概率论与数理统计随机过程及其统计描述
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计课程简介
概率论与数理统计课程简介
概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。
概率论与数理统计的研究对象是随机变量和随机过程，它们是随机现象的数学模型。
概率论与数理统计的研究方法是数学分析和统计学方法，它们是研究随机现象的基本工具。
概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。
它是研究随机事件发生的可能性大小的学科。
概率论的基本概念是概率，概率是指某一事件发生的可能性大小。
概率论的研究内容包括概率的基本性质、概率的计算方法、随机变量的概率分布、随机事件的独立性和条件概率等。
数理统计是研究统计规律的数学分支。
它是研究如何从样本中推断总体的性质和规律的学科。
数理统计的基本概念是样本和总体，样本是从总体中抽取的一部分数据，总体是指所有数据的集合。
数理统计的研究内容包括统计量的概念和性质、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等。
概率论与数理统计在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
在自然科学中，概率论与数理统计被广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
在社会科学中，概率论与数理统计被广泛应用于经济学、管理学、心理学等领域。
在工程技术中，概率论与数理统计被广泛应用于电子工程、通信工程、计算机科学等领域。
概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它是研究随机现象的规律性和统计规律的数学分支。
概率论与数理统计在现代科学和工程技术中有着广泛的应用，它们是研究随机现象的基本工具。
第十二章随机过程及其统计描述概率论与数理统计
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当n充分大时, n维分布函数族能够近似地描 述随机过程的统计特性. 显然, n取得越大, 则 n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋 完善. 一般, 可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有 限维分布函数族, 即{FX(x1,x2,...,xn, n=1,2,...,t1, t2, ...,tn), tiT}完全地确定了随机过程的统计 特性.
4
随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的参数集T.
13
随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分析时往往以随机变量族的描述方式 作为出发点, 而在实际测量和数据处理中往往 采用样本函数族的描述方式. 这两种描述方式 在理论和实际两方面是互为补充的. 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型 或离散型随机变量而分成连续型随机过程和 离散型随机过程. 热噪声电压, 例2和例3是连 续型随机过程, 例1, 例4和例5是离散型随机过 程.
12
工程技术中有很多随机现象, 例如, 地震波幅, 结构物承受的风荷载, 时间间隔(0, t]内船舶甲 板"上浪"的次数, 通讯系统和自控系统中的 各种噪声和干扰, 以及生物群体的生长等等变 化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘. 不过, 这些随机过程都不能象随机相位正弦波 那样, 很方便, 很具体地用时间和随机变量(一 个或几个)的关系式表示出来, 其主要原因是 自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂, 甚至不可能观察到, 因此只有通过分析样本函 数才能掌握它们的规律性.
概率论与数理统计第四版
概率论与数理统计第四版1. 简介概率论与数理统计是现代科学中的两个重要领域，它们在各个学科中都有广泛的应用。
本文档将介绍概率论与数理统计第四版的主要内容和特点。
2. 内容概述概率论与数理统计第四版主要分为两大部分：概率论和数理统计。
下面将对每个部分进行详细的介绍。
2.1 概率论概率论是研究随机现象规律的数学理论。
本书在概率论部分包括了以下几个主要内容：•随机事件与概率•随机变量及其分布•数学期望与方差•多维随机变量的分布•大数定律与中心极限定理•随机过程通过学习概率论的基本理论和方法，读者能够更好地理解和应用随机现象的规律。
2.2 数理统计数理统计是研究如何利用数据来推断总体特征的统计学分支。
本书的数理统计部分包括了以下几个主要内容：•统计数据的描述与分析•参数估计•假设检验•方差分析•相关与回归分析•非参数统计方法数理统计是概率论的应用，它使我们能够利用样本数据对总体进行推断与决策。
3. 特点概率论与数理统计第四版具有以下几个特点：3.1 理论与实践结合本书在介绍概率论和数理统计的基本理论的同时，也强调实际应用。
每个章节都配有大量的实例和案例分析，帮助读者将所学的理论知识应用到实际问题中。
3.2 全面而深入本书的内容全面而深入，涉及了概率论和数理统计的基本概念、原理和方法。
它不仅适合作为大学本科生的教材，也适合作为研究生和科研人员的参考书。
3.3 清晰的表达和结构概率论与数理统计第四版的作者通过清晰的表达和结构化的组织，使得书籍容易理解和阅读。
每个概念和方法都有详细的解释和定义，使读者能够更好地掌握和运用。
3.4 丰富的习题和答案为了帮助读者巩固所学的知识，本书的每个章节都附有大量的习题和答案，读者可以通过做习题来检验自己的理解和掌握程度。
4. 结论概率论与数理统计第四版是一本全面而深入的概率论与数理统计教材，它以理论与实践结合的方式，清晰地介绍了概率论和数理统计的基本概念、原理和方法。
通过学习本书，读者可以获得概率论和数理统计的基本知识，提高数据分析和决策能力。
随机过程及其概率密度
随机过程及其概率密度随机过程是一种随机现象的数学模型，用于描述随机变量随时间的演化规律。
概率密度则是随机过程的重要属性之一，用于描述随机变量取值的概率分布情况。
下面我们将详细介绍随机过程及其概率密度。
一、随机过程的概念及表示随机过程（random process）是一种随机变量集的集合，表示为{X(t), t∈T}，其中T为时间的取值范围。
随机过程中的每一个随机变量X(t)表示在不同时间点t时随机现象的取值。
随机过程可以用一条曲线表示，曲线上每一个点的横坐标表示时间，纵坐标表示相应时间点的随机变量的取值。
二、随机过程的分类根据时间变量的值域，随机过程又可分为离散时间过程和连续时间过程两类。
1.离散时间过程离散时间过程是指时间变量的取值范围为离散的，如自然数集合、整数集合或有限集合等。
在离散时间过程中，随机变量在不同时间点的取值是相互独立的。
2.连续时间过程连续时间过程是指时间变量的取值范围为连续的，如实数集合。
相比于离散时间过程，连续时间过程中的随机变量在不同时间点的取值往往是相关的。
三、随机过程的特性随机过程可以通过分布函数或概率密度函数来描述。
1.一维分布函数一维分布函数F(x,t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于x的概率，即F(x,t)=P(X(t)≤x)。
2.一维概率密度函数一维概率密度函数f(x, t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值在[x, x+dx]范围内的概率，即f(x, t) ≈ P(x < X(t) ≤ x+dx) / dx。
一维概率密度函数可以通过一维分布函数的偏导数得到，即f(x, t) = dF(x, t) / dx。
3.二维分布函数和二维概率密度函数随机过程的二维分布函数F(x, y, s, t)表示随机变量X(s)在时间点s时取值小于等于x，随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于y的概率，即F(x, y, s, t) = P(X(s) ≤ x, X(t) ≤ y)。
概率随机变量与随机过程
概率随机变量与随机过程概率随机变量与随机过程是概率论与数理统计中重要的概念和工具。
它们是描述随机现象的数学模型，用于研究和分析事件发生的规律和性质。
本文将从人类视角出发，以生动的语言描述概率随机变量与随机过程的概念、特点和应用。
一、概率随机变量概率随机变量是指在特定条件下，可能取不同取值的变量，并且每个取值都对应一个概率。
例如，掷骰子时，点数的取值范围是1到6，每个点数出现的概率相等。
这里的点数就是一个概率随机变量。
概率随机变量可以用来描述各种随机事件的结果。
例如，模拟投掷硬币的结果，可以定义一个概率随机变量表示正面朝上的概率；模拟抛硬币的次数，可以定义一个概率随机变量表示连续出现正面的次数。
概率随机变量的应用非常广泛，涉及到统计学、金融学、工程学等领域。
二、随机过程随机过程是指随机变量随时间变化的过程。
它可以用来描述随机事件的演变和发展规律。
例如，天气的变化可以看作是一个随机过程，每个时间点的天气状况是一个随机变量；股票价格的变化也可以看作是一个随机过程，每个时间点的股票价格是一个随机变量。
随机过程可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如抛硬币的结果；连续型随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如股票价格的变化。
随机过程在信号处理、通信系统、物理学等领域有广泛的应用。
三、概率随机变量与随机过程的关系概率随机变量和随机过程都是用来描述随机事件的数学模型，它们之间存在密切的联系。
概率随机变量可以看作是随机过程在某个时间点上的取值，而随机过程可以看作是概率随机变量随时间变化的过程。
概率随机变量和随机过程都可以用概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个函数，描述了随机变量或随机过程在不同取值上的概率。
例如，对于一个概率随机变量，可以通过概率分布函数得到每个取值的概率；对于一个随机过程，可以通过概率分布函数得到每个时间点上取值的概率。
四、概率随机变量与随机过程的应用概率随机变量和随机过程在各个领域都有重要的应用。
随机过程的基本概念及类型
第七章 随机过程的基本概念及类型
第一章 概率论基础
目录 Contents
7.1
随机过程的基本概念
7.2
随机过程的分布率和数字特征
7.3
复随机过程
7.4
几种重要的随机过程
7.1 随机过程的基本概念
通俗地讲, 用于研究随机现象变化过程的随机变量 族称为随机过程.
7.1.1 随机过程的实例
当 t1 t2 t 时,
DX (t )
2 X
(t)
BX
(t,t)
RX
(t,t
)
m
2 X
(t)
最主要的数字特征
mX (t) E[X (t)]
均值函数
RX(t1, t2 ) E[X (t1 )X (t2 )] 自相关函数
7.2 随机过程的分布律和数字特征
例7.2 设随机过程 X (t ) Y cos( t) Z sin( t), t 0, 其中 Y , Z 是相互独立的随机变量, 且 EY EZ 0, DY DZ 2 , 求 {X (t ) t 0}的均值函数 mX (t) 和 协方差函数 BX (s, t).
RW (s, t) E[W (s)W (t)] E[( X (s) Y (s))( X (t ) Y (t ))]
E[ X (s)X (t) X (s)Y (t) Y (s)X (t ) Y (s)Y (t)]
7.2 随机过程的分布律和数字特征
E[ X (s)X (t)] E[ X (s)Y (t)] E[Y (s)X (t)] E[Y (s)Y (t)]
◎ 显然有关系式 BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) , s, t T .
概率论与数理统计基础知识
进行统计分析，通常是从母体中随机地选择一部分样品，称为子样（又称样本）。用它来代 表母体进行观察、研究、检验、分析，取得数据后加以整理，得出结论
例如，我们可将一个编号水泥看成是母体，每一包水泥看成是个体，通过随机取样（连续取 样或从20个以上不同部位取样），所取出的12kg检验样品可称为子样，通过检验分析，即可 判断该编号水泥（母体）的质量状况。
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”.
则 X 的取值范围为 (a, b) .
定义
设 E 是随机试验, 它的样本空间是 S {e}. 如 果对于每一个 e S , 有一个实数 X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在 S 上的单值实值函数 X (e), 称 X (e) 为随机变量.
如果事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点，则称 B包含A，记作 A B ．从事件的集合表示看，事件B包含事件A就是样本空间的 子集B包含子集A 等对，任记何为事A件=AB，，总即有，AA与 B含有如相果同A 的 B样本，点同时B A ，则称事件A和事件B相
事件的互斥
如果事件A和B不可能同时发生，即A与B没有公共样本点，则称A与B是互斥 的（Mutually Exclusive）或互不相容的，换句话说，两个事件A与B互斥就是 样本空间两个子集A与B不相交
四、数据统计特征数
算术平均值 我们从总体抽了一个样本（子样），得到一批数据X1、X2、X3……Xn在处理这批数据时，经常
用算术平均值X来代表这个总体的平均水平。统计中称这个算术平均值为“样平均值”。 中位数 把数据按大小顺序排列，排在正中间的一个数即为中位数。当数据的个数n为奇数时，中位数就
概率论与数理统计电子版教材
概率论与数理统计电子版教材概率论与数理统计是一门重要的数学学科，它旨在研究随机现象和数据的统计规律，是自然科学、社会科学和工程技术等领域中不可或缺的基础学科。
本文将简要介绍概率论与数理统计的基本概念、分布、随机变量、随机过程和大数定律等内容。
一、概率论的基本概念概率是指一个事件在所有可能性中出现的可能性大小，它是一个0和1之间的实数。
概率论是一个基于集合论的数学理论，它研究随机事件，即不确定性事件的概率规律。
基本的概念包括样本空间、样本点、基本事件、和事件、差事件、交事件等。
样本空间是指所有可能的结果的集合，样本点是指样本空间中的一个元素，基本事件是指随机事件中最简单的一种，和事件是指随机事件中两个或多个事件发生的交集，差事件是指B事件不包含A事件的部分，交事件是指随机事件中两个或多个事件发生的并集。
二、分布概率论中的分布是指随机变量的概率分布模型，通常用于描述随机变量的概率密度函数或累积分布函数。
常见的分布包括离散分布和连续分布。
离散分布适用于描述一些离散的取值，像二项分布和泊松分布，而连续分布适用于描述取值连续的情况，像正态分布和t分布。
三、随机变量随机变量是指一个随机事件对应于一个实数或者一组实数的函数。
随机变量可以是离散的或连续的，离散的随机变量通常用概率质量函数描述，而连续的随机变量则用概率密度函数描述。
随机变量的期望和方差是随机变量的两个重要指标，它们可以用来描述随机变量的总体性质。
四、随机过程随机过程是指随机事件随时间变化的过程，它尤其适用于描述在不断变化的状态下的随机事件。
随机过程主要包括马尔科夫链、布朗运动和泊松过程等。
其中，马尔科夫链是指每一个状态都只依赖于前一步的状态，布朗运动是指在固定时间段内任意时刻的随机步长相加所得的路径，而泊松过程则是以随机变量为时间间隔的增量为标记的过程。
五、大数定律大数定律是概率论中的重要结果之一，它意味着随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其真实概率。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计经典课件随机过程
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
《概率论与数理统计》课件-随机过程
目录
• 随机过程基础 • 随机过程的基本类型 • 随机过程的分析与变换 • 随机过程的应用 • 随机过程的计算机模拟 • 随机过程的未来发展与挑战
01
随机过程基础
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是由随机变量构成的数 学结构，每个随机变量对应一个 时间点或位置。
分类
根据不同的特性，随机过程可以 分为离散随机过程和连续随机过 程，平稳随机过程和非平稳随机 过程等。
随机过程的统计特性
均值函数
方差函数
自相关函数
谱密度函数
描述随机过程的平均行 为。
描述随机过程的波动程 度。
描述随机过程在不同时 间点的相关性。
描述随机过程的频率特 性。
随机过程的概率模型
01
02
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，通过模 拟离散事件的发生和影响来逼 近真实系统。
离散事件模拟方法适用于描述 离散状态变化的过程，如交通 流模拟、排队系统模拟等。
离散事件模拟方法的关键在于 事件的时间点和顺序的确定， 以及事件影响的计算。
连续时间模拟方法
连续时间模拟方法是一种基于时间连 续变化的模拟方法，通过模拟时间连 续变化的过程来逼近真实系统。
连续时间模拟方法的关键在于时间步 长的选择和状态变化的计算，需要保 证模拟结果的准确性和稳定性。
连续时间模拟方法适用于描述连续状 态变化的过程，如人口增长模拟、生 态系统模拟等。
06
随机过程的未来发展与挑战
控制系统
利用随机过程理论，分析和设计 控制系统，提高系统的稳定性和
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability Theory and Mathematical Statitics课程编号：09420003学时数及学分：54学时 3学分教材名称及作者：《概率论与数理统计》（第三版）, 盛骤、谢式干、潘承毅编出版社、出版时间：高等教育出版社，2001年本大纲主笔人：邓娜一、课程的目的、要求和任务概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科，本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。
通过本课程的学习，要使学生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问题的初步能力。
概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。
所以我院各专业学习概率统计是非常必要的，它也是学习专业课的基础。
二、大纲的基本内容及学时分配本课程的教学要求分为三个层次。
凡属较高要求的内容，必须使学生深入理解、牢固掌握、熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“熟练掌握”一词表述。
在教学要求上一般的内容中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“掌握”表述。
对于在教学上要求低于前者的内容中，概念、理论用“会”一词表述，方法、运算用“知道”表述（一）随机事件及其概率1、理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。
南邮-概率与数理统计-第12章 - 随机过程及其统计描述
. 自协方差函数， 简称协方差函数
10
随机过程的数字特征之 间的关系： 2 (1). X ( t ) RX ( t , t ) ( 2). C X ( t1 , t 2 ) RX ( t1 , t 2 ) X ( t1 ) X ( t 2 ) 2 2 ( 3). X ( t ) C X ( t , t ) RX ( t , t ) X ( t )
1
2、当 X ( 0) 0 时，有 C X ( s, t ) D X (min( s, t )) (注：记 D X ( t ) D( X ( t )))
X ( t ), t T
族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
T 定义2 ： 设 ( ,) ，如果对于每一个T ，都有一个随机 t 变量 X (t ) 与它相对应 ，则称随机变量族), t T } { X (t 为随机过程。 称T 为时间参数集，称 ) 为时刻 时过程的状态， X (t t
类似，对t1 , ，t n T，称 ( X ( t1 ), , X ( t n )) 的分布函数 FX ( x1 , , x n ; t1 , , t n ) P{ X ( t1 ) x1 , , X ( t n ) x n } 为随机过 程的n维分布函数 . 称 { FX ( x1 , , x n ; t1 , , t n ), t1 , , t n T } 为随机过程的 维分布 n
6
§ 随机过程的统计描述 2 下面从分布函数族和数 字特征两方面来描述随 机过程的
统计特性. (一)、随机过程的分布函数 族 设 { X ( t ), t T } 为一个随机过程 . 对t T，称 X ( t ) 的分布函数FX ( x; t ) P{ X ( t ) x } 为随机 过程的一维分布函数 . 称 {FX ( x; t ), t T } 为随机过程的一维分布 函数族.
概率论与数理统计及其应用第15讲 随机过程的概念
工程技术中有很多随机现象:地震波幅、结构物承受的
风荷载、通讯系统和自动控制系统中的各种噪声和干扰，
以及生物群体的生灭问题，数量遗传学，竞争现象，传染
病扩散，癌细胞扩散，质点的随机游动，排队问题等变化
过程都可以用随机过程这一数学模型来描述． 但是，这些随机过程都不能像随机相位正弦波那样，
很方便、很具体地用时间和随机变量（一个或几个）的关
例 10.2 （热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒 子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确 定时刻t的值是随机变量,记为V(t).不同时刻对应着不同的随机 变量,当时间在某区间,譬如[0,+)上推移时,热噪声电压表现 为一簇随机变量.在无线电通讯技术中,接收机在接收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰,为消除这种干扰, 就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程.为此,我们通过某种 装臵对电阻两端的热噪声电压进行长时间的测量,并把结果自 动记录下来,这作为一次试验结果,便得到一个电压—时间函数 v1(t),t0.这个电压—时间函数是不可能预先确知的,只有通过 测量才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量,则得到 的记录是不同的,事实上,由于热骚动的随机性,在相同条件下 每次测量都将产生不同的电压—时间函数．这样,不断地独立 重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压—时间函数 ,这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压．
y 1 dF ( y; t ) f X (ln ) t y f ( y ;t ) dy 0
t 1 y 0 0
, y 0, , y 0.
t 1 y , ln 0, y t 0 , y 0.
1 2 x (t ) gt 2
数理统计与随机过程李忠范
数理统计与随机过程李忠范数理统计与随机过程是概率论和统计学的重要分支，它们的研究对象都是随机现象。
数理统计主要研究如何从样本中推断总体的性质，而随机过程则关注于随机现象在时间上的演化规律。
本文将从简单介绍数理统计和随机过程的基本概念开始，逐渐深入探讨其应用和研究方法。
一、数理统计1.1 基本概念数理统计是一门研究如何根据数据推断总体特征的学科。
它涉及到总体、样本、参数估计、假设检验等基本概念。
在实际应用中，我们往往无法直接获得总体的信息，只能通过对样本进行观察和分析来推断总体的性质。
1.2 参数估计参数估计是数理统计中的重要内容，它通过样本数据来估计总体的未知参数。
最常用的参数估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数，而最大似然估计则是寻找最有可能产生观测数据的参数值。
1.3 假设检验假设检验是数理统计中用来判断总体参数是否符合某种设定的方法。
它分为参数检验和非参数检验两种。
参数检验通常是对总体参数进行假设，然后通过样本数据来判断该假设是否成立；非参数检验则不对总体参数做特定的假设，通过对样本的分布进行比较来得出结论。
1.4 方差分析方差分析是数理统计中用来分析多个总体均值是否相等的方法。
它通过比较组间变异和组内变异的大小来推断不同组的均值是否有显著差异。
方差分析在实际应用中广泛用于比较不同处理组之间的差异。
二、随机过程2.1 基本概念随机过程是描述随机现象在时间上演化的数学模型。
它由状态空间、时间集合和转移概率组成。
随机过程可以是离散的，也可以是连续的。
通过研究转移概率和状态空间的性质，我们可以了解随机过程在不同状态之间的转移规律。
2.2 马尔可夫链马尔可夫链是随机过程的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
马尔可夫链在很多领域中都有广泛应用，比如排队论、货物流动等。
2.3 布朗运动布朗运动是一种连续时间、连续状态的随机过程，它具有独立增量和正态分布特性。
随机变量和随机过程
随机变量和随机过程随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是随机试验结果的数值化表达。
在统计学中，随机变量是指可以取不同值的变量，并且取值的概率是事先已知的。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量的取值有限或可数。
它的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
离散型随机变量的概率质量函数满足以下条件：- 对于任意离散点k，有P(X=k)>=0；- 所有离散点的概率之和等于1，即∑P(X=k)=1。
2. 连续型随机变量连续型随机变量的取值在某一区间内连续变化。
它的概率分布可以通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。
对于连续型随机变量X，它的概率密度函数f(x)满足以下条件：- 对于任意实数x，有f(x)>=0；- 在它的取值区间内，概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
随机过程是一类重要的随机模型，它可以用来描述由随机变量构成的随机现象的演化过程。
随机过程可以用数学方式定义为一个参数化空间上的一族随机变量的集合。
它的演化可以是离散的，也可以是连续的。
1. 离散时间离散状态的随机过程离散时间离散状态的随机过程也称为马尔可夫链（Markov Chain）。
在离散时间点上，随机过程的状态只能取有限个或可数个值。
马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性。
2. 连续时间离散状态的随机过程连续时间离散状态的随机过程称为连续时间马尔可夫链。
它在连续时间上定义了一系列的随机变量，并且这些随机变量只能取有限个或可数个值。
连续时间马尔可夫链具有以下特点：- 当前状态的概率只与前一个状态有关，与历史状态无关；- 状态转移的概率具有确定性；- 增加了时间维度，使得状态的转移可以在任意时间点发生。
随机过程及其统计描述
随机过程数字特征之间 的关系:
2 1 X t RX t , t ; 2 2 2C X t1 , t2 RX t1 , t2 X t1 X t2 ; 3 X t C X t , t X t .
若CXY t1 , t2 0, 则称随机过程 X t 和Y t 是不相关的 .
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t , Y t , Z t 是三个随机过程 , 令W t X t Y t Z t , 则
W t X t Y t Z t ,
说明: 1*式表明几个随机过程之 和的自相关函数可以表 示 为各个随机过程的自相 关函数以及各对随机过 程的互相关函 数之和;
*
2如果上述三个随机过程 是两两不相关的 , 且各自的均值函数 都为零, 则由*式可知诸相关函数均等 于零, 此时W t 的自相关
函数简单地等于各个过 程的自相关函数之和 ,即
1 PT PH 2
例2﹑设a.b 是常数 t R, ~ U0,2, Xt, a cosbt 试问 如此 Xt, , t R, U0,2 定义的过程 是否为一随 机过程？
解：显然对固定 Ua, b ，Xt, 是一个仅 Xt , 依赖于t 的函数；对固定的t U 0,2 ， 是一个随机变量 •由定义即知该过程为一随机过程。
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H, T, 现 以此定义
cost, H Xt, , T t t ,
随机过程及其统计描述
{v1 (t ), v2 (t ),
, vk (t ), }
在给定的时刻 t j观测热噪声电压 V, 它是一个随机变量，其取值是
{v1 (t j ), v2 (t j ),
中的任意一个。
, vk (t j ), }
对热噪声电压的重复观测
3
12.1 随机过程的概念
热噪声电压现象的特点
(1)在某一时刻tj，电压V是一个随机变量，有其样本空间：
12.3 泊松过程及维纳过程
2
12.1 随机过程的概念
一个实例：热噪声电压
在一段时间内对热噪声电压进行观测 是随机试验。观测结果将得到某种形 式的v-t函数图象，可能是
v1 (t ), v2 (t ),
中的任意一个。
, vk (t ),
在相同条件下，独立、重复的观 测，所有可能的结果构成一个函 数族：
, tn ), ti T} 称为n维分布函数族
, X (tn ) xn }
,n
xi R, i 1, 2,
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均值函数
X (t ) 是一个随机变量， 给定随机过程 { X (t ), t T } ，固定 t T ， t 时刻的均值(数学期望)，记为
mn维分布函数可分离变量两随机过程相互独立的概念互相关函数12extytrt互协方差函数12不相关的判据若对任意恒有二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述仍指的是线性不相关24三个随机过程的和wtxtytzt均值函数自相关函数12rttewtwtxxxyxzyxyyyzzxzyzzxtytztxtytzt二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述25123泊松过程及维纳过程增量的概念给定二阶矩过程我们称随机变量为随机过程在区间上的增量
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X(t)
mX(t)X(t)
x1(t)
mX(t)
t
x2(t) xi(t)
mX(t)-X(t)
26
又设任意t1,t2T, 把随机变量X(t1)和X(t2)的二 阶矩原点混合矩记作 RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)], (2.4) 并称它为随机过程{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数. RXX也简记为RX(t1,t2). X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩记作 CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)] =E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]}, (2.5) 并称它为随机过程{X(t),tT}的自协方差函数, 简称协方差函数. CXX(t1,t2)也常简记为CX(t1,t2).
3
多次试验得到多个电压函数 v1(t) t v2(t) t vk(t) tj t
4
设T是一无限实数集, 把依赖于参数tT的一 族(无限多个)随机变量称为随机过程, 记为 {X(t), tT}, 这里对每一个tT, X(t)是一随机 变量. T叫做参数集. 常把t看作为时间, 称X(t) 为时刻t时过程的状态, 而X(t1)=x(实数)说成是 t=t1时过程处于状态x, 对于一切tT, X(t)所有 可能取的一切值的全体称为随机过程的状态 空间. 对随机过程{X(t), tT}进行一次试验, 其 结果是t的函数, 记为x(t), tT, 称它为随机过 程的一个样本函数或样本曲线. 所有不同的试 验结果构成一族样本函数.
8
例2 考虑 X(t)=a cos(wt+Q), t(-, ), (1.1) 式中a和w是正常数, Q是在(0,2)上服从均匀 分布的随机变量. x(t) x2(t), q2=3/2
O
t x1(t),q1=0
9
显然, 对于每一个固定的时刻t=t1, X(t1)=a cos(wt1+Q)是一个随机变量, 因而由 (1.1)式确定的X(t)是一个随机过程, 通常称它 为随机相位正弦波. 它的状态空间是[-a, a]. 在(0,2)内随机地取一数qi, 相应地即得这个 随机过程的一个样本函数 xi(t)=a cos(wt+qi), qi(0,2).
17
参数t通常解释为时间, 但它也可以表示其它 的量, 诸如序号, 距离等. 例如, 在例5中, 我们 假定每隔一个单位时间抛掷骰子一次, 那么第 n次抛掷的骰子出现的点数Xn就相当于t=n时 骰子出现的点数.
18
§2 随机过程的统计描述
19
(一)随机过程的分布函数族 给定随机过程 {X(t), tT}. 对于每一个固定的tT, 随机变量 X(t)的分布函数一般与t有关, 记为 FX(x,t)=P{X(t)x}, xR, 称它为随机过程{X(t), tT}的一维分布函数, 而{FX(x,t), tT}称为一维分布函数族. 一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别 时刻的统计特性.
概率论与数理统计
第16讲
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1
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念
2
热噪声电压 电子元件或器件由于内部微观粒 子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称 为热噪声电压, 它在任一确定时刻t的值是一 随机变量, 记为V(t). 不同时刻对应不同的随 机变量, 当时间在某区间, 譬如[0,+)上推移 时, 热噪声电压表现为一族随机变量, 记为 (V(t), t0), 在无线电通讯技术中, 接收机在接 收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持 续的干扰. 通过某种装置对元件两端的热噪声 电压进行长期测量, 并记录结果, 作为试验结 果, 得到一电压-时间函数.
27
由(2.2)和(2.4)式知
(t ) RX (t , t ).
2 X
(2.6)
(2.7)
2 X
由(2.5)式展开, 得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2). 特别, 当t1=t2=t时, 由(2.7)式得
2 X
(t ) C X (t , t ) RX (t , t ) - m (t ). (2.8)
由上面可知诸数字特征中最主要的是均值 函数和自相关函数.
28
随机过程{X(t), tT}, 如果对每一个tT, 二阶 矩E[X2(t)]都存在, 则称它为二阶矩过程. 二阶矩过程的相关函数总存在. 事实上, 由于 E[X2(t1)], E[X2(t2)]存在, 根据柯西-许瓦兹不等 式有 {E[X(t1)X(t2)]}E[X2(t1)X2(t2)], t1,t2T. 即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在
23
给定随机过程{X(t), tT}, 固定tT, X(t)是一 随机变量, 它的一切均值一般与t有关, 记为 mX(t)=E[X(t)], (2.1) 称mX(t)随机过程{X(t), tT}的均值函数. 注意, mX(t)是随机过程的所有样本函数在时刻 t的函数值的平均值, 通常称这种平均为集平 均或统计平均. 均值函数mX(t)表示了随机过程X(t)在各个时 刻的摆动中心.
14
随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分析时往往以随机变量族的描述方式 作为出发点, 而在实际测量和数据处理中往往 采用样本函数族的描述方式. 这两种描述方式 在理论和实际两方面是互为补充的. 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型 或离散型随机变量而分成连续型随机过程和 离散型随机过程. 热噪声电压, 例2和例3是连 续型随机过程, 例1, 例4和例5是离散型随机过 程.
5
随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的矩和二阶中心矩 分别记作 2 2 X ( t ) E[ X ( t )] ( 2.2) 和
( t ) DX ( t ) Var[ X ( t )] E{[ X ( t ) - m X ( t )] },
2 X 2
( 2.3) 并分别称它们为随机过程{X(t), tT}的均方值 函数和方差函数. 方差函数的算术平方根X(t) 称为随机过程的标准差函数, 它表示随机过程 X(t)在时刻t对于均值mX(t)的平均偏离程度.
20
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统 计联系, 一般可对任意n(n=2,3,...)个不同时刻 t1,t2,...,tnT, 引入n维随机变量(X(t1),X(t2),..., X(tn)), 它的分布函数记为 FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)= P{X(t1)x1, X(t2)x2,..., X(tn)xn}, xiR, i=1,2,...,n. 对于固定的n, 称{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn), tiT} 为随机过程{X(t), tT}的n维分布函数族.
22
(二) 随机过程的数字特征 随机过程的分布函 数族能完善地刻画随机过程的统计特性. 但是 人们在实际中, 根据观察往往只能得到随机过 程的部分资料(样本), 用它来确定有限维分布 函数族是困难的, 甚至是不可能的, 因而象引 入随机变量的数字特征那样, 有必要引入随机 过程的基本的数字特征-均值函数和相关函数 等. 将会看到, 这些数字特征在一定条件下是 便于测量的.
29
在实际中, 常遇到一种特殊的二阶矩过程-正 态过程. 随机过程{X(t), tT}称为正态过程, 如 果它的每一个有限维分布都是正态分布, 亦即 对任意整数n1及任意t1,t2,...,tnT, (X(t1), X(t2),..., X(tn))服从n维正态分布. 由第四章的 结论知, 正态过程的全部统计特性完全由它的 均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所 确定.
21
当n充分大时, n维分布函数族能够近似地描 述随机过程的统计特性. 显然, n取得越大, 则 n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋 完善. 一般, 可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有 限维分布函数族, 即{FX(x1,x2,...,xn, n=1,2,...,t1, t2, ...,tn), tiT}完全地确定了随机过程的统计 特性.
11
例4 设某城市的120急救电话台迟早会接到用 户的呼叫, 以X(t)表示时间间隔(0,t]内接到的 呼叫次数, 它是一个随机变量, 且对于不同的 t0, X(t)是不同的随机变量. 于是, {X(t),t0}是 一随机过程. 且它的状态空间是{0,1,2,...}.
12
例5 考虑抛掷一颗骰子的试验. (i) 设Xn是第n 次(n1)抛掷的点数, 对于n=1,2,...的不同值, Xn是不同的随机变量, 因而{Xn, n1}构成一随 机过程, 称为伯努利过程或伯努利随机序列. (ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数, {Xn, n1}也是一随机过程. 它们的状态空间都是 {1,2,3,4,5,6}.
15
随机过程还可依时间(参数)是连续或离散进 行分类. 当时间集T是有限或无限区间时, 称 {X(t), tT}为连续参数随机过程(以下如无特 别指明, "随机过程"总是指连续参数而言的). 如果T是离散集合, 例如T={0,1,2,...}, 则称 {X(t), tT}为离散参数随机过程或随机序列, 此时常记成{Xn, n=0,1,2,...}等, 如例5.
6
例1 抛掷一枚硬币试验, 样本空间是S={H,T}, 现藉此定义 cos t , 当出现H , X (t ) t ( -,), 当出现T , t, x(t) x=cos t O t1