2018届河北省唐山市高三上学期期末考试理科数学试题及答案 (3)

河北省唐山市2017－2018学年度高三年级期末考试数学（理）试题说明：一、本试卷分为第I卷和第II卷．第I卷为选择题；第II卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)函数y=(A)[0，3] (B)[1，3] (C)[1，+∞) (D)[3，+∞)(2)某品牌空调在元旦期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16(3)"k<9’’是“方程221259x y k k +=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (4)设变量x 、y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y 的最小值为 (A)7(B) 8(C) 22 (D) 23(5)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若423S S =,则64S S = (A)2 (B) 73(C)310(D)l 或2(6)己知(12)3,1,()1,1.a x a x f x nx x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是(A)(一∞，一1] (B)(一l ，12)(C)[－1，12) (D)（0，12）(7)执行如图所示的算法，则输出的结果是 (A)1 (B)43(C)54(D)2(8)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于 (A)23(B)43(C)1(D)13(9)己知函数()sin (0),()()062f x x x f f ππωωω=>+=,且()f x 在区间(,)62ππ，上递减，则ω＝ (A)3(B)2(C)6(D)5(10)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 (A) 24种 (B) 36种 (C) 48种 (D)60种(11)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为(A)12(B)，l2(12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为(A)(-∞, 2] (B)[0+∞) (C)[0,2](D)[1,2]第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．(13)若复数z 满足z=i(2+z)（i 为虚数单位），则z= 。

(14)过点A(3,1)的直线l 与圆C:22410xy y +--=相切于点B ，则.CACB =．(15)在三棱锥P-ABC 中，PB=6，AC=3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 ．(16)数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n –na n =n （n∈N*），若S 20= -360，则a 2=____．三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且csinB=bcos C=3. (I)求b ；( II)若△ABC的面积为21，求c．2(18)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA =AB=AC．(I)求证：AC⊥CD;( II)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面甬B-AE -D的余弦值．(19)（本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．(I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；( II)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求ξ的分布列及数学期望.(20)（本小题满分12分）已知抛物线y 2= 2px(p>0)，过点C （一2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，.12OAOB =．(I)求抛物线的方程；( II)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．(21)（本小题满分12分）己知函数2(),()sin 2x x f x ae x g x bx π=+=+，直线l 与曲线()y f x =切于点(0,(0))f 且与曲线y=g （x ）切于点(1，g(1))． (I)求a ，b 的值和直线l 的方程． ( II)证明：()()f x g x >请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． (22)（本小题满分1 0分）选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形么BDC 内接于圆，BD= CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点． (I)求证：∠EAC＝2∠DCE；( II)若BD⊥AB，BC ＝BE ，AE ＝2，求AB 的长．(23)(本小题满分10)选修4—4；坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+，斜率为l 交y 轴于点E(0,1).(I)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；( II)直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|EA|+|EB |。

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()|1|||()2f x x x x R =++∈的最小值为a ．(I)求a ；( II)已知两个正数m ，n 满足m 2+n 2=a ，求11m n+的最小值．参考答案一、选择题：A卷：BCAAB CAABD DCB卷：ACADB AACBD CD二、填空题：（13）－1＋i （14）5 （15）8 （16）－1 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin C sin B＝sin B cos C，又sin B≠0，所以sin C＝cos C，C＝45°．因为b cos C＝3，所以b＝32． (6)分（Ⅱ）因为S＝12ac sin B＝212，c sin B＝3，所以a＝7．据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25，所以c＝5．…12分（18）解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD因为∠PCD＝90 ，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC．…4分（Ⅱ）因为底面ABCD 是平行四边形，CD ⊥AC ，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以AB ，AC ，AP 两两垂直．如图所示，以点A 为原点，以AB →为x 轴正方向，以|AB →|为单位长度，建立空间直角坐标系．则B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，D (－1，1，0)． 设PE →＝λPC →＝λ(0，1，－1)，则AE →＝AP →＋PE →＝ (0，λ，1－λ)，又∠DAE ＝60°，则cos AE →，AD → ＝ 1 2，即λ22λ2－2λ＋1＝ 1 2，解得λ＝ 12． …8分则AE →＝(0， 1 2， 1 2)，ED →＝AD →－AE →＝(－1， 1 2，－ 1 2)，所以cos AB →，ED → ＝AB →²ED →|AB →||ED →|＝－63．因为AE →²ED →＝0，所以AE →⊥ED →．又AB →⊥AE →， 故二面角B -AE -D 的余弦值为－63．…12分 （19）解：（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A ，B ，C ，D ．则P(A)＝1830＝35，P(B)＝1530＝12，P(C)＝930＝310，P(D)＝1530＝12．设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则M＝A－BCD＋A B－CD＋AB C－D＋ABC D－．则P(M)＝ 25³12³310³12＋35³12³310³12＋3 5³12³710³12＋35³12³310³12＝45200＝940．…5分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．P(ξ＝0)＝14200＝7 100，P(ξ＝1)＝55200＝11 40，P(ξ＝2)＝77200，P(ξ＝3)＝45200＝940，P(ξ＝4)＝9200．ξ的分布列为：E( )＝0³14200＋1³55200＋2³77200＋3³45200＋4³9200＝380200＝1910．…12分（20）解：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（ ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝y21y224p2＝4．因为OA→²OB→＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）（ ）化为y2－4my＋8＝0．y1＋y2＝4m，y1y2＝8．…6分设AB的中点为M，则|AB|＝2x m＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝1＋m2| y1－y2|＝(1＋m2)(16m2－32)，②由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±3．所以，直线l的方程为x＋3y+2＝0，或x－3y+2＝0．…12分（21）解：（Ⅰ）f (x)＝a e x＋2x，g (x)＝2cosx2＋b，f(0)＝a，f (0)＝a，g(1)＝1＋b，g (1)＝b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1．依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝e x＋x2，g(x)＝sin x2＋x．…5分设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝e x＋x2－x－1，则F (x)＝e x＋2x－1，当x∈(－∞，0)时，F (x)＜F (0)＝0；当x∈(0，＋∞)时，F (x)＞F (0)＝0．F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，故F(x)≥F(0)＝0．…8分设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin x 2，则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1（k∈Z）时等号成立．…10分由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)＞g(x)． (12)分（22）解：（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD． (5)分（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．由切割线定理得EC2＝AE•BE，即AB2＝AE•(AE－AB)，即AB2＋2 AB－4＝0，解得AB＝5－1．…10分（23）解：（Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2．l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．（t 为参数, t ∈R ）…5分（Ⅱ）将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t－1＝0，解得，t 1＝1＋52，t 2＝1－52，则|EA |＋|EB |＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5． …10分 （24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－ 3 2x －1 ，x ＜－2，－ 12x ＋1，－2≤x ≤0， 3 2x ＋1，x ＞0． 当x ∈(－∞，0]时，f (x )单调递减， 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，所以当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤ 12，则 1m＋1n≥21mn≥22，当且仅当m＝n＝22时取等号．所以 1m＋1n的最小值为22．…10分注：如有其他答案，请参考评分标准给分．。