2016-2017年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷和参考答案(文科)
2016-2017学年北京市高三(上)入学数学试卷(文科)(解析版)
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出 a，b，c 的值； （Ⅱ）从该市调查的 1000 户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用电量不超过 300 千 瓦时的概率； （Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平
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均电费． 18． （14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA＝AD，PA⊥AB，N 是 棱 AD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 PAB⊥平面 PAD； （Ⅱ）求证：PN⊥平面 ABCD； （Ⅲ）在棱 BC 上是否存在动点 E，使得 BN∥平面 DEP？并说明理由．
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（同国标码）mm 中国鞋码习惯叫法 （同欧码） 从上述表格中可以推算出 30 号的童鞋对应的脚的长度为 脚长为 282mm，则他该穿 号的鞋． ；若一个篮球运动员的 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． （13 分）已知数列{an}是等比数列，满足 a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足 b2＝4，b4＝a3． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设 cn＝an﹣bn，求数列{cn}的前 n 项和． 16． （13 分）已知函数 f（x）＝sin2x﹣2sin x （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期． （Ⅱ）求函数 f（x）的最大值及 f（x）取最大值时 x 的集合． 17． （13 分）某市为鼓励居民节约用电，将实行阶梯电价，该市每户居民每月用电量划分为 三档，电价实行分档递增． 第一档电量：用电量不超过 200 千瓦时，电价标准为 0.5 元/千瓦时； 第二档电量：用电量超过 200 但不超过 400 千瓦时，超出第一档电量的部分，电价标准 比第一档电价提高 0.1 元/千瓦时； 第三档电量：用电量超过 400 千瓦时，超出第二档电量的部分，电价标准比第一档电价 提高 0.3 元/千瓦时．随机调查了该市 1000 户居民，获得了他们某月的用电量数据，整理 得到如表的频率分布表： 用电量 （千 [0，100] 瓦时） 频数 频率 200 0.2 （100， （200，300] 200] 400 a 200 0.2 （300， 400] b 0.1 （400， 500] 100 c 1000 1 合计
北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学文试题 含答案
北京市朝阳区2015—2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2016.1(考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分(选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1},{11}A B x x =-=-<≤,则AB =A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}- 2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x =B ．1()f x x= C ．()e xf x = D ．()sin f x x =3。
A ．3B ．4C ．D ．63题图km/h ）频率4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h~120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆4 第 4题图5. 已知m ，n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，，则下列说法正确的是A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥ 6。
设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a =≠的焦点F ，且与y 轴交于点A，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A 。
24yx=± B 。
24y x= C.28y x=± D.28y x =7。
已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C （,m n ∈R ）上两个不同的点（C 为圆心）,且满足13||=+CB CA ,则=ABA. 23 B 。
北京市朝阳区2016-2017高三期末数学(文)试卷
（Ⅱ）若数列{bn} 满足 b1 3 ， b2 6 ，且{bn an} 是等差数列，求数列{bn} 的前 n 项和．
17．（本小题满分 13 分） 甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训．在培训期间，他们参加的 5 次测试成绩记录如下： 甲： 82 82 79 95 87 乙： 95 75 80 90 85 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据； （Ⅱ）从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （Ⅲ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位 同学参加合适？并说明理由．
y2 b2
1
(a
0
， b 0)
的左、右焦点分别是
F1
，
F2
，
M
是双曲线上的一点，且
| MF1 | 3 ， | MF2 | 1 ， MF1F2 30 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． 3 1
B． 3 1
C． 3 1 2
D． 3 1或 3 1 2
7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）
已知函数 f (x) 2 3sin xcos x 2cos2 x 1 ．
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求
f
(x)
在区间
6
， 4
上的最大值和最小值．
16．（本小题满分 13 分）
已知等比数列{an} 的各项均为正数，且 a2 4 ， a3 a4 24 ．
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
12．在 △ABC 中，已知 B 45，AC 2BC ，则 C _______．
x y≥0， 13．设 D 为不等式组 x y ≤ 0，表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A(x ，y) ，则 2x y
2017-2018年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．103．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.84．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．10【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：B．3．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8【解答】解：由题意得：14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8，故选：D．4．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④【解答】解：①f（x）是奇函数在（0，1）递减，符合题意；②函数f（x）是偶函数，不合题意；③函数f（x）是奇函数，在（0，1）递减，符合题意；④f（x）是奇函数，x∈（0，1）时，f（x）=，f′（x）=＞0，f（x）在（0，1）递增，不合题意；故选：A．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设A（1，0），B（﹣1，0），P（x，y）则，化简得（x+3）2+y2=8如图，当点P到AB（x轴）距离最大时，△PAB面积的最大值，∴△PAB面积的最大值是．故选：A．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α平面α与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线的焦点在x 轴上，且c=2，设双曲线的方程为﹣=1，又由双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，则有=1，又由c=2，则有a2+b2=c2=4，解可得a2=b2=2，则双曲线的方程为；故答案为：．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=2．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，∴=﹣•=﹣||•||•cos120°=﹣2×2×（﹣）=2，故答案为：2．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为8．【解答】解：根据变量x，y满足约束条件，画出可行域：z=x2+y2表示O（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，原点到直线x+y﹣4=0的距离的平方最小，则z=x2+y2的最小值是：（）2=8．故答案为：8．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为S1=bd+ac；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．【解答】解：图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．故答案为：S1=bd+ac；由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1；所以函数f（x）的最小正周期为T==π；…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=，当x∈时，，，；当，即x=0时，f（x）取得最小值0；所以当时，f（x）≥0．…（13分）16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．【解答】解：（Ⅰ）由可得2（1+q2+q4）=42．由数列{a n}各项为实数，解得q2=4，q=±．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=（﹣1）n﹣12n．（Ⅱ）当a n=2n时，；当a n=（﹣1）n﹣12n 时，．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术．…（2分）（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A，B，正手拉球4次，分别记为a，b，c，d．则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd．其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd．则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率．…（10分）（Ⅲ）正手技术更稳定．…（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC．又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．而B1B∩BC=B，所以AD⊥平面BB1C1C．因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．因为D是BC的中点，所以DE∥A1C．又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，所以．由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且．所以，所以三棱锥A1﹣AB1D的体积为．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则有所以a2=5，b2=1．所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，此时MN⊥x轴．设D（1，0），直线x=5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|．所以直线FN∥x轴．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为点E（3，0），所以直线ME的方程为．令x=5，所以．由消去y得（1+5k2）x2﹣10k2x+5（k2﹣1）=0．显然△＞0恒成立．所以，因为==，所以y2=y F．所以直线FN∥x轴．综上所述，所以直线FN∥x轴．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．第21页（共21页）。
(优辅资源)北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A．B．C．D．2A B．C．D3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A．B．C．D．4．是的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．A．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．B．C D7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常间的距离为2大值是A B．C．D．8．若内部的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．的值为 ．10．的方程是． 11．212．若变量x ，y的最小值为．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：bb caccbC A（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）表示为；（3）右图中阴影区域的面积为（4）请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14(单位m)mm.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）P21BC16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）如图，已19．（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）（Ⅱ）说明理由；（Ⅲ）范围．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：…………………………7分…………………………13分16.（本小题满分13分）解：…………………7分…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率…………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分18.（本小题满分14分）=BC B⊥平面BB5分1AB E =为正方形，则.…………………………10分…………………………14分19. （本小题满分14分）解：…………………………3分.....…………………………14分20. （本小题满分13分）解：…………………………3分..有且只有一个实数根. …………………………7分 （Ⅲ）若函区有且只有一个极值点，由于...则只需满足：……………………13分。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(文)试题(有答案)[精品]
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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2016.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ．1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学文试题(附答案)$721912
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}Ax x x xR ，1{|2,}2Bx x x R ，那么集合A BA.B ．1{|1,}2x xxR C ．{|22,}x x x R D ．{|21,}x x xR 2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1yx B ．tan y xC ．3y xD ．2yx3. 已知3sin 5x ，则sin 2x 的值为A ．1225B ．2425C ．1225或1225D ．2425或24254. 设x R 且0x ，则“1x ”是“1+2x x”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n ，则B ．若//,,//m n ，则m nC ．若,,//mn ，则//m nD ．若,,m nm ，则n6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC0，||2||OA AB ，则CA BC 等于（）A ．154B ．34C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x则函数1()()2g x f f x 的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 设平面向量(1,2),(2,)y a b，若a //b ，则y. 10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A，sin A =.cos2A.11. 已知 2.1log 0.6a，0.62.1b，0.5log 0.6c，则a ，b ，c 的大小关系是.12. 设各项均为正数的等比数列n a 的前n 项和为n S ，若23a ，245S S ，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x mx在(,)上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。
2016-2017学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．?B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x ＜1，x∈R}2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．3．（5分）已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．（5分）设x∈R且x≠0，则“ｘ＞1”是“ｘ+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．（5分）已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．（5分）已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(文)试题(有答案)[精品]
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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2016.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ．1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐。
2016-2017年北京市朝阳区高三二模 文科数学试题及答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2017.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知i 为虚数单位，则复数对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知，则下列不等式一定成立的是（A ）（B ）（C ）（D ）（3）执行如图所示的程序框图，则输出的值是（A ）15 （B ）29 （C ）31 （D ）63（4）“”是“”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 （5）将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则实数的最大值为 （A ）（B ）（C ）（D ）（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 （A ） （B ）（C ） （D ）开始结束输出S是否 ,（7）已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为（A）（B）（C）（D）（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是（A）甲（B）乙（C）丙（D）乙和丙都有可能第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合，，则．（10）在平面直角坐标系中，已知点,,，点为边界及内部的任意一点，则的最大值为．（11）已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于.（12）设函数则；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是．（13）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点.设这两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标是；该双曲线的渐近线方程为．（14）设为曲线上动点，为曲线上动点，则称的最小值为曲线,之间的距离，记作．若，，则_____；若，，则_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求和△ABC 的面积．（16）（本小题满分13分）已知数列是首项，公比的等比数列．设．（Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．（17）（本小题满分13分）某中学随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题． （Ⅰ）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高； （Ⅲ）在样本中，从身高在和（单位:）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于的概率．组距频率 0.0050.040145 155165 175 a 185 0.020 身高(cm)O195 0.025（18）（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．（19）（本小题满分14分）已知椭圆：的一个焦点坐标为.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率； （Ⅱ）若椭圆与轴交于，两点（点在点的上方），是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．（20）（本小题满分13分）已知函数，． （Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线在点处的切线为，在点处的切线为.（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．ABC A 1B 1C 1D北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 B D C A B C A B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案 3 2；；（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以.因为，所以，所以.因为，且，所以．…………6分（Ⅱ）因为，，所以由余弦定理，得，即.解得或（舍）.所以.．…………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得：.（）.则.所以数列是以为首项，为公差的等差数列. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则数列是以为首项，为公差的等差数列..则.即.即(). …………13分解：（Ⅰ）根据题意，.解得．所以样本中学生身高在内(单位:)的人数为．…………4分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则．所以，该校男生的平均身高为．…………8分（Ⅲ）样本中男生身高在内的人有（个），记这两人为．由（Ⅰ）可知，学生身高在内的人有个，记这四人为．所以，身高在和内的男生共人．从这人中任意选取人，有，共种情况．设所选两人的身高都不低于为事件，事件包括，共种情况．所以，所选两人的身高都不低于的概率为．……………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，，且平面，平面，所以平面. ………………4分（Ⅱ）因为底面，，所以，，则平面.即平面.所以. ………9分（Ⅲ）因为在侧面中，，，是棱的中点，所以.则.因为平面，所以.所以平面.又平面，所以平面平面，且平面平面，过点作于，所以平面.则.所以在线段上存在点，使得. …………14分解：(Ⅰ)依题意，，，所以.则椭圆的方程为.离心率. …………4分(Ⅱ)设，，则，．又，所以直线的方程为．令，则．又，为线段的中点，所以．所以，，．因为点在椭圆上，则，所以．则．因此．故．……………14分（20）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数的定义域为.，.（ⅰ）当时，，.因为，所以.即.解得.………………3分(ⅱ)因为，则在上有解.即在上有解.设，，则.（1）当时，恒成立，则函数在上为增函数.当时，取，取，,所以在上存在零点.当时，存在零点，，满足题意. （2）当时，令，则.则在上为增函数，上为减函数.所以的最大值为.解得.取，.因此当时，方程在上有解.所以，的最大值是. ………………8分另解：函数的定义域为.，.则，.因为，则在上有解.即在上有解.因为，所以.令().则.得.当，，为增函数；当，，为减函数；所以.所以，的最大值是.………………8分（Ⅱ）.因为为在其定义域内的两个不同的极值点，所以是方程的两个根.即，.两式作差得，.因为，由，得.则.令，则，由题意知:在上恒成立，令，则=.（1）当，即时，，，所以在上单调递增.又，则在上恒成立.（2）当，即时，时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数.又，所以不恒小于，不合题意.综上，. ………………13分。
北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A．B．C．D．2A B．C．D3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A．B．C．D．4．是的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．A．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．B．C D7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常间的距离为2大值是A B．C．D．8．若内部的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．的值为 ．10．的方程是． 11．212．若变量x ，y的最小值为．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：bb caccbC A（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）表示为；（3）右图中阴影区域的面积为（4）请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14(单位m)mm.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）P21BC16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）如图，已19．（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）（Ⅱ）说明理由；（Ⅲ）范围．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：…………………………7分…………………………13分16.（本小题满分13分）解：…………………7分…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率…………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分18.（本小题满分14分）=BC B⊥平面BB5分1AB E =为正方形，则.…………………………10分…………………………14分19. （本小题满分14分）解：…………………………3分.....…………………………14分20. （本小题满分13分）解：…………………………3分..有且只有一个实数根. …………………………7分 （Ⅲ）若函区有且只有一个极值点，由于...则只需满足：……………………13分。
北京市朝阳区高三数学上学期期末统一考试试题 理
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=x x A ，{}20B x x =-<，则()U A B =ðA ． {|2}x x >B ． {}02x x ≤< C ． {|02}x x <≤ D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =- C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为AB ．43CD ．4俯视图正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC =,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ． 21 D ．19 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的； ②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的；③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的．在上述定义下，集合},n m n +∈Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x 在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小；（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． FADCBE18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题满分13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1k k m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥L ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：()1x 70280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲，()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙，()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲甲乙9884215350035025789()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．所以变量ξ的分布列为：………………………………………………………11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O =，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以AC //平面DEF ． ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，， 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-． （i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCBEOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20,220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0.y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=． 因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ=． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-． 因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--． 设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,0m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=--，得000020,20. x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN === 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得2OMNS ∆===．综上所述，OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1xx e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取0x =00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则ln(2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可． 因为1()e (e )11x x x h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C =种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个， 有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合； 若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合； 若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<L ． 把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L ，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤L ， 又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾．所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L 每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+L ，即1212m a a a n m ++++≥L ．…………………13分。
2016-2017年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．?B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x ＜1，x∈R}2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．3．（5分）已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．（5分）设x∈R且x≠0，则“ｘ＞1”是“ｘ+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．（5分）已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．（5分）已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．。
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期期中考试数学文试题Word版含答案.doc
北京市朝阳区2016-2017学年度⾼三年级第⼀学期期中考试数学⽂试题Word版含答案.doc北京市朝阳区2016-2017学年度⾼三年级第⼀学期统⼀考试数学试卷（⽂史类） 2016.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和⾮选择题（共110分）两部分第⼀部分（选择题共40分）⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.?B ．1{|1,}2x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数⼜是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成⽴的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平⾯.下列命题正确的是 A ．若,,m n m n αβ??⊥，则αβ⊥ B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥ C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三⾓形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆⼼），且OB OC +=0 ， ||2||OA AB =，则CA BC ?等于（）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤?=?>?则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个⿊球和4个⽩球从左到右任意排成⼀排，下列说法正确的是（）A ．总存在⼀个⿊球，它右侧的⽩球和⿊球⼀样多B ．总存在⼀个⽩球，它右侧的⽩球和⿊球⼀样多C ．总存在⼀个⿊球，它右侧的⽩球⽐⿊球少⼀个D ．总存在⼀个⽩球，它右侧的⽩球⽐⿊球少⼀个第⼆部分（⾮选择题共110分）⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平⾯向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知⾓A 为三⾓形的⼀个内⾓，且3cos 5A =，sin A = . cos 2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是 . 12. 设各项均为正数的等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ?+≥=?-14. 《九章算术》是我国古代⼀部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，⾄齐。
(全优试卷)北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.A．B．C．D．2A B．C．D3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A．B．C．D．4．是的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．A．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．B．C D7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常间的距离为2大值是A B．C．D．8．若内部的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．的值为 ．10．的方程是． 11．212．若变量x ，y的最小值为．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：bb caccbC A（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）表示为；（3）右图中阴影区域的面积为（4）请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14(单位m)mm.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）P21BC16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（本小题满分14分）如图，已19．（本小题满分14分）20．（本小题满分13分）（Ⅱ）说明理由；（Ⅲ）范围．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：…………………………7分…………………………13分16.（本小题满分13分）解：…………………7分…13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.………………2分（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率…………………………10分（Ⅲ）正手技术更稳定. …………………………13分18.（本小题满分14分）=BC B⊥平面BB5分1AB E =为正方形，则.…………………………10分…………………………14分19. （本小题满分14分）解：…………………………3分.....…………………………14分20. （本小题满分13分）解： (3)分..有且只有一个实数根.…………………………7分 （Ⅲ）若函区有且只有一个极值点，由于...则只需满足：……………………13分。
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2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜04．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n 项和．17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C．2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【解答】解：==1﹣i，故选：D．3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0【解答】解：对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选：D．4．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由cosθ===，可得θ=，故选：B．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10= 110．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是3．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=105°．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0]．故答案为：．[﹣，0]．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是甲．【解答】解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n 项和．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．…（6分）（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．…（13分）17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【解答】解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC．又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（9分）解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF．由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，=V A﹣DEF．所以V C﹣DEF因为AB=AD=2AF=2．所以=．故三棱锥C﹣DEF的体积为．…（14分）19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．…（5分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．…（13分）20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=xe x+x2，因为f'（x）=xe x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．…（3分）（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x ﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．…（14分）。