动力学普遍方程及拉格朗日方程概要
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第十七章 动力学普遍方程
(i 1, 2, , n)
系统的总虚功为 ( Fi FNi FIi ) δ ri 0 利用理想约束条件
得到
i Ii i i
F
i
Ni
δ ri 0
(i 1, 2, , n)
(F F )δ r 0
(i 1, 2, , n)
—— 达朗贝尔－拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi 0 i 1, 2, , n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原理 而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
广义坐标和广义力
由n个质点所 组成的质点系 质点位置坐标 广义坐标 主 动 力
F1 , F2 , , Fn
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , q1 , q2 , , qN
N 3n S
, xn , yn , zn ,
第i个质点的位矢 虚位移
ri ri (q1 , q2 , , qN )
三、拉格朗日方程
d T T Qk＝ ( )－ k dt q qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改 写为：
d L L ( )－ ＝0 k dt q qk
式中：
L＝T－V
L称为拉格朗日函数，或动势。
本课件的部分动画来源于西工大的媒 体素材库，在此表示衷心的感谢。部分动 画与图片来源于互联网，版权不明，希望 版权所有人见到后与制作人员联系，我们 表示感谢。
第十七章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
一、动力学普遍方程 二、广义坐标和广义力 三、拉格朗日方程
系统的总虚功为 ( Fi FNi FIi ) δ ri 0 利用理想约束条件
得到
i Ii i i
F
i
Ni
δ ri 0
(i 1, 2, , n)
(F F )δ r 0
(i 1, 2, , n)
—— 达朗贝尔－拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi 0 i 1, 2, , n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原理 而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
广义坐标和广义力
由n个质点所 组成的质点系 质点位置坐标 广义坐标 主 动 力
F1 , F2 , , Fn
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , q1 , q2 , , qN
N 3n S
, xn , yn , zn ,
第i个质点的位矢 虚位移
ri ri (q1 , q2 , , qN )
三、拉格朗日方程
d T T Qk＝ ( )－ k dt q qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改 写为：
d L L ( )－ ＝0 k dt q qk
式中：
L＝T－V
L称为拉格朗日函数，或动势。
本课件的部分动画来源于西工大的媒 体素材库，在此表示衷心的感谢。部分动 画与图片来源于互联网，版权不明，希望 版权所有人见到后与制作人员联系，我们 表示感谢。
第十七章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
一、动力学普遍方程 二、广义坐标和广义力 三、拉格朗日方程
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
动力学方程 拉格朗日方程
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
动力学普遍方程及拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
理论力学-拉格朗日方程
d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
动力学普遍方程与拉格郎日方程
即为系统的运动微分方程。
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
动力学普遍方程及拉格朗日方程讲解
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
动力学普遍方程
ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S
王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
动力学普遍方程和拉格朗日方程
由动力学普遍方程（达朗贝尔—拉格朗日原理）：
n
(Fi miai ) δ ri 0
i1
n
i1
( Fi
miai )
k j1
ri q j
δqj
0
(23.7)
10
交换求和顺序
k j1
n i1
( Fi
miai )
ri q j
δqj
0
k
j1
n i1
( Fi
miai )
9
推导广义坐标的动力学普遍方程
设完整约束质点系由n个质点组成，系统的自由度为k，其
广义坐标为q1,q2,……,qk，
则各质点相对于定点O的矢径为
ri
ri
(q1,
q2
,,
qk
,t)
(i=1,2,…,n)
(23.5)
各质点的虚位移为
ri
k
ri
j1 q j
δqj
(i=1,2,…,n)
(23.6)
那么能否建立一种不含约束力的非自由质点系的动力学方 程呢？
将达朗贝尔原理和虚位移原理结合起来可以达到这一目的， 因为达朗贝尔原理给出了通过列写形式上的静力学平衡方程求 解质点系的动力学问题的方法，而虚位移原理又建立了不含约 束力的非自由质点系的平衡方程。
3
动力学普遍方程 (general equations of dynamics)
4
第23章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程
(general equations of dynamics and lagrange equations)
§23.1 动力学普遍方程 (general equations of dynamics)
动力学普遍方程和拉格朗日方程
第十四章 动力学普遍方程和拉格朗日方程一、目的要求1．掌握动力学普遍方程的推导过程及式中各项的含义，会对具体问题分析、画受力图后代入动力学普遍方程求解。
2．熟记拉格朗日方程的各种形式，清楚拉格朗日方程与动力学普遍方程的关系。
熟练应用拉格朗日方程求解动力学问题（主要是列运动微分方程、求出加速度或角加速度）。
3．知道在多自由度情况下，用拉格朗日方程求解动力学问题方法简单、步骤规范、容易掌握。
二、基本内容1．基本概念动力学普遍方程、拉格朗日方程的推导及表达式2．主要公式（1）动力学普遍方程∑==⋅-ni i i i i r δa m F 10)( []∑==⋅-+⋅-+⋅-n i i i i iz i i i iy i i i ix z z m F y y m F x x m F10)()()(δδδ （2）拉格朗日方程K k k Q q L q L dt d '=∂∂-∂∂)( N k ,,2,1 = V T L -=，叫拉格朗日函数或动势，T 为质点系的功能，是广义速度k q 和广义坐标k q 的函数V 是势能，是广义坐标的函数。
N 是质点系的自由度数。
k kk q W Q δδ∑'=' 是质点系的非保守力对应于第k 个广义坐标的广义力。
三、重点和难点1．重点（1）质点系自由度的判断；（2）应用拉格朗日方程解题的步骤，拉格朗日方程中各项的计算；（3）不同形式拉格朗日方程的用途。
2．难点（1）正确地选取广义坐标；（2）有保守力时，势能零点的选择及势能的计算；（3）将动能写成广义速度和广义坐标的函数。
四、学习提示1．建议（1）强调用动力学普遍方程和拉氏方程解题均以整体为研究对象。
（2）广义坐标、广义速度的个数均与质点系自由度相同。
（3）强调拉氏方程和动力学普遍方程适用于求多自由度系统的运动量，如加速度、角加速度，建立系统的运动微分方程。
2．例题：P317～P325例14-1，14-2，14-4，14-5，14-6。
【推荐】理论力学：ch15动力学普遍方程与lagrange方程
2) ri d ( ri ) q j dt q j
21
国家工科基础课程（力学）教学基地
四、拉格朗日第二类方程的基本形式 n个质点、s个完整约束的完整约束系统
ri ri (t, q1, q2 ,, qN )
(i 1,2,, n)
ri
N j 1
ri q j
q j
◆在平衡位置附近势能不变 平衡是中性的
3
国家工科基础课程（力学）教学基地
对于一个自由度系统 V V (q)
dV dq
qqo
0
d2 V d q2
q qo
0
平衡位置 平衡位置稳定
4
国家工科基础课程（力学）教学基地
§13-5 结论与讨论
一、刚体静力学与分析静力学的比较
FQj
( j 1,2,, N )
23
国家工科基础课程（力学）教学基地
五、拉格朗日第二类方程的有势力形式
系统的主动力均为有势力
FQj
V q j
d dt
(
T q j
)
T q j
V q j
d T V T V
dt
(q j
q j
)( q j
q j
d dt
q j
n
(
i 1
1 2
mivi2 )
q j
n
(
i 1
1 2
mi
vi2
)
d dt
(
T q j
)
T q j
N
j 1
FQj
理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程
i
0
在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程（达朗贝尔-拉格朗日原理）
解析表达式： x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3
或
Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 （a） 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1
或
Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
（b）
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ，得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮，中心用连杆相连，在倾角为θ的 斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆为m1 ，对轮心的 转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的加速度。
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N n
F δr m a δr
i 1 i i i 1 i i
N
N
i
0
F δr Q q
i 1 i i j 1 j
j
Q j ——广义力
n N ri ri ri q j ( mi ri ) q j mi ai δr i mi q j i 1 j 1 q j j 1 i 1 i 1
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
( m1 m2程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
(F m a ) δr 0
i i i i
(i 1, 2, , N )
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。
(F m a ) δr 0
i i i i i
(i 1, 2, , N )
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
i r q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
A
x1
FIB l m1g
B
解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = 1、分析运动、确定惯性力
球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
m2g
y1
FIA FIB mlsin 2
2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
MIC
x
C
FIR
求：圆盘纯滚时质心的加速度。 解：1、分析运动，施加惯性力
aC
FIR maC
M IC J C
1 2 其中： J C mR , aC R 2
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
i r d N i mr j dt q i 1
N
j
j
N i r i mi r i 1 q j
j
r i q j
i 1 N r 1 N T 2 i i r i ) mr (mi r (mi vi ) j 2 i 1 q j j j q 2 i 1 q q i 1 i r T m r i q j q j i 1
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
N
T q j
d T j dt q
T Qj q j
( j 1, 2, , n)
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 二自由度系统具有两组虚 位移：
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
mi ai ) δri 0 (i 1, 2, , N )
(F F
i i
Ri
系统的总虚功为
(F F
i i
Ri
mi ai ) δri 0
(i 1, 2, , N )
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ri
δri 0
(i 1, 2, , N )
拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F1 , F2 , , FN
由N个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r1 , r2 ,, rN
q1 , q2 , , qn
ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
由动力学普遍方程，得
广义速度
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
j无关 与广义速度 q
i ri r 第一个Lagrange经典关系(消点) j q j q
n ri ri k ri q t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
n i r 2 ri 2 ri k q q j q j t k 1 q j qk
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
N
N
n
ri ri qj j 1 q j
n
ri Fi δr i mi ai δr i (Q j mi r ) q j 0 i q j i 1 i 1 j 1 i 1
F δr m a δr
i 1 i i i 1 i i
N
N
i
0
F δr Q q
i 1 i i j 1 j
j
Q j ——广义力
n N ri ri ri q j ( mi ri ) q j mi ai δr i mi q j i 1 j 1 q j j 1 i 1 i 1
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
( m1 m2程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
(F m a ) δr 0
i i i i
(i 1, 2, , N )
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。
(F m a ) δr 0
i i i i i
(i 1, 2, , N )
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
i r q j
＝
d ri dt q j
第二个拉格朗日关系式
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
A
x1
FIB l m1g
B
解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = 1、分析运动、确定惯性力
球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
m2g
y1
FIA FIB mlsin 2
2、令系统有一虚位移。A、B、C 三处的 虚位移分别为rA、rB、 rC 。
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
MIC
x
C
FIR
求：圆盘纯滚时质心的加速度。 解：1、分析运动，施加惯性力
aC
FIR maC
M IC J C
1 2 其中： J C mR , aC R 2
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
i r d N i mr j dt q i 1
N
j
j
N i r i mi r i 1 q j
j
r i q j
i 1 N r 1 N T 2 i i r i ) mr (mi r (mi vi ) j 2 i 1 q j j j q 2 i 1 q q i 1 i r T m r i q j q j i 1
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcos
N
T q j
d T j dt q
T Qj q j
( j 1, 2, , n)
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
ae C1
FI1
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2 1 J 2 m2 R 2 2
ar B
x
m1g
解：3、确定虚位移
考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。 二自由度系统具有两组虚 位移：
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
mi ai ) δri 0 (i 1, 2, , N )
(F F
i i
Ri
系统的总虚功为
(F F
i i
Ri
mi ai ) δri 0
(i 1, 2, , N )
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ri
δri 0
(i 1, 2, , N )
拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F1 , F2 , , FN
由N个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r1 , r2 ,, rN
q1 , q2 , , qn
ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
由动力学普遍方程，得
广义速度
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
j无关 与广义速度 q
i ri r 第一个Lagrange经典关系(消点) j q j q
n ri ri k ri q t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
n i r 2 ri 2 ri k q q j q j t k 1 q j qk
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
N
N
n
ri ri qj j 1 q j
n
ri Fi δr i mi ai δr i (Q j mi r ) q j 0 i q j i 1 i 1 j 1 i 1