拉格朗日方程与哈密顿方程(仲顺安)资料.
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
拉格朗日方程与哈密顿方程
01
通过勒让德变换，拉格朗日方程可以转化为哈密顿方程，两者
在描述物理系统的运动规律时具有等价性。
拉格朗日方程的优势
02
在处理具有约束条件的系统时，拉格朗日方程具有较大的优
势，可以通过引入拉格朗日乘子来简化问题的求解。
哈密顿方程的特点
03
哈密顿方程具有明确的物理意义，可以方便地引入正则量子化
方法，为量子力学的发展奠定了基础。
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05 拉格朗日方程与哈密顿方 程在物理学中的应用
在力学中的应用
描述质点和刚体的运动
拉格朗日方程和哈密顿方程可用于描述质点和刚体在力作用下的运动，通过定义适当的拉格朗日函数或哈密顿函数， 可以推导出质点和刚体的运动方程。
约束条件下的运动
对于受到约束的力学系统，拉格朗日方程和哈密顿方程同样适用。通过引入约束条件，可以推导出系统在约束条件下 的运动方程。
1 2 3
经典力学中的应用
哈密顿方程在经典力学中用于描述质点和刚体的 运动，可以方便地处理约束和非保守力的问题。
量子力学中的应用
在量子力学中，哈密顿算符对应于经典力学中的 哈密顿函数，用于描述微观粒子的运动状态和能 级结构。
控制理论中的应用
在控制理论中，哈密顿方程被用于描述系统的动 态行为和最优控制问题，如最小时间控制、最小 能量控制等。
哈密顿函数是描述物理系统总能量的函数，通常表示为H(q, p, t)，其中q是广义坐 标，p是广义动量，t是时间。
哈密顿函数与拉格朗日函数的关系
哈密顿函数可以通过对拉格朗日函数进行勒让德变换得到，即H(q, p, t) = p·q̇ L(q, q̇, t)，其中L是拉格朗日函数，q̇是广义速度。
理论力学(二)
动过程的作用量最小，无论用新旧变量描述，只相差
一个全微分。
正则变换的生成函数
• 虽然 f 任意，按照其全微分应该写为各个变
量微分的线性组合的原则，这里 f 称为生成
函数，它的自变量应该是
s
s
f1
=
f(q,Q,t)。因此
df1(q, Q, t) pidqi PidQi (K H )dt
qi
H pi
,
pi
H qi
• 方程给出了2s个变量随时间的变化率，可
一步步积分求出以后各个时刻的值。其中
前s个给出广义速度和广义动量之间的关系，
后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。
• p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有 对称形式。
哈密顿正则方程中的循环坐标
• 从对应关系
pi
i 1
i 1
s ( f1 i1 qi
dqi
f1 Qi
dQi
)
f1 t
dt
• 对应各项系数，有
pi
f1 qi
,
Pi
f1 Qi
,
K
H
f1 t
正则变换的第2种类型
• 还可以通过勒让德变换，用 p 或 P 作为 f 的
自变量，能得到其他3种类型的正则变换。 s df2 (q, P, t) d[ f1(q, Q, t) PiQi ] i 1
• 对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方 便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q，p， t，都可以找到它相应的守恒量。
• 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的。
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
相关论文章
• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
拉格朗日方程和哈密顿正则方程
重要性
这两个方程的数学结构和原理具有普适性， 可以应用于各种不同的领域。它们为解决复 杂系统的运动和控制问题提供了重要的理论 框架和方法。
05
总结与展望
对拉格朗日方程和哈密顿正则方程的总结
拉格朗日方程
拉格朗日方程是经典力学中的基本方程，用于描述一个质点系的运动。它基于拉格朗日 函数，通过最小化或最大化的原则，确定质点系在给定初始条件下的运动轨迹。拉格朗
拉格朗日方程的应用实例
总结词
拉格朗日方程在物理学、工程学等领域有广泛的应用 。
详细描述
拉格朗日方程是经典力学中描述系统运动的基本方程 之一，具有广泛的应用价值。在物理学中，它可以用 于分析各种力学系统的运动规律，如行星运动、振荡 器等。在工程学中，拉格朗日方程也被广泛应用于各 种实际问题，如控制理论、机器人学、航天器轨道力 学等。通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统的 运动轨迹和状态演化，从而为实际应用提供重要的理 论支持。
与其他理论的结合
拉格朗日方程和哈密顿正则方程作为经典力学的基本理论，可以与其他理论进行结合，例 如相对论、量子力学等。这种结合将有助于更深入地理解物质的运动规律，推动物理学和 其他学科的发展。
THANKS
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总结词
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，具有特定的物理 意义和数学性质。
详细描述
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，通常表示为L(q, ,t)， 其中q是系统的广义坐标，t是时间。它具有一些重要的性质， 如时间无关性、对称性、最小作用量等。这些性质对于理解和 应用拉格朗日方程非常重要。
拉格朗日方程的推导和证明
03
哈密顿正则方程
哈密顿函数的定义和性质
哈密顿函数
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式
经典力学的拉格朗日与哈密顿形式经典力学是物理学中的一个重要分支，用来研究物体在作运动时的力学规律。
在经典力学的发展历程中，拉格朗日力学和哈密顿力学是两个基本的理论框架。
本文将对拉格朗日力学和哈密顿力学的基本概念、原理和应用进行介绍。
一、拉格朗日力学拉格朗日力学是由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出的一种描述力学系统的方法。
它基于一个称为“拉格朗日函数”的函数来描述物体的运动。
拉格朗日函数由广义坐标和广义速度构成，具体形式为L(q, ẋ)，其中q表示广义坐标，ẋ表示广义速度。
在拉格朗日力学中，通过引入一个称为“作用量”的量来描述系统的运动。
作用量定义为物体在运动过程中受到的广义力与广义坐标变化的积分，即S = ∫L(q, ẋ)dt。
拉格朗日原理指出，物体在运动时，其实际路径是使作用量S取极值的路径。
通过应用拉格朗日原理，可以得到运动方程及其解。
对于单个质点的运动，拉格朗日力学方程可以写为∂L/∂q - d(∂L/∂ẋ)/dt = 0。
对于多个质点的系统，可以将拉格朗日函数写为各质点的质量、速度以及势能、动能的函数，并将系统的位形空间表示为广义坐标的空间。
拉格朗日力学具有坐标变换不变性、方程形式简洁等优点，适用于描述各种复杂力学系统的运动。
二、哈密顿力学哈密顿力学是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的一种力学描述方法。
它是拉格朗日力学的一种等价形式，通过引入广义动量，将力学系统的描述从坐标空间转化为相空间。
在哈密顿力学中，广义动量定义为p = (∂L/∂ẋ)，并利用广义动量和广义坐标构成哈密顿函数H(q, p)。
哈密顿函数描述了系统的总能量，并在相空间中表示系统的状态。
利用哈密顿原理，可以推导出哈密顿力学的运动方程，即哈密顿正则方程。
对于单个质点的运动，哈密顿正则方程写为dq/dt = (∂H/∂p)，dp/dt = - (∂H/∂q)。
对于多个质点的系统，可以将哈密顿函数表示为各质点坐标、动量以及势能、动能的函数。
拉格朗日方程
拉格朗日方程拉格朗日方程(Lagrange Equations)是描述质点系统在广义坐标下的运动的一种方法。
它是由意大利数学家拉格朗日在1755年提出的。
拉格朗日方程是一种非常有用的方法，可以用来解决复杂的力学问题。
本文将阐述拉格朗日方程的概念、定义、推导和应用。
一、拉格朗日方程的概念拉格朗日方程是一种描述物理系统的运动的数学工具。
它是在广义坐标系下描述系统的运动的。
广义坐标系是指可以描述系统运动的坐标系，与传统的笛卡尔坐标系不同。
拉格朗日方程允许我们用少量的代数方程式描述物理系统的运动，而不必考虑物体的确切轨迹。
二、拉格朗日方程的定义拉格朗日方程可以用来描述质点系统的运动。
一个质点系统是由一些质点组成的体系，它们在一起相互作用并受到外力的作用。
拉格朗日方程消除了这些参与到系统运动中的力，并通过一组数学公式描述质点的运动。
这些公式通常由拉格朗日函数和广义坐标定义。
三、拉格朗日方程的推导假设有一个质点系统，它包含了n个质点。
每个质点都有质量m(i)，位于位置向量r(i)。
一个质点所受的总力为F(i)，则拉格朗日函数为：L = T - V其中，T表示动能，V表示势能，它们都是广义坐标的函数，正好表示质点的位置。
T的公式为：T = 1/2 m(i)*v(i)^2其中，v(i)表示第i个质点的速度向量。
势能V可以描述整个质点系统的势能。
假设在质点系统中有m个约束条件C(k)，它们是广义坐标q的函数，如C(k)(q) = 0。
约束条件通常是描述系统中相互作用的限制条件。
根据达朗贝尔原理，可以推导出拉格朗日方程的表达式。
达朗贝尔原理是指系统中所有质点所受力的合力是零，即：∑F(i) = 0假设广义坐标为q = (q1, q2, …, qn)，其变化率为dq(i)/dt。
则对于所有的i，可以得到：F(i) = m(i) d^2r(i)/dt^2然后对约束条件C(k)求偏微分：∂C(k) / ∂ri * d^2ri/dt^2 + ∂C(k) / ∂rj * d^2rj/dt^2 = 0其中，i和j分别代表C(k)所属于的质点。
拉格朗日方程和哈密顿正则方程
δ ( A + B) = δA + δB δ ( AB) = AδB + BδA
以上变分运算的法则用微分运算相同
A BδA − AδB δ( ) = B B2
2、函数微分和变分（等时变分）运算可以对易（对换次序）
d δ 3、可以证明，对于等时变分， 和 dt 可对易 d x2 x2 δ 和 dx 可对易 δ ∫x F(x)dx = x δF(x)dx 积分和变分可对易 1 1
谐振子构成相空间中的椭圆二变分运算的几个法则二变分运算的几个法则以上变分运算的法则用微分运算相同2函数微分和变分等时变分运算可以对易对换次序3可以证明对于等时变分积分和变分可对易三hamilton原理力学中最重要的一条积分形式的变分原理运用拉氏方程导出保守力系作用下的hamilton原理沿可能轨道积分沿可能轨道积分哈密顿原理数学表达式其中为作用函数主函数对哈密顿原理数学表达式的说明具有相同始点和终点众多可能运动中真实运动总是使作用量的变分为零表明哈密顿原理重要意义在于可用变分法中求稳定值方法来挑选真实轨道哈密顿原理的文字表述保守的完整的力学体系在相同的时间内由某一初位形转移到另一初位形的一切可能运动中真实运动的主函数具有稳定值即对于真实运动来说主函数的变分为零
§5.7 Hamilton原理 拉格朗日方程和哈密顿正则方程； 哈密顿原理
分 式 哈 顿 理 积 形 （ 密 原 ）
运用变分运算的力学原理 ⇒ 力学变分原理⇒ 微分形式（虚功原理） 实质是泛函求极值问题 一、位形空间 相空间 体系由 q ｝ ｛ 确定 对应
α
s 维空间（位形空间）一个“位形点”
⇒ “位形点”的运动表示体系的运动 位轨线
对应正则变量｛qα , pα｝⇒ 2s 维相空间（相宇）（相：运动状态） 体系状态改变
牛顿方程、拉格朗日方程、达朗伯原理及哈密顿的比较
牛顿方程、拉格朗日方程、达朗伯原理及哈密顿方程的比较（以阿特伍德机为例）已知：绳长为l ，半径为r ，滑轮质量不计，1m ，2m 的坐标分别为1x ，2x 。
试求两物体的加速度1x ，2x 。
1、牛顿方程： 对于1m ：1m g －1T＝1m 1x① 2m g －1T ＝2m 2x②1x＝－2x ③ 1T＝1T ④1x ＝－2x＝1212g m m mm-+分析： 当1m ＞2m 时1x ＝－2x ＝1212g mm mm-+当1m ＜2m 时1x ＝－2x ＝2112g mm mm-+当1m ＝2m1x＝－2x ＝02、拉格朗日方程0dL L dt q q αα⎛⎫∂∂ ⎪-= ⎪∂∂⎝⎭势能零点为坐标轴X 轴零点处 T ＝21112m v －22212m v ＝21112m x －22212m x＝()()21211212mm xx x +=-U ＝()11221g g l r m x m x x π----L T U =- ()()2121112112g g l r m m xm x mx π=+++-- ()121L m m x q α∂=+∂1L x ∂=∂ （广义动量）12L g g m m qα∂=-∂1L x ∂=∂（广义力）固有：()()121120g m m x m m ---= 3、达朗伯原理首先，推导虚功原理虚位移：0t δ=虚功（约束力）=0→理想约束 在牛顿力学中有，当1m =2m 时0iiN F -= ()0ii irN F δ-=虚功原理：0i ir Fδ∙=∑（平衡条件）拉格朗日平衡：dL L L U dt q q q ααα⎛⎫∂∂∂ ⎪==- ⎪∂∂∂⎝⎭如果一个系统处于平衡状态，则势函数有极值，有极小值则出现稳定平衡且稳定平衡是力学中存在的平衡。
动力学原理：2iiiim x N F -= 20iiiim x N F --=达朗伯原理：()20ii i i im x r NF δ--=4、哈密顿方程①广义动力()L T U =-()22212T myxz=++xT m xxP∂==∂ 同理有yT m yyP∂==∂ ，zT m zzP∂==∂即是：xL m xxP∂==∂ 同理有yL myyP∂==∂ ，zL m zzP∂==∂②勒让德变换 设函数(),f x y 令f X x∂=∂，f Y y∂=∂对于函数(),f x y 的全微分f f df dx dy Xdx Ydy xy∂∂=+=+∂∂令()(),,G X Y f x y xX yY =-- ()()(),dG X Y df d xX d yY =--d f X d x x d X Y d y y=---- x d X y d Y =-- ① 而G G dG dX dY XY∂∂=+∂∂ ②由①②可以得：G x X∂=-∂G y Y∂=-∂在拉格朗日方程中： (),Lqq αα LP q αα∂=∂ ()11sH L qP ααα=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑ 哈密顿函数 ()1,sHL qq PPααααα==-+∑（,q P αα为共轭变量）()11,ssH HdHd d q q P P qP αααααααα==∂∂=+∂∂∑∑()1111,ssssLLdHd d d d qq q q qP P P q q αααααααααααααα====⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=-+++⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ H L qqαα∂∂=-∂∂ ③H qP αα∂=∂ ④ 由拉格朗日得L P q αα∂=∂ ⑤LP qαα∂=∂ ⑥由③④⑤⑥可以得到：H Pqαα∂=-∂ （广义力）H qP αα∂=∂ （广义速度） 由哈密顿求解阿特伍德机：()()2121112112H g g l r mm xm xm x π=+----()12121H g g g m mm m x ∂=-+=--∂()1211H m m x P x α∂=-=∂()12111H H mm xPx x α⎛⎫∂∂==+⎪ ⎪∂∂⎝⎭故由哈密顿方程可以得到：121112H g m mx Pm x m α-∂=-→=∂+分析力学的优点：消去“理想约束”减少方程数量，进而减少计算量。
第2章 拉格朗日方程
2. 具有简单统一的微分方程；
力学体系不同
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同. 牛顿力学：运动微分方程不同.
3. 使用范围更广
能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；
..
量子力学中的 r, , r, 等是没有意义的.
4. 扩大了坐标的概念、引入广义坐标
n 个质点，k 个约束
牛顿力学：3n k 个方程；
分析力学
分析力学主要内容:
约束与广义坐标 虚功原理 拉格朗日方程 小振动 哈密顿正则方程 泊松括号与泊松定理 哈密顿原理 正则变换 哈密顿—雅科比理论
导论
一. 研究机械运动的着眼点
牛 顿 力 学 （ 矢 量 力 学）力动量F 2pm2V(Tr)动势能能分 析 力 学
二. 分析力学的特点
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质 点、再质点系 );
如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对 时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之 转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种 约束称为非完整约束, 其约束方程形式为
18拉格朗日方程与哈密顿原理
主讲 贾启芬
第18章 拉格朗日方程与哈密顿原理 18章
18.1 第二类拉格朗日方程
Theoretical Mechanics
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18.1 第二类拉格朗日方程 设质点系有n个质点， 个完整约束且系统所受 设质点系有 个质点，受s个完整约束且系统所受 个质点 的约束是理想约束， 的约束是理想约束，自由度 k=3n- s 。 质点 mi , ri 。若取系统的一组广义坐标 为 q1 , q2 ,⋯ qk ，则
经推导得
d ∂T ∂T − =Q j ɺ dt ∂ q j ∂ q j
( j = 1,2, ⋯ ,k )
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。 拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
Theoretical Mechanics
18.1 第二类拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力， 如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 Q j 可 用质点系的势能来表达。 用质点系的势能来表达。
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 若主动力为有势力，须将势能 表示为广义坐 标的函数。 标的函数。 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出 个二阶常微分 方程。 方程。 求出上述一组微分方程的积分。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 保守系统的拉格朗日方程。
Theoretical Mechanics
18.1 第二类拉格朗日方程 应用拉氏方程解题的步骤： 应用拉氏方程解题的步骤： 判定质点系的自由度k， 1. 判定质点系的自由度 ，选取适宜的广义坐 必须注意：不能遗漏独立的坐标， 标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有 多余的（不独立）坐标。 多余的（不独立）坐标。 计算质点系的动能T， 2. 计算质点系的动能 ，表示为广义速度和 广义坐标的函数。 广义坐标的函数。
拉格朗日方程与哈密顿方程(仲顺安)
质点系的动能表示为：
分力
T
1 2
N
mi
i 1
xi2 yi2 zi2
分力为保守力（保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负 值为力，势能下降最快的方向为力的方向。），可表示为：
T
1 2
N
mi
i 1
xi2 yi2 zi2
d dt
T xi
d
mi
dt
xi
mi
d
xi
dt
mi
xi
Xi
得到：
d dt
T xi
U xi
0
d dt
T xi
U xi
0
同理 可得 到：
与速度无关
d L U T L
与坐标无关
3.
§1-4 哈密度函数 哈密顿方程
哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体系 的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方 程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经典 力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛 顿理论是等价的。
广义动量：
T 1 m x2 y2 z2 2
q
，称为
广义速度。
导数
§1-2 拉格朗日方程
拉格朗日方程推导
拉格朗日方程推导1. 引言拉格朗日方程是经典力学中的重要工具，用于描述质点、刚体或者连续体的运动。
它是以法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）的名字命名的，是一种基于能量原理的变分方法。
通过使用拉格朗日方程，我们可以从一个系统的动能和势能推导出该系统的运动方程。
本文将详细介绍拉格朗日方程的推导过程，并给出一些实际问题的例子来说明其应用。
2. 基本概念在开始推导拉格朗日方程之前，我们需要了解几个基本概念：2.1 广义坐标广义坐标是描述系统状态的变量，可以是位置、角度或者其他合适的参数。
我们用q i表示第i个广义坐标，其中i可以是1、2、3…n。
2.2 广义速度广义速度是广义坐标随时间变化的导数，用q̇i表示。
2.3 广义动能广义动能表示系统中所有质点（或刚体）运动所具有的总能量。
对于质点而言，广义动能可以写作T=12mq̇2，其中m是质点的质量。
对于刚体或连续体而言，广义动能的表达式会有所不同。
2.4 广义势能广义势能表示系统中所有与位置相关的势能总和。
用V表示。
3. 拉格朗日方程的推导拉格朗日方程的推导基于哈密顿原理（或称为最小作用量原理）。
哈密顿原理认为，在所有可能的路径中，真实的路径是使作用量S取极小值的路径。
3.1 作用量作用量是描述系统在一段时间内经历的运动轨迹所需要付出的代价。
对于一段时间从t1到t2内，系统在广义坐标q i(t)下进行运动，其作用量可以表示为：S=∫(T−V)t2t1dt其中T是广义动能，V是广义势能。
3.2 哈密顿原理根据哈密顿原理，真实路径所对应的作用量S必须满足变分条件：δS=δ∫(T−V)t2t1dt=0我们可以将变分操作放在积分符号内部：∫(δT−δV)t2t1dt=03.3 变分操作我们对广义坐标q i(t)进行微小变动δq i(t)，则广义速度q̇i的变化量可以表示为：δq̇i=ddt (δq i)根据链式法则，上式可以改写为：d dt (δq i)=∂∂t(δq i)+∑∂q j∂tnj=1∂∂q j(δq i)3.4 广义速度的变分我们可以将广义速度的变分表示为：δq̇i=∂∂t(δq i)+∑q̇jnj=1∂∂q j(δq i)3.5 广义动能的变分广义动能的变分可以表示为：δT=∑[∂T∂q iδq i+∂T∂q̇iδq̇i]n i=1=∑[∂T∂q iδq i+mq̈i(t)δq i]n i=1=∑[∂T∂q i−ddt(∂T∂q̇i)]ni=1δq i 3.6 广义势能的变分广义势能的变分可以表示为：δV=∑∂V ∂q ini=1δq i 3.7 拉格朗日方程的推导将3.5和3.6两式代入3.2，我们得到：∫[∑(∂T∂q i−ddt(∂T∂q̇i))ni=1−∑∂V∂q ini=1]t2t1δq i dt=0由于δq i是任意的，上式中括号内的表达式必须为零，即：∑(∂T∂q i−ddt(∂T∂q̇i))ni=1−∑∂V∂q ini=1=0这就是拉格朗日方程。
工程流体力学3
u x u x x, y, z, t u y u y x, y, z, t
同理：流体的密度、压强和温度可表示为：
( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t ) T T ( x, y, z, t )
流体质点的加速度表示流体质点由空间 点位置M（x、y、z、t），经dt后运动至相邻 点M’（x+dx,y+dy,z+dz）时的速度变化，根据 全微分定义，其 x方向的分量有：
ax t ay t c
2 2
故当t=0 时的流线族为：
ux yzt
u y xzt
uz 0
求判断该流体运动是定常流动还是不定常流动。
二、迹线和流线
1.迹线 某一流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。 可见，轨迹的概念是同拉格朗日观点相联系。 例：设拉格朗日观点给出:
x t 1 c1et y t 1 c2 e t
式中拉格朗日数Ｃ１和Ｃ２对不同的质点取不 同的常数。求t=0 时，通过点（－１，－１） 的质点迹线。
欧拉法的数学表示：
u ux, y, z, t
在用ux、uy、uz分别表示各坐标轴x,y,z方 向上的分量，即：
u z u z x, y, z, t u u x x, y, z, t i u y x, y, z, t j u z x, y, z, t k
u u u x dt x dx x dy x dz du x t x y z u
其中：
d x u dt, d u dt, d u dt, x y y z z
故：
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z
哈密顿动力学
⇒
[
p
x
,
L
x
]=−
∂ Lx ∂x
=0,
同理可得
[
解：取柱坐标（ R,φ,z ），以圆柱中心为势能零点，可求得
势能 动能
V
=
k 2
r
2=
k 2
R
2
z
2
T
=
m 2
R
2
˙
2
z˙
2
=T
2
⇒
L
=
m 2
R2
˙ 2
z˙
2
−
k 2
R2
z
2
⇒
p=
∂L ∂ ˙
=mR2
˙
,
p
z
=
∂ ∂
L z˙
=
m
z˙
⇒
˙ =
p mR2
,
˙z=
pz m
(*)
哈密顿函数
H
=T
V
=
1 2m
L=T
−V
⇒
p
=
∂L ∂ q˙
反解出 q˙ =q˙ q , p , t
(3) 依定义式 H =∑ p q˙ −L 或 H =T 2−T 0V 并利用
q˙ =q˙ q , p , t 消去 H 中的 q˙ , 使 H =H q , p ,t . (4) 代入正则方程 , 得出系统的运动方程 .
根据拉格朗日方程，我们最简单的做法是取
X
=
∂L ∂ q˙
则拉格朗日方程给出
X˙
=
∂L ∂q
, 而 q˙ 可以从
反解出来
即可得到 q˙ = f q , X , t , 再代入 得到 X˙ =g q , X ,t
第一章 拉各朗日方程和哈密顿方程
上方程称为特征方程, 展开得
这是关于ω的二次方程, 说明振动频率不能取任意值, 它们只能取以下数值(本征值):
两个频率是系统固有的, 称为系统的简正频率。 从下面我们将看到, 对应一种简正频率, 系统存在一种 简单的、基本的振动方式。对应不同的简正频率, 系统有 不同的振动方式, 这种与简正频率相对应的基本振动方式 称为简正模式。
个完整约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个
坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中
位置的独立参数，称为广义坐标，用 q1、q2、q3 、q3ns
来表示。广义坐标对时间的微商 dqi
1、q 2、q 3 、q 3n s来表示。 ，用 q
dt
称为广义速度
对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度 数。
式中4个待定常数 A11 , A12 ,φ1 ，φ2 由初始条件确定 设t = 0 时, 可求得
代入得到方程的解为：
本问题除了选择 x1 , x2 为广义坐标外, 还可选择其他 变量为广义坐标, 其中, 有这样的特殊变量, 它可以使方程 的解成为仅包含一个简振频率的简谐振动, 这样的广义坐 标称为简正坐标。
i 1, 2, , s
说明：
1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方 程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉 格朗日方程。 2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函 数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。
i 可以看出，只要给出力学体 3、由 L T U L qi , q 系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。
d L L 0 i xi dt x
此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉 格朗日方程。 可以证明，将 x1 , x2 , x3 换成广义坐标 q1 , q2 qs ， 即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的 一般形式的拉格朗日方程。
简论哈密顿力学的和拉格朗日力学几何的差异性
简论哈密顿力学的和拉格朗日力学几何的差异性翻开大多数海内外的一本中级理论物理学教材（即本科高年级和硕士低年级），都是简要地回顾了一下牛顿力学（包括拉格朗日力学在内）和哈密顿力学两种力学的所谓的“物理学”差异性，几乎从不论述它们二者的几何学差别性。
而有的美国教授正确地说道，把在一个正交空间中展现的牛顿力学，放进两个互为倒易的斜交空间重新表述出来的力学就是拉格朗日力学。
可是，却没有把“牛顿力学和哈密顿力学的几何差别”陈述出来。
当然，在高等物理学的教材（硕士高年级和博士年级）中，很多国内外的作者几乎是清一色地把“哈密顿力学和拉格朗日力学的差别”诠释为“余切丛和切丛上的函数”（微分几何中，一个微分流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛；一个微分流形的切丛是一个由流形各点上切空间组成的向量丛，其总空间是各切空间的不交并集），固然这是正确滴。
可是，切丛和余切丛的关系又是什么呢？呵呵，遗憾的是几乎没有一个专著明确指出和推导。
仿佛我们除了只有一个“勒让德变换”来从数学上来连接“哈密顿力学和拉格朗日力学”之外，再就无能为力了！然而，更重要的问题却是：“同一个物理学质点的几何模型，真的会有任何物理学上的差别吗？”换言之，当我们选择不同的数学几何学来描述在光滑自由空间中同一个物理质点的加速运动的时候，无疑地将产生数学上的形式差别，可是这会出现物理学上的本质差别吗？欧几里德几何学比较特殊，它是在笛卡尔正交坐标系里展开讨论的。
这是牛顿力学首选的数学模型，人人对它都耳熟能详。
碰巧的是，它的两个左右共轭的空间恰好一模一样，镜像一般而无需任何区分。
正是这个特点，让我们觉得欧几里德几何学是在自然那不过的，并且直觉上感到这是很简单、又很真实的几何学。
欧几里德几何学是仿射几何学的一个子几何，它可以被称作是“正交几何学”；而仿射几何学也可以称作是“斜交几何学”。
显而易见的是正交的欧几里德几何学是斜交的仿射几何学的一个子几何，因为假如坐标系的个坐标轴恰好是正交的——即彼此相互垂直的话，这时的仿射几何学依旧是仿射几何学，但是，同时还可以被称作是欧几里德几何学了。
拉格朗日量、哈密顿量及变分原理
拉格朗日量、哈密顿量及变分原理牛顿力学大家非常熟悉，但是我们仔细思考会发现，牛顿的理论并没有对这个世界的本质进行建模分析，它的三定律只能算是表象级的描述，现在我们来学习一种新的模型，这种模型本质上与牛顿力学相等价，但是在形式上有所不同，并且便于推广到物理学的其他各门分支，我们称之为拉格朗日力学。
拉格朗日力学认为，一切经典力学的规律可以通过称之为最小作用量原理的一种方式导出，对每一个物理体系，我们有一个称之为作用量的物理参量，我们选取时间作为参数，则另有一个称为朗格朗日量的参量，假定我们已经知道了一个物理系统必定会随时间经历两个确定的物理状态，那么以这两个状态为起始与终末对拉格朗日量进行积分将会得到对应的作用量，而真实的物理过程对应的数学方程将会是作用量取极值时拉格朗日量中各参的关系。
需要说明的是，作用量实质上是拉格朗日量的泛函，而他取极值的方式是通过变分原理。
首先我们给出变分原理的作用形式，我们用A和B来表征一个物理系统的起始与终末状态。
欧拉-拉格朗日方程就是最小作用量原理工作的形式，接下来我们直接给出一些经典体系的拉格朗日量，并且通过变分原理验证拉格朗日力学确实与牛顿力学等价。
自由质点：由这几个例子可以知道，拉格朗日力学确实与牛顿力学等价，但是他们的作用形式非常的不同。
接下来我们介绍另一个等价描述方式，称之为哈密顿力学，哈密顿力学描述物理系统的方式是通过哈密顿方程组。
现在我们由拉格朗日量导出哈密顿量：由定义可知，哈密顿量表征的物理意义是能量，最后一个由微分方程导出的方程组就是哈密顿方程组。
从导出的过程来看我们已经知道了，哈密顿力学与拉格朗日力学相等价。
从作用形式来看，拉格朗日力学的欧拉-拉格朗日是二阶方程组，因为其中可能含有q的二阶导数，而哈密顿力学的哈密顿方程组是一阶方程组，但是自变量变成了原来的两倍（动量p也成了变量）。
哈密顿原理虽然是由经典力学发现出来的，但是它的应用范围却极大的扩展到其他的领域，后续将进行进一步的介绍。
拉格朗日方程推导
拉格朗日方程推导标题:拉格朗日方程的推导及应用简介:拉格朗日方程是经典力学中一种重要的数学工具，用于描述质点、刚体和连续介质系统的运动。
本文将详细介绍拉格朗日方程的推导过程，并探讨其在物理学中的应用。
正文:拉格朗日方程是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它是一种基于能量原理的分析方法。
拉格朗日方程在处理多自由度系统时非常有用，能够简化复杂的运动方程，使问题的求解更加方便。
为了推导拉格朗日方程，我们需要定义系统的拉格朗日函数。
拉格朗日函数通常用L来表示，它是广义坐标q_i和广义速度v_i的函数，即L(q_i,v_i)。
拉格朗日函数的定义如下：L(q_i,v_i)=T(q_i,v_i)-U(q_i)其中，T(q_i,v_i)表示系统的动能，U(q_i)表示系统的势能。
动能T是广义速度v_i的函数，势能U是广义坐标q_i的函数。
接下来，我们将利用哈密顿原理来推导拉格朗日方程。
哈密顿原理指出，在运动过程中，系统的真实轨迹是使作用量S达到极小值的路径。
作用量S定义为：S=∫L(q_i,v_i)dt其中，积分是在整个运动过程中进行的。
为了使作用量S达到极小值，我们需要对广义坐标q_i进行变分，即δq_i。
根据变分法则，我们可以得到：δS=∫(∂L/∂q_i-d/dt(∂L/∂v_i))δq_i dt根据哈密顿原理，δS必须为零，因此上式中的被积函数必须为零。
我们可以得到拉格朗日方程的形式：∂L/∂q_i-d/dt(∂L/∂v_i)=0这就是拉格朗日方程的一般形式。
对于多自由度系统，有多个广义坐标和广义速度，我们可以得到对应的一组拉格朗日方程。
拉格朗日方程的推导过程相对简单，但其应用范围非常广泛。
通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程，进一步研究物体的运动规律和力学性质。
此外，拉格朗日方程还在其他领域有着重要应用，例如电磁学、光学和量子力学等。
总结:本文详细介绍了拉格朗日方程的推导过程，并探讨了其在物理学中的应用。
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把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。
N个质点的牛顿运动方程写为：
mi xi X i , mi yi Yi , mizi Zi , (i 1,2..., N )
质点系的动能表示为：
分力
T
1 2
N
mi
i 1
xi2 yi2 zi2
分力为保守力（保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负 值为力，势能下降最快的方向为力的方向。），可表示为：
低速 宏观物体
、 的运动。
这里：l 指物体的特征尺度；a 指原子的尺度。
拉格朗日在《分析力学》序中宣称：“在这本书中找不到一
张图，我所叙述的方法既不需要作图，也不需要任何几何的 或力学的推理，只需要统一而有规则的代数(分析)运算”。
法国数学家、物理学家
分析力学的创立者。在其名著《分析 力学》中，把数学分析应用于质点和刚 体力学，提出了运用于静力学和动力学 的普遍方程，引进广义坐标的概念，建 立了拉格朗日方程，把力学体系的运动 方程从以力为基本概念的牛顿形式，改 变为以能量为基本概念的分析力学形式， 奠定了分析力学的基础，为把力学理论 推广应用到物理学其他领域开辟了道路
仲顺安 等 北京理工大学出版社
力学：主要指牛顿力学
光学
普通物理
热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
原子物理学
物
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
理性认识 形成系统的理论
1 态度端正，不要有任何思想包袱 2 掌握正确的学习方法 3 除了教材以外，应准备1-2本相关的参考书 4 数学基础知识的预备 5 不要旷课，提前预习，按时交作业
c：把质点的运动平面扩展到空间中的任意平面， 改制点的平面运动方程Ax+By+Cz+D=0（该方程 称为约束方程），独立地确定x、y，就可以确定z， 则称该质点有2个自由度。
d：依此类推，假如限制质点只在一条直线上运动，
则约束方程为两个，可供独立选择的坐标变量是一 个，则称质点有1个自由度。
e：假设有N个质点组成的一个系统。①系统的质点 自由运动时，自由度数为3N；②若有k个约束方程， 则自由度数为3N-k。
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
历史发展的先后 研究方法的不同
(低速、宏观) 分析力学
力
（拉格朗日力学+哈密顿力学)
学
量子力学(微观）
现代力学
相对论力学（高速）
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
广义动量：
T 1 m x2 y2 z2 2
U与速度 无关：
p
L q
变换形式，令： 微分：
独立变量
勒让德变换公式： 只换一个变量时：
独立变量
对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数:
广义动量：
p
L q
对上式两边求微分，
左边： 右边：
由拉格朗日方程:
d L dt q j
L q j
§1-1 自由度 约束与广义坐标
自由度：为单值地确定一个系统的位置所必需给定的 独立变量的数目。
质点：为了确定一个质点在空间的位置，常需要三个 坐标x、y、z。
a：假如质点是完全自由的，即x、y、z彼此独立， 则称该质点有3个自由度。
b：假如质点被限制在xy平面上运动，此时有z=0， 它就是限制质点自由运动的条件，称为“约束”。 z=0称为约束方程。此时，这个质点只剩下两个坐标 可以任意取值，则称该质点有2个自由度。
参考书
1．理论物理导论 2．理论物理导论 3. 量子力学I 4. 统计物理学导论 5. 统计热力学
李卫 刘义荣 程建春 曾谨言 王竹溪 梁希侠，班士良
平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课则平时 成绩以零分处置），课堂听课情况，作业完成情况， 课堂测验成绩
期末考试成绩（70%）
力学的发展
爱尔兰人
他的研究工作涉及不少领域，成果 最大的是光学、力学和四元数．他 研究的光学是几何光学，具有数学 性质；力学则是列出动力学方程及 求解；因此哈密顿主要是数学 家．但在科学史中影响最大的却是 他对力学的贡献．哈密顿量是现代 物理最重要的量，当我们得到哈密 顿量，就意味着得到了全部
第一章 拉格朗日方程和哈密顿方程
② 方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分 析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少， 方程个数也越少，问题也就越简单。
3.
§1-4 哈密度函数 哈密顿方程
哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体 系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则 方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经 典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、 牛顿理论是等价的。
广义坐标、广义速度
假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置， 需要用到s个变量，把这s个变量用q1、q2、q3、……、 qs来表示，称为该系统的s个广义坐标。
广义坐标对时间t的微商，dq/dt，记为
•
q
，称为
广义速度。
导数
§1-2 拉格朗日方程
拉格朗日函数：它是由系统的动能和势能定义的函数。
T
1 2
N
mi
i 1
xi2
yi2 zi2
d dt
T xi
dmidt Nhomakorabea•
xi
mi
d
•
xi
dt
mi
••
xi
Xi
得到：
d dt
T xi
U xi
0
d dt
T xi
U xi
0
同理 可得 到：
与速度无关
d dt
L U xi
T
xi
L
0
与坐标无关
d dt
L
xi
L xi
0
d L L
dt
yi
yi
0
d dt
L zi
L zi
0
用广义坐标表示的拉格朗日方程： d L dt q j
L q j
0
拉氏方程的特点:
(j=1,2,…,s)
① 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形 式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方 程形式不变。
0
q p
H p
H q
----哈密顿正则（运动）方程是哈密顿函数的微分形式.
s
H L p jq j j 1
§1-5 哈密度函数的物理意义
对于一个保守系，并且L不显含t时， 哈密顿函数的物理意义：通过化简:
H=U+T=E(总能量)
哈密顿函数正好为系统的势能和动能的总和， 即为系统的总能量。