2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.42.4.2抛物线的几何性质学案苏教版

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)[自 主 预 习²探 新 知]教材整理1 抛物线的几何性质阅读教材P 52表格的部分，完成下列问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)抛物线是中心对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R .( ) (3)抛物线是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .( )(5)抛物线x 2＝2py (p ＞0)上任意一点P (x 0，y 0)到其焦点的距离是x 0＋p2.( )[答案] (1)³ (2)³ (3)√ (4)³ (5)³2．若椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线上，则p ＝________.[解析] 由椭圆标准方程知a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆的左焦点为(－1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线上，所以－p2＝－1，故p ＝2.[答案] 2教材整理2 抛物线的焦点弦、通径阅读教材P 52例1上面的部分，完成下列问题．抛物线的焦点弦即为过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB ＝x 1＋x 2＋p ，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A 0B 0＝2p ，称为抛物线的通径．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.【导学号：71392097】[解析] 易知线段AB 为抛物线的通径，所以AB ＝4. [答案] 42．如图2­4­2，过抛物线x 2＝－4y 的焦点作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．图2­4­2[解析] F (0，－1)，将y ＝－1代入得x A ＝2，∴AB ＝4， ∴S △OAB ＝12³4³1＝2.[答案] 2[合 作 探 究²攻 重 难](1)已知双曲线C 1：a 2－b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________.【导学号：71392098】[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3³0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线的方程为y 2＝2px ，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB ＝2p ，又OF ＝12p ，∴S △OAB ＝12²AB ²OF ＝12²2p ²12p ＝12p 2＝4，故p ＝2 2.[答案] (1)x 2＝16y (2)y 2＝42x1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋16y 2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．[解析] 椭圆的方程可化为x 216＋y 29＝1，其短轴在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，设抛物线的标准方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .[答案] x 2＝12y 或x 2＝－12y【导学号：71392099】[精彩点拨] 本题的解法有两种：法一，设P (t ，－t 2)为抛物线上一点，点P 到直线的距离为d ＝|4t －3t 2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x ＋3y ＋m ＝0与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[自主解答] 法一：设P (t ，－t 2)为抛物线上的点， 它到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203 ＝35⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43.∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．[解析] 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标F (1，0)，准线方程为x ＝－1，所以设P 到准线的距离为PB ，则PB ＝PF ，P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离为PA ，所以PA＋PB ＝PA ＋PF ≥FD ，其中FD 为焦点到直线4x －3y ＋6＝0的距离，所以FD ＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.[答案] 2[1．从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？[提示] (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．2．如何认识抛物线的焦点弦？[提示] 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)；(3)AB ＝x 1＋x 2＋p ；(4)若直线AB 的倾斜角为α，则AB ＝2psin 2α； 如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1²x 2＝p 24，y 1²y 2＝－p 2；(6)1AF ＋1BF ＝2p.3．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦半径PF 、焦点弦AB ，如何表示．[提示]已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝2p ，求AB 所在的直线方程.【导学号：71392100】[精彩点拨] 求AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k ，利用直线AB 过焦点F ，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p 求解．[自主解答] 由题意可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到抛物线准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义，知AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，∴x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2＝p 2时，AB ＝2p <52p ，故直线AB 与x 轴不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2.故直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.[再练一题]3．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 的长为8.[4．直线与抛物线有几种位置关系？交点的个数怎样？直线与抛物线的交点个数能否用判别式来判断？[提示] 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断．5．设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线y 2＝2px (p >0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？[提示] 直线与抛物线交点的个数等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 的解的个数，也等价于方程ky 2－2py ＋2bp ＝0的解的个数．(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．(2)若k ＝0，则直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m ，则当m >0时，l 与抛物线相交，有两个公共点；当m ＝0时，l 与抛物线相切，有一个公共点；当m <0时，l 与抛物线相离，无公共点．(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．求过定点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程.【导学号：71392101】[精彩点拨] 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．[自主解答] 若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，∴直线x ＝0与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，有Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，即方程为y ＝12x ＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[再练一题]4．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，则b ＝________.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ>0，得－2b ＋1>0，即b <12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b ，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5²1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4. [答案] －4[当 堂 达 标²固 双 基]1．经过抛物线y 2＝2px (p >0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________． [解析] 通径长为2p . [答案] 2p2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________.【导学号：71392102】[解析] PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10.[答案] 103．直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A ，则实数b 的值为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4³(－4b )＝0，解得b ＝－1. [答案] －14．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．[解析] 由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程，得y ＝(y－1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.[答案] 55．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过C (－4,0)作抛物线的两条切线CA ，CB ，A ，B 为切点．若直线AB 经过抛物线y 2＝2px 的焦点，△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是________.【导学号：71392103】[解析] 由抛物线的对称性知，AB ⊥x 轴．因为直线AB 经过抛物线的焦点，∴|AB |＝2p .又点C 到直线AB 的距离d ＝p 2＋4，∴△CAB 的面积S ＝12³|AB |³d ＝12³2p ³⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24.整理，得p 2＋8p －48＝0，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴p ＝4，∴直线AB 的方程为x ＝2.∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .[答案] y 2＝－8x。