c 时等号成立， 也即当v =c 时，有y min ＝S (ca+bc )；综上可知，为使全程运输成本y 最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b ab , 当bab>c时行驶速度应为v =c解法二 (1)同解法一(2)∵函数y =S (va+bv ), v ∈(0,+∞), 当x ∈(0,ba)时，y 单调减小， 当x ∈(ba,+∞)时y 单调增加， 当x =b a时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a),v ∈(0,c ]∴当b a ≤c 时，则当v =b a 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小 结论同上例3 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4(1)求证 f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值 (1）证明 令x =y =0,得f (0)=0令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x ) ∴f (x )是奇函数(2）解 1°,任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0, f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1－x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1) 因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0 ∴f (x )在［－9，9］上是减函数故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9)而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12学生巩固练习1函数y=x+a与y=log a x的图像可能是( )2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是( )A①与④B②与③C①与③D②与④3若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____4设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值5设f(x)=xxx+-++1111(1)证明f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式f［x(x－21)］216定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f(xyyx++1);②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0求证21()131()111()51(2fnnfff>+++++7某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价8已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－m cosθ－2m,θ∈［0,2π］,设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M ∩N参考答案:1解析分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时答案 C2解析用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1∴f (a )－f (－b )>g (1)－g (－2)=1－2=－1 又f (b )－f (－a )=f (1)－f (－2)=1+2=3g (a )－g (－b )=g (2)－g (1)=2－1=1,∴f (b )－f (－a )=g (a )－g (－b ) 即①与③成立 答案 C3 解析 设2x =t >0，则原方程可变为t 2+at +a +1=0 ①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a解得 a ∈(－1,2－22]答案 (－1，2－22]4 解 (1)当a =0时，函数f (－x )=(－x )2+|－x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (－a )=a 2+2|a |+1,f (－a )≠f (a ),f (－a )≠－f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数(2)①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2－x +a +1=(x －21)2+a +43,若a ≤21,则函数f (x )在(－∞,a ]上单调递减，从而，函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a >21,则函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ,且f (21)≤f (a ) ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x －a +1=(x +21)2－a +43;当a ≤－21时，则函数f (x )在［a ,+∞)上的最小值为f (－21)=43－a ,且f (－21)≤f (a )若a >－21, 则函数f (x )在［a ,+∞)上单调递增，从而，函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1综上，当a ≤－21时，函数f (x )的最小值是43－a , 当－21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1; 当a >21时，函数f (x )的最小值是a 435 (1)证明 由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x x x得f (x )的定义域为(－1，1)，易判断f (x )在(－1，1)内是减函数(2)证明 ∵f (0)=21,∴f -－1(21)=0,即x =21是方程f -－1(x )=0的一个解若方程f -－1(x )=0还有另一个解x 0≠21,则f -－1(x 0)=0, 由反函数的定义知f (0)=x 0≠21,与已知矛盾，故方程f -－1(x )=0有惟一解 (3)解 f ［x (x －21)］＜21,即f ［x (x －21)］＜f (0).415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6 证明 对f (x )+f (y )=f (xyyx ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =－x ,又得f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ), ∴f (x )在x ∈(－1,1)上是奇函数设－1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --),∵－1＜x 1＜x 2＜0,∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2>0 ∴21211x x x x --＜0,于是由②知f (21211x x x x --) >0,从而f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),故f (x )在x ∈(－1,0)上是单调递减函数 根据奇函数的图像关于原点对称，知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数，且f (x )＜02111(1)(2)()[][]131(1)(2)11(1)(2)n n f f f n n n n n n ++==++++--++111112()()()1112112n n f f f n n n n -++==-++-⋅++2111()()()51131f f f n n ∴+++++11111111[()()][()()][()()]()(),23341222f f f f f f f f n n n =-+-++-=-+++ 1101,()0,22f n n <<<++ 时有111()()(),.222f f f n ∴->+故原结论成立7 解 (1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为x200米，总造价y =400(2x +2×x 200)+248×x 200×2+80×200=800(x +x324)+1600,由题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x 解得12 5≤x ≤16,即函数定义域为［12 5，16］(2)先研究函数y =f (x )=800(x +x324)+16000在［12 5,16］上的单调性， 对于任意的x 1,x 2∈［12 5,16］,不妨设x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)=800［(x 2－x 1)+324(1211x x -)］=800(x 2－x 1)(1－21324x x ), ∵12 5≤x 1≤x 2≤16∴0＜x 1x 2＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜0 又x 2－x 1>0,∴f (x 2)－f (x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1), 故函数y =f (x )在［12 5,16］上是减函数∴当x =16时，y 取得最小值，此时，y min =800(16+16324)+16000=45000(元)，16200200=x =12 5(米）综上，当污水处理池的长为16米，宽为12 5米时，总造价最低，最低为45000元 8 解 ∵f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞,0)上也是增函数又f (1)=0,∴f (－1)=－f (1)=0,从而，当f (x )＜0时，有x ＜－1或0＜x ＜1, 则集合N ={m |f ［g (θ)］＜θ＝}={m |g (θ)＜－1或0＜g (θ)＜1}, ∴M ∩N ={m |g (θ)＜－1}由g (θ)＜－1,得cos 2θ>m (cos θ－2)+2,θ∈［0,2π］, 令x =cos θ,x ∈［0,1］得 x 2>m (x －2)+2,x ∈［0,1］， 令① y 1=x 2,x ∈［0,1］及②y 2=m (m －2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系， 在同一坐标系内由x ∈［0,1］得y 1>y 2∴m >4－22,故M ∩N ={m |m >4－22}课前后备注12、题目 高中数学复习专题讲座等差数列、等比数列性质的灵活运用 高考要求等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y+, 即y =f－-1(x )=－214y +(x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立 例2设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二 接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg31为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一 将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得 11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a m d m 解得 解法二 由]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=知， 要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(dm -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三 由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210解法五 根据等差数列性质知 S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列， 从而有 2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m ) ∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法六 ∵S n =na 1+2)1(-n n d , ∴n S n =a 1+2)1(-n n d ∴点(n , nS n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m , mSm 22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210解法七 令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210 学生巩固练习1 等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( ) 32 B. 32A.- C 2D －22 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________3 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________4 已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0 (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由6 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim7 设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 108 {a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证 当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证 数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列参考答案:1 解析 利用等比数列和的性质依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1, ∴3213232315510-=-=-S S S , 根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列， 且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =21∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B2 解析 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)3 解析 利用S 奇/S 偶=nn 1+得解 答案 第11项a 11=29 4 解法一 赋值法解法二 b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ), y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2答案 25 (1)解 依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3 (2)解法一 由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为 a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5 5＜k ＜7因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大 解法二 由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0, 则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q 所以有2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0, ∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0, 故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大解法三 依题意得 )(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+= 222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----= 最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d24)＜6 5从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大点评 该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易 第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解 它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点 而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解6 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a d a a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1①又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +② 由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C nn b n=C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1) =32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C nn ) =32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 7 解 ∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32,得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 341 由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =855由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8 证明 (1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2, 故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0, ∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1(2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+ 1,12k k a x d∴=-+ 111111()()1122222k k k k k k a a a a d x x d d d d +++---=---===-++常数11{}.12k x ∴-+是以为公差的等差数列 课前后备注13、题目 高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法 高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3 求通项常用方法①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法 ①重要公式1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项1111,!(1)!!,ctg ctg2,(1)1sin 2n n n n ααn n n n α=-⋅=+-=-++11111C C C ,(1)!!(1)!n r r n n n n n n -+=-=-++等④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+ 命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口错解分析本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣解 (1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)； 又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q≠1，得q =－2，x →∞∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1(2)令nnb c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *), ∴d n =a n +1－a n =2, ∴n n b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］ ∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n nn n n S SS S例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托 利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析 待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n=3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3， ∴32n +1∈{b n } 而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ， 89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T 例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a(n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n )解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3， 将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2 下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *） ①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)， 整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ， 所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二 由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2, 由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0， 由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2解法三 由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *) ①， 所以有11222++=+n n S a ②， 由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0， 解得n n S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ， 因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列所以n S = 2+(n －1) 2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *)(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a a a a1212111[(1)(1)],221212121n n n n n n +-=-+-=--+-+ 1212n n b b b n c c c +++-=+++111111(1)()()1,335212121n n n =-+-++-=--++121()(1) 1.lim lim 21n n n b b b n n →∞→∞∴+++-=-=+ 学生巩固练习设z n =(21i -)n，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________2 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________3 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n 对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1(1)求证 {a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足 b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *) 试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145 (1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…)(1)求证 数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1参考答案,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析 22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S 221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 答案 1+22 2 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2， 面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2答案 周长之和233πa ，面积之和9πa 23 解 (1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6 猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）4 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m总成立，需32m＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为75 解 (1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1 ①， S n =(m +1)－ma n ②, 由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立 ∵m 为常数，且m ＜－1∴11+=+m ma a n n ，即{1+n n a a }为等比数列 (2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 11 由(1)知q =f (m )=1+m m，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n n b b ，即1111=--n n b b ， ∴{n b 1}为等差数列 ∴nb 1=3+(n －1)=n +2， 21+=∴n b n (n ∈N *) 11(),(lg )[lg ]lg ,lim lim 1211n n n n n n m n m m a b a m n m m -→∞→∞-=∴⋅==++++122311111113()3()1lim lim 344512n n n n b b b b b b n n -→∞→∞+++=-+-++-=++ 而lg 1,10,119m m m m m =∴=∴=++由题意知6 解 (1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3,∴b n =3n －2(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n)］，31log a b n +1=log因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅ 取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅…由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n ①若①式成立，则由对数函数性质可判定当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1， ② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③下面用数学归纳法证明①式(ⅰ)当n =1时，已验证①式成立 (ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即313)2311()411)(11(+>-+++k k那么当n =k +1时，1111(11)(1)(1)(1))2).4323(1)231k k k k ++++>+=+-+-+ 22232(32)(34)(31)2)](31)k k k k k+-+++-=+2940,(32)(31)31k k k k +=>∴+>=++111(11)(1)(1)(1)43231k k ++++>-+ 因而这就是说①式当n =k +1时也成立由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立由此证得 当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1 7 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+ 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列； (2)由f (t )=t t 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列于是b n =1+32(n －1)=312+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列， 于是b 2n =314+n , ∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n ) 课前后备注14、题目 高中数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度 重难点归纳1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 典型题例示范讲解例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上41(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？。
2011高考数学-导数题+答案
导数应用的解答题一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 【例题】（2008北京理18/22）已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(11)b -，上单调递增，2b =时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧【例题】（2008福建文21/22）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，……… ①由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++； 而()g x 图象关于y 轴对称，所以－26023m +=⨯，所以3m =-， 代入①得 0n =.于是2()363(2)f x x x x x '=-=-.由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞； 由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极大值(0)2f =-，无极小值；当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值.综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值.点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题】（2009四川文20/22）已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若．()g x 的极值存在．．．．．，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+令21()34103g x x x m '=-++= 当函数有极值时，．．．．．．．．方程．．2134103x x m -++=有实数解．．．．.则4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故()g x 无极值②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x ==(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=+x 时，()g x 有极小值； 点评：（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大. ★【例题】（2008全国Ⅱ文21/22） 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．解：求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，点评：本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.（三）导数的几何意义（2008海南宁夏文21/22）设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=.（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =； 又()'2b f x a x =+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩， 故()3f x x x =-（Ⅱ）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'231y x=+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值6.二、导数应用的变式与转化 （一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理二次函数（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫. 【例题】（2009广东文21/21）已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； （2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点. 解：（1）设()2g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，解得1a =又()g x 在1x =-取极小值，∴12b-=-，解得2b = ()1121g a b c cm ∴-=-+=-+=-，解得c m =；所以()()2g x mf x x x x==++， 设(),o oP x y ，则()22222000002m PQx y x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭22020222m x x =++≥24∴=,解得m =； （2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=，得()2120k x x m -++=()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x k x =-有一零点2mx =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->， 若0m >，11k m >-，()y f x kx =-有两个零点x 若0m <，11k m <-，()y f x kx =-有两个零点x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=，即11k m =-,()y f x kx =-有一零点11x k =-点评：（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题. 【例题】(07广东文21/21)已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有．．零点．．，求a 的取值范围. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点.若0a ≠，令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得 a=①当 32a -±=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或 ()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a --<，综上，所求实数a 的取值范围是1a >或32a -≤. 点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 【例题】（2009浙江文21/22）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．三次函数（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题】（2009陕西文20/22）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．， 求m 的取值范围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点， 所以m 的取值范围是(3,1)-.点评： （1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.【例题】（2007全国II 理22/22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<< 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况： ()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值由()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究（2007湖北理20/21）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：．．．f(x )．．．．≥． g(x)．．．．，其中x > 0． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥． 点评：（1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法； （2） 第二问是恒成立问题的应用. 补注：此处缺存在性问题（三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系（1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究； （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性. 【例题】（2009天津文21/22）设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围.解：（2）12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数.函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=313223-+-m m（3）解：由题设， ))((31)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-=所以方程13122-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=∆m ，解得21)(21>-<m m ，舍因为123,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以若0)1)(1(31)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0))((31)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是031)1(2<-=m f ,解得3333<<-m 综上，m 的取值范围是)33,21(。
2011届高考数学一轮复习精品题集之导数
导数第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．当堂练习：1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ∆满足（ ） A x ∆>0 B x ∆<0 C x ∆0≠ D x ∆=02、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x改变到x x ∆+0时，函数值的改变量是（ ）A)(0x x f ∆+ Bxx f ∆+)(0 Cxx f ∆)(0 D)()(00x f x x f -∆+3、已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则x y∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x ∆+2 D 2+2)(x ∆4、质点运动规律32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度是（ ）A t ∆+6 Bt t ∆+∆+96 C t ∆+3 D t ∆+95．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy ）,则x y∆∆等于 A ．4Δx+2Δx2 B ．4+2Δx C ．4Δx+Δx2 D ．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y －1=0，则 A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．设函数f(x)在x0处可导，则0lim→h hh x f h x )()(00--+等于A ．f ′(x0)B ．0C ．2f ′(x0)D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0lim→∆x xx b x f x a x f ∆∆--∆+)()(=_____．14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ∆∆．(2)当t=2，Δt=0.001时，求t s∆∆．(3)求质点M 在t=2时的瞬时速度． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率．(2)点A 处的切线方程． 17．已知函数f(x)=2 1 0 0x x x ax b x ⎧++≤⎨+>⎩，试a 、b 的值，使f(x)在x=0处可导．18．设f(x)=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--,求f ′(1)．第3章 导数及其运用重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．考纲要求：①能根据导数定义，求函数21,,,y c y x y x y x ====的导数．能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：()()()10(,;sin cos ;cos sin ;nn c c xnxn N x x x x -*''''==∈==为常数）；()()()();ln ;log ;11ln ;log xxxxa a ea x e aa x e xx''''====法则1[]()()()()u x v x u x v x '''±=± 法则2[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+法则3 2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''-=≠⎡⎤⎢⎥⎣⎦经典例题：求曲线y=21x x+在原点处切线的倾斜角. 当堂练习：1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6B.4a3+10a2x －6x5C.10a2x －6x5D.以上都不对2.函数y=3x （x2+2）的导数是( )A.3x2+6B.6x2C.9x2+6D.6x2+63.函数y=（2+x3）2的导数是( )A.6x5+12x2B.4+2x3C.2（2+x3）3D.2（2+x3）· 3x 4.函数y=x －（2x －1）2的导数是( )A.3－4x B.3+4xC.5+8xD.5－8x5.设函数f （x ）=ax3+3x2+2,若f'（－1）=4，则a 的值为( )A.319B.316C.313D.3106.函数y=212xx-的导数是( )A.221)1(2xx -+B.22131xx-+ C.222)1(4)1(2x xx --- D.222)1()1(2x x -+7.函数y=8354-+x x 的导数是( )A.3453+xB.0C.243)83()34(5-++x x x D.243)83()34(5-++-x x x8.函数y=x xcos 1-的导数是( )A.xxx x cos 1sin cos 1--- B.2)cos 1(sin cos 1x x x x --- C.2)cos 1(sin cos 1x x x -+- D.2)cos 1(sin cos 1x xx x -+-9.函数f （x ）=1213++x x 的导数是 ( )A.23)12(1++x x B.232)12(23+++x x x C.232)12(23++--x x x D.232)12(3++-x x x106.曲线y=－41x3+2x2－6在x=2处的导数为( )A.3B.4C.5D.611.曲线y=x2（x2－1）2+1在点（－1，1）处的切线方程为_________.12.函数y=xsinx －cosx 的导数为_________.13.若f （x ）=xcosx+x xsin ,则f'（x ）=_________.14.若f （x ）=cotx,则f'（x ）=_________.15.求曲线y=2x3－3x2+6x －1在x=1及x=－1处两切线的夹角. 16.已知函数f （x ）=x2（x －1）,若f'（x0）=f （x0）,求x0的值.17.已知函数y=x x21322+-,求在x=1时的导数.18.求函数y=x x++-1212的导数.第3章 导数及其运用 §3.3导数在研究函数中的应用重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次． 经典例题：已知函数axx 2)x (f 3+=与cbx)x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线. (1) 求实数c ,b ,a 的值;(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性. 当堂练习： 1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为 ( )A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. (,0)-∞D. (0,2) 2. 函数9x 3axx )x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 在函数x 8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π的点中, 坐标为整数的点的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 函数1axy 2+=的图象与直线x y =相切, 则=a ( )A. 18 B. 41C. 21D. 15. 已知函数mx21x 3)x (f 23+-=(m 为常数) 图象上点A 处的切线与直线03y x =+-的夹角为45, 则点A 的横坐标为 A. 0 B. 1 C. 0或61D. 1或616. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为 ( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 47. 已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是( )A. 10m /s B. C. 4 D. 3m /s8. 函数)(x f ＝5224+-x x 在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是 ( )A. 5, 4B. 13, 4 C. 68, 4 D. 68, 59. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为433, 则a 等于 ( )A. －23B. 21C. －21D. －21或－2310. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( )A. 3B. 2C. 1D. 3211. 曲线3xy =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 .12. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .13. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x相切的直线方程为 .14. 曲线y ＝122-+x ax 在点M ),(4321-处的切线的斜率为－1, 则a ＝ .15. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间;(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值. 16. 已知函数d ax bxx )x (f 23+++=的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线方程为07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间. 17. 已知函数,bx axy 23+=当1x =时, y 的极值为3.求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.18. 设函数,5x 2x21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立, 求实数m 的取值范围.第3章 导数及其运用重难点：会利用导数解决某些实际问题．当堂练习：1.函数y=x3+x 的单调增区间为( )A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.不存在 2.若函数f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图象是（ ）3.右上图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ）A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时f(x)取到极小值 4.下列说法正确的是（ ）A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<6,则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a=2 C.a ≤3 D.0<a<36.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R 上是增函数,则( )A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<0 7.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a 的值为( )A.2B.-2C.72D.48.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x 是( )A.增函数B.减函数 C.先增后减 D.先减后增9.函数y=f(x)=lnx-x 在区间(0,e ］上的最大值为( )A.1-e B.-1 C.-e D.0 10.函数y=x5-x3-2x ，则下列判断正确的是( )A.在区间（-1，1）内函数为增函数B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数C.在区间(-∞,1)内函数为减函数D.在区间(1,+∞)内函数为增函数11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 .12.函数y=4x2+x 1的单调增区间为 .13.函数y=3x2-2lnx 的单调减区间为 .14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .15.已知函数y=ax 与y=-x b在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2. (1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么? 17.已知a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数f ′(x);(2)若f ′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?1、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则 （ ）A ．21B ．－1C ．0D ．－22、f/（x ）是f （x ）的导函数，f/（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（ ） A.xy 2sin = B.xxey = C.xx y -=3D.x x y -+=)1ln(4、已知3)2(3123++++=x b bxx y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ）A. 21>-<b b ，或B. 21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b5、已知函数1)(23--+-=x axx x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C. ),3()3,(+∞--∞D. )3,3(- 6、下列说法正确的是 （ ） A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.7、函数223)(abx axx x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在8、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确的是A.函数)(x f 有最小值)(0x fB. 函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x fC.函数)(x f 的最大值也可能是)(0x fD. 函数)(x f 不一定有最小值9、函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）A. 5，15B. 5，4-C. 5，15-D. 5，16-10、函数x x x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于（ ）A ．274B ．278C ．2716D ．273211、设函数5()ln(23)f x x =-，则f ′1()3＝____________________12、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为13、函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是 14、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是 15、已知直线1l 为曲线22-+=x xy 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 2l 和x 轴所围成的三角形的面积16、设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中（Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数17、设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)(Ⅰ)求导数f ' (x); (Ⅱ)若不等式f(x1)+ f(x2)≤0成立，求a 的取值范围18、已知cx bxaxx f +-+=2)(23在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值. 19、设函数Rx x x x f ∈+-=,56)(3（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.（Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.1．已知命题甲：)(0='x f ，命题乙：点x 是可导函数)(x f 的极值点，则甲是乙的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件 2、已知椭圆的焦点为()11,0F -和()21,0F ，点P 在椭圆上的一点，且12F F 是12PF PF 和的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A 、221169xy+= B 、2211612xy+= C 、22143xy+= D 、22134xy+=3、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( )A ．5、3 B ．10、2 C ．5、1 D ．6、44、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A、2 B 、34 C、2 D 、125．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－aa 1+, 0）,（a a 1+, 0）D ．(－a a 1-, 0), (aa 1-, 0)6、若双曲线22221xy ab-=与()222210xy a b ab-=->>的离心率分别为12,e e ，则当,a b 变化时，2212e e +的最小值是A． B ．4 C． D ．37.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标可能是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)8. 函数xaxx f 1)(2-=在区间),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a9、方程x3－6x2+9x －10=0的实根个数是 （ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 10．已知函数f(x)的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )11．命题2,3xRx ∀∈-的否命题是.12．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 条件。
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 第2节 导数的运算
0=0,
|″(1)|
|0|
3=
3=0.
[1+('(1))2 ]2
[1+(-1)2 ]2
所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的曲率为 K=
考向2 导函数性质的应用
例3(2024·山东德州模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且
对于选项
1
1
B,f'(x)=+3,f″(x)=-2 ,当
π
x∈(0,2)时,f″(x)<0
恒成立,
该函数是凸函数;
π
2
对于选项 C,f'(x)=-3x +4,f″(x)=-6x,当 x∈(0,2)时,f″(x)<0 恒成立,
该函数是凸函数;
对于选项 D,f'(x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex,
y'u·u'x
数间的关系为y'x=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导
数的乘积.
常用结论
1
1
1
'()
1.常用函数的导数:( )'=- 2 ,[ ]'=2.
()
[()]
() '()-()
x
x
2.[e f(x)]'=e [f(x)+f'(x)],[ ]'=
3
R,记 g(x)=f'(x).若 f(x+3)为奇函数,g(2+2x)为偶函数,且 g(0)=-3,g(1)=2,则
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第18讲导数的综合应用
(x0,y0)处的切线相同.
又f ′(x)=x+2a,g′(x)=
，3a2
x
由题意知 f(x0)=g(x0)
f ′(x0)=g′(x0),
即
1 2
x02+2ax0=3a2lnx0+b
3a2
由 即x有0x+b02=+a212=aa3=2xa+02x2得0a,2x-30=aa2l,n或a=x052=a-23-a3(a舍2ln去a.)，
18
分析 第（1）问由函数f(x)与g(x)在公
共点(x0,y0)处的切线相同，建立关于b的函 数关系式，然后求出b的最大值；第（2） 问求证f(x)≥g(x)(x>0)，先构造函数 F(x)=f(x)-g(x)(x>0)，再证明在x>0时， F(x)≥0成立即可.
19
(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点
24
题型三 导数在实际问题中的应用
例3 受金融危机的影响，三峡某旅游公司经
济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一
景点进行改造升级，提高旅游增加值.经过市
场调查,旅游增加值y万元与投入x万元之间满
足:y= 51 x-ax2-ln x ,
50
10
2x
x 12
∈[t,+∞)，其中t为大
于 1 的常数.当x=10时,y=9.2.
20
令h(t)= 5 t2-3t2lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt).
2
1
由h′(t)=0,得t=e 或3 t=0(舍去）,列表如下：
1
1
1
t
(0,e 3 )
e 3 (e3 ,+∞)
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14.2导数的运算【知识网络】1．能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x 2,y=1x 的导数．侧理考生还要求能根据导数的定义，求函数y=x 3, y=x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．侧理考生还要求能求复合函数（仅限于形如f(a x ＋b))的导数． 3．会使用导数公式表． 【典型例题】[例1]（1）函数y=(x －a)(x －b)在x=a 处的导数为( )A ．ab Ｂ．－a(a －b) Ｃ． 0 Ｄ．a －b （2）函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A ．18 B ．41C ．21D ．1 （3）下列函数中，在x =0处的导数不等于零的是 （ ）A ．)1(x x y -=B ．x e x y -+=C ．y=l n （1－x 2）D ．x e x y ⋅=2（4）[（3x 2＋1）(4x 2－3)]′=（ ）(4x 2－3)＋（3x 2＋1）（ ）．（5）设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<。
若()()/fx f x +是奇函数，则ϕ=_________。
[例2] 设3=x 是函数()()()234,x f x x ax b e a x R -=++<-∈的一个极值点.求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间．[例3] 函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.[例4] 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【课内练习】1． 设y =－tanx ，则y ′= （ ） A ．21cos x-B ．2sin cos xxC ．211x + D ．－211x + 2．设函数()1x af x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞) 3．函数32)1()2()(-+=x x x f 的极大值点是（ ）A ．x =2B ．x =1C ．x =－1D ．x =－2 4．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x5．曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是 ．6．曲线y =x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x =2所围成的三角形的面积为_________．7．函数的导数是 ． 8．已知函数()f x =kx(x ＞0 0k >), ()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值．9．已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． （1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；（2）要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．14.2导数的运算A 组1． 已知f(x)=1011nn n n a x a xa x a --++++ 其中n 是正整数，则f ′（0）等于（ ）A ．a 0n ！B ．a 0C ．a n-1D ．0 2． 若f ′(x)=x ，则[xf(x)]′等于 （ ）A ．xf(x )＋xB ．f(x )＋x 2C ．x 2D ．f(x)3． 下列函数中，导数不等于12sin2x 的是 （ ） A ．2－14cos2x B ．2＋12sin 2x C ．12sin 2xD ．x －12cos 2x4．曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为 ． 5．已知f(x)=ln x －12x 2，则使导函数f ′（x ）＞0的x 的取值范围是 ． 6．已知0≠x ，求证：x e x+>1.7．宽为a 的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a 的细杆能水平地通过拐角，向另一走廊的宽度至少是多少？8．设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.B 组1．函数y=2x 2＋3x 在x=1时的导数为 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．函数y=(2x 2－1)2的导数是 （ ）A ．16x 3－4x 2B ．4x 3－8xC ．16x 3－8xD ．16x 3－4x3．曲线y=4x －x 2上有两点A （4，0），B （2，4），若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是 （ ） A ．（3，3） B ．（1，3） C ．（6，－12） D ．（2，4）4．函数y=(1＋x)(1＋x 2)2的导数是 ． 5．曲线y=x 2＋2x 与曲线y=－x 2－12的共切线方程是 ． 6．已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求a 、b 、c 的值.7．已知c bx ax x x f +++=23)(有极大值)(αf 和极小值)(βf .（1）求)(αf +)(βf 的值；（2）设曲线)(x f y =的极值点为A 、B ，求证：线段AB 的中点在)(x f y =上．8．已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式； （Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.14.2导数的运算【典型例题】[例1] （1）D ．提示：展开后再求导，并将x=a 代入． （2）B ．提示：依据切线的斜率求a ． （3）A ．提示：用导数公式．（4）6x ；8 x ．提示：利用求导法则． （5）6π．提示：运用复合函数的求导公式．例2. f ′(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x ,由f ′(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，则 f ′(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3－x＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－x .令f ′(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1， 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f ′(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f ′(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f ′(x)<0，f (x)为减函数． 例3、解：（Ⅰ）).()(000x f x x f m '-=（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.例4（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即 .3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数， 在),21(+∞+内是增函数.【课内练习】1．A ．提示：运用函数商的求导公式．2．C ．提示：应用求导公式．3．D ．提示：可以考虑展开后求导，也可以考虑用复合函数求导公式． 4．D ．提示：应用求导公式．5．41y x =-． 提示：求导后求切线的斜率，用点斜式写直线方程．． 6．83 ．提示：求出切线方程，及直线交点． 7． y ′=．提示：应用求导公式．8．()()()11g x f x kx f x kx=+=+，22211()x g x k kx kx -'=-+=令()0g x '=，得11x x ==-或；当(0,1)x ∈时，()<0g x '，∴()g x 是单调递减函数； 当[1,)x ∈+∞时，()>0g x '，∴()g x 是单调递增函数；所以当1x =时，函数()g x 在()0,+∞内取得极小值，极小值为1(1)g k k=+9． （1）无极值；（2）311(,)(,)6226ππππ ；（3）(,0]-∞ 10．（I ）x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解.又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解；②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解； 则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II ）证法一 设点P 、Q 的坐标分别是（x 1, y 1），（x 2, y 2），0<x 1<x 2. 则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2. 即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ①令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则tt t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+因为01>x ，所以).1(2ln )1(121212-=+x xx x x x令12x x t =，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ②令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=tt t r t t t t t r 则因为22111)1(ln tt t t tt -=-='+，所以1>t 时，.0)1(ln >'+t t 故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011ln >-+tt ，即.0)(>'t r于是)(t r 在[1，+)∞上单调递增.故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.14.2导数的运算A 组1． C ．提示：运用函数和的求导公式． 2．B ．提示：运用函数积的求导法则．3．D ．提示：运用简单复合函数的求导法则．4．x+y-2=0．提示：求导后求切线的斜率，用点斜式写直线方程． 5．（0，1）．提示：直接求导．6．设),0()(,0)(,0,1)(,0)0(,1)(+∞>'>-='=--=在故时当则x f x f x e x f f x e x f x x 上是增函数，x e f x f x +>>∴1),0()(即 当0<x 时，同理可证x ex+>1，综上所述当0≠x 时x e x +>17．设细杆与另一走廊一边的夹角为)20(πθθ<<，又设另一走廊的宽为y ，由θθco s 8,co s a a BC a AB -==知)20(cos sin sin 8sin )(πθθθθθθ<<-==a a BC y ， 依题意必存在一个适当的θ值使y 最小，由θθθθθθθ2222cos cos 8cos cos sin cos 8)(aa a a a y -=+-='. 令81cos 03=='θ得y ， ,3,21cos πθθ==∴因为)(θy 只有一个极值，所以它是最小值，这时y=a 33，即另一走廊的宽度至少是a 33 ．8．（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=..,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='而.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以 将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=（II ）解法一))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.由0<'y ，若t x t t <<->3,0则；若.3,0t x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或 所以.39.333≥-≤≥-≥t t t t 或即或 又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减.所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞解法二：))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=因为函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是（－1，3）上的抛物线，所以⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|31x x y y 即⎩⎨⎧≤-+≤--+-.0)3)(9(.0)1)(3(t t t t 解得.39≥-≤t t 或 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞．B 组1．C ．提示：求导后将x=1代入．2．C ．提示：展开后求导．3．A ．提示：先求AB 的斜率，再求切点的横坐标．4．1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋5x 4．提示：展开后求导．5．y=x －14．提示：写出两曲线的切线方程（含各自的切点坐标），两条切线表示同一条直线时，比较系数即可．6．由曲线)(x f y =过（1，0）得01=+++c b a ① 又ax x x f 23)(2+='+b 则0412)2(=+-=-'b a f ②323)1(-=++='b a f ③ ……9分. 解①②③得6,8,1=-==c b a ．7．（1）b ax x x f ++='23)(2，由于)(x f 有极大值和极小值，α∴、0232=++b ax x 为β的两根， 则=+++++++=+∴=-=+)()()()(,3,322323c b a c b a f f b a βββαααβααββα +-+++-+=++++++]2)[()](3)[(2)()()(232233αββαβααββαβαβαβαa c b a c ab a c a b b a a a b a c b 2322742)32()]3(2)32[()]32(33)32[(2)(323+-=+-+⋅--+-⋅⋅--=++βα （2）设=++⋅++⋅++=+c b a f f B f A 2)2()2()2(),(,()),(,(33βαβαβαβαββαα由)]()([2131272)3()3()3(323βαf f c ab a c a b a a a +=+-=+-⋅+-⋅+-知AB 的中点在 )(x f y =上8．（1）由函数f (x )的图象在点M （－1f (－1)）处的 切线方程为x +2y+5=0，知.)()6(2)()(.21)1(,2)1(,05)1(21222b x ax x b x a x f f f f +--+='-=-'-=-=+-+- 即 .),323(;)323,323(;)323,(362)(.0)(,323323;0)(,323,323,323,323,06122.)3(6122)()(.362)().1,01(3,222122222内是减函数在内是增函数在内是减函数在所以时当时或当解得令是所以所求的函数解析式舍去解得+∞++---∞+-=>'+<<-<'+>-<+=-==++-+++-='+-=-=≠+==x x x f x f x x f x x x x x x x x x x f II x x x f b b b a ．。