动力学方程 拉格朗日方程

d dt

T q


T q
V q
,

1, 2,
,s
d dt

T q


T q
V q
,
1, 2,
,s
注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即
V＝V（x1，y1，z1，…，x n，y n，z n）＝V（q1，q2，…，q s）
则
x cos , y sin
r
r
Qr

F

r r

Fx

x r

Fy

y r
y
j '
Fy
F
i'

r P Fx
o
x
Fx cos Fy sin Fr
可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。
另外 x r sin , x r cos
ri ri (q1, q2 , , qs , t)
则

ri

ri q1

q1

ri q2

q2


ri qs

qs

s
ri
1 q

q
代入达朗伯－拉格朗日方程
n
i 1
(

miri
Fi )

s a 1
P

Q

n
mi
i 1
n Fi
i 1


ri
ri q

ri
q
P

n i 1
miri

ri
q
d dt
n i 1
mi

ri qri


n i 1
mi ri ddt
ri q
三、广义动量与广义力的计算
对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量
T
x


x

1 2
m(
2 x


2 y


2 z
)

mx
与此类比，可以定义广义动量 p 为
T q

p
注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，
视广义坐标的选择而定。
2
r
可见 L 函数中不含 ，所以 是循环坐标，则
p


L
i'
Fx
x
r(Fx sin Fy cos ) rF
则
Q
Wθ
rF
两种方法的结果一致
四、保守力学系的拉格朗日方程
实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能
V V (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn )
1,
2,
,
n

miri

mi
ri
Fi

Ri
0,
i
1, 2,
：称为达朗伯惯性力或称有效力
,
n
注意：这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，
那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的 并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。
ri
以
解 ： 设质点的质量为m，因为只有一个质点，故n＝1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动，
所以 s＝2，取极坐标（r，）为广义坐标，则有
T

1 2
m 2

1 2
m(r2 r 22 )
V km r

L T V
1 m(r2 r22 ) km L(r, r,)
L L(q1, q2 , , qs ; q1, q2 , , qs ; t)
若L中不显含某一广义坐标 q j ，则称 q j 为循环坐标 （也叫可遗坐标）。这时有
L 0 qj
代入拉格朗日方程
d dt

L q


L q
0,

1, 2,
,s
ri q

q
0
n
i 1
(

miri
Fi )

s a 1

ri
q

q
0
上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则
s
1


n i 1

mi
ri
ri q

n i 1
Fi
ri ) q2
q1
q3
qs 0
求任一广义力Q时
Q

W q
n
( F r ) i
i q 0， 1，2， ，s,
i1
q
2、从定义式直接计算
Q

n i 1
Fi

ri q
[例3] 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力，广义坐标
1 i1
Fi


ri
q

s
q Q
1
q
如求Q1，令 q2＝ q3＝…＝ q s＝0，则
n
W1 (

Fi
ri )
q2 q3 qs 0
Q1q1
i 1
Q1

W1 q1

n
(
i1

Fi
§1.3 拉格朗日方程
为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程–––– 拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
mi ri
Fi

Ri , i

ri
点乘上式后，再对
i
取和，得
n
(

miri
Fi

Ri
)

ri 0
i 1
理想约束条件下：
n
Ri

rBiblioteka Baidu 0
i 1
则
n
(

miri
Fi
)

ri
0
i 1
拉不格能朗令这日上是方式达程中朗，伯由r原i 前于理面存与的在虚所约功有束原乘，理式各的都结等合r于i ，零并称，不为否彼达则此朗就独伯成立—为，—自因由此
则对任一个质点有
Fi iV
分量式为

i
i xi
yi
j zi
k
Fix


V xi
,
Fiy


V yi
,
Fiz


V zi
,
i 1, 2, , n
现在把广义力与势能函数连系起来
Q

n i 1
Fi

ri q

n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q


n

i 1


V xi
xi q

V yi
yi q

V zi
zi q

V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
q1＝r，q2＝ 。与此两
广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q 。求 Q r与Q , 用两种方法。
解 方法一：
y
j '
Fy

rP o
从定义式计算。
将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr

F

r r


r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
V 0 q
令 L＝T－V ，则
L (T V ) T 与 L (T V ) T V
q
q
q
q
q
q q
代入最顶上一式：
d dt

L q


L q
0,

1, 2,
,s
L＝T－V 叫拉格朗日函数。一般 L 是广义坐标，广义速度 和时间的函数。

ri q

q
0
令
P

n i 1
mi

ri

ri
q

Q

n i 1
Fi

ri q
（广义力）

s
则
(P Q )q 0
1
因各 q 互相独立，所以 P＝Q
改写


质点的运动微分方程了。
二、基本形式的拉格朗日方程
现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 ri 用各彼此独立的广义坐标 q ( 1,2, , s)
重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程—拉格朗日方程。
设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数 应为 s＝3n－k。以广义坐标 ri 表出
五、循环积分与能量积分
拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某些初积分 （ 或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某 些情况下，部分的第一积分容易得到。
1、循环积分
一般保守力学系的拉格朗日函数是全部广义坐标和 广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即

1, 2,
,s
这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日 方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标 q＝q(t)， 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1，Q2，…，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学 方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。

1 2
mi
ri 2


n i 1

q

1 2
mi ri 2

令
T

n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P

d dt

T q


T q
即
d dt
T q
T q
Q ,


Q

Fx
x

Fy
x

r(Fx sin Fy cos )
上式括号中的第一项为

Fx
在 j 方向的投影，第二项

是 Fy在 j 方向的投影。
所以两者之和就是 F 在 j
y
j '
Fy

rP o
方向的投影 F ，因此
F
i'
Fx
x
Q＝ r F（是力矩）
则
d dt

L qj


0

pj

L qj

恒量
可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标
所对应的广义动量
pj

L qj
就是守恒量，称为循环积分。
这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。
[例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。
而广义力：
Q

n i 1
Fi

ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而 定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直 接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算
W

n i 1

Fi
sn ri
可见广义力的横向分量 Q 是力矩。
方法二：从主动力 所作的虚功来计算
x r sin cos r

y r cos sin r

Wr Qr (F
r r )
0
o
(Fx x Fy y) 0
y
j '
Fy

rP

Qr r Fx cos r Fy sin r
则
Qr

Wr r

Fx cos
Fy sin
Fr
F
i'
Fx
x
W

(F
Q

r )r 0
(Fx x Fy y)r0
o
y
j '
Fy

rP

F
即 L L(q1, q2 , , qs ; q1, q2 , , qs ;t)
简记为 L L(q , q , t)
而
L q

T q

p
仍是广义动量。
d dt

L q


L q
0,

1, 2,
,s
这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广 义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求 出 q所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。 因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日 函数L是力学体系的一个特性函数。

由
ri

ri
,
d
ri
ri
q q
dt q q
P

d dt
n i 1

mi
ri
ri q


n i1
mi

ri
ri q


d dt
n i 1
q