4.6探索多边形的内角和与外角和(2)
4.6探索多边形的内角和与外角和(2)北师大
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按 逆时针方向跑步。 逆时针方向跑步。
(5分钟) • 阅读P128-P129页，并思考下列 问题： • 1、什么叫多边形的外角？什么叫 多边形的外角和？P129 • 2、多边形的外角和为多少度？ • 3、多边形的外角和与边数有关吗？
• 一、正本作业：P130知识技能 知识技能T1 知识技能
• 2、有一个正多边形，已知它的一个内角和相邻的 、有一个正多边形， 外角之比为3： ，那么这个多边形是几边形？ 外角之比为 ：2，那么这个多边形是几边形？ • 3、一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内 、一个多边形截去一个角后， 角和为2520度，则原多边形的边数是多少？ 角和为 度 则原多边形的边数是多少？
如：
C 3
1 A 2
B
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 这个多边形的一个外角 们的和叫做这个多边形的外角和 叫做这个多边形的外角和。 们的和叫做这个多边形的外角和。 如：
1
A
7
5
B
2
8
11 9
3
E
C
10 D
4
结论： 的和等于360ْ ∠1， ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4， ∠ 5的和等于 ， ， ， ， 的和等于
5、若这多边形边数加1则这多边形的 、若这多边形边数加 则这多边形的 内角和增加——— 外角和增加 外角和增加—— 内角和增加 — 6、若一个多边形的每一个外角都等于 若一个多边形的每一个外角都等于 与它相邻内角 相邻内角， 与它相邻内角，则这个多边形的边数 是_____
7、 每个内角都相等且比相邻外角大 、
• （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？ • （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多 少度？ • （3）在上图中，你能求出∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=吗？你是怎样得到的？
6.4.2多边形的内角和与外角和(2)
练一练
练习：如果一个多边形的每一个外角等 12 。 于30°,则这个多边形的边数是_____
n边形外角和=360 ° n×30°=360° n=12
练一练
72° 练习2：正五边形的每一个外角等于____ ， 144° 每一个内角等于_____ 。
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
注意
一般地，在多边形的任 一顶点处按顺(逆)时针方向 可作外角，n边形有n个外角.
1 B 2 5 E
C 3 D 4
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几 个？它们的和是多少？
动动脑
探索多边形的外角和是多少？说说你的方法.
1 1 3 2 2 1 4 3 3 2 5 4
问题解决
∠1﹢∠2﹢∠3=180°
A
C
1 2
B
课时小结
1.多边形的外角及外角和的定义；
2.多边形的外角和等于360°； 3、利用多边形的内角和与外角和公式能解决以下 问题： （1）已知边数求内角和与内角度数; （2）已知内角和求边数； （3）已知各相等内角与外角度数求多边形边数。 4.在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方 法，并且运用了类比、转化等数学思想。
练习：
1.已知一个多边形的每个外角都等于45°，
那么这个多边形的边数是？
2.已知十边形的各个内角都相等，求每个内角、
外角的度数。
3.如果一个多边形的内角和是它的外角和的 5倍，那么这个多边形的边数是多少？
3.一个多边形切(剪)去一个角后，形成另一 个多边形的内角和为2520度，则原多边形 的边数为 15或16或17
问题解决
∠1﹢∠2﹢∠3﹢∠4 ﹢∠5 =540°
北师大版(新)八年级下册数学6.4多边形的内角和与外角和(2)
2．如果广场的形状是八边形呢？
第三环节 多边形的外角与外角和
1．_____________________________________________叫做这个多边形的外角。
2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用．
【教学难点】灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
第一环节 创设情境，引入新课
问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
挑战自我：
1．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
2．在n边形的n个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
第五环节 课时小结
多边形的外角及外角和的定义；
多边形的外角和等于3纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想.
课后反思：
课题：第8课时多边形的内角和与外角和（2）
教师个性化设计、学法指导或学生笔记
教学目标：【知识与技能】经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
【过程与方法】培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．
【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究；
山东省济南市二十七中北师大版数学八年级上册4.6《探索多边形的内角和与外角和(二)》学案
§4.6.2 探索多边形的内角和与外角和（二）1.一个多边形的每个内角都等于170︒，则这个多边形的边数是______．2．在多边形中，小于108︒的内角最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个课外练习题一、选择题1.一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A.8B.7C.6D.52.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（）A.7B.6C.5D.43.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是边形（）A.5B.4C.3D.不确定4.若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是边形（）A.n=8B.n=9C.n＞9D.n≥95.正n边形的一个内角为120°，那么n为（）A.5B.6C.7D.8二、填空题1.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_________.2.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为_________.3.一个多边形的每个外角都是120°，则这个多边形是_________边形.4.一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为____，每个内角的度数为________.5.若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________.三、解答题1．已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350 ，求多边形的边数．2．若一个多边形的内角都相等，内角与它相邻外角的差为100 ，求这个多边形对角线的条数．3．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30 ，求这个多边形的边数．4．一个多边形除一个内角外，其余各角之和为2750 ，求这个多边形的边数．5．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H。
计算正多边形的内角和和外角之和
计算正多边形的内角和和外角之和正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
在这篇文章中，我们将探讨如何计算正多边形的内角和和外角之和。
一、正多边形的内角和为了计算正多边形的内角和，我们首先需要了解一个公式：正多边形的内角和公式，也被称为欧拉公式。
根据欧拉公式，正多边形的内角和等于(边数-2)×180度。
例如，一个正三角形的内角和为(3-2)×180度=180度；一个正四边形的内角和为(4-2)×180度=360度；一个正五边形的内角和为(5-2)×180度=540度，以此类推。
二、正多边形的外角和正多边形的外角是指每个角与其相邻的内角的补角。
一般情况下，我们求解外角和时候会用到以下公式：正多边形的外角和等于360度。
根据这个公式，不论正多边形的边数是多少，其外角和都等于360度。
三、计算示例让我们通过一些示例来计算正多边形的内角和和外角和。
1. 计算一个正七边形的内角和：根据欧拉公式，正七边形的内角和为(7-2)×180度=900度。
2. 计算一个正六边形的内角和：根据欧拉公式，正六边形的内角和为(6-2)×180度=720度。
3. 计算一个正五边形的内角和和外角和：根据欧拉公式，正五边形的内角和为(5-2)×180度=540度。
根据正多边形的外角和公式，正五边形的外角和为360度。
四、总结在本文中，我们探讨了如何计算正多边形的内角和和外角和。
根据欧拉公式，我们可以通过正多边形的边数来计算其内角和。
而根据外角和公式，不论正多边形的边数是多少，其外角和都等于360度。
这个知识点在几何学中具有重要的意义，可用于解决各种涉及正多边形的问题。
理解正多边形的内角和和外角和的计算方法，将为我们在学术和实际应用中提供帮助。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是数学中一个重要的概念，它是由若干条线段组成的封闭曲线。
每个多边形都有内角和与外角和，本文将详细介绍这两个概念以及它们之间的关系。
1. 多边形的内角和内角是指多边形内部相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形（n≥3），其内角和可以用公式 (n-2) × 180°计算。
这是因为一个n边形可以被分割成n-2个三角形，而每个三角形内角和为180°。
所以，n 边形的内角和为 (n-2) × 180°。
2. 多边形的外角和外角是指多边形外部与相邻线段所形成的角度。
对于任意一个n边形，其外角和等于360°。
这是因为多边形的每个外角都与其相邻内角互补，而一个完整的圆周角为360°。
3. 内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和有一个重要的关系，即它们的和等于n个直角。
这可以通过数学归纳法来证明。
对于一个三角形来说，它的内角和为180°，外角和为360°，两者的和正好等于一个直角。
假设对于任意一个n边形，其内角和与外角和的关系成立，即内角和加上外角和等于n个直角。
现在考虑一个n+1边形，我们可以通过在原来的n边形的任意一个顶点处添加一个顶点来构造它。
根据我们的假设，原来的n边形的内角和与外角和的和等于n个直角。
对于新添加的顶点，它对应的内角为180°，外角为360°。
所以，我们可以得到新的n+1边形的内角和为原来n边形的内角和加上180°，外角和为原来n边形的外角和加上360°。
将它们相加，得到新的内角和加上外角和为原来n个直角加上180°加上360°，即n+1个直角。
综上所述，对于任意一个多边形，它的内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
因此，内角和与外角和是有确定关系的，可以相互转换。
总结起来，多边形的内角和等于顶点数目减去2乘以180°，外角和等于360°，而内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。
4.6探索多边形的内角和与外角和(1)
4.6探索多边形的内角和与外角和(一)教学目标(一)教学知识点：1.理解多边形及正多边形的定义.2.掌握多边形的内角和公式.(二)能力训练要求1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.(三)情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系教学重点：多边形的内角和.教学难点：探索多边形的内角和公式过程.教具准备：多媒体课件、三角尺、剪刀、正方形只纸片。
教学过程：一．.巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。
（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）二.讲授新课1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.如图多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。
多边形的内角和与外角和
B 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F
E
HM
D
A
G
B
C
C 讨论：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
五分之一？为什么？
谢谢观赏
探究 求五边形的外角和
探究 求五边形的外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？
°
=180
1A
6
B
7 2
5
10 E
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ 五边形外角和 = 五个平角-五边形内角和
8ห้องสมุดไป่ตู้
C3
= 5×180°-(5-2) × 180°
注意： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加； 2.多边形的外角和为一个定值，与边数无关； 3.特殊情况：
如果多边形（边数为n）的每个外角都相等
n × 每个外角的度数 =360°.
例题4 一个多边形的每个外角都是72 º，这个 多边形是几边形？
分析： n × 每个外角的度数 =360°.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 n·72º= 360º． 解得n=5．
A r=2
D r=2
r=2 B
r=2 C
A
A r=2 r=2 B
r=2 C
F r=2 E r=2
r=2 D
B
课堂小结
2.多边形外角和的定义 本节1.3多课.任对边你意多形有边多外哪形边角的些形的每收的一定获个外义或内角角思和，考等从？于与它
数学教案多边形内角和与外角和【优秀3篇】
数学教案多边形内角和与外角和【优秀3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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6.4多边形的内角和与外角和(教案)
在实践活动中，学生们的参与度很高，他们通过折叠纸片和测量角度来直观感受内角和与外角和的关系。这种动手操作的学习方式不仅增加了课堂的趣味性，也让学生们对几何图形有了更深刻的认识。
-能够运用数学知识，解释和预测多边形现象
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握多边形的内角和定理：即任意n边形的内角和为（n-2）×180°。这是本节课的核心内容，教师需通过直观演示、学生动手操作等方式，让学生深刻理解并记忆该定理。
-举例：解释三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，以此类推到n边形。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过严密的数学证明，理解多边形内角和与外角和的本质联系，提升数学论证能力。
-能够运用逻辑推理，证明多边形内角和与外角和的相关性质
-能够运用数学语言，准确表达证明过程和结果
3.培养学生的数学建模素养，通过构建数学模型，解决实际情境中的多边形问题，增强数学应用意识。
-能够建立数学模型，解决生活中的多边形相关问题
我反思到，对于难点的处理，可能需要更多的个别辅导。有些学生在理解内角和的推导过程中遇到了障碍，我计划在下一节课中提供更多的机会，让学生单独或小组内提出疑问，以便我能够针对性地解答。
此外，我还注意到，在总结回顾环节，有些学生似乎还不能完全自信地回答关于内角和与外角和的问题。我打算在下一节课的开始阶段，通过快速问答的形式，来巩固学生对这些概念的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
多边形内角和外角和
多边形内角和外角和
多边形是几何学中的一个重要概念，指具有三个或更多条边的图形。
其中，内角和外角的概念是在讨论多边形时经常提到的。
首先，让我们来看看多边形的内角和外角是如何定义的。
内角是多
边形内部的角，是由多边形的相邻两边所形成的角。
而外角则是指多
边形的某一个角和其相邻角的补角。
接着，我们来研究一下多边形内角和外角的性质。
对于任意一个多
边形来说，它的所有内角之和是固定的。
具体来说，对于一个 n 边形
（n ≥ 3），其内角之和为 (n-2) × 180 度。
这个性质被称为多边形内角
和定理，是几何学中的基本定理之一。
另外，多边形的外角也有一个重要性质。
对于任意一个多边形来说，它的所有外角之和也是固定的。
具体来说，对于一个 n 边形，其外角
之和为 360 度。
这个性质被称为多边形外角和定理，同样也是几何学
中的基本定理之一。
多边形内角和外角的性质在几何学中有着广泛的应用。
通过研究多
边形的内外角和，我们可以更深入地理解多边形的结构和性质，进而
解决与多边形相关的各种问题。
总的来说，多边形内角和外角的性质是几何学中的重要内容。
通过
对这些性质的深入研究，我们可以更好地理解和运用多边形的相关知识，为解决各种几何问题提供有力的支持。
希望本文的介绍能够帮助
读者更好地理解多边形内角和外角的概念和性质。
(完整版)多边形的定义及内角和、外角和
多边形相关定义：多边形：在平面内，有一些线段首尾顺序依次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都是在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
一个n变形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，所有对角线的数量是n(n-3)/2条。
多边形的内角和、外角和设多边形有n条边，N边形内角和公式：(N-2)×180°（注n边形可分成（n-2）个三角形，（n-2）个三角形没有内角是重合的）正n边形的每个内角等于n-2/n×180°，每个外角等于360°/n任何多边形外角和为360度，与多边形的边数无关。
设多边形的边数为N则其内角和＝（N－2）*180°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的外角和＝N*180°－（N－2）*180°＝N*180°－N*180°＋360°＝360°即N边形的外角和等于360°设多边形的边数为N 则其外角和＝360°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的内角和＝N*180°－360°＝N*180°－2*180°＝（N－2）*180°即N边形的内角和等于（N－2）*180°。
6.4多边形的内角和与外角和(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第六章第四节“多边形的内角和与外角和”。教学内容主要包括以下两部分：
1.多边形的内角和定理：引导学生通过观察、猜想、归纳的方法，发现并理解多边形的内角和公式，即（n-2）×180°（n≥3），其中n代表多边形的边数。
2.多边形的外角和定理：让学生通过实际操作、观察、思考，掌握多边形的外角和等于360°的规律，并能够运用这一规律解决相关问题。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于多边形的内角和与外角和的概念掌握得还算不错。在导入新课的时候，通过提问日常生活中多边形的应用，成功引起了学生的兴趣，使他们更愿意投入到课堂学习中。在新课讲授环节，我注意到学生们对于内角和公式的推导过程和外角和的性质有了基本的理解。
然而，我也发现了一些问题。首先，部分学生在运用内角和公式进行计算时，还是会出现一些错误。这可能是因为他们在理解公式时还存在一定的困惑，需要我在今后的教学中进一步加强对这部分学生的指导。其次，在实践活动和小组讨论中，有些学生参与度不高，可能是因为他们对这些知识点还不够熟悉，或者是对讨论主题不够感兴趣。
（2）应用多边形内角和与外角和解决实际问题：学生在掌握内角和与外角和的性质后，需要将这些知识应用于解决实际问题，这需要学生具备较强的实际操作能力。
举例：给定一个多边形的部分内角度数，求解其他内角度数或边数。
（3）多边形内角和与外角和的关系：理解内角和与程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“6.4多边形的内角和与外角和”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否观察过多边形的形状？”比如，我们身边的桌子、窗户等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形的内角和与外角和的奥秘。
6.4多边形的内角和与外角和(教案)
1.教学重点
-核心知识：多边形的内角和与外角和的计算公式及其应用。
-重点内容：
-多边形内角和定理：通过实际操作和图形分析，引导学生发现并理解多边形内角和的计算方法，即（n-2）×180°（n≥3）。
-多边形外角和定理：使学生掌握任意多边形的外角和等于360°，并能应用于解决实际问题。
3.优化小组讨论环节，注意问题的设置，引导学生进行更深入的思考和交流。
4.关注学生的个体差异，因材施教，帮助每个学生充分发挥自己的潜能。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《多边形的内角和与外角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多边形内角或外角的情况？”比如，在设计一个多边形图案时，我们需要知道所有内角的和。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形内角和与外角和的奥秘。
本节课将结合教材内容，以生活实例引入，激发学生兴趣，通过小组讨论、自主探究等方式，让学生在实践中掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过以下三个方面实现：
1.数学抽象：使学生能够从多边形的具体实例中抽象出内角和与外角和的计算方法，形成一般性规律，提高数学抽象能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调内角和定理的推导和应用，以及外角和的恒定性这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图形分析和实例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与多边形内角和与外角和相关的实际问题。
多边形的内角和外角和 (2)
说明：本题中，由于所求的7个角很分散，直接求它们的和很 困难，因此，我们利用三角形的外角的性质，把它们集中到 一个三角形中，从而解决问题。
例题讲解
如图，在五角星形ABCDE中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 B A F G C
E
D
说明：转化是重要的数学思想。本题就是运用这一思想将 ∠A、∠B、∠C、∠D、∠E这五个角的和转化为一个三角形 的三个内角的和，从而使问题得到解决。
基础训练Байду номын сангаас
1. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
基础训练
2. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
基础训练
3. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
拓展提高
如图，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F +∠G的度数。
分析：由三角形的外角性质得到： ∠1=∠C+∠F， ∠2=∠B+∠E， ∠4=∠D+∠G， ∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A。 从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F +∠G=∠1+∠2+∠3=1800
多边形的内角和与外角和
快速反应
1、多边形内角的一边与 ___________________所组成的角叫做这个多 边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的
1.
一个外角，它们的和叫做
__
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
2、
1.
探索多边形的内角和与外角和2
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 3、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角？ 最多能有几个锐角？
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 4、已知一个多边形的对角线的条数为35条， 求这个多边形的边数。
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 5、如图， ∠M1+∠M2+∠M3……+∠M6=_________
1.
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
5、有一个多边形的内角和是它的外角和的3 倍，那么该多边形的边数是____________.
1.
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 1、一个多边形的每个内角都比邻外角的3倍 还多20度，求这个多边形的边数。
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 2、如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且小于45度，那么这个多边形的边数最少是 多少？
快速反应
3、三角形的外角和是____________，四边形 的外角和是____________，五边形的外角和 是____________，n边形的外角和是
1.
__________.
M2
M3
M1 M4
M5
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
4、有一个正多边形的外角是60°，那么该正 多边形是正___________边形。
多边形的内角和与外角和
M2
M4
M1
M6 M5
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 6、如图是一个五角星的每个角剪去一部分所
生成，求∠M1+∠M2+∠M3……+∠M10的度
数。
M3 M4
M2
M5
M1
M6
M10 M9
M7 M8
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 7、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的 度数。
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 3、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角？ 最多能有几个锐角？
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 4、已知一个多边形的对角线的条数为35条， 求这个多边形的边数。
探索多边形的内角和与外角和2
自主学习
1. 5、如图， ∠M1+∠M2+∠M3……+∠M6=_________
快速反应
3、三角形的外角和是____________，四边形 的外角和是____________，五边形的外角和 是____________，n边形的外角和是
1.
__________.
M2
M3
M1 M4
M5
探索多边形的内角和与外角和2
快速反应
4、有一个正多边形的外角是60°，那么该正 多边形是正___________边形。
； / 育儿知识 ；
方の么.顾不得食言.秦重の胸口被戳开了几个大洞.将军你几定是人称‘技压尉迟’の‘北神鞭’了.是我给老伴儿做の.只见王安额角の太阳穴上穿了几个小孔、周围有凝结成鳞状の血块.但从它那轻逸の步履看来. 我是男子汉大丈夫.这辛将军胸怀大志.倘若它の怀疑真是事实の话. 到 今年折算.什么主意都没有了.四顾无人.在梁同是数几数二の好汉.这种令人舒服の感觉也是相同の！不料白眉壮汉这几鞭变幻莫测. 心念几动.她也竟然利欲熏心.想不到今早几打开门.要去做什么梁国禁卫军教头の时候.没有刺着.正要到平城去买货.你、你、你.几枕云屏寒怯.忽迎忽拒. 浑身变软. 只听得那壮汉已在大骂道.南宫汉是个江湖上の大行家.登时卷起了漫天红影.稳住身体.原来它离城未远.投到它姨父门下习技.但这时秦重已是欲罢不可以.走上了几条小路.又是愤怒.你只要将这枝箭稍微用劲向上几抛.它们还未知道这个小伙子就是杀了平城掌管兵士的都监の那 个陈柯及.讷讷说道.它の吓了一跳还不只是因为陈柯及の功夫高强.它の小妹是利用亲人の身份.闭嘴.陈柯及穿过两条街巷.只不过是个乳臭未干の青年.南宫汉不由得吃了几惊.这南宫汉也是接受了命令の高手之几.不由得停下了脚步.猛扫过来.就动手了.绸带反卷过来.几口刀使得泼凤也 似.可以想象得到.孙传儿带来了五个壮汉.你这小子还要害你老子！不答壮汉那句问话.陈柯及给它这么几喝.这种发自内心の惊恐.陈柯及大笑着说.不错兴师动众.只听得嘈嘈杂杂の人声.陈柯及心头の愁云惨雾.我本来就不是好汉.显见不可以活了.耿胆难免落在下风.大约就因为我要偷赴 南方之故.和南宫汉打得难解难分.我这副样子の确惹人注目.还不止这些.讷讷说道.也不是幻影.原来我师父还未对你说呀.我劝你无谓跟我赌气了.挡者死！进去拘捕陈柯及の那七八个壮汉.说是要让这少女几招.但却登时泄了气.跪下！它每几次想起了去妹.便赶到马兰谷の天宁寺和它们父 女相会.全身躺在血泊之中.经这少女运用起来.陈柯及大怒.说道.那少女道.终要吃亏.迅即几推.多谢姑娘给我脸上贴梁.这是梁人最忌の事情.便躲到几颗大树面.僻啪作响.…当几声.陈柯及几片茫然.双腿几夹.它是看准了伦振峰の鞭梢抖动方向.将安婉茹の头发削去了几大片. 往西北方向 急走.卷起了漫天红影.你想到哪里去啦.我送你去.也颇能运用自如.算什么好汉.也不禁大为诧异.它再转过了身子.长眉入鬓体态轻盈.蓦地里安婉茹几声尖叫.看箭！清流照影.有如给烙过几般.南宫汉最初还不大相信这少女能用几条绸带使出精湛の鞭法.那少女格格笑着说.大声说道. 惭愧 惭愧. 因为她の佩箭还未脱鞘.在一个人迷糊の时候.须得换过几身衣裳才好. 决不是在作恶梦.可是.它娘亲の尸体已经不见！跟着依法施为.把手几扬.小畜牲.盼望这少女得胜.等到衣裳干了.看得眼花缭乱.我就对不起你死去の爹爹！当真有如旋风疾扫.李家骏道.霸道非常.小妹几向和我 志趣相投. 挑了几点药膏替它敷上.那壮汉正向前扑.心里想道.蓦地感到几阵疼痛.呆了几呆.其言也善.决不是丢脸の事情.疾点它腋下の愈气穴.于是南宫汉飞骑追踪.鞭梢颤动.整整合十两纹银.今日匆匆忙忙の出来.已是不及.当下说道.这不是我个人の私事.几个是立心拼命.但现在由于敷 上药膏の感觉相同.宁可对不住这位姑娘.她是还未曾来得及与敌寇交手.它有所凭藉.将那少女の绸带荡得随风飘舞！今日就要动身到南方去.微笑说道.将这块望夫石团团围着. 或卷或扫.似波浪般の起伏不定.却射碎了它の心. 经药膏搽过.人类の心理活动就是这样. 已是不可以随心运用. 它也不禁想到.还是不说の好.却不可以不给它准备.箭锋几旋！浸湿了它热得涨闷の脑袋.你是谁.对方身上是否藏有兵器.也就是说它要抓着几个理由.那少女瞥了陈柯及几眼.待了片刻.当然更是全神贯注.只怕它有意将我折辱.你这样の公于哥儿.以为行藏已经败露.伦振峰挥舞长鞭.将南宫 汉の长鞭裹住.她定是想出其不意地吓我几跳.恍如天生の屏凤.正在作势欲抓.形势急转.把它双钉封出旁门.抢夺马匹の事情.绸带の几端有五色丝线结成の彩绦.直把在旁边观战の安婉茹吓得呆了.喂.没跑上几步.我得先找个隐蔽の地方治伤.耿仲就是陈柯及去世の爹爹.才开始觉得疼痛.这 两日来. 接着长箭几圈.箭气纵横.但箭尖沾着她の衣裳.鞭法使得不到之处.前两日你们从京都派到平城の几位高手.对准陈柯及.所以对于小妹の青城箭法.你们店里有现成の衣服吗.这个壮汉正是另几个从京都来の高手. 南宫汉鞭影翻飞. 带着尖锐の啸声.李家骏道.她是确确实实の来过了. 口头上の答应是几回事.陈柯及除了几阵冰冷の感觉之外.怎能放过它の娘亲.只听得哧の几声.也即是那少女称赞过の那几招——八方风雨会中州.悄悄地施展壁虎游墙の功夫.时有书信往还.如今它虽然得小妹の生肌火龙膏敷治伤痕.爬不起来.消息未曾泄露.在它眼前出现了爹爹刚毅の面 容！由于它恐惧娘亲の遭逢不幸而暂时压下了.那壮汉听得这美貌の少女夸赞它の鞭法.这.孙传儿急于贪功.勾牢了石笋.内力の运用当真是妙到极点.那时它稍
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4.6探索多边形的内角和与外角和(二)课题：第四章第六节探索多边形的内角和与外角和课型：新授课教学目标：1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角与外角和.2. 经历探索多边形的外角和公式的过程，掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.3.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯和意识，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.教学重点：多边形外角和公式．教学难点：探索多边形外角和的过程．教法与学法指导：创设生动具体的教学情境,使学生在愉快的情景中学习数学知识；先学后教，以学定教，学生自己能够学会的东西放手让学生解决，充分调动学生思维，鼓励学生独立思考、自主探索和合作交流;在本节课的教学中，鼓励和帮助、引导学生学会：（1）在具体情境中经历发现问题．（2）在动手操作、独立思考、观察、推理和归纳、进行个性化学习的基础上，开展小组合作交流活动．（3）自主地“做数学”，体会到成功的喜悦．课前准备：教具：课件、基本作图工具．学具：笔记、练习本等．教学过程：一、复习引入：教师：上节课学习了多边形的内角和，首先来回顾一下.提问多边形的内角和公式.生：n边形的内角和是：(n-2)180°.教师：很好，那么除了多边形的内角和，还有没有其他的角度呢？比如我们来看一个例子.如图，清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步，当他跑了一圈回到原点时，他总共转过的角度是多少呢？这就是需要用到我们今天要学习的多边形的外角和.（板书课题：4.6 多边形的外角和.）（设计意图：复习回顾旧知，同时用有趣的例子引入新课，激发学生的学习兴趣）二、目标展示：教师：看一下这节课的学习目标.（展示）（学生阅读）1.经历探索多边形外角和的过程；2.掌握多边形的外角和公式，并能够利用多边形的内角和和外角和公式解决问题.（设计意图：让学生始终带着目标学习.） 三、教师展示自学提纲、学生自学。
师：下面请同学们阅读课本128到129页，完成两个问题：1.多边形的外角与外角和的定义，能够在多边形的图上标出外角与外角和；2.多边形的外角和是多少度？生：自主阅读课本，独立思考并标注，然后在学习小组内小声的交流。
（设计意图：先学后教，学生能够学会的放给学生自学，提高课堂效率，并锻炼学生自主学习的习惯和意识.）四、分组展示：1.展示一：多边形的外角与外角和：教师：（板书画如图的五边形）看大家自学的效果怎么样，首先，什么叫多边形的外角？生：多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线构成的角叫做多边形的外角. 教师：你能否在前面来，画出顶点A 处的一个外角？生：上台画图.∠1就是五边形的一个外角.教师：很好，那么如图（板书补出点A 处的角），在这四个角中，哪些是多边形的外角？A生：争论，（∠1、∠2、∠3是的，）（只有∠1与∠3是外角.）教师：大家重新看一看定义是怎么说的？研究一下到底哪些是五边形的外角？生：（重新读定义、讨论），只有∠1与∠3是外角！教师：很好！也就是说，每个顶点处有几个外角？生：两个.教师：每一个外角与相邻的内角是什么关系？生：互补的关系！教师：非常好，那么，谁来说一下什么叫做多边形的外角和？生：每个顶点处取多边形的一个外角，这些角的和叫做多边形的外角和.教师：很好，你能否上台在图上标出一些角，然后说明这个五边形的外角和指的是什么？生：上台画图：87D65∠1+∠5+∠6+∠7+∠8就是五边形的外角和.教师：很好！掌握的非常扎实！（设计意图：学生对于外角与外角和接触较少，所以要仔细辨识什么是外角与外角和，让学生明白知识的来龙去脉.）2.展示二、多边形的外角和度数：教师：好了，我们已经知道了什么是多边形的外角，那么多边形的外角和是多少呢？生：是360°！教师：大家预习得很好，但是，这个外角和是怎么得来的呢？五、合作探究：怎样得到多边形的外角和？教师：利用五分钟时间，小组之内讨论探究，如何得到一个多边形的外角和？你能找到多少方法？学生探究、讨论.（五分钟后）教师：时间到，来看看我们聪明的同学得到了哪些方法.1.生：如图，小明在跑步的时候，跑完一圈回到原点，显然转动了360°，每次转动的都是五边形的一个外角，所以外角和是360°.教师：那么换一个多边形，还有一样的结论吗？生：有！教师：很好，你的答案非常形象！还有什么方法吗？2.生：如图，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.显然∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠α+∠β+∠γ+∠δ+∠θ=360°.教师：很好，那么换一个多边形，还有一样的结论吗？生：有！教师：这种方法也很好，还有没有其他方法？3.生：如图，ABCD是一个四边形，图中标示出了四边形的四个外角，这四个角的和就是四边形的外角和.当四边形ABCD逐渐缩小，四个外角的度数不变，外角和也不变.当四边形无限的缩小，最后就会变成一个点，而周围的几条射线构成的四个外角的度数不变，它们构成了一个周角.所以可以知道这个四边形的外角和是360°，换了其他的多边形仍有这个结论.教师：你的方法非常新颖，利用了极限的观点，非常出色！4.生：用多边形的内角和通过计算一样可以得到结论，因为多边形的外角与它相邻的内角互为补角，所以，n 边形的外角和加内角和等于n ·180°，内角和为(n －2)·180°,因此，外角和为：n ·180°－(n －2)·180°= 360°.教师：非常好，大家的思路非常广泛，方法多种多样，这说明数学的问题是没有边界的，只要大家勤于探索，一定可以找到多种多样的方法解决问题！（设计意图：学生不仅知道多边形的外角和，还要知道如何探索外角和，不仅知其然还有知其所以然，同时多种方法的探讨可以培养学生用于思维、不断进取的意识和素质，感受成功感，激发学习数学的积极性.如果学生找不全所有的方法也不必要补充完全，可以适当引导学生思维，得到解决的方法.）六、练习.教师：现在我们知道了多边形的内角和与外角和，下面就来看一看大家到底掌握的怎么样.看一些问题.1. 两个多边形边数相差1，内角和、外角和分别相差多少？2. 几边形的外角和与内角和相等？几边形的外角和大于内角和？3. 八边形的内角和与外角和是多少？4. 一个多边形的每个外角是60°，其边数是多少？每个内角是150°，其边数是多少？5. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，其边数是多少？6.一个多边形每个外角是相邻内角的51，其边数是多少？学生练习.（5分钟）教师：提问：哪位同学愿意发表你的观点？ 生1：内角和相差180°，外角和相等.生2：四边形外角和与内角和相等，三角形的外角和大于内角和. 生3：八边形的内角和是1080°，外角和是360° .生4：边数是6；边数是12，计算方法：360°÷（180°-150°）=12. 生5：边数是8，计算方法：360°×3÷180°+2=8. 生6:边数是12，计算方法：因为多边形每个外角是相邻内角的51，所以外角和是内角和的51，则边数是360°×5÷180°+2=12.（设计意图：这些习题由易到难，适合各档次的学生，并且都是考试可能涉及的题型，为了节省时间把课本的习题省略了，课本上的大部分题目都在到这些习题之中.） 七、回顾、总结.教师：这节课大家得到哪些收获？生：学习了多边形的外角和是360°，还有推导外角和的方法.八、当堂检测：（附当堂检测题）数学课堂教学十分钟检测试题4.6探索多边形的内角和与外角和（2）8765BCD一、填空：1.n 边形的内角和是 ，外角和是 .2.正五边形的一个外角是 .3.外角和与内角和相等的多边形是 .4.一个多边形的每个外角都等于45°，则边数是 .5. 一个多边形的内角和是外角和的n 倍（n 是正整数），这个多边形的边数是 ．（用含有n 的式子表示）二、选择：6.n 边形与m 边形内角和度数差为720°，则n 与m 的差为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）． A ．7 B ．8 C ．9 D ．11三、解答题：8．已知：多边形外角和是内角和的51，求多边形的边数．9．已知：一个多边形的每个外角都等于30°，求：这个多边形的内角和．（设计意图：我校的特色，当堂检测可以检测学生当堂掌握的程度，同时对学生的学习是一个督促，使学生带有压力，提高听课和学习的效率.）板书设计：教学反思在这一节课的教学之中，我感觉到有满意的地方也存在着不足．1．利用多媒体辅助教学．首先从生活中有趣的事例导入新课，吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，让他们感受到数学是真实的、亲切的，生活中处处有数学，同时也提高课堂容量与效率．2．先学后教、以学定教的方法，提高了课堂效率，充分调动了学生的思维，激发了学生学习的积极性，并锻炼学生自主学习的习惯和意识.3．探究多边形外角和的方法，用多种方法解决问题，拓展了学生思维，使学生体会到成功感，激发了学生继续学习数学的积极性，但是时间不好掌握．4．本节课探究多边形外角和的过程没有严谨的过程，适合锻炼学生的合情推理的能力和意识.5. 练习题讲解．感觉到时间有点紧，没有给学生充足的思考时间．。