人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程》第二课时参考教案
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时)公开课 精品教案
21.3 实际问题与一元二次方程教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程方法通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.情感态度在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知课本45页探究1分析：○1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.○2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？○3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？点题，板书课题.教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，联系上节课内容，进一步学习一元二次方程的应用弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.○4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.课本47页探究3分析：○1正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？○3若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？○4“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x ㎝.尝试列出方程.○5方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.归纳：○1在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决○2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.三、课堂训练补充练习：1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识教师总结，学生体会学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.让学生掌握这一类题型将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?四小结归纳谈一节课的收获和体会.五、作业设计必做：P18：4-8选做：P19：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？教学反思。
《实际问题与一元二次方程》(第2课时)教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程教学设计第2课时一、教学目标1．根据增长率问题中的数量关系，列出一元二次方程求解．2．掌握增长率问题的实际意义．二、教学重点及难点重点：列一元二次方程解有关增长率问题的应用题．难点：发现增长率问题中的等量关系．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】问题1解一元二次方程有哪些方法？师生活动：根据之前所学到的解一元二次方程的方法可知，有配方法、公式法、因式分解法等．问题2列一元一次方程解应用题的步骤？师生活动：①审题；②设出未知数；③找等量关系；④列方程；⑤解方程；⑥答．设计意图：复习一元二次方程的三种解法，为本节课根据实际问题选择适当的方法解一元二次方程作铺垫；复习列一元一次方程解应用题的步骤是列一元二次方程解应用题的基础，达到由熟悉的知识过渡到本节课的新知识，从而激发了学生学习的兴趣．【例题分析，习题巩固】例两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t•乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t•乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？师生活动：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2=1 000（元），•乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2=1 200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品的成本为5 000(1－x )元，两年后甲种药品的成本为5 000(1－x )2元． 根据题意列方程，得25 000(1) 3 000x -=．解方程，得120.225 1.775x x ≈，≈（不合题意，应舍去）．设乙种药品成本的年平均下降率为y ．根据题意列方程，得26000(1)3600y -=．整理，得2(1)0.6y -=．解方程，得120.225 1.775y y ≈，≈（不合题意，应舍去）．答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？师生活动：得到的结论就是：甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同；成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大；不但要考虑它们的年平均下降额，而且要考虑它们的年平均下降率．练习巩固：青山村种的水稻2012年平均每公顷产7 200 kg ，2014年平均每公顷产8 450 kg ，水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？师生活动：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x ．根据题意列方程，得 27 200(1)8 450x +=，2(1) 1.17x +≈．解得120.08 2.08x x -≈，≈(不符合实际，舍去)．答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8％．归纳：平均增长（降低）率公式：a （1±x ）2=b注意：（1）1与 x 的位置不要调换；（2）解这类问题列出的方程一般用 “ 直接开平方法 ”．设计意图：使学生充分体会增长率问题，培养学生对增长率问题的解题能力．【练习巩固，综合应用】1．上海甲商场7月份的利润为100万元，9月份的利润为121万元，乙商场7月份的利润为200万元，9月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大？2．某电脑公司2015年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元．如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．参考答案：1．解：设甲商场的增长率为x ．根据题意列方程，得2100(1)121x +=．解得x 1=－2.1（不合题意，应舍去），x 2=0.1=10％．设乙商场的增长率为y ．根据题意列方程，得2200(1)288y +=．解得y 1=－2.2（不合题意，应舍去），y 2=0.2=20％．∵10%＜20%，∴乙商场利润的年平均上升率较大．2．解：设平均每月的增长率为x ．根据题意列方程，得200＋200(1＋x )＋200(1＋x )2=950．整理，得x 2＋3x －1.75=0．解得x 1=0.5=50％，x 2=－3.5（不合题意，应舍去）．答：平均每月的增长率为50％．设计意图：考查列一元二次方程解应用题中的增长率问题． 六、课堂小结列一元二次方程解增长率问题的一般步骤：（1）弄清增长率题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；（2）找出能够表示应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；（4）解这个方程，求出未知数的值；（5）检查求得的根是否符合应用题的实际意义，写出最后答案（及单位名称）．设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重点、难点．七、板书设计21.3 实际问题与一元二次方程（2）1．列一元二次方程解增长率问题。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》第二课时参考教案
1
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元， 为了减少库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个 目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西， 量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．
例 1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每 天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈 利 0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如 果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙 种贺年卡的售价每降价 0.25 元，那么商场平均每天可多售出 34张．如果商 场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
21.3 实际问题与一元二次方程(2)
教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的 解题方法． 重难点关键
祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量!祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量!
人教版九年级数学上21.3实际问题与一元二次方程(2)教学设计
人教版九年级数学上21.3实际问题与一元二次方程（2）教学设计21.3实际问题与一元二次方程教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）教学目标知识与技能：1.能根据对具体问题的分析和解决，体会方程刻画现实世界的模型作用。
2.培养学生的阅读能力与分析能力。
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
过程与方法：通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.情感、态度与价值观：在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学方法启发诱导教学准备课件教学过程设计设计意图教学过程一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知课本45页探究1分析：（1））设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.（2）第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？（3）第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？（4）本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.联系上节课内容，进一步学习一元二次方程的应用弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.让学生掌握这一类题型将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.布置作业必做：P18：4-8选做：P19：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？板书设计。
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计4
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程教学设计4一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程”是本册教材中的重要内容，旨在让学生通过解决实际问题，巩固和应用一元二次方程的解法。
本节课的内容包括：了解一元二次方程在实际问题中的应用，学会用一元二次方程解决实际问题，以及掌握一元二次方程的解法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对解一元二次方程有一定的掌握。
但在解决实际问题时，还需要将理论知识和实际问题结合起来，灵活运用。
此外，学生需要进一步提高解决实际问题的能力，以及将数学知识应用到生活中的能力。
三. 教学目标1.了解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.学会用一元二次方程解决实际问题。
3.掌握一元二次方程的解法。
4.提高解决实际问题的能力，培养将数学知识应用到生活中的意识。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，以及解一元二次方程的方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程解决。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过设计具有代表性的实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并用一元二次方程解决。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、探索，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如购物问题、长度问题等。
2.准备一元二次方程的解法教学课件。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个购物问题，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题。
例如：一件商品原价为x元，打8折后的价格为0.8x元。
如果购买这件商品需要支付100元，那么x可以是多少？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生发现实际问题中存在的等量关系，并用一元二次方程表示。
例如：一件商品原价为x元，打8折后的价格为0.8x元。
如果购买这件商品需要支付100元，那么可以得到方程：0.8x = 100。
21.3 实际问题与一元二次方程+教学设计+2024—2025学年人教版数学九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程+教学设计+2024—2025学年人教版数学九年级上册【学情分析】一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点．它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型．【教学目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会一元二次方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.2.熟练掌握“增长率”型问题的解题规律，会检验所得结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力.【重点难点】重点：列一元二次方程解决实际应用问题.难点：寻找问题中的等量关系.【新课导入】问题：谚语“一传十、十传百、百传千千万”的意思是什么？学生自主思考后，小组内讨论交流，形成思维上的模型．问题：若A同学患了流感，每轮传染中能传染6个人，且受感染的其他同学每轮也以相同的速度传染其他人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感呢？师生共同讨论，运用表格或图形的方式给予表示，从表格中得到问题的答案.【新课讲解】【课堂小结】1.本节课我们学习了哪种类型的应用题?2.请把本节课的涉及增长率和利润的关系式总结并阐述它们的意义？【布置作业】1.某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．80% C．180% D．20%或180%2.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ）A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500 (1+x2)=720D.720(1+x)2=5003.为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（）A．（x﹣100）[300+4（200﹣x）]＝30000B．（x﹣200）[300+2（100﹣x）]＝30000C．（x﹣100）[300+2（200﹣x）]＝30000D．（x﹣200）[300+4（100﹣x）]＝300004.小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元，如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是（）A．20件B．24件C．20件或30件D．30件5.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使设每盆多植x 株，则一株的盈利为元．6.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为__________________。
人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程(第二课时)导学案含答案解析
21.3 实际问题与一元二次方程（第二课时）导学探究阅读教材P19-20，回答下列问题:1.请根据你对“变化额”“变化率”的理解，填空:(1)某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产______个，增长率是______;若三月份生产零件1140个，那么三月份比二月份减产____个，下降率是________.(2)某厂今年一月份的总产量为100吨，设平均每月增长率是x，则二月份总产量为_____吨;三月份总产量为_________吨.(用含x的代数式表示).(3)某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是_____元;第二次降价后的价格是______元.(用含x的代数式)2.我市前年有汽车3万辆，据统计平均每年的增长率为x.(1)去年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)(2)今年我市汽车有万_______辆; (用含x的代数式表示)(3)若我市今年有汽车12万辆，根据题意，可列出方程___________________________.3.请你总结:(1) 增长率问题: 若原来的量为a，平均增长率是x，则第一次增长后的量为________;第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为A，则可列方程__________________.(2)下降率问题:若原来的量为a，平均下降率是x，则第一次下降后的量为__________;第二次下降后的量为___________;若两次下降后的量为A，则可列方程_________________.归纳梳理1.本节课我们将讨论平均变化率问题，变化率有增长率和________率.2.有关变化率的公式:(1)增长后的量= 原来的量+_________= 原来的量×(1+________);下降后的量= 原来的量－________ = 原来的量×(1－_______).(2)单位时间增长量＝增长后的量一_______=原来的量×__________;单位时间下降量=原来的量一__________=原来的量×__________(3)如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x, 则增长1次后的值是________，增长2次后的值是_________，…，增长n次后的值是______________.如果某个量原来的值是a，每次下降的百分率是x，则下降1次后的值是__________，下降2次后的值是_________，…，下降n次后的值是____________.3.如果设平均每次增长(或下降)的百分数为x，则原来的量a, 经过两次增长(或下降)到A，可列方程为______________(或)_______________.典例探究【例1】（·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，约为20万人次，约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8总结：增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前基数为a，增长（或降低）n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．练1：（•珠海）白溪镇有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，达到82.8公顷．（1）求该镇至绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，该镇绿地面积能否达到100公顷？练2. （·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出到市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．夯实基础1．（秋•丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？2．（•泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x% D．（2+x%）•x%3．（•江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）A．18元 B．36元 C．64元 D．80元4．（春•富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是．5.（·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100（1+x）2=169．6．（•泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？7．（春•淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．8．（•香洲区校级一模）据媒体报道，我国公民出境旅游总人数约5000万人，公民出境旅游总人数约7200万人，若、公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果仍保持相同的年平均增长率，请你预测我国公民出境旅游总人数约多少万人？9、（贵州毕节）为进一步发展基础教育，自以来，某县加大了教育经费的投入，该县投入教育经费6000万元．投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算该县投入教育经费多少万元．典例探究答案【例1】（·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，约为20万人次，约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“约为20万人次，约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C．练1：（•珠海）白溪镇有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，达到82.8公顷．（1）求该镇至绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，该镇绿地面积能否达到100公顷？分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出的绿地面积，根据的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得57.5（1+x）2=82.8，解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）.答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36（万元）答：该镇绿地面积不能达到100公顷．点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解．练2. （·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出到市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；（2）利用配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出配置公共自行车数量，得出等式求出答案．【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：解得：答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．（2）设到市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．根据题意可得：720（1+a）2=2205解此方程：（1+a）2=，即：，（不符合题意，舍去）答：到市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．夯实基础1．（秋•丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？分析：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x），第二次后的价格是60（1﹣x）2，据此即可列方程求解．解答：解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得：60（1﹣x）2=48.6，解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），答：平均每次降价的百分率是10%．故答案为：10%．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率（下降率）问题，关键是读懂题意，掌握公式：“a（1±x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．2．（•泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x% D．（2+x%）•x%解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，故选D3．（•江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）A．18元 B．36元 C．64元 D．80元解：∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，∴降价后的药品价格为100（1﹣36%）=64元，设平均每次降价的百分率是x，依题意得：100（1﹣x）2=64，解方程得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），第一次降价的价格为100×（1﹣20%）=80元．故选D．4．（2015春•富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是20% ．解：设平均每次下调的百分率是x．由题意，得5（1﹣x）2=3.2．解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．故答案为：20%．5.（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100（1+x）2=169．【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，100（1+x）2=169，故答案为：100（1+x）2=169．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程．6．（2014•泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）．答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．7．（2014春•淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：20（1﹣x）2=12.8解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）．答：每次降价的百分率为：20%．8．（2014•香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得：5000（1+x）2=7200，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．答：预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．9、（2016贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2=8640解得：x=0.2=20%，答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．。
《实际问题与一元二次方程》第二课时增长率问题 教案
人教版数学九年级上21.3第二课时教学设计课题21.3.2解一元二次方程单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程，提高数学应用意识。
能力目标通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程。
知识目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
重点建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
难点正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
学法探究学习、合作交流法教法启发引导、讲练结合法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境导入思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：教师引导学生积极讨论，引入新课。
创设问题情境，激发学生的解题求知欲。
结解决传播问题的注意事项。
数学思想。
三、重难点精讲例题：某例题某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．变化率问题：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1±x)n=b （常见n=2）学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解决变化率问题的主义事项和技巧规律。
学生思考使用一元二次方程解决变化率问题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。
四、学以致用菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. 通过实际应用练习使用一元二次方程解决变化率问题的过程。
师生交流看通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程在实际变化。
人教版九年级上册数学全册教案21.3 实际问题与一元二次方程
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。
人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程(2)》教学设计
人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.3《实际问题与一元二次方程（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了一元二次方程的解法、定义等基础知识的基础上进行讲解的。
这部分内容主要是培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力，让学生通过解决实际问题，进一步理解和掌握一元二次方程的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的知识也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为不能正确地将实际问题转化为数学问题，或者在列方程时出现错误，导致解题的失败。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确地将实际问题转化为数学问题，并熟练地运用一元二次方程进行解答。
三. 教学目标1.让学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法。
2.使学生能够熟练地运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为数学问题的方法，一元二次方程的解法。
2.难点：如何将实际问题正确地转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解答。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。
同时，运用讲解法、示范法等，为学生提供解题的思路和方法。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和解答。
2.准备PPT，用于展示和解题过程的演示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并激发学生解决问题的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现一系列的实际问题，让学生尝试解决。
在学生解答过程中，教师进行讲解和指导，引导学生掌握将实际问题转化为数学问题的方法，并熟练地运用一元二次方程进行解答。
3.操练（10分钟）让学生分组进行合作交流，共同解决一些实际问题。
教师在旁边进行指导和讲解，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生独立进行解答，巩固所学知识。
人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》教学设计
人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.3.3《实际问题与一元二次方程(第2课时)》这一节主要讲述了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。
教材通过具体的例子引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的理论知识，对于如何列方程、解方程已经有了一定的了解。
但是，将实际问题转化为一元二次方程的能力还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够灵活，需要通过实例引导学生学会用数学的眼光去发现问题、解决问题。
三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。
2.学会将实际问题转化为一元二次方程，并求解方程得到实际问题的解答。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，将实际问题转化为一元二次方程的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现实际问题中的等量关系，并将等量关系转化为数学方程。
五. 教学方法采用案例教学法，通过具体的实例引导学生理解一元二次方程在实际问题中的应用，培养学生的数学思维能力。
同时，采用小组讨论法，让学生在小组内共同探讨实际问题的解决方法，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，用于展示案例和引导学生思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出一元二次方程的应用，激发学生的学习兴趣。
例如：小明买了一本书，原价是20元，书店搞活动满100元减30元，小明最后实付了50元，问小明买了多少本书？2.呈现（10分钟）呈现准备好的案例，引导学生观察、分析案例中的等量关系。
例如：某车间生产一批产品，每小时生产30个，生产4小时后，因机器故障停工，停工后修机器花了2小时，修好机器后，车间又接着生产，最终完成了原定的生产任务。
21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时)
问题4你能概括一下“变化率问题”的基本特征
吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？
“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；
解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
达标测评
例2某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
教师引导、板书，学生回答
展示目标
学习目标：
1．能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；
2．体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
明确学习目标
自主学习
你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？两年后：
问题3两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结．
引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：教科书复习题21第9题．
十、课后反思
课题
21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本课以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关变化率问题．
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 握手问题和互赠礼物问题 教学设计
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节实际问题与一元二次方程，主要通过握手问题和互赠礼物问题，让学生学会运用一元二次方程解决实际生活中的问题。
本节内容紧密联系生活，激发学生学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。
教材以问题为导向，引导学生自主探究，合作交流，从而提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但解决实际问题的能力有待提高，特别是将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程求解。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导他们主动探究，培养他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解握手问题和互赠礼物问题的实际背景，掌握解决这类问题的方法。
2.会运用一元二次方程解决实际生活中的问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握握手问题和互赠礼物问题的解决方法，能运用一元二次方程解决实际问题。
2.难点：将实际问题转化为数学模型，求解一元二次方程。
五. 教学方法1.启发式教学：引导学生主动探究，发现规律，培养学生解决问题的能力。
2.案例教学：通过具体案例，让学生理解并掌握解决实际问题的方法。
3.合作交流：鼓励学生相互讨论，分享解题心得，提高沟通与合作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例资料，如握手问题和互赠礼物问题的实际背景。
2.准备课件，展示解题过程，引导学生思考。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示握手问题和互赠礼物问题的实际背景，引导学生关注生活中的数学问题。
2.呈现（10分钟）呈现握手问题和互赠礼物问题，让学生尝试解答。
引导学生发现这些问题都可以转化为求解一元二次方程。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生尝试解决握手问题和互赠礼物问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）总结解题方法，引导学生归纳出一元二次方程解决实际问题的步骤。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程教学设计
（一）教学重难点
1.一元二次方程的定义和性质：学生需要理解一元二次方程的一般形式，以及方程的解的判别式Δ的意义。
2.求根公式的推导和应用：学生需要掌握求根公式的推导过程，并能灵活运用求根公式解一元二次方程。
3.实际问题与一元二次方程的转化：学生需要学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用数学知识解决问题。
五、作业布置
在布置作业时，我会遵循以下原则：
1.针对性：作业应针对本节课的教学内容，帮助学生巩固和巩固所学知识。
2.适量性：作业数量要适中，避免过多过少，给学生足够的思考空间。
3.层次性：作业应涵盖不同难度的问题，以适应不同学生的学习需求。
4.实践性：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践操作能力。
（四）课堂练习
在学生进行了充分的讨论之后，我会给出一些练习题，让学生独立完成。这些练习题会涵盖本节课的主要内容，包括一元二次方程的定义、求根公式的运用等。通过这些练习题，我可以检查学生对知识的理解和掌握程度，同时也可以帮助他们巩固和提高解题技巧。
（五）总结归纳
在课堂的最后，我会引导学生总结本节课的主要内容和知识点。我会鼓励学生用自己的语言来表达对这些知识的理解，这样可以检验他们对知识的理解深度和广度。同时，我也会强调一元二次方程在实际问题中的应用价值，引导学生认识到学习数学的重要性。
4.引导反思，总结提升：在解决问题的过程中，引导学生反思解题思路和方法，总结提升解题技巧，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
5.拓展延伸，提高思维：通过设计一些拓展性的问题，激发学生的思维，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
6.反馈评价，激励发展：及时给予学生反馈，鼓励他们积极参与课堂，激励他们不断发展和提高。
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 教案
21.3 实际问题与一元二次方程【本讲内容】一. 教学内容：实际问题与一元二次方程1. 根据实际问题列出一元二次方程，并会求出符合实际问题的解．2. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程作为一种数学模型的应用价值．二. 重点难点：本讲的重点是，进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力．由于本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．三. 知识要点：1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为：审、设、列、解、检验、答．（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系．（2）设：是指设元，也就是设未知数．（3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．（4）解：就是解方程，求出未知数的值．（5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义．（6）答：就是写出答案．2. 列一元二次方程解决实际问题的常见题型（1）销售问题；（2）数字问题；（3）面积问题；（4）平均增长（降低）率问题．3. 列一元二次方程解实际问题的注意事项（1）要搞清现实生活中的一些数量关系，例如：距离＝速度×时间，工作量＝工作效率×工作时间，溶质重量＝溶液重量×浓度等等．（2）还有一些关键词语也要搞清，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．对于“增长率”问题，要注意区分“增”与“减”，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆．（3）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去．【典型例题】例1. 小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利率又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率．分析：本题属本息问题，第一年：本金＝1000元，利率为x ，本息和为1000（1＋x ）；第二年：本金［1000（1＋x ）－500］元，利率为x ，本息和为［1000（1＋x ）－500］（1＋x ）＝660．解：设存款年利率为x ，由题意得［1000（1＋x ）－500］（1＋x ）＝660整理得50x 2＋75x －8＝0解得x 1＝110，x 2＝－85（不合题意舍去）， 取x ＝110＝10% 答：存款的年利率为10%．评析：将各数据代入本息和计算公式即可求得结果．应熟记利率的计算公式，本息和＝本金×（1＋利率）年数．例2. 三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16，求这三个数．分析：∵相邻的两个连续整数之间相差1，∴这三个连续正整数用一个未知数表示的方法是x ，x ＋1，x ＋2或x －1，x ，x ＋1或x －2，x －1，x ，根据题中相等关系：（最大数的立方）－（最小数的立方）＝40×（中间数）＋16，此题设中间数为x 比较方便．解：设中间数为x ，则最大数为x ＋1，最小数为x －1，由题意得(x ＋1)3－(x －1)3＝40x ＋16，整理得3x 2－20x －7＝0，解得x 1＝7，x 2＝－13． ∵x ＝－13不合题意舍去，∴只取x ＝7． ∴x ＋1＝8，x －1＝6．答：这三个连续正整数是6、7、8．评析：解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设元法，如有关三个连续整数（或连续奇数，连续偶数）的问题，一般设中间一个数为x ，再用含x 的代数式表示其余两个数．例3. 用一块长方形的铁片，在它的四个角上各自剪去一个边长是4cm 的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536cm 3，求这块铁片的长和宽．分析：如图所示，设铁片的宽为xcm ，则长为2xcm ，做成的盒子的底面积就是图中虚线围成的长方形面积：（2x －4－4）（x －4－4）cm 2．盒子的高应等于小正方形的边长4cm ，盒子的容积可用代数式表示为4（2x －8）（x －8）cm 3．。
新人教版九年级上册 第21章 21.3实际问题与一元二次方程 教案
师生行为
点题，板书课 题.
教师提出问 题，并指导学 生进行阅读， 独立思考，学 生根据个人理 解，回答教师 提出的问题. 弄清题意，设 出未知数，并 表示相关量， 根据相等关系 尝试列方程， 求根.根据实 际问题要求， 对根进行选择 确定问题的 解.教师组织
二次备 课 .
1
○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例 相同，是什么含
学生合作交 流，达到共 识，
师生汇总生活 中常见的类似 问题，总结这 类题的做题技 巧.
教师提出问 题，让学生结 合画图独立理 解并解答问 题，培养学生 对几何图形的 分析能力，将 数学知识和实 际问题相结合 的 应用意识
教师总结，学 生体会
学生独立完 成，教师巡视 指导，了解学 生 掌握情况， 并集中订正
个面积为 8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一
样，则这个宽度为多少?
四小结 归纳
谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场•上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
教 学 目 标
教学重点 教学难点 教学过程设计
实际问题与一元二次方程
知识 技能
过程 方法 情感 态度
1.能根据○1 以流感为问题背景，按一定传播速度 逐步传播的问题；○2 以封面设计为问题背景，边衬 的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会 方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检 验结果是否合 理. 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清 实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数 量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要 相等关系，正确的建立一元二次方程. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二 次方程的应用价值.
人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时)公开课精品教案
21.3实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。
教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程探究2两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得5000（1-x）2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相同)思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)二巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？三应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．四归纳小结本节课应掌握：增长率与降低率问题。
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21.3 实际问题与一元二次方程(2)
教学内容
建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+
0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元
则（0.3-x ）（500+
1000.1x ）=120 解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
二、探索新知
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个
目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．
例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大． 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534
=≈，从这些数目看，好像两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，
则：（0.75-y ）（200+
0.25y ×34）=120 即（34
-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律．
（学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t •乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t •乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 老师点评：。