初三数学解综合题的能力训练

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怎样提高解数学综合题的效率

怎样提高解数学综合题的效率数学综合题常常是试卷中的把关题和压轴题。

目前，它已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型，尤其是创新能力型。

由于数学综合题所涉及的知识范围比较广，解题方法比较多，解题技巧也比较灵活，要求考生具有一定的创新意识和创新能力。

所以，要提高解数学综合题的效率，我认为要做到下面三点。

一、要加强数学基础知识知识是解题的基础，我们要熟练掌握数学基础知识的体系，掌握基本的常用的数学方法。

夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。

数学是一门演绎的科学，对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握，只有深入理解基本概念，牢牢记住基本定理和公式，才能找到解题的突破口和切入点；只有拥有充实、丰富的数学知识，才能为解题奠定坚实的基础，才有可能提高解题的效率。

俗话说：“巧妇难做无米之炊。

”可以用这句话来说明数学知识对于解题的重要性。

二、要提高解数学题的能力要提高解数学题的能力，一定要注意培养运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力，将实际问题构建为数学模型的能力，形数结合的能力，观察、实验、比较、猜想、归纳问题的能力，研究、探讨的能力和创新能力。

解题能力，表现在发现问题、分析问题和解决问题的各方面的能力，其核心是能否掌握正确的思维方法。

正确的思维品质是思维具有逻辑性，辩证性和创造性。

用于解题的正确思维，表现在能掌握解题思路的科学程序，掌握数学中常用的各种思路，并能因题制宜地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法，调动巧妙的解题技巧，以利于提高解数学题的效率。

三、要丰富解题的经验众所周知，除了提高数学能力，还要掌握数学思想，即转化的思想、方程思想、形数结合思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.、统计思想。

初中数学计算能力提升训练测试题

加强运算能力提高数学质量计算能力训练（整式1）1. 化简： 4a (3a 4b) 3b .2..35、6、（ 1）计算 ( 1 )9 210=2（2）计算 (x 2 ) 3x 5计算能力训练（整式 2）计算：(1) ( 3a 2b 3c) (2ab 2 )2 ( 3a 3 b) ；(2) ( 2a 23a 5)(3 a 2 ) ；2 3（3） 1.25 x 3 ( 8x 2 ) ；（ 4） ( 3x) (2x 23x 5) ;（5）2x 3 y (x 2 y) ；（6）利用乘法公式计算: 4m 3 2n 4m 32n（7） 5x 2 y 2 y 5x （）已知a b 5, ab6试求 a2 ab b2的值8 ,（10）计算能力训练（整式3）1、2a 2 b3 c 2a 2b 2、3(x 2 y)33(x 2 y) 3 4 234、当x 5 时,试求整式3x22x25x 13x 1 的值5、已知 xy 4 ， xy 1 ，试求代数式 ( x 2 1)( y 2 1) 的值6、计算 : ( 2a 3m 2n3a 2m n b 2 n 5a 2m ) ( a 2m )8、试确立 52010 7 2011 的个位数字计算能力训练（分式 1） 1．（辨析题）不改变分式的值，使分式（ ? ）1 x 1 y510的各项系数化为整数，分子、分母应乘以1 x 1 y39A ．10B ．9C ．45D ．902．（研究题）以下等式：①( a b) =- a b ; ② x y = x y; ③ a b=- a b ;c cx x c c ④m n=-m n中 , 建立的是（）mmA ．①②B ．③④C ．①③D ．②④23．（研究题）不改变分式23xx的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确5x 3 2x 3的是（?）A ．3x 2x 2B ．3x 2x 2C ．3x 2x 2D ．3x 2x 25x 32x 35x 32x 35x 32x 35x 32x 34．（辨析题）分式 4 y3x ， x 2 1， x 2xy y 2 ， a22ab中是最简分式的有（）2加强运算能力提高数学质量A ．1个 B．2个 C．3个 D．4 个5．（技术题）约分：x 2 6x9（ m 2 3m 2 （ 1）；2）．x 2 9m 2m6.（技术题）通分：x 2， ya 16（ 1）2；（ 2 ）22a 1 ，2．6ab 9a bc a a 17.（妙法求解题）已知 x+1x 2的值=3 ，求x 4 x 2x1计算能力训练（分式 2）1. 依据分式的基天性质，分式a可变形为（）a bA ．a B ．aa D ．aa bC ．-ba ba ba 2．以下各式中，正确的选项是（）A ． x y = x yx y x y; B ．x y =x yx yx y; C ． x y = x yx y x y; D ． xy = x y xy x y3．以下各式中，正确的选项是（）A ． a m aB ． a b =0C ． ab 1 b 1D ．x y1b m ba bac 1 c 1x 2 y 2x y4．（ 2005·天津市）若 a=2，则 a22a 3的值等于 _______ ．3a 27a 125．（ 2005·广州市）计算a 2ab=_________．a 2b 26．公式x 22 ， 2x 33， 5 的最简公分母为（）( x 1) (1 x) x 1A ．（ x-1 ） 2B ．（ x-1 ）3C ．（ x-1 ）D ．（ x-1 ） 2（ 1-x ）37．x1 ? ，则？处应填上 _________，此中条件是 __________ ．x 1 x 2 1拓展创新题8．（学科综合题）已知 a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求1 -1的值．a b9．（巧解题）已知 x 2+3x+1=0，求 x 2+ 1的值．x 2计算能力训练 (分式方程 1)选择1、（2009 年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日达成社区的某项工作，从第三3 个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效同样，结果提早天达成任务，则甲志愿者计划达成此项工作的天数是【】 A ．8 B.7 C ．6 D ． 5 2、(2009 年上海市 )3 ．用换元法解分式方程x 13x 1 0 时，假如设x 1y ，xx 1 x将原方程化为对于 y 的整式方程，那么这个整式方程是（）A ． y 2 y 3 0B ． y 2 3y 1 0C ． 3 y 2 y 1 0D ． 3 y 2y 1 03、（2009 襄樊市）分式方程 x x1的解为（）x 3 x 1 A ． 1 B ．-1 C ．-2 D ． -34、（2009 柳州） 5．分式方程1 2的解是（）A ． x 0B ． x 1C ． x 2D ． x 35、（2009 年孝感）对于 x 的方程 2 xa 1 的解是正数，则 a 的取值范围是 A ．a ＞－ 1 x1B ． a ＞－ 1 且 a ≠ 0C ．a ＜－ 1D ．a ＜－ 1 且 a ≠－ 26、（ 2009 泰安）某服饰厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采纳了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天达成任务，问计划每日加工服饰多少套？在这个问题中，设计划每日加工 x 套，则依据题意可得方程为（A ）16040018（B ） 160400 160 18x(1 20%) xx(1 20%) x（ C ） 160400 160 18（ D ） 400400 160 18x20% xx(1 20%) x7、（2009 年嘉兴市）解方程8 2的结果是（） 4 x 2 2 xA ． x 2B ． x 2C ． x 4D ．无解8、（2009 年漳州）分式方程 21的解是（）x 1 xA ． 1B ． 1C ．1D ．1339、（09 湖南怀化）分式方程1 的解是（）3x21 111 A ． xD ．B ． x 2C ． xx23310、（ 2009 年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日达成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效同样，结果提早 3天达成任务，则甲志愿者计划达成此项工作的天数是【】A ．8 B.7C ．6D ． 511、（ 2009年广东佛山）方程 12的解是（）x 1 xA ． 0B ．1C ．2D ．312、（ 2009 年山西省）解分式方程1x21，可知方程（）x 22 x加强运算能力提高数学质量A ．解为 x 2B ．解为 x 4C ．解为 x 3D ．无解13、（ 2009年广东佛山）方程1 12 的解是（）A ． 0B ．1x x C ．2D ．314、（ 2009 年山西省）解分式方程1x 21，可知方程（）x 2 2 xA ．解为 x 2B ．解为 x4 C ．解为 x 3D ．无解计算能力训练 (分式方程 2)填空1、（ 2009 年邵阳市）请你给 x 选择一个适合的值，使方程 2 1 建立，你选择的 x ＝________。

(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点延长线于点P ，连接BC •（1）求证： PCA B ；（2）已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图，四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ，解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

中考数学专题九综合型问题复习1

数学
专题九综合型问题
综合题，各地中考常常作为压轴题进行考查，这类题目难度大，考查知识多，解这类习题的关键就是善于利用几何图形的有关性质和代数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题．值得注意的是，近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力，力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去．
点拨：：设 OA＝3a，则 OB＝4a，设直线 AB 的解析式是 y＝kx＋b，则
根据题意得：3ba＝k＋4ab，＝0，解得：kb＝＝4－a43，，则直线 AB 的解析式是 y＝－43x
＋4a，直线 OD 是∠AOB 的平分线，则 OD 的解析式是 y＝x.根据题
意得：yy＝＝x－，43x＋4a，解得：yx＝＝117722aa，，则 D 的坐标是(172a，172a)，OA
解： (1)AE ＝ CE. 理由：连接 AE ， DE ， ∵ ∠ ABC ＝ 90° ， ∴∠ABE＝90，∴∠ADE＝∠ABE＝90°.∵AD＝DC，∴AE＝ CE
(2)连接 AE，ED，∵∠ABE＝90°，∴AE 是⊙O 的直径．∵EF 是⊙O 的切线，∴∠AEF＝90°，∴∠ADE＝∠AEF＝90°.又∵∠DAE＝∠EAF，
CF＝
aCD(a＞0)时，sin∠CAB＝ aa＋＋22.提示：∵CF＝aCD，AD＝DC，∴AF＝ AD＋DC＋CF＝(a＋2)CD，∴AE2＝DC·(a＋2)DC＝(a＋2)DC2，∴AE＝

2019年中考九年级数学专题复习由特殊到一般数学思想在几何综合题中的应用专题训练题(含答案解析)

由特殊到一般数学思想在几何综合题中的应用专题训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图①，若a＝b，点E在线段AC上，则＝．（2）数学思考①如图②，若点在线段AC上，则＝，（用含a，b的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CF的长．2．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现:当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是．（2）探究:如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．（3）应用:在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）3．请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空:如图1，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为；②当BE＝时，四边形CDBE为正方形（2）探究证明:如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形（3）拓展延伸:如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想:图1中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN的度数是；（2）探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．5．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，连接DE ，且DB ＝DE ．（1）如图1，若α＝90°，则的值是；（2）若α＝120°，将△BDE 绕点B 按顺时针旋转到如图2所示的位置，求的值；（3）对于任意角α，将△BDE 绕点B 旋转到如图3所示的位置，直接写出的值为．（用含α的式子表示）6．如图1，矩形ABCD ，AB ＝15，AD ＝20，∠AEB ＝90°，BE ＝9．（1）将△ABE 沿对角线BD 方向平移，当点E 恰好落在矩形的边上时，请直接写出此时△ABE 平移的距离；（2）如图2，将△ABE 绕点B 顺时针旋转a°（0°＜a ＜180°），记旋转中的△ABE 为△A′BE′，在旋转过程中，若A′E′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，问：是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．7．如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD ＝∠ECF ＝60°，（1）问题与发现：的值为；（2）探究与证明:将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE ＝2，GH ＝，则AH 的长为．8．如图（1），两个等腰直角三角形ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，DE ＝2，AB ＝1．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图（1）中的△ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．请解答下列问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图（2）所示，此时的值为． ②在平移过程中，的值为（用含k 的代数式表示）．（2）将图（2）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转，使点A 落在线段DF 上，如图（3）所示，将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ，请补全图形，并计算的值．（3）将图（1）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α≤45°），将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ，计算的值（用含k 的代数式表示）．9．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为；（2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC ＝∠AMN ，AM ＝MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD ＝AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC ＝10，CN ＝，试求EF 的长．10．在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的中点，Rt △EFG 的直角顶点E 在AB 边上移动．（1）如图1，若点D 与点E 重合且EG ⊥AC 、DF ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点M 、N ，易证EM ＝EN ；如图2，若点D 与点E 重合，将△EFG 绕点D 旋转，则线段EM 与EN 的长度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；（2）将图1中的Rt △EGF 绕点D 顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．如图2，在旋转过程中，当∠MDC ＝15°时，连接MN ，若AC ＝BC ＝2，请求出线段MN 的长；（3）图3，旋转后，若Rt △EGF 的顶点E 在线段AB 上移动（不与点D 、B 重合），当AB ＝3AE 时，线段EM 与EN 的数量关系是；当AB ＝m•AE 时，线段EM 与EN 的数量关系是．11．点P 在四边形ABCD 的对角线AC 上，直角三角板PEF 绕直角顶点P 旋转，其边PE 、PF 分别交BC 、DC 边于点M 、N ．【操作发现】如图1，若四边形ABCD 是正方形．当PM ⊥BC 时，可知四边形PMCN 是正方形．显然PM ＝PN ；当PM 与BC 不垂直时，确定PM 、PN 之间的数量关系：；【类比探究】如图2，若四边形ABCD 为矩形，试说明：；【拓展应用】如图3，改变四边形ABCD 、△PEF 形状，其条件不变，且满足AB ＝6，AD ＝4，∠B+∠D ＝180°，∠EPF ＝∠BAD ＞90°时，求的值．12．已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝α．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△DCE 是等边三角形；（2）如图2，当α＝45°时，求证：①＝；②CE ⊥DE ．（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系是：＝．13．已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．将△OCD 绕点O 逆时针旋转得到△OC'D （旋转角∠COC'＜∠COD ），连接AC'、BD'．（1）当AC ＝BD 时，即平行四边形ABCD 为矩形时，如图1，求证：△AOC'≌△BOD' （2）当AC ＝6，BD ＝10时，如图2，连接DD'，若AC'＝kBD' ①求k 的值．②直接写出C'A 2+（kDD'）2的值．14．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，求证：△BPE ∽△CEQ ；（2）如图①，当点Q 在线段AC 上，当AP ＝4，BP ＝8时，求P 、Q 两点间的距离；（3）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上，若BP ＝2a ，CQ ＝9a ，求PE ：EQ 的值，并直接写出△EPQ 的面积（用含a 的代数式表示）．15.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．求证：∠ABC ＝∠ACN ．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC ＝∠ACN 还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN ＝∠ABC ．连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．16．在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB ．（1）若四边形ABCD 为正方形；①如图1，请直接写出AE 与DF 的数量关系；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想AE 与DF 的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD 为矩形，BC ＝mAB ，其它条件都不变，将△EBF 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E ′BF ′，连接AE ′，DF ′，请在图3中画出草图，并求出AE ′与DF′的数量关系．17. 如图①，等腰Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB的中点，Rt△DEF的两条直角边DE、DF分别与AC、BC相交于点M、N．（1）思考推证：CM+CN＝BC；（2）探究证明：如图②，若EF经过点C，AE⊥AB，判断线段MA、ME、MC、DN四条线段之间的数量关系，并证明你的结论；（3）拓展应用：如图③，在②的条件下，若AB＝4，AE＝1，Q为线段DB上一点，DQ＝，QN 的延长线交EF于点P，求线段PQ的长．18. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．19. 如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．20. （1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为．（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，请判断线段BE与AF的数量关系，并就图2的情形说明理由．（3）【问题解决】当AB＝AC＝2，且第（2）中的正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请直接写出线段AF 的长．参考答案与试题解析1．解：（1）当a＝b时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝1，（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝；②成立．如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵，∴，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），则CF＝2AE＝2（+CE）＝；③如图2，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍），此时CF＝2AE＝2（CE﹣）＝2；即：CF＝2或CF＝．2．解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵AE＝AG，AB＝AD，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AGB+∠ABE＝90°，∴∠AGB+∠ADG＝90°，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠DGH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠DAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AGB+∠ABE＝90°，∴∠AGB+∠ADG＝90°，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠DGH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图5，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，由（3）知，△ABE∽△ADG，∴，∴DG＝4．3．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，又∵BC=AC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°；②当BE ＝2 时，四边形CDBE 是正方形；理由如下：由①得：∠CBE ＝45°，∴∠DBE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，作EM ⊥BC 于M ，如图所示：则△BEM 是等腰直角三角形，∵BE ＝2 ，∴BM ＝EM ＝2，∴CM ＝BC ﹣BM ＝2，∴BM ＝CM ＝EM ，∴△CME 是等腰直角三角形， ∴∠CEM ＝45°，∴∠BEC ＝45°+45°＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形，又∵EM 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ，∴四边形CDBE 是正方形；故答案为：2 ；（2）①∠CBE ＝∠A ，理由如下：由旋转的性质得：∠BCE ＝∠ACD ，∵BC ＝2AC ，CE ＝2CD ， ∴，∴△BCE ∽△ACD ，∴∠CBE ＝∠A ；②∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，由①得：△BCE ∽△ACD ，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°，又∵∠DCE ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形；（3）在点D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况：①当CD ＝BD 时，则∠DCB ＝∠DBC ，∵∠DBC +∠A ＝90°，∠ACD +∠DCB ＝90°， ∴∠A ＝∠ACD ，∴CD ＝AD ，∴CD ＝BD ＝AD ，∴AD ＝AB ，∵AB ＝＝2 ，∴AD ＝；②当BD ＝BC ＝4时，AD ＝AB ＝BD ＝2 ﹣4；综上所述：若△BCD 恰好为等腰三角形，此时AD 的长为或2 ﹣4．4．解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN ∥BD ，PN ＝BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM ＝CE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BD ＝CE ，∴PM ＝PN ，∵PN ∥BD ，∴∠DPN ＝∠ADC ，∵PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCA ，∵∠BAC ＝120°，∴∠ADC +∠ACD ＝60°， ∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCA +∠ADC ＝60°，故答案为：PM ＝PN ，60°；（2）△PMN 是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，利用三角形的中位线得，PN ＝ BD ，PM ＝CE ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCE ，同（1）的方法得，PN ∥BD ，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB +∠PNC ＝∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCE +∠DCB +∠DBC＝∠BCE +∠DBC ＝∠ACB +∠ACE +∠DBC ＝∠ACB +∠ABD +∠DBC ＝∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB +∠ABC ＝60°，∴∠MPN ＝60°，∴△PMN 是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN 是等边三角形，PM ＝PN ＝BD ，∴PM 最大时，△PMN 面积最大，PM 最小时，△PMN 面积最小∴点D 在BA 的延长线上，△PMN 的面积最大，∴BD ＝AB +AD ＝12， ∴PM ＝6，∴S △PMN 最大＝PM 2＝ ×62＝9 ，当点D 在线段AB 上时，△PMN 的面积最小， ∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∴PM ＝2，S △PMN 最小＝PM 2＝ ×22＝，∴ ≤S △PMN ≤9 ．5．解：（1）如图1，过点E 作EF ⊥AC 于F ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠C ＝45°，∵DE ＝BD ，∴∠DEB ＝∠B ＝45°，∴∠ADE ＝∠BDE ＝90°，∵∠A ＝∠AFE ＝90°，∴四边形ADEF 是矩形，∴AD ＝EF ， ∵∠EFC ＝90°，∠C ＝45°，∴∠CEF ＝∠C ＝45°，∴EF ＝CF ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理得，CE ＝ EF ＝ AD ，∴＝；（2）如图2，∵AB ＝AC ，DE ＝BD ，∴△ABC 和△BDE 都是等腰三角形，且∠BDE ＝∠BAC ＝120°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，∴△ABC ∽△DBE ，∴，∴，∵∠1+∠CBD ＝∠3+∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△CBE ∽△ABD ，∴，过点D 作DM ⊥BE 于M ，∴∠BDM ＝∠BDE ＝60°，BE ＝2BM ，在Rt △BDM 中，sin ∠BDM ＝，∴sin60°＝＝，∴；（3）如图3，∵AB ＝AC ，DE ＝BD ，∴△ABC 和△BDE 都是等腰三角形，且∠BDE ＝∠BAC ＝α∴∠ABC ＝∠2＝∠DBE ＝∠4，∴△ABC ∽△DBE ， ∴，∵∠ABC ﹣∠CBD ＝∠DBE ﹣∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△CBE ∽△ABD ，∴，过点D 作DM ⊥BE 于M ，∴∠BDM ＝∠BDE ＝α，BE ＝2BM ，在Rt △BDM 中，sin ∠BDM ＝，∴sin＝，∴．6．解：如图1作EG ∥BD ，交AB ，AD 于F ，G ．作EH ⊥AB ，∵BE ＝9，AB ＝15，∠AEB ＝90°∴AE ＝12∵AB ＝15，AD ＝20，∠BAD ＝90°∴BD ＝25∵，∠AEB ＝∠BAD ＝90°∴△ABE ∽△ABD ∴∠ABE ＝∠ABD ∵EG ∥BD ∴∠EFB ＝∠ABD ∴∠BFE ＝∠EBA ,∴EF ＝BE ＝9∴当点E 平移到AB 上时，平移距离为9∵S △AEB ＝×AE ×BE ＝AB ×EH,∴EH ＝且BE ＝9∴BH ＝,∵BE ＝EF ，EH ⊥AB,∴FH ＝BH ＝,∴AF ＝,∵EG ∥BD,∴,∴FG ＝7∴EG ＝16,∴当点E 平移到AD 上，平移距离为16（2）如图2 当PD ＝DQ .∵△ABE ∽△ABD ,∴∠BAE ＝∠ADB ， ∵将△ABE 绕点B 顺时针旋转a °得到△A ′BE ′∴∠E 'A 'B ＝∠EAB ，AB ＝A 'B ＝15，BE ＝BE '＝9,∴∠E 'A 'B ＝∠ADB∴∠BA 'Q ＝∠ADQ ，且∠Q ＝∠Q,∴△PDQ ∽△BA 'Q ,∴∠QPD ＝∠A 'BQ ,∵PD ＝DQ ∴∠Q ＝∠DPQ ,∴∠Q ＝∠A 'BQ ,∴A 'Q ＝A 'B ＝15,∴E 'Q ＝27,∴根据勾股定理得：BQ ＝9 ∴DQ ＝BQ ﹣BD ＝9 ﹣25;当PQ ＝DQ 如图3,∵PQ ＝DQ,∴∠QDP ＝∠QPD 且∠BA 'E '＝∠QDP ∴∠DPQ ＝∠BA 'E ',∴BA '∥PE 且AD ∥BC ,∴BA '与BC 重合 ∵PD ∥BA ',∴∠PDQ ＝∠QBA ',∴∠QBA '＝∠P A 'B ,∴BQ ＝A 'Q设BQ ＝a ，∴E 'Q ＝12﹣a ,∴a 2＝92+（12﹣a ）2,∴a ＝,∴DQ ＝BD ﹣BQ ＝当PD ＝DQ 时如图4,∵PD ＝DQ ,∴∠DPQ ＝∠DQP ,∵AD ∥BC ∴∠ADB ＝∠DBC ，∠DPQ ＝∠BFP ,∴∠BFP ＝∠DQP ＝∠BQF ∴BF ＝BQ ，且∠BE 'F ＝90°,∴QE '＝FE ',∵旋转,∴∠ADB ＝∠BA 'P∴∠BA 'P ＝∠DBC 且∠BQF ＝∠BQF ,∴△ABQ ∽△BQF ∴,∴BQ 2＝2E 'F ×（12+E 'Q ）＝24E 'F +2E 'F 2．∵在Rt △BE 'F ，BF 2＝E 'F 2+BE '2∴BQ 2＝E 'F 2+81∴2E 'F 2+24E 'F ＝E 'F 2+81,∴EF ＝3∴BQ ＝3 ,∴DQ ＝25﹣当PQ ＝PD 时，如图5,∵PD ＝PQ ,∴∠PDQ ＝∠PQD ＝∠A 'QB ，且∠BA 'Q ＝∠ADB ,∴∠BA 'Q ＝∠BQA ',∴BQ ＝BA '＝15,∴DQ ＝10 ∴DQ 的长度可能为9 ﹣25，，25﹣ ，10．7．解：（1）如图1中，作EH ⊥CG 于H ．∵四边形ECFG 是菱形，∠ECF ＝60°， ∴∠ECH ＝∠ECF ＝30°，EC ＝EG ，∵EH ⊥CG ，∴GH ＝CG ，∴＝cos30°＝，∴，∵EG ∥CD ，AB ∥CD ，∴GE ∥AB ，∴．（2）结论：AG ＝ BE ．理由：如图2中，连接CG ．∵四边形ABCD ，四边形ECFG 都是菱形，∠ECF ＝∠DCB ＝60°，∴∠ECG ＝∠EGC ＝∠BCA ＝∠BAC ＝30°，∴△ECG ∽△BCE ，∴，∵∠ECB ＝∠GCA ，∴△ECB ∽△GCA ，∴，∴AG ＝ BE ．（3）如图3中，∵∠AGH ＝∠CGF ＝30°．∠AGH ＝∠GAC +∠GCA ，又∵∠DAC ＝∠HAG +∠GAC ＝30°，∴∠HAG ＝∠ACH ，∵∠AHG ＝∠AHC ，∴△HAG ∽△HCA ，∴HA ：HC ＝GH ：HA ，∴AH 2＝HG •HC ，∴FC ＝2，CG ＝ CF ，∴GC ＝2 ，∵HG ＝，∴AH 2＝HG •HC ＝ •3 ＝9，∵AH ＞0，∴AH ＝3．8．解：（1）①当点C 与点F 重合时，如图（2）中，延长BA 交EM 的延长线于N ．易证△EBN 是等腰直角三角形，可得BE ＝BN ，∴BC ＝BA ，∴AN ＝EC ＝DE ，∵DE ∥AN ，∴∠DEN ＝∠N ，∵∠DME ＝∠AMN ，∴△DME ≌△AMN （AAS ），∴DM ＝AM ，∴＝1．②如图1中，延长BA 交EM 的延长线于N ．同法可证：EC ＝AN ＝k ， ∵DE ∥AN ，∴△DEM ∽△ANM ，∴ =．（2）补全如图（3﹣1）所示，连接AE∵△ABC 、△DEF 均为等腰直角三角形，DE ＝2，AB ＝1， ∴EF ＝2，BC ＝1，∠DEF ＝90°，∠DFE ＝∠ACB ＝45°， ∴DF ＝2 ，AC ＝，∠EFB ＝90°，∴DF ＝2AC ，AD ＝， ∵点A 为CD 的中点，∴EA ⊥DF ，EA 平分∠DEF ，∴∠MAE ＝90°，∠AEF ＝45°，AE ＝．∵∠BEM ＝45°，∴∠MEA +∠AEB ＝∠BEF +∠AEB ＝45°，∴∠MEA ＝∠BEF ，∴△AEM ∽△FEB ， ∴ =，∴AM ＝，∴DM ＝AD ﹣AM ＝，∴＝1．（3）如图（3﹣2）中，过点B 作BG ⊥BE ，交直线EM 于点G ，连接AG ， ∴∠EBG ＝90°．∵∠BEM ＝45°，∴∠EGB ＝45°，∴BE ＝BG ． ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＝∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE ，∴AG ＝EC ＝k ，∠AGB ＝∠CEB ， ∵∠AGB +∠AGE ＝∠DEM +∠CEB ＝45°，∴∠AGE ＝∠DEM ， ∴AG ∥DE ，∴△AGM ∽△DEM ，∴ =．9．解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AB ＝AC ，AM ＝AN ， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B ＝∠ACN ＝60°，∵∠ANC +∠ACN +∠CAN ＝∠ANC +60°+∠CAN ＝180°，∴∠ANC +∠MAN +∠BAM ＝∠ANC +60°+∠CAN ＝∠BAN +∠ANC ＝180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC ＝∠ACN ，理由如下：∵且∠ABC ＝∠AMN ，∴△ABC ～△AMN ∴，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝（180°﹣∠ABC ），∵AM ＝MN ∴∠MAN ＝（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC ＝∠AMN ，∴∠BAC ＝∠MAN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC ＝∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠MAN ＝45°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC 即∠BAM ＝∠CAN ，∵＝，∴， ∴△ABM ～△CAN ,∴，∴＝cos45°＝，∴＝，∴BM ＝2，∴CM ＝BC ﹣BM ＝8，在Rt △AMC ， AM ＝＝2 ，∴EF ＝AM ＝2 ．10．解：（1）EM ＝EN ；理由：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的中点∴DC ＝DB ，∠ACD ＝∠B ＝45°，∠CDB ＝90°∴∠CDF +∠FDB ＝90°∵∠GDF ＝90°， ∴∠GDC +∠CDF ＝90°，∴∠CDM ＝∠BDN ，又∵CD ＝BD ，∠MCD ＝∠B ，∴△CDM ≌△BDN ， ∴DM ＝DN ,即EM ＝EN ；（2）如图2，作DP ⊥AC 于P ，则∠CDP ＝45°，CP ＝DP ＝AP ＝1 ∵∠CDG ＝15°，∴∠MDP ＝30°∵cos ∠MDP ＝,∴DM ＝,DM ＝DN ,∵△MND 为等腰直角三角形,∴MN ＝× ＝；（3）NE ＝2ME ，EN ＝（m ﹣1）ME ．证明：如图3，过点E 作EP ⊥AB 交AC 于点P 则△AEP 为等腰直角三角形，∠PEB＝90°,∴AE＝PE，∵AB＝3AE，∴BE＝2AE，∴BE＝2PE又∵∠MEP+∠PEN＝90°，∠PEN+∠NEB＝90°,∴∠MEP＝∠NEB,又∵∠MPE＝∠B＝45°∴△PME∽△BNE,∴=，即EN＝2EM,由此规律可知，当AB＝m•AE时，EN＝（m﹣1）•ME故答案为：EN＝2EM；EN＝（m﹣1）EM．11．解：操作发现：如图2，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，∴，∴PM＝PN，类比探究：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，∴,∴=；拓展应用：如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG＝∠DAB，∵∠EPF＝∠BAD，∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH+∠HPN＝∠EPH+∠GPM，∴∠HPN＝∠GPM，∵∠B+∠D＝180°，∴∠PGC+∠PHC＝180°，又∵∠PHN+∠PHC＝180°，∴∠PGC＝∠PHN，∴△PGM∽△PHN，∴=①，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，即＝②，∴由①②可得，＝．12．解：（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝BA，∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠BCA＝60°，∠BDF＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝BD，∴CF＝AD，∠CFD＝120°，∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠CFD＝120°，∵∠CDA＝∠B+∠BCD＝∠CDE+∠ADE，∵∠CDE＝∠B＝60°，∴∠FCD＝∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC＝DE，∵∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC＝90°，∴∠BFD＝45°，∠DFC＝135°，∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B＝180°，∴∠DFC＝∠DAE＝135°，∵∠CDA＝∠B+∠BCD＝∠CDE+∠ADE，∵∠CDE＝∠B＝45°，∴∠FCD＝∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴，∵四边形ADFG是矩形，FC＝FG，∴FG＝AD，CF＝AD，∴＝，②作CE′⊥DE于E′∵∠CDE＝45°，∴DE′＝CD•cos45°＝CD，∵DE＝CD，∴点E与点E′重合，∴CE⊥DE．（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠ACB，∵∠CDE＝∠ACB，∴∠CDO＝∠OAE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，∴，∵∠COE＝∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO＝∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE＝180°，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∵∠CDE＝∠B＝∠ACB，∴∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED，∴＝1．13．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OA＝OC＝OD，∵旋转△COD得△C'OD'，∴OC'＝OC＝OD＝OD'，∠COC'＝∠DOD'，∴∠BOD'＝∠AOC'，∴△AOC'≌△BOD'（SAS）；（2）①四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝5，OA＝OC＝3，∵旋转△COD得△C'OD'，∴∠BOD'＝∠AOC'，∴△AOC'∽△BOD'，∴，∴AC'＝BD'，∴k＝；②如图2，连接CC'，DD'，C'A2+（kDD'）2的值为36，由①知，k＝，BD'＝C'A由旋转知，OC '＝OC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，∴OC '＝OA ＝OC ，∴∠AC 'C ＝90°，由旋转知，OD ＝OD '，OC ＝OC '，∠DOD '＝∠COD '，∴，∴△COC '∽△DOD '，∴＝，∴CC '＝DD '根据勾股定理得，AC '2+CC '2＝AC 2，∴AC '2+（ DD '）2＝36， ∴C 'A 2+（kDD '）2＝C 'A 2+（DD '）2＝36．14．解：（1）证明：连接PQ ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∴∠1+∠2＝135°，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠3＝45°，∴∠1+∠4＝135°，∴∠2＝∠4，∵∠B ＝∠C ＝45°， ∴△BPE ∽△CEQ ；（2）∵AP ＝4，BP ＝8，∴AB ＝AC ＝12，∴BC ＝12 ，∵由（1）知，△BPE ∽△CEQ ， ∴，∴，∴CQ ＝9，∴AQ=AC ﹣CQ ＝3，又AP ＝4，∴PQ ＝5；（3）∵△BPE ∽△CEQ ，∴，即，解得，BE ＝CE ＝3 a ，∴PE ：EQ ＝BP ：CE ＝：3，如图②，连接PQ ，作PH ⊥BC 于H ，PG ⊥EF 于G ， ∵∠B ＝45°，BP ＝2a ，∴PH ＝BH ＝ a ，又BE ＝3 a ， ∴HE ＝2 a ，∴PE ＝ a ，∴PG ＝GE ＝ a ，∵PE ：EQ ＝：3，∴QE ＝3 a ， ∴△EPQ 的面积＝×QE ×PG ＝a 2．15. （1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°， ∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC=AB ，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ．（2）解：结论∠ABC ＝∠ACN 仍成立；理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC=AB ，AM ＝AN ， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ．（3）解：∠ABC ＝∠ACN ；理由如下：∵BA ＝BC ，MA ＝MN ，顶角∠ABC ＝∠AMN ，∴底角∠BAC ＝∠MAN ，∴△ABC ∽△AMN ，∴，又∵∠BAM ＝∠BAC ﹣∠MAC ，∠CAN＝∠MAN ﹣∠MAC ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC ＝∠ACN ． 16. 解：（1）①∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BF ＝ AB ， ∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，BF ＝ BE ，∴BD ﹣BF ＝ AB ﹣ BE ，即DF ＝ AE ； ②DF ＝ AE ．理由如下：∵△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∵＝，＝，∴＝，∴△ABE ∽△DBF ，∴＝＝，即DF ＝ AE ；（2）如图3，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ， ∴BD ＝＝ AB ，∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴＝，∴＝＝，∵△EBF 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E 'BF '，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴′ ′＝＝，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴′ ′＝＝，即DF ′＝ AE ′．17.解：（1）证明：如图①中，连接CD ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AD ＝DB ， ∴CD ⊥AB ，CD ＝AD ＝DB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DCN ，∵∠ADC ＝∠MDN ＝90°，∴∠ADM ＝∠CDN ， ∴△ADM ≌△CDN （ASA ），∴AM ＝CN ， ∵AC ＝BC ＝CM +AM ，∴BC ＝CM +CN ．（2）解：如图②中，连接CD ．∵AE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴AE ∥CD ，∴，∵△ADM ≌△CDN ，∴DM ＝DN ，∴．（3）解：如图③中，连接CD，作EH⊥CD于H，CG⊥PQ于G．∵AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵AC＝CB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB＝2，∵AE⊥AB，∴∠EAD＝∠ADH＝∠EHD＝90°，∴四边形AEHD是矩形，∴AE＝DH＝1，AD＝EH＝2，∵CD＝2，∴DH＝CH＝1，∵AE∥CD，∴AM：CM＝AE：CD＝1：2，∵AM＝CN，CA＝CB，∴BN＝2CN，∴CN＝BC，∵DQ＝，DB＝2，∴DQ＝BD，∴CN：CB＝DQ：DB，∴PQ∥CD，∵CD⊥AB，∴PQ⊥AB，∴∠CDQ＝∠DQG＝∠CGQ＝90°，∴四边形CDQG是矩形，∴GQ＝CD＝2，CG＝DQ＝，∵CG∥EH，∴∠PCG＝∠CEH，∵∠OGC＝∠CHE，∴△PCG∽△CEH，∴，∴PG＝，∴PQ＝GQ+PG＝2+＝．18. 解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：如图1中，延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF．∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．又∵∠DMN＝∠AMF，∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．（2）如图2中，①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；②当AF＝FK时，∠F AK＝∠＝75°，∴∠BAB1＝90°﹣∠F AK＝15°，即β＝15°；∴β的度数为60°或15°（3）如图3中，由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝8，∴A2M2＝4，A2F2＝4 ，∴AF2＝4﹣x．∵∠P AF2＝90°，∠PF2A＝30°，∴AP＝AF2•tan30°＝4﹣x．∴PD＝AD﹣AP＝4﹣4+x．∵NP∥AB，∴∠DNP＝∠B．∵∠D＝∠D，∴△DPN∽△DAB．∴，∴，解得x＝6﹣2．即A2A＝6﹣2．答：平移的距离是（6﹣2）cm．19. 解：（1）①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=,BD=4，∴．②如图1，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵，∴．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝==8，∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝==8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，由（2），可得，∴BD＝．综上所述，BD的长为4或．20. 解：（1）BE＝AF．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠BAD＝45°．∵点D为BC的中点，∴△ABD为等腰直角三角形．由勾股定理得：AB＝AD．在正方形CDEF中，DE＝EF．∵点E恰好与点A重合，即AD＝AF，BE＝AB．∴BE＝AF；（2）BE＝AF，理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝．在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，∠EFC＝90°，∴sin∠FEC＝，∴．又∵∠FEC＝∠ACB＝45°，∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．即∠FCA＝∠ECB．∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE＝AF；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，∴，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE＝AF，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝+，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．。

初三数学大题解题技巧

初三数学大题解题技巧初三数学大题解题技巧初三数学大题通常涉及多个知识点的综合运用，考验学生的理解能力和解题能力。

以下是一些解题技巧，帮助初三学生更好地解决数学大题。

1. 仔细阅读题目：在解题之前，要仔细阅读题目，理解问题的要求和限制条件。

有时候题目中会有一些关键信息，不理解或忽视这些信息可能导致思路错误。

2. 制定解题计划：在阅读题目后，可以尝试制定一个解题计划。

根据题目的要求，确定所需求解的内容，列出已知条件，并思考可能的解题思路和方法。

3. 划分步骤：对于复杂的大题，可以将解题过程划分为几个步骤。

逐步解决每个步骤，逐渐接近最终答案。

这样的划分能够使问题分解为更小的部分，更容易理解和解决。

4. 引入辅助线：对于几何题目，可以考虑引入一些辅助线来辅助解题。

通过引入辅助线，可以得到一些等腰三角形、相似三角形或平行四边形等特殊形状，从而简化解题过程。

5. 运用代数方法：对于一些代数题目，可以通过设定未知数、建立方程式等方法来解题。

运用代数方法，可以将复杂的问题转化为方程组，从而更容易求解。

6. 注意解题思路的合理性：在解题过程中，要时刻注意解题思路的合理性。

通过逐步推演，检验每个步骤是否符合逻辑，避免出现错误的计算或假设。

7. 多练习模拟题：为了熟悉解题技巧，多做一些模拟题或历年试题。

通过反复练习，可以熟悉各种题型和解题思路，提高解题能力和速度。

总之，解决初三数学大题需要耐心和综合运用各个知识点的能力。

通过理解题目要求、制定解题计划、划分步骤、引入辅助线、运用代数方法、注意解题思路的合理性以及多练习模拟题，可以提高解题的效率和准确性。

初中数学综合题解题方法整理

初中数学综合题解题方法整理在初中数学中，综合题是一种要求学生综合运用各个章节学过的知识和解题方法来解决问题的题型。

解决综合题需要学生具备一定的思维方法和解题技巧。

以下是一些常用的初中数学综合题解题方法的整理。

1. 读题和理解：首先要细读题目，理解问题的要求。

要注意关键词和条件，将问题转化为数学符号和关系。

2. 列出已知和未知量：读懂题目后，将已知条件和未知量列出来，以便更好地进行求解。

3. 准确建立方程：解决综合题往往需要建立方程来表达问题，将问题转化为数学方程式。

根据问题的不同，可以用一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等进行建模。

4. 尝试方法：尽量采用简单可行的方法解题，不要刻意复杂化。

可以尝试逆向思维、归纳推理、画图辅助等方法来解决问题。

5. 问题拆分和化简：有些综合题比较复杂，可以将问题拆分成几个简单的子问题来解决。

通过化繁为简，降低解题难度。

6. 数字代换法：在解题过程中，可以适当进行数字代换，将问题转换为具体的数值计算来帮助理解和解决。

7. 建模和使用图表：对于一些复杂的实际问题，可以通过建立数学模型来解决。

同时，可以使用图表和图像辅助解题，更直观地理解问题。

8. 注意正确的单位计算：在解决实际问题时，要注意单位的统一和换算。

如果题目中给出的单位与计算过程中的单位不一致，需要进行适当的换算。

9. 逻辑推理和分析：对于一些综合题，可能需要通过逻辑推理和分析来解决。

要注意找出条件之间的关系和逻辑推理的规律。

10. 反思和验证：在解决综合题后，要进行反思和验证，确保问题得到正确解答。

可以通过代入验证、逆向求解、求解边界条件等方式进行验证。

综合题是考察学生综合运用数学知识和解决实际问题能力的重要题型。

通过掌握上述解题方法，学生可以更好地应对各种类型的综合题。

在解题过程中，要注重细节，理清思路，尽量多运用已学的解题方法和技巧。

同时，要善于思考，灵活运用不同的解题思路和方法，培养自己的数学思维能力。

中考数学压轴题方程和不等式综合问题解答题解析版

26．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，单位：单位长度，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上在B的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．请直接写出直尺的长为______个单位长度；如图2，直尺AB在数轴上移动，有，求此时A点所对应的数；如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处看不到直尺的任何部分，A在B的左边，将直尺AB沿数轴以4个单位长度秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为、，若秒，求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？【答案】（1）20；（2）或10；（3）A点在蓬内所对应的数为38.当直尺AB在数轴上移动时，符合的情况如下所示：设BO为x：，所对应的数为设OA为x：，所对应的数为10综上所述，A在数轴上所对应的数分别为或10．设，如下图，根据题意，解得所以A点在蓬内所对应的数为38【关键点拨】本题通过直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间长度关系的变化来确定移动点的位置，根据已知条件来分析移动点的可能性是解题的关键．月使用费主叫限定时间(分钟) 主叫超时费(元/分钟) 被叫方式一65 160 0.20 免费方式二100 380 0.25 免费被叫免费)(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟,则他按方式一计费需____元,按方式二计费需____ 元；李华某月按方式二计费需107元,则李华该月主叫通话时间为_____分钟；(2)是否存在某主叫通话时间(分钟),按方式一和方式二的计费相等?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由。

(3)直接写出当月主叫通话时间(分钟)满足什么条件时,选择方式一省钱。

【答案】（1）73，100，408；（2）存在某主叫通话时间t=300或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）当每月通话时间大于560分钟时，选择方式一省钱．（2）①当t≤160时，不存在；②当160＜t≤380时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，65+0.20×（t-160）=100，解得t=335，符合题意；③当t＞380时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，65+0.20×（t-160）=100+0.25（t-380），解得t=560，符合题意．故存在某主叫通话时间t=300或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）由（2）可得，当每月通话时间大于560分钟时，选择方式一省钱．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．28．同学们,今天我们来学习一个新知识,形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为:利用此法则解决以下问题:(1)仿照上面的解释,计算出的结果；(2)依此法则化简的结果；(3)如果那么的值为多少?【答案】（1）11；（2）5a−b−ab；（3）.（3）∴5x-3（x+1）=4∴5x−3x−3=4∴2x=7∴x=【关键点拨】[来源:]此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键. 29．阅读探索知识累计解方程组解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为解方程组得：即所以此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_____________．【答案】（1）（2）解得：，故答案为：【关键点拨】二元一次方程组解法的拓展是本题的考点，熟练掌握基础知识进行换元是解题的关键. 30．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，B两点对应的数分别为______，______；若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则原点O与数______表示的点重合；若点A、B分别以4个单位秒和3个单位秒的速度相向而行，则几秒后A、B两点相距1个单位长度？若点A、B以中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-10;5; （2）-5；（3）2或秒；（4）存在，当m=3时，4AP+3OB-mOP为定值55．（2）∵|AB|=5-（-10）=15，=7.5，∴点A、点B距离折叠点都是7.5个单位所以折叠点上的数为-2.5．所以与点O重合的点表示的数为：-2.5×2=-5．即原点O与数-5表示的点重合．故答案为：-5．（3）设x秒后A、B相距1个单位长度，当点A在点B的左侧时，4x+3x=15-1，解得，x=2，当点A在点B的右侧时，4x+3x=15+1，解得，x=答：2或秒后A、B相距1个单位长度；【关键点拨】本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4）利用数轴上两点间的距离公式．31．（背景知识）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律:例如，若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．（问题情境）在数轴上，点表示的数为-20，点表示的数为10，动点从点出发沿数轴正方向运动，同时，动点也从点出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，、两点相遇，且动点、运动的速度之比是（速度单位:单位长度/秒）．备用图（综合运用）（1）点的运动速度为______单位长度/秒，点的运动速度为______单位长度/秒；（2）当时，求运动时间；（3）若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现:随着动点、的运动，线段的中点也随着运动．问点能否与原点重合？若能，求出从、相遇起经过的运动时间，并直接写出点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．【答案】（1）动点P运动的速度为4.5单位长度/秒，动点Q运动的速度为3单位长度/秒；（2）运动时间为或秒；（3）点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为，理由见解析（2）设运动时间为t秒．由题意知：点P表示的数为－20＋4.5t，点Q表示的数为10－3t，根据题意得：|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|整理得：|7.5t－30|=107．5t－30=10或7.5t－30=－10解得：t=或t=．答：运动时间为或秒．（3）P、Q相遇点表示的数为－20＋4×4.5=－2（注：当P、Q两点重合时，线段PQ的中点M也与P、Q两点重合）设从P、Q相遇起经过的运动时间为t秒时，点M与原点重合．①点P、Q均沿数轴正方向运动，则：解得：t=．此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷（单位长度/秒）；②点P沿数轴正方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：解得：t=．此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷=（单位长度/秒）；③点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，则：解得：t=－（舍去）．此时点M不能与原点重合；④点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：解得：t=－（舍去）．此时点M不能与原点重合．综上所述：点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．32．小明每隔一小时记录某服装专营店8：00～18：00的客流量（每一时段以200人为标时段8：00～9：00 10：00～11：00 12：00～13：0014：00～15：0016：00～17：00客流量（人）-21 +33 -12 +21 +54（1）若服装店每天的营业时间为8：00～18；00，请你估算一周（不休假）的客流量；（单位：人）（精确到百位）（2）若服装店在某天内男女装共卖出135套，据统计，每15名女顾客购买一套女装，每20名男顾客购买一套男装，则这一天卖出男、女服装各多少套？（3）若每套女装的售价为80元，每套男装的售价为120元，则此店一周的营业额约为多少元？【答案】（1）1.51×104人；（2）这一天卖出男装25套，女装110套．(3) 此店一周的营业额约为82600元．（2）设这一天卖出女装x套，男装（135-x）套,根据题意得，15x+20(135-x)=2150,解得，x=110，135-x=135-110=25.故这一天卖出男装25套，女装110套．（3）因为第二问中某一天出售男装25套，女装110套，每套女装的售价为80元，每套男装的售价为120元所以此店一周的营业额约为：[（25×120）+（110×80）]×7=[3000+8800]×7=11800×7=82600（元）故此店一周的营业额约为82600元．【关键点拨】本题考查正数和负数的加法、解方程组、数据的估算，注意第一问中精确到百位．33．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？(2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？(3)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．【答案】（1）甲超市实付款352元，乙超市实付款360元；（2）购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同；（3）该顾客选择不划算.（3）设购物总额是x元，购物总额刚好500元时，在乙超市应付款为：500×0.9=450(元)，482＞450，故购物总额超过500元．根据题意得：500×0.9+0.8(x-500)=482∴x=540∴0.88x=475.2<482∴该顾客选择不划算．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两超市的促销方案，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）求出购物总额．34．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？【答案】(1) 有三种购买方案,理由见解析；（2）为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车(2)方案一的日租金为3×200＋7×110＝1370(元)<1500元；方案二的日租金为4×200＋6×110＝1460(元)<1500元；方案三的日租金为5×200＋5×110＝1550(元)>1500元．所以为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车．【关键点拨】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，要注意找好题中的不等关系．解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次不等式；（2）求出三种购买方案的日租金35．如图是某景区的环形游览路线ABCDA，已知从景点C到出口A的两条道路CBA和CDA 均为1600米，现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形道路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分，每一个游客的步行速度均为50米/分．（1）探究（填空）：①当两车行驶分钟时，1、2号车第一次相遇，此相遇点到出口A的路程为米；②当1号车第二次恰好经过点C，此时两车行驶了分钟，这一段时间内1号车与2号车相遇了次．（2）发现：若游客甲在BC上K处（不与点C、B重合）候车，准备乘车到出口A，在下面两种情况下，请问哪种情况用时较少（含候车时间）？请说明理由．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．（3）决策：①若游客乙在DA上从D向出口A走去，游客乙从D出发时恰好2号车在C处，当步行到DA上一点P（不与A，D重合）时，刚好与2号车相遇，经计算他发现：此时原地（P点）等候乘1号车到出口与直接从P步行到达出口A这两种方式，所花时间相等，请求出D点到出口A的路程．②当游客丙逛完景点C后准备到出口A，此时2号车刚好在B点，已知BC路程为600米，请你帮助游客丙做一下决策，怎样到出口A所花时间最少，并说明理由．【答案】（1）①4,800；②24，3；（2）情况一所用时间比较少，理由详见解析；（3）①D到A的路程为800 米；②丙应该选择乘坐1 号车所需时间最少．412分钟，第三次相遇时间为1220分钟，第四次相遇时间为2028分钟，∴这一段时间内1号车与2号车相遇了3次．故答案为：24，3；（2）情况一所用时间比较少，设CK＝x米，由题意知，情况一需要时间为：16，情况二需要的时间为：16，∴情况一所用时间比较少；（3）①设P到A的路程为a米，则2号车从C→B→A→P的时间为分钟，∴D到P的路程为50，由题意知，，解得：a＝320，∴D到P的路程为50＝480米，∴D到A的路程为320+480＝800米；②若丙选择乘坐1号车，所需时间为13分钟，若丙选择乘坐2号车，所需时间为21分钟，若丙选择步行到出口A，所需时间为32分钟，所以丙应该选择乘坐1号车所需时间最少．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意仔细剖析每种情形下路程的变化是解题的关键．36．已知一个四位自然数M的千、百、十、个位上的数字分别是、、、，若，且，则称自然数M是“关联数”，且规定.例如5326，因为，所以5326是“关联数”，且现已知式子（、、都是整数，，，）的值表示四位自然数，且是“关联数”，的各位数字之和是8的倍数.（1）当时，求；（2）当时，求的和.【答案】（1）3544，（2）-72.∴，，.∴.（2）当时，的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”，∴，∴.∴的各位数字之和为.由题意，知是8的倍数，且，，，∴，，，或，，.∴，或3562.[来源]∴，.当时，的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”，∴，∴.∴的各位数字之和为.由题意，知是8的倍数，且，，，∴，，，或，，.∴，或3984.∴，.∴.∴的和是-72.【关键点拨】此题主要考察不等式的应用，正确理解题意，再列出相应的式子，但是要注意分开来求解. 37．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元．（1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．【答案】(1) 甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元;(2) 有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低;(3) 共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．（2）解：设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，则解得5≤a≤6，根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低[来源:（3）解：设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，则10c+15d=100．整理，得2c+3d=20．∵c、d都是正整数，∴当c=10时，d=0；当c=7时，d=2；当c=4时，d=4；当c=1时，d=6．综上所述，共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．【关键点拨】此题考查二元一次方程组及一元一次不等式方程组的应用，解题关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的大小关系．38．三亚市某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生（2）如果该工厂生产一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，那么该工厂应该怎样安排生产可获得最大利润？【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）方案（一）A，30件，B，20件时，20×120+30×80＝4800（元）．方案（二）A，31件，B，19件时，19×120+31×80＝4760（元）．方案（三）A，32件，B，18件时，18×120+32×80＝4720（元）．故方案（一）A，30件，B，20件利润最大【关键点拨】本题主要考查一元一次不等式组的应用.39．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．解这个方程组得：，答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x[来源]=-0.04x+1680，又≥60，得x≥900，由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），此时甲有=60（件），乙有：=555（件），答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【关键点拨】本题考查了用一元二次方程组的实际应用,一次函数的实际应用问题,建立函数模型是解题关键.40．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．（1）求点K的坐标；（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，则OF⊥AE，F（0，8﹣t），∴OF＝8﹣t，∴S△OAE＝OF•AE＝（8﹣t）×2＝8﹣t；（3）存在，有两种情况：，①如图2，当点B在OD上方时，②如图3，当点B在OD上方时，过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG，＝OH•DH﹣（BG+DH）•GH﹣OG•BG，【关键点拨】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

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初三数学练习题书推荐初三数学是每个学生重要的阶段，良好的数学练习是提高数学能力的关键。

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中考数学专题复习之因式分解综合题训练

中考数学专题复习之因式分解综合题训练1．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．2．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k＝1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．3．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcd(a＞c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记T(M)=ba+dc．例如：6237是“平方差数”，因为62﹣32＝27，所以6237是“平方差数”；此时T（6237）＝26+73＝99．又如：5135不是“平方差数”，因为52﹣32＝16≠15，所以5135不是“平方差数”．（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．4．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．5．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）=P(M)F(M)，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）=98不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．6．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“博雅数”．定义：对于三位自然数N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“博雅数”．例如：415是“博雅数”，因为4，1，5都不为0，且4×2+1+5＝14，14能被7整除；412不是“博雅数”，因为4×2+1+2＝11，11不能被7整除．（1）判断513，427是否是“博雅数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由．7．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．8．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．9．（1）阅读材料：一个正整数x能写成x＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数“，a，b为x的一个平方差分解．例如：24＝72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；②试证明10不是雪松数；（2）若a，b正整数，且ab+a+b＝68，求ab的值．10．探究题：（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝；x2﹣4x+4＝；4x2﹣20x+25＝；（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为；（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．11．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．阅读材料：，上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：（1）因式分解：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣10的最小值；（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．13．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）．②利用配方法求最小值：求a2+6a+8最小值．解：a2+6a+8＝a2+2a⋅3+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1．因为不论x取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当x＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2﹣8x+＝（x﹣）2；（2）将x2﹣10x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+2的最小值；（3）若M＝6a2+19a+10，N＝5a2+25a，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．14．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．15．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．16．如果一个自然数M 能分解成A ×B ，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4+6＝10，3+6＝9，∴2838是“十全九美数“；∵391＝23×17，2+1≠10，∴391不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M是“十全九美数“，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为S（M）；将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为T（M）．当S(M)T(M)能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M．17．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．18．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。

初三数学综合题压轴题100题(含答案解析)

初三数学综合题压轴题100题（含答案解析）一、中考压轴题1．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．3．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q∴△＝p2﹣4q∴x＝即x1＝，x2＝∴x1+x2＝+＝﹣p，x1•x2＝•＝q；（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，所以，q＝p﹣2，设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）∵d＝|x1﹣x2|，∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4当p＝2时，d2的最小值是4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．4．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．5．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2，P7，P100的坐标．【分析】通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出．【解答】解：P2的坐标是（1，﹣1），P7的坐标是（1，1），P100的坐标是（1，﹣3）．理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，﹣1），分析题意，知6个点一个循环，故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样，所以P7的坐标等同于P1的坐标为（1，1），P100的坐标等同于P4的坐标为（1，﹣3）．【点评】解决本题的关键是读懂题意，画出图形，仔细观察，分析，得到相应的规律．6．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，∴m+n＝2﹣p，mn＝1．方法一：m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．原式＝2m×2n＝4mn＝4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1）＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2＝4﹣4p+p2+4p﹣p2＝4．【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．7．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．8．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求k和b的值；（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），∴OB×AB＝2，×4×b＝2，∴AB＝b＝1，∴A（4，1），∴k＝xy＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，即k＝4，b＝1．（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，∴1＝4a﹣3，∴a＝1．∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．9．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．10．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．11．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2×•EO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．12．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．13．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．14．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．15．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．16．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．20．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°。

中考数学综合题专题中考应用题训练含答案

中考(Kao)数学综合题专题中考应用题训练含答案列(Lie)方程(Cheng)(组(Zu))解(Jie)应用题是中考的必考内容，必是中考的热点考题之一，列方程(Cheng)(组(Zu))解应用题的关键与难点是如何找到能够表示题目全部含义(Yi)的相等关系，所谓“能表示全部含义”就是指在相等关系中，题目所给出的全部条件(包括所求的量)都要给予充分利用，不能漏掉，但也不能把同一条件重复使用，应用题中的相等关系通常有两种，一种是通过题目的一些关键词语表现出来的明显的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、“减少”、“快”、“慢”等，另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，这也是中考的重点和难点，此时需全面深入的理解题意，结合日常生活常识和自然科学知识才能做到．解应用题的一般步骤：解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答”．1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知数的值．5、“验”就是验解，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．应用题类型：近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有：行程问题，工程问题，增产率问题，百分比浓度问题，和差倍分问题，与函数综合类问题，市场经济问题等．几种常见类型和等量关系如下：1、行程问题：基本量之间的关系：路程=速度×时间，即：．常见等量关系：(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程．(2)追及问题(设甲速度快)：①同时不同地：甲用的时间＝乙用的时间；甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程．②同地不同时：甲用的时间＝乙用的时间－时间差；甲走的路程＝乙走的路程．2、工程(Cheng)问题：基(Ji)本量之间的关系：工作量(Liang)=工作(Zuo)效率(Lv)×工作(Zuo)时间．常见等量关系(Xi)：甲的工作量＋乙的工作量＝甲、乙合作的工作总量．3、增长(Chang)率问题：基本量之间的关系：现产量=原产量×(1+增长率)．4、百分比浓度问题：基本量之间的关系：溶质=溶液×浓度．5、水中航行问题：基本量之间的关系：顺流速度＝船在静水中速度＋水流速度；逆流速度＝船在静水中速度－水流速度．6、市场经济问题：基本量之间的关系：商品利润=售价－进价；商品利润率=利润÷进价；利息=本金×利率×期数；本息和=本金+本金×利率×期数．一元一次方程方程应用题归类分析列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)

2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。

中考数学冲刺必须要培养的四种能力

中考数学冲刺必须要培养学生的四种能力中考成败关系到每一个学生发展，我认为在中考的数学教学中需要培养学生的四种能力。

一、保持高度自信和旺盛斗志。

在保证充足休息的同时，重点背记认为可能会考的内容，也可以模拟中考考卷进行训练，以增强应考自信心。

一定要回归考试说明，回归课本要求，回归近几年的中考试题。

考试说明是命题专家编的，通过它找到中等、难题的感觉。

近期要特别注意数学基础知识和基本技能；注意近几年中考的主干知识，在最后阶段还要特别注意数学知识网络的梳理和完善，不要做难题、偏题，要把握正确的初中数学学业要求。

同时可以再一次检查还有什么公式、定理、概念没有复习或遗忘了。

对中考数学“考什么”、“怎样考”有一个全面了解。

二、有选择地做题，从数学思想上进行总结。

现在，已没有必要拿到题就做，可选择三类题认真做。

第一类是初看还没有解题思路的；第二类是最近做错的；最后一类是以前做得比较慢的。

做完后，还要从数学思想方法上进行总结，比如它的解法中用到了初中数学中的哪些数学思想？一道题的解法中蕴含的数学思想，往往为这道题的解题思路指明了方向。

通过挖掘数学思想，我们就会形成一类问题的解题理念，收到举一反三的效果。

三、充分利用平时坚持使用的“病例卡”。

相当一部分学生存在会做的题做错的现象，特别是基础题。

究其原因，有属于知识方面的，也有属于方法方面的。

因此，要加强对以往错题的研究，找错误的原因，对易错的知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。

同学们可几个人一起互提互问，在争论和研讨中矫正，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。

比如哪些是会做但做错了，哪些是会做做不到底的，要非常清晰地把原因整理出来。

曾经犯错误的地方往往是薄弱的地方，仅有当时的订正是不够的，还要适当地进行强化训练。

四、要训练各种考试能力。

有的学生平时成绩很好，但考试时发挥不出来，这个问题可通过加强训练来解决。

用与中考试卷结构相同的试卷进行模拟训练，并对每次训练结果进行分析比较，既可发现问题、查漏补缺，又可提高适应考试的能力。

如何提高解初中数学综合题的能力

如何提高初中数学综合题的解题能力如何提高解数学综合性问题的能力是提高中考数学成绩的根本保证。

解好综合题对于那些对数学成绩优秀同学来说，是一道生命线，往往成也萧何败也萧何；对于那些数学成绩较好学生而言，这里是放手一搏的好地方。

数学综合性试题常常是中考考试卷中把关题和压轴题。

在中考中举足轻重。

目前的中考综合题早已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。

综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。

解综合性问题要注意1 “三性”：综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。

在审题思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。

(2)准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。

(3)隐含性：注意题设条件的隐含性。

审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。

2 “三化”：(1)问题具体化。

即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。

(2)问题简单化。

即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。

(3)问题和谐化。

即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。

3 “三转”：(1)语言转换能力。

每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。

解综合题往往需要较强的语言转换能力。

还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。

(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。

(3)数形转换能力。

解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。

如何提高解题能力

如何提高解题能力如何提高解题能力如何提高解题能力：美国著名数学家G·波利亚(George Polya，1887—1985)说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么?那就是善于解题。

”但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫。

要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。

有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。

那么如何培养学生的解题应变能力呢?一、解题思路的理解和来源平时大家评论一个孩子“聪明”或者“不聪明”的依据是看这个孩子对某件事或很多事得反应以及有没有他自己的看法。

如一个“聪明”的孩子，往往反应快、思路清楚，有自己的主见。

那么我们认为“反应快、思路清楚、有主见”是聪明的前提。

学习成绩好的同学，反应快、思路清楚、有主见就是他们的必备条件。

那么解题也如此，必须反应快、思路清楚、有主见。

同一道题，不同的学生从不同的角度去理解，由不同的看法最终汇聚成正确的解题过程，这是解题的必然。

无论是推导、还是硬性套用、凭借经验做题，都是思路的一种。

有的同学由开始思路不清渐渐转变为清楚，有的同学根本没有思路，这就形成了做题的上的差距。

那么，如果能教会给学生，在处理数学问题上，第一时间最短的思考路径，并且清晰无比，这样，每个学生都是“聪明的孩子”，在做题上就能攻无不克战无不胜。

解题思路的来源就是对题的看法，也就是第一出发点在哪。

二、如何在短期内训练解题能力数学解题思想其实只要掌握一种即可，即必要性思维。

这是解答数学试题的万用法门，也是最直接、最快捷的答题思想。

什么是必要性思维?必要性思维就是通过所求结论或者某一限定条件寻求前提的思想。

几乎所有数学命题都可以用这一思想进行破解。

纵观近几年高考数学试题，可以看出试题加强了对知识点灵活应用的考察。

这就对考生的思维能力要求大大加强。

如何才能提升思维能力，很多考生便依靠题海战术，寄希望多做题来应对多变的考题，然而凭借题海战术的功底仍然难以获得科学的思维方式，以至收效甚微。

初三数学解题技巧压轴题解题方法

初三数学解题技巧压轴题解题方法础题要重明白得在数学考卷中，“容易题”占80%，一样分布在第一、二大题(除第1 8题)和第三大题第19～23题。

在中考复习最后时期，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。

但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。

据笔者了解，许多学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，如此做，是专门有害的。

笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重明白得，反思解题方法，把握解题过程。

解选择题也一样，不要只看选对依旧选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。

因此，我们要求注重明白得，并不意味着不要经历，经历水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。

因此必要的经历是必须的，如代数中重要的法则、公式、专门角的三角比的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等差不多上应当记住的。

在复习的最后时期，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，如此做，尽管花的时刻不多，但能及时发觉知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。

假如你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。

压轴题要重分析中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。

专门多年来，中考差不多上以函数和几何图形的综合作为压轴题的要紧形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。

假如以为这是构造压轴题的唯独方式那就错了。

方程式与图形的综合也是常见的综合方式。

这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。

动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观看、探求、运算和证明融合在一起。

在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何运算的一种工具。

它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。

总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。

浅谈数学综合题解对考生的要求与应对策略

原题变成条件与结论距离较近的新题，或变成已见过的熟题，从而
套路，需根据题意，从基础知识和基本数学思想方法出发，大胆地进行分析、归纳、猜想、比较、推理等。解题的一般思路是选取假定满足条件的结论存在，再根据有关知识推理，要么得到正面的结果，肯定存在，要么导出矛盾，否定存在性，对于 “ 多结论 ” 的开
ＣＡＭＮＨＡＨＲＩＣｌＧＮ
教材教法
对考生的要求与应对策略
◎ 孙新荣
（江苏省江阴市青阳第二中学，江苏青阳２４０）１４１中图分类号：Ｇ３．文献标识码：Ａ文章编号：１７ — ９２（００８１５０６３６６３０９２１）０— ２— １
且突破口比较隐蔽，从内容上常涉及三方面。可就这三方面进行如
下教学策略：１解单纯几何题时，要注意充分利用题设条件，联系结论，联．想与题目有关的、学过的定理或作过的题目，把条件伸展开来，使
式转化为简单的形式。
数学综合性试题常常是中考试卷中把关题和压轴题。中考的区
也具有常规题型的一切特征。解答这种题型的一种思路是： “ 推测结论，化归命题。”探索型题，在解答之前，如能做出正确的判断：
“ ” 或 “ ”，就会使探索型题转化为常规题。推测结论，可以能否用一些简捷方法，比如： “ 值验证 ”或 “ 造特例 ”，或数形结代构合等。另一种解题思路是从正反两方面探索。于大多数探索型题很由

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初三数学解综合题的能力训练首先我们必须认识到基础知识，基本技能是解综合题的基础，解综合题的关键是找出基础知识之间的内在联系。

解综合题的方法，常常采取“化整为零”，将综合题转化为基础题，同要对其实施分析与综合的方法，寻找已知和未知的“连接点”，因此掌握数学思想方法是解决好综合题的灵魂，下面由几种数学思想方法入手举例说明：【方程思想】例1 ：（96 年中考题7 分）已知：如图，在Rt △ABC中，ÐC = 90 °, D是BC中点，DE ^ AB，垂足为E，tg B = ，AE= 7 ，求：DE的长？分析：将题目中的tg B = ，在Rt △BDE中，利用设未知数的方法，由勾股定理解关于x的方程，即可求出。

解法一：∴在Rt △BED中和△ABC中设DE = x∴BE = 2x∴又∵BD = DC在Rt △ABC中，由勾股定理得：即：解法二：同解法一得BE = 2x，在△ABC和△DBE中∵Ð BCA = Ð BED, Ð B = Ð B∴△ABC∽△DBE经检验：是原方程的根例2 ：（96 年中考试题8 分）已知：如图DB为⊙O的直径，A为B延长线上一点，AC与⊙O相切于点E，CB ^ AB，如果AE∶EC = 2 ∶1 ，DE + BE = ，求：△ABC的面积分析：将题目中的AE∶EC = 2 ∶ 1 设未知数CE = x,AE = 2x，再由勾股定理和相似三角形的有关概念即可求出解：设CE = x，∵AE∶EC = 2 ∶ 1 ∴AE = 2x∵DB是⊙O直径，且CB ^ DB∴CB切⊙O于B ∴CB = CE = x在Rt △ABC中，由勾股定理得：∽△AEB在Rt △BDE中，由勾股定理得例3 ：已知，一元二次方程中的m, n分别为一个等腰三角形的腰和底边的长。

（1 ）求证：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；（2 ）如果为方程的两根，，且等腰三角形的面积为12 ，求这个等腰三角形内切圆的面积证明（1 ）：其中，m, n分别是等腰三角形的腰和底边的长，∴2m > n > 0即△> 0∴方程有两个不相等的实数根解（2 ）：∵等腰三角形的高又S△ = 12 ∴ (2)解(1)(2) 方程组得：m = 5 ，n = 6 （负值舍）设内切圆的半径为r , 而∴这个等腰三角形的内切圆的面积为。

例4 ：已知⊙O1、⊙O2交于A、B两点，DT切⊙O2于T，交⊙O1于D、M且M为DT的中点，BA的延长线交DT于C求证：CT = 2CM分析：方程思想在证明题中也可应用，若设CT为x CM 为a，再通过CT2 = CA ·CB找到与CM之间的关系。

证明：设CT为x，CM为a∵CT是⊙O2的切线⊙O1的割线【数形结合思想】在解题或证题过程中要善于把抽象的数量关系和直观的几何图形结合起来，互相转化，化难为易。

例1 ：已知：△ABC, Ð C = 90 °, tg Ð , ,求：AB分析：要求的AB边恰是直角三角形ABC的斜边，则很容易联想到勾股定理：，这样结合题目中的数量条件，很快可利用方程思想，通过Rt △BCD找到AC、BC，使问题得解决。

解：在△DBC中，Ð C = 90 °,∴设CD = x，则BC = 6x在Rt △ABC中，即：整理得：解得：x = 2 ，（舍）例2 ：已知：如图：BD为直圆O的半径，M为的中点，点A在上运动，使AB = AC，点C在BD的延长线上，如果BD = 8 ，设AB = x，BC = y。

1 ．求：y与x的函数关系式和自变量x的取值范围2 ．CA能和⊙O相切吗？如能相切，写出当CA为⊙O的切线时的x值和与它相应的y值，如不能相切，请说明理由。

分析：建立y与x的函数关系问题，离不开数形结合，要通过对图形的观察，充分利用题目的条件架起y与x的联系的桥梁，由图中不难发现△OAB∽△ABC，对于自变量x的取值范围也要通过图形的有关条件加以求解，第（2 ）问原于开放型问题，无论你做肯定或否定的回答，都要充分证明或论证。

解：1 、连结OA、则OA = OB，∴Ð B = Ð OAB又∵AB = AC∴Ð B = Ð C ∴Ð OAB = Ð C而Ð B = Ð B∴△OAB∽△ABC ∴将DB = 8 ，AB = x，DC = y，代入上式，得：∴∵M是的中点，点A在上运动连BM，则BM < AB < BD连OM，则MO ^ BO于是2 、CA能和⊙O相切，此时CA ^ OA，即：解得：例3 ：如图：设二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若Ð ACB = 90 °, ，又OB、AC的长分别是关于x方程：的两根之和与两根之积，（1 ）求m的值（2 ）求这个二次函数的解析式分析：通过题目所给的已知条件观察图形中的相互关系，使数形相互结合，题目中二次函数与x轴的两个交点的横坐标实际是图中OA、OB长，再通过几何图的三角函数关于求出m值，对于要求二次函数的解析式，则也要通图中的三角形相似求出相应的点的坐标。

解：（1 ）设是关于方程两根，则∴OB = m －1, AC = 2m,在△AOC中，CO ^ AB，∴AO = AC ·（2 ）由（1 ）知m = 10 ，∴由勾股定理：∵的图象过A 、B 、C三点∴解得：∴所求的二次函数的解析式是：例4 ：已知：如图：四边形ABCD是矩形，BD为对角线，AG^ BD交BC于F，CH ^ BD交AD于E，且BG = DH = 1 ，GH= 2求：矩形ABCD的面积分析：利用矩形的性质对角线相等且互相平分，可证明△OAB是等边三角形再求得Ð ACB = 30 °，则可得到BC的点，使矩形面积可求：解：连结AC交BD于点O，∵BG = DH = 1, GH = 2, ∴BD = 4又∵四边形ABCD是矩形，∴OA = OB = 2∴OG = 1 ∴AG是BO的中垂线∴AB = OA = 2∴△ABO是等边三角形，∴Ð OAB = 60 °∴Ð ACB = 30 °【转化思想】在解题时，常把有待解决或难以解决的问题通过某种转化手段，使它转化成已经解决和比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答，这种转化思想不止用于解方程的换元，在解几何证明及解综合题也经常用到。

例1 ：已知：如图AB是半圆O直径，AC切圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE ^ DE，又知DE = 3 ，EB = 4求：AC的长分析：将题目较分散条件，利用几何图形性质加以转化，由DE = 3 ，EB= 4 ，可根据勾股定理求出BD = 5 ，再利用Rt △EDB∽Rt △DAB，求出AB，再次利用△BDE∽△BCA或三角函数都可求出AC。

解（1 ）：在△BDE中，∵Ð E = 90 °，∴，连AD、DE切⊙O于D，∴Ð BDE = Ð BAD∵AB是半圆直径∴Ð ADB = 90 °∴△BDE∽△BAD∵AC切⊙O于A，∴CA ^ AB∴△DBE∽△BCA∴解（2 ）：求得同解法一在Rt △BDE中，tg Ð DBE =在Rt △ABC中，tg Ð ABC =例2 ：已知：如图：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，过点A作AF // BC，交ED于点F，若EF = 2 ，DF =1求：AE的长？分析：善于发现图形，已知条件向未知结论的转化，因为AF // BC，则可得Ð 1 = Ð 2 ，又由同弧所对圆周角得Ð 2 = Ð 3 ，从而得到Ð 1 = Ð 3 ，可证得△AEF∽△DEA由其对应边成比例求得结论。

解：∵AF // BC, ∴Ð 1 = Ð 2, 又∵Ð 2 = Ð 3∴Ð 1 = Ð 3 又∵Ð AEF = Ð DEA∴△AEF∽△DEA例3 ：如图：已知：菱形ABCD的对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：的两个根，菱形的周长是求：k的值分析：该题求方程中的字母系数k，但是将代数中的两根之积两根之和，如何通几何图形达到转化求解的目的，必须借助于熟练的几何图形性质及代数的有关计算。

解：∵AO、BO是方程的两个根，∴AO + BO = 2k －1AO ·BO = k2－3∵ABCD是菱形∴AC ^ BD于O，∴例4 ：我国领海权12 海里，在某东西方向的海岸线上相距18.9 海里有A 、B两个雷达站，某日同时测得一艘不明国藉的外国军舰k在A站的北偏东30 °，在B站的北偏西45 °，问是否向该军舰发出警告？分析：此题实际是求k点到我海岸AB的距离和12 海里的大小问题，即转化为三角函数问题即可。

解：AB = 18.9 海里作KH ^ AB于H，设KH = x，由Ð KAB = 60 ° Ð KBH = 45 °得：HB = x AH = KH ·ctg60 °∴AH =由AH + BH = AB得：答：应向该军舰发出警告。

【分类讨论思想】分类讨论是一种数学思想，是分析问题、解决问题的一种能力体现，其实质是对基础知识的理解。

分类讨论的步骤为：确定对象、分类讨论、归纳综合例1 ：已知：⊙O的半径为R，过已知点P作直线与⊙O交于A、B两点，试判断PA ·PB与的关系，并加以证明。

分析：该题看起来是讨论PA ·PB与的关系，但由于点P和⊙O的位置关系不同，所以决定着与PA ·PB的关系，实质是涉及到点和圆的位置关系；图形确定后才可以进一步证明结论的存在性。

解：（1 ）当P点在⊙O外时，PA ·PB = （如图）证明：过P点作⊙O的切线PE，E为切点，连结PO，OE∵PE切⊙O于E，PAB是割线（2 ）当点P在⊙O内时，（如图）证明：过P点作直径交⊙O于C，D由相交弦定理：∵⊙O半径为R，（3 ）当P在⊙O上时，PA ·PB = R 2－OP 2或（如图）证明：不妨设P点与A点重合则PA = O ∴PA ·PB = O∵OP = R∴R 2－OP2 = O∴PA ·PB = R2－OP 2 = O综上所述：PA ·PB = | R2－OP 2 |例2 ：（97 年中考题）已知：矩形的长大于宽的2 倍，周长为12 ，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底边的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。