第2章 随机变量的概率分布与数字特征
第二章__1_随机变量及其分布
f ( x)
当x b时，由于{X x} {a X b}，于是 ba F ( x) P{ X x} P{a X b} 1 ba xa 0, xa 综上，可得X 的分布函数为 F ( x) , a xb b a xb 1,
2、分布函数的性质
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果. 例 抛掷一枚硬币可能出现 1, =正面 的两个结果 , 可以用一个 X () 0 , =反面
变量来描述.
例
{1, 2, 3,4,5,6}
． ． ． ．
A ．
定义: X ()
0, 9 , 19 F ( x) 15 , 19 1, x1 1 x 2 2 x3 x3
1
6 19
F ( x)
4 19
9 19
o
1
2
3
x
求随机变量X的概率分布
9 6 4 解 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} 19 19 19
为给出X取值 于任意区间上的概率 ，实 际上只要 给出所有X取值于形如(- ∞,x] 区间上的概率P{X ≤ x}即可。记 F(x)=P{X ≤ x} 当x取遍(- ∞ ,+∞)上的一切实数时， F(x)便成为定义 在(- ∞ ,+∞)上的函数， 一旦知道了这个函数 ，我们便可得到 相应的随机变量取值于任何区间的概率。
三、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable） 取值的统计规律性给出一种统一的描述 方法，下面引进分布函数 (distribution function)的概念.
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.2随机过程的分布律和数字特征
任 意 有 限 个 时 刻 过 程 各个 状 态 的 联 合 概 率 分 布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章 随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结 思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？
随机变量的分布与数字特征
在决策树中，期望值可以用于评估每个分支的预 期收益或损失，以选择最优路径。
概率分布的确定
通过计算期望值，可以确定概率分布的中心趋势 和平均水平。
03
方差与其他数字特征
方差的定义与性质
方差是衡量随机变量离散程度的量，其计算公 式为：$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$，其中$X$ 是随机变量，$mu$是期望值，$E$表示期望。
离散概率分布的性质
离散随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可加性。
连续随机变量的分布
连续随机变量
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，例如人 的身高。
连续概率分布
连续随机变量的概率分布可以表示为一个概率密度函数，该函数描 述了随机变量在各个取值范围内的概率。
连续概率分布的性质
连续随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可积性。
随机变量的分布与数 字特征
目 录
• 随机变量的分布 • 随机变量的期望值 • 方差与其他数字特征 • 协方差与相关系数 • 随机变量的其他数字特征
01
随机变量的分布
离是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，例 如投掷一枚骰子出现的点数。
离散概率分布
离散随机变量的概率分布可以表示为一系列概率值的集合，每个 概率值对应一个可能的结果。
分位数
分位数
描述数据分布的位置。例如，中位数是位于数据中间 的数，表示数据的中心位置；上四分位数和下四分位 数分别表示位于数据分布的25%和75%位置的数。
计算方法
对于任意给定的概率p，分位数qp = inf{x | F(x) ≥ p}
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
利用数学软件计算
概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布
15
例4: 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数 较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概 率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率 各为多少？ 解 每一盘棋可看作0-1试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的 盘数，则 X ～ b(10, 0.6) . 按约定，甲只要赢6盘或6盘 以上即可获胜. 所以
定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且 X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, ... (*)
则称(*)式为离散型随机变量X 的分布律。 分布律的基本性质： (1) 表格形式表示: pi 0, i=1，2，... (2)
i
pi 1
X pk
x1 p1
这里n=500值较大，直接计算比较麻烦. 利用泊松定理作近似计算: n =500, np = 500/365=1.3699>0 ，用 =1.3699 的泊松分布作近似 计算：
(1.3669) 5 1.3669 P{ X 5} e 0.01 5!
23
例2: 某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击 中的次数大于等于2的概率。 解 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中 击的次数，则X~B(400, 0.02)其分布律为
k 0,1
14
(2) 二项分布 设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有 P(A)=p 。则在 n 重伯努利试验中事件 A发生的次数 X是一个 离散型随机变量，其分布为
P ( X k ) C nk p k q n k
k =0, 1, 2 ,, n
称X 服从参数为n，p的二项分布，记为 X~b(n, p) 对于n次重复一个0-1试验. 随机变量X表示: n次试验中, A发生的次数. 如： 掷一枚硬币100次, 正面出现的次数X服从二项分布. b(100, 1/2) 事件 X～
概率论与数理统计2.2
若μ k= E ( X EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
2. 矩不等式 定理：
设 h(x) 是x的一个非负函数， X是一个随机变量，
且Eh(X)存在, 则对任意 > 0,有
Eh( X ) P{h( X ) }
证明： （只证 X 是连续型）
Eh( X )
1、定义
设 X 是随机变量，若E ( X EX ) 2 存在，称其 为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= E ( X EX ) 2 。 DX 称为标准差。
DX E ( X EX ) ( xi EX ) 2 pi ， 离散型。 显然方差是
0
2 x 1 nl 1 x d 2 x 2 x d 2 x 1 x d x f x x 1 x 1 0
于由
1 1 x x f 2 x 1 为数函度密率概的 X 量变机随设
例6
三、随机变量函数的数学期望 定理 1： 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数. (1) 若 X 的概率分布为 p k P{ X xk } k 1,2, 且
为什么要研究随机变量的数字特征
与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地 描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面 的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都 有重要的意义。 本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期 望、方差和矩。
一、离散型随机变量的数学期望
例1. 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1
a x0 x1 xn 1 b
则X落在区间 [xi, xi+1]中的概率为
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
概率论数字特征
在概率论中，数字特征是用来描述随机变量分布特征的数字指标。
以下是概率论中常见的数字特征：
1. 期望：
-期望是随机变量概率分布的均值，反映随机变量的平均取值水平，通常用E(X) 表示。
-期望可以通过对随机变量的每种可能取值乘以其对应的概率，再求和得到。
2. 方差：
-方差是随机变量与其期望的离差平方的平均值，反映随机变量取值的分散程度，通常用Var(X) 或σ^2 表示。
-方差可以通过将随机变量每种可能取值减去其期望，然后平方，再乘以对应的概率，再求和得到。
3. 标准差：
-标准差是方差的算术平方根，通常用σ表示，具有与原始数据相同的单位。
-标准差可以用来衡量随机变量取值的波动程度。
4. 偏态：
-偏态是随机变量分布的不对称程度，若右侧尾部更长，则为正
偏态；若左侧尾部更长，则为负偏态。
-偏态可以通过随机变量的三阶中心矩计算得到。
5. 峰态：
-峰态是随机变量分布的峰度，反映随机变量分布曲线的陡峭程度，通常用K 表示。
-峰态可以通过随机变量的四阶中心矩计算得到。
6. 分位数：
-分位数是将随机变量分为若干部分的数字点，例如中位数就是将随机变量分为两部分的点，25%分位数就是将随机变量分为四部分的点等等。
-分位数可以用来表示随机变量分布的位置和离散程度。
在实际应用中，以上数字特征经常被用来描述随机变量分布的性质和特征，例如对于正态分布，期望和方差可以完全描述其分布特征。
对于非正态分布，还需要考虑偏态和峰态等特征。
随机变量的数字特征
求 X 的数学期望 EX 。
解 由连续型随机变量数学期望的定义，有
EX xf (x)dx
0
1
2
x 0dx+ x xdx+ x (2 x)dx x 0dx
0
1
2
1 x2dx+ 2 (2x x2 )dx 1.
0
1
三、随机变量函数的数学期望
定理 设 X 为随机变量，y g(x)为实函数，
EX 2 2EX 2 EX 2 EX 2 EX 2.
方差的性质： （1）D(C) 0;
（2）DX C D(X );
（3）DCX C2DX ;
x,
例3.6 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) 2 x,
0,
0 x 1 1 x 2 . otherwise
求 X 的方差D(X ).
（1）设
X 为离散型随机变量，概率分布为
PX
xi
pi ,i
1, 2,
,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则 Eg(X ) 存在，且
i 1
E g( X )= g(xi ) pi.
i 1
（2）设 X为连续型随机变量，密度函数为 f (x) ，若
g(x)
f
(x)dx
绝对收敛，则
Eg(X )
存在，且
机变量 X 的方差，记为 D(X ) ，或 Var(X ) ，并称 D(X )
为 X 的标准差。
方差的计算：
考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：g( X ) X EX 2，因此
若 X 为离散型随机变量，概率分布为 pi PX xi , i 1,2, ，则
D( X ) EX EX 2 xi EX 2 pi. i 1
《概率论与数理统计》前三章习题解答
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由
f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
第一章 概率论的基本概念
解:
令事件Ai分别表示输入AAAA，输入BBBB, 输入CCCC, i 1， ， . 令事件A 表示输出ABCA. 23
由已知条件及独立性知
1 P( A | A2 ) P( A | A3 ) . 2
3
1 P( A | A1 ) , 2
2 2
返回主目录
第一章 概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
2p1 . (3 1) p1 1
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求 出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第i次投掷时骰子出现的点 , 数
i 1,2,, n.则X minYi , Y maxYi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
14
k
返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
பைடு நூலகம்
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
第二章 随机 信号分析
2.1 概率、随机变量、概率分布
Probability, stochastic variable , probability distribution
2.2 随机变量的数字特征
Digital stencil of stochastic variable
一、随机过程(Random processes) 概念
事物变化
确知过程 随机过程
如 y=sint
如 噪声y=n(t)
下一
返回
页
定义1: 随机过程就是一个全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定时
间函数，而随机性就表现在出现哪一个实现是不确定的.
(t) xi(t) ，i=1,2,……n……
（2） （3）
=1
f (=x)dx
b a
f
= F(b)-F(a)
(x)dx
=b P{a≤X<b}
f (x)dx
a
f (x)dx
上一
返回
页
2.2 随机变量的数字特征 Digital stencil of stochastic variable
一、数学期望(Mean)
1.离散随机变量
k
E X xi P(xi)
① | | 1
② 相关性:若
，则X，Y线性不相关
0 ③ 独立（Independent）与相关（Correlation） ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱY
统计独立 不相关
不相关 统计独立
一定 不一定
上一 页
四、几种典型的概率分布 (Several representative probability distribution)
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。
第二章随机变量的分布和数字特征习题课
第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（ ）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。
A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。
[答案 选：A] 2. 设 X ～ϕ(x ),且ϕ (-x )= ϕ(x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。
A.1-⎰ax 0)(ϕd x B . 21-⎰ax 0)(ϕ d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②⎰ax 0)(ϕ d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案 选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（ ）。
A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C]4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25),记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（ ）正确。
A.对任意实数μ，均有1p =2pB. 对任意实数μ，均有1p <2pC.只对个别的μ值才有 1p =2pD. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案 选： A]5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σμσμX D X E ，则对任意常数c ，（）成立。
222)(.c EX c X E A -=-22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C22)()(.μ-≥-X E c X E D分析：[答案 选：D ]由2)(,)(σμ==X D X E ，得2222)()(μσ+=+=EX X D EX)2()(222c cX X E c X E +-=-∴2222222)(22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ)2()(222μμμ+-=-X X E X E222222222σμμμσμμ=+-+=+-=EX EX显然22)()(μ-≥-X E c X E二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。
高二数学选修2_3第二章随机变量和分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
第2章 随机信号的性质
• 2.6.2 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
• 定义： 若一个随机过程X(t)的任意有限维分布函数与 时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和 所有实数，有
f n ( x1 , x 2 ,, x n ；t1 , t 2 ,, t n ) f n ( x1 , x2 ,, xn；t1 , t 2 ,, t n )
EX (t )
xf1 ( x, t )dx
式中
f1 ( x, t )
是X(t)的一维概率密度函数
EX (t )
xf1 ( x, t )dx
X (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表
示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
(t )
a (t )
10
2.6 随机过程
• 一 随机过程的基本概念
– 什么是随机过程？
• 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。对应不同随机试验结果的 时间过程的集合。是一个事件全部可能“实现”构
成的总体。
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形
– 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函 数。 – 随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)} 是全部样本函数的集合。
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的 实际意义。
2 各态历经性
• 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值 、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平 均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我 们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到 的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? • 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一 个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（ 又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字 特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实 现的时间平均值来代替。 • 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=1/15+2/15+3/15=2/5
三、离散型变量的几种常见分布
1、伯努利概型
试验只有两种可能结果：A 及 A ，
把这个试验独立重复n次， 就构成了n重伯努利试验，简称伯努利试验。
设P（A）=p P A =1－p=q（其中0<p<1)，
定理（伯努利公式）
记B={n重贝努利试验中事件A出现k次}
则
P B Cnk pkqnk （k=0,1,…n)
例1 某药治某病的治愈率为p，现用此药治该病 5例，问治愈3例的概率是多少？
解 治5例病人，看成做5次独立的试验。每次试验
只有A={治愈} 和A ={未治愈}两个结果。且P(A)=p
（1）若随机变量X的概率函数为
P X k Cnk pkqn（k k=0,1,…n)，q=1-p
则称X服从二项分布,记为 X ~ Bk;n, p
由于各概率函数值 Cnk pk qnk 正好是二项式
p qn 展开式中的对应各项,故名二项分布。
(2)性质
P X k Cnk pkqnk 0
n
n
P X k Cnk pkqnk 1
k 0
k 0
例3 设 X ~ B20,0.2 ，求P（X=4）, P(2<X<6)。
解 因为 X ~ B20,0.2 所以X的概率函数为
P X k C2k0 0.2k0.820k k=0,1,…,20 故 P X 4 C2400.240.816 0.218
遇到二项分布中概率p>0.5时，不能直接查表 但可以转化为其对立事件的概率计算。
设X代表A出现次数，Y代表 A 出现次数，则
X+Y=n且 Y ~ Bn,1 p P(X k) PY n k P(X k) PY n k
P(k1 X k2) Pn k2 Y n k1
X x1 x2
xi
pi p1 p2
pi
性质：（1）pi 0
（2） pi 1（i=1,2,…）
i 1
例 设随机变量X的分布律为 （k=1,2,3,4,5) ,求:
PX
k
k 15
(1) P(X=1或X=2） (2) P1 X 3
解 （1） P(X=1或X=2）=P（X=1）+P(X=2) =1/15+2/15=1/5
则这个试验是5重的伯努利试验 设B={治愈3例}={A出现3次}
所以 P B C53 p3 1 p2
例2 袋中装有白球20个和黑球10个，每次抽一个： （1）作有放回抽取5次，求抽到白球3次的概率； （2）作无放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。
解 （1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，
若(n+1)p为非整数，则 k0 (n 1) p
例5 有10%的人对某药有肠道反应，为考察此药 的质量，现随机选5人服用此药，试求： （1）其中k(k=0,1,…,5)个人有反应的概率； （2）不多于2人有反应的概率； （3）有人有反应的概率。
解：随机选5人服药，各人间对药物的反应具有独立 性，且每人服药后有反应的概率均为视为0.1，这相当 于做5次独立重复试验，即p=0.1,n=5的伯努利试验。 因而反应的人数X~B（5，0.1)
P2 X 6 P X 3... X 5 P X 3 P X 5 0.59813
用查表法计算较简便
P2 X 6 P3 X 5 P X 3 P X 6
=0.79392—0.19579=0.59813
二、离散型随机变量及其概率分布
1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的 随机变量，称为离散型随机变量。
2、概率函数(分布律)
设X所有可能取值为 x1, x2 , , xi
P X xi pi（i=1,2,…)
称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。
也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）
属于伯努利试验，令A={抽到白球}且P（A）=2/3
故
P
C53
2 3
3
1 3
2
0.329
（2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此 不属伯努利试验，应看成古典概型。
无放回抽5次，可看成一次抽5个球，由古 典公式得
P
C230 C120 C350
0.36
2、二项分布
第二章 随机变量的概率分布 与数字特征
第一节 离散型随机变量及其概率分布 第二节 连续型随机变量及其概率分布 第三节 随机变量的数字特征 第四节 三种重要分布的渐近关系 第五节 大数定律及中心极限定理
一、随机变量的概念
在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以 看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现 的废品个数；掷骰子出现的点数等。
例4 X~B（10，0.7)，求P( X 7)
解 P X 7 PY 3 1 PY 4
1 0.35039 0.64961
（3）二项分布的最可能值：使P（X=k)取最大值 的k值。即n重伯努利试验中事件A最可能
出现的次数。
结论：若(n+1)p为整数，则 k0 (n 1) p 和 (n 1) p 1
（1）k个人有反应的概率为 P X k C5k 0.1k 0.95k
(k=0,1,…,5)
概率分布表如下
4
P(X=k) 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045
5
0.00001
(2)不多于2人有反应的概率为
2
对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以 数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0表示女，1 表示男；对生化检验的结果，可用0表示阴性，1表示 阳性；对生产的产品，可用2表示优质品，1表示次品， 0表示废品等。
因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种 随试验结果不同取不同数值的变量称为随机变量。