信息安全数学基础(第五章)
信息安全数学基础 pdf
信息安全数学基础 pdf
1 信息安全数学基础
信息安全数学基础是当下信息安全领域的重要组成部分。
它不仅
涉及数学基本原理，还关联着计算机科学、密码学、计算机技术等学
科的理论体系。
信息安全基于一些数学理论尤其是密码学，利用特定的数学基础，利用数学理论实现安全信息传输，保护系统、数据库及网络安全，使
之达到全面的安全保护。
例如，在信息安全领域，密钥及算法安全性
建立在数论理论上，如随机数发生、数论理论等。
信息安全数学基础通常包括数学基本原理、数据结构、计算机科学、密码学、计算机技术等广泛的学科的系统学习。
它的研究，不仅
需要对各门学科深入的研究，还要加强对这些学科之间的联系与融合，从学科角度探求祕钥的基本原理及其衍生的用途。
信息安全数学基础的研究将有助于培养学生具有良好的系统化学
习与研究理论能力，增强学生应用和研究数学原理、方法和软件工具，提高学生针对信息安全领域问题进行分析和处理的能力，更好地把握
和应对今后信息安全领域的发展。
信息安全数学基础的研究给信息安全领域的发展带来了很大的推
动力，是当代信息化经济社会发展的重要基础，特别是互联网安全与
政府、军队、企业、学校等重要网络应用系统的安全保护，势在必行。
因此，从培养学生的角度出发，对信息安全数学基础进行系统地学习和研究，将有利于培养具有素质的信息安全专业人才。
信息安全数学基础
信息安全数学基础一、说明（一）课程性质本课程是继《高等数学》、《线性代数》课之后，为信息与计算科学专业计算方向开设的一门数学基础理论课程。
本课程主要介绍用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生能熟练掌握用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容，并且能够掌握如何应用信息安全数学基础中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题，从而为学习密码学、网络安全、信息安全等打下坚实的基础。
（二）教学内容正确理解并掌握整数的整除概念及性质，带余除法，欧几里得除法，同余及基本性质，欧拉函数和欧拉定理。
一次同余式和二次同余式的解法，平方剩余与平方非剩余，指数及基本性质。
了解群环域等基本概念。
要求基本会用数论知识解决某些代数编码问题。
要求基本会用所学知识解决某些代数编码以及密码学问题。
（三）教学时数54学时（四）教学方式课堂讲授为主。
二、本文第一章整数的可除性教学要点：1. 整除的概念及欧几里得除法2. 算术基本定理教学内容：§1 整除概念和带余除法§2 最大公因式与欧几里得除法§3 整除的性质及最小公倍数§4 素数和算术基本定理§5 素数定理教学时数 6 学时考核要求：1.熟练掌握整除概念及性质，掌握带余除法。
2.理解欧几里得除法，会求最大公因数和最小公倍数。
3.理解素数概念和算术基本定理。
第二章同余教学要点：1.同余及基本性质，2.剩余类及完全剩余系的概念和性质3.欧拉函数和欧拉定理教学内容：§1 同余概念及其基本性质§2 剩余类及完全剩余系§3 简化剩余系与欧拉函数§4 欧拉定理与费尔马定理§5 模重复平方计算法教学时数 6 学时考核要求:1．理解同余概念，掌握其基本性质2．理解剩余类及完全剩余系，了解简化剩余系，熟悉欧拉函数3．掌握欧拉定理和费尔马定理4．掌握模重复平方计算法第三章同余式教学要点：一次同余式和二次同余式的解法，中国剩余定理教学内容：§1 基本概念及一次同余式§2 中国剩余定理§3 高次同余式的解数及解法§4 素数模的同余式教学时数 6 学时考核要求:1. 理解同余式概念，会熟练求解一次同余式2. 理解中国剩余定理第四章二次同余式与平方剩余教学要点：1.平方剩余与平方非剩余，2.勒让德符号和雅可比符号3.合数模教学内容：§1 一般二次同余式§2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余§3 勒让德符号§4 二次互反律§5 雅可比符号§6 模p平方根§7 合数模§8 素数的平方表示教学时数 8学时考核要求:1.熟悉高次同余式的解法2.理解素数模的同余式和一般二次同余式3.理解模为奇素数的平方剩余与平方非剩余4.掌握勒让德符号和雅可比符号5.掌握二次互反律6.理解合数模的二次同余式及其解法第五章原根与指标教学要点：1.指数及其基本性质2.原根存在的条件以及原根求解教学内容：§1 指数及其基本性质§2 原根存在的条件§3 指标及n次剩余教学时数 6 学时考核要求:1.掌握指数及基本性质2.理解原根存在的条件，理解指标和n次剩余概念第六章群教学要点：1.陪集、正规子群和商群的概念2.同态、同构的概念教学内容：§1 群的基本概念§2 循环群§3 陪集和Lagrange定理§4 正规子群和商群教学时数 8学时考核要求:1.掌握群理论与同余理论之间的关系2.熟练群、循环群、同态、同构的概念第七章环和域教学要点：1．环和域的基本概念以及与同态、同构的概念2．理想、商环和多项式环教学内容：§1 环和域的基本概念§2 理想和商环§3 多项式环教学时数 6 学时考核要求:掌握环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和多项式环的概念第八章有限域教学要点：1．有限域的概念2．有限域上的多项式教学内容：§1 域的有限扩张§2 有限域的性质§3 有限域的表示§4 有限域上的多项式教学时数 6 学时考核要求:1.掌握有限域的基本概念及定理2.掌握域的扩张的概念3.掌握有限域上多项式的性质三、参考书[1] 信息安全数学基础。
信息安全数学基础答案第一二三四五六七八章2
第一章（1）5,4,1,5.（2）100=22*52, 3288=23*3*137.（4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b 没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础
信息安全数学基础导言信息安全是在当前信息时代中广泛关注的一个重要领域。
它涉及到保护数据的机密性、完整性和可用性，以及防止未经授权的访问、修改或破坏数据的行为。
在信息安全领域，数学起着至关重要的作用。
数学提供了许多基础概念和技术，用于保护信息和数据。
本文将介绍信息安全的一些数学基础知识。
1. 整数论整数论是信息安全中不可或缺的一部分，其主要研究整数及其性质。
在信息安全中，整数论常用于加密算法和密钥生成。
其中，最常见的整数论问题是素数的应用。
素数是只能被1和自身整除的整数。
在信息安全中，素数被广泛应用于加密算法，如RSA算法。
RSA算法的基本原理是利用两个大素数的乘积作为公钥的模数，并求解其积的欧拉函数值。
因此，整数论中研究素数的性质和生成方法对于实现安全的RSA加密算法非常重要。
除了素数，整数论还涉及到很多其他概念和技术，如模运算、同余和剩余类等。
这些概念和技术在信息安全中的密码算法和密钥生成中起着至关重要的作用。
2. 离散数学离散数学是信息安全中的另一个重要基础。
离散数学研究的是离散结构，如集合、图论、布尔代数等。
在信息安全中，离散数学的概念和技术被广泛应用于密码学和网络安全。
密码学是关于信息加密和解密的科学，其中离散数学起着关键作用。
密码学使用离散数学的技术来设计和分析密码算法。
例如，离散数学的图论技术可以用于构建网络拓扑图，以评估网络的安全性。
布尔代数被广泛应用于逻辑门电路的设计和分析，用于实现对信息的逻辑操作和处理。
离散数学的另一个重要应用是在密码学中的离散对数问题。
离散对数问题是指已知一个数的底数和模数，求解指数的问题。
这个问题在公钥密码学中扮演着重要角色，如Diffie-Hellman密钥交换协议和椭圆曲线密码算法。
3. 概率论与统计学概率论和统计学是信息安全中的另一对重要基础。
它们被用于分析密码算法的安全性、测量信息系统的可靠性，并为风险评估和安全决策提供支持。
在密码学中，概率论和统计学的概念被广泛应用于对密码算法的攻击和破解。
信息安全数学基础 课后习题答案,裴定一,徐详 编著 ,人民邮电出版社
·
·
(1
−
1 ql
)
= (q1
q1 · · · ql − 1) · · · (ql
− 1)
=
s ϕ(s)
2.10 (1)
n = pt11 · · · ptrr ,p1 < p2 < · · · < pr.
Ç ϕ(n)
=
n(1
−
1 p1
)
··
·
(1
−
1 pr
),
´ ϕ(n)
=
1 2
n
⇔
r
(1 −
i=1
Q=
12 · 22 · · · · ·
p−1 2
2
=
(−1)
p−1 2
(p
−
1)!
≡
(−1)
p+1 2
(mod p)
3.7
−2 p
=
−1 p
·
2 p
=
(−1)
p−1 2
·
(−1)
p2 −1 8
=
t1
É ´ ≥ t2, a + b = pt2 (pt1−t2 a1 + b1)
ordp(a + b) ≥ t2 =min{ordp(a),ordp(b)},
´ t1> t2, pt1−t2 a1 + b1 = 0, (p, pt1−t2 a1 + b1) = 1,
Á¸Ï ¦
³ « 1.6 1, 2, · · · , n
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£ 6v − 1|u
3.1 1, 1, 1, 1, 1, −1, 1
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5 227
信息安全系统数学基础教案设计(禹勇)
教师教案( 2009—2010 学年第一学期)课程名称：信息安全数学基础授课学时：40学时授课班级：信息安全专业，28063010～60班任课教师：禹勇教师职称：讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学第一章整除与同余授课时数：6一、教学内容及要求1.整除的概念及欧几里得除法，理解2.整数的表示，理解3.最大公因数及广义欧几里得除法，掌握4.整除的进一步性质及最小公倍式，掌握5.素数和算术基本定理，掌握6.同余的概念，掌握二、教学重点与难点本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面：1.欧几里得除法和广义欧几里得除法。
2.最大公因数和最小公倍数。
3.整数的标准分解式。
4.同余的概念三、内容的深化和拓宽在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。
四、教学方式（手段）及教学过程中应注意的问题1.在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT演示的方式。
2.讲述证明整除方面的定理的常用方法。
3.通过举例阐述重要定理的内容和含义。
五、作业1.证明：若2|n, 5|n, 7|n,那么70|n。
2.证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。
3.证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。
4.证明：任意三个连续整数的乘积都被6整除。
5.证明：对于任给的正整数k，必有k个连续正整数都是合数。
6.证明：191，547都是素数，737，747都是合数。
7.利用爱拉托斯筛法求出500以内的全部素数。
8.求如下整数对的最大公因数：(1) (55, 85) (2) (202, 282)9.求如下整数对的最大公因数：(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)。
(1) 1613, 3589 (2)2947, 377211.证明:若(a,4)=2，(b,4)=2，则(a+b,4)=4。
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 整除的概念定义 设♋、♌是两个整数，其中♌≠ 如果存在一个整数 ❑ 使得等式 ♋♌❑ 成立，就称♌整除♋或者♋被♌整除，记作♌♋ ，并把♌叫作♋的因数，把♋叫作♌的倍数 这时，❑也是♋的因数，我们常常将❑写成♋／♌或 否则，就称♌不能整除♋或者♋不能被♌整除，记作♋ ♌整除的基本性质☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时， ♌也遍历整数♋的所有因数☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时，♋♌也遍历整数♋的所有因数☎✆设♌，♍都是非零整数，☎♓✆若♌♋，则 ♌♋ ☎♓♓✆若♌♋，则♌♍♋♍☎♓♓♓✆若♌♋，则 ♌≤ ♋ 整除的相关定理☎✆ 设♋，♌≠ ，♍≠ 是三个整数 若♍♌，♌♋，ab则♍♋☎✆ 设♋，♌，♍≠ 是三个整数，若♍♋，♍♌，则♍♋±♌☎✆ 设♋，♌，♍是三个整数 若♍♋，♍♌则对任意整数♦，♦，有♍♦♋♦♌☎✆ 若整数♋ ⑤♋⏹都是整数♍≠ 的倍数，则对任意⏹个整数♦，⑤，♦⏹，整数是♍的倍数☎✆ 设♋，♌都是非零整数 若♋♌，♌♋，则♋±♌ ☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♌≠ ，♍ ≠ ，如果☎♋ ♍✆则 ☎♋♌ ♍✆☎♌ ♍✆☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♍≠ ，如果♍｜♋♌ ☎♋ ♍✆ 则♍ ♌☎✆ 设☐ 是素数，若☐ ♋♌ 则☐ ♋或☐♌☎✆ 设♋ ⑤♋⏹是⏹个整数，☐是素数，若☐ ♋ ⑤♋⏹ 则☐一定整除某一个♋ 二 整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化 三 最大公因数和最小公倍数 ☎一✆最大公因数 ．最大公因数的概念nn a s a s ++ 11定义：设是个整数，若使得 ，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作若 则称 互素．若 则称两两互素．思考： ．由两两互素，能否导出．由 能否导出两两互素？．最大公因数的存在性☎✆若 不全为零，则最大公因数存在并且☎✆若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．．求两个正整数的最大公因数．定理 ：设任意三个不全为零的整数，且 则辗转相除法由带余除法 得☎✆⑤⑤因为每进行一次带余除法，余数至少减少 ，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由☎✆知，定理 ：任意两个正整数 则是☎✆中最后一个不等于零的余数．定理 ：任意两个正整数的任意公因数都是的因数． ．性质定理 ：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理 ：设是不全为零的整数．☎♓✆若则☎♓♓✆若则☎♓♓♓✆若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：♊♋ 且♌♍．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理 ：若 是个正整数，则只需证♊是的一个公因数．♋ 是的公因数中最大一个例 求解：．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一 运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二 补充的方法方法三 运用列表法求解☎二✆ 最小公倍数．最小公倍数的定义定义： 是 个整数，如果对于整数，有那么叫做的一个公倍数．在 的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍数．记作 ．．最小公倍数的性质．定理 ：设是任给的两个正整数，则☎♓✆的所有公倍数都是的倍数．☎♓♓✆定理 ：设正整数是的一个公倍数，则．求两个以上整数的最小公倍数定理 ：设是个正整数 若则只需证：♊是 的一个公倍数，即♋设是的任一公倍数 则例 求解：又四 素数 算术基本定理．素数、合数的概念定义：一个大于 的整数，如果它的正因数只有 和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．．性质定理 ：设是大于 的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于 的最小正因数，则p ，都有定理 设⏹是一个正整数，如果对所有地素数n☐ ⏹则⏹一定是素数求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。
信息安全数学基础教案(禹勇)
信息安全数学基础教案（禹勇）教师教案（2009 —2010 学年第一学期）课程名称: 信息安全数学基础授课学时: 40学时授课班级: 信息安全专业，〜60班任课教师: 禹勇教师职称: 讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学信息安全数学基础教案（禹勇）第一章整除与同余授课时数：6一、教学内容及要求1. 整除的概念及欧几里得除法，理解2. 整数的表示，理解3. 最大公因数及广义欧几里得除法，掌握4. 整除的进一步性质及最小公倍式，掌握5. 素数和算术基本定理，掌握6. 同余的概念，掌握二、教学重点与难点本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面:信息安全数学基础教案(禹勇)1. 欧几里得除法和广义欧几里得除法。
2. 最大公因数和最小公倍数。
3. 整数的标准分解式。
4. 同余的概念三、内容的深化和拓宽在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。
四、教学方式(手段)及教学过程中应注意的问题1. 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT 演示的方式。
2. 讲述证明整除方面的定理的常用方法。
3. 通过举例阐述重要定理的内容和含义。
五、作业1. 证明：若2|n, 5|n, 7|n那么70|n。
2. 证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。
3. 证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。
4. 证明：任意三个连续整数的乘积都被6 整除。
5. 证明：对于任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数。
6. 证明：191，547都是素数，737，747都是合数。
7. 利用爱拉托斯筛法求出500 以内的全部素数。
8. 求如下整数对的最大公因数：(1) (55, 85) (2) (202, 282)9. 求如下整数对的最大公因数：信息安全数学基础教案(禹勇)(1) (2t+1, 2t-1) (2) (2n, 2(n+1))10.运用广义欧几里得除法求整数s, t，使得sa+tb=(a,b)(1) 1613, 3589 (2)2947, 377211. 证明:若(a,4)=2, (b,4)=2，则(a+b,4)=41 2 .求出下列各对数的最小公倍数。
最新《信息安全数学基础》课程教学大纲资料
《信息安全数学基础》课程教学大纲课程性质：学科基础课课程代码：学时：72（讲课学时：72实验学时：0课内实践学时: 0）学分：4.5适用专业：通信工程一、课程教学基本要求《信息安全数学基础》是通信工程专业教学计划中的一门学科基础课，通过对本课程的学习，可以使学生系统地掌握本学科的数学基础，使得学生能够初步掌握和运用数学理论来分析和研究一些问题。
二、课程教学大纲说明信息安全学科是一门新兴的学科．它涉及通信学、计算机科学、信息学和数学等多个学科。
为了使学生系统的掌握信息安全理论基础和实际知识，需要专门开课讲授与信息安全相关的数学知识，特别是关于初等数论知识。
通过本课程的学习，使学生掌握信息安全学科涉及的数学基本概念、基本原理和实际应用，建立数学体系的完整概念，为后续专业课程的学习奠定基础。
本课程的教学内容主要以理论为主，介绍了整数的可除性、同余理论以及有关原根与指标等知识。
学好本课程内容的前提条件：高等数学和线性代数的基础知识。
教学方法与手段：本课程采用课堂理论教学为主要教学方法，习题课和批改作业为检查措施，期末笔试考试为检查手段，以确保本课程的教学质量。
三、各章教学结构及具体要求（一）第一章整数的可除性1.教学目的和要求。
通过对本章的学习，使学生加深对整数的性质、狭义和广义欧几里得除法和算术基本定理的了解，更深入地理解初等数论与现代密码学的关系。
2.教学内容和要点。
共讲授六个方面的内容：（1）整除的概念、欧几里得除法；（2）整数的表示（3）最大公因数与广义欧几里得除法（4）整除的进一步性质及最小公倍数（5）素数、算术基本定理（6）素数定理。
（二）第二章同余1. 教学目的和要求。
通过对本章的学习，使学生了解同余、剩余类和简化剩余类的概念，熟悉欧拉定理、费马小定理。
2.教学内容和要点。
共讲授五个知识点的内容：（1）同余的概念及基本性质（2）剩余类及完全剩余系（3）简化剩余系与欧拉函数（4）欧拉定理费马小定理（5）模重复平方计算法。
《信息安全数学基础》(许春香 著) 课后习题答案 电子科技大学出版社
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必要性：因为群 G 是交换群, 所以对任意元素 a,b 有 ab=ba, 方程两边左乘以 a 右乘 以 b 有 abab=aabb, 有(ab)2=a2b2. （9） 证明：对群中任意元素 a,b 有 ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以 a 的逆元有 b(ab)-1=a-1, 在 左乘以 b 的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立. （12） 证明：显然 mZ 是群 Z 的一个非空子集, 验证封闭性, 结合律, 单位元, 逆元, 得出 mZ 是一个群, 所以 mZ 是 Z 的子群. （因为对 mZ 中任意元素 am, bm 有 am-bm=(a-b)m, 因为 a-b∈Z, 所以(a-b)m∈mZ, 所以 mZ 是群 Z 的一个子群）. （13） 证明：设群 G 的两个子群为 G1, G2, 则对任意 a,b∈G1∩G2 有 ab-1∈G1, ab-1∈G2, 所 以 ab-1∈G1∩G2, 所以 G1∩G2 也是 G 的子群. （14） 证明：设 G 是一个群, 对任意 a,b∈G, 存在一个 G 到 H 的映射 f,并且 f(ab)=f(a)f(b). 对任意 f(a),f(b)∈H 有 f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以 H 满足运算的封闭性. 对任意 f(a),f(b),f(c)有 (f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又 因 为 (ab)c=a(bc), 所 以 (f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以 H 满足结合律. 对任意 f(a)∈H, 有 f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以 f(e)是 H 的单位元, 对任意的 f(a)∈H, 有 f(aa-1)=f(e)=f(a)f(a-1), 所以 f(a)的逆元为 f(a-1). 所以 H 是一个群. （16） 证明：设 a 到 a-1 的一一映射为 f.
信息安全数学基础习题答案
因此70|n
2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k Z 3|a 则3|a3-a
当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0 Z
（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k
所以（a+b,4）=4
37．证明：反证法
假设n为素数，则n| a2- b2=(a+b)(a-b)
由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾
所以假设不成立，原结论正确，n为合数。
40．证明：（1）假设是21/2有理数，则存在正整数p，q，使得21/2=p/q,且（p, q）=1
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)
所以（2t+1,2t-1）=1
（2）解：2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以（2n,2(n+1)）=2
32．（1）解：1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
信息安全数学基础证明题答案
信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,… (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
13．证明：反证法（这个直接构造法是错误的）假设形如4k+1的素数只有有限个，记为p1, p2,…, p n构造N=4*p1*p2*…*p n+1≥3*p1*p2*…*p n所以N＞p i (i=1,2,…,n)所以N为4k+1形式的素数，（错误在于，N只是不能被4k+1的素数整除，但并不能说明，N不能被其他形式的素数整除）所以假设不成立。
原结论正确，形如4k+1的素数有无穷多个。
反证法（费马小定理）1.假设形如4k+1的素数只有有限个，记为p1, p2,…, p n设m= p1*p2*…*p n，设q=4m2+1> p n, 是合数，则存在素数p，使得p|q所以有4m2=1(mod p),p不能整除2m，则(p,2m)=1。
由费马小定理得(2m)p-1=1(mod p)(q-1)(p-1)/2=1(mod p)因为p|q，所以(-1) (p-1)/2=1(mod p)所以4| (p-1)所以p是4k+1型的素数，且不p i中，与假设矛盾。
所以形如4k+1的素数有无穷多个。
2.课堂上讲过的方法37．证明：反证法假设n为素数，则n| a2- b2=(a+b)(a-b)由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾所以假设不成立，原结论正确，n为合数。
40．证明：（1）假设是21/2有理数，则存在正整数p，q，使得21/2=p/q,且（p, q）=1 平方得：p2=2q2, 即2|p2，所以p=2m, m∈N因此p2=4m2=2q2 q2=2m2 q=2n, n∈N则（p, q）=(2m,2n)=2(m, n)≥2与（p, q）=1矛盾所以假设不成立，原结论正确，21/2不是有理数。
信息安全数学基础答案第一二三四五章(许春香 廖永建)
mi| a-b
则 [m1,…,mn] | (a-b) 所以 a=b (mod [m1,…,mn] ).
（11） 对两式进行变形有 21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的 m 即使求 21 和 1001 的公约数, 为 7 和 1. （ 12 ） (70!)/(61!)=
bc=k2d(m/d)+r 所以 ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1, 所以两边可以同除以一个 c, 所以结论成立. 第二个问题： 因为 a=b(mod m), 所以 a-b=ki*mi， a-b 是任意 mi 的倍数，所以 a-b 是 mi 公倍数，所以 [mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约 数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15） 将整数每位数的值相加, 和能被 3 整除则整数能被 3 整除, 和能被 9 整除则整数能被 9 整除, (1)能被 3 整除, 不 能被 9 整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能
=-1×2 ×3× 4 ×5 ×6 ×7× 8× 9 (mod 71) =1 (mod 71) 所以 70！=61！ (mod 71)
13、证明：因为 2 = -1 (mod 3), 所以 2n = (-1)n (mod 3), 2n +1= (-1)n +1(mod 3). 当 n 为奇数时， 2n +1= 0(mod 3)，即能被 3 整除. 当 n 为偶数时， 2n +1= 2(mod 3)，即不能被 3 整除. 14、证明: (1) 因为 ac=bc (mod m),
又由定理 1（page7） ，存在 j1 满足 又因为 pj 为素数，所以有 q1 = pj1 同理得 q2 = pj2 得 注意：在证明过程没使用标准因子分解式！ 6、 因为非零 a, b, c 互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为 a=p1p2––pr, b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因 为 a, b, c 互素, 所以 a, b, c 中没有公共(相同)素因子, 明显 ab 和 c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). 定义： （1）如果整数 dai （2） 设 d0 是 ai (1 ≤ i≤ n) ,则 d 称为 ai 的公因子． (1 ≤ i≤ n)的公因子， 如果 ai (1 ≤ ,…, qr = pjr,
信息安全数学基础(武汉大学)第五章
2010-5-18 西南交通大学信息科学与技术学院
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一元运算的定义：
设 S 为集合，函数 f: S→S 称为 S 上的一元运算，简称为 一元运算。
S 上的一元运算也必须满足如下条件： (1) 可运算性； (2) 单值性； (3) 封闭性。
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代数系统是一个通称，如果代数系统中的运算 符合某些性质，就产生了一些特殊的代数系统， 如 群、环、域、格 等。
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第5章
5.1 预备知识
群
5.2 群的定义及性质 5.3 同态和同构 5.4 循环群和置换群
< Zm, ⊕> 是群，群的阶为 m ； < Zm, ⊙> 不是群（仅为幺半群，因为零元 0 一定 不可逆，且并非其他的每个元素都存在逆元）； < Zp*, ⊙> 是群，群的阶为 p-1；
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有限群、无限群、群的阶：
若群 G 是无穷集，则称 G 为无限群； 否则，称为有限群。 群 G 的基数 (集合中元素的个数) 称为群 G 的阶。 只含单位元的群称为平凡群。
设 * 是 S 上的二元运算，e 是 * 运算的单位元， 对于 x∈S，如果存在 yl ( 或 yr ) ∈S，使得
yl * x = e ( 或 x * yr = e )，
则称 yl ( 或 yr ) 是 x 关于 * 运算的一个左逆元 （或右逆元）。 若 y ∈S 关于 * 运算既是 x 的左逆元又是 x 的 右逆元，则称 y 为 x 的 逆元。 如果 x 的逆元存在，则称 x 是可逆的。
信息安全数学基础第五章测试
第五章测试（红色为正确选项）1单选 2不是模7的原根 AA. 对B. 错2单选 9是模14的原根BA. 对B. 错3单选 2模11的指数为CA. 8B. 9C. 10D. 114单选 3模11的指数为BA. 3B. 5C. 7D. 115单选 2模13的指数为AA. 12B. 6C. 4D. 26单选模47的原根有（）个CA. 7B. 14C. 22D. 297单选模59的原根有（）个．DA. 7B. 14C. 22D. 288单选判断下句是否正确A. 对<br/>B. 错9单选判断下句是否正确 AA. 对B. 错单选判断下句是否正确A. 对B. 错11单选判断下句是否正确BA. 对B. 错12单选判断下题推断的正确性A. 对B. 错13单选判断下题是否正确A. 对B. 错14单选下题推断是否正确A. 对B. 错单选判断下句的正确性A. 对B. 错16单选判断下题是否正确A. 对B. 错17单选判断下题是否正确A. 对B. 错18单选判断下题是否正确A. 对B. 错19单选已知6是模41的原根，则（）是模41的原根B20单选已知6是模41的原根，则（）是模41的原根．B。
信息安全数学基础
信息安全数学基础
信息安全数学基础是指在信息安全系统中，使用到的、涉及到的数学理论和算法，是保护数据免受未经授权的使用的一种重要的安全技术。
它的目的是建立数学模型和实际操作，以防止未经授权的使用、更改或泄露信息资源，包括数据被恶意利用然后破坏系统。
信息安全数学基础最常用的数学原理包括加密与解密算法、数字签名和数字摘要、传输代码和数据短信、隐蔽信道和隐蔽通信、验证和认证等。
它们是信息安全的核心技术，为安全环境提供重要的理论支持。
具体来说，加密与解密算法是一种可以在发送者和接收者之间安全传输信息的算法，例如RSA，DES，AES等，旨在应用专业的数学技术来加密信息，让它免受未授权的解读。
数
字签名也是一种信息安全数学基础，可以在通讯中用于验证对方的身份并保证发送者对消息的有效性和真实性，如RSA算法。
传输代码和数据短信是将原始的数字信号翻译成信
号比特流的一种算法，以提高信号的传输效率;而隐蔽信道和隐蔽通信则是数学基础之一，主要是利用各种技术和理论，将网络信道中的信号转换、传输以及延展，从而达到在网络中掩蔽信息的效果。
验证和认证等是保证安全性的重要环节，它基于独特性和身份明确性，以确保只有授权者可以访问系统。
总而言之，信息安全数学基础是信息系统安全技术领域中重要的理论和技术，通过运用基础数学原理，如加密与解密算法、数字签名、传输代码、隐蔽信道、验证与认证等，来保护信息安全，并维护系统的正常运行。