最新-高二理科数学上学期期末试卷及答案
高二数学(理)上学期期末试卷及答案
上学期期末考试高二数学(理科)试卷考试时间：120分钟试题分数：150分卷I一、选择题：本大题共12小题,每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数〃？、〃，是“方程如=］的曲线是双曲线,，的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是♦♦A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数x2 y23.已知椭圆一+ —— = 1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一焦点距离为25 16A. 2B. 3C. 5D. 74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题〃是“甲降落在指定范围”，g是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降，落在指定范围”可表示为A. (-1/7)v(-ity)B. /?v(-ity)C.(^/?)A(—D. pvq2 25.若双曲线:-二=1的离心率为J5,则其渐近线的斜率为crA. ±2B. ±-C. ±5/2D. ± —2 26 ,曲线)，=———一！在点M(三,0)处的切线的斜率为sinx + cosx 2 4A,在 B. 一昱 C. 1 D. -12 2 2 27.已知椭圆£ +奈的焦点与双曲线今旬的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线少=打2的焦点坐标为A.(4-,0)B. (^- ,0)C. (0,^-)D. (0,^—)8. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜：③四向倾斜.记三种盖法屋顶而积分别为4鸟,A,① ② ③若屋顶斜而与水平而所成的角都是。
，则A. 4=E = AB. 4=4<鸟C.D.9.马云常说“便宜没好货”，他这句话•的意思是：“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.设。
高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。
高二理科数学上学期期末试卷及答案
高二理科数学上学期期末试卷及答案数学期末考试卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题４分，共48分） 1、与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程0132=-+x x的两根符号不同；命题q ：方程0132=-+x x 的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a+”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（ ）.A ．5B ．8C ．5或 3D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．c b a 213221+- B ．cb a 212132++-C ．c b a 212121-+ D ．213232-+ 6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 55C. 33D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55B ．555C ．553D ．511 10、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．无法确定11、已知数列{a n }的通项公式为21log 2++=n n a n(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使5-<nS 成立的自然数n( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值3212、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ） A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C.()0,0123322>>=-y x y x D.()0,0123322>>=+y x y x二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是14、若双曲线4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 . 15、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ．16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k+=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 _________． 三、 解答题（本大题共5小题，共56分） 17、（本题满分10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,6a b c B π=，3cos ,25A b ==。
高二年级上学期期末考试数学(理科)试卷及参考答案(共3套)
广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题,5分，满分60分）1．已知命题p：∀x≥0，x3﹣1≥0，则￢p为（）A．∀x≥0，x3﹣1＜0 B．∃x≥0，x3﹣1＜0C．∃x＜0，x3﹣1＜0 D．∀A＜0，x3﹣1＜02．若=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，2），则||=（）A．B．C．D．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．＜B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a＞b+14．已知ax2﹣（1+a）x+b≥0的解集为{x|≤x≤1}，则a+b=（）A．B．C．﹣4 D．45．已知=1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（1，+∞）D．（，2）6．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，若，则sinS9=（）A．B．C．﹣D．7．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为（）A．13 B．12 C．11 D．108．已知在△ABC中，∠BAC=60°，AB=6，若满足条件的△ABC有两个，则边BC的取值范围为（）A．[3，6） B．（3，6）C．[3，6） D．[，6）9．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，C1D1上且A1E=1，C1F=1，则异面直线AE，B1F所成角的余弦值为（）A．B．C．D．010．一动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2=16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．=1（x≥2）B．=1（x≥2）C．=1（x≤﹣2）D．=1（x≤﹣2）11．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．202612．已知点A，B均在抛物线x2=4y上运动，且线段AB的长度为5，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）13．已知=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），若，则λ=．14．已知F1，F2为椭圆=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|+|F1B|=，则|AB|=．15．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围为．16．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1a3=4，a7a9=25，则a5=．17．已知空间四边形ABCD中，=，，=，若，且（x，y，z∈R），则y=．18．若在△ABC中，，则△ABC是三角形．19．已知直线l：ax+y+2=0及两点P（﹣2，1），Q（3，2），若直线l与线段PQ有公共点，则a的取值范围是．20．如图，已知F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，|F1F2|=10，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=3，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题，共50分）21．（10分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C；（2）若c=，b=2，求边a的值及△ABC的面积．22．（10分）在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，将四边形DEBC沿BE 折起，使平面DEBC⊥平面ABE，如图2，连结AD，AC．（1）若F为AB中点，求证：EF∥平面ADC；（2）求平面ABE与平面ADC所成锐二面角的余弦值．23．（10分）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=（注：利润与投资金额单位：万元）．（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？24．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=．求证：△AOB的面积为定值．25．（10分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且前n项和为T n，且若对于∀n∈N*，都有（m ∈R），求m的取值范围．理科数学参考答案1-5：BCDCB6-10：BABAC11-12：DB13、－214、15、（－2,1）1617、2 318、等腰直角19、20、5 321、第一学期期末调研考试高二数学(必修⑤、选修2-1)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若2017x >，则0x >”的否命题是A ．若2017x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2017x ≤C ．若2017x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2017x >2．抛物线212y x =的焦点坐标是 A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a ，11a =，313a =，则5a =A ．19±B ．．19- D ．194．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，b =45A =，60B =，则a =A ．．4 D ．65．若a ，b 为实数，则“ab 1<”是“1<ab ”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．椭圆221(0)x y m n m n+=>>的一个焦点为()1,0，且=12mn ，则椭圆的离心率为 A ．32 B ．32 C ．12 D ．41 7．在空间四边形CD AB 中，,,DA a DB b DC c ===，P 在线段D A 上，且DP=2PA ，Q 为C B 的中点，则PQ =A ．211322a b c -++ B ．112223a b c +- C ．121232a b c -+ D ．221332a b c +- 8．设0a >，0b >5a 与5b的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．8 B ．4 C ．1 D ．149．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，1100810090,0a a a >+=，则当n S 取最大值时，n = A ．1008 B ．1009 C ．2016 D ．201710．不等式组0002x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域的面积为A ．2B ．3C ．4D ．511．已知直线2+=kx y 与椭圆1922=+my x 总有公共点，则m 的取值范围是 A ．4≥m B ．90<<mC ．94<≤mD ．4≥m 且9≠m12．在三棱柱111ABC A B C -中，点E 、F 、H 、K 分别为1AC 、1CB 、1A B 、11B C 的中点，G 为ΔABC 的重心，有一动点P 在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有5条棱与平面PEF 平行，则以下各点中，在点P 的轨迹上的点是A ．HB ．KC ．GD ．1B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()2,1,1a =-，(),2,1b t =-，R t ∈，若a b ⊥，则t = ． 14．等差数列{}n a 中, 74a =，1992a a =，则{}n a 的通项公式为 ．15．已知命题:p R x ∃∈，220x x a --<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）16．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件： 213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知命题p ：指数函数(2)xy a =- 是R 上的增函数，命题q ：方程22122x y a a +=-+表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，60B =︒． （Ⅰ）若2b ac =，请判断三角形ABC 的形状；（Ⅱ）若54cos =A ，3c =+，求ABC ∆的边b 的大小．19．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且53-=a ，244-=S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列|}{|n a 的前20项和20T ．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为,B C ．（Ⅰ）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积．21．（本小题满分12分）某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？22．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDP-中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，32==PDAD，6==ABPB.（Ⅰ）证明：PABD⊥；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.PAB CD第一学期期末调研考试高中数学必修5及选修2-1试题 参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3214．12n n a += 15． (],1-∞- 16．23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）命题p 为真命题时，2－a ＞1，即a ＜1. ……………………2分（Ⅱ）若命题q 为真命题，则(2)(2)0a a -+<，所以22a -<<， ……………………4分 因为命题“p q ∨”为真命题，则,p q 至少有一个真命题，“p q ∧”为假命题，则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题 ……………………6分 当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，122a a a <⎧⎨≤-≥⎩或，则2a ≤-；当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，122a a ≥⎧⎨-<<⎩，则12a ≤<． ………………9分综上，实数a 的取值范围为(][),21,2-∞-． ……………………10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2222cos b a c ac B ac =+-⋅=，1cos cos 602B =︒=，……………………3分 得2()0a c -=，=a c ，…………………………………………………5分 又60B =︒，∴ 三角形ABC 是等边三角形. ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由4cos 5A =，得3sin 5A =，……………………………………………………7分 又60B =︒，∴ sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=⋅+⋅……………………………………………8分314525=⨯+10分由正弦定理得(3sin sin c Bb C+⋅=== ………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ，…………………………………2分 解得⎩⎨⎧=-=291d a ，……………………………………3分所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(完整版)高二数学第一学期期末考试试卷理科
高二数学试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．给出四个条件：①22ac bc >;②a b c c>;③22a b >;>其中能分别成为a >b 的充分条件的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．33．圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=对称,则ab 的最大值为 ( )A ．1B ．12C ．14D ．不存在 4．如图,已知点M(m,n )在直线l :A x +B y +C=0(AB ≠0)的右下方,则A m +B n +C 的值 ( ) A ．与A 同号,与B 同号 B ．与A 同号,与B 异号C ．与A 异号,与B 异号D ．与A 异号,与B 同号5．如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ,则以A 、B 为焦点,且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )A．1C．．3 6．直线x -y -1=0与实轴在y 轴上的双曲线22(0)x y m m -=≠的交点在以原点为中心,边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部,则m 的取值范围为 ( )A ．0<m <1B ．m <0C ．-1<m <0D ．m <-17．直线cos 20x α-=的倾斜角的范围是 ( )A ．[,]66ππ-B ．[0,]6πC ．5[0,][,)66πππUD ．5[,]66ππ8．已知点A(1,2),过点(5,-2)且斜率为k 的直线与抛物线y 2=4x 交于B 、C 两点,那么△ABC( ) A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形 D ．的形状与k 值有关9．设 12F F 、是双曲线22214x y b-=的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=o ,△12F PF 的面积为1,则正数b 的值为 ( )AB ．2 C．1 10．若不等式2222x x a y y ++≥--对一切实数x y ，恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤211．已知A 、B 分别为椭圆2212y x +=的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点,若∠PAB=α,∠PBA=β,则必有 ( )A ．2tan α+cot β=0B ．2tan α-cot β=0C ．tan α+2cot β=0D ．tan α-2cot β=0BAEDC12．已知平面上点P ∈22{(,)|(2cos )(2sin )16,}x y x y R ααα-+-=∈,则满足条件的点P 在平面上所形成图形的面积是 ( ) A ．36π B ．32π C ．16π D ．4π 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．将答案填在题中的横线上． 13．不等式2212x x --<的解集是 ．14．圆22420x y x y c +--+=与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若90APB ∠=o,则c 的值为 ．15．设2z x y =+,式中,x y 满足约束条件220,1.x y x y +≥⎧⎨+≤⎩ 则z 的最小值是 ,最大值是 ．16．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 是双曲线上任意一点,若221||||PF PF 的最小值为8a ,则此双曲线的离心率e 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知正数a,b 满足a +b =1,且n ∈N*,求证：112n n n n a b a b++++≥．18． (本小题满分12分)已知P (2,0),Q (8,0),点M 到点P 的距离是它到点Q 的距离的21,求点M 的轨迹方程,并求轨迹上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离．19．(本小题满分12分)已知过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点,若以9(,0)2P 为圆心的圆恰好过A 、B 点,求直线l 的方程.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(II)设直线l 与y 轴的交点为P,且512PA PB =u u u r u u u r,求a的值.21．(本小题满分12分)某电器商场拟举办家电促销活动,活动前准备从厂家分批购入每台价格为2000元的某品牌空调共3600台,每批都购入x 台,且每批均付运费400元．整个活动期间所付储存该空调的全部保管费是购买一批空调所付货款的120．现商场有专项资金22000元准备用于支付该空调的全部运费及活动期间的全部保管费．问这笔专项资金是否够用？如果不够用,至少还需要多少资金？22.．(本小题满分1４分)有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆)0(,222>=+r r y x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1.（Ⅰ）写出该定理在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中的推广,并加以证明；（Ⅱ）写出该定理在双曲线中)0,0(12222>>=-b a by a x 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.参考答案一、选择题1．B ．抛物线标准方程为212x y =,准线方程为18y =-. 2．C ．①④能分别成为a >b 的充分条件.3．C ．由圆的对称性知圆心(-1,2)在直线上,∴-2a -2b +2=0,即a +b =1,故21()24a b ab +≤=. 4．B ．结合图形信息知,0,0,ABC A⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩,又原点O 与点M 在直线L 的异侧,∴()0C Am Bn C ++<,故A m+B n +C 与B 、C 异号,与A 同号.5．A ．设AB=2c ,则AE=BD=c ,AD=BE=3c ,椭圆离心率为=,双曲线离=故离心率的倒数和为3.6．C ．由2210,x y x y m --=⎧⎨-=⎩得交点坐标为(m +12,m -12),解不等式组111,2111,2m m +⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪-≤≤⎪⎩,得-1<m <1.又双曲线焦点在y 轴上,知m <0,故-1<m <0. 7．C ．设倾斜角为θ,则tan [θ=,故50,或66ππθθπ≤≤≤<. 8．C ．由24,(5)2,y x y k x ⎧=⎨=--⎩得242080ky y k ---=,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则12124208,k y y y y k k++==-,记121222,11BA CA y y k k x x --==--,则1212121222221212121212216162()42()41()21616()11164BA CA y y y y y y y y k k k y y y y y y k k x x x x k ---++-++⋅====-+-+-++-+.故BA ⊥CA . 9．D ．设PF 1=m ,PF 2=n ,则由题设知2224,4(4),2,m n m n b mn -=⎧⎪+=+⎨⎪=⎩解得b=1.10．C ．由22(1)(1)2x y a +++≥-恒成立知,20a -≤,即a ≥2. 11．D ．考虑极端位置,当P 点落在上顶点时,有tan αβ==,显然有tan α-2cot β=0成立.12．B ．P 点是以(2cos α,2sin α)为圆心,4为半径的圆周上的点,而当α在R 上变化时,点(2cos α,2sin α)又是以(0,0)为圆心,2为半径的圆周上的点,故当圆心在半径为2的圆周上变化时,P 点的轨迹形成一个内圆半径为2,外圆半径为6的圆环.故面积为36π-4π=32π. 二、填空题13．{x |―1<x <3,且x ≠1}.14．－3.圆的标准方程为22(2)(1)5x y c -+-=-,在等腰直角三角形PAB 中,由P 到y 轴的距离为2,知半径r =22,解5-c =8,得c =-3.15．2-如图,作出约束条件确定的可行域,在A 点处有最小值,在B 点处有最大值.16．(1,3].222211111||(2||)4||48||||||PF a PF a PF a a PF PF PF +==++≥,当|PF 1|=2a 时取等号.因此应有c -a ≤2a ,即e =ca ≤3,又e >1,故1<e ≤3.三、解答题17.证明：∵a 、b 为正数且a +b =1,∴原不等式等价于）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a ． ))(()(2))((1111n n n n n n n n n n a b b a b a ab b a b a b a b a --=--+=+-++++++当a ≥b 时,a －b ≥0,a n ≥b n ,即b n －a n ≤0,∴(a －b )( b n －a n )≤0, 当a ＜b 时,a －b ＜0,a n ＜b n ,即b n －a n ＞0,∴(a －b )( b n －a n )＜0,因此）（－112))((+++++n n n n b a b a b a ≤0即）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a∴原不等式成立．18. 解：设),(y x M ,则依条件得21)0()8()0()2(2222=-+--+-y x y x 两边平方,整理得2216x y +=,这就是所求的轨迹方程.设圆：2216x y +=的圆心O 到直线l ：2x －y －55＝0的距离为d ,则5d ==故圆上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离为d -4=1.19. 解：由题设,直线l 的斜率必存在且不为0,设斜率为k ,则l 的方程为：(1)6y k x =+-由2(1)64y k x y x =+-⎧⎨=⎩消去y 得222[2(6)4](6)0k x k k x k +--+-= △222[2(6)4]4(6)0k k k k =---->解得33k <<+且0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则2211224,4y x y x ==,12242(6)k k x x k--+=, 由题意知AP BP =,得2222112299()()22x y x y -+=-+,∴22121299()()44022x x x x ---+-=,即1212()(5)0x x x x -+-=,Θ12x x ≠,∴125x x +=,∴242(6)5k k k --=,解得2k =或27k =-2(3舍去)7-<,∴所求的直线方程为24y x =-.(注：另可利用AB 的中点,及垂径分弦定理求解)20. 解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-= ①24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩解得01a a <<≠.双曲线的离心率e ==0a <<Q a ≠1 e e ∴>≠即离心率e的取值范围是)+∞U . （II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P ,5,12PA PB =u u u r u u u r Q 11225(,1)(,1).12x y x y ∴-=-由此得12512x x =.由于12,x x 都是方程①的根,且210a -≠,∴212221222121a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩⇒222222217212152121a x a ax a ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩ ∴2221751212x x =, ∴20x =(舍）或2175x =,∴222289160a a -=- 由0a >,所以1713a =. 21. 解：设该空调的全部运费及活动期间的全部保管费共y 元,则由题意,得36001400(2000)20y x x =⨯+⨯3600400100x x ⨯=+36004100()100x x⨯=+≥⋅＝24000．当且仅当36004x x⨯=,即x =120时取等号． ∴当x =120时,y 最小,且min 24000y =．24000－22000=2000(元) ,答：这笔专项资金不够用,至少还需要2000元资金．22. 解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A 、B ,由椭圆的对称性可得,A 、B 关于中心O （0,0）对称,所以A 、B 点的坐标分别为A （),11y x ,B （),11y x --.P （),y x 上椭圆12222=+by a x 上任意一点,显然||||||||11y y x x ≠≠,因为A 、B 、P 三点都在椭圆上,所以有222122122212211b a y a x b b y a x =+=+, ① 22222222221b a y a x b b y a x =+=+, ②. 而2122121111x x y y k k x x y y k x x y y k PB PA PBPA --=⋅++=--=, 由①－②得：22222211()()0,b x x a y y -+-=22212221y y b x x a-∴=--. 所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值22ab -.（Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.22a b该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线)0(122≠=+AB By Ax 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－.BA。
高二第一学期数学(理)期末试卷及答案5套
高二第一学期数学（理）期末试卷及答案5套（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A.40%B.30%C.20%D. 10%3.对于空间的两条直线n m ,和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A.n m n m //,////则，若αα B.n m n m //,则，若αα⊥⊥ C.n m n m //,//则，若αα⊥ D.n m n m //,//则，若αα⊂4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）A.911B.811C.89D.255.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如右图所示。
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。
上面说法正确的是（ ）A.②④B.①②④C.③④D.①③ 6.下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图， 则判断框内应填入的条件是( )A.?5>iB.?4≤iC.?4>iD.?5≤i7．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.32 B.31 C.95 D.94 8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与圆01022=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为（ ）A.120522=-y x B.1202522=-y x C.152022=-y x D.1252022=-y x 9.设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（ ） A.34B. 35C.13D.1210.命题“设R b a ∈,，若6≠+b a ，则3≠a 或3≠b ”是一个真命题； 若“q p ∨”为真命题，则q p ,均为真命题；命题“)1(2,,22--≥+∈∀b a b a R b a ”的否定是“)1(2,,22--≤+∈∃b a b a R b a ”； ④“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数的充要条件。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
高二(上)数学期末试卷(理科)
高二（上）数学期末试卷（理科）一．选择题（共10小题）n25．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的．C D．C D．7．设a＞b＞0，则的最小值是（）2，都有9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）10．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．二．填空题（共5小题）11．设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=s3=12，则a n=_________．13．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为_________．14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．15．设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的编号）三．解答题（共6小题）16．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．17．已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．高二（上）数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）n8+，当且仅当成立；，当且仅当，∴25．（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，．C D．x x x 解：先根据约束条件xy=y=＜﹣C D．7．（2010•四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）变形为=当且仅当2，都有，使得9．（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）=），x+，”10．（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．，解此方程组可求得+y；，即==12由①②得：，解得，，设双曲线，2c=2=2二．填空题（共5小题）11．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．，从而，=﹣，=取得最小值时，取得最小值时，13．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：14．（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．故答案为15．（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有①④．（写出所有真命题的编号）b=三．解答题（共6小题）16．（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．与①②（时，①式和②式等号成立．当且仅当时，原式等号成立．均为正数，由基本不等式得时，原式等号成立．17．（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．，代入，=；==，=，，且综上，有18．（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？时，令，结合数列的单调性可求和的最大项，则，=时，时，令）可知时，19．（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．y=的坐标为（）与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±）．与椭圆（20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．=，=2c==∴椭圆的方程为：，得（﹣在椭圆设该椭圆的左，右焦点为，则这两个焦点坐标是（﹣，，21．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．）∵=+=+．+﹣+。
高二年级(理科)数学第一学期期末试卷(含答案)(最新整理)
A．存在 x0∈R，使得 x20<0 B．对任意 x∈R，都有 x2<0
C．存在 x0∈R，使得 x20≥0 D．不存在 x∈R，使得 x2<0
D． 6
5. 抛物线 y2 4x 的焦点到其准线的距离是（
）
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
6.
两个焦点坐标分别是
F1
(5,
0)，F2
(5,
0)
，离心率为
5 4
的双曲线方程是（
）
A． x2 y2 1 43
B． x2 y2 1 53
1
C． x2 y2 1 25 9
7. 下列各组向量平行的是( )
A． a (1, 1, 2), b (3, 3, 6)
D． x2 y2 1 16 9
B． a (0, 1, 0), b (1, 0, 1)
=3，| BA1 |= 6 ，| CB1 |= 5
∴cos<
BA1
，
CB1
>=
|
BA1 BA1 |
CB1 | CB1
|
1 10
30 .
11 （3）证明：依题意，得 C1（0，0，2）、M（ 2 , 2 ，2），
第 20 题图
A1B =（－1，1，－2），
C1M
=（
1, 2
1 2
，0）.∴
A1 B
· C1M
4
交于 A,B 两点，求△OAB 的面积。
19.（本题满分 15 分）已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，试用向量法求平面 A1BC1 与 平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值。
20、（本题满分 15 分）如图所示，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
高二上学期理科数学期末试题(含答案)
高二上学期理科数学期末试题(含答案)1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．“0x >”是0>”成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件3．如果0a b <<；那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<- D ．11a b -<-4．已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩；则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6-5．在ABC ∆中；若C B A 222sin sin sin <+；则ABC ∆的形状是（ ）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.6．若双曲线22221x y a b-=）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x=±D．2y x =± 7．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中真命题为( )A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 8．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =；则12a a =D ．若31a a >；则42a a > 9．如图；G 是ABC ∆的重心；,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r；则OG =u u u r（ ）A ．122333a b c ++r r rB ．221333a b c ++r r rC ．222333a b c ++r r rD ．111333a b c ++r r r10.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点；P 为直线32ax =上一点；∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形；则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C. 34 D. 4511.等轴双曲线C 的中心在原点；焦点在x 轴上；C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点；AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 812．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ；过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-；则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 二．填空题：( 本大题共4小题；每小题5分；共20分) 13．不等式220x x +-<的解集为___________.9题图B14．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上；顶点A 是椭圆的一个焦点；且椭圆的另外一个焦点在BC 边上；则△ABC 的周长是____________． 15．在等差数列{}n a 中；已知3810a a +=；则573a a +=_____.16.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立；则实数k 的取值范围是______. 三、解答题（本大题共6小题；共70分）解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。
期末备考系列：高二上学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是( )A. (0,1e )B. .(e,+∞)C. (1e ,+∞)D. (1e ,e) 【答案】C 【解析】解：由函数f(x)=3+xlnx 得：f(x)=lnx +1，令f′(x)=lnx +1>0即lnx >−1=ln 1e ，根据e >1得到此对数函数为增函数，所以得到x >1e ，即为函数的单调递增区间．故选：C ．求出f(x)的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2. 函数f(x)=lnx−2x x 的图象在点(1,−2)处的切线方程为( )A. 2x −y −4=0B. 2x +y =0C. x −y −3=0D. x +y +1=0 【答案】C【解析】解：由函数f(x)=lnx−2x x 知f′(x)=1−lnxx 2，把x =1代入得到切线的斜率k =1，则切线方程为：y +2=x −1，即x −y −3=0．故选：C ．求出曲线的导函数，把x =1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可． 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】C 【解析】解：因为A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ═0×(−1)+3×1+3×0=3，并且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√2=12， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60∘ 故选：C ．由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，进而得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4. 已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，则m =( ) A. 2B. 3C. 4D. 9 【答案】B【解析】解：∵椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)， ∴25−m 2=16，∵m >0，∴m =3， 故选：B ．利用椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，可得25−m 2=16，即可求出m ．本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5. ∫(10e x +2x)dx 等于( )A. 1B. e−1C. eD. e+1【答案】C【解析】解：∵(e x+x2)′=e x+2x，∴∫(1e x+2x)dx═(e x+x2)|01=(e+1)−(1+0)=e，故选：C．e x+2x)dx=(e x+2x)|01，即可得出．由(e x+x2)′=e x+2x，可得∫(1本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极大值，则c=()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数f(x)=x(x−c)2的导数为f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=(x−c)(3x−c)，由f(x)在x=3处有极大值，即有f′(3)=0，解得c=9或3，若c=9时，f′(x)=0，解得x=9或x=3，由f(x)在x=3处导数左正右负，取得极大值，若c=3，f′(x)=0，可得x=3或1由f(x)在x=3处导数左负右正，取得极小值．综上可得c=9．故选：A．由题意可得f′(3)=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数y=e x(2x−1)的示意图是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数y =e x (2x −1)，当x =0时，可得y =−1，排除A ；D当x =−12时，可得y =0，∴x <12时，y <0．当x 从12→+∞时，y =e x 越来越大，y =2x −1递增，可得函数y =e x (2x −1)的值变大，排除B ； 故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8. 若AB 过椭圆 x 225+y 216=1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( ) A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】解：设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，则△F 1AB 面积S =12OF ×|2y|=c|y|．∴当|y|最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，则△F 1AB 面积的最大值为：cb =√25−16×4=12．故选：B ．先设A的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．9.设函数f(x)=13x3−x+m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A. −13B. −1 C. 13D. 1【答案】A【解析】解：∵f(x)=13x3−x+m，∴f′(x)=x2−1，令f′(x)=x2−1=0，解得x=±1，当x>1或x<−1时，f′(x)>0，当−1<x<1时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上是增函数，在(−1,1)上是减函数；故f(x)在x=−1处有极大值f(−1)=−13+1+m=1，解得m=13f(x)在x=1处有极小值f(1)=13−1+13=−13，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. [−12,12] B. [−2,2] C. [−1,1] D. [−4,4]【答案】C【解析】解：∵y2=4x，∴Q(−1,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y=k(x+1)．∵l 与抛物线有公共点，∴方程组{y 2=4x y=k(x+1)有解，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0有解．∴△=(2k 2−4)2−4k 4≥0，即k 2≤1．∴−1≤k ≤1，故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用.涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数f(x)=ax −ln x ，若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)【答案】D 【解析】解：∵f(x)=ax −ln x ，f(x)>1在(1,+∞)内恒成立，∴a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立．设g(x)=1+lnx x ，∴x ∈(1,+∞)时，g′(x)=−lnxx 2<0，即g(x)在(1,+∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)=1，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．故选：D ．化简不等式，得到a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立.设g(x)=1+lnx x ，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点.若60∘<∠AFB <90∘，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (√2,2)C. (1,2)D. (√2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax，x=a2c时，y=±abc，∴A(a2c ,abc)，B(a2c,−abc)，∵60∘<∠AFB<90∘，∴√33<k FB<1，∴√33<abcc−a2c<1，∴√33<ab<1，∴13<a2c−a<1，∴1<e2−1<3，∴√2<e<2．故选：B．确定双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60∘<∠AFB<90∘，可得√33<k FB<1，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x2−y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．【答案】√22【解析】解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，可得顶点为(±1,0)，渐近线方程为y=±x，即有顶点到渐近线的距离为d=√1+1=√22．故答案为：√22．求得双曲线的a=b=1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=______．【答案】6【解析】解：f′(x)=6x +2f′(2)令x =2得f′(2)=−12∴f′(x)=6x −24∴f′(5)=30−24=6故答案为：6将f′(2)看出常数利用导数的运算法则求出f′(x)，令x =2求出f′(2)代入f′(x)，令x =5求出f′(5)． 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−3,6).若DE//平面ABC ，则x 的值是______． 【答案】−23【解析】解：∵DE//平面ABC ，∴存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x =m +3n −3=5m +n 6=−2m +2n，解得x =−23．故答案为：−23．由DE//平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点F ，A(−1,1)，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为______．【答案】2【解析】解：∵抛物线方程为y 2=−4x ，∴2p =4，可得焦点为F(−1,0)，准线为x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(−1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点(−1,1)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2．故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x3+x−16．(I)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程；(Ⅱ)直线L为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【答案】解：(I)函数f(x)=x3+x−16的导数为f′(x)=3x2+1，可得曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程为y−(−6)=13(x−2)，即为13x−y−32=0；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1=nm =m3+m−16m，即为2m3+16=0，解得m=−2，n=−8−2−16=−26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为(−2,−26)．【解析】(I)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m的方程，解方程可得m的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=√2AB，E是SA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面SAB；(2)求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．【答案】(1)证明：∵SD ⊥底面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD …(2分)∵AB ⊥AD ，平面SAD ∩平面ABCDAD ，∴AB ⊥平面SAD ，又DE ⊂平面SAD ，∴DE ⊥AB ，…(4分)∵SD =AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ，∵AB ∩SA =A ，DE ⊥AB ，DE ⊥SA ，∴DE ⊥平面SAB ，∵DE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAB.…(6分)(2)解：由题意知SD ，AD ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，不妨设AD =2．则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,√2,0)，C(0,√2,0)，S(0,0，2)，E(1,0，1)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√2,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,2)…(8分)设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BED 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1+√2y 1=0x 1+z 1=0， 令x 1=−1，则y 1=√2,z 1=1，∴m ⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)是平面BED 的一个法向量． 设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 2=0−√2y 2+2z 2=0， 解得x 2=0，令y 2=√2，则z 2=1，∴n ⃗ =(0,√2,1)是平面SBC 的一个法向量.…(10分)∵cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3=√32， ∴平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为π6.…(12分)【解析】(1)证明平面BED ⊥平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明DE ⊥平面SAB 即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点且|AB|=8，M 为抛物线弧AB 上的动点．(1)求抛物线的方程；(2)求S △ABM 的最大值．【答案】解 (1)由条件知l AB ：y =x −p 2，与y 2=2px 联立，消去y ，得x 2−3px +14p 2=0，则x 1+x 2=3p.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p =4p ．又因为|AB|=8，即p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知|AB|=4p ，且l AB ：y =x −p 2，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +m ，代入抛物线方程，得x 2+2(m −p)x +m 2=0．由△=4(m −p)2−4m 2=0，得m =p 2．与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+p2两直线间的距离为d=√22p，故S△ABM的最大值为12×4p×√22p=√2p2=4√2．【解析】(1)根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与y2=2px联立，得x2−3px+14p2=0，由根与系数的关系可得x1+x2=3p，结合抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解可得p的值，即可得抛物线的方程；(2)设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m，代入抛物线方程，得x2+2(m−p)x+m2=0，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若y=f(x)−m−1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ，…(1分)，解得a=−1，当a=−1时，f(x)=−x+xlnx，…(2分)即，令0'/>，解得x>1；…(3分)令，解得0<x<1；…(4分)∴f(x)在x=1处取得极小值，f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)…(6分)(Ⅱ)y=f(x)−m−1在(0,+∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)=m+1在(0,+∞)内有两个不同的根，也可转化为y=f(x)与y=m+1图象上有两个不同的交点，…(7分)由(Ⅰ)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)=−1，…(8分)由题意得，m+1>−1即m>−2①…(10分)当0<x<1时，f(x)=x(−1+lnx)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，显然f(x)→+∞(或者举例：当x=e2，f(e2)=e2>0)；由图象可知，m+1<0，即m<−1②…(11分)由①②可得−2<m<−1…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为f(x)=m +1在(0,+∞)内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆x 23+y 2=1，已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点.问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由{x 2+3y 2−3=0y=kx+2得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0．∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0. ①设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k 1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4．要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0．∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0. ③将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立．综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数f(x)=x −ae x−1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x−1当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 上是增函数；当a >0时，令f′(x)=0得x =1−lna若x <1−lna ，则f′(x)>0，从而f(x)在区间(−∞,1−lna)上是增函数；若x >1−lna ，则f′(x)<0，从而f(x)在区间(1−lna,+∞上是减函数．(2)由(1)可知：当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，且f(1−lna)=1−lna−ae−lna=−lna，令−lna<0得a≥1，故若f(x)≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．(2)这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，求出a的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
高二上学期期末考试数学(理)试卷及参考答案(共3套)
绝密★启用前第一学期期末考试高二年级(理科数学)试题卷 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．下列说法正确的是(A) 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”(B) 若命题2:,210p x x x ∃∈-->R ，则命题2:,210p x x x ⌝∀∈--<R (C) 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 (D) “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件2．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且(R)k k +∈a b 与2-a b 互相垂直，则k 等于(A) 1 (B)15 (C) 35 (D)753．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3b =π3A =，则B =(A)π6 (B) 5π6 (C) π6或5π6(D)2π34．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =(A) 1(B) 9(C) 17(D)195．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(A)(B) (C) 2 16．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)n a +等于(A) 2)12(-n(B))12(31-n (C) 14-n (D))14(31-n 7．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于(A) 10- (B) 10 (C) 14- (D)148．已知0,0>>b a ，且132=+b a ，则23a b+的最小值为(A) 24(B) 25 (C) 26(D)279．若中心在原点，焦点在y(A) y x =± (B) 2y x =±(C) y = (D)12y x =± 10．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 (A) 30m -<< (B) 32m -<< (C) 34m -<< (D)13m -<<11．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为(A)13(B)3(C)(D)2312．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27A ，则|||PA PM +的最小值是(A)211 (B) 4 (C)29 (D)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量1(8,,),(,1,2)2a x xb x ==，其中0x >，若b a //，则x 的值为__________．14．过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 15．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =__________．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
高二数学(理)上学期期末试卷及答案
上学期期末考试 高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=的曲线是双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数3. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．74 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨5. 若双曲线22221x y a b-=3A ．2± B. 12± C. 2 D.22±6. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为2212 D. 12-7． 已知椭圆)0(1222222>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线12222=-bx a y 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线2bx ay =的焦点坐标为 A. )0,43(B. )0,123(C. )123,0( D.)43,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ，① ② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A. 123P P P ==B. 123P P P =<C. 123P P P <=D. 123P P P <<9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 设0>a ，c bx ax x f ++=2)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为A. ]1,0[aB. ]21,0[aC. ]2,0[a bD. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且60POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有60POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的大小是A. 30︒B.45︒C. 60︒D.90︒12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为 A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为 ． 14. 函数2()ln '(1)54f x x f x x =-+-，则(1)f ＝________．15.已知b a,是夹角为60的两单位向量，向量b c a c⊥⊥,，且||1c =,c b a y c b a x -+-=+-=3,2，则><y x,cos = .16. 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ． 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)过点(1,1)-作函数3()f x x x =-的切线，求切线方程.18.(本小题满分12分)已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤，集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=,PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===,,M N 分别为,PC PB 的中点.（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．20. (本小题满分12分)已知三棱柱'''C B A ABC -如图所示，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ∆为等边FE C 'B'AA'CB三角形，面⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点. （Ⅰ）求证：//EF 面''BC A ；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小．21. (本小题满分12分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为1.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程.22. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点，直线(1y k x =-）(0)k ≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、,MN 中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 斜率为12k-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，当AMN ∆k 的值.xyz参考答案一．选择题CDBAC CDABB DB 二．填空题2π1- 5216- 322-三．解答题17.解：设切点为3(,)m m m -，则切线方程为32(31)()y m m m x m -+=--，┅┅┅┅┅┅2分将点(1,1)-带入，解得0m =或32， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分 所以切线方程为y x =-或234270x y --= ┅┅┅┅┅┅┅10分 18.解：（1）0a >时，21[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以212,4a a-≥-≤， 104a <≤，检验14a =符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分（2）0a =时，A R =，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分（3）0a <时，12[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以122,4a a-≥≤-，102a -≤<，检验12a =-不符合题意.综上11(,]24a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分19. 解如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则 1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2A P B C M D .（I ） 因为3(2,0,2)(1,,1)2PB DM ⋅=-⋅-0=，所以.PB DM ⊥（II ） 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥， 又因为PB DM ⊥，所以PB ⊥平面.ADMN因此,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角. 因为cos ,||||PB DC PB DC PB DC ⋅<>=⋅105=，所以CD 与平面ADMN 所成的角的正弦为510 20. （Ⅰ）证明（方法一）取B A '中点D ，连接DC ED ,，因为D E ,分别为B A AB ',中点，所以'//,'21AA ED AA ED =，┅┅┅┅┅┅┅３分 所以CF ED CF ED //,=，所以四边形EFCD 为平行四边形，所以CD EF //，又因为BC A CD BC A EF ''面，面⊂⊄，所以//EF 面BC A '；┅┅┅┅┅┅┅６分（方法二）取'AA 中点G ，连接FG EG ,， 因为G E ,分别为',AA AB 中点，所以B A EG '//又因为G F ,分别为','AA CC 中点，所以''//C A FG ┅┅┅┅┅┅┅３分且G GF EG EFG GF EFG EG =⊂⊂ ,,面面，'''',''',''''A B A C A BC A B A BC A C A =⊂⊂ 面面所以面//EFG 面''BC A ，又⊂EF 面EFG ，所以//EF 面BC A '┅┅┅┅┅┅６分 （方法三）取BC 中点O ，连接',OC AO ，由题可得BC AO ⊥，又因为面⊥ABC 面''B BCC ，所以⊥AO 面''B BCC ，又因为菱形''B BCC 中oBCC 60'=∠，所以BC O C ⊥'. 可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7分 不妨设2=BC ，可得)0,0,1(C ，)0,3,0('C)3,0,0(A ，)0,0,1(-B ，)3,3,1('-A ，)0,3,2('-B ，所以)0,23,21(),23,0,21(F E -所以)3,3,0('),0,3,1('),23,23,1(==-=BA BC EF ，┅┅┅┅┅┅┅9分 设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =，则⎩⎨⎧=+=+03303c b b a ，不妨取3=a ，则)1,1,3(),,(-=c b a ，所以0=⋅n，又因为⊄EF 面BC A '，所以//EF 面BC A '.┅┅┅┅┅┅┅12分 （Ⅱ）（方法一）过F 点作'AA 的垂线FM 交'AA 于M ，连接BF BM ,.因为'//','AA CC CC BF ⊥，所以'AA BF ⊥，所以⊥'AA 面MBF ， 所以BMF ∠为二面角B AA C --'的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分因为面⊥ABC 面''B BCC ，所以A 点在面''B BCC 上的射影落在BC 上，所以41cos 'cos 'cos =∠∠=∠ACB BCC ACC ， 所以AC MF ACC ==∠415'sin ，不妨设2=BC ，所以215=MF ，同理可得215=BM .┅┅┅┅┅┅┅10分 所以532153415415cos =-+=∠BMF ，所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分（方法二）接（Ⅰ）方法三可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=AA AB ，设面B AA '的一个法向量为),,(1111z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=--03031111y x z x ，不妨取31=x ，则)1,1,3(),,(111-=z y x .┅┅┅┅┅┅┅８分又)0,3,1('),3,0,1(-=-=AA AC ，设面C AA '的一个法向量为),,(2222z y x n =，则⎩⎨⎧=+-=-03032222y x z x ，不妨取32=x ，则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅１０分 所以53||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，因为二面角B AA C --'为锐角，所以二面角B AA C --'的大小为53arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2分21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，椭圆上点P 满足,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+所以,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时||1PF 取到最小值12-=-c a ，又21=a c ，解得1,1,2===b c a ，所以1C 的方程为 1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x aca PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ，对于直接说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的，酌情扣分)；┅┅┅┅┅┅┅4分（Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为m kx y +=，┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与1222=+y x ，得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ，0=∆，化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与22:4C y x =，得到042=+-m y y k ，0=∆，化简得01=-km ，┅┅┅┅┅┅┅10分 解得2,22==m k 或2,22-=-=m k所以直线l 的方程为222+=x y 或222--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为),(),,(2211y x N y x M ，则2121x x y y k --=，OP 斜率为2121x x y y ++，所以2122212221-=--x x y y ，┅┅┅┅┅┅┅3分又1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，所以02222122221=-+-by y a x x ，所以222b a =，又 11222=+ba ，解得2,422==b a ，所以椭圆C 的方程为12422=+y x ；┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）(1y k x =-）与椭圆C 联立得：0424)21(2222=-+-+k x k x k ，┅┅┅┅┅┅┅8分AMN ∆面积为31021)32(82||||2||||21222121=++=-=-kk k x x k y y ， 解得1±=k .┅┅┅┅┅┅┅12分。
高二第一学期数学(理)期末试卷及答案5套
高二第一学期数学（理）期末试卷及答案5套第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z ＝+2i ，则|z|＝（ ）A ．B ．2C ．D ．12．已知命题p ：∀x ≥0，x≥sinx，则⌝p 为（ ） A ．∀x ＜0，x ＜sinx B ．∀x ≥0，x ＜sinx C ．∃x 0＜0，x 0＜sinx 0D ．∃x 0≥0，x 0＜sinx 03．设a ＝50.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ） A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值 B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C ．函数()f x 有3个极大值，1个极小值 D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5．近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3，…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．根据图中已填入的数字，可以判断A 处填入的数字是（ ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．96．已知实数x ，y 满足约束条件20100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．52-C ．2-D ．1-7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图，为了得到()2cos 2g x x =的图象，可以将f （x ）的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向左平移个单位 C ．向右平移个单位 D ．向左平移个单位8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若711a =，则13S ＝（ ）A ．66B ．99C ．110D ．1439．已知函数()sin f x x x =，则()7f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ）A ．()(1)()37f f f ππ->-> B ．(1)()()37f f f ππ->->C ．()(1)()73f f f ππ>->-D ．()()(1)73f f f ππ>->-10．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，AB ＝2，CC 1＝2，E ，F 分别为AC ，CC 1的中点，则直线EF 与平面AA 1B 1B 所成的角是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则C 的离心率为（ ）A ．54B C ．53D ．512．设函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，对任意x∈R，有()()0f x f x --=，且x ∈[0，+∞）时()f x '＞2x ，若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高二上学期期末统考数学(理)试题含答案好资料
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数121i z i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是 A.23 B.21 C.12- D.12i - 2.已知命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定形式为A.x x R x p sin ,:<∈∃⌝B.x x R x p sin ,:≤∈∀⌝C.x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D.x x R x p sin ,:<∈∀⌝3.“双曲线C 的一条渐近线方程为430x y -= ”是“双曲线C 的方程为221916x y -=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件4.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低13，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为A. 3000元B.2400元C. 1600元D. 1000元5.在复平面上，点1Z 对应的复数是4i +，线段12Z Z 的中点对应的复数是12i +，则点2Z 对应的复数是A. 23i -+B. 23i --C. 23i -D. 23i +6. 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是A.)2,(-∞B.(2,2)-C.)2,(--∞D.]2,2(- 7.等差数列{}n a 中，已知11312,0a S =-=，使得0n a <的最大正整数n 为 A.6 B.7 C.8D.9 8.已知ABC ∆中，若sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+，则ABC ∆是A.直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形9.已知点(,)P x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则y x z 3-=的最小值为A.9B.6-C. -9D. 610.已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是 A.9 B.12 C. 15 D. 18 11.已知等比数列123,,a a a 的和为定值3(0)m m >，且公比为(0)q q >，令123t a a a =，则t 的取值范围为A.3(0,]mB. 3[,)m +∞C.30,()3m ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3(),3m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30︒，则C 的离心率为A.2B.26 C.23 D.3 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.不等式211x x -≥+的解集为 ． 14.如图，从高为200米的气球()A 上测量铁桥(BC )的长.如果测得桥头B 的俯角是60︒，桥头C 的俯角是30︒，则桥BC 长为 米．15.已知数列{}n a 中，12a =，点1(,)(1n n a a n ->且)n N ∈满足21y x =-，则1210a a a +++= . 16.过点(0,2)A 且和抛物线2:6C y x =相切的直线l 方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos ,a b C c B -=⋅7,c =8a =.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.18.（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）已知点(6,0)B 和(6,0)C -，过点B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ，设直线l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k ，如果1249k k ⋅=-，求点A 的轨迹. （2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在ABC ∆中，A ∠的外角平分线AD 与边BC 的延长线相交于点D ，则BD AB DC AC =.19.（本小题满分12分）已知命题P ：复数133z i =-，复数222410(212),()2m m z m m i m R m --=+--∈+，12z z +是虚数；命题Q ：关于x 的方程2224(1)70x m x m --++=的两根之差的绝对值小于2.若P Q ∧为真命题，求实数m 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项14a =，公差0d >，且1521,,a a a 分别是正数等比数列}{n b 的357,,b b b 项. （Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对任意n *均有1212c c b b ++…1n n n c a b ++=成立，设{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .21．（本小题满分12分）设a 为正实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. （Ⅰ）若(0)1f ≤-，求a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的最小值；(Ⅲ) 若(,)x a ∈+∞，求不等式()1f x ≥的解集.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)1(1222>=+a a y x 的离心率为 e ，点F 为其下焦点，点O 为坐标原点，过F 的直线 l ：c mx y -=（其中12-=a c ）与椭圆C 相交于,P Q 两点，且满足：2222()12a c m OP OQ c --⋅=-． （Ⅰ）试用 a 表示 2m ；（Ⅱ）求 e 的最大值；（Ⅲ）若 )21,31(∈e ，求 m 的取值范围．高二理倾向数学 参考答案 2014.1一、选择题（每小题5分，共60分）： ,,CBBCA DAABC AD三17解：（Ⅰ）,cos cos )2(B c C b a =-,cos sin cos )sin sin 2(B C C B A =-∴ ……………2分即,sin cos cos sin cos sin 2C B C B C A += )sin(cos sin 2C B C A +=即 .sin cos sin 2A C A =∴……………4分 1,sin 0,cos 2ABC A C ∆∴≠=所以(0,)C π∈ 3π=∴C . ……………6分（Ⅱ）由余弦定理，得： ,cos 2222C ab b a c -+=即20496428cos60b b =+-⨯ …………8分即28150b b -+=，解得3b =或5b = ……………10分∴由113sin 85103,222S ab C ==⨯⨯⨯= 或113sin 836 3.222S ab C ==⨯⨯⨯= ……………12分 18（1）解：设A 点坐标为(,)x y ，则4669y y x x ⋅=--+，……………2分 整理得221(6)3616x y x +=≠±……………4分 所以点A 的轨迹是以(6,0),(0,4)±±为顶点，焦点在x 轴的椭圆（除长轴端点）…6分 18(2)证明：设CAD DAE β∠=∠=在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin DC AC Dβ=∠……①……………8分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD D=∠∠ 即sin sin BD AB Dβ=∠∠………②………10分 ①②两式相比得BD AB DC AC=.……………12分 19解：由题意知，2212410(212)332m m z z m m i i m --+=+--+-+ 224(215)2m m m m i m --=+--+ ………………2分若命题P 为真，12z z +是虚数，则有22150m m --≠且2m ≠-所以m 的取值范围为5m ≠且3m ≠-且2()m m R ≠-∈………………4分若命题Q 为真，则有22212121216(1)8(7)0||2()44m m x x x x x x ⎧∆=--+≥⎪⎨-<⇒+-<⎪⎩………7分而212122(1),7x x m x x m +=-=+， 所以有224502111470m m m m m ⎧--≥⎪⇒-<≤-⎨--<⎪⎩或5211m ≤<+ …10分 由题意知，q p ,都是真命题，实数m 的取值范围为(211,1](5,211)--+.．１２分 21.解：（Ⅰ）若(0)1f ≤-，则2||111a a a a -≤-⇒≥⇒≥………2分（Ⅱ）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+ 因为对称轴3a x =，所以2min ()()2f x f a a == ……4分当x a <时，22()2,f x x ax a =+-因为对称轴x a =-，所以2min ()()2f x f a a =-=-综上2min ()2f x a =-. ………6分(Ⅲ)(,)x a ∈+∞时，()1f x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当0∆≤即62a ≥时，不等式的解为{|}x x a >； ………8分 当△>0即602a <<时，得223232()()033a a a a x x x a ⎧--+-⎪--≥⎨⎪>⎩讨论：当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;………10分 当2(0,]2a ∈时，解集为232[,)3a a +-+∞. ………11分 综上：当22a >时，解集为{|}x x a >；当2(0,]2a ∈时，解集为232[,)3a a +-+∞12分。
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2016-2017学年第一学期高二（理科）数学期末考试卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．213221+- B ．212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54或 C.D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥3 9、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为 （ ）A ．55B ．555C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21+=4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25第一学期高二（理科）数学期末考试卷二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
18、（本题满分8分）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 23-=，焦距为132，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线191622=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
A 1第19题图19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝ 3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．21、（本题满分11分）若直线l ：0=++c my x 与抛物线x y 22=交于A 、B 两点，O 点是坐标原点。
(1)当m =－1,c =－2时，求证：OA ⊥OB ；(2)若OA ⊥OB ，求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA ⊥OB 时，试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（理科）参考答案：1、C2、C3、A4、C5、B6、B7、B8、D9、C 10、A11、D12、01,2≠+-∈∀x x R x 13、18 14、56 15、②③16、p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则1531<≤m故m 的取值范围为1531<≤m17、如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量，由011=⋅B A n 可解得1＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1），所以，=33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值为33。
18、（1）19422=-y x 或14922=-x y ；（2）125922=+y x . 19、如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2），1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1=（－1，1，－2）， M C 1=（21,21，0）.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A （－2，0），B （2，0），C （2， 3 ），D （－2，3）．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．12,2,4|)||(|212===+=b c BD AD a ∴所求方程为)320,42(1121622≤≤≤≤-=+y x y x （2）设这样的弦存在，其方程为：22(2),(2)11612x y y k x y k x =-=-++=即将其代入得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--=设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由212122162,4,4,2342x x k x x k k +-=+=∴-==-+知解得∴弦MN 所在直线方程为y x =+验证得知，这时(0,(4,0)M N 适合条件．故这样的直线存在，其方程为y x =+ 21、解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由⎩⎨⎧==++202x y c my x 得0222=++c my y 可知y 1+y 2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m 2—2c x 1x 2= c 2, (1) 当m =－1,c =－2时，x 1x 2 +y 1y 2=0 所以OA ⊥OB.(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y 1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l ：02=-+my x 过定点(2,0).(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
),(2m c m D --而(m 2—c+21)2－[(m 2—c)2+m 2 ]=c -41由(2)知c=－2 ∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。