高中数学 第一章 三角函数 1_5 正弦函数的性质学案(无答案)北师大版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质 1.5.2 正弦函数的性质教案 北师大版必修4
1.5.2 正弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么?③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么?④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线,它有哪些对称?图1活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R 〔或(-∞, +∞)〕.对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明. ∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, ∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),1°当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. 2°当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-2π,23π］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.图2 图3这个变化情况也可从下表中显示出来: x -2π 0 2π π 23π sinx-1↗↗1↘↘-1就是说,函数y=sinx,x ∈［-2,23］. 当x ∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1;当x ∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 结合正弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O 对称.在R 上,y=sinx 为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢? 由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx, ∴y=sinx 为奇函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔. 讨论结果:①略. ②定义域为R .③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1. ④单调性(略). ⑤奇偶性(略). 应用示例思路11.函数y=-3sin2x,x ∈R 有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z|z=-2π+2kπ,k ∈Z }, 由2x=z=-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }.函数y=-3sin2x,x ∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.2.利用三角函数的单调性,比较sin(-18π)与sin(-10π)的大小. 解:因为-2π＜-10π＜-18π＜0,正弦函数y=sinx 在区间［-2π,0］上是增函数,所以sin(-18π)＞sin(-10π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.3.求函数y=sin(21x+3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成z,这样问题就转化为求y=sinz 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令z=21x+3π.函数y=sinz 的单调递增区间是［-2π+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤+2kπ,得-35π+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z .由x ∈［-2π,2π］可知,-2π≤-35π+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是-121≤k≤125,由于k ∈Z ,所以k=0,即-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］⊂［-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x +3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).x 0 2π π23π 2π Sinx 0 1 0 -1y=sinx-1-1图4函数 y=sinx-1定义域 R 值域 ［-2,0］ 奇偶性 非奇非偶函数周期2π单调性当x ∈［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )时,函数是递增的; 当x ∈［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z )时,函数是递减的最大值与最小值当x=2kπ+2π(k ∈Z )时,最大值为0;当x=2kπ+23π(k ∈Z )时,最小值为-2 思路2例1 求函数y=xsin 11+的定义域.活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等. 解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x|x≠23π+2kπ,k∈Z }. 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.2.在下列区间中,函数y=sin(x+4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin ［φ(x)］,φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的.解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π.∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π.∴y=sin(x+4π)的递增区间是［2kπ-43π,2kπ+4π］. 取k=-1、0、1分别得［-411π,47π］、［-43π,4π］、［45π,49π］. 答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出. 解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断. 变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2πB.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2π解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=2π答案:A 2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间.解:y=21sin(4π-32x )=-21sin(32x -4π).由2kπ-2π≤32x -4π≤2kπ+2π,可得3kπ-83π≤x≤3kπ+89π(k ∈Z ),为单调减区间;由2kπ+2π≤32x -4π≤2kπ+23π,可得3kπ+89π≤x≤3kπ+821π(k ∈Z ),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-83π,3kπ+89π］(k ∈Z );原函数的单调增区间为［3kπ+89π,3kπ+821π］(k ∈Z ).知能训练课本本节练习2 1、2、3. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=xxx sin 1cos sin 12-++-.解答:(1)函数的定义域为R ,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x) =-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠2kπ+2π,k ∈Z }. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.设计感想1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数”应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图像”还是“变换”现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图像和性质;第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故. 二、备用习题1.函数y=sin(3π-2x)的单调减区间是( ) A.［2kπ-12π,2kπ+125π］(k ∈Z ) B.［4kπ-35π,4kπ+311π］(k ∈Z ) C.［kπ-125π,kπ+1211π］(k ∈Z ) D.［kπ-12π,kπ+125π］(k ∈Z )2.满足sin(x-4π)≥21的x 的集合是( )A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π,k ∈Z }B.{x|2k π-12π≤x≤2kπ+127π,k ∈Z }C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π,k ∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k ∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k∈Z }3.求函数y=lgsinx 的定义域和值域.4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,41］,求函数f(21sin 2-x )的定义域. 参考答案:1.D2.A3.解:由题意得sinx ＞0,∴2kπ＜x ＜(2k+1)π,k∈Z .又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z ，值域为(-∞,0］.4.解:由题意得0≤21sin 2-x ≤41,∴-23≤sinx≤-22或22≤sinx≤23∴x∈［kπ+4π,kπ+3π］∪［kπ+32π,kπ+43π］,k ∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 1.5.2 正弦函数的性质学案(含解析)北师大版必修4-北师大版高二必修
5．2 正弦函数的性质知识点正弦函数的图像和性质[填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2kπ，2kπ＋π2)(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如y＝A sin(ωx＋φ)＋k，ω>0的函数，可把ωx＋φ视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，直接写出ωx＋φ的单调区间，再解关于x的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式，可把ωx＋φ视为一个整体，借助y＝sin x，x∈R的图像和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2kπ，k∈Z，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x的不等式，便可求出x的解．1．对周期函数定义的五点说明 (1)T 是非零常数．(2)任意x ∈D ，都有x ＋T ∈D ，T ≠0，所以周期函数的定义域一定是无界的． (3)任取x ∈D ，就是取遍D 中的每一个x ，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个x 都满足f (x ＋T )＝f (x )成立才行．若只有个别x 满足f (x ＋T )＝f (x )，不能把T 看作周期，如sin(π4＋π2)＝sin π4，但sin(π3＋π2)≠sin π3，所以π2不是y ＝sin x 的周期． (4)周期也可递推，若T 是y ＝f (x )的周期，那么2T 也是y ＝f (x )的周期．这是因为f (2T ＋x )＝f [T ＋(T ＋x )]＝f (T ＋x )＝f (x )，所以若T 是y ＝f (x )的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x )的周期．(5)并不是所有的函数都是周期函数． 2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin 2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x .(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝C ，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.类型一 求函数的定义域【例1】 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.【思路探究】 (1)满足2sin x ＋1≥0的x 的取值集合，即满足sin x ≥－12的x 的取值集合．(2)可转化为解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，先将满足两个不等式的x 的范围解出，再借助数轴求交集．【解】 (1)由题意可知2sin x ＋1≥0，故sin x ≥－12.因为在一个周期⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上符合条件的角的范围为⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以该函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z )． (2)根据函数关系式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，∴{2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，－5≤x ≤5.如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．规律方法 正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．求函数y ＝2sin x ＋3的定义域．解析：要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32. 如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z .类型二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域．(1)y ＝3－3sin x ；(2)y ＝－|sin x|+sin x ；(3)y ＝sin 2x －2sin x ＋1. 【思路探究】 充分利用sin x 的有界性及二次函数区间最值求解． 【解】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－3≤－3sin x ≤3，∴0≤－3sin x ＋3≤6，∴y ∈[0,6]． (2)当sin x ≥0时，y ＝0， 当sin x <0时，y ＝2sin x ， ∴y ∈[－2,0)，∴函数的值域为[－2,0]． (3)y ＝(sin x －1)2，∵sin x ∈[－1,1]，∴sin x －1∈[－2,0]， ∴(sin x －1)2∈[0,4]，∴y ∈[0,4]．规律方法 函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 型函数可以通过换元，令t ＝sin x 化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过程中一定要注意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数求最值问题．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，5π6]的值域．解：令t ＝sin x ，因为x ∈[π6，5π6]，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，t ∈[12，1]，且该函数在[12，1]上单调递增．∴f (x )的最小值为f (12)＝1，最大值为f (1)＝72.∴f (x )的值域为[1，72]．类型三 求函数的单调区间【例3】 求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．【思路探究】 设u ＝sin x ，先由sin x >0得出x 的范围，再利用y ＝log 12u 的单调性求解．【解】 由sin x >0得2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，∵12<1，∴函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间即为u ＝sin x 的单调递减区间． ∴2k π＋π2≤x <2k π＋π，k ∈Z ，故函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间为：[2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .规律方法 求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间．解：∵y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间就是函数u ＝2sin(x －π4)的单调递减区间．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋34π≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间为：[2k π＋34π，2k π＋7π4](k ∈Z )．类型四 判断函数的奇偶性【例4】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.【思路探究】 首先判断所给函数的定义域是否关于原点对称，其次用定义直接判断函数的奇偶性．【解】 (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R .又f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，所以f (x )＝0，x ∈{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．规律方法 判断函数的奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．判断函数f (x )＝x sin(π＋x )的奇偶性． 解：∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x .即f (－x )＝f (x )，又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )为偶函数．类型五 利用正弦函数的单调性比较大小【例5】 比较下列各组数的大小． (1)sin π4和sin 2π3；(2)sin(－π18)和sin(－π10)；(3)sin 215π和sin 42π5；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】 变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．【解】 (1)sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3.∵0<π4<π3<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.(2)∵－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在区间[－π2，0]上单调递增，∴sin(－π18)>sin(－π10)．(3)sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin42π5＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5. ∵0<π5<2π5<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π5<sin 2π5，即sin 215π<sin 425π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.规律方法 比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较．比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1)sin250°与sin260°； (2)sin(－54π7)与sin(－63π8)．解：(1)∵sin250°＝sin 25π18，sin260°＝sin 26π18，y ＝sin x 在(π，3π2)上为减函数，∴sin25π18>sin 26π18，即sin250°>sin260°. (2)sin(－54π7)＝sin(－8π＋2π7)＝sin 2π7，sin(－63π8)＝sin(－8π＋π8)＝sin π8，∵π2>2π7>π8>0，∴sin 2π7>sin π8， 即sin(－54π7)>sin(－63π8).——易错警示—— 忽略y ＝sin x 的有界性导致错误【例6】 已知sin x ＋sin y ＝13，求sin y －cos 2x 的最大值．【错解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x ，∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112.∵－1≤sin x ≤1，∴当且仅当sin x ＝－1时，sin y －cos 2x 取得最大值43.【正解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .又－1≤sin y ≤1，∴－1≤13－sin x ≤1，又－1≤sin x ≤1，∴－23≤sin x ≤1.∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∴当且仅当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取得最大值49.【错解分析】 求三角函数值时，许多三角函数式本身隐含了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．求函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，t ∈[－1,1]，∴t ＝－12，即sin x＝－12，x ＝2k π－π6或2k π－56π(k ∈Z )时，y min ＝－54， 当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1.∴原函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1.一、选择题1．函数y ＝2－sin x 的最大值及相应的x 的值为( C )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析：当sin x ＝－1时，y 有最大值3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( B )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )D ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )解析：y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同．3．下列函数是偶函数的是( D )A ．y ＝sin xB ．y ＝－2sin xC ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x |解析：选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数，对选项D ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，故为偶函数．二、填空题4．函数y ＝1sin x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }． 解析：要使函数有意义，则须sin x ≠0，所以x ≠k π，k ∈Z .即定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．5．函数y ＝1－2sin x 取最大值时，自变量x 的值组成的集合是{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }． 解析：当函数y ＝1－2sin x 取最大值时，sin x ＝－1，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题6．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2＋sin x；(2)y＝－3sin x.解：(1)根据正弦函数y＝sin x的定义域为R，值域为[－1，1]，得所求函数的定义域为R，值域为[1,3]．(2)要使函数y＝－3sin x有意义，必须使－3sin x≥0，即sin x≤0，解得2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z.∵0≤－3sin x≤3，∴0≤y≤ 3.故所求函数的定义域为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z；值域为[0，3]．。
高中数学第一章三角函数正弦函数的性质学案北师大版必修
5.2 正弦函数的性质内容要求 1.理解正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．知识点1 正弦函数的性质(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin(－x )为奇函数(√). (2)函数y ＝sin x ，x ∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12](×). (3)函数y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π](k ∈Z )上是单调递增的(√). (4)函数y ＝sin x 在第一象限内是递增的(×).题型一 与正弦函数有关的值域问题 【例1】 求下列函数的值域： (1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]；(2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]．由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98.∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．2．求值域时，注意：(1)利用sin x 的有界性；(2)利用y ＝sin x 的单调性． 【训练1】 (1)函数y ＝2sin x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4的值域是( )A ．[1＋3，3]B ．[1＋2，3]C ．[1－2，1＋2]D ．[－1,3](2)设函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则以下四个结论正确的是________（填序号）．①b －a 的最小值为2π3；②b －a 的最大值为4π3；③a 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )；④b 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )．解析 (1)画出函数y ＝2sin x ＋1(π4≤x ≤3π4)的图像如图所示，当x ＝π4或x ＝3π4时，最小值为1＋2；当x ＝π2，最大值为3.(2)由图像知，b －a 的最大值为4π3(如a ＝－7π6，b ＝π6)；在b －a 取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a ，b ]内，所以b －a 的最小值为2π3，b 可能等于2k π－π6(k ∈Z )．若a ＝2k π－π6(k ∈Z )，则由图像可知函数的最大值为12的情况下，最小值不可能为－1.所以a 不可能等于2k π－π6(k ∈Z )．答案 (1)B (2)①②③题型二 正弦函数的周期性与奇偶性 【例2】 求下列函数的周期： (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |. 解 (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期是4π. (2)作出y ＝|sin x |的图像，如图．故周期为π.规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．【训练2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x sin x ； (2)f (x )＝|sin x |＋1.解 (1)∵x ∈R ，且关于原点对称， 又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵x ∈R ，且关于原点对称，又f (－x )＝|sin(－x )|＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．方向1 利用正弦函数的单调性比较大小【例3－1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)sin 1，sin 2，sin 3.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°. 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 方向2 求函数的单调区间【例3－2】 求函数y ＝－sin x ＋3的单调区间． 解 ∵y ＝－sin x ＋3与y ＝sin x 的增减性相反．而y ＝sin x 的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k∈Z )．∴函数y ＝－sin x ＋3的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．方向3 求复合函数的单调区间【例3－3】 求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．解 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z ， ∵0<12＜1，∴函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为u ＝sin x ＞0的递减区间．∴2k π＋π2≤x ＜2k π＋π，k ∈Z .故函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．2．求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用y ＝sin x 的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.课堂达标1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.答案 D2．下列函数中是奇函数的是( ) A ．y ＝－|sin x | B ．y ＝sin(－|x |) C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x | 解析 利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数． 答案 D3．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________. 解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )得a ＝1. 答案 14．函数y ＝|sin x |的值域是________．解析 作出函数y ＝|sin x |的图像(图像略)可知． 答案 [0,1]5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．课堂小结1．求正弦函数在给定区间[a ，b ]上的值域时，要注意结合图像判断在[a ，b ]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线和x 轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.基础过关1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(x ∈R )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法确定解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x . 答案 A2．函数f (x )＝|sin x |的一个递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π解析 画出函数f (x )＝|sin x |的图像如图所示，由图像可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2是函数f (x )＝ |sin x |的一个递增区间．答案 C3．设M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析 ∵M ＝13－1，m ＝－13－1，∴M ＋m ＝－2. 答案 D4．函数y ＝－2sin x 的定义域是________，单调递减区间是________． 解析 ∵－2sin x ≥0，sin x ≤0， ∴2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z ，即函数的定义域是[2k π－π，2k π](k ∈Z )． ∵y ＝－2sin x 与y ＝sin x 的单调性相反， ∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )．答案 [2k π－π，2k π](k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )5．设a ＝cos 29°，b ＝sin 144°，c ＝sin 50°，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析 a ＝cos 29°＝sin 61°，b ＝sin 144°＝sin 36°，c ＝sin 50°，由正弦函数的单调性可知sin 36°＜sin 50°＜sin 61°，即b ＜c ＜a . 答案 b ＜c ＜a6．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin 25π18与sin 13π9；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π.解 (1)因为π<25π18<13π9<3π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上是减少的， 所以sin 25π18＞sin 13π9.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－567π＋27π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π＋27π＝sin 27π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－8π＋π8＝sin π8，因为π2＞27π＞π8＞0，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增加的，所以sin 27π＞sin π8，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－547π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－638π.7．设|x |≤π4，求函数f (x )＝1－sin 2x ＋sin x 的最小值．解 f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 能力提升8．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－215π＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π C ．sin 3＞sin 2 D ．sin 75π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π 解析 y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上为增函数，而－π8＜－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10，故选A. 答案 A9．设函数f (x )＝sin |x |，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，76π上是减函数B ．是周期为2π的周期函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数 D ．对称中心为(k π，0)，k ∈Z解析 由图易知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，76π上是减函数．答案 A10．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个不同的实根，则a 的取值范围是________．解析 在同一坐标系中作出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图像(图略)，易知，当32≤1－a2＜1，即－1＜a ≤1－3时，两图像有两个不同的交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个不同的实根．答案 (－1,1－3]11．函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，56π]的值域是________．解析 令t ＝sin x ，y ＝f (t )， ∵x ∈[π6，5π6]，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为[1，72]．答案 [1，72]12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0.当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.13．(选做题)已知函数f (x )＝|sin x －a |，a ∈R . (1)试讨论函数f (x )的奇偶性．(2)求当f (x )取得最大值时，自变量x 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．(2)当a ＞0且sin x ＝－1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z； 当a ＜0且sin x ＝1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；当a ＝0且sin x ＝±1时，f (x )取得最大值，这时x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π2，k ∈Z .。
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修基础达标1.sin600°的值是（）A. B.- C. D.解析：利用诱导公式2kπ+α，将sin600°化为sin(600°-2×360°).sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=.答案：D2.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（）A. B. C.± D.0解析:化简已知和结论，易找出条件和结论的关系.由sin（π-α）=，知sinα=，而sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）=sin（π+α）=-sinα.∴sin(-5π+α)=.答案：B3.角α终边有一点P（t,t）(t≠0),则sinα的值是（）A. B. C.± D.1解析：因P（t,t）,∴P在第一或第三象限的角平分线上，∴sinα=±.答案：C4.函数y=的定义域是（）A.［kπ-,kπ+］，(k∈Z)B.［2kπ+,2kπ+π］，(k∈Z)C.［kπ+,(k+1)π］，(k∈Z)D.［2kπ,2kπ+π］，(k∈Z)解析：由sinx≥0知2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z).答案：D5.y=属于（）A.{1，-1}B.{1}C.{-1}D.{1，0，-1}解析：当sinx＞0时，y=1;当sinx＜0时，y=-1,故y∈{-1,1}.答案：A6.已知角θ的终边落在y=2x上，则sinα=_________.解析：取y=2x上的点（1，2），则r=,∴sinα=,同理取点（-1,-2），得sinα=.答案：±7.若x∈［-π，π］，且sinx=，则x等于…（）A.或B.-或C.或D.或-解析:考虑到是特殊值，因此角x必为特殊角，可先确定出符合条件的最小正角.由于sinx=，所以x的终边落在第三或第四象限.在［-π，π］内，只有-和.答案：D8.设sinx=t-3，则t的取值范围是（）A.RB.（2，4）C.（-2，2）D.［2，4］解析：当x∈R时,-1≤sinx≤1,∴-1≤t-3≤1,∴2≤t≤4.答案：D9.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=xsin(π+x)；(2)f(x)=.解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称.f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)∴f(x)是偶函数.(2)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+,(k∈Z),函数定义域是不关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.10.求下列函数的周期.(1)y=sinx；(2)y=2sin().解析：(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数，且周期为2π.∴sin(x+2π)=sinx,即sin［(x+4π)］=sinx,∴sin12x的周期4π.(2)∵2sin(+2π)=2sin(),即2sin［(x+6π)-］=2sin(),∴2sin()的周期是6π.综合运用11.若sinx＞，则x满足（）A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°B.60°＜x＜120°C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°解析:可借助于单位圆中的正弦线或三角函数图象来解决.画出单位圆或正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°.答案：A12.下列函数中，周期为π、图象关于直线x=对称的函数是（）A.y=2sin(+)B.y=2sin(-)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x-)解析:sin(ωx+φ)的周期是，对称轴方程是ωx+φ=kπ+(k∈Z),由周期为π,排除A、B.将x=代入2x+得,将x=代入2x-得，故选D.答案：D13.用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）A.0，，π，，2πB.0，，，，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，，，，解析：先写出y=sinx五点的横坐标.0，π,,2π.当2x=0时，x=0;当2x=时，x=;当2x=π时，x=;当2x=时，x=;当2x=2π时，x=π,故选B.答案：B14.y=|sinx|+sinx的值域是________.解析：当sinx≥0时，y=2sinx,这时0≤y≤2;当sinx＜0时，y=0,∴函数的值域是［0，2］.答案：［0,2］15.以一年为一个周期调查某商品出厂价及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在9元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知3月份价格最高为10元，7月份价格最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大，并说明理由.解析：由条件得：出厂价格函数是y1=2sin(x-)+6；销售价格函数为y2=sin(x-)+9.则利润函数为y=m(y2-y1).=m［sin(x-)+9-2sin(x-)-6］=m［3-sin(x-)］.所以当x=7时,y=4m.所以7月份赢利最大.拓展探究16.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如右图，若烟筒的直径为12 cm，最短母线为6 cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料？解析：如下图（2）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD 是此圆的直径.又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=.又设AB=y，在Rt△BOE 中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如下图（4）.因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如下图（5）.。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
北师大版必修4高中数学第1章三角函数55.2正弦函数的性质
4．函数 y＝|sin x|的值域是________． [0,1] [由函数 y＝|sin x|的图像(图略)可知为[0,1]．]
合作探究 提素养
正弦函数的周期性与奇偶性
【例 1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sin 12x；
(2)y＝|sin x|.
[解]
(1)∵sin12x＋4π＝sin12x＋2π＝sin
[解] (1)∵x∈R，且关于原点对称， 又 f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，且关于原点对称， 又 f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
正弦函数的单调性及应用
【例 2】 (1)比较下列各组数的大小：
①sinπ4与
2．已知 M 和 m 分别是函数 y＝13sin x－1 的最大值和最小值，则
M＋m 等于( )
A．23
B．－23
C．－43
D．－2
D [因为 M＝ymax＝13－1＝－23， m＝ymin＝－13－1＝－43， 所以 M＋m＝－23－43＝－2.]
3．若函数 f(x)＝sin 2x＋a－1 是奇函数，则 a＝________. 1 [由奇函数的定义 f(－x)＝－f(x)得 a＝1.]
(2)由 sinx－π6＞0 得 2kπ＜x－6π＜π＋2kπ(k∈Z)得π6＋2kπ＜x＜76π ＋2kπ(k∈Z)，①
要求原函数的递增区间，只需求函数 y＝sinx－π6的递减区间， 令2π＋2kπ≤x－π6≤32π＋2kπ(k∈Z)得23π＋2kπ≤x≤53π＋2kπ(k∈Z)，
②
由①②可知23π＋2kπ≤x＜76π＋2kπ(k∈Z)， 所以原函数的递增区间为23π＋2kπ，76π＋2kπ(k∈Z)．
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修4数
1.5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析：并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累，考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数），x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.2.正弦函数线有何作用？剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累.正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小.由此可见，用正弦线表示正弦函数值，反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小，同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域.思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1-4-5解：要使函数有意义，x的取值需满足sinx＞0.如图1-4-5所示，MP是角x的正弦线，则有sinx=MP ＞0, ∴MP 的方向向上. ∴角x 的终边在x 轴的上方. ∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k∈Z ).∴函数y=log 2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k∈Z .由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，通过平时经验的积累，掌握三角函数线的应用. 3.在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小？剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P 0（x 0,y 0)是角α终边上的另一点，|OP 0|=r 0，由相似三角形的知识可知，只要点P 0在α终边上，总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P 在角α终边上的位置无关. 典题精讲例1（经典回放）sin 600°的值是（ ）A.21 B.-21C.23D.-23思路解析：sin600°＝sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-23. 答案：D绿色通道：诱导公式选择的一般步骤：先将-α化为正角；再用2kπ+α(k∈Z )化为［0，2π)内的角;再用π+α，π-α，2π-α化为锐角的三角函数.由此看利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化小. 变式训练sin(-2 010°)的值是（ ）A.-21B.23C.21D.-23思路解析：sin(-2 010°）=sin ［(-6×360°）+150°］＝sin150°=sin(180°-30°）=sin30°=21. 答案：C例2(2005某某高考卷，理12)f(Z )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A.2B.3C.4D.5思路解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，f(-2)=-f(2)=0. ∴f(0)=0，f(2)=0.∵f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(-2)=f(3-2)=f(1)=0,f(3)=f(0)=0,f(4)=f(1+3)=f(1)=0. ∴f(5)=f(3+2)=f(2)=0.∴在区间（0，6）内f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. 答案：D绿色通道：高考试题中，通常不会单独考查周期函数，往往是周期函数和三角函数，和函数的奇偶性、单调性等综合考查.一般是利用周期函数的性质f(x+T)=f(x)，解决求函数值、解析式及解方程等问题.变式训练定义在R 上的偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),若当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)的解析式为（ ） A.2x+6B.-2x+6C.2x-6D.-2x-6思路解析：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x). 又∵f(3+x)=f(3-x)，∴f(x)的图像关于直线x=3对称.∴f(x+6)=f(x+3+3)=f［3-(x+3)］=f(-x)=f(x).∴f(x)是周期函数，6是一个周期.当x∈(-6,-3)时,有0＜x+6＜3， ∴f(x)＝f(x ＋6)＝2x+6. 答案：A例3已知角α的终边经过点P （3，4），求sinα. 思路分析：分别写出x 、y 、r 的值，应用定义求解. 解：由x=3，y=4，得r=2243+=5. ∴sinα=r y =54. 绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解. 变式训练已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t≠0，求sinα. 思路分析：应用三角函数的定义直接求解，注意t 的取值符号. 解：由x=3t ，y=4t ，得r=22)4()3(t t +=5|t|.当t ＞0时，r=5t ，∴sinα=54； 当t ＜0时，r=-5t ，∴sinα=-54.例4(2006某某高考卷，文8) 设a ＞0，对于函数f(x)=xx sin sin α+(0＜x ＜π)，下列结论正确的是（ ）A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值思路解析：令t=sinx,0＜x ＜π，则t∈(0,1］，那么函数f(x)= xx sin sin α+(0＜x ＜π)的值域为函数y=1+t a ,t∈(0,1］的值域，又a ＞0，可以证明y=1+ta,t∈(0,1］是一个减函数，所以函数f(x)有最小值而无最大值. 答案：B绿色通道：（1）求三角函数最值的常用方法：换元法.设sinx=t ，将三角函数转化为二次函数等其他常见的初等函数，再求最值；（2）形如“y=dx c bx a ++sin sin 的函数的最值问题，常用换元法，也可用分离变量法.变式训练1求函数y=2sin 1sin 3++x x 的值域.思路分析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx 法，利用sinx 的值域确定函数的值域. 解法一：设t=sinx,x∈R ，则t∈［-1,1］，∴函数f(x)= 2sin 1sin 3++x x 的值域为函数y=213++t t ,t∈［-1,1］的值域，可以证明y=213++t t ,t∈［-1，1］是增函数.∴2113+-+-≤y≤2113++. ∴-2≤y≤34.∴函数的值域为［-2,34］.解法二：由y=2sin 1sin 3++x x ，得sinx=y y --312.∵|sinx|≤1， ∴|y y --312|≤1，解得-2≤y≤34. ∴函数的值域为［-2，34］. 变式训练2求函数y=(5-sinx)(2+sinx)的最大值及此时x 的集合. 思路分析：利用换元法转化为求二次函数的最大值. 解：设sinx=t ，则-1≤t≤1，y=(5-sinx)(2+sinx)=(5-t)(2+t)=-t 2+3t+10=-(t-23)2+449，则当t=1时，y 取最大值12，此时sinx=1，x=2kπ+2π(k∈Z )，所以函数y=(5-sinx)(2+sinx)最大值为1，此时x 的集合是{x|x=2kπ+2π,k∈Z }. 例5作出函数y=-s inx(0≤x≤2π)的图像.思路分析：利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确. 解：列表：x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 -sinx-11描点作图（图1-4-6）：图1-4-6绿色通道：由于正弦曲线直观地表现了正弦函数数的各种性态，因此要熟悉图像，掌握五点法作图并能应用图像解决有关问题.“五点”即y=sinx 的图像在一个最小正周期内的最高点、最低点及与x 轴的交点，一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常作区间［0,2π］或［-2π，23π］上的图像. 变式训练1求函数y=x sin -的定义域.思路分析：转化为解不等式-sinx≥0.利用图像法解不等式.解：在平面直角坐标系中画出函数y=-sinx 的图像，如图1-4-6所示. 在［0,2π］内，当-sinx≥0，记函数的图像位于x 轴上方时，π≤x≤2π. 所以函数y=x sin -的定义域是［2kπ+π,2kπ+2π］k∈Z . 变式训练2函数y=|sinx|的周期是__________.思路解析：画函数y=|sinx|的图像，观察图像得函数周期为π. 答案：π 问题探究问题1（1）正弦曲线关于原点、(π,0)、(-π,0)成中心对称图形.结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称中心吗？ （2）正弦曲线关于直线x=-2π、x=-2π、x=23π成轴对称图形.结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称轴吗？导思：探究思路是由特殊到一般，利用归纳推理：先归纳，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证明.探究：（1）由于正弦函数是奇函数，则其图像关于原点对称. 设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 那么点P(x 0,y 0)关于点(π,0)的对称点为M(2π-x 0,-y 0)，∵sin(2π-x 0)=-sinx 0, ∴sin(2π-x 0)=-y 0，即点M(2π-x 0,-y 0)也在正弦函数y=sinx 的图像上. 又∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于(π,0)成中心对称图形. 同理可证正弦曲线关于(-π,0)成中心对称图形.图1-4-7如图1-4-7所示，观察正弦函数的图像，可归纳,得原点、(±π,0)都是正弦曲线与x 轴的交点，可猜想正弦曲线与x 轴的交点(kπ,0)(k∈Z )都是正弦曲线的对称中心. 证明：设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 则点P(x 0,y 0)关于点(kπ,0)的对称点M(2kπ-x 0,-y 0)， ∵sin(2kπ-x 0)=-sinx 0， ∴sin(2kπ-x 0)=-y 0，即点M(2kπ-x 0,-y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上. ∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于(kπ,0)成中心对称图形.综上可得，正弦曲线的对称中心是正弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值为0；并且任意相邻的两个对称中心正好相差半个周期.（2）设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 则点P(x 0,y 0)关于直线x=2的对称点为M(π-x 0,y 0)， ∵sin(π-x 0)=sinx 0， ∴sin(π-x 0)=y 0，即点M(π-x 0,y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上.∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，∴正弦曲线关于直线x=2π成轴对称图形. 同理可证:正弦曲线关于直线x=-2π、x=23π成轴对称图形.观察正弦函数的图像，可归纳得：直线x=2π、x=-2π、x=23π都过正弦曲线最高或最低点，可猜想过正弦曲线最高或最低点的直线x=kπ+2π(k∈Z )都是正弦曲线的对称轴.证明：设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0， 则点P(x 0,y 0)关于直线x=kπ+2π的对称点M(2kπ+π-x 0,y 0)， ∵sin(2kπ+π-x 0)=sin(π-x 0)=sinx 0， ∴sin(2kπ-x 0)=y 0，即点M(2kπ+π-x 0,y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上. ∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于直线x=kπ+2π(k∈Z )成轴对称图形. 综上可得，正弦曲线的对称轴过正弦曲线的最高或最低点且垂直于x 轴的直线，即此时的正弦值为最大值或最小值；并且任意相邻的两条对称轴正好相差半个周期.。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像导学案 北师大版必修4
1.5 正弦函数的性质与图像问题导学1．正弦函数的图像活动与探究1(1)用“五点法”作y ＝2－sin x 的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )． A ．0,1,0，－1,0 B ．0,2,0，－2,0 C ．2,1,2,3,2 D ．2,3,2，－3,2(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．迁移与应用1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题活动与探究2求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ；(3)y ＝log 122sin x －1．含正弦函数的复合函数的定义域的求法： (1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x 的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4．迁移与应用求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x |≤1；(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m ，n ]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；(3)形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解，或利用分离常数法求解．4．正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．迁移与应用不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)s in 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4．1．对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．迁移与应用已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)． (1)若g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数； (2)若f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 的应用．(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )． A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )．A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 4．函数f (x )＝sin x －x3x是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________． 6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上的图像．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1 略 预习交流2(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 －π2 1 π2 －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z[－2,4] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (1)C (2)略 迁移与应用 1．C 2活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π6或⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z. 迁移与应用 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z(2){x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }(3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5. ∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递增， ∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1.迁移与应用 解：设sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2.∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°， sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π9 ＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0活动与探究5 解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6 (k ∈Z )．定义域不关于原点对称， 故f (x )为非奇非偶函数．(3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ，∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg(1＋sin 2x －sin 2x ) ＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．迁移与应用 (1)略 (2)－5 【当堂检测】1．D 2．A 3．B 4．B 5．b ＜a 6．略。
高中数学 第一章 三角函数 5 第2课时 正弦函数的性质教学案 北师大版必修4
第2课时 正弦函数的性质[核心必知]正弦函数y ＝sin x 的性质1．“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x 值的增加而增加的．2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y ＝sin x ，(x ∈R )的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，有无数条；对称中心是点(k π，0)(k ∈Z )，有无穷多个．讲一讲1．求函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． [尝试解答] 要使函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22有意义， 则sin x －22>0，即sin x >22. 作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像． 如图，由图像可以得到满足条件的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，3π4＋2k π，k ∈Z . ∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2k π，3π4＋2k π，k ∈Z .1．求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足： (1)使三角函数有意义． (2)分式形式的分母不等于零． (3)偶次根式的被开方数不小于零． (4)对数的真数大于0.2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观地求得解集．练一练1．求函数y ＝－3sin x 的定义域．解：要使函数有意义，必须使－3sin x ≥0.即sin x ≤0， ∴(2k －1)π≤x ≤2k π，k ∈Z .∴函数的定义域为[(2k －1)π，2k π]，k ∈Z .讲一讲2．求下列函数的值域． (1)y ＝2－sin x ； (2)y ＝lg sin x ；(3)y ＝sin 2x －4sin x ＋5，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[尝试解答] (1)正弦函数y ＝sin x 的值域为[－1，1]．所以函数y ＝2－sin x 的值域为[1，3]．(2)∵0<sin x ≤1， ∴y ＝lg sin x ≤0.∴函数y ＝lgsin x 的值域为(－∞，0]．(3)令t ＝sin x ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得0≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1.当t ＝0，即sin x ＝0时，最大值为5， 当t ＝1，即sin x ＝1时，最小值为2. ∴该函数的值域是[2，5]．1．对于形如f (x )＝a sin x ＋b 的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决． 2．对于形如f (x )＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的函数，可用配方法求其值域，注意当x 有具体限制范围时，需要考虑sin x 的范围．练一练2. 求函数y ＝a －2sin x (a ∈R )取得最大值、最小值时x 的集合． 解：当sin x ＝1时，y 最小，此时x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，当sin x ＝－1时，y 最大，此时x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以，函数y ＝a －2sin x 取得最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z .讲一讲3．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )．[尝试解答] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称．f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ， f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0⇒－1<sin x <1，得函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称．又f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．练一练3．判断函数y ＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性．解：函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．讲一讲4．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝2sin(－x )；(2)y ＝a ＋b sin x (a ，b ∈R 且b ≠0)． [尝试解答] (1)y ＝2sin(－x )＝－2sin x ， ∴函数y ＝2sin(－x )的递增区间就是函数u ＝2sin x 的递减区间．∴函数y ＝2sin(－x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．∴当b >0时，y ＝a ＋b sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )；当b <0时，y ＝a ＋b sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．求形如y ＝a ＋b sin x 的函数的单调区间，只需考察y ＝sin x 的单调区间，当b >0时，y ＝a ＋b sin x 与y ＝sin x 的单调区间相同，当b <0时，则y ＝sin x 的单调递增(减)区间是y ＝a ＋b sin x 的递减(增)区间．练一练 4．求函数y ＝2－sin x的单调区间． 解：∵y ＝2－sin x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x，∴所求函数的单调性与y ＝sin x 的单调性正好相反．∴所求函数的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，(k ∈Z )．单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，(k ∈Z ).求函数y ＝sin 2x －4sin x －1的值域．[错解] ∵y ＝sin 2x －4sin x －1＝(sin x －2)2－5， ∴y ≥－5.∴此函数的值域为[－5，＋∞)．[错因] 在探讨y ＝(sin x －2)2－5的值域时，误认为sin x ∈R ，而忽略了正弦函数的有界性，即|sin x |≤1.这也是此类问题的常见错误．[正解] ∵y ＝sin 2x －4sin x －1 ＝(sin x －2)2－5， 且－1≤sin x ≤1∴当sin x ＝－1时，函数的最大值是4. 当sin x ＝1时，函数的最小值是－4. ∴此函数的值域为[－4，4]．1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一条对称轴是( ) A ．y 轴 B ．x 轴C ．直线x ＝π2 D ．直线x ＝π答案：C2．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案：D3．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.4．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________． 解析：f (－x )＝sin 2(－x )＋1＝sin 2x ＋1＝f (x ) ∴f (x )是偶函数． 答案：偶函数5．设函数y ＝sin(x －π6)取得最大值的x 的集合是________．解析：当且仅当x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2π3＋2k π，k ∈Z 时，y ＝sin(x －π6)取最大值．故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2π3＋2k π，k ∈Z . 答案： {x |x ＝2π3＋2k π，k ∈Z }6．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 012°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53；解：(1)sin 2 012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin 212°＝sin(180°＋32°)＝－sin 32°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 32°<sin 70°，∴－sin 32°>－sin 70°， 即sin 2 012°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π， ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1.答案：12±16．函数y ＝11＋sin x 的定义域是________．解析：要使11＋sin x 有意义，则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1.∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：3三、解答题9．求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2，当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．。
高中数学 第一章 正弦函数的性质教案1 北师大版必修4 教案
§5.3 正弦函数的性质一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（2）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法：通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点:正弦函数的性质。
难点:正弦函数的性质应用。
三、学法与教法在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教法: 自主合作探究式 四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？(二)、探究新知让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：（1） 正弦函数的定义域是什么？（2） 正弦函数的值域是什么？（3） 它的最值情况如何？（4） 它的正负值区间如何分？（5） ƒ(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：1． 定义域：y=sinx 的定义域为R2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1] 3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋2π,k ∈Z 时 y max ＝1 当且仅当时x ＝2k π－2π, k ∈Z 时 y min ＝－1 2︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜04．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现）3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π5.奇偶性sin(－x) 6．单调性增区间为[－2π＋2kπ，2π＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2π＋2kπ， 23π＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。
高中数学 第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ； （2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程 及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区 间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（ ）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。
高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质学案北师大版必修4(2021年整理)
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5.2 正弦函数的性质学习目标1。
理解、掌握正弦函数的性质。
2。
会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小.知识点正弦函数的性质思考1 对于x∈R，sin(－x）＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案奇偶性。
思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：当且仅当x＝π2＋2kπ，k∈Z时,取得最大值1；当且仅当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时,取得最小值－1.思考3 正弦函数的单调区间是什么？答案y＝sin x的递增区间为错误!，k∈Z，递减区间为错误!,k∈Z.梳理函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域R值域［－1,1]最值当x＝错误!＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1周期性是周期函数，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在区间错误!（k∈Z）上是增加的；在区间错误!(k∈Z）上是减少的对称轴x＝错误!＋kπ，k∈Z对称中心(kπ，0）,k∈Z1.正弦函数在定义域上是单调函数.( ×）提示正弦函数不是定义域上的单调函数.2.已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。
北师大版数学高一学案 1.5.2 正弦函数的性质
1.5.2正弦函数的性质[学习目标] 1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性.2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.知识点一正弦函数的性质函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域值域[－1,1]最值当__________(k∈Z)时，y max＝1；当____________(k∈Z)时，y max＝－1周期性是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于________对称单调性在__________________(k∈Z)上是增函数；在__________________(k∈Z)上是减函数对称轴______________________，k∈Z 对称中心__________，k∈Z思考函数y＝sin x，x∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12]吗？题型一与正弦函数有关的值域问题例1求下列函数的值域.(1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]； (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.反思与感悟 求关于三角函数值域常用方法有：(1)利用有界性；(2)配方法；(3)换元法.必要时还应分类讨论.跟踪训练1 求下列函数的值域.(1)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]； (2)y ＝sin x －2sin x －1.题型二 利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.反思与感悟 用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π，sin 493π.题型三 求正弦型复合函数的单调区间例3 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间.反思与感悟 确定正弦函数单调区间的基本思想是整体换元思想.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.跟踪训练3 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间.题型四 正弦函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x.反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.例5 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递减区间. 错解 设v ＝－12x ＋π3. ∵y ＝sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π， k ∈Z .∴2k π＋π2≤－12x ＋π3≤2k π＋32π，k ∈Z ，∴－4k π－73π≤x ≤－4k π－π3，k ∈Z ， ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－4k π－73π，－4k π－π3， k ∈Z .错因分析 在求单调区间时忽视了括号内x 系数中的负号，错将－12x ＋π3代入正弦函数减区间，正确解法应先将x 的系数利用诱导公式化为正数后，再代入相应单调区间求解.正解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 设v ＝12x －π3， ∵y ＝－sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z ，∴2k π－π2≤12x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴4k π－π3≤x ≤4k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－π3，4k π＋53π，k ∈Z . 点评 对于正弦函数的单调性问题，应该建立模型意识.一律先研究括号内x 系数是正数的情况，对于x 系数是负数的，先转化成x 系数为正数的情况.跟踪训练5 求y ＝sin(π6－x )的单调递减区间.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π2.下列函数中是奇函数的是( )A.y ＝－|sin x |B.y ＝sin(－|x |)C.y ＝sin |x |D.y ＝x sin |x |3.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－34.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域.1.判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求正弦型复合函数的单调区间时，若括号内x的系数为正数时，直接代入函数y＝sin x相应的单调区间求解即可；若系数为负数时，利用诱导公式把x的系数化为正数后再代入相反的单调区间求解，有时还要注意函数定义域的影响.答案精析知识梳理知识点一R x ＝π2＋2k π x ＝－π2＋2k π 2k π(k ∈Z ，k ≠0) 原点 [－π2＋2k π，π2＋2k π] [π2＋2k π，3π2＋2k π] x ＝π2＋k π (k π，0) 思考 不是，值域应为[－12，1]，其原因在于函数的最大值并非在x ＝5π6处取得，实际上x ＝π2时，y max ＝1.因此在确定正弦函数值域时，要特别注意其定义域，并结合图像考察函数图像是否越过正弦曲线的波峰和波谷．题型探究例1 解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y ＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]． 由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．跟踪训练1 解 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴0≤2sin(2x ＋π3)≤2， ∴0≤y ≤2.∴函数的值域为[0,2]．(2)由y ＝sin x －2sin x －1，得sin x ＝y －2y －1.又∵sin x ∈[－1,1)，∴y －2y －1∈[－1,1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ y －2y －1≥－1，y －2y －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥32或y ＜1，y ＞1， ∴y ≥32.∴函数的值域为[32，＋∞)． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. 0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 跟踪训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°) ＝cos 150°＝－sin 60°，cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°＝－sin 80°， ∵sin 60°<sin 80°，∴－sin 60°>－sin 80°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3， 即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π.例3 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )． 解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )． 令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π； 令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π； 令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π， ∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－4π，－52π，⎣⎡⎦⎤－π2，32π，⎣⎡⎦⎤72π，4π. 跟踪训练3 解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ， 即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z . 例4 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg [1－sin(－x )]－lg [1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数． 跟踪训练4 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z . ∵f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．跟踪训练5 解 y ＝sin(π6－x ) ＝－sin(x －π6)， 令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ， 要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间，即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z . 故函数y ＝sin(π6－x )的单调递减区间为[2k π－π3，2k π＋23π]，k ∈Z . 当堂检测1．D 2.D 3.A4．解 ∵－1≤sin 12 x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)，g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内， g (t )在[－1,1]上是单调递减的，g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]．。
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1.5 正弦函数的性质
班级姓名组号
【学习目标】
1、运用研究函数性质的一般方法结合正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性、图像与x轴交点等性质；
2、学会利用正弦函数的性质解决相关简单应用。
【学习重点】
正弦函数的性质和应用
【学习难点】
理解正弦函数的图像的对称性
【学习过程】
一、预习自学（把握基础）
1、复习：由单位圆研究的正弦函数的性质有哪些？
2、预习归纳：（阅读课本第28～30页“练习”以上部分的内容，通过观察正弦函数的图像的变化规律和整体特征认识归纳函数性质）
正弦函数的性质：
二、合作探究（巩固深化，发展思维）
例1．利用五点法画出函数y＝sinx-1( x∈R)的简图，并根据图像讨论它的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性、对称性。
例2.利用五点法作出函数y=3+sinx, x∈的图像，并根据图像和解析式讨论函数的性质。
x＞成立的x的取值的集合.
例3、0
三、学习体会
1、知识方法:
2、我的疑惑：
四、达标检测（相信自我，收获成功）
1、用五点法和周期性作出函数y=-4sinx, x∈R的图像，并根据图像和解析式讨论函数的下列性质：
（1）值域是；x= 时，函数最大值为；
x= 时，函数最小值为。
（2）增区间为；对称中心坐标为；
对称轴方程为；奇偶性为
2、y=的定义域为
【课外强化】
≤0成立的x的取值的集合. 根据正弦函数的图像，写出使下列不等式2sinx-
2。